Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
Summary i. Stability of solar system ii. Chaos versus chance iii.... Email: h.w.broer@rug.nl URL: http://www.math.rug.nl/ broer
Korte Geschiedenis Zonnestelsel Tot 1500 vijf planeten: Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus Toen kwamen Copernicus, Brahe en Kepler...... en Newton Email: h.w.broer@rug.nl URL: http://www.math.rug.nl/ broer
Systema Saturnium (1659) Saturnus en zijn ringen Christiaan Huygens Cees D. Andriesen, Titan Kan Niet Slapen, een biografie van Christaan Huygens, Uitgeverij Contact 1993
Komeet van Halley Komeet van Halley 1086,..., 1531, 1607, 1682,..., 1986 Edmond Halley (1656-1742) drukte Newton s Principia
Uranus William Herschel en een van zijn telescopen (1738-1822) Ontdekking Uranus in 1781
Gauß en Ceres Carl Friedrich Gauß en het 10-Mark biljet (1777-1855) Herontdekking planetoïde Ceres in 1801
Neptunus ontdekt 1821 Friedrich Wilhelm Bessel en Neptunus (1784-1846) Vorm baan Uranus voorspelt bestaan Neptunus
Rozetbaan Mercurius Sun Perihelium-beweging Mercurius kan niet volledig met Newtoniaanse mechanica begrepen worden
Getijden-resonantie Maan gevangen in 1 : 1 resonantie Pluto en Charon hebben elkaar gevangen Uiteindelijk lot van het Aarde-Maan systeem... Mercurius gevangen in een 3 : 2 resonantie
Ontwakende wetenschap Betere natuurfilosofie (Copernicus) Nauwkeuriger waarnemingen (Brahe) Wiskundige berekeningen en principes (Kepler, Newton) Betere wiskunde infinitesimaalrekening (Newton, Leibniz, de Bernoulli s, etc.)
Brahe en Kepler Tycho Brahe Johannes Kepler (1546-1601) (1571-1630) Waarneming en berekening aan Zonnestelsel
Harmonice Mundi Harmonie in de Kosmos? Pythagoras: verhoudingen in toonsafstanden 1 : 2 octaaf,2 : 3 kwint,3 : 4 kwart Harmonie der Sferen...
Platonische lichamen - viervlak (tetraëder) vuur - kubus (hexaëder) aarde - achtvlak (octaëder) lucht - twaalfvlak (dodecaëder) quintessence - twintigvlak (icosaëder) water Euclides, Elementen boek XIII
Kepler s wetten I & II Kepler I: Planeetbaan is ellips met Zon in brandpunt Kepler II: Gelijke tijden gelijke perken
Kepler s wet III Kepler ellips: Afmeting en omloopstijd - halve lange asa - omloopstijdt Dan geldt T 2 = cst. A 3 Kepler vindt dit door bestudering waarnemingen Newton geeft dit als theoretisch resultaat uit wiskundige principes Harmonie: Zie de natuurlijke getallen2en3!
De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Isaac Newton, 1687
Cirkel in centraal krachtveld Puntmassa m in vlak centraal krachtveld Cirkelbaan r(t) = ( x(t) y(t) (in dit geval A = R) VerbandRenT? F = km r 2 e r (1) ) = R ( cos( 2π T t) sin( 2π T t) Kepler III uit mathematische principes! )
Cirkel in centraal krachtveld y 0 F r x Cirkelbaan in centraal krachtveld F
Snelheid cirkelbeweging x (t) = 2πR T sin y (t) = 2πR T cos ( ) 2π T t ( ) 2π T t en Geeft snelheid cirkelbeweging ( ) ( x v(t) = (t) 2π y = R T sin(2π T t) 2π (t) T cos(2π T t) )
Snelheid cirkelbeweging y v 0 x Snelheidvraakt aan de cirkelbaan
Centripetale versnelling y 0 a x Versnellingawijst naar het centrum
Versnelling en kracht Versnelling cirkelbeweging (= middelpuntzoekend) ( ) ( x a(t) = (t) ( ) 2π 2cos ) 2π y = R T T t (t) ( ) 2π 2sin 2π T T t ( ) 2 2π = R e r, vgl. BINAS... (2) T Combinatie (1), (2) en (3) Newton II: F = ma (3) Kepler III: T 2 = 4π2 k R3
Scholium Uit bovenstaande blijkt Newtons inverse kwadraatwet (1): F = km r 2 e r Kepler III: T 2 = 4π2 k R3
Literatuur I - Henk Broer, De chaotische schommel, Pythagoras 35(5) 1997, 11-15 - Henk Broer, Computergebruik en demathematisering, Nieuw Archief voor Wiskunde (3) 5/8(3), september 2007, 201-205 - Joost Hulshof, Differentiaalvergelijkingen, oscillaties en planeetbanen (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, 270-277 - Rainer Kaenders, Dubbelplaneten (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, 287-298
Newton en Flamsteed Sir Isaac Newton John Flamsteed (1642-1727) (1646-1719) Universele gravitatie...
