Speciale relativiteitstheorie
De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar!
Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door een bron (bv. lamp) wordt uitgezonden. De afstand tussen de golftoppen bepaalt de kleur. Uit de theorie van Maxwell en uit alle experimenten in de 19 e eeuw volgde dat de snelheid van het licht niet afhangt van de snelheid van de bron. Dus: licht dat vanuit een snelle trein wordt uitgezonden heeft dezelfde snelheid als wanneer uitgezonden door een stilstaande bron!
Klassiek: wat is tijd? Tijd is wat een klok aangeeft Tijd verloopt regelmatig Tijd verloopt voor iedereen even snel
Klassiek: wat is massa? Massa is de hoeveelheid materie in een voorwerp Massa is niet hetzelfde als gewicht Massa blijft behouden (kan niet in iets anders worden omgezet)
Het klassieke wereldbeeld Isaac Newton 1687 We leven in een 3-dimensionale ruimte waarin de tijd uniform verloopt. Ruimte en tijd zijn onafhankelijk van ons.
Galileo Galilei, Discorsi, 1638 Sluit jezelf met een vriend op in een grote hut onder het dek op een groot schip en neem wat vliegen, vlinders en andere kleine vliegende diertjes mee. Neem ook een grote kom water met wat vissen mee; hang een fles water op die langzaam leegdruppelt in een vat daaronder. Als het schip stilstaat, bestudeer dan precies hoe de kleine diertjes met dezelfde snelheid naar alle kanten van de hut vliegen. Spring in verschillende richtingen en let op waar je weer neerkomt Nadat je dit alles zorgvuldig bestudeerd hebt, laat je het schip in een willekeurige richting bewegen. Zolang de beweging van het schip uniform is en niet op de een of andere manier fluctueert zul je niet het geringste verschil merken in al die genoemde effecten en bovendien kun je niet uitmaken of het schip beweegt of stil ligt. De druppels blijven in het vat vallen en bewegen niet in de richting van de achterkant van het schip; de vissen in hun kom zullen met evenveel kracht in de richting van de boeg zwemmen als andersom en zullen met evenveel gemak hun voer bereiken, waar het ook in de kom wordt geplaatst. Ook de vliegen en vlinders zullen zich niet concentreren in de achterzijde van de hut..
Inertiaalsystemen in de klassieke mechanica Als twee treinen elkaar passeren (en je zit in een van de twee), is het in principe niet mogelijk uit te maken welke van de twee beweegt. M.a.w.: snelheid kun je niet voelen* Systemen die met constante snelheid bewegen noemen we inertiaalsystemen Als ik in een trein die een vaste snelheid van 100 km/h heeft, een bal met een snelheid van 5 km/h (naar voren) gooi, heeft deze t.o.v. de grond een snelheid van 105 km/h. M.a.w. snelheden in inertiaalsystemen tellen op. * let op, versnelling, bv. de bocht om gaan of remmen, voel je wel degelijk!
Relativiteitsprincipe van Galilei Galileo Galilei 1632 De wetten van de mechanica zijn gelijk in alle inertiaalsystemen v bal v totaal v auto In bewegend systeem Vanuit stilstaande waarnemer gezien v totaal > v bal
Revolutie (1) in de natuurkunde Albert Einstein 1905 Lengtematen en tijdseenheden zijn niet gelijk voor waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen
De postulaten van Einstein 1905 1. Het relativiteitsprincipe: in alle inertiaalsytemen gelden gelijke wetten voor de natuurkunde (dus zowel voor de mechanica als de electrodynamica) 2. De lichtsnelheid c is voor alle waarnemers gelijk, onafhankelijk van de beweging van waarnemer of lichtbron
Tijd in stilstaand en bewegend systeem in de klassieke mechanica B In bewegend systeem gaat bal van A naar B en weer terug naar A in tijd t h v bal tijd = afstand / snelheid t = 2h v bal A Door stilstaande waarnemer gezien: bal gaat van A naar B naar C l B h De bal doet hier een tijd t over die gelijk is (moet zijn) aan t A v auto x t C Weliswaar is de weg l groter dan h, maar de bal heeft ook snelheid van de auto meegekregen!
Gedankenexperiment 1 Licht in stilstaande en bewegende systemen Lichtflitsje in bewegend systeem van spiegels gaat van A via B naar A in de totale tijd t o (spiegels staan stil in systeem!) h B c tijd = afstand / snelheid t 0 2h = c A Door stilstaande waarnemer gezien bewegen de spiegels met snelheid B v en gaat het lichtflitsje van A naar B naar C in tijd t l h Aangezien de weg l langer dan h is, terwijl de lichtsnelheid c constant is, doet het licht A vt C er nu langer over: t is groter dan t 0 (het licht krijgt geen snelheid mee van de auto!)
Tijddilatatie Tijd t 0 wordt gemeten in meebewegend systeem (dit is de eigentijd τ) In stelsel van stilstaande waarnemer wordt tijd t gemeten t = γt = 0 t 0 1 v / c 2 2 of: 2 t0 = t/ γ = t 1 v < t 2 c De tijd verloopt in een bewegend systeem langzamer dan voor een stilstaande waarnemer ( bewegende klokken lopen achter ) Merk op dat γ altijd groter dan 1 is!
