Dyscalculie Erkenning, Criteria en Oorzaken Bachelorthese Ontwikkelingspsychologie Route Schoolpyschologie Petra de Waard 0356107 Docent: prof. dr. H.L.J. van der Maas Aantal woorden: 6296
'Daar waar de leerling zwak is, zal de omgeving sterk moeten zijn.' Wied Ruijssenaars in 'Leerproblemen in het middelbaar onderwijs (Aangehaald in Balans Belicht, 2002) 1
Abstract In de ontwikkelingspsychologie is er veel discussie over de stoornis dyscalculie. In het basisonderwijs wordt de diagnose steeds vaker gesteld en veel instanties geven ook verklaringen af. De vraag is of dyscalculie een ontwikkelingsstoornis is die erkend moet worden en wat daar de gevolgen van zijn. Wanneer dyscalculie een stoornis is hebben deze kinderen met een diagnose dan recht op compenserende maatregelen? Het is van belang deze stoornis specieker te definiëren. In deze these wordt gezocht naar een verklaring voor de rekenproblemen die kinderen met dyscalculie ondervinden. De normale rekenontwikkeling wordt vergeleken met de rekenontwikkeling van kinderen met dyscalculie. Vervolgens komen de mogelijke achterliggende factoren aan bod. Concluderend kan gezegd worden dat dyscalculie een stoornis is die een neuro(psycho)logische basis heeft en gedeeltelijk erfelijk bepaald is. Aangezien dit overeenkomt met de leesstoornis dyslexie, is het aannemelijk dat kinderen met dyscalculie ook recht hebben op compensaties. In deze these zullen suggesties gedaan worden voor het diagnosticeren van dyscalculie en het bieden van passend onderwijs aan deze kinderen. 2
Inhoudsopgave 1. Inleiding 4 1. Wat is dyscalculie? 4 2. Rekenprobleem of rekenstoornis? 5 3. Dyscalculie als stoornis 6 4. Vraagstelling 6 2. De ontwikkeling van het rekenen 8 1. Systemen 8 2. Rekenstrategieën 9 3. Processen 11 3. De ontwikkeling van het rekenen bij kinderen met dyscalculie 12 1. Systemen 12 2. Strategieën & fouten 14 3. Processen 16 4. Kritiek 16 4. Onderliggende factoren van dyscalculie 17 1. Het cognitieve aspect 17 2. Het neuro(psycho)logische aspect 19 3. Het genetische aspect 20 5. Conclusie 22 1. Mogelijke oorzaken dyscalculie 22 2. Criteria en diagnose 23 6. Literatuurlijst 25 1. Inleiding 3
'Leerlingen met dyscalculie moeten niet denken hetzelfde recht op compensaties te kunnen claimen als leerlingen met dyslexie zo meldde het ministerie van onderwijs in juli 2001 ferm in de pers (aangehaald in Balans Belicht, 2002). Hoe weet het ministerie dit zo zeker? Dyslexie staat bekend als een leesstoornis waardoor kinderen die deze stoornis hebben extra hulp of tijd krijgen (Hale & Fiorello, 2004). Op deze manier wordt er voor gezorgd dat deze kinderen in het normale onderwijs mee kunnen doen aan toetsen en examens. Kinderen met dyslexie ondervinden veel problemen in het lezen en schrijven. Dit belemmert de normale ontwikkeling van vele vaardigheden. Toch wordt er vaak gediscussieerd of de diagnose niet te snel gesteld wordt. Het lijkt soms een mode verschijnsel, veel meer kinderen zijn tegenwoordig dyslectisch. Nu lijkt er een volgende trend op te komen; dyscalculie. De DSM IV, het handboek van psychische stoornissen, beschrijft dyscalculie als: 'rekenvaardigheden die duidelijk beneden het verwachte niveau liggen, met inachtneming van de leeftijd, de intelligentie en het gevolgde onderwijs, leidend tot flinke problemen op school of in het dagelijks leven en zonder dat dit het gevolg is van zintuiglijke tekorten'. Dyscalculie is volgens de DSM IV dus, net als dyslexie, een stoornis die de ontwikkeling en het leren ernstig in de weg kan staan. 1.1 Wat is dyscalculie? Volgens Ruijssenaars (2004; aangehaald in Diagnosticeren van Dyscalculie 1, 2008) kan dyscalculie gedefinieerd worden als: een stoornis gekenmerkt door hardnekkige problemen met het leren en het accuraat/vlot oproepen en toepassen van reken- /wiskundige kennis. Om deze stoornis vast te stellen heeft de OBD Noordwest 2 een aantal criteria ontwikkeld die belangrijk zijn bij de diagnose dyscalculie. Als eerste kijkt de OBD of er sprake is van een ernstige rekenachterstand. De leerlingen presteren ruim onder de norm en laten nauwelijks verbetering zien. Deze achterstand is dus een hardnekkig probleem. Om de hardnekkigheid vast te stellen is het van belang dat de 1 Diagnosticeren van Dyscalculie is het voorlopig protocol om dyscalculie vast te stellen van OBD Noordwest. 2 OBD Noordwest is de onderwijsbegeleidingsdienst in de kop van Noord Holland. Sinds begin 2008 proberen zij een diagnostisch instrument te ontwikkelen om dyslcalculie vast te stellen. De informatie over dit diagnostisch instrument van OBD Noordwest is verkregen via een praktijkstage en gesprekken met 4
leerling vanaf het begin intensief gevolgd wordt en dat er bij problemen voldoende ondersteuning wordt geboden. Ten tweede moet er sprake zijn van een groot contrast tussen de rekenprestaties en de verstandelijke capaciteiten. Bij dit aspect zal er dus een indicatie gevormd moeten worden van het intelligentie niveau. Om een eventuele diagnose te stellen moet de leerling beschikken over een gemiddeld intelligentieniveau. Naast het intelligentieniveau zal er ook gekeken worden naar de prestaties op andere schoolvakken. Wanneer deze resultaten sterk verschillen van de prestaties op het rekenen kan dit een indicatie zijn voor dyscalculie. Uiteraard hebben de rekenproblemen niet te maken met een andere stoornis. De medewerkers van de OBD zijn nog volop in discussie over de andere criteria; waar moet precies naar gekeken worden tijdens het rekenproces? Wat zijn typische fouten voor een kind met dyscalculie? 1.2 Rekenprobleem of rekenstoornis? Er moet een duidelijk onderscheid gemaakt worden tussen rekenproblemen en een rekenstoornis. Er zijn veel kinderen die rekenen moeilijk vinden en er ook veel voor moeten doen. Hier hoeft nog geen sprake te zijn van een stoornis. Bij kinderen met rekenmoeilijkheden ligt de oorzaak buiten het kind zelf (Desoete, 2003). Er is dan sprake van belemmerende factoren, bijvoorbeeld andere stoornissen of slechte omgevingscondities. Sinds een aantal jaren worden rekenproblemen steeds vaker als dyscalculie getypeerd (Nelissen, 2004). 