Beveiliging Museum Kempenland

Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Wiskunde Den Dolech 2, 5612 AZ Eindhoven P.O. Box 513, 5600 MB Eindhoven The Netherlands www.tue.nl Author Kevin ten Braak (0740805) Joost Jorritsma (0748615) Beveiliging Museum Kempenland Order issuer dr. R.A. Pendavingh Monique van den Broek (CQM) Date 2 april 2012 Version 1 Where innovation starts

Table of contents Title Beveiliging Museum Kempenland 1 Summary 2 2 Samenvatting 3 3 Inleiding 4 4 Probleembeschrijving 5 4.1 Aannames........................... 6 5 Camera-posities en gezichtsvelden 7 5.1 Camera-posities........................ 7 5.2 Gezichtsvelden......................... 8 5.3 Onderlinge positie....................... 13 5.4 Snijpunten............................ 14 6 Algoritme minimumprijs 16 7 Resultaten 17 8 Conclusie, discussie en hoe verder? 18 Where innovation starts

1 Summary In this report the Museum Kempenland, that is trying to secure her fortune using a securitycamera system, will be considered. She can do it by reckless placing camera s throughout the museum, but then the cost will possibly increase. The aim of this project is to find an optimal solution for the placement of the cameras in the museum Kempenland, such that the entire museum is secured at the lowest price. There will be searched for cheap solutions, which can also serve as an upper bound for the total costs. Also, lower bounds will be considered, trying to find them as high as possible. If it is possible to maximize the lower bound and minimize an upper bound, we will eventually get closer to the optimal solution. These limits and bounds can be found by using an variation of algorithms and methods. But there is some crucial initial data needed on which the algorithms and methods can be applied. This first half of this report concentrates on finding this information using different methods. Examples of this initial information are the possible camera positions, the fields that are visible by a camera, the relative positions of vectors and the effect of walls screening of the visible fields of another camera. The methods will be implemented in Java (a computer based programming program), which will give the essential information as output. In the following chapter other methods concerning the determination of solutions, upper bounds en lower bounds are given and used on the museum. Some algorithms could seem to be very inefficient and a bad solution, but nevertheless they may provide in providing to improve the upper and lower bounds. This is an interim report, so the solutions are hardly likely near the optimal solution. In the next report more specific will be looked at new and better algorithms and methods. 2 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

2 Samenvatting In dit verslag beschouwt men het Museum Kempenland, dat haar kapitaal met behulp van een camerasysteem wil beveiligen. Ze kan dit doen door roekeloos camera s op te hangen door het gehele museum, maar dan kunnen de kosten van deze beveiliging hoog oplopen. Doel van dit project is het zoeken van een optimale oplossing voor de plaatsing van de camera s in het museum Kempenland, zodanig dat het gehele museum wordt beveiligd tegen een zo laag mogelijke prijs. Er zal worden getracht naar steeds goedkopere oplossingen te zoeken. Deze oplossingen zullen fungeren als een bovengrens voor de goedkoopste oplossing. Tevens wordt er gezocht naar een maximale ondergrens. Door deze ondergrens en bovengrens steeds dichter naar elkaar toe te brengen, zal men uiteindelijk steeds dichter bij de optimale oplossing komen. Het zoeken naar deze onder- en bovengrenzen wordt gedaan met behulp van verscheidene algoritmen en methoden. Voordat deze algoritmen en methoden kunnen worden toegepast, is er zekere informatie nodig van het gegeven model. Aan het verkrijgen van deze informatie zal veel aandacht worden besteed in het begin van dit verslag. Zo wordt er gekeken naar mogelijke cameraposities, de gezichtsvelden, onderlinge posities van vectoren en de afscherming van gezichtsvelden door muren. De besproken methoden worden geïmplementeerd in het programmeerprogramma Java, welke vervolgens de gewenste output geeft (de benodigde informatie voor de algoritmen). In het volgende hoofdstuk wordt er ingegaan op verscheidene algoritmen die oplossingen, bovenen ondergrenzen kunnen bepalen. Enkele algoritmen zullen zeer inefficiënt blijken en een slechte oplossing geven, maar desondanks kunnen deze toch inzicht geven in het model of helpen met het verbeteren van de onder- en/of bovengrens. Dit is een interim-verslag, dus de gevonden oplossingen komen waarschijnlijk nog nauwelijks in de buurt van de optimale oplossing. In het volgende verslag zal er verder worden ingegaan op nieuwe en verbeterde algoritmen en methoden. 3 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