De tweelingparadox Beschouw tweelingzussen Thea (thuisblijver) en Rosa (ruimtevaarder), beiden 25 jaar oud Rosa vertrekt in een raket en maakt met zeer grote snelheid een ruimtereis en komt na 4 jaar (op haar klok) terug op aarde Ze ziet Thea weer terug en die blijkt inmiddels grootmoeder geworden!
De tweelingparadox Vóór de reis Thea 25 jaar Rosa 25 jaar De reis van Rosa Thea wacht 30 jaar Weerzien t van Thea (vanaf start reis) is 30 jaar. Door de hoge snelheid (van Rosa) is t 0 =t/ γ maar 4 jaar! Thea 55 jaar Rosa 29 jaar
Is er een tweelingparadox? Vanuit Rosa bekeken heeft Thea (inclusief de aarde) zich juist met grote snelheid van haar af bewogen en zou Thea dus jonger moeten blijven Antwoord: situatie is niet symmetrisch, Rosa heeft zich niet steeds in een inertiaalsysteem bevonden omdat ze ergens vertraagd, omgekeerd, en weer versneld is om op aarde terug te kunnen komen Maar: het jong-blijf-effect is wel degelijk realistisch en gemeten met klokken in vliegtuigen
Afstanden meten met licht Je kunt afstanden meten door te meten hoe lang licht er over doet om die afstand af te leggen. We hebben gezien dat waarnemers in verschillende inertiaalsystemen niet dezelfde tijdsintervallen meten. Het noodzakelijke gevolg is ook dat ze verschillende lengtes moeten meten. M.a.w.: als je ziet dat de klok van een bewegend systeem een factor γ langzamer loopt, moeten daar ook de linealen een factor γ korter zijn. Dat is de enige manier om te garanderen dat beide waarnemers dezelfde snelheid van het licht meten. Conclusie: in bewegende systemen zijn de lengtematen gekrompen!
Gedankenexperiment 2 Lengtematen in stilstaande en bewegende systemen t T L 0 Thea (T) meet lengte van raam in stilstaande trein met meetlat: L 0 t 0 R v Rosa (R) zit in de trein Thea in stilstaande trein kan die lengte ook bepalen door de tijd t van de passage van de merkstreep op bewegende trein met snelheid v te meten: Rosa (R) in bewegende trein meet via merkstreep de tijd t o die het duurt om langs het raam van de stilstaande trein te rijden en concludeert voor de lengte van het raam: L0 = vt L= vt 0
Lorentzcontractie 1. De lengte van een voorwerp, gemeten in een meebewegend systeem is L 0 =vt. 2. De lengte die een stilstaande waarnemer meet, als dit voorwerp met snelheid v voorbijkomt, is L=vt 0. 3. Conclusie: aangezien de tijd in bewegend systeem langzamer verloopt, t 0 =t/γ, moet L kleiner dan L 0 zijn L γ 0 2 2 L = = L v c 0 1 / Lengtematen in bewegende systemen worden korter
Speciale Relativiteitstheorie v/ c = 07/8
Gedankenexperiment 3 Over het begrip gelijktijdigheid O C M We bekijken een lange trein, waarin precies vanuit het midden (O) een korte lichtflits wordt uitgezonden naar alle kanten. Omdat dit licht precies vanuit het midden komt zullen de machinist M en de conducteur C de lichtflits op precies het zelfde moment zien M en C, meebewegend in de trein, nemen de gebeurtenis gelijktijdig waar
Vanaf de spoordijk gezien
Vanaf de spoordijk gezien C O M v C O M v C O M v P De stilstaande persoon P neemt waar dat de lichtflits eerder conducteur C bereikt dan de machinist M
Dezelfde proef, maar nu met ballen C O M v C O M v C O M v P De stilstaande persoon P ziet ook dat de ballen de conducteur C en de machinist M gelijktijdig bereiken. Verklaring: de ballen krijgen de snelheid van de trein mee (of tegen).
Relativistisch optellen van snelheden Waarom is de uitkomst van de proef in de trein anders met licht dan met ballen? Je mag dus snelheden niet zo maar bij elkaar optellen! Alleen voor lage snelheden kan dat wel in goede benadering Bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid mag dat niet! Voorbeeld: 0,7 c + 0,9 c 0,982 c
Relativistische optelling van snelheden Een persoon beweegt met snelheid v en gooit iets met snelheid u naar voren. De totale snelheid van het voorwerp is dan s, gelijk aan: s = u+ v u 1+ c v c Voorbeeld: Een persoon in een trein die met snelheid v rijdt, zendt een lichtsignaal uit. Wat is de totale snelheid s van het licht vanaf de grond gezien? Antwoord: In dit geval is u=c en de formule geeft dan s=c (onafhankelijk van v)! Voor lage snelheden (t.o.v. c) geeft de formule s=u+v, het klassieke resultaat.
