wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t - -
wiskunde B pilot vwo 05-I Wortelfuncties In de figuur zijn de grfieken getekend vn de functies f en g gegeven door f ( ) en g ( ). Verder zijn de lijnen getekend met vergelijkingen en 4, met 0 4. figuur = = 4 f g In figuur zijn twee vlkdelen grijs gemkt. Het ene grijze vlkdeel wordt begrensd door de grfieken vn f en g en de lijn met vergelijking. Het ndere grijze vlkdeel wordt begrensd door de grfiek vn g, de -s en de lijnen met vergelijkingen en 4. 6p Bereken ect voor welke wrde vn deze vlkdelen gelijke oppervlkte hebben. Gegeven is het punt (, 0). Bij elk punt P op de grfiek vn f kn het midden vn lijnstuk P worden bepld. Dt midden noemen we M. Verder is de functie h gegeven door h ( ). In figuur zijn de grfieken vn f en h getekend. ok is voor een punt P het lijnstuk P met midden M getekend. figuur f P h M Er geldt: voor elk punt P op de grfiek vn f ligt het punt M op de grfiek vn h. 4p Bewijs dit. - -
wiskunde B pilot vwo 05-I Cirkels en lijnstuk ver de cirkel met middelpunt (0, 0) en strl beweegt een punt met bewegingsvergelijkingen: () t sint t () cost met 0t ver de cirkel met middelpunt (0, 0) en strl beweegt een punt B met bewegingsvergelijkingen: () t sin() t t () cos() t met 0 t In de figuren en zijn de twee cirkels en het lijnstuk B getekend voor de tijdstippen t 0 en t. figuur t = 0 B figuur t = - - - - - - B - - p de tijdstippen wrop B zich op de -s bevindt, bevindt zich op de lijn met vergelijking of op de lijn met vergelijking. 5p 3 Bewijs dit. - 3 -
wiskunde B pilot vwo 05-I In figuur 3 is het lijnstuk B getekend op een tijdstip wrop het horizontl is en boven de -s ligt. figuur 3 B - - - - Er zijn twee tijdstippen wrop het lijnstuk B horizontl is en onder de -s ligt. 6p 4 Bereken voor één vn deze tijdstippen de coördinten vn, fgerond op één deciml, en teken het bijbehorende lijnstuk B in de figuur op de uitwerkbijlge. p het intervl 0, π is er één tijdstip wrop lijnstuk B rkt n de kleinste cirkel. Zie figuur 4. figuur 4 - - - B - p dit tijdstip stt de vector B loodrecht op de vector. 6p 5 Bereken ect dit tijdstip. - 4 -
wiskunde B pilot vwo 05-I uitwerkbijlge 4 - - - - - 5 -
wiskunde B pilot vwo 05-I smptoten, perfortie en linkertop Voor elke wrde vn wordt de functie f gegeven door: f 4 04 ( ) met De grfiek vn f 5 heeft een verticle smptoot en een scheve smptoot. De twee smptoten snijden elkr onder een hoek met in grden. In de figuur is de grfiek vn f 5 met de smptoten en hoek weergegeven. figuur f 5 β f 5 4p 6 Bereken lgebrïsch de wrde vn. Er zijn wrden vn, zols 5 (zie figuur), wrvoor de grfiek vn f twee toppen heeft. De top met de kleinste -coördint noemen we de linkertop. Er is een wrde vn wrvoor de linkertop op de -s ligt. 7p 7 Bereken ect voor welke wrde vn de linkertop op de -s ligt. Er zijn twee wrden vn wrvoor de grfiek vn f een lijn met een perfortie is. 6p 8 Bereken ect, voor de grootste vn die twee wrden vn, de coördinten vn de perfortie. - 6 -
