Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 5

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 5 5.4.1 Basis 1 a Dit is een voorbeeld van interpoleren. Er zijn namelijk gegevens van voor 1995 en van na 1995 bekend. Binnen de bekende gegevens en dus binnen de tabel (of de grafiek, als je deze getekend hebt) wordt er van je gevraagd uitspraken te doen over een moment waarover geen meetgegevens bekend zijn. Die voorspelling zal waarschijnlijk redelijk dicht bij de realiteit liggen. Tussen 1990 en 2000, in 10 jaar tijd, zijn er 0,3 miljoen inwoners bijgekomen. In 1995, 5 jaar na 1990, zijn er dus waarschijnlijk 0,15 miljoen inwoners bijgekomen vergeleken met 1990. We verwachten dat het aantal inwoners in 1995 6,2 + 0,15 = 6,35 miljoen was. b Dit is een voorbeeld van extrapoleren. We weten niet precies hoe het aantal inwoners zal stijgen vanaf 2010. We zien zelfs tussen de gemeten jaren een heel fluctuerende stijging (de ene 10 jaar is er een stijging van 0,3 miljoen, de andere 10 jaar een stijging van 0,8 miljoen). We weten wel dat het aantal inwoners tussen 1960 en 2010 van 5,5 naar 7,3 miljoen is gestegen. Dit is een stijging van 1,8 miljoen over 50 jaar. Per 10 jaar is het inwoneraantal dus gemiddeld gestegen met 1,8 : 5 = 0,36 miljoen inwoners. Je zou op basis van deze gegevens dus kunnen voorspellen dat het inwoneraantal in 2020 is gestegen tot 7,3 + 0,36 = 7,66 miljoen. 2 a Je ziet aan de grafiek dat er steeds eens in de 2 dagen is gemeten. Tussen elke twee metingen is de grafiek als een rechte lijn getekend. Je kunt op basis van deze (lineaire) groeiverwachting per 2 dagen een redelijke voorspelling doen over de lengte na 9 dagen, door de grafiek af te lezen. De zonnebloem is na 9 dagen ongeveer 24 cm lang. In een artikel in Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling en praktijk heeft Frans van Galen dit probleem met een basisschoolgroep aangepakt (jaargang 27, 2008). Hij kwam tot de volgende complete groeigrafiek: 200 lengte in cm 150 100 50 0 tijd in dagen 1 van 8

De zonnebloem groeit dus eerst langzaam, dan gaat hij erg snel en daarna vlakt het af en heeft hij zijn uiteindelijke lengte. In deze grafiek is die ongeveer 175 cm. Het is mogelijk dat de zonnebloem langer (of korter) is. In 2011 groeide er in Willebroek in België een zonnebloem met een lengte van 4,65 meter. Dat is wel uitzonderlijk lang. b Je ziet in de eerste grafiek dat de lengte van de zonnebloem gedurende het aantal dagen steeds verder stijgt. De laatste twee dagen van de meting is hij bijvoorbeeld gestegen van 64 cm naar 128 cm. Dat is een verdubbeling in twee dagen! Tussen dag 10 en 12 is hij gestegen van 32 naar 64 cm. De zonnebloem lijkt dus voortdurend binnen twee dagen te verdubbelen. Na 16 dagen zou de zonnebloem dan 2 128 = 256 cm lang zijn. Een zonnebloem kan werkelijk zo hoog worden maar dat gebeurt niet in een dag. Bovendien is een zonnebloem van 256 cm groter dan gemiddeld. Uit de tweede grafiek blijkt dat het verdubbelen binnen twee dagen alleen in het begin plaatsvindt, daarna neemt de groei af totdat de plant volgroeid is. 3 a Dit is duidelijk een cirkeldiagram. Je ziet dat Leefbaar 40,3% van de schriftelijke vragen heeft gesteld. GroenLinks heeft 3,7% van de schriftelijke vragen gesteld. Leefbaar heeft dus 40,3 3,7 = 36,6 procent meer schriftelijke vragen gesteld. De verhouding tussen het aantal gestelde vragen van Leefbaar en dat van GroenLinks is 40,3 : 3,7 = 10,892, wat neerkomt op 1089,2% meer vragen. Dat lijkt heel gek, een percentage van meer dan 100%, maar wanneer je kijkt naar de betekenis, zou dit betekenen dat zij meer dan 10 keer zoveel vragen hebben gesteld (10 100 = 1000), en dat klopt. b Dit is duidelijk een lijngrafiek. Uit de grafiek blijkt dat de inleg van 100.000 na een jaar 106.000 waard is. De rente over een jaar is dus 6%. Omdat je rente-op-rente krijgt, is het totaalbedrag na 10 jaar dus 100.000 1,06 10 = 179.084,77. c Dit is een voorbeeld van een staafdiagram. In tegenstelling tot een histogram heeft een staafdiagram geen continue waarden op de horizontale as. De maanden van het jaar zijn niet continu, maar cyclisch: na december beginnen we weer aan het begin. Het verschil tussen de minimum- en maximumtemperatuur is in maart, juli en augustus even groot en daarmee groter dan in de andere maanden. Hier kun je achter komen door het verschil te meten en/of te berekenen. d Grafiek 1 (figuur 5.29) Het percentage gestelde kamervragen is een voorbeeld van discrete data. Het ligt namelijk aan het aantal gestelde vragen wat het percentage per partij is. Bovendien kun je geen halve vragen stellen. Je hebt er één gesteld of geen of een veelvoud van één. Grafiek 2 (figuur 5.30) De rente van een bepaalde inleg is een voorbeeld van continue data. Per dag en zelfs per uur, per minuut of per deel van een seconde stijgt de waarde van je inleg. Elke waarde (tot zeer veel cijfers achter de komma) wordt aangenomen gedurende de stijging. 2 van 8