3 Inleiding Banken en musea hebben vaak een grote hoeveelheid aan kapitaal in hun bezit. Het spreekt voor zich dat ze dit zo goed mogelijk willen beveiligen. De kosten van deze beveiliging mogen echter niet te hoog oplopen. Als men namelijk te veel geld uitgeeft aan beveiliging, blijft er geen kapitaal meer over om te beveiligen. Het is vanzelfsprekend dat elk bedrijf zijn kapitaal het liefst op een zo efficiënt en goedkope mogelijke manier beveiligd. In dit verslag wordt er gekeken naar een dergelijk bedrijf, het Museum Kempenland, dat al haar kapitaal op een zo goedkoop mogelijke wijze wil beveiligen. Er is keuze uit drie verschillende soorten camera s die elk op andere plaatsen opgehangen kunnen worden. Uiteraard heeft elk van de drie type camera s een andere prijs. Door middel van het opstellen van verscheidene algoritmen en methoden, zal er getracht worden om de optimale oplossing te vinden voor genoemde museum. Met de optimale oplossing wordt dan de plaatsing van de camera s bedoelt, zodanig dat elk deel van het museum wordt beveiligd tegen een totaal zo laag mogelijke prijs. 4 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

4 Probleembeschrijving Zoals reeds besproken, beschouwt men in dit verslag het Museum Kempenland. De directie van dit museum wil er zeker van zijn dat alle waardevolle kunstvoorwerpen en schilderijen in het museum goed beveiligd zijn. Daarvoor overweegt zij de aanschaf van een nieuw camera systeem, met als doel het beveiligen van iedere belangrijke plaats in het museum door minstens 1 camera. Het systeem waarmee de directie het museum wil beveiligen, bevat drie verschillende camera s. Ieder met verschillende eigenschappen en kosten. De eerste camera waar de directie uit kan kiezen is de 90 camera. Deze camera kan alleen bevestigd worden in een punt waarin twee muren een hoek maken die kleiner of gelijk zijn aan 90. De aanschafkosten voor deze camera zijn e3000,-. De 180 camera die zowel in hoeken kleiner dan 180 geplaatst kan worden als op rechte muren. De aanschafkosten van deze camera zijn e5000,-. En ten derde de 360 camera die in alle hoeken van het gebouw evenals aan uiteinden van muren bevestigd kan worden. De kosten van deze camera zijn e8000,-. 5 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

4.1 Aannames Modelleren staat centraal in dit project, en bij het maken van een model worden aannames gedaan. Deze kunnen de complexiteit van het model sterk verminderen, maar doet men te veel aannames, dan ontstaat de kans dat het model te zeer gaat afwijken van de realiteit waardoor de verkregen resultaten zeer onnauwkeurig of betekenisloos kunnen worden. Hieronder staan enkele aannames die gedaan zijn bij het opstellen van het model, met de eventuele kritiekpunten. De muren zijn oneindig dun, een zeer onrealistische aanname, die het model sterk vereenvoudigd. Mocht er nu namelijk een camera in het verlengde van een muur hangen (of op het uiteinde van deze), dan kan de camera rakelings langs beide kanten van de muur kijken waardoor de muurcoördinaaten van beide kanten worden bekeken. Figuur 4.1: Oneindig dunne muren Een coördinaat moet worden afgedekt, maar vanaf welke kant maakt (vooralsnog) niet uit. Het kan bijvoorbeeld zijn dat een coördinaat precies op een muur ligt en dat de het vanaf de ene kant niet bekeken wordt, terwijl het aan de andere kant van de muur wel binnen het gezichtsveld van een geplaatste camera valt. Echter, deze situatie zal in praktijk nauwelijks tot niet voorkomen. We gaan ervan uit dat een camera niet kan kapot gaan na een bepaalde tijd; zou dit aspect wel worden meegenomen in het model, dan gaat de prijs van een duurdere camera zwaarder wegen waardoor het goedkoper kan worden om met bijvoorbeeld enkel 90 camera s te werken. 6 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