wiskunde B pilot vwo 05-I Loodrecht Gegeven zijn de punten, en B met coördinten (0, 0), (4, 0) en B (, 3). Driehoek B is gelijkzijdig. p zijde B ligt punt C zo, dt C B en op zijde B ligt punt D zo, dt BD B. Punt E is het snijpunt vn de lijnstukken C en D. Zie 3 figuur. figuur 3 3 B C D E 4 Punt E heeft coördinten E (, 6 3). 7p 9 Lt met ecte berekeningen zien dt de -coördint vn E inderdd gelijk is n. In figuur is opnieuw driehoek B getekend, nu met de lijnstukken E en BE. figuur 3 B E 4 3p 0 Bewijs dt EB 90. - 7 -
wiskunde B pilot vwo 05-I Hrdheid De functie f wordt gegeven door f ( ) 5. De grfiek vn f is een hlve cirkel met middelpunt (0, 0) en strl 5. f' ( ) Voor de functie f geldt: 5 5 5p Bewijs dit. In figuur is de grfiek vn f getekend. We bekijken het deel vn de grfiek tussen 5 h en 5. Door dit gedeelte te wentelen om de -s ontstt het bolsegment met dikte h. Zie figuur. figuur f 5 figuur -5 5-h 5 h Voor de grijs gemkte oppervlkte vn het bolsegment, dus zonder de oppervlkte vn de cirkelvormige linkerknt, geldt: 5 π f( ) ( f' ( )) d 5h Met behulp vn deze integrl kn ect worden berekend dt 0πh. 3p Bewijs dt 0πh. De formule 0πh voor de oppervlkte vn een bolsegment bewijst zijn nut bij de methode die de Zweed Brinell ontwikkelde voor het beplen vn de hrdheid vn mterilen. Bij deze methode wordt gebruik gemkt vn een mssieve bolvormige kogel die een dimeter vn 0 mm heeft. De kogel wordt met krcht tegen het te testen mteril gedrukt, wrdoor er in het mteril een indruk in de vorm vn een bolsegment ontstt. De oppervlkte vn dt bolsegment hngt f vn de hrdheid vn het mteril en de krcht wrmee wordt gedrukt. - 8 -
wiskunde B pilot vwo 05-I Deze krcht mg niet zo groot zijn dt de kogel vervormt of voor meer dn de helft in het mteril wordt gedrukt. In de prktijk wordt bij de hrdheidsmeting volgens Brinell de dimeter d (in mm) vn de cirkelvormige rnd vn de indruk gemeten. In figuur 3 is een dwrsdoorsnede getekend vn een kogel met dimeter 0 mm die een stukje in het mteril is gedrukt. De diepte vn de indruk is h (in mm). figuur 3 0 h d Met behulp vn figuur 3 kn het volgende verbnd tussen h en d worden gevonden: 0 00 d h 5p 3 Bewijs de juistheid vn deze formule. De hrdheid volgens Brinell wordt ngeduid ls HB. Deze hrdheid wordt bepld met de formule: HB 0,0 F Hierbij is F de krcht in newton (N) wrmee wordt gedrukt en de oppervlkte vn het bolsegment dt in het mteril is gedrukt in mm. Bij een hrdheidsmeting wordt de kogel met een krcht vn 9 400 N in het te testen mteril gedrukt. 5p 4 Bereken voor welke wrde vn d de hrdheid HB vn het mteril 340 is. Rond je ntwoord f op één deciml. - 9 -
wiskunde B pilot vwo 05-I Smmetrisch gebied e De functie f wordt gegeven door f( ). (e ) De grfiek vn f is smmetrisch ten opzichte vn de -s. Gegeven is p, met p 0. In de figuur is het gebied dt wordt ingesloten door de grfiek vn f, de -s en de lijnen met vergelijking p en p grijs gemkt. figuur = p = p De oppervlkte vn dit gebied noemen we ( p ). Een primitieve F vn f wordt gegeven door F( ) e. Er geldt: p ( ) e p 4p 5 Bewijs met behulp vn de gegeven primitieve functie dt inderdd geldt: p ( ) e p ls p onbegrensd toeneemt, ndert ( p ) tot een limietwrde L. Er is een wrde vn p wrvoor ( p ) de helft is vn L. 4p 6 Bereken ect deze wrde vn p. - 0 -