6 tot 7 % van alle kinderen heeft dyscalculie, dit betekent dat gemiddeld in elke klas 1 kind deze stoornis heeft (Desoete, 2003). Het meest interessante aan dyscalculie zijn de kinderen die deze diagnose krijgen ondanks een bovengemiddelde intelligentie. Hoe is het immers mogelijk dat iemand die intelligent is, problemen oplost, analyseert, reflecteert en formaliseert, toch slecht is in wiskunde/rekenen terwijl juist in dit vak deze vaardigheden een centrale rol spelen? (Nelissen, 2004). Naast dyscalculie kan er ook sprake zijn van acalculie. In dit geval is het kind normaal ontwikkeld wat betreft rekenkundige vaardigheden, maar door een beschadiging in de hersenen heeft het kind deze capaciteiten verloren. Wanneer de hersenen medewerkers van de OBD. 5
beschadigd zijn door ziekte of een ongeluk, dan resulteert dit vaak in te korten in het cognitief functioneren (McClosky, 1992). Als de rekenkundige vaardigheden na een ziekte of ongeluk minder zijn geworden of geheel zijn verdwenen terwijl deze eerst wel aanwezig waren, dan is er sprake van Acalculie. In deze these wordt voornamelijk aandacht besteed aan ontwikkelings dyscalculie (developmental dyscalculia). Onderzoek naar acalculie zal echter wel ter sprake komen in het licht van onderzoek naar de mechanismen die bij het rekenen opereren. 1.3 Dyscalculie als stoornis Het uitgangspunt om dyscalculie wel als een stoornis te zien en dus te concluderen dat deze kinderen wel degelijk recht hebben op compensaties en hulp is gebaseerd op een aantal argumenten (van Luit & Ruijssenaars, 2004). In de eerste plaats wordt het psychologisch functioneren door dyscalculie nadelig beïnvloed. In het dagelijks leven komen mensen veel zaken tegen waarbij het begrip van getallen en cijfers noodzakelijk is. Bijvoorbeeld het omgaan met geld of het klok kijken. In de tweede plaats zijn er aanwijzingen dat dyscalculie een erfelijke basis heeft (Geary, 2004; aangehaald in Siegler & Wagner, 2005). Dit is ook het geval bij de stoornis dyslexie. Uit het onderzoek van Badian (1999) blijkt dat er tussen dyscalculie en dyslexie ook een redelijke samenhang bestaat (r =.39). Aangezien dyslexie als een ontwikkelingstoornis gezien wordt, suggereert deze samenhang dat ook dyscalculie een stoornis is (van Luit & Ruijssenaars, 2004). 1.4 Vraagstelling In deze these wordt een antwoord gezocht op de vraag: wat zorgt ervoor dat de rekenontwikkeling bij kinderen met dyscalculie stagneert of onderontwikkeld is in vergelijking met kinderen die geen dyscalculie hebben? Zoals Geary (1993) in zijn review over rekenstoornissen aangeeft is het belangrijk om naar de componenten te kijken die het rekenproces beinvloeden. Volgens hem zijn er drie essentiële componenten; de cognitieve component, de neuro(psycho)logische component en de genetische component. Deze drie zullen in deze these alle aanbod komen. Om de hoofdvraag te beantwoorden wordt eerst gekeken naar de normale ontwikkeling van het 6
rekenen. Vervolgens wordt gekeken naar de tekorten in de rekenvaardigheden bij kinderen met dyscalculie. Tot slot worden de mogelijke onderliggende factoren van dyscalculie besproken. Wanneer er een antwoord gevonden wordt op deze vraag, is het mogelijk om dyscalculie als een stoornis te erkennen. Als dit het geval is, dan zullen kinderen met dyscalculie wel degelijk recht hebben op compenserende maatregelen. Aan de hand van de onderliggende factoren zou een diagnostisch instrument ontwikkeld kunnen worden, zodat dyscalculie gesignaleerd en gediagnosticeerd kan worden. Ook is het belangrijk duidelijke criteria vast te stellen, zodat dyscalculie niet onterecht vastgesteld wordt. 7
2. De ontwikkeling van het rekenen Om de onderliggende processen van de rekenvaardigheid te begrijpen is het belangrijk te onderzoeken hoe rekenvaardigheden zich ontwikkelen. Wanneer er gekeken wordt naar de normale rekenontwikkeling van kinderen zijn er systemen, strategieontwikkeling en processen tijdens het rekenen. In dit hoofdstuk komen deze onderwerpen achtereenvolgens aan de orde. 2.1 Systemen McCloskey, Caramazza & Basili (1985) maakten als één van de eersten onderscheid tussen het nummerverwerking systeem (number processing system) en het calculatie systeem (calculation system). Zij veronderstellen op basis van eerder onderzoek dat de mechanismen voor getalbegrip en getalproductie los van elkaar staan. Door middel van observaties bij patiënten met een hersenbeschadiging hebben ze dit model ondersteund. Deze resultaten hebben McCloskey et al. (1985) vergeleken met eerder onderzoek naar dyscalculie. Het model is nog steeds een basis om de cognitieve architectuur achter het rekenproces in te delen (Temple & Sherwood, 2002) 2.1.1 Het nummer-verwerking systeem Het nummer-verwerkingssysteem bevat mechanismen voor het getalbegrip en de productie van getallen (Temple & Sherwood, 2002). McCloskey et al. (1985) maken onderscheid tussen lexicale verwerkings- (lexical processing) en syntactische verwerkings- (syntactic processing) componenten. De lexicale verwerkingscomponent bevat het begrip of de productie van de individuele elementen in een nummer. De syntactische verwerkingscomponent bevat het verwerken van relaties tussen de elementen om vervolgens een getal als geheel te begrijpen of te produceren. Bijvoorbeeld het getal 3726. Bij dit getal is lexicale verwerking nodig om toegang te krijgen tot de betekenis van de cijfers 3, 7, 2 en 6. De syntactische verwerking gebruikt de posities van de cijfers om vast te stellen dat het getal bestaat uit drie duizenden, zeven honderden enzovoorts. Tot slot maken zij in de lexicale verwerking mechanismen van het verbale getalsysteem ook onderscheid tussen twee componenten. Enerzijds is er een component 8
