Deel 2 vmbo gth De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof door te werken, eventueel met de verkorte route. Veranderingen ten opzichte van de tweede editie De invoering van ICT en natuurlijk de ervaringen van gebruikers hebben geleid tot een aantal belangrijke aanpassingen van de tweede editie. Daardoor is een evenwichtiger opbouw van de leerstof ontstaan. De vijfde kern Door gebruikers is regelmatig aangegeven dat er behoefte is aan vraagstukken die vaardigheden vragen uit voorgaande kernen of hoofdstukken. Die zijn nu opgenomen in een vijfde kern. Deze kern bestaat uit twee pagina's en bevat dus geen nieuwe leerstof. Extra oefening in het werkboek Om leerlingen zelfstandig en met extra oefening het hoofdstuk nog eens door te laten werken, staan in het werkboek twee of meer pagina's extra vraagstukken met een verwijzing naar de kernen. U kunt deze vraagstukken natuurlijk ook gebruiken om tempoverschillen op te vangen. De verdieping De verdieping bevat de leerstof die leerlingen nodig hebben voor doorstroming naar de havo. Planning Deel 2 vmbo gth bevat 12 hoofdstukken. Het laatste hoofdstuk Algebra is bedoeld voor havo-leerlingen. Voor 30 lesweken is dat 2 à 3 weken voor een hoofdstuk. De leerstoflijnen In het volgende schema vindt u een overzicht van de verdeling van de leerstof over de verschillende domeinen. Domein A Domein B Rekenen, meten en schatten Hoofdstuk 2 Negatieve getallen en variabelen Hoofdstuk 5 Rekenen Hoofdstuk 10 Negatieve getallen Algebraïsche verbanden Hoofdstuk 3 Lineaire verbanden Hoofdstuk 7 Lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 9 Kwadratische verbanden Hoofdstuk 12 Algebra (alleen havo) Domein C Meetkunde Hoofdstuk 1 Hoofdstuk 4 Hoofdstuk 6 Hoofdstuk 8 Hoofdstuk 10 Vlakke figuren Omtrek en oppervlakte Stelling van Pythagoras Vergroten en verkleinen Kijken, tekenen en rekenen Domein D Informatieverwerking en statistiek Hoofdstuk 11 Statistiek 0
Hoofdstuk 1 Vlakke figuren Beginniveau Lijnsymmetrische figuren kennen met één of meer symmetrieassen, met name gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek, vlieger en ruit. De geodriehoek kunnen gebruiken bij het tekenen van hoeken. Kennen en kunnen - symmetrieassen tekenen in eenvoudige symmetrische figuren - lijnsymmetrische figuren afmaken - eenvoudige figuren spiegelen in een lijn - de begrippen draaipunt, draaihoek kennen - van figuren het draaipunt en de draaiboek bepalen - van een figuur bepalen of het draaisymmetrisch is - eenvoudige draaisymmetrische figuren afmaken - eenvoudige draaiingen uitvoeren (over 90 ). - eenvoudige puntsymmetrische figuren herkennen - van een puntsymmetrische figuur het centrum bepalen - puntsymmetrische figuren afmaken - het parallellogram herkennen als puntsymmetrische figuur - een parallellogram kunnen tekenen - weten wat een deellijn is - een deellijn van een hoek kunnen tekenen - weten dat de som van de hoeken in een vierhoek 360 is - eenvoudige hoekberekeningen uitvoeren in een driehoek - verschuivingen als herhaling van een basisfiguur herkennen - eenvoudige verschuivingen uitvoeren Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 : 11, 12, 13, 16, 17, 20 : 21, 22, 24, 25, 26, 29 : 30, 31, 32, 34, 35, 36, 39 : V1, V2, V4, V5 1
Opmerkingen Algemeen In dit hoofdstuk over vlakke figuren leren leerlingen naar figuren kijken en daarin eigenschappen ontdekken. Het gaat met name om eigenschappen die met symmetrie te maken hebben. Leerlingen zullen mogelijk ontdekken dat symmetrische figuren 'goed ogen'. Ze komen veel voor in logo's van bedrijven. In de kernen gaat het om het herkennen en afmaken van symmetrische figuren. Ook eenvoudige (lijn)spiegelingen en draaiingen komen aan de orde. In de verdieping wordt aandacht besteed aan verschuivingen. De leerlingen moeten in het bezit zijn van goed tekengereedschap (waaronder een passer) en roosterpapier. In dit hoofdstuk wordt veel gebruik gemaakt van het werkboek. De lijnspiegelingen zijn te ondersteunen met een spiegeltje. Op de cd-rom staat een animatie van het gebruik van de geodriehoek bij het spiegelen. Extra aandacht verdient in deze kern de draaihoek. Het gaat daarbij om de kleinste hoek