5 Camera-posities en gezichtsvelden Alvorens verscheidene algoritmen en methoden toe te passen op de gegeven situatie, is het essentieel om eerst bepaalde informatie van het systeem te bepalen. Waar kunnen bijvoorbeeld camera s hangen? Van welk type kunnen deze dan zijn? Welke coördinaten zijn allemaal te zien door een bepaalde camera die in een coördinaat geplaatst is? In dit hoofdstuk worden verscheidene methoden die deze informatie kunnen verzamelen besproken en uitgelegd. 5.1 Camera-posities Met behulp van een programma in Java worden de coördinaten berekend waarop het mogelijk is een camera te plaatsen. Vooralsnog doet het type van de camera er niet toe. Hierbij wordt als volgt te werk gegaan: bekend is dat de camera s alleen op geheeltallige coördinaten geplaatst mogen worden en tevens alleen op muren. De punten die dus gezocht worden zijn de geheeltallige coördinaten waarover een muur loopt. De muren worden ingegeven door middel van een beginpunt en een eindpunt, zeg (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ). Stel deze coördinaten voor als vectoren en bereken dan de verschilvector. ( x2 y 2 ) ( x1 y 2 ) ( x2 x = 1 y 2 y 1 ) (5.1) Bepaal vervolgens de grootste gemeenschappelijke deler van de absolute waarde van de twee elementen van de verschilvector (dus van x 2 x 1 en y 2 y 1 ) en noem deze voor het gemak c. Deel dan nu de verschilvector door de gevonden c en noem de nieuw verkregen vector de deltavector. Dan volgt nu dat de geheeltallige coördinaten waarover de desbetreffende muur loopt, gevonden kunnen worden door de deltavector (maximaal c keer) op te tellen bij de beginvector (x 1, y 1 ). Aangezien je de deltavector ook 0 keer kan optellen bij de beginvector, worden er dus c + 1 mogelijke camera-posities gevonden op een muur. Hieronder volgt een kort voorbeeld ter verduidelijking: Bekijk de muur die loopt van (1, 10) ( ) ( ) ( ) 4 1 3 tot (4, 1), dan is de verschilvector: = 1 10 9 ( 3 De grootste gemeenschappelijke deler is: gcd( 3, 9 ) = 3 dus de deltavector is 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 4 en hieruit volgen dus de cameraposities:,, en. 3 10 7 4 1 ) /3 = 7 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

5.2 Gezichtsvelden Wanneer men de mogelijke camera-posities bepaald, is het tevens nuttig om bij te houden hoeveel camera s er op een bepaald coördinaat kunnen hangen. Deze camera s hangen dan uiteraard ieder aan de andere kant van een muur of in een andere hoek van hetzelfde coördinaat. Daarnaast moet er onderscheid worden gemaakt tussen de verschillende typen camera die in een coördinaat gehangen kunnen worden. Hierbij wordt er van uit gegaan dat men niet onnodig kosten gaat maken door camera s op te hangen in een hoek waar camera s met een kleine hoek ook zouden voldoen. Zijn de mogelijke camera-plaatsingen in een coördinaat bepaald, dan kan men vervolgens per camera bepalen wat het gezichtsveld is. Met het gezichtsveld worden de coördinaten bedoelt welke gezien kunnen worden vanaf de muur of vanuit de hoek waarin de camera hangt. Er wordt in dit geval nog geen rekening gehouden met eventuele afbakening van het gezichtsveld door andere muren. Aangezien er in de plattegrond van het Museum van Kempenland geen muren voor komen die elkaar door een middenstuk snijden, waardoor men dus in dat betreffende snijpunt 4 camera s zou kunnen hangen, zullen hieronder alleen de methoden voor het vinden van de gezichtsvelden worden besproken voor de gevallen dat er respectievelijk 1, 2 of 3 camera s kunnen hangen in een coördinaat. Bij deze methoden zal vaak gebruik worden gemaakt van een ( loodrechte ) vector bij een a bepaalde vector. Deze wordt hier als volgt gedefinieerd: Zij een gegeven vector, b ( ) b dan is zijn bijbehorende loodvector gelijk aan. Als men in het begin van de gegeven a vector gaat staan en kijkt in de richting van de vector, dan wijst de loodvector zoals hierboven gedefiniëerd naar je linkerkant. Één mogelijke camera Deze situatie kan zich enkel voordoen wanneer men een camera aan een buitenmuur van het museum zou ophangen, al dan wel of niet in een hoek, of wanneer men een 360 camera zou ophangen aan het eind- of begincoördinaat van een muur. Aangezien er bij het opstellen van het model de aanname is gedaan dat de muren oneindig dun zijn, zal het gezichtsveld van een camera in deze situatie gelijk zijn aan alle coördinaten binnen het museum.zie afbeelding 4.1 8 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