voor het produceren of begrijpen van gesproken getallen (phonological-processing components) en anderzijds een component voor het produceren of begrijpen van geschreven getallen (graphemic-processing components). McCloskey et al. (1985) hebben ook onderzocht of er een verschil is tussen het begrijpen van numerieke en verbale getallen wanneer beide visueel gepresenteerd worden. Zij boden een patiënt twee getallen aan waarvan de patiënt moest aangeven welke het grootst was. Wanneer de patiënt deze getallen numeriek kreeg aangeboden (4 vs 3) maakte hij geen enkele fout. Dit lijkt te duiden op een intact getalbegrip. Maar wanneer de patiënt dezelfde taak kreeg alleen dan met verbale getallen (vier vs drie), presteerde hij zwak. Hieruit blijkt dat er zelfs onderscheid gemaakt kan worden tussen de twee componenten wanneer getallen verbaal en numeriek visueel gepresenteerd worden. 2.1.2 Het calculatie systeem Het model van het calculatie systeem bevat drie componenten. McCloskey et al. (1985) veronderstellen dat er voor het calculeren cognitieve mechanismen nodig zijn. Deze worden gezien als een toevoeging aan de nummerverwerkings mechanismen. Als eerste moeten de operationele symbolen of woorden verwerkt kunnen worden. Symbolen verwijzen bijvoorbeeld naar het + teken en in woorden zou dat 'plus' zijn. Vervolgens zijn er cognitieve mechanismen die het ophalen van rekenkundige feiten mogelijk maken. Als laatste zullen de cognitieve mechanismen het uitvoeren van calculatie procedures in werk stellen (McCloskey et al. 1985). 2.2 Rekenstrategieën Siegler heeft veel onderzoek gedaan naar de manier waarop kinderen strategieën gebruiken en deze kiezen (Siegler & Wagner, 2005). Kinderen van vijf jaar oud gebruiken al verschillende strategieën om basis optelproblemen (zoals 3 + 5) op te lossen. Soms tellen deze kinderen vanaf één (count from one stategy). Dit houdt in dat ze op hun ene hand de vingers omhoog houden die het eerste getal representeren en op de andere hand het aantal vingers wat het tweede getal representeert. Vervolgens tellen ze de opgestoken vingers van beide handen. Ook kan het zijn dat ze hun vingers op steken en het aantal opgestoken vingers herkennen, zonder te tellen. Andere keren halen ze een 9
antwoord op uit het geheugen. Sommige kinderen kennen ook nog een andere strategie, de optelstrategie (the count on strategy). Kinderen die deze strategie gebruiken kiezen eerst het grootste getal van de som en tellen dan vanaf dat punt het aantal van het kleinste getal door (Siegler & Wagner, 2005). Het is niet zo het ene kind één van deze strategieën gebruikt en het andere kind de ander. Bijna alle kinderen gebruiken meerdere strategieën. De keuzes van deze strategieën die kinderen maken zijn adaptief op verschillende manieren. Bij simpele problemen halen ze informatie op uit het geheugen (retrieval), dit is de snelste strategie. Bij moeilijke problemen gebruiken ze meer tijdrovende en minder risicovolle strategieën. Kinderen zijn geneigd een strategie te kiezen waarvan ze weten dat die vergeleken met andere aanpakken het beste werkt. Na verloop van tijd gebruiken kinderen steeds meer efficiënte strategieën, zoals bijvoorbeeld het ophalen uit het geheugen en de optelstrategie. Het gebruik van minder efficiënte strategieën neemt af (schatten en het tellen vanaf één). Ook verwerven ze nieuwe strategieën, zoals decompositie. Hierbij wordt eerst informatie opgehaald uit het geheugen en vervolgens zal het kind verder rekenen door op te tellen (partial sum). Wanneer de kinderen bijvoorbeeld de som 6 + 7 voorgelegd krijgen, zullen zij eerst het concept '6 + 6 = 12' uit het lange termijn geheugen ophalen. Vervolgens tellen zij er één bij op en komen zij zo tot het juiste antwoord (Siegler & Wagner, 2005). Maar welke type mechanisme produceert strategie keuzes? Sieglers model (Shrager & Siegler, 1998) verdeelt het informatieproces systeem in representaties en processen. De representaties bevatten feitelijke informatie en data: de processen opereren op de representaties om gedrag te produceren. Op rekenkundig gebied betekent dit dat de representaties associaties bevatten tussen problemen en mogelijke antwoorden daarop. De processen zijn de strategieën zoals het tellen vanaf één, het optellen en het ophalen uit het geheugen. Deze processen lossen de problemen op door de data in de representaties te gebruiken. Samengevat verloopt de vooruitgang van het gebruik van strategieën vanaf het tellen op de vingers met gebruik van de optelprocedure, naar verbaal tellen en uiteindelijk tot het direct ophalen uit het geheugen. Bij de laatst genoemde zullen kinderen een antwoord opnoemen wat in het lange termijn geheugen geassocieerd is met het probleem 10
wat gepresenteerd werd (Siegler, 1987; aangehaald in Geary, 1993). Het model van Siegler richt zich enkel op de strategiekeuzes. Het blijft onduidelijk hoe en wanneer de strategieën precies ontstaan. 2.3 Processen Simpele rekenkundige problemen worden opgelost aan de hand van op het geheugen gebaseerde processen (memory-based processes). Hiertoe behoren het direct informatie ophalen uit het geheugen, decompositie en de vingerstrategie (Geary & Hoard, 2001). Het gebruik van processen gebaseerd op het geheugen lijken te volgen uit het gebruik van tel-procedures. Dus het vaak gebruiken van tel-procedures leidt tot de formatie van associaties tussen problemen en antwoorden. De probleem/ antwoord associaties zorgen voor de basis van decompositie, de vingerstrategie en informatie direct uit het geheugen ophalen (Siegler, 1996; aangehaald in Geary & Hoard, 2001). Vervolgens zijn er in het model van Siegler (Siegler & Wagner, 2005) processen gebaseerd op het ophalen van informatie uit het geheugen (retrieval-based processes). Hierbij zijn twee interacterende componenten aanwezig. Ten eerste is er een representatie over de kennis van een bepaald probleem. Dit bevat de associaties van verschillende sterktes tussen elk probleem en hun mogelijke antwoorden. Deze representaties worden beïnvloed door een interne standaard van het kind, wat het criteria van vertrouwen (confidence criterion) wordt genoemd (Siegler 1988; aangehaald in Geary & Hoard, 2001). Dit is een drempelwaarde van de sterkte tussen het probleem en het mogelijke antwoord. Volgens Siegler wordt de associatieve band tussen som en antwoord steeds sterker (de distributie wordt gepiekter). Wanneer de associatieve sterkte het criteria van vertouwen van een bepaald antwoord behaalt, dan zullen de kinderen dat antwoord kiezen. Aan de andere kant, wanneer dit niet wordt behaald zullen de kinderen een strategie gaan gebruiken om het probleem op te lossen (Siegler & Wagner, 2005). 11