waarover een figuur gedraaid moet worden om weer op zichzelf terecht te komen. Over de draairichting wordt gesproken in termen van 'met de wijzers van de klok mee'. Puntsymmetrie wordt hier gebruikt om uit te komen bij de eigenschappen van het parallellogram. Hoewel niet expliciet aan de orde, biedt deze kern de mogelijkheid relaties te leggen tussen parallellogram enerzijds en ruit, rechthoek en vierkant anderzijds. In klas 1 is al aan de orde geweest dat de drie hoeken van een driehoek samen altijd 180 zijn. Ze kunnen ook gaan nadenken over de som van de hoeken van een vijfhoek, zeshoek, enz. In de opgaven komen de eigenschappen van de gelijkbenige driehoeken aan bod. De verdieping biedt aanleiding om een uitstapje te maken naar regelmatige patronen bij randversieringen. Opdracht 3 is daarvan een aardig voorbeeld. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om lijnsymmetrie en draaisymmetrie te oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Wijs de leerlingen erop dat deze toets niet alles kan terugvragen omdat er in dit hoofdstuk veel tekenwerk zit. Errata (nog) geen. 2
Hoofdstuk 2 Negatieve getallen en variabelen Beginniveau Geen specifieke vaardigheden of voorkennis. Kennen en kunnen - de bewerkingen optellen en aftrekken met negatieve getallen - rekenen met negatieve getallen op de rekenmachine - de bewerking vermenigvuldigen met negatieve getallen - toepassen in formules, tabellen en grafieken - rekenen met machten van negatieve getallen - de bewerking delen met negatieve getallen - toepassen in formules, tabellen en grafieken - vereenvoudigen van breuken. - bewerkingen met lettervariabelen - korter schrijven van een som en een product - gelijksoortige termen samennemen - machten met lettervariabelen - gelijksoortige machten samennemen Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 : 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, : 25, 26, 27, 28, 32, 33, 34, 35, 36 : 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 49, 50, 51, 52 : V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7, V8, V9 3
Opmerkingen Algemeen Bij het rekenen met negatieve getallen wordt het werken met plus- en minpunten gecombineerd met rekenen op de getallenlijn. Bij het hoofdstuk is als ondersteuning het 'MinPlus mannetje' te gebruiken. Het mannetje MinPlus beweegt zich over de getallenlijn. Door het laten verdwijnen van balletjes kan de bewerking 'aftrekken' aan de orde komen. In de tweede deelkern moeten leerlingen zelf uitzoeken hoe ze hun rekenmachine met negatieve getallen kunnen laten rekenen. De bewerking vermenigvuldigen wordt geïntroduceerd via het rekenen op de rekenmachine. Opgave 19, 20 en 21: De bewerking 'vermenigvuldigen' wordt in verband gebracht met het tekenen van grafieken. In de tweede deelkern komen machten met negatieve getallen aan de orde. Opgave 23: Het is belangrijk dat leerlingen het verschil tussen ' 3²' en '( 3)²' (her)kennen. In deze kern komt de bewerking 'delen' op dezelfde manier aan de orde, als de bewerking 'vermenigvuldigen' in. Na de grafieken volgt in deze kern het vereenvoudigen van breuken. In de eerste deelkern wordt gewerkt met lettervariabelen van één soort. In de tweede deelkern worden gelijksoortige variabelen samengevoegd. Het rekenen met variabelen wordt verder uitgebreid. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de theorie met 'MinPlus mannetje' nog eens te herhalen en extra te oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 4
Hoofdstuk 3 Lineaire verbanden Beginniveau Geen specifieke vaardigheden of voorkennis. Kennen en kunnen - een lineair verband herkennen aan een tabel en een grafiek - de juiste formule kiezen bij een getekende grafiek - het weglaten van het keerteken of de vermenigvuldigpunt in een formule met lettervariabelen - een formule bij een lineair verband kan op verschillende manieren geschreven worden - de algemene vorm van een lijn door de oorsprong - het hellingsgetal in een formule - een formule opstellen bij een rechte lijn die door de oorsprong gaat - het verband tussen het hellingsgetal en het steiler of minder steil lopen van een grafiek - bij een horizontale lijn is het hellingsgetal 0 - bij een positief hellingsgetal is de grafiek stijgend - bij een negatief hellingsgetal is de grafiek dalend - de algemene vorm van een lijn die niet door de oorsprong gaat - de betekenis van het snijpunt van een rechte lijn met de verticale as in de formule - een formule opstellen bij een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat - de formule opstellen van een rechte lijn die door twee willekeurige punten gaat Verkorte route : 1, 2, 3, 4 : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 : 12, 13, 14, 15, 16 : 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26 : V1, V2, V3, V4 5
