Dag van wiskunde Zaterdag 7 november 007 Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad Inhoudstafel pagina. Verticale samenhang leerinhouden. Zwaartepunt van een driehoek werken met formule? 3. fstand van een punt tot een rechte werken met parametervoorstelling? 4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades 5. Meetkundige problemen analytisch oplossen 6. Van goniometrische getallen naar analytische meetkunde 7. Meetkundige plaatsen 4 5 6-7 8-0 -0-3-3 nalytische Meetkunde Luc De Wilde
. nalytische Meetkunde van het vlak: tweede-derde graad SO-KSO-TSO ste leerjaar: ste graad -stroom.m. de graad: - punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen - in het vlak evenwijdige, snijdende en loodrechte rechten herkennen en definiëren - eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand van rechten verwoorden - de afstand van een punt tot een rechte definiëren - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek definiëren en tekenen met behulp van een geodriehoek - een hoogtelijn en een zwaartelijn van een driehoek definiëren - hoogtelijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen met behulp van een geodriehoek - straal, middellijn, koorde en middelpuntshoek in een cirkel herkennen en tekenen de leerjaar leerplan a - het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden - de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen alsook de omgekeerde van deze eigenschap bewijzen - het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden - de eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen alsook de omgekeerde van deze eigenschap bewijzen - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer de leerjaar leerplan b - het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden - het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer ste leerjaar SO, TSO/KSO (lpl a) de graad - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a 0 of b 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - problemen analytisch oplossen: vraagstukken, eigenschappen analytisch bewijzen (niet in SO 4u) - vectoren (niet in SO 4u, B IW, U elders TSO/KSO) nalytische Meetkunde Luc De Wilde
opmerking SO (5u): het vectorbegrip gebruiken om een vergelijking van een rechte op te stellen een rechte? parametervoorstelling van de leerjaar SO (5u) - loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte, bissectrices van een rechtenpaar - de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en) van twee cirkels - problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels) opmerking: in 4u enkel vergelijking cirkel ste leerjaar TSO (lpl b): - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a 0 of b 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - vraagstukken - vectoren (B 4+, U 4) ste leerjaar TSO (lpl c) - de leerjaar TSO/KSO (lpl d) - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a 0 of b 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - vraagstukken TSO/KSO (lpla) Vlakke analytische meetkunde 3 de graad - vectoren - loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte, bissectrices van een rechtenpaar - de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en) van twee cirkels - problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels) nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