3. De ontwikkeling van het rekenen bij kinderen met dyscalculie Nu in hoofdstuk 2 de normale rekenontwikkeling is beschreven, wordt in dit hoofdstuk een beeld geschetst waar het mis gaat bij kinderen met dyscalculie. In de literatuur worden er meerdere subtypen van de rekenstoornis onderscheiden. In deze these is gekozen voor de classificatie van Temple & Sherwood (2002). Zij geven aan dat er drie vormen van rekenkundige stoornissen worden onderscheiden, die ieder verschillende componenten van het rekenen beïnvloeden. Deze drie vormen staan centraal in dit hoofdstuk. Op dit moment is echter nog onduidelijk hoe vaak deze subtypen voorkomen. De studies die in dit hoofdstuk besproken worden, hebben eigen criteria gehanteerd om dyscalculie vast te stellen. Zoals eerder vermeld is er nog geen consensus over de kenmerken van dyscalculie. Daarom moeten de resultaten in dit hoofdstuk met enige voorzichtigheid geïnterpreteerd worden. Om een duidelijk beeld te krijgen van het verschil tussen de normale rekenontwikkeling en de ontwikkeling bij dyscalculie wordt de structuur van het vorige hoofdstuk aangehouden. 3.1 Systemen Zoals in het vorige hoofdstuk aan bod is gekomen zijn er volgens McCloskey et al. (1985) twee systemen die het rekenproces beïnvloeden: het nummerverwerkingssysteem en het calculatiesysteem. 3.1.1 Nummer verwerkingsysteem Het nummer verwerkingsystseem bevat mechanismen die zich bezig houden met het getalbegrip en de productie daarvan, het verwerken van geschreven en verbale getallen, het analyseren van de waarde van getallen en de syntax van het getal (McCloskey et al. 1985). De eerste van de drie rekenstoornissen die Temple & Sherwood (2002) onderscheiden is een getalverwerking- stoornis. Bij deze stoornis zit het tekort in het nummer-verwerkingssysteem. Er is een selectieve moeilijkheid in het verwerken van lexicale items van getallen, maar de ontwikkeling van nummer-syntax is intact. Deze stoornis hebben Temple en Sherwood (2002) kunnen identificeren door het soort fouten 12
te onderzoeken. Kinderen met dit subtype maken fouten zoals 9172 zes duizend, zes honderd en tweeënzeventig. 3.1.2 Calculatie systeem Het calculatie systeem is verantwoordelijk voor kennis over nummerfeiten, waaronder de kennis over de betekenis van symbolen en kennis over de tafels. De tweede rekenkundige stoornis die Temple & Sherwood (2002) onderscheiden is een nummerfeiten stoornis (numberfact disorder). Zoals duidelijk geworden is in het vorige hoofdstuk maakt een kind met een normale rekenontwikkeling een overgang van het tellen naar het opslaan en ophalen van rekenkundige feiten. Bij de nummerfeiten-stoornis van Temple & Sherwood (2002) is de ontwikkeling van de verwerking van getallen goed ontwikkeld en er kan zelfs een normale kennis over rekenkundige procedures bestaan. Toch is de rekenvaardigheid beschadigd omdat er tekorten zijn in het vaststellen en gebruiken van opgeslagen feiten, zoals bijvoorbeeld de tafels. McCloskey et al. (1985) hebben een patiënt onderzocht die veel moeite had met het ophalen van rekenkundige feiten. Deze patiënt was in staat rekenkundige procedures foutloos uit te voeren en liet een duidelijk begrip zien van de symbolen. Hij viel uit bij het ophalen van rekenkundige feiten, met name de tafels. Wanneer de patiënt het juiste antwoord van een keersom niet kon herinneren, gebruikte hij de feiten die wel beschikbaar waren en rekende daarmee het antwoord uit. McCloskey et al. (1985) gingen er in hun onderzoek vanuit dat de patiënt die zij onderzochten vóór de hersenbeschadiging wel in staat was om deze rekenfeiten op te halen. Dit is echter moeilijk met zekerheid vast te stellen. Geary (1993) vond twee verschillende functionele tekorten in kinderen met dyscalculie. Ten eerste de procedurele tekorten, die betrekking hebben op slechte aandacht en zwakke werkgeheugen vaardigheden. Ten tweede is de mogelijkheid om rekenkundige feiten uit het geheugen op te halen verstoord. Geary (1993) suggereert dat de procedurele problemen kunnen verbeteren door ervaring, terwijl het ophalen van rekenkundige feiten nauwelijks verbetering laat zien. De twee tekorten die volgens Geary (1993) de belangrijkste kenmerken zijn van dyscalculie komen redelijk overeen met de beschrijving van de nummerfeiten-stoornis van Temple & Sherwood (2002). De derde rekenstoornis van Temple & Sherwood (2002) is de procedurele 13
stoornis. Bij deze stoornis is er een intact nummer-verwerking systeem en de kennis van getalfeiten is ook normaal ontwikkeld. De mogelijkheid om rekenkundige plannen en procedures uit te voeren is echter beschadigd. De volgorde, de timing of de achtergrond in de gebruikte stappen bij de calculatie procedures zijn incorrect. Deze stoornis zit dus in het derde component van het calculatiesysteem: de cognitieve mechanismen die verantwoordelijk zijn voor het uitvoeren van de reken-procedures. 