Opmerkingen Algemeen Bij dit hoofdstuk kan het programma VU-grafiek een belangrijke ondersteuning geven. Bij een lineair verband horen bij gelijke stappen van de ene variabele gelijke stappen van de andere variabele. De variabelen zijn in deze kern nog woordvariabelen. De bijpassende formule kan bijvoorbeeld gevonden worden door punten uit de tabel of de grafiek in te vullen in de formule. Een leerling moet er ook aan wennen, dat formules op verschillende manieren geschreven kunnen worden. Bij een rechte lijn door de oorsprong kan na het vinden van het hellingsgetal de formule opgesteld worden. Het hellingsgetal bepaalt hoe steil de grafiek daalt of stijgt. Een moeilijke vorm is altijd de horizontale grafiek met hellingsgetal 0. Als de lijn niet door de oorsprong gaat, speelt het snijpunt met de verticale as een belangrijke rol. Op de cd-rom staat het programma 'Bollen schieten'. Een spelletje om nog eens te zien hoe formules van rechte lijnen in elkaar zitten. In de verdieping wordt een formule opgesteld bij een lijn door twee punten. Het is dus nodig, dat het hellingsgetal en het snijpunt met de verticale as worden gevonden. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de theorie nog eens te herhalen. Met het programma VU-Grafiek kunnen ze extra oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 6
Hoofdstuk 4 Omtrek en oppervlakte Beginniveau De begrippen omtrek en oppervlakte kennen. Figuren als parallellogram en gelijkbenige driehoek (her)kennen. Kennen en kunnen - de begrippen oppervlakte, omtrek, basis en hoogte van een parallellogram - de oppervlakte van een rechthoek en parallellogram met de formule berekenen - de oppervlakte van een driehoek met de formule berekenen - de oppervlakte van een driehoek met behulp van inlijsten berekenen. - weten dat het getal pi ongeveer 3,14 is - de omtrek van een cirkel berekenen met de formule - de oppervlakte van een cirkel berekenen met de formule - weten dat r de straal van de cirkel is - weten dat de diameter twee keer de straal is - het begrip wortel en het symbool - zonder rekenmachine de wortel uit een 'mooi' kwadraat trekken - met de worteltoets op de rekenmachine wortels benaderen - schatten tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen een wortelgetal ligt - in driehoeken terugrekenen van oppervlakte naar zijde of hoogte - in cirkels terugrekenen van oppervlakte en omtrek naar straal en diameter Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 6 : 10, 11, 14, 16, 17, 18 : 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28 : 30, 31, 32, 33, 35, 38, 40, 41 : V1, V2, V4, V5 7
Opmerkingen Algemeen De leerlingen hebben bij dit hoofdstuk een geodriehoek en een rekenmachine nodig. In deze kern gaan we uit van de oppervlakte van een rechthoek. Daarna wordt overgegaan op de formule voor de oppervlakte van een parallellogram. Op de cd-rom staat een leuke animatie. De formule voor de oppervlakte van een driehoek wordt afgeleid uit de oppervlakte van een willekeurig parallellogram. Zie ook de animatie op de cd-rom. Opgave 16 en 17: Hier wordt de oppervlakte van een driehoek berekend met behulp van inlijsten. Ook daarvan staat een animatie op de cd-rom. Hier komt voor het eerst het getal pi voor. Steeds wordt met pi gerekend door het te benaderen op ongeveer 3,14. Zie ook de animatie op de cd-rom. In dit boek wordt de oppervlakte van een cirkel alleen gegeven met de formule: oppervlakte cirkel = pi x straal² Als in de opgaven de diameter bekend is, moet dus eerst de straal berekend worden. Op de cd-rom staat door middel van een animatie een afleiding van de formule oppervlakte cirkel = pi x d x d : 4. In deze kern wordt worteltrekken besproken. Opgaven 34 en 35: In deze opgaven wordt duidelijk gemaakt dat de bewerkingen worteltrekken en kwadrateren elkaar opheffen. Opgave 38: Beredeneerd wordt tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen een wortelgetal ligt en welk geheel getal er het dichtste bij ligt. Berekenen van de hoogte van een driehoek als de oppervlakte en de basis gegeven zijn. Berekenen van de straal en/of diameter van een cirkel als de oppervlakte of omtrek gegeven zijn. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de formules te visualiseren en kan er extra geoefend worden. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Wijs de leerlingen erop dat deze toets niet alles kan terugvragen omdat er in dit hoofdstuk veel tekenwerk zit. Errata Op pagina 76 hoort bij het geelvlak een computericoontje te staan. 8
Hoofdstuk 5 Rekenen Beginniveau Geen specifieke vaardigheden of voorkennis. Kennen en kunnen - twee breuken vermenigvuldigen - de a b/c toets op de rekenmachine gebruiken bij het werken met breuken - van breuk naar decimaal en omgekeerd - percentages berekenen van een bedrag - berekenen hoeveel procent een deel van een bedrag is - een bedrag met een percentage verhogen of verlagen - berekenen met hoeveel procent een bedrag verhoogd of verlaagd is - grote en kleine getallen schrijven in de wetenschappelijke notatie - kunnen rekenen met een groeifactor groter dan 1 - kunnen rekenen met een groeifactor kleiner dan 1 Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16 : 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26 : 31, 32, 33, 36, 37,38, 39 : 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 56, 57 : V1, V2, V3, V6, V7, V8, V13, V14, V15, V17 9
Opmerkingen Algemeen Om met de rekenmachine te kunnen werken, is een rekenmachine nodig met een breukentoets en een toets voor de wetenschappelijke notatie. Zo mogelijk 2-regelig. Belangrijk is dat leerlingen inzien, dat bij het vermenigvuldigen van breuken geldt: teller x teller en noemer x noemer. Als via het werken met de a b/c toets op het scherm van de rekenmachine een breuk staat, dan levert het nogmaals indrukken van die toets op bepaalde rekenmachines gelijk de decimale breuk op. Berekenen van een percentage wordt herleid tot het vermenigvuldigen met een decimaal getal. Het is ook mogelijk met een tabel te werken maar heeft niet de voorkeur. Een percentage wordt bepaald door een decimale breuk te herleiden tot procenten. Het verhogen van een bedrag met een percentage gebeurt via de vermenigvuldiging met een decimaal getal. Een percentage van een verhoging of een verlaging wordt via een deling berekend. Bij het schrijven van kleine getallen in de wetenschappelijke notatie worden negatieve exponenten ingevoerd. In de verdieping volgt de overgang van het toenemen met een percentage naar de groeifactor. Belangrijk is, dat de leerling het verschil ziet tussen een groeifactor groter dan 1 en kleiner dan 1. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om extra te oefenen met procenten en de wetenschappelijke notatie. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 10
Hoofdstuk 6 De stelling van Pythagoras Beginniveau Weten wat kwadraten en wortels zijn. Een driehoek kunnen tekenen als de zijden gegeven zijn. Kennen en kunnen - van een rechthoekige driehoek de rechthoekszijden en de schuine zijde benoemen - de oppervlakte van een rechthoekige driehoek berekenen door de oppervlakte van een bijbehorende rechthoek te halveren - de oppervlakte van een scheef getekend vierkant berekenen door middel van inlijsten - de stelling van Pythagoras: bij elke rechthoekige driehoek zijn de oppervlaktes van de vierkanten tegen de rechthoekszijden samen precies net zo groot als de oppervlakte van het vierkant tegen de schuine zijde - met deze stelling nagaan of een driehoek rechthoekig is - met deze stelling de schuine zijde van een rechthoekige driehoek berekenen - met behulp van een tabel en de stelling van Pythagoras de lengte van de ontbrekende zijde van een rechthoekige driehoek berekenen als de lengtes van twee zijden gegeven zijn - hulplijnen in een figuur tekenen zodat één of meer rechthoekige driehoeken ontstaan - met behulp van de stelling van Pythagoras de afstand tussen twee roosterpunten berekenen Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 6, : 9, 10, 11, 12, 14, 15 : 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 24 : 27, 28, 29, 30 : V1, V2, V3 11