Grafiek 3 (figuur 5.31) De minimum- en maximumtemperatuur in Lo Closo bevat een voorbeeld van discrete data. Zoals al eerder aangegeven zijn hier door de loop der jaren alle maanden bij elkaar genomen. Er zijn dus klassen gemaakt in de grafiek, waardoor de waarden discreet zijn geworden. e Grafiek 1 (figuur 5.29) Modus: alle waarden komen maar één keer voor, er is dus geen modus. Mediaan: als je de percentages van klein naar groot rangschikt, zie je dat de middelste waarde 6,5% is. Gemiddelde: alle partijen samen vormen natuurlijk 100% van de schriftelijke gestelde vragen. Wanneer je alle percentages optelt, merk je dat er hier en daar naar beneden is afgerond (de som van de percentages is 99,9). Maar met zekerheid is te stellen dat alle schriftelijk gestelde vragen van een van de partijen kwamen, dus we kunnen uitgaan van 100%. 100 : 12 (aantal partijen) 8,3%. Gemiddeld stelde een partij dus 8,3% van de vragen. Grafiek 2 (figuur 5.30) Omdat de precieze gegevens uit deze grafiek moeilijk af te leiden zijn, is niet alles exact uit te rekenen. Modus: alle waarden komen maar één keer voor, er is dus geen modus Uitgaande van de waarden die gemakkelijk af te lezen zijn (100.000, 106.000), is de mediaan eigenlijk nog niet te bepalen. Er zijn namelijk nog heel veel waarden die erna vallen. Een beetje op het blote oog zou je zeggen dat ongeveer 115.000 ( 112.000 + 3.000) de middelste waarde moet zijn. De middelste waarde kan echter ook berekend worden door te berekenen wat de inleg is na 2,5 jaar (dat is halverwege de 5 jaar). Dit bereken je als volgt: 100.000 1,062,5 = 115.681,70. Als je een gemiddelde berekent van het geld in de loop van 5 jaar, dan zou je kunnen rekenen met 133.822,56 : 5, maar dan verspreid je dus ook de inleg over de jaren heen. Eerlijker is het dus om alleen te rekenen met de toename. De gemiddelde toename na 5 jaar ligt op 6764,512 euro (= 33.822,56 : 5). Grafiek 3 (figuur 5.31) Modus: de waarden 7 graden, 9 graden en 12 graden komen allemaal tweemaal voor. Mediaan: voor de maximumtemperatuur zijn de middelste twee metingen (in temperatuur) 19 en 17 graden. De mediaan is dus 18 graden. Voor de minimumtemperatuur zijn de middelste twee metingen (in waarde) 8 en 12 graden. De mediaan van de minimumtemperaturen in Lo Closo is dus 10 graden. Gemiddelde: De gemiddelde maximumtemperatuur is ongeveer 19 graden. De gemiddelde minimumtemperatuur is ongeveer 5 graden. De gemiddelde totaaltemperatuur (maar die is gebaseerd op 12 maxima en 12 minima, dus erg onbetrouwbaar) is dan ongeveer 12 graden. f Grafiek 3 is normaal verdeeld. Waarschijnlijk is deze grafiek ook ontstaan na heel veel jaren meten, alle extreme jaren zijn hierdoor uitgemiddeld. 3 van 8