Twee mogelijke camera s Deze situatie kan wederom worden onderverdeeld in 3 verschillende gevallen. Als er twee camera s mogelijk zijn, dan zijn er dus minimaal 2 vectoren a en b, noem deze voor het gemak muurvectoren, die vanuit het coördinaat van de camera naar het eindpunt van de muur lopen. We onderscheiden de volgende drie situaties: (a,b) 1. a b = 1 2. (a, b) 0 3. (a, b) < 0 In geval 1 maken de vectoren een hoek van 180, oftewel de twee camera s liggen ergens langs een rechte muur. In dit geval kunnen er dus 2 180 -camera s geplaatst worden, ieder aan een andere kant van de muur. Wil men vervolgens kijken of een bepaald coördinaat van het museum binnen de gezichtsvelden van de camera s ligt, dan hoeft men alleen maar te kijken naar het inproduct tussen de vector naar het willekeurige coördinaat (noem deze vector s) en de loodvectoren van a en b. Normaal gesproken zouden er voor muurvector a twee verschillende loodvectoren zijn die elkaars tegenovergestelde zijn. Echter, doordat de berekening van de loodvectoren vast gekozen is, hoort er bij elke muurvector maar één loodvector. Als er vervolgens wordt gekeken of de inproducten positief en/of negatief zijn, dan kan men bepalen in welk gezichtsveld het willekeurige coördinaat moet liggen. 9 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

In situatie 2 maken de vectoren een hoek die kleiner of gelijk is dan 90. Er zijn dus twee camera s nodig: Één met een kijkhoek van 90 en één met een kijkhoek van 360. Eveneens kunnen nu de gezichtsvelden van de camera worden bepaald met behulp van inproducten, de vector s en de loodvectoren. 10 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

Is er sprake van situatie 3, dan maken de muurvectoren een onderlinge hoek die groter is dan 90. De camera s die nu gebruikt kunnen worden, zijn de camera s met een kijkhoek van 180 en met een kijkhoek van 360. Het is niet zo zeer de werkwijze die nu verandert, maar de gezichtsvelden van de camera s zijn op een andere manier ingedeeld zoals duidelijk te zien is in de afbeelding hieronder. In de gevallen 2 en 3 zijn er stippellijntjes getekend als verlengde van de muurvectoren. Uiteraard hadden deze in situatie 1 ook getekend kunnen worden, maar dan vallen deze stippellijntjes samen met de tegenoverstaande muurvector. Gaat men nu de cirkel opdelen in vlakken met verschillende inproduct voorwaarden, dan zien we dat deze vlakken worden begrensd door een muurvector of een verlengde van een muurvector (een stippellijntje). Dit betekent dus dat er per muurvector (en zijn verlengde) twee deelgebieden ontstaan. Vandaar dat er in bovenstaande afbeeldingen telkens vier verschillende deelgebieden zijn. In het geval van drie camera s en dus drie muurvectoren, kunnen we dus zes verschillende deelgebieden verwachten. 11 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