Elementaire kegelsneden (verplicht IW, keuze elders) - Een ellips, een hyperbool en een parabool definiëren als een verzameling van punten. - De canonieke vergelijking opstellen van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de raaklijn in een punt van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de normaal in een punt van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de middellijn toegevoegd aan een richting. Krommen (keuze) - Meetkundige voorwaarden analytisch vertolken. - De baan van een punt in het vlak beschrijven met een stel parametervergelijkingen. - Een kromme tekenen als de poolvergelijking gegeven is. - Een kromme gegeven in poolcoördinaten omzetten naar zijn cartesiaanse gedaante en omgekeerd. SO (lpl a) nalytische Meetkunde (keuze) - De parabool, ellips en hyperbool als meetkundige plaatsen definiëren en hun eigenschappen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen. - Poolcoördinaten gebruiken om krommen voor te stellen. - Parametervergelijkingen gebruiken om krommen te bestuderen. - Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste vergelijking. nalytische Meetkunde B (keuze) - Punten en rechten beschrijven t.o.v. een affiene en euclidische ijk - Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste vergelijking - Punten en rechten beschrijven in het gecompleteerde vlak - ffiene eigenschappen van kegelsneden in het gecompleteerde vlak onderzoeken en toepassen - Euclidische eigenschappen van kegelsneden onderzoeken en toepassen nalytische Meetkunde Luc De Wilde 4
. Zwaartepunt van een driehoek: werken met formule? - m.b.v. tekenprogramma kunnen leerlingen exploratieopdracht uitvoeren zwaartepunt_numeriek.fig - elke leerling kan zijn/haar zwaartepunt berekenen - is er een verband tussen de coördinaten van het zwaartepunt en de coördinaten van de hoekpunten van de gegeven driehoek? - leerkracht kan, m.b.v. symbolisch programma, dit verband aantonen Beschouw hiertoe zo algemeen mogelijk een driehoek BC met ( a b) ; B( c, d ) en C( e,f ),. De drie zwaartelijnen gaan respectievelijk door c + e d + f a + e b + f a + c b + d ( a, b) en D, ; B( c, d ) en E, ; C( e, f ) en F,. In dit bewijs maken we bewust gebruik van een cartesiaanse vergelijking van een rechte y y x x = x x y! door twee punten in de vorm ( )( ) ( )( ) Men toont dan aan dat a + c + e b + d + f Z, 3 3 y. Zie zwaartepunt.dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 5
3. fstand van een punt tot een rechte: werken met parametervoorstelling? Numeriek Bepaal de afstand van het punt (,) Methode : klassieke methode P tot de rechte r x + y + 3 = 0 of y = x 3. Methode Stel Q ( t, t 3) het voetpunt van de loodlijn uit P op r. t 5 t Het punt Q heeft dan coördinaten 9 3, 5 5. Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is ( ) = De gevraagde afstand is 9 3 7 PQ = + + =. 5 5 5 waaruit 9 t =. 5 Methode 3 Deze methode steunt op de afstand als minimale afstand : Q t, t 3 het voetpunt van de loodlijn uit P op r. Stel terug ( ) = ( t) + ( 5 + t) = 5t + 8t + 6 PQ. PQ is minimaal van zodra dat PQ minimaal is (en omgekeerd). 8 9 Nu is 5t + 8t + 6 minimaal voor t = =. 0 5 Het vervolg is analoog als hierboven. Veralgemening tot uc + vd + w u + v Bepaal de afstand van het punt ( c d ) Stel Q ( t at + b) P, tot de rechte r y = ax + b, het voetpunt van de loodlijn uit P op r. at + b d Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is a = waaruit t c ad ab + c a d + ac + b Het punt Q heeft dan coördinaten,. a + a + De gevraagde afstand PQ = = ad ab a a + a c ac + b d + a + ( ac + b d ) + ( ac + b d ) ( a +) ad ab + c t =. a + nalytische Meetkunde Luc De Wilde 6
= = ( ac + b d ) a + ac + b d () a + Is een vergelijking van de rechte gegeven in de vorm ux + vy + w = 0 met v 0 u w c d u w v v uc + vd + w (dus y = x ) dan wordt () herleid tot = = (). v v u u + v + v Is een vergelijking van de rechte van de vorm ux + w = 0 (de rechte is dan verticaal), dan kan men gemakkelijk aantonen dat () geldig blijft. Een analoge opmerking geldt indien de rechte een horizontale stand aanneemt ( vy + w = 0 ). nalytische Meetkunde Luc De Wilde 7
4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades Voorbeeld : 87-88 R vraag 9 Gegeven het vierkant hiernaast. Wat geldt er voor de oppervlakten, B en C? Multiple choice open vragen? Synthetisch analytisch? Voorbeeld : 90-9 R vraag Voorbeeld 3: 95-96 R vraag 8 nalytische Meetkunde Luc De Wilde 8