Relativiteit van gelijktijdigheid Gebeurtenissen die gelijktijdig zijn in één inertiaalsysteem zijn niet gelijktijdig in een ander inertiaalsysteem. Het begrip absolute gelijktijdigheid bestaat niet!
Conclusies van Einstein De tijd in een bewegend systeem gaat langzamer De lengtematen in een bewegend systeem worden kleiner Absolute gelijktijdigheid bestaat niet Dit is de speciale relativiteitstheorie, die handelt over eenparige bewegingen, versnelde bewegingen worden in de algemene relativiteitstheorie behandeld
Les demoiselles d Avignon Picasso 1907 Relativiteit van ruimte en tijd in de kunst?
Lorentzcontractie en tijddilatatie 1 0,9 0,8 1/γ 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 v/c De lichtsnelheid is 3 x 10 8 m/s (ongeveer 1 miljard km/uur)
Experiment om muonen te tellen 5 km Muonen zijn deeltjes die hoog (enkele kilometers) in de atmosfeer gevormd worden. Ze zijn niet stabiel en hebben een levensduur van 2 miljoenste s. Hun snelheid is 99,78 % van de lichtsnelheid. Gedurende hun leven kunnen ze dus maar ongeveer 600 m afleggen. We zouden ze dus niet op aarde in een detector kunnen waarnemen! Aarde Is dit experiment zinloos? Toch maar proberen.
Tijddilatatie: muonverval Als je het experiment doet, meet je wél muonen in de detector Verklaring: 5 km Aarde Als gevolg van hun grote snelheid treedt er voor de muonen relativistische tijddilatatie op. De levensduur wordt een factor γ groter. Bij deze snelheid is die factor ongeveer gelijk aan 15. Ze kunnen dus 15 x 600 m = 9 km afleggen en wel degelijk op aarde gemeten worden! (door hun hoge snelheid worden ze niet zo snel oud en gaan later dood)
E = mc 2 Het is niet uitgesloten dat deze theorie experimenteel te bevestigen is Massa en energie kunnen in elkaar overgaan Omdat de lichtsnelheid c zo groot is, vertegenwoordigt een relatief kleine massa al een enorme hoeveelheid energie. Zowel de atoombom als kernenergie berusten op een (kern-)reactie waarbij een kleine hoeveelheid massa in energie wordt omgezet
Hoeveel energie vertegenwoordigt 1 gram massa? E = mc 2 = m c c m = 1 gram c= 300 miljoen meter per seconde Resultaat: E = 1 miljoen Kilowattuur of 1000 ton TNT!! In een kernreactie wordt een deeltje gesplitst. De brokstukken hebben samen iets minder massa dan het oorspronkelijke deeltje. Het kleine stukje massaverschil wordt in energie omgezet
Relativiteitstheorie in de praktijk Kernenergie Splijting van zware kernen en fusie van lichte kernen Atoombom GPS systemen Navigatiesystemen hebben contact met diverse satellieten om de plaats op aarde te bepalen. Door de grote afstanden en de snelle relatieve bewegingen zijn relativistische correcties noodzakelijk om precieze plaatsbepaling mogelijk te maken. Maar: hier speelt gravitatie (zwaartekracht) ook een grote rol en dan is algemene relativiteitstheorie (Einstein 1915) vereist. Het zal daarin blijken dat het verloop van de tijd niet alleen afhangt van de beweging van de waarnemer, maar ook van het zwaartekrachtsveld waarin deze zich bevindt. In een sterk zwaartekrachtsveld loopt de tijd langzamer; in een zwart gat staat de tijd stil!
De vier vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? Wat is ruimte? De laatste vraag werd in 1915 door Einstein beantwoord In de Algemene Relativiteitstheorie
Samenstellen van snelheden Nu gooi ik een bal niet in de rijrichting, maar loodrecht daarop. Wat wordt dan de totale snelheid van de bal t.o.v. de grond? Oplossing: Snelheid trein (horizontaal) is v 1, snelheid bal (verticaal) is v 2 meter/s Na 1 seconde is de horizontaal afgelegde afstand dus v 1 meter, terwijl verticaal v 2 meter is afgelegd. De totale afgelegde afstand volgt uit de wet van Pythagoras: v = v + v 2 2 2 tot 1 2 Aangezien deze afstand ook in 1 seconde is doorlopen, is v tot ook de totale snelheid v 2 v v 1 v tot 2 vtot = v1 + v2 2 v tot
Tijd in stilstaand en bewegend systeem in de klassieke mechanica B In bewegend systeem: h A v bal tijd = afstand / snelheid t = 2h v bal Door stilstaande waarnemer gezien: v auto v bal v tot B l h A C v auto x t 2 2 2l 2 ( vautot/2) + h t = = = v v tot 2 ( v t/2) + ( v t/2) auto v 2 2 bal + v 2 2 auto bal tot = t
Licht in stilstaande en bewegende systemen B In meebewegend systeem: h A c tijd = afstand / snelheid t 0 = 2h c Door stilstaande waarnemer gezien: l B h t 2 2 2l 2 h + ( vt/2) t = = c c 2h ct0 t0 = = = 2 c v c v 1 v / c 2 2 2 2 2 > t 0 A vt C