Galileïsche manen Jupiter Io, Europa, Ganymedes en Callisto banen vrijwel cirkelvormig omloopstijden ongeveer Io: 2 dagen, Europa: 4 dagen, Ganymedes: 1 week, Callisto: 2 weken
Galileïsche manen Jupiter (ctd.) Geldt hiervoor Kepler III? Check Flamsteed: JA
Universele gravitatie Klassiek: alleen Zon trekt de planeten aan alles valt naar het centrum van de wereld Flamsteed: ook Jupiter trekt zijn manen aan Hierna postuleert Newton algemeen F = km 1m 2 r 2 e r tussen elk tweetal (punt-) massa s Toen pas universele gravitatie...
Conclusies Gedaan is het met die ordelijke ellipsen! Storingsrekening is het gevolg: woeste berekeningen aan Maanbaan Sterbedekkingen i.v.m. lengtebepaling op zee Cruciaal experiment Flamsteed Vergelijk check Eddington bij Zonsverduistering in 1919 (betreft Algemene Relativiteitstheorie) Drie lichamen al heel lastig! CHAOS Van Poincaré naar speelgoedmodel Hénon-Heiles
Hénon-Heiles 1964 Gekoppelde oscillatoren x = V x y = V y potentiele energie V(x,y) = 1 2 (x2 +y 2 +2x 2 y 2 3 y3 ) ( behoud energiee = 1 2 (x ) 2 +(y ) 2) +V(x,y) Viax = u eny = v naar 4D fase-ruimte R 4 = {x,y,u,v}
De 3-sfeerS 3 R 4 Energie hyperoppervlak x 2 +y 2 +u 2 +v 2 +2x 2 y 2 3 y3 = E 3-dimensionale sfeers 3 R 4 Meetkunde van S 3 R 3 { } S 3 de vereniging van twee volle tori, geplakt langs gemeenschappelijke rand T 2... 2-dimensionale torust 2
De 3-sfeerS 3, ctd. -2-4 0 2 4 2 0-2 -4-2 0 2 4 Seiffert foliatie van de 3-sfeerS 3 in2 tori Poincaré sectie dwars op zulke 2-tori...
Hénon-Heiles II Geeft idee van de dynamica EnergieE = 0.005 ene = 0.010 overwegend (multi-) periodiek stabiel
Hénon-Heiles III EnergieE = 0.012 (multi-) periodiek naast chaotisch...
... een beetje draaien
Verder... Henri Poincaré Jacques Laskar Zonnestelsel multi-periodiek of chaotisch? Op welke termijn? Jacques Laskar (Observatoire de Paris): Problemen over 100.000.000 jaar
Literatuur II - M. Caspar, Johannes Kepler, Stuttgartt 1995 - H.F. Cohen, De Herschepping van de Wereld, Uitgeverij Bert Bakker 2008 - A. Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson 1959; Danube Edition 1968, 2nd edition 1979 - C.M. Linton, From Eudoxus to Einstein, A History of Mathematical Astronomy, Cambridge University Press 2004 - H.-O. Peitgen, H. Juergens en D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992 - H.W. Broer en F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Appl. Math. Sciences 172, Springer-Verlag 2011 - E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld, Meulenhof 1950 - R.S. Westfall, Never at Rest. A biography of Isaac Newton, Cambridge University Press 1980