Utwerkngen tentamen Statstek voor TeMa Maandag 8-3-4. Opgave a. Model: Y = β + β* x+ ε met ε ~ Nd(, σ ) Y s het energeverbruk, x s de omgevngstemperatuur.. Volgens het scatterplot n de bjlage ljkt er sprake te zjn van een lnear verband tussen Y en x. De puntenwolk vertoont echter een utwaaerend patroon wat er op wjst dat mogeljk de varantes net constant zjn. b. ˆ β = 55.49 ˆ β =.676 σ = MS e = 95.56 De geschatte regresseljn s dus: y = 55.49 +.676x Is het model sgnfcant? H : β = (model s sgnfcant) c. H : β Toetsngsgroothed: MS reg = onder MSe H : De p-value van de toets bedraagt.5 dus H wordt verworpen. Alternatef: Toetsngsgroothed: ˆ β T = onder H : T t MSE Sxx De p-value van de toets bedraagt.5 dus H wordt verworpen. n xx = ( ) = ( ) x = *9.7=36.9 = s x x n s 95% betrouwbaarhedsnterval: voor β : ˆ MSE β ± t,.5 Sxx.676 ±.8*.474 oftewel.676 ±.56 <.6 ;.73 > d. 95% predcte-nterval: ˆ ˆ (5 x) β + 5 β± t,.5 MSE ( + + ) n S (5 3.9) 97.39 ±.8* 95.56( + + ) oftewel 97.39 ± 4.54 36.9 < 55.78 ; 338.87 > Een 95% predcte-nterval s een nterval waarbnnen een toekomstge ndvduele waarde met een vertrouwen van 95% lgt. Een 95% betrouwbaarhedsnterval s een nterval waarbnnen een verwachte waarde met een vertrouwen van 95% lgt. Een 95% predcte-nterval s dus breder dan een 95% betrouwbaarhedsnterval. SS reg 37.9 e. R = = =.56 SStot 6656.5 56% van de varate wordt verklaard door het model: dt s aan de krappe kant.. Het ljkt op grond van deze waarde znvol om op zoek te gaan naar meerdere factoren. xx
Onjust: een model kan zeer sgnfcant zjn (wanneer het bjvoorbeeld slechts een deel van de relevante varabelen bevat), terwjl de ft onvoldoende s (klene R ). f. Model ---(verwjder Pactef) Model ---(verwjder Zuverh) Model5
Opgave a. H : er s geen verband tussen botontkalkng en behandelng. H : er s een verband. ( obsj expj ) Toetsngsgroothed: V =, j expj Onder H : V ~ χ 4 Beslssngscrterum: verwerp H als v > χ 4,.5 v = 8.6 χ 4,.5 = 9.49 Dus H wordt verworpen. Voorwaarde voor de toets s dat alle exp j groter of geljk aan 5 zjn; heraan s voldaan. GROEP * Calcumgehalte Crosstabulaton GROEP Total Controle ysotherape Gymnastek Adjusted Resdual Adjusted Resdual Adjusted Resdual Calcumgehalte Afname Overanderd Toename Total 38 5 7 6,5 3, 4,4 6, 4,9 -,6 -,7 3 6 7 6,3 7, 6,8 7, -,3,5 -,3 5 3 5 7 6,3 7, 6,8 7, -3,4,9,8 75 77 48 75, 77, 48,, ( obs3, exp3,) ( 5 6.5) = = 4.78 exp3, 6.3 * obs(3,) exp(3,) b. r3, = exp(3,)( kolprop)( rjprop) 5 6.3 = 3.45 7 75 6.3*( )( ) Opvallend: (controle,afname) veel hoger dan verwacht bj onafhankeljkhed (controle,toename) veel lager dan verwacht bj onafhankeljkhed (gymnastek,afname) veel lager dan verwacht bj onafhankeljkhed (gymnastek,toename) veel hoger dan verwacht bj onafhankeljkhed c. Sgnfcante geeft de mate van vertrouwen aan n het bestaan van een verband tussen de twee varabelen, terwjl een assocatemaat de kracht (en soms de rchtng) van deze relate utdrukt. Assocatematen voor ordnale varabelen zjn net van toepassng. Van toepassng zjn Ph, Cramer s V en de Contngency coeffcent met waarden resp..375,.65,.35. Deze waarden duden op een gematgd sterke assocate. 3