Voorbeeld 4: 90-9 R vraag 9 Voorbeeld 5: 93-94 R vraag 3 opgave aanpassen? Voorbeeld 6: 98-99 R vraag nalytische Meetkunde Luc De Wilde 9
Voorbeeld 7: 95-96 R vraag 7 Voorbeeld 8: 0-0 R vraag 5 Voorbeeld 9: 04-05 R vraag 0 enz nalytische Meetkunde Luc De Wilde 0
5. Meetkundige problemen analytisch oplossen Zwaartelijn in een rechthoekige driehoek: C in een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de schuine zijde half zo lang als de schuine zijde M B Middenparallel van een trapezium: het lijnstuk dat de middens van de nietevenwijdige zijden van een trapezium verbindt is evenwijdig met de twee evenwijdige zijden en half zo lang als hun som D C N M Eigenschappen van een vierhoek: eig_vierhoek().fig in een vierhoek zijn de middens van de diagonalen en het midden van het lijnstuk dat de snijpunten van de overstaande zijden verbindt collineair D M N C E B O F nalytische Meetkunde Luc De Wilde
de lijnstukken die de middens van twee opeenvolgende zijden van een willekeurige vierhoek verbinden vormen een parallellogram eig_vierhoek().fig D H E G C F B Opgelet met: Toon analytisch de stelling van Pythagoras aan!!! Projectie-eigenschap: Projecteer elk hoekpunt van een driehoek BC loodrecht op een willekeurig gekozen rechte r. Noem de loodrechte projecties respectievelijk, B en C. projectie-eigenschap.fig C Vanuit laat je de loodlijn a neer op BC, vanuit B laat je de loodlijn b neer op C en vanuit C laat je de loodlijn c neer op B. Stel vast dat de rechten a, b en c door één punt S gaan. Toon bovenstaande vaststellingen aan op analytische wijze. Doe dit voor driehoek BC met (-,5), B (8,3) en C (3,). Welke rechte kies je voor r? a' r B B' S C' c' ' b' Cirkel van Feuerbach Maak gebruik van een tekenprogramma om de volgende opdracht uit te voeren : - Teken een driehoek BC. - Bepaal de middens van de drie zijden ( P, P en P 3 ). - Bepaal de voetpunten van de drie hoogtelijnen ( P P P ) - Bepaal het snijpunt van de hoogtelijnen (H). - Bepaal de middens van [ H] [ BH] [ CH], en 6. 7, 8 en 9. - Toon aan dat de punten P, P,..., P9 op één cirkel liggen. Bepaal het middelpunt M en de straal r van deze cirkel. Men noemt de cirkel door de negen punten P, P,..., P9 de negenpuntscirkel van Feuerbach. 4 5, en. ( P P P ) nalytische Meetkunde Luc De Wilde
De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan kan je ook op analytische wijze aantonen. Doe dit voor driehoek BC met (-5,-3), B(,5) en C(7,3). cirkel van Feuerbach.fig H P4 P8 B P6 P9 P P7 M C P P3 P5 Cirkel van Feuerbach en kegelsneden: - lle kegelsneden die de drie hoekpunten van een driehoek BC en het snijpunt H van de hoogtelijnen bevatten, zijn orthogonale hyperbolen. - De meetkundige plaats van het middelpunt van de voorgaande hyperbolen is een cirkel. - Deze cirkel gaat door de middens van de zes zijden van de volledige vierhoek BCH en door de drie diagonaalpunten, namelijk B CH, BC C en C BH. Voor meer uitleg: zie cirkel van Feuerbach.dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
Raaklijn aan een cirkel BCD is een vierkant met B = 60. P is een punt van [CD] zodat DP = 30. Q is een punt van [BC] zodat BQ = 0. raaklijn aan cirkel().fig Is de rechte PQ een raaklijn aan de cirkel met als middelpunt en straal 60? Veralgemening tot eigenschap? BCD is een rechthoek. P is een punt op [B] zodat D = P. Door P trekt men de rechte r evenwijdig met D. c is de cirkel met B als middelpunt en straal BC. Noem Q het snijpunt van r en c binnen de rechthoek BCD. raaklijn aan cirkel().fig Is de driehoek BQ rechthoekig in Q? gulden snede! Parabool en rechthoekige driehoek Men beschouwt een parabool met topvergelijking y px p,0 trekt men een rechte, niet evenwijdig met de as van de parabool, en die de parabool snijdt in de punten B en C. De rechte evenwijdig met de as door het midden van [ BC ] snijdt de topraaklijn in D. Toon aan dat de driehoek BD rechthoekig is. =. Door het punt ( ) ( p,0), BC y = m( x p). y = px B en C vinden we via y = m Bijgevolg is m ( x p) = px of ( m + ) x + m p = 0 ( x p) m x p. De som van de oplossingen van deze vergelijking is gelijk p ( m + ) p( m + ) p aan zodat x M = en y M =. m m m p Hieruit volgt dat D 0,. Rico D = en rico BC = m m m zodat beide rechten loodrecht op elkaar staan.. D parabool().fig B M F C nalytische Meetkunde Luc De Wilde 4