3.2 Strategieën en fouten Om te onderzoeken hoe de rekenontwikkkeling verloopt van kinderen met dyscalculie is het niet alleen belangrijk om naar de strategieën te kijken, ook het soort fouten die deze kinderen maken kan een bron van informatie zijn. Deze twee onderwerpen komen achtereenvolgens in deze paragraaf aan de orde. 3.2.1 Strategieën Volgens Geary (2003) 3 gebruiken de meeste kinderen met dyscalculie oplossingsstrategieën die gewoonlijk meer gebruikt worden door jongere kinderen waarbij de rekenontwikkeling normaal verloopt. Zij maken bijvoorbeeld langer gebruik van het tellen op de vingers, nemen op latere leeftijd pas de min-procedure aan en ze maken meer telfouten dan kinderen zonder dyscalculie (Geary, 1993). Ook maken ze meer procedurele fouten. Over de jaren heen lijken de procedurele vaardigheden te verbeteren, waardoor de tekorten een ontwikkelingsachterstand representeren in plaats van een fundamenteel cognitief te kort. Tegelijkertijd hebben kinderen met dyscalculie moeilijkheden met het ophalen van basis rekenkundige-feiten vanuit het lange termijn geheugen. Dit verbetert meestal niet. Zoals Geary en Hoard (2001) aangeven is het eerste kenmerk van kinderen met dyscalculie dat ze moeite hebben met het leren en onthouden van rekenkundige feiten. Dit past geheel bij de beschrijving van de nummerfeiten-stoornis. Het tweede kenmerk is te zien in de moeilijkheden die de kinderen ondervinden in het uitvoeren van rekenprocedures. Door deze moeilijkheden gebruiken ze verkeerde oplossingsstrategieën, doen ze er langer over de sommen dan andere kinderen en is er een hoger 14
foutenpercentage (Geary, 1993). 3.2.2 Het soort fouten Het ondervinden hoe kinderen met dyscalculie mathematische vraagstukken oplossen en wat voor fouten ze daarbij maken kan ervoor zorgen dat er goede methodes ontwikkeld worden om te compenseren of dispenseren voor het tekort. Ook om te onderzoeken waar het probleem ligt van de kinderen met een rekenstoornis kan het handig zijn om naar het soort gemaakte fouten te kijken. Hale & Fiorello (2004) hebben door middel van een foutenanalyse een vijftal fouten patronen ontdekt die veel voorkomen bij kinderen met dyscalculie: Ten eerste zijn er rekenkundige feiten fouten (Math fact error): hierbij heeft het kind nog geen rekenkundige feitenkennis of kan het de kennis niet automatisch ophalen uit het lange termijn geheugen. Ten tweede zijn er operationele fouten (Operand error): het kind gebruikt de verkeerde handeling bij een bepaald probleem. Hij/zij maakt de som bijvoorbeeld als 6 + 3 wanneer het eigenlijk een 6-3 probleem is. Ten derde zijn er algoritmische fouten (Algorithm error): het kind voert een reeks stappen uit maar volgt een eigenaardig algoritme of probleem-oplossend patroon. Bijvoorbeeld wanneer een kind het kleine getal altijd van het grote getal aftrekt, zonder rekening te houden met de positie (123-87 = 164). Ten vierde zijn er positie-waarde fouten (Place value error): het kind voert de stappen uit in de juiste volgorde maar maakt een fout in het bepalen van de waarde van getallen op een bepaalde positie. Tot slot zijn er hergroeperingsfouten (Regrouping error): hierbij maakt het kind gebruik van hergroepering wanneer het niet nodig is. Wanneer de drie subtypen van Temple & Sherwood (2002) aangehouden worden betekent dit dat kinderen met de getalverwerkingsstoornis voornamelijk algoritmische fouten en positie-waarde fouten maken. Kinderen met de nummer-feitenstoornis maken rekenkundige feiten fouten. En kinderen waarbij sprake is van een procedurele stoornis 3 Handbook of Learning Disabilities, edited by Swanson, Harris & Graham, 2003. 15
maken voornamelijk fouten als de operationele fouten, de algrotimische fouten en de hergroeperingsfouten. 3.3 Processen Zoals in het model van Siegler (Siegler & Wagner, 2005) beschreven is, worden de associaties tussen vraag en antwoord steeds sterker. Dit komt neer op de processen die gebaseerd zijn op het geheugen (memory based processes). Wanneer de associatie voldoende sterk is, dan hoeft het kind niet meer te tellen of na te denken. Dit proces is gebaseerd op het ophalen van informatie uit het geheugen (retrieval based processes). De kinderen met dyscalculie ontwikkelen niet altijd de juiste vraag-antwoord associaties (Milikowski, 2006). Deze kinderen zullen uiteindelijk wel in staat zijn antwoorden op te slaan maar deze kunnen zowel correct als incorrect zijn. Het model van Siegler kan ook pas gaan functioneren als de associatieve band tussen het symbool en zijn betekenis voldoende is ontwikkeld (Millowski, 2006). Als een enkel symbool namelijk nog niet automatisch in een waarde wordt vertaald, zal dat bij de vraag en antwoord associaties ook niet kunnen plaats vinden. 3.4 Kritiek Het grootste kritieke punt in dit hoofdstuk blijft de vraag hoe de onderzoekers dyscalculie hebben gedefinieerd. De één spreekt bijvoorbeeld van een wiskunde onvermogen (Math Disabled) en de ander gebruikt de term dyscalculie. Dit heeft als gevolg dat bovenstaande onderzoeken moeilijk met elkaar vergelijkbaar zijn. Het is immers mogelijk dat de proefpersonen niet allemaal aan dezelfde criteria voldoen. Aangezien de criteria om dyscalculie als stoornis te erkennen niet vastgesteld zijn, zou het ook kunnen dat er bij de proefpersonen helemaal geen sprake is geweest van een stoornis maar van een rekenprobleem. 16
4. Onderliggende factoren van dyscalculie In hoofdstuk drie is er gekeken naar wat er mis gaat bij kinderen met dyscalculie. In dit hoofdstuk zal er verder gekeken worden naar wat er aan dyscalculie ten grondslag ligt. De onderliggende factoren worden beschreven aan de hand van theorie van Geary (1993). Hij beweert dat cognitieve, neuro(psycho)logische en genetische componenten correleren met het verwerven van wiskundige vaardigheden. Drie typen tekorten zijn volgens hem geassocieerd met problemen in de rekenkunde. Het eerste tekort is zichtbaar door problemen in het ophalen of representeren van rekenkundige feiten vanuit het semantische geheugen. Het tweede type is zichtbaar door problemen in het uitvoeren van rekenkundige procedures. Het derde type bevat problemen in de visuospatial representatie van getalinformatie. Cognitieve, neuro(psycho)logische en genetische factoren dragen bij aan deze tekorten (Geary, 1993). In dit hoofdstuk worden daarom deze componenten los van elkaar besproken. In werkelijkheid zullen deze componenten niet los van elkaar kunnen functioneren. Daarom kan er beter gesproken worden van het cognitieve, neuro(psycho)logische en het genetische aspect bij het onvermogen te kunnen rekenen. 