GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de eerste graad R. Van Nieuwenhuyze Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, lerarenopleiding Brussel Auteur Van Basis tot Limiet en auteur van Nando. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 1
1 GEOGEBRA 3D Het is wenselijk dat de leerlingen tijdens het bestuderen van de vlakke meetkunde in het eerste en tweede jaar met GeoGebra gewerkt hebben (denk aan driehoeken, vierhoeken, eigenschappen van vlakke figuren, transformaties, ). Het is ook nuttig als de leerlingen vooraf punten hebben leren tekenen in een assenstelsel in het vlak (2D dus) en dus vlot coördinaten van punten kunnen weergeven en punten kunnen tekenen waarvan de coördinaten gegeven zijn. Alles wordt dan uitgebreid naar 3D. Hiervoor is ook een assenstelsel nodig (een x-as, een y-as en een z-as) en om een punt vast te leggen zijn dus 3 coördinaatgetallen nodig. Het is evident dat het niet steeds nodig is om analytisch te gaan werken (bijvoorbeeld de ontwikkeling van een kubus tekenen). Het is steeds mogelijk om de assen te verbergen. Het is dus in 3D ook zo dat op de achtergrond steeds een assenstelsel aanwezig is ook al is dit soms verborgen. Dit is trouwens in 2D ook zo. Open GeoGebra, klik op beeld en vink 3D tekenvenster aan. Je moet dan volgend scherm krijgen: Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 2
Het is wenselijk om de assen onmiddellijk te benoemen. Klik hiervoor met de rechtermuisknop in het 3D-tekenvenster en ga naar Tekenvenster. Dit is een belangrijke balk: 1 2 3 4 5 6 De eerste 2 icoontjes spreken voor zich. Met het derde icoontje kan je het xoy-vlak al dan niet als vlak wat inkleuren. Met het vierde icoontje kan je altijd terugkeren naar het standaardscherm ook als je in- of uitgezoomd hebt. Met het vijfde icoontje kan je zoals in 2D punten al dan niet laten vasthechten aan roosterpunten. Met het zesde icoontje kan je het 3D-venster laten draaien / stoppen. Als je op het voorlaatste icoontje klikt dan kan je de box verbergen: Het nut van de andere icoontjes komt verder aan bod. Ze zullen dienen om een gepaste perspectiefmethode te kiezen. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 3
2 TEKENEN VAN PUNTEN, RECHTEN EN VLAKKEN Klik op Nieuw punt en klik in het xoy-vlak. Je krijgt dan dit te zien: Je kan nu het punt verschuiven naar boven of naar onder toe (volgens de z-as dus). Als je nog eens klikt op de linkermuisknop krijg je dit: Nu kan je het punt naar links of naar rechts verschuiven. Door een combinatie van beide acties kan je een willekeurig punt in de ruimte vastleggen. Uiteraard kan je ook de coördinaat van een punt gewoon in het commandovenster intypen en het punt wordt getekend. Bijvoorbeeld: A = (-2,3,2). Om een rechte door 2 punten te tekenen, teken je dus eerst de punten zelf op de manier die hierboven werd beschreven. Nadien klik je op rechte door 2 punten en vervolgens klik je op de 2 punten. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 4
Om een vlak te tekenen zijn er verschillende mogelijkheden want een vlak is bepaald door: 3 niet-collineaire punten 2 snijdende rechten 2 evenwijdige rechten een rechte en een punt dat niet op deze rechte ligt Teken eerst 3 niet collineaire punten. Klik dan op vlak door 3 punten en klik op de 3 punten. Het vlak bepaald door deze 3 punten wordt getekend. Teken nadien 2 snijdende rechten. Klik dan op vlak algemeen en klik de 2 rechten aan. Teken nadien 2 evenwijdige rechten. Teken daarom eerst 2 punten A en B en dan de rechte door deze 2 punten. Teken dan nog een derde punt C en teken nadien door C de evenwijdige aan AB. Klik dan op vlak algemeen en klik de 2 rechten aan. Je krijgt dan dit: Merk op dat je zowel A als B als C kunt verslepen. Het getekende vlak verandert mee. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 5