Opmerkingen Algemeen In dit hoofdstuk maken de leerlingen kennis met de stelling van Pythagoras. Met behulp hiervan worden lengtes berekend die tot nu toe voor leerlingen slechts te schatten of te meten waren. Geef veel voorbeelden uit de directe omgeving: afstanden in het lokaal, beeldschermdiagonalen, enzovoort. Een passer, liniaal, roosterpapier en rekenmachine zijn nodig. Besteed voldoende aandacht aan het benoemen van rechthoekszijden en schuine zijde in relatie tot hun lengte (de schuine zijde is altijd de langste) en in relatie tot hun plaats (de schuine zijde ligt tegenover de rechte hoek). Vooral als de schuine 'recht' getekend is, raken de leerlingen in de war. De stelling van Pythagoras hoeft niet te worden bewezen. Laat met bijvoorbeeld driehoeken met een 3-4- 5-verhouding zien dat het klopt. Op de cd-rom staat ook een leuke animatie. Benadruk dat niet de ontbrekende zijde, maar de schuine zijde altijd onder in de tabel staat. De kwadraatfobot werkt van links naar rechts, de wortelfobot andersom. Wijs ook op de uitleg op de cd-rom. (Bij : rechte zijde moet zijn rechthoekszijde!) De juiste hulplijn tekenen is voor de meeste leerlingen erg lastig. De afstand tussen twee roosterpunten is op te vatten als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de stelling te visualiseren en extra te oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 12
Hoofdstuk 7 Lineaire vergelijkingen Beginniveau Dit hoofdstuk is een vervolg op hoofdstuk 3. Kennen en kunnen - bij een waarde op de verticale as de bijbehorende waarde op de horizontale as aflezen - bij een waarde op de verticale as met behulp van de formule een vergelijking opschrijven - na het aflezen de oplossing op kunnen schrijven - bij een formule een rekenschema opstellen - met dit rekenschema een uitkomst berekenen - bij een rekenschema een terugrekenschema opstellen - een terugrekenschema gebruiken om een vergelijking op te lossen - bij twee snijdende lijnen de coördinaten van het snijpunt aflezen en controleren door invullen in de formules - een vergelijking opstellen bij het snijpunt van twee grafieken - werken met een balans die in evenwicht blijft als links en rechts hetzelfde wordt weggehaald - dit principe van de balans gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen (de balansmethode) - de balansmethode verder uitgebreid - ongelijkheden met grafieken oplossen Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5 : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15 : 16, 17, 18, 19, 20, 21 : 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 : V1, V2, V3, V6, V8, V9, V10 13
Opmerkingen Algemeen Dit hoofdstuk voert stapsgewijs naar het oplossen van vergelijkingen. Het is belangrijk dat leerlingen in gaan zien wat een vergelijking is en wat je er wel en niet mee kunt doen.. Bij een waarde op de verticale as is via de grafiek een waarde op de horizontale as af te lezen. Door de waarde op de verticale as achter de formule te plaatsen, ontstaat een vergelijking. Het oplossen van vergelijkingen kan soms via het werken met rekenschema's en terugrekenschema's. Via het terugrekenschema is het mogelijk de oplossing van een vergelijking te vinden. Een rekenschema moet volledig ingevuld worden. Als tussenantwoorden niet genoteerd worden, ontstaan er problemen met de volgorde van bewerkingen. Om het snijpunt van twee grafieken te vinden, ontstaat meestal een vergelijking met de variabele aan beide kanten van het' =' teken. Eerst weer aflezen en via substitutie in de formule controleren. Vervolgens wordt een vergelijking opgesteld bij het snijpunt. Aangezien de rekenschema's voor dit soort vergelijkingen niet bruikbaar zijn, wordt overgeschakeld naar het oplossen met de balansmethode. Het is mogelijk de leerling ook te laten oefenen met de balansmethode bij het soort vergelijkingen uit kern 2. De balansmethode wordt hier verder uitgebreid. Bovendien worden hier ook de ongelijkheden behandeld. Eerst wordt de grafiek getekend en het snijpunt bepaald. Daarna wordt het antwoord van de ongelijkheid gegeven. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om extra te oefenen. Onderaan pagina 20 wordt verwezen naar een applet van het FI: ' Oplossen met de weegschaal' Verder zijn er met het programma Algebrapijlen en VU-Grafiek leuke toepassingen te maken. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 14