Parabool en concurrentie van rechten Beschouw een parabool met brandpunt F. De loodlijn l in F op de as van de parabool snijdt de parabool in de punten Q en R. De normaal in Q snijdt de parabool een tweede keer in S. Toon aan dat de raaklijn in Q, de evenwijdige door R aan de y-as en de raaklijn in S door één punt gaan. p P x = py, F 0,, d y = p snijdt de parabool in de punten p p Q p, en R p,. p - raaklijn t in Q: y = x, normaal n in Q 3p y = x +. x = py - snijpunten van n met de parabool: 3p y = x + Hieruit volgt dat x px 3p = 0. l y = p parabool().fig Q F R S Eén van de oplossingen (zie punt Q) is p zodat de andere oplossing 3p is. 9 p Bijgevolg is S 3p,. 9 p - raaklijn in S: y = 3x, de rechte door R en evenwijdig met de y-as: x = p. p y = x 3p Men toont gemakkelijk aan dat p, de enige oplossing is van x = p. 9 p y = 3x nalytische Meetkunde Luc De Wilde 5
Ellips en midden van een lijnstuk Op een ellips neemt men de toppen S en T op de grote as en een willekeurig punt P. De topraaklijn in S snijdt de rechte TP in U en de raaklijn in P aan de ellips in V. Bewijs dat V het midden is van [ SU ]. Neem bijvoorbeeld de ellips met als vergelijking x + y = 5 9. Stel P( 5 cost,3sin t). - topraaklijn in S : x = 5 x cost y sin t - raaklijn in P: + = 5 3 3sin t - rechte PT: y = ( x 5) 5cost 5 3 + 3cost - S ( 5,0), V 5, en sin t ellips().fig 6sin t 6 + cost U 5, of nog: U, cost sin t lternatieve oplossing ( ) 5. Hieruit volgt dat V het midden is van [ ] SU. Stel P ( c, d ) een punt van de ellips, dus c + d = 5 9. - topraaklijn in S : x = 5 - raaklijn in P: cx + dy = 5 9 d - rechte PT: y = ( x 5) c 5 9 - S ( 5,0) ( 5 + c) 0d, V 5, en U 5,. 5d 5 c 5d - Het midden van [ SU ] heeft coördinaten 5,. 5 c Dit punt valt samen met het punt V als en slechts als 5d d c c d ( 5 c ) = + = P Ke = 9 9 5 5 9 ( 5 c) 5 d 9 + = 5 c 5d of nog: nalytische Meetkunde Luc De Wilde 6
Ellips en cirkel Toon aan: het beeld van een brandpunt van een ellips door de spiegeling t.o.v. een willekeurige raaklijn behoort tot de cirkel die als middelpunt het andere brandpunt heeft en als straal de lengte van de grote as. ellips.fig Oplossing: zie bestand ellips().dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 7
Een ellips anders bekeken nalytische Meetkunde Luc De Wilde 8
nalytische Meetkunde Luc De Wilde 9
Hyperbool en parallellogram Op een hyperbool neemt men een willekeurig punt P. De rechten door P evenwijdig met de asymptoten van deze hyperbool vormen met deze asymptoten een parallellogram waarvan het maatgetal van de oppervlakte constant is. Toon dit aan. hyperbool().fig Q P O R Oplossing: zie bestand hyperbool().dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 0
6. Van goniometrische getallen analytische meetkunde Beschouw de goniometrische cirkel We verkrijgen: cost ( cos t,0) ; B( 0,sin t) ; C(, tan t) ; D( cot t, ); E,0 en F 0, sin t Een analoge constructie m.b.v. een cirkel met straal r levert dan: r r ( r cos t,0) ; B( 0, r sin t) ; C( r, r tan t) ; D( r cot t, r) ; E,0 en F 0, cost sin t Bovenstaande resultaten zijn een uiterst handig hulpmiddel voor de volgende constructies: x = a cost x y - ellips: met t [ 0,π [ ; + = y = bsin t a b x cost y sin t - raaklijn in een punt van een ellips aan die ellips + = : deze rechte snijdt de a b a x-as in S,0 cos t nalytische Meetkunde Luc De Wilde