4.1 Het cognitieve aspect De vaardigheid van het rekenen is goed te onderzoeken aangezien er veel bekend is over de ontwikkeling van probleem-oplos-strategieën. Dit maakt het goed mogelijk om kinderen met dyscalculie te vergelijken met kinderen zonder rekenproblemen. Bij het cognitieve aspect wordt er onderscheid gemaakt tussen de getalverwerking (Milikowski, 2006) en de ontwikkeling van het geheugen (Geary, 2003). 4.1.1. De getalverwerking Milikowski (2006) heeft als hypothese dat dyscalculie een stoornis is in de automatische getalsverwerking. Zij veronderstelt dat het bij kinderen met dyscalculie ontbreekt aan automatische informatie over de waarde van getallen. Zoals in hoofdstuk drie beschreven staat kan een associatieve band tussen een vraag en een correct antwoord pas gelegd worden wanneer er ook een goede connectie is tussen het symbool en de betekenis 17
daarvan. Volgens Milikowski (2006) worden cijfers bij kinderen met dyscalculie niet automatisch van de juiste betekenis voorzien. Hierdoor blijven kinderen met deze stoornis tellend rekenen en maken zij ook daarin veel fouten. De conclusies van Milikowski (2006) zijn gedeeltelijk gebaseerd op een onderzoek van Landerl, Bevan & Butterworth (2004). Deze auteurs zijn de eerste die dyscalculie als een stoornis in de getalsverwerking zien. Landerl et al. (2004) vinden het aannemelijk dat de basis getalfuncties, zoals het begrip van getallen, het tellen en het uitvoeren van simpele rekenprocedures, steunen op vroege mechanismen voor het verwerken van kleine hoeveelheden. Dit is volgens Landerl et al. (2004) een tekort wat aan de basis van dyscalculie ligt. Om dit te onderzoeken hebben zij vier groepen kinderen twee vergelijkingstaken laten uitvoeren: het vergelijken van cijfergrootte en het vergelijken van getalgrootte. Er was een groep kinderen met dyscalculie, een groep met dyslexie, een groep met zowel dyscalculie als dyslexie en een controle groep. De reactietijden van de kinderen werden gemeten. Uit de resultaten bleek dat er geen verschil in de reactietijden van de kinderen was wanneer zij de fysieke omvang van een cijfer moesten beoordelen. Wanneer het daarentegen om de getalswaarde ging, presteerden de kinderen met dyscalculie zwakker dan de kinderen met leesproblemen en dan de controlegroep. Ook zeggen Landerl et al. (2004) dat wanneer dyscalculie het resultaat is van een fundamenteel getalverwerkingsproces, deze kinderen zowel moeite hebben met simpele rekenprocedures als met complexe taken. De studies van Landerl et al. (2004) en van Milikowski (2006) zijn echter de enige publicaties waarbij de nadruk ligt op het tekort in de automatische getalverwerking. Er zal meer onderzoek gedaan moeten worden naar dit tekort om dergelijke conclusies met zekerheid te trekken. 4.1.2 Het geheugen McLean & Hitch (1999) hebben onderzocht welke tekorten in het werkgeheugen kinderen met rekenkundige problemen ondervinden en of deze tekorten de oorzaak zijn van hun onvermogen om te rekenen. De resultaten suggereren dat er mogelijk tekorten zijn in het spatiotemporal werkgeheugen en in de uitvoerende processen voor het omschakelen in 'retrieval' schema's. Ook werd er een tekort gevonden in de uitvoerende processen die de interactie met het lange-termijn geheugen controleren. De resultaten van 18
deze auteurs laten ook zien dat er geen tekort is wanneer het fonologische werkgeheugen word getest. Dit geeft een indicatie dat er een werkgeheugen systeem gespecialiseerd is in het verwerken van numerieke informatie en dat kinderen met dyscalculie hier problemen mee hebben. Ook Temple & Sherwood (2001) hebben onderzocht of kinderen met een rekenstoornis problemen ondervinden in het werkgeheugen. Zij hebben kinderen met weinig kennis van nummerfeiten vergeleken met kinderen waarbij de rekenontwikkeling normaal verloopt. Dit bleek echter niet het geval. Deze uitkomst druist in tegen de resulaten van eerder onderzoek en zorgt voor een hoop onduidelijkheid. Bij deze conclusie moet vermeld worden dat Temple & Sherwood (2001) zich enkel gericht hebben op de kinderen die een stoornis hadden in het omgaan met rekenkundige feiten en niet in de verwerking van getallen. 4.2 Het neuro(psycho)logische aspect Naast het cognitieve aspect is het van belang om te onderzoeken welke hersengebieden verantwoordelijk zijn voor het rekenproces en natuurlijk in welk hersengebied het tekort zit. Hier is veel onderzoek naar gedaan en de resultaten zijn wisselend. Hale & Fiorello (2004) stellen dan ook dat meerdere hersengebieden verantwoordelijk zijn voor de rekenvaardigheden. Er zal hier een overzicht geschetst worden van de meest recente en belangrijke bevindingen. Rekenkundige vaardigheden worden over het algemeen gezien als een functie die bilateraal in de hersenen ligt (Ben & Lubinsky, 1997; aangehaald in Hale & Fiorello, 2004). Toch zijn er patiënt-onderzoeken die uitwijzen dat een tekort in de linker pariëtale sulcus zorgt voor een rekenstoornis (Isaacs, Edmonds, Lucas & Gadian, 2001). Isaacs et al. (2001) onderzochten te vroeg geboren kinderen met een laag geboorte gewicht. De helft van deze kinderen had problemen met het rekenen en de andere helft niet. Uit de resultaten bleek dat de rekenproblemen geassocieerd zijn met minder grijze stof in de linker pariëtale kwab. Isaacs et al. (2001) benadrukken dat dit niet het enige gebied is dat verantwoordelijk is voor de rekenvaardigheid. Kadosch Cohen, Kadosch Cohen, Schuhmann, Kaas, Goebel, Henik & Sack (2007) zijn in staat geweest om bij gezonde rekenaars tijdelijk dyscalculie te simuleren. Zij maakten in hun onderzoek gebruik van Transcranial Magnetic Stimulation (TMS). Dit 19