Hoofdstuk 8 Vergroten en verkleinen Beginniveau De oppervlakte van een rechthoek kunnen bepalen. Kennen en kunnen - de werkelijke afmetingen berekenen van voorwerpen die op schaal getekend zijn - gebruik van de verhoudingstabel - als je een figuur vergroot, vermenigvuldig je alle afmetingen met hetzelfde getal - het getal waar je mee vermenigvuldigt, heet de (vermenigvuldigings)factor - de invloed van vergroten en verkleinen op de oppervlakte van een figuur - bij een (lengte)vergroting met factor k wordt de oppervlakte met k² vermenigvuldigd - Als de (lengte )afmetingen door k worden gedeeld, wordt de oppervlakte door k² gedeeld - de inhoud van een balk berekenen met de formule - de inhoud van eenvoudige alledaagse voorwerpen schatten - de invloed van vergroten en verkleinen op de inhoud van lichamen - bij een lengtevergroting met factor k wordt de inhoud met k³ vermenigvuldigd - als de (lengte)afmetingen door k worden gedeeld, wordt de inhoud door k³ gedeeld - F-hoeken en eenvoudige berekeningen in vlakke figuren - Z-hoeken en eenvoudige berekeningen in vlakke figuren Verkorte route : 1, 2, 3, 6, 7, 8 : 11, 12, 14, 16, 17, 21 : 22, 23, 24, 27, 28, 29 : 30, 31, 32, 34, 35, 36 : V1, V2, V3, V4 15
Opmerkingen Algemeen Het onderwerp vergroten en verkleinen is niet nieuw. In deel 1 is het begrip schaal al aan de orde geweest. Het rekenen aan tekeningen op schaal komt in diverse contexten aan de orde. Het berekenen van de lengte van een route is voor leerlingen vooral aardig als het in hun eigen omgeving is. Als hulp bij het schaalrekenen komt de verhoudingstabel terug. Bij de vergroting van figuren wordt de factor ingevoerd: met welk getal zijn de afmetingen vermenigvuldigd? Het gaat in deze kern met name om het verband tussen de toename van de afmetingen en de oppervlakte. Bij gegeven oppervlakte, zonder de afmetingen van een figuur te kennen, moeten ze bij vergroting met een factor de nieuwe oppervlakte kunnen berekenen. Hetzelfde geldt voor verkleiningen. De nadruk ligt op de inhoudsformule die gebruik maakt van de oppervlakte van het grondvlak. Leg bij het schatten van inhouden ook het accent op het antwoord. Is jouw antwoord wel voor de hand liggend? Is een sporttas met een inhoud van 500 liter logisch? In deze kern gaat het om de invloed die een vergroting van een lichaam heeft op de inhoud er van. De leerlingen leren dat bij een vergroting met factor k de inhoud van het lichaam wordt vergroot met k³. Ze moeten dit verband kunnen hanteren. Hetzelfde geldt voor het verkleinen. Het gaat hier om het herkennen van F-hoeken en Z-hoeken bij evenwijdige lijnen. ICT De cd-rom laat door middel van een animatie nog eens zien wat de invloed is van de vermenigvuldigingsfactor op de oppervlakte en de inhoud. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 16
Hoofdstuk 9 Kwadratische verbanden Beginniveau De leerling kan werken met kwadraten en negatieve getallen. Kennen en kunnen - de grafiek bij een kwadratisch verband is een vloeiende gebogen lijn - kwadratische verbanden herkennen met formule of rekenschema - de voorrangsregels bij kwadrateren en vermenigvuldigen toepassen - de grafiek van een kwadratisch verband is een parabool - door het invullen van negatieve en positieve getallen een gehele parabool tekenen - de coördinaten van de top uit de grafiek kunnen aflezen - met een grafiek of rekenmachine eenvoudige kwadratische vergelijkingen oplossen - een kwadratische vergelijking kan dus twee oplossingen hebben - beoordelen of beide oplossingen in de context zinvol zijn - uit grafieken een snijpunt aflezen en met de formules controleren of het snijpunt klopt - als de coördinaten van het snijpunt niet duidelijk afleesbaar zijn, met een inklemtabel de coördinaten benaderen - het onderscheid (her)kennen tussen dalparabolen en bergparabolen Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 9 10, 11, 12, 13, 14, 15 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26 28, 29, 30, 35, 36, 37 : V1, V2, V3, V4, V5 17