a x = cost y = b tan t - hyperbool: en t [ 0,π [ π 3π x y \, ; = a b x y tan t - raaklijn in een punt van een hyperbool aan hyperbool = : deze rechte a cost b snijdt de x-as in S ( a cost,0). Zie hiervoor de bestanden: ellips_parametervgln.fig raaklijn ellips.fig hyperbool_parametervgln.fig raaklijn hyperbool.fig 7. Meetkundige plaatsen nalytische Meetkunde Luc De Wilde
Meetkundige plaats Gegeven is een parabool met top T. Op deze parabool neemt men een variabel punt. De raaklijn a in aan de parabool snijdt de raaklijn t in de top in het punt B. Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van de omgeschreven cirkel van de driehoek TB. Neem voor de eenvoud de parabool met als vergelijking MP.fig y = x 4 x² - y + = 0 x² - 4 y = 0 S T B x P y = 4 t t T ( 0,0), t,,,0 4 B middelloodlijn TB : x = t, 4 t t midden T,, 8 4 t middelloodlijn T : y = x + + t 8 eliminatie: y = x + t rico T = 4 Meetkundige plaats nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
Op een cirkel met straal r neemt men de vaste middellijn B en één variabel punt P. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt Z van de driehoek BP als P de cirkel doorloopt. MP.fig P S B Stel ( r, 0) ; B( r,0) en P( c, d ) met c + d = r. c c d x = 3 Voor het zwaartepunt geldt: Z,, m.a.w.:. 3 3 d y = 3 De parameters c en d elimineren we via de verbindingsvergelijking meetkundige plaats van het zwaartepunt wordt gegeven door Meetkundige plaats 3!!! c + d = r zodat de r x + y =. 9 Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. De rechte t raakt aan C in het punt.. Er zijn vier punten die zowel op afstand cm van t als op afstand cm van c liggen. Construeer deze vier punten.. Bepaal de meetkundige plaats van de punten die even ver van t als van c liggen. constructie analytische uitwerking!!! MP3.fig nalytische Meetkunde Luc De Wilde 4
t P W Q V PQ = 3 en V en W (spiegelbeeld van W t.o.v. Q) fungeren als schuifpasser. Stel M(0,0), c x + y = 9, y = 3 t en ( 0, 3). Een punt P(x,y) ligt op de meetkundige plaats als en slechts als d P, t = 3 (P binnen de cirkel) of d ( P, t) = MP 3 (P buiten de cirkel). ( ) MP Dit betekent dat y + + 3 = 3 x y of + 3 = x + y 3 y en dus x + y = 3 y + 3 of x + y = 3 + y + 3. Is y 3 dan volgt hieruit dat x + y = 6 + y Bijgevolg: x of 36 = y x + y = y mits 6 3 y (enkel voor (, 3) 0!) of x = 0 mits y 3. Is y 3 dan volgt hieruit dat x + y = y of x + y = 6 + y x 36 Bijgevolg: x = 0 mits 3 y 0 of = y mits y 3 36 Samengevat: x = 0 voor y 0 ; y = x voor y 3. 36 Merk op dat y = x een parabool is met brandpunt het punt M en als richtlijn de rechte met als vergelijking y = 6. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 5
Meetkundige plaats 4 Constructieopdracht Een driehoek BC heeft twee vaste hoekpunten en B terwijl het hoekpunt C zich verplaatst op een vaste rechte evenwijdig met B. Bepaal de meetkundige plaats van - het zwaartepunt van deze driehoek (MP4_Z.fig), - het hoogtepunt van deze driehoek (MP4_H.fig), - het middelpunt van de omgeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_M.fig) - het middelpunt van de ingeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_I.fig). Neem bijvoorbeeld (-4,0), B(4,0) en C(t,4) Z: 4 y = 3 C F E S D B H: y = x + 4 4 C H B M: x = 0 nalytische Meetkunde Luc De Wilde 6
C M B I: y + ( 6 x ) y + x 3 = 0 C I B Oplossing: zie bestand MP4.dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 7
Meetkundige plaats 5 link met projectieve kegelsneden Gegeven is een vaste driehoek BC. De rechte r is een variabele rechte evenwijdig met de zijde B van de driehoek. Het snijpunt van r met BC is het punt D en het snijpunt van r met C is E. We bepalen de meetkundige plaats van het snijpunt S van de rechten D en BE. We veronderstellen stilzwijgend dat r verschillend is van B. MP5.fig C B S E P D Neem bijvoorbeeld (,0), B( 3,0) en C( 0,4). De rechte r heeft als vergelijking y = t. Hieruit volgt: 3t t 4 D, t en E, t 4 tx + 3t 0 y + 8t = 4 Eliminatie t levert y = 8 x + 4. Uitgebreide uitwerking: zie bestand MP5.dfw, D ( ) 0 en tx + ( 0 t) y 6t = 0 BE. Link met projectieve kegelsneden: de gevraagde meetkundige plaats kan ook beschouwd worden als de poollijn van het punt B ten opzichte van de ontaarde kegelsnede bepaald door de rechten C en CB. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 8