Opgave 3 a. Model Y = µ + τ + ε =..3, j =..4 j j met ε ~ Nd(, σ ), Y j s de verbeterng van apparaat bj test j 4 = j τ =, τ s het effect van apparaat. ANOVA resultaat Between Groups Wthn Groups Total Sum of Squares df Mean Square Sg. 9,5 45,5,369 >.5 97,5 9 33,56 388, b. Zj τ, =,,3 het verwachte effect van apparaat. Dan: H : τ = τ = τ (geen verschl tussen de apparaten) 3 H :net H Toetsngsgroothed: Verwerp H als f =.369 f > f 9,.5 f 9,.5 = 4.6 MS between = onder MSe H : 9 Dus wordt H net verworpen. Er zjn dus geen sgnfcante verschllen tussen de apparaten. σ = MS e = 33.56 95%-betrouwbaarhedsnterval voor µ µ s ( x x) ± t9;.5 MS e ( + ) 4 4 (9.5 4) ±.6* 4.65 oftewel 4.75 ± 9.97 <-3.947, 4.446> Concluse: geen sgnfcant verschl tussen apparaat en. c. Het opnemen van de blokfactor Persoon elmneert de varate n de data t.g.v. de verschllen tussen de proefpersonen. Een nadeel s dat blockng mnder (6) vrjhedsgraden overlaat voor de error-kwadratensom (9 zonder blockng). Model: Yjk = µ + τ + β j + εj =..3, j =..4 met ε ~ Nd(, σ ), Y j s de verbeterng van apparaat bj proefpersoon j. j τ s het effect van apparaat, 3 4 τ = β = = j= j β j s het blokeffect van proefpersoon j. 4
d. Dependent Varable: resultaat Source PERSOON TYPE Error Corrected Total Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum of Squares df Mean Square Sg. 6,667 3 86,889 4,54 <.5 9,5 45,5 7,37 <.5 36,833 6 6,39 388, H : τ = τ = τ (geen verschl tussen de apparaten) 3 H : τ mnstens één. Toetsngsgroothed: Verwerp H als f = 7.37 f > f 6,.5 f 6,.5 = 5.4 MS type = onder MSe H : 6 Dus wordt H verworpen. Er zjn dus nu wel sgnfcante verschllen tussen de apparaten. Verder s het blokeffect ook sgnfcant. Bljkbaar heeft blockng zn gehad. e. De toets van redman kan her worden gebrukt. proefpersoon type A type B type C 6 6 6 3 3 7 4 8 9 36 Rangnummers.p.v. waarnemngen proefpersoon type A type B type C 3 3 3 3 4 3 Rangsommen 4 9 H : µ = µ = µ 3 (geen verschl tussen de apparaten) H :net H 3 Toetsngsgroothed: S = ( R. * 4(3 + ) ) = Verwerp H als s 6 (compendum) s = ( 4 8) + ( 9 8) + ( 8) = 6 Dus wordt H (net) verworpen. De apparaten verschllen dus sgnfcant. 5
Opgave 4 Ut de grafsche utvoer bljkt dat de verschllen waarschjnljk net afkomstg zjn ut een normale verdelng. Het vermoeden voor een afwjkng van normaltet wordt nog eens bevestgd door de Normal Probablty plot. In formele zn wordt de nulhypothese van normaltet verworpen door de toetsen van Shapro-Wlks en Kolmogorov-Smrnov. Verder s door de klene steekproefomvang de Centrale Lmetstellng net van toepassng Het gebruk van de gepaarde t-toets s dus net verantwoord. Bljven over de Rangtekentoets van Wlcoxon en de Tekentoets. Vanwege het hogere onderschedngs vermogen van de Rangtekentoets kezen we dus voor de Rangtekentoets. verschllen -.9.6.5.5. -.8.75...65 rangen 6.5.5 9 8 4.5 4.5 7 H : µ A = µ B H : µ A > µ B Toetsngsgroothed: W + de rangsom van de posteve verschllen. Verwerp H als w + w R,.5 w + = 36 wr + wl = ** = 55 wl,.5 = wl,.( tweezjdg) = 3 (compendum) Dus wr = 55 3 = 4 Concluse: H wordt net verworpen. 6