3 ONDERLINGE LIGGING VAN RECHTEN EN VLAKKEN Rechten in 3D zijn ofwel snijdend, evenwijdig (samenvallend) of kruisend. Veel leerlingen hebben het soms lastig om in te zien dat rechten kruisend zijn. Hiervoor kan GeoGebra veel ondersteuning geven. We tekenen daarom eerst een kubus. Geef in het commandovenster in: A = (-3,-3,0) en nadien B = (3,-3,0) Ga dan naar de werkbalk en klik op het icoontje voor kubus en klik op de punten A en B. Sla de kubus op je bureaublad of usb-stick op. Teken dan de rechten EF en GC. Verberg de assen, het xoy vlak en de omhullende balk. Om duidelijk te maken dat dit kruisende rcchten zijn, laten we de tekening draaien. Teken ook eens 2 snijdende rechten op de kubus en laat de kubus ronddraaien. Vlakken in 3D zijn ofwel snijdend ofwel evenwijdig (samenvallend). Open de kubus die werd bewaard en teken 2 evenwijdige vlakken. Klik hiervoor telkens op vlak door 3 punten en klik dan ook 3 punten aan. Laat de kubus ronddraaien. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 6
4 TEKENEN VAN VEELVLAKKEN, CILINDERS EN KEGELS Tekenen van een piramide Klik op opties en nadien op labels en kies voor enkel nieuwe punten. Teken een vierhoek ABCD in het 2D-tekenvenster. Deze vierhoek wordt ook automatisch getekend in het xoy-vlak van het 3D-tekenvenster. Ga naar het icoontje uitrekken naar piramide of kegel en ga naar de veelhoek (zonder te klikken) en houd de linkermuisknop ingedrukt en sleep naar boven. Zo krijg je dan een piramide. Een andere mogelijkheid is: ga naar het icoontje uitrekken naar piramide of kegel en klik nadien in de veelhoek en laat de linkermuisknop los, kies dan de hoogte van de piramide. De piramide wordt getekend. Er is nog een derde mogelijkheid: teken een veelhoek in het 2D-venster. Ga dan naar het 3D-tekenvenster. Teken een willekeurig punt in de ruimte dat als top van de piramide zal gebruikt worden. Ga naar piramide op de werkbalk, klik de veelhoek aan en nadien de top. De piramide wordt getekend. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 7
Tekenen van een prisma Werk analoog zoals voor piramide door eerst een veelhoek te tekenen in het 2Dvenster en deze dan nadien uit te rekken tot een prisma met al dan niet het ingeven van de hoogte. Ook de derde mogelijkheid die vermeld was bij piramide werkt voor prisma s. Je kan dan ook scheve prisma s tekenen. Tekenen van een kegel Teken een cirkel in het 2D-venster. Ga naar het 3D-tekenvenster. Kies op de werkbalk voor uitrekken naar piramide of kegel. Selecteer de getekende cirkel en sleep hem naar boven. Een andere mogelijkheid: klik op de getekende cirkel en voer de hoogte van de kegel in. Er is tevens nog een andere mogelijkheid: teken 2 punten in de ruimte. Kies dan op de werkbalk voor kegel en klik de 2 punten aan (het tweede punt is de top) en voer dan de straal in. Tekenen van een cilinder Teken een cirkel in het 2D-venster. Ga naar het 3D-tekenvenster. Kies op de werkbalk voor uitrekken naar prisma of cilinder. Selecteer de getekende cirkel en sleep hem naar boven. Een andere mogelijkheid: klik op de getekende cirkel en voer de hoogte van de cilinder in. Er is tevens nog een andere mogelijkheid: teken 2 punten in de ruimte. Kies dan op de werkbalk voor cilinder en klik de 2 punten aan en voer dan de straal in. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 8
5 ZICHTBARE EN ONZICHTBARE RIBBEN Open de kubus die op je bureaublad staat en laat de kubus ronddraaien. Hier zie je dan de ribben soms zichtbaar en soms onzichtbaar zijn. Om de kubus te laten ronddraaien, gebruik je bij het laatste icoontje op de 3D-werkbalk het icoontje roteer 3D-tekenvenster. Sommige leerlingen zien de stippellijnen op de voorgrond, anderen echter op de achtergrond. Je kan hiervoor ook balken, piramides, prisma s gebruiken om dit te verduidelijken. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 9
6 KEUZE VAN HET PERSPECTIEF Bij het laatste icoontje kan je het gepaste perspectief waaronder het Cavalièreperspectief kiezen: De verschillende aanzichten kan je krijgen door eerst voor parallelprojectie te kiezen, dan te klikken op het huisje (roteer naar standaardscherm) en nadien voor een projectie op respectievelijk het Oyz-vlak, het Oxz-vlak en Oxy-vlak. Vooraanzicht: Bovenaanzicht: Rechterzijaanzicht: Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 10