Drie mogelijke camera s Zijn er drie verschillende camera s te plaatsen in één coördinaat, dan volgt hieruit dat er ook drie muurvectoren vertrekken vanuit het desbetreffende coördinaat. Noem deze muurvectoren a, b en c. Wederom zijn er drie verschillende mogelijkheden. Deze drie mogelijkheden zijn te onderscheiden via de inproducten (a, b), (a, c) en (c, b). 1. Twee van de drie inproducten zijn groter of gelijk 0, maar niet twee van de drie inproducten zijn gelijk aan 0. Deze situatie komt in de plattegrond van het museum niet voor. 2. Minstens twee van de inproducten zijn kleiner of gelijk aan 0, maar niet twee van de drie inproducten zijn gelijk aan 0. 3. Twee van de drie inproducten zijn gelijk aan 0. Deze situatie komt het meeste voor. Er staat dan een muur loodrecht op een andere muur. Deze situatie komt het meeste voor in de plattegrond van het museum. Echter, men kan de situatie met 3 camera s ook opdelen in drie situaties met 2 camera s. Elk gezichtsveld is dan te bepalen door elk van de drie hoeken apart te nemen en het algoritme voor 2 camera s er op toe te passen. Echter, wil men de besproken methodes toe kunnen passen, dan is het nodig dat men weet wat de onderlinge verhouding is tussen de twee vectoren met betrekking tot de hoek. Als u verteld wordt dat een vector a verticaal omhoog loopt en een hoek maakt van 45 met vector b, aan welke kant ligt de vector b dan ten opzichte van a? Hierover kan pas uitspraak gedaan worden als men de methode die in de volgende paragraaf besproken wordt, toepast op de twee vectoren. 12 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

5.3 Onderlinge positie Zoals in de vorige paragraaf reeds besproken, is het van belang om te weten wat de onderlinge positie is van twee vectoren die een bepaalde hoek met elkaar maken. Ligt een vector links of rechts van een andere vector? Hoe definiëren we deze links en rechts? Neem twee vectoren a en b en neem aan dat deze een hoek met elkaar maken van ψ, waarbij ψ kleiner is dan 180. Zou men de vectoren a en b beide delen door hun eigen lengte, dan krijgen beide vectoren lengte 1 waardoor het mogelijk is om de eindpunten van de vectoren op de eenheidscirkel te leggen die als middelpunt de twee beginpunten van de vectoren heeft. Dan zijn we geïnteresseerd in de vector vanuit welke men zou beginnen met lopen over de eenheidscirkel, waarbij de looprichting tegen de klok in is, om de gehele hoek ψ af te leggen. Liggen beide vectoren a en b in de bovenste helft van de cirkel, dan vindt men dus de vector die rechts van de andere vector ligt. Liggen beide vectoren in de onderste helft van de cirkel, dan vindt men juist de vector die links van de andere vector ligt, maar vanuit het middelpunt gezien rechts van de andere vector. Er wordt dus gezocht naar de vector die vanuit het middelpunt van de cirkel, rechts ligt van de tweede vector als men zou kijken in de richting van de hoek die kleiner is dan 180 Het inproduct maakt het bepalen van deze onderlinge positie wederom vrij eenvoudig. Bekijkt men vectoren a en b, dan geeft het inproduct (a l, b) het antwoord op de vraag (waarin a 1 de loodvector van a is). Is deze groter dan nul, dan ligt a rechts van b, is het inproduct kleiner dan 0, dan ligt a rechts van b. 13 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

5.4 Snijpunten In de vorige paragraaf zijn de punten bepaald die binnen het gezichtsveld van een camera vallen. Maar dat wil niet zeggen dat deze punten ook daadwerkelijk zichtbaar zijn voor een camera. Er worden namelijk ook een heleboel punten afgeschermd door andere muren, die het gezichtsveld van een camera kunnen beperken. Wanneer men wil uitrekenen of het mogelijk is dat een bepaald coördinaat zichtbaar is vanuit een punt, is het handig om lijnstukken te tekenen. Elke muur heeft namelijk een begin- en eindcoördinaat (resp. c en d). Vanuit het coördinaat waar de camera staat (a) is het dan mogelijk om een lijnstuk te maken naar het punt dat binnen de kijkhoek van de camera valt (c). Als deze lijnstukken elkaar snijden, dan bevindt zich er een muur tussen a en b en is het punt dus niet zichtbaar. Het is met behulp van vectornotatie relatief eenvoudig om na te gaan of twee lijnstukken elkaar snijden. Stel de lijn vanuit de camerapunt is l: ( ) ( ) a1 b1 a l : + λ 1 (5.2) a 2 b 2 a 2 en de vergelijking van de muur wordt gegeven door m: ( ) ( ) c1 d1 c m : + µ 1 c 2 d 2 c 2 (5.3) Wanneer 0 < λ, µ < 1 dan snijden deze lijnstukken elkaar. Het punt is dan niet te zien vanuit de camera. Het volgende lineaire stelsel moet dus opgelost worden: ( ) ( ) ( ) ( ) a1 b1 a + λ 1 c1 d1 c = + µ 1 a 2 b 2 a 2 c 2 d 2 c 2 (5.4) 14 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