zorgt voor een tijdelijke verstoring in een bepaald hersengebied, zonder dat dit nadelige gevolgen heeft voor de hersenen. De resultaten van Kadosch Cohen et al. (2007) suggereren dat de rechter Intra Pariëtale Sulces (IPS) verantwoordelijk is voor het automatiseren en het bepalen van de waarde van een symbool. Deze rechter lateralisatie gaat niet in tegen eerdere conclusies richting een rol van de linker hemisfeer in het verwerken van getallen. De resultaten wijzen namelijk op een inefficiënte verwerking van het verbale component van getallen. Samengevat impliceert bovenstaand neuropsychologisch onderzoek dat getalverwerking bilateraal gelokaliseerd is in de pariëtale lobben, in het bijzonder in de IPS (Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003; aangehaald in Landerl et al., 2004). Kadosch Cohen et al. (2007) suggereren een prominente rol voor de rechter IPS bij dyscalculie, maar hier zou meer onderzoek naar gedaan moeten worden. De resultaten van dit onderzoek zeggen namelijk alleen maar dat de IPS een noodzakelijk schakel is bij het rekenen. Hoewel het debat van de linker-hersenhelft versus de rechterhersenhelft nog niet voor bij is, lijkt dyscalculie het resultaat te zijn van een slecht ontwikkelde IPS. Dit kan door beschadiging zijn of door genetische factoren (Landerl et al. 2004). Deze bewering kan echter niet met gehele zekerheid gezegd worden. Tijdens het rekenproces worden zoveel verschillende hersengebieden gebruikt, waardoor het moeilijk is te zeggen welke specifiek verantwoordelijk is voor dyscalculie. 4.3 Het genetische aspect Shalev, Manor, Kerem, Ayali, Badichi, Friedlander & Gross-Tsur (2001) hebben onderzocht of dyscalculie een erfelijke stoornis is. Als criteria voor dyscalculie stelden zij een IQ hoger dan 85, slecht presteren op rekenkundige vaardigheden en een significante discrepantie tussen rekenkundige vaardigheden en IQ. Concluderend hebben zij gezegd dat dyscalculie, zoals andere leerstoornissen, significanter vaker voorkomt binnen familie s. Dit suggereert een rol voor genen in de evolutie van deze stoornis. Shalev et al. (2001) waren in staat de familieleden van kinderen met dyscalculie te onderzoeken. Uit deze resultaten bleek dat op zijn minst één ander familielid de stoornis ook had. Dyscalculie is dus een familiale trek, waar het voorkomen binnen een familie tien keer zo hoog is als in de algemene populatie (Shalev et al. 2001). 20
21
5. Conclusie In deze these is een antwoord gezocht op de vraag: wat zorgt ervoor dat de rekenontwikkeling bij kinderen met dyscalculie stagneert of onderontwikkeld is in vergelijking met kinderen die geen dyscalculie hebben? In dit hoofdstuk zal deze vraag beantwoord worden. Er is gebleken dat dyscalculie een stoornis is die erkend moet worden. Daarom zal er in dit hoofdstuk ook aandacht besteed worden aan de criteria van dyscalculie en wanneer een diagnose gesteld kan worden. Tot slot zal er een indicatie gegeven worden over de rechten en een mogelijke behandeling voor kinderen met dyscalculie. 5.1 Mogelijke oorzaken dyscalculie Wanneer de normale rekenontwikkeling vergeleken wordt met de rekenontwikkeling van kinderen met dyscalculie zijn verschillende bijzonderheden te zien. Wetenschappelijk onderzoek laat zien dat kinderen met dyscalculie voornamelijk problemen ondervinden met het opslaan en ophalen van rekenkundige feiten. De meest logische verklaring voor dit probleem is een tekort in de getalverwerking. Kinderen met dyscalculie kunnen dan een symbool niet automatisch vertalen naar de bijbehorende waarde. Hierdoor ondervinden zij problemen met verschillende rekenkundige problemen. Dit kan een verklaring zijn voor de moeite die zij ondervinden in het opslaan en ophalen van rekenkundige feiten. Er is hier echter nog te weinig onderzoek naar gedaan om dit met zekerheid vast te stellen. Nu er duidelijk is geworden dat kinderen met dyscalculie voornamelijk problemen ondervinden in het opslaan en ophalen van rekenkundige feiten, is het belangrijk te kijken wat hiervoor verantwoordelijk is. Wanneer de cognitieve, neuro(psycho)logische en genetische aspecten nader bekeken worden, is te zien dat het grootste probleem zich voor doet in het neuro(psycho)logische aspect. In eerste instantie werd verondersteld dat enkel de linker hersenhelft verantwoordelijk was voor het rekenproces. Dit blijkt echter niet zo makkelijk te stellen te zijn. De rekenkundige vaardigheid lijkt namelijk een bilaterale basis te hebben. De intra parietale sulcus laat tijdens het rekenproces een duidelijke activiteit zien en wordt daardoor gezien als een 22
belangrijke factor bij dyscalculie. Er is echter nog heel veel onduidelijkheid over welk deel van de hersenen precies verantwoordelijk is voor elke stap in het rekenproces. Naast deze neuro(psycho)logische bevindingen is het belangrijk te vermelden dat dyscalculie een erfelijke component heeft. Wanneer wordt er gesproken van een rekenstoornis en wanneer van een rekenprobleem? Concluderend kan gezegd worden dat zwakke rekenaars de procedures niet begrijpen en leerlingen met dyscalculie problemen hebben in de getalverwerking. Bij dit onderscheid is het belangrijk dat de rekenontwikkeling nauwkeurig gevolgd wordt. Er zal bijvoorbeeld een specifieke foutenanalyse gemaakt moeten worden bij kinderen met een diagnose dyscalculie. Alleen dan wordt duidelijk wat voor fouten typerend zijn voor dyscalculie. Op deze manier zal een risico-kind voor dyscalculie veel eerder de hulp kunnen ontvangen die hij/zij nodig heeft. 5.2 Criteria en diagnose Helaas zijn er nog geen standaard metingen om dyscalculie vast te stellen. De meeste onderzoekers baseren hun oordeel op rekentoetsen in combinatie met intelligentieonderzoek. Doordat er steeds meer bekend word over de oorzaak en achterliggende processen van dyscalculie, zijn er nieuwe kansen om een representatief diagnostisch instrument te ontwikkelen om dyscalculie vast te stellen. Belangrijk daarbij is dat iedereen dezelfde criteria hanteert. Op dit moment wordt door de ene instantie dyscalculie wel vast gesteld en door de ander niet. Op landelijk niveau is er nog steeds geen eenduidig protocol vastgesteld. Dit ligt echter wel in planning, maar er is nog te veel discussie rondom het begrip dyscalculie. OBD Noordwest stelt de diagnose dyscalculie pas definitief in groep 7 4. Bij ernstige rekenproblemen in lagere groepen wordt een duurdiagnose gesteld. Er wordt niet zomaar een onderzoek afgenomen. Eerst moet er een goede analyse van het rekenen gemaakt worden. Vervolgens wordt een inventarisatie gemaakt van de ernst en de aard van de problematiek. De geboden hulp en begeleiding wordt nauwlettend gevolgd. Wanneer de diagnose dyscalculie kan worden gesteld, wordt er een dyscalculieverklaring 4 Informatie uit de nieuwsbrief van de OBD Noordwest. Oktober 2008. Website: www.obdnoordwest.nl. 23