Discreet en continu 4 a Het is handig om eerst een tabel te maken, alvorens de grafiek te tekenen. Wanneer je je aan de formule houdt, zou je op de volgende tabel uit kunnen komen, met de volgende grafiek. Aantal leerlingen 0 27 54 81 108 135 162 Aantal bussen 0 1 2 3 4 5 6 Aantal bussen 6 5 4 3 2 1 0 27 54 81 108 135 Aantal leerlingen b In bovenstaande grafiek is gedaan alsof de data continu zijn. Er is een lineaire grafiek met een hellingsgetal van 27 getekend. Het aantal leerlingen is echter altijd een heel getal en het aantal bussen ook. We moeten dus een andere grafiek tekenen. Je maakt klassen van het aantal bussen, en dan krijg je de volgende tabel (let op: dit is geen verhoudingstabel; zie paragraaf 2.2.2) en grafiek. Dit is een voorbeeld van een histogram. Aantal leerlingen 0 20 27 28 37 54 55 82 Aantal bussen 1 1 1 2 2 2 3 4 Aantal bussen 6 5 4 3 2 1 0 27 54 81 108 135 Aantal leerlingen 4 van 8

5 a Totaalprijs ijs = n 1,75 b Eerst maken we een tabel (deze mag wel een verhoudingstabel genoemd worden), om er vervolgens een tabel bij te tekenen: n = aantal leerlingen 0 1 10 20 40 50 100 Totaalprijs 0 1,75 17,5 35 70 87.5 175 Het aantal leerlingen betreft discrete data: je kunt namelijk geen halve leerlingen hebben. (Er wordt in dit geval dus enkel gewerkt met gehele getallen.) De totaalprijs betreft continue data, de waarde van de totaalprijs zou tot op de miljoenste cent nauwkeurig kunnen worden bepaald. Het is dus niet mogelijk een lijngrafiek te tekenen van deze situatie. Wel is het mogelijk een histogram te tekenen, waarbij dan de continue data op de x-as staan, zoals hieronder. Aantal leerlingen 70 60 50 40 30 20 10 0 17,5 35 52,5 70 87,5 105 122,5 140 157,5 175 Totaalprijs in euro s 6 a aantal pakjes cake = n : 8 Aantal leerlingen (n) 0 15 30 35 40 45 60 80 Aantal pakjes cakes 0 2 4 5 5 6 8 10 5 van 8

b Aantal pakjes cake 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 Aantal leerlingen c Deze grafiek is discreet: zowel op de x-as als op de y-as wordt alleen gewerkt met hele getallen. Een half pakje cake is niet mogelijk, evenmin als een half aantal leerlingen. Deze grafiek is dus een staafdiagram en de tabel is in dit geval geen verhoudingstabel. 5.4.2 Repertoire Diagrammen 7 0 6 8 1 0 1 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 2 0 1 2 5 7 8 8 3 0 0 1 8 8 9 4 3 4 5 1 Modus: 15 Mediaan: 20,5 Gemiddelde: 24 2 3 8 Een histogram met klassen van 10 breed. Dat is gelijk aan de steel van het steelbladdiagram. 6 van 8