Opmerkingen Algemeen Een leerling kan grafieken tekenen in een assenstelsel. Via formules wordt een kwadratisch verband ingeleid. Bij ingewikkelder vormen staat een tabel, waarin elke berekening een aparte regel krijgt. In de eerste kern blijven de grafieken beperkt tot het eerste kwadrant. Om een gehele parabool te tekenen wordt de tabel uitgebreid. Wijs de leerlingen er weer op, hoe ze een kwadraat van een negatief getal berekenen. Op de cd-rom staat een illustratieve animatie. Via het snijden van een parabool met een horizontale lijn worden kwadratische vergelijkingen ingevoerd. Het is belangrijk dat de leerling inziet, dat een kwadratische vergelijking twee oplossingen kan hebben. Ook is belangrijk dat leerlingen nagaan of beide oplossingen in een context zinvol zijn. Het zoeken van snijpunten vindt eerst plaats via aflezen en controleren. Zijn de coördinaten moeilijk afleesbaar, dan is een inklemtabel te gebruiken. Aan de formule kun je zien of de grafiek een dal- of een bergparabool is. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om het tekenen van een parabool nog eens te zien en extra te oefenen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 18
Hoofdstuk 10 Kijken, tekenen en rekenen Beginniveau Een plattegrond kunnen lezen. Kennen en kunnen - het standpunt op een plattegrond bepalen met behulp van kijklijnen - de relatie ontdekken tussen de grootte van de kijkhoek en de afstand tot een voorwerp - weten dat een aanzicht informatie over vorm en afmetingen van voorwerp verschaft - lezen van afmetingen in aanzichten - aanzichten van eenvoudige voorwerpen (af)maken - weten dat een doorsnede van een voorwerp soms nieuwe informatie verschaft - doorsneden van eenvoudige vormen - een prisma herkennen met grondvlak en hoogte - de inhoud van prisma en cilinder kunnen berekenen met de formule: Inhoud = oppervlakte grondvlak x hoogte - diagonaalvlakken en lichaamsdiagonalen tekenen in een balk - de vorm en afmetingen bepalen van diagonaalvlakken in een balk - de inhoud van piramide en kegel kunnen berekenen met de formule: Inhoud = ⅓ x oppervlakte grondvlak x hoogte Verkorte route : 1, 2, 3, 5, 6, 8 : 9, 10, 11, 12, 14, 15 : 17, 18, 19, 20, 21 : 22, 23, 24, 25, 28, 29 : V1, V2, V3, V5, V6, V8, V9, V10, V11, V13, V14 19
Opmerkingen Algemeen In dit hoofdstuk over ruimtelijke figuren gaat het meer om een verkenning. Er wordt gemeten, getekend en vooral gekeken. In het lokaal moet voldoende materiaal in de vorm van ruimtelijke figuren en plattegronden aanwezig zijn. De leerlingen weten vaak niet wat een plattegrond is. Luchtfoto's en posters van steden kunnen goede diensten bewijzen. Bij de kijkhoeken is het slechts een klein uitstapje om met leerlingen te praten over het feit dat iets 'kleiner wordt' als je er verder vandaan bent. Bij deze kern komen de aanzichten uit klas 1 weer aan de orde. Het is handig om de voorwerpen die aan bod komen van hout na te maken en in het lokaal te hebben. Voor leerlingen met minder ruimtelijk inzicht is dit een moeilijke kern. Wat voor aanzichten geldt, geldt eveneens voor doorsneden. Zorg voor veel concreet materiaal in het lokaal. De voorwerpen die op pagina 77 genoemd worden, kunnen vrijwel allemaal getoond worden. De nadruk in deze kern ligt op de formules voor de inhoud. Wijs de leerlingen er op dat deze formules alleen gelden voor lichamen waarbij de evenwijdige doorsneden dezelfde vorm en afmeting hebben. Ook hier komt concreet materiaal van pas. Een (sigaren)doos met een houten schotje dat een diagonaalvlak voorstelt, verheldert veel. Met name de vorm van het diagonaalvlak (een rechthoek bij een balk) is voor leerlingen vaak een probleem. In de tweede deelkern komen de formules voor piramide en kegel aan bod. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid hun ruimtelijk inzicht te oefenen. Onderaan pagina 72 wordt daar naar verwezen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Wijs de leerlingen erop dat deze toets niet alles kan terugvragen omdat er in dit hoofdstuk veel tekenwerk zit. Errata Op pagina 76 is onderaan de foto van een piramidewoning niet afgedrukt. 20