Meetkundige plaats 6 x y Beschouw de ellips K e + =, T is de top met coördinaten (-a,0). b a De loodlijn uit een willekeurig punt P van de ellips K e op de x-as snijdt deze x-as in het punt Q. Noem s de rechte door P en evenwijdig met de x-as. De rechte r door Q en evenwijdig met de rechte TP snijdt de rechte s in een punt S. Toon aan: de meetkundige plaats van de punten S, als P de ellips doorloopt, is de ellips met x a 4a vergelijking ( ) + = MP6.fig y b. c d d P, met + =, voor Q geldt: Q ( c,0), rico TP = met a + c 0. b a a + c d y = ( x c) S a + c. y = d Uit dit stelsel halen we c en d en we substitueren de verkregen resultaten in de x a c d c = verbindingsvergelijking + = : b zodat ( ) x a y + =. a 4a b d = y Stel ( c d ) nalytische Meetkunde Luc De Wilde 9
Meetkundige plaats 7 Beschouw een willekeurige rechte l door de oorsprong die de cirkel c = x + y a snijdt in een punt P en de cirkel c x + y = b in een punt Q. Men construeert de raaklijn p in P aan c en de raaklijn q in Q aan c. De rechte p snijdt de x-as in een punt R en de rechte q snijdt de y-as in een punt S. Door R tekent men een evenwijdige r met de y-as en door S tekent men een evenwijdige s met de x-as. De rechten r en s snijden elkaar in het punt T. Bepaal de meetkundige plaats van het punt T als l om de oorsprong wentelt. MP7.fig a x = cos t a b Voor het punt T geldt dat. Hieruit volgt dat + = een vergelijking is van de b x y y = sin t gevraagde meetkundige plaats. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 30
Meetkundige plaats 8: trifolium van de Longchamps Gegeven zijn twee vaste punten O en en een rechte l die O bevat. De orthogonale projectie van op l is B. Bepaal de meetkundige plaats van de orthogonale projectie P op l van het symmetrisch punt C van B ten opzichte van de rechte O als l rond O wentelt. MP8.fig We redeneren voor de eenvoud in het eerste kwadrant. Neem O in de oorsprong en O = a. De rechte l heeft als cartesiaanse vergelijking y = x tanθ. Voor het punt B geldt (polair): B ( a cosθ,θ ). Bijgevolg is C ( a cosθ, θ ) waardoor P ( a cosθ.cos θ, θ ) (te verkrijgen via een eenvoudige redenering in de rechthoekige driehoek OPC). De gevraagde meetkundige plaats heeft als poolvergelijking r = a cosθ.cos θ. O P B C l Om een cartesiaanse vergelijking van r = a cosθ.cos θ te vinden merken we vooraf op dat deze kromme de pool O bevat. 4 a cosθ.cos θ r = ar cosθ. r cos θ r r = ( ) ( x + y ) = ax. ( x y ) nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
Meetkundige plaats 9 Gegeven zijn de vaste punten O en. Beschouw de cirkel c met diameter O en de raaklijn t aan c in. Een variabele rechte l door O snijdt c in C en t in B. Bepaal de meetkundige plaats van het midden P van [ BC ]. MP9.fig We redeneren voor de eenvoud in het eerste kwadrant: Stel O ( 0,0) en ( a,0). De variabele rechte l gaat door het punt C ( a cosθ,θ ) (redeneer in de rechthoekige driehoek OC). a Voor het punt B geldt: B cosθ,θ. De gevraagde meetkundige plaats heeft als a poolvergelijking r = cosθ +. cosθ Een analoge redenering in het vierde kwadrant leidt tot eenzelfde resultaat. O c C P t B Een cartesiaanse vergelijking vinden we als volgt: a a x r uit r = cosθ + volgt dat r = + of cosθ r x r x = a x + r. x + r r = a zodat rx ( ) Bijgevolg verkrijgen we als cartesiaanse vergelijking ( x y ) x = a( x + y ) Opmerking +. Het is heel wat moeilijker om de gezochte meetkundige plaats te bepalen ten opzichte van een cartesiaans assenstelsel. We illustreren dit met behulp van het bestand MP9.dfw. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3