Cito en PPON 9 a In het eerste percentiel vallen de opgaven 1 t/m 6. Opgave 7 wordt niet door iedereen goed beheerst. De top van de balk geeft immers 80% beheersing aan. b In het tweede percentiel vallen de opgaven 7 t/m 14. c Dit betekent dat deze opgaven door 50% van de leerlingen goed wordt beheerst. Sterker nog: de opgaven 1 t/m 6 worden zelfs door de 25% zwakste leerlingen goed beheerst. d De opgaven 17, 18 en 19 zijn matig gemaakt door mediaan-leerlingen (leerlingen die scoren, rond de mediaan). e Dat betekent dat deze opgaven dus erg gemiddelde opgaven zijn. De opgaven laten precies zien of een leerling onder het gemiddelde of boven het gemiddelde presteert. f De kwartielafstand loopt van een vaardigheidsscore van ongeveer 220 tot 280. g Dat betekent dat de meeste leerlingen met een vaardigheidsscore tussen de 220 en 280 opgaven soortgelijk aan opgaven 7 t/m 26 goed beheersen. 10 a Na 10 maanden kan eigenlijk iedereen dat. 99% van de baby s kan het al in de negende maand. b Voor de zevende maand kan 1% al alleen staan. Daarentegen kan geen enkel kind voor de zevende maand al alleen lopen. c Dit kun je het snelste zien aan de breedte van de balken (inclusief de rode lijnen). Je ziet dan dat staan zonder hulp het van de andere vaardigheden wint. Kennelijk is dit een vaardigheid die veel vraagt van kinderen en waarin ze veel van elkaar verschillen qua beheersing. 11 Het is nodig om alle gemiddelden te berekenen. Dat komt neer op de volgende data: Jaartal Aantal bezoekers 1000 Gem. (over 10 jaar) 1970-1979 (10 + 16 + 20 + 26 + 30 + 32 + 40 + 45 + 42 + 50 = 311) 31.100 1980-1989 (50 + 50 + 30 + 40 + 20 + 15 + 50 + 32 + 36 + 40 = 363) 36.300 1990-1999 (42,5 + 53,5 + 55,3 + 64,3 + 72 + 49 + 59 + 49,2 + 51,5 + 55.755 61,25 = 557,55) 2000-2009 (66,3 + 64,2 + 63,345 + 47,53 + 36 + 20 + 68 + 62,5 + 94 + 61.187,5 90 = 611,875) 2010-2019 gemiddelde van deze 10 jaar is nog niet te berekenen 5.4.3 Kennisbasis 12 a (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 2.2.1) 13 Deze grafiek werkt als volgt: Alle leerlingen lopen naar school. Dat is kennelijk afgebeeld bij 6hm, want de leerling die het verst van school woont, woont 6 hm van school. 7 van 8

Leerling I loopt 4hm afstand naar school (van 2hm afstand tot 6hm afstand) en doet hier 10 minuten over. Leerling II loopt 5hm afstand en doet hierover 5,5 minuten (daarna zie je dat hij geen afstand meer aflegt en dus al op school is aangekomen). Leerling III loopt 2hm afstand en doet hierover 6 minuten. Leerling IV loopt 6hm afstand en doet hierover 10 minuten. Via een verhoudingstabel en via het gelijk maken van of de afstanden of de minuten, kun je snel vinden dat leerling III het langzaamste gelopen heeft. Het antwoord is dus c (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 2.2.1). 14 Alex heeft minder vaak gewonnen vergeleken met Chris (minder punten in meer wedstrijden). Verder valt op, wanneer je kijkt naar het aantal punten, over alle spelers, dat iemand 3 punten krijgt wanneer hij of zij wint (Dorine wint 2 keer = 6 punten) en 1 punt krijgt voor gelijkspel (Bea wint 2 keer en speelt 1 keer gelijk = 7 punten en Elin wint 1 keer en speelt 2 keer gelijk = 5 punten). Voor verliezende partijen worden kennelijk geen punten in mindering gebracht. Aangezien Alex 11 punten heeft, moet hij wel ook een keer gelijk hebben gespeeld en kan hij niet vaker dan 4 keer hebben gewonnen (dan zou hij 12 punten hebben). Na enig proberen blijken er twee oplossingen: 3 gewonnen 2 gelijk 3 verloren 2 gewonnen 5 gelijk 1 verloren We moeten dus nog verder kijken naar de punten voor en tegen. Binnen het gelijkspel en de verloren wedstrijden heeft Alex kennelijk 19 punten tegen gehaald. Dit kun je zien doordat Chris nooit heeft verloren en toch 14 tegen punten heeft. Iedereen lijkt te winnen met 4 tot 9 punten voor, daaruit kun je opmaken dat Alex waarschijnlijk 3 wedstrijden heeft gewonnen, waardoor hij 19 punten bij elkaar heeft gekregen. (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 2.2.1) 15 d (gebaseerd op paragraaf 5.2.1) 16 a (gebaseerd op paragrafenn 5.2.2, 2.2.1 en 2.2.2) 17 a b (gebaseerd op paragrafen 5.3.2 en 3.2.2) b In een steelbladdiagram. (gebaseerd op paragraaf 5.3.2) 18 d (gebaseerd op paragrafen 5.2.1, 1.2.5 en 3.2.2) 19 b (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 1.2.5) 8 van 8