7 AANZICHTEN VAN KUBUSHUISJES Als je dan klikt op de eerste actieknop dan krijg je: Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 11
Stappenplan: 1. Kies voor parallellprojectie en klik dan op het icoontje roteer naar standaardscherm. 2. Geef in het commandovenster in: A = (-3,-3,0) en nadien B = (3,-3,0) 3. Ga dan naar de werkbalk en klik op het icoontje voor kubus en klik op de punten A en B. 4. Klik dan op de punten C en B (respecteer de volgorde). 5. Klik dan op de punten E en M (respecteer de volgorde). 6. Klik dan op de punten C en J (respecteer de volgorde). 7. Kleur dan de zijvlakken gepast in door rechts te klikken op het passende zijvlak en dan naar eigenschappen te gaan en dan bij kleur te kiezen voor een passende kleur. 8. Om dan de aanzichten te zien, klik je op projectie op Oxy-vlak, projectie op 9. Open tekenvenster 2 en kies op de werkbalk voor actieknop invoegen en kies als titel voor vooraanzicht/achteraanzicht en vul bij scripting in: SetViewDirection[(0,1,0)] (analoog voor de andere actieknoppen) 10. Voeg eventueel nog een afbeelding in het tekenvenster 2 in. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 12
8 DIAGONAALVLAKKEN EN ANDERE VLAKKEN IN KUBUS, BALK Open de kubus vanuit je bureaublad. Teken de vierhoek AHGB. Om in te zien dat dit in werkelijkheid een rechthoek is, kan je de kubus laten ronddraaien maar je kan ook het algebravenster openen en daar met de rechtermuisknop klikken op veelhoek1 en kiezen voor toon veelhoek1 bij 2Dvenster. Plaats ook nog de afmetingen bij de rechthoek en laat zien dat alle hoeken 90 meten. Opdracht: Teken in cavalièreperspectief een balk met afmetingen 6 cm, 4 cm en 8 cm. Teken in deze balk een gelijkbenige driehoek. Laat zien dat dit duidelijk een gelijkbenige driehoek is. Bereken het volume van deze balk. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 13
9 LICHAMEN BEGRENSD DOOR VEELHOEKEN Veel lichamen zijn begrensd door veelhoeken en sommige lichamen zelfs door regelmatige veelhoeken. We denken hier aan de platonische lichamen. Er zijn er maar 5. Teken 2 punten A en B in het xoy-vlak en typ dan het volgende commando in: Twintigvlak[A,B] Je krijgt dan dit: Dit veelvlak wordt begrensd door gelijkzijdige driehoeken. Laat een apart venster zien dat dit inderdaad gelijkzijdige driehoeken zijn. Ga bij een kubus en een tetraeder ook na dat H + V = N + 2 met H het aantal hoekpunten, V het aantal vlakken en N het aantal ribben. Dit geldt ook voor de andere platonische lichamen. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 14
10 ONTWIKKELINGEN VAN KUBUS, BALK Stappenplan 1. Teken een kubus in Cavalièreperspectief. Deze krijgt de naam a mee. 2. Teken in tekenvenster 2 een schuifknop k die varieert van 0 tot 1 met stappen van 0.001 3. Geef het commando Ontvouwing[a, k] in het invoervenster in. 4. Klik rechts op de schuifknop en zet animatie aan. Geef ook eens het volgende commando in: Ontvouwing[a, k, zijvlakbcgf, RibbeCG] Taak: teken de ontwikkeling van een vijfzijdige piramide. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 15
11 BESTANDEN OP HET NET Op het net is zijn veel goeie bestanden te vinden: Klik gans bovenaan rechts op het vergrootklas: Je krijgt dan volgend scherm: Typ nu net of cube in en je krijgt dan dit: Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 16
Probeer Nets of the Cube uit. Mooi toch! Typ nu perspief in het zoekvenster in. Probeer hier Kamer in perspectief uit alsook 3meet_4ruimtenatpersp. Typ Cilinder in en je krijgt opnieuw veel bestanden die je ook kan downloaden. Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 17
Inhoud 1 GeoGebra 3D... 2 2 Tekenen van punten, rechten en vlakken... 4 3 Onderlinge ligging van rechten en vlakken... 6 4 tekenen van Veelvlakken, cilinders en kegels... 7 5 Zichtbare en onzichtbare ribben... 9 6 Keuze van het perspectief... 10 7 Aanzichten van kubushuisjes... 11 8 diagonaalvlakken en andere vlakken in kubus, balk... 13 9 Lichamen begrensd door veelhoeken... 14 10 Ontwikkelingen van kubus, balk... 15 11 Bestanden op het net... 16 Roger Van Nieuwenhuyze Ruimtemeetkunde eerste graad 18