afgegeven. De OBD stelt voorop dat het doel van een dyscalculie-onderzoek gericht blijft op het onderzoeken van de onderwijsbehoeften van een kind en het onderzoek zal dus uiteindelijk handelingsgerichte adviezen opleveren. Een belangrijk onderdeel van het proces is de vroegtijdige signalering. Kinderen krijgen op jonge leeftijd al kennis over getalbegrip en daardoor is er al snel te zien of er problemen zijn op dit gebied. Vervolgens zou deze ontwikkeling nauwkeurig gevolgd moeten worden. De nodige interventies en hulp moeten zorgvuldig geboden worden. Pas wanneer er adequate hulp en onderwijs is geboden kan gezegd worden dat een probleem hardnekkig is. Zoals al eerder vermeld werd, is er op dit moment nog geen wettelijke regel voor voorzieningen bij dyscalculie. Er bestaan geen richtlijnen voor het stellen van een diagnose of het opstellen van een dyscalculie verklaring. Dit zorgt ervoor dat de kinderen afhankelijk zijn van de mening van de school en de desbetreffende onderwijsinstantie. Dit is een miskenning van de problemen die bij dyscalculie komen kijken. Leerlingen met dyscalculie hebben wel degelijk recht op compensaties in tegenstelling tot wat het ministerie van onderwijs is 2001 meldde. Het ministerie lijkt bang te zijn dat elk kind straks compenserende maatregelen krijgt. Na deze conclusies rijst namelijk de vraag op of kinderen met een lage intelligentie ook recht hebben op compenserende maatregelen. Een laag intelligentieniveau heeft namelijk net als dyscalculie een neurologische basis en is ook erfelijk bepaald. Bij deze vergelijking is het belangrijk te vermelden dat kinderen met dyscalculie alleen op rekengebied zwak presteren. Bij kinderen met een lage intelligentie is er sprake van een lage score op alle domeinen. Zij zullen dus zelfs met compenserende maatregelen niet naar behoren kunnen functioneren op een reguliere basisschool, terwijl dit voor kinderen met dyscalculie wel het geval zal zijn. Voor de kinderen met een lage intelligentie is er het speciale basis onderwijs. Dit kan ook gezien worden als een vorm van compensatie. Kort om: er moet op korte termijn consensus plaatsvinden over de criteria en de defintie van dyscalculie. Alleen dan kan er een goed protocol gemaakt worden en kunnen deze kinderen de hulp krijgen die ze verdienen. 24
6. Literatuurlijst American Psychiatric Association (1994). Diagnostic and statistical manual of mental disorders. Fourth edition. Washington DC. Badian, N. (1999). Persistent arithmetic, reading, or arithmetic and reading disability. Annals of Dyslexia, 49, 45-70. Balans Belicht. www.balansdigitaal.nl Balans Belicht (2002). Dyscalculie. Doetinchem: Senefelder Misset. 1, 1-40 Desoete, A. (2003). In elke klas zit er minstens één. Willem Bartjens, 23, 1, 11-13 Geary, D. C. (1993). Mathematical Disabilities: Cognitive, Neuropsychological, and Genetic Components. Psychological Bullitin, 114, 2, 345-362. Geary, D. C. & Hoard, M. K. (2001). Numerical and arithmetical deficits in learningdisabled children: Relation to dyscalculia and dyslexia. Psychology Press, 15 (7), 635-647. Hale, J. B., & Fiorello, C. A. (2004). School Neuropsychologie, A Practitioner s Handbook. New York: The Guilford Press. Isaacs, E. B., Edmonds, C. J., Lucs, A., & Gadian, D. G. (2001). Calculation difficulties in children of very low birthweight. Brain, 124, 1701-1707. Kadosch Cohen, R., Kadosch Cohen, K., Schuhmann, T., Kaas, A., Goebel, R., Henik, A. & Sack, A., T. (2007). Virtual Dyscalculia Induced by Parietal-Lobe TMS Impairs Automatic Magnitude Processing. Current Biology, 17, 689 693. 25
Landerl, K., Bevan, A., & Butterworth, B. (2004). Developmental dyscalculia and basic numerical capacities: a study of 8-9-year-old students. Cognition, 93, 99 125. McCloskey, M. (1992). Cognitive Mechanisms in Numerical Processing: Evidence from Acquired Dyscalculia. Cognition, 44, 3, 107-158 McCloskey, M., Caramazza, A. & Basili, A. (1985). Cognitive Mechanisms in Number Processing and Calculation: Evidence from Dyscalculia. Brain and Cognition, 4, 171-196. McLean, J. F. & Hitch, G. J. (1999). Working Memory Impairments in Children with Specific Arithmetic Learning Difficulties. Journal of Experimental Child Psychology 74, 240 260. Milikowski, M. (2006). Dyscalculicus loopt vast tussen cijfer en getal. Panama Post, 25, 4, 11 16. Nelissen, J. (2004). Kinderen die niet leren rekenen. Willem Bartjens, 23, 3, 5 11. OBD Noorwest, locatie Den Helder. 2007-2008 Shalev, R. S., Manor, O., Kerem, B., Ayali, M., Badichi, N., Friedlander, Y. & Gross- Tsur, V. (2001). Developmental Dyscalculia Is a Familial Learning Disability. Journal of Learning Disabilities, 34, 1, 59-65. Shrager, J. & Siegler, R. S. (1998). A Model of Children's Strategy Choices and Strategy Discoveries. Psychological Science: Research, Theory, & Apllication in psychology and related sciences, 9, 5, 405 410. Siegler, R. S. & Wagner, M. (2005). Children s Thinking. New Jersey: Pearson Prentice 26
Hall. Temple, C. M., & Sherwood, S. (2002). Representation and retrieval of arithmetical facts: Developmental difficulties. The quarterly journal of experimental psychology, 55, 733-752. Van Luit, J. E. H. & Ruijssenaars, A. J. J. M. (2004). Dyscalculie, zin en onzin. Panama Post, 23, 2, 3 8 27