Hoofdstuk 11 Statistiek Beginniveau Geen specifieke vaardigheden of voorkennis. Kennen en kunnen - een lijndiagram en een staafdiagram - een pictogram en een cirkeldiagram - conclusies trekken uit diagrammen - een lijndiagram en een staafdiagram tekenen - een frequentietabel maken - een steelbladdiagram - conclusies trekken uit een steelbladdiagram - een steelbladdiagram maken - weten wat het gemiddelde en de modus zijn - weten dat het gemiddelde en de modus centrummaten heten - het gemiddelde en de modus berekenen bij een frequentietabel - de mediaan als centrummaat - mediaan kunnen bepalen bij een aantal gegevens - weten wat een steekproef is - de steekproefresultaten gebruiken voor een schatting van de hele groep - systematisch tellen in een boomdiagram of een wegendiagram - formule voor het berekenen van een kans - een kans bepalen door middel van tellen in een boomdiagram Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 : 9, 10, 11, 13, 14, 15 : 16, 17, 19, 20, 21, 22 : 25, 26, 28, 29, 32 : V1, V2, V5, V6, V7, V8, V10, V11 21
Opmerkingen Belangrijk is dat leerlingen kritisch leren kijken naar de gegevens die in dit hoofdstuk in beeld gebracht worden. In krantenartikelen of andere bladen (Metro, Spits) zijn de meeste leerlingen waarschijnlijk al eens in aanraking geweest met statistiek. Misschien levert dat al een leuke discussie op. Een leerling leert bij een groot aantal gegevens een frequentietabel te maken. Een leerling leest een steelbladdiagram en maakt zelf een steelbladdiagram. Leerlingen bepalen de drie centrummaten, voornamelijk vanuit een frequentietabel. Het gaat hier om een oppervlakkige kennismaking met kansen en daaraan gekoppelde voorspellingen. Hier ligt de basis van het tellen en berekenen van kansen. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om de theorie nog eens te herhalen. Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Wijs de leerlingen erop dat deze toets niet alles kan terugvragen omdat er in dit hoofdstuk veel tekenwerk zit. Errata (nog) geen. 22
Hoofdstuk 12 Algebra (alleen voor havo-doorstromers) Beginniveau Bekend zijn met een lettervariabele. Kennen en kunnen - optellen en aftrekken van variabelen - vermenigvuldigen van variabelen, ook in combinatie met getallen - delen met variabelen, ook in combinatie met getallen - haakjes wegwerken bij een vermenigvuldiging (boogjesmethode) - een min voor de haakjes wegwerken - dubbele haakjes wegwerken (papegaaienbekmethode) - ontbinden in factoren (met haakjes schrijven) - met behulp van de product-som-methode een drieterm ontbinden in factoren Verkorte route : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 : 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 : 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 23
Opmerkingen Algemeen In dit hoofdstuk gaat het om bewerkingen met lettervariabelen. Vervolgens moet oefenen leiden tot algebraïsche vaardigheid. Eerst wordt het optellen en aftrekken van variabelen herhaald. Via een oppervlaktemodel wordt het vermenigvuldigen van variabelen ingeleid. De omgekeerde bewerking is dan delen.. De oppervlakte wordt ook weer gebruikt voor de vorm a(x + b). De bewerking heeft tot doel het schrijven zonder haakjes. Uit het oppervlaktemodel is een vermenigvuldiging af te leiden. Daarna komen vormen met twee paar haakjes aan de orde. De omgekeerde bewerking is het buiten haakjes brengen. Product-som-methode wordt met een aantal voorbeelden ingeleid. Eerst wordt alleen met twee positieve getallen of twee negatieve getallen gewerkt, daarna volgt de bewerking met een positief en een negatief getal. ICT De cd-rom biedt de leerlingen de mogelijkheid om extra te oefenen. Helaas werken de programma's van het FI van pagina 126 niet! Op de cd-rom staat ook een diagnostische toets, vergelijkbaar met de Test jezelf uit het boek. Errata (nog) geen. 24