Dit leidt tot de volgende oplossingen: λ = (c 1 a 1 ) (b 2 a 2 ) (c 2 a 2 ) (b 1 a 1 ) (d 2 c 2 ) (b 1 a 1 ) (d 1 c 1 ) (b 2 a 2 ) (5.5) µ = c 2 a 2 + (d 2 c 2 ) λ b 2 a 2 (5.6) 15 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

6 Algoritme minimumprijs Op de voorgaande pagina s is beschreven welke informatie nodig is om daadwerkelijk oplossingen en ondergrenzen te gaan vinden. In dit hoofdstuk zal een algoritme behandeld gaan worden dat een ondergrens geeft voor de optimale oplossing. Het algoritme werkt als volgt: Voor elke mogelijke camera is precies bekend welke punten binnen het gezichtsveld vallen. Met behulp van de kosten van een camera, is het dus mogelijk om de kosten per coördinaat te berekenen. Dit is namelijk: q i j = Coördinaatprijs = cameraprijs #zichtbare coördinaten Ondergrens = 28 38 i=0 j=0 min(q i j ) Zo kunnen we voor elk vakje uitrekenen wat de minimale kosten zullen zijn om het te beveiligen. Als we dan de som nemen over alle minima, hebben we een ondergrens voor de totale prijs. Dit algoritme bracht ons tot een ondergrens van e15.000. Dit is absoluut nog geen goede ondergrens. Het zou namelijk betekenen dat we met 5 90 camera s zouden rondkomen om alle punten af te dekken, wat zeer onrealistisch is. 16 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

7 Resultaten Tot nu toe is er nog geen goed algoritme bedacht dat al beschreven kan worden. Om toch al een redelijke bovengrens te kunnen geven zijn op intuïtie camera s gaan ophangen om een volledige dekking te krijgen. Hierbij is getracht om met een camera zoveel mogelijk punten af te dekken die nog niet afgedekt waren. Hierbij is geprobeerd om zoveel mogelijk 90 en 180 graden camera s te gebruiken, om zo hopelijk de kosten te kunnen drukken. Uiteindelijk bleek dat toegekomen kon worden met 6 90, 10 180 en 1 360 camera s. Deze oplossing kost dus e76.000. In de afbeelding hieronder is te zien hoe deze camera s gepositioneerd zijn. Figuur 7.1: 6 90, 10 180 en 1 360, e76.000 17 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1

8 Conclusie, discussie en hoe verder? Vooralsnog zijn er weinig resultaten gevonden.de resultaten die gevonden zijn, liggen ook nog eens redelijk ver uit elkaar voor wat betreft de kosten van de beveiliging. De resultaten zijn dan ook nog zeker niet representatief als antwoord voor het model. Echter, in dit eerste deel van het project is vooral ingegaan op het verkrijgen van de benodigde informatie voor het gebruik van algoritmen. De gebruikte methoden kunnen niet alleen op dit model toegepast worden, maar kunnen op elk vergelijkbaar model met een coördinatenstelsel toegepast worden. De belangrijkste vervolgstappen zijn het zoeken naar nieuwe algoritmes (welke niet zozeer de beste oplossing hoeven te geven, maar gebruikt kunnen worden voor een beter inzicht in het model, het ophogen van de ondergrens of het verlagen van de bovengrens), het toepassen van deze algoritmes en het verbeteren van reeds gevonden oplossingen. Mocht het lukken de optimale oplossing vrij snel te vinden, dan is het van belang aan te tonen dat deze oplossing ook daadwerkelijk de beste oplossing is. Daarnaast kan het interessant zijn bepaalde aannames weg te laten, bijvoorbeeld de onbeperkte levensduur van camera s. De optimale oplossing kan er dan in één keer heel erg anders uit zien. 18 Beveiliging Museum Kempenland / Version 1