Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de leerlingen de constructie zelfstandig. Deze manier van werken dient mede om het zelfstandig werken te bevorderen en om te leren om geschreven opdarchten uit te voeren. Nauwkeurig lezen wordt daarmee ook geoefend. Later in de periode zullen de verschillende constructies ook op meetkundige juistheid bewezen worden. Daarbij worden meestal congruente dierhoeken gebruikt. Daarvoor echter moeten de vijf congruentiegevallen behandeld zijn en die rusten op de vijf constructie gevallen van driehoeken.
1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1: Een lijnstuk door midden delen. Gegeven: Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden van AB Cirkel vanuit A die afstand om aan beide kanten van AB (dus zowel boven AB, als ook onder AB) Doe het zelfde vanuit B (ook weer boven en onder het lijnstuk) Zo ontstaan twee boogjes. We noemen de snijpunten C (boven) en D (onder) Verbind de punten C en D met elkaar Waar deze lijn AB snijdt, ligt het midden van AB, dan noem je M M is het gevraagde midden van lijnstuk AB Opmerking: Met deze constructie heb je tegelijkertijd ook de middelloodlijn van het lijnstuk AB geconstrueerd. CD is de lijn die loodrecht staat op AB en door het midden van AB gaat. Dat is de middelloodlijn van AB.
2 Verplaatsen van een hoek Basisconstructie 2 Een hoek te construeren, die gelijk is aan een gegeven hoek. (Verplaatsen van een hoek naar een andere plaats op het papier) Gegeven: Hoek A Trek een lijn m, waarop A moet worden overgebracht en geef aan waar punt A komt. (A is het nieuwe punt A en dat wordt weergegeven door een A met een komma. Dat noemen we accent. Dus: A-accent) Trek in de gegeven hoek vanuit A een cirkel met willekeurige straal, dat geeft je de punten B en C. Trek vanuit A een cirkelboog met dezelfde straal dat geeft je punt B op lijn m Neem de afstand BC van de gegeven hoek in de passer. Breng deze afstand over naar de nieuwe driehoek en zet passer in B en cirkel om op de cirkelboog om A dat geeft punt C De hoek B A C is de verplaatste hoek. Opmerking: Je kunt de hoek zien als een soort krokodillenbek die open staat. Hoe ver staat de krokodillenbek open? Dat wordt precies weergegeven door de afstand BC! Deze constructie komt vaak voor.
3 Evenwijdige lijn Basisconstructie 3 Door een punt buiten een gegeven lijn een andere lijn construeren, die evenwijdig is aan de gegeven lijn. Gegeven: Een lijn l en een punt ergens buiten die lijn Trek door P een willekeurige lijn m. Snijpunt van l en m is A We gaan nu CAB verplaatsen naar punt P volgens basisconstructie nr. 1 (verplaatsen van een hoek) Trek een cirkelboog met willekeurige straal en A als middelpunt. Dit levert snijpunten B (op lijn l) en C (op lijn m) Neem de afstand AB als straal in de passer en cirkel dit om vanuit P. Het snijpunt van deze cirkel met lijn m noemen we D Neem de afstand BC tussen de benen van de passer. Dit is hoe ver de krokodillenbek van A open staat. Breng over naar D en cirkel af vanuit D hoe ver de krokodillenbek open staat. Dit levert punt E Trek een lijn door de punten E en P. Dit is lijn n. Lijn n is evenwijdig aan lijn l. (symbool voor evenwijdig: ; dus: n l ) We hebben nu CAB verplaatst naar punt P. DPEis evengroot als CAB. De lijn n door E en P is de gevraagde lijn.
4 Bissectrice Basisconstructie 4 Een hoek door midden delen. Een lijn die een hoek door midden deelt heet een bissectrice of deellijn. Gegeven: Hoek A Zet de passer in A en trek een cirkelboog met willekeurige straal, die de benen van A snijdt Noem de beide snijpunten B en C Teken nu twee cirkelboogjes met dezelfde straal, één vanuit B en één vanuit C dat geeft het punt P Trek de lijn AP De lijn AP is de gevraagde bissectrice.
5 Bissectricepaar Basisconstructie 5 De bissectrices van twee nevenhoeken Twee snijdende lijnen vormen vier hoeken, twee aan twee nevenhoeken. Gegeven: een hoek A en zijn nevenhoek. Construeer de bissectrices van deze hoeken en kijk wat je opvalt. Construeer volgens basisconstructie 4 de bissectrices van hoek A en ook van zijn nevenhoek. Merk op, dat de beide bissectrices loodrecht op elkaar staan, ofwel een hoek van 90 vormen. Eigenschap: De bissectrices van twee nevenhoeken staan loodrecht op elkaar Te bewijzen A 23 = 90 Bewijs: De hoeken A 1, A 2, A 3 en A 4 vormen een gestrekte hoek. Dus: A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 180 (1) Omdat AP en AQ bissectrices zijn, geldt: A 1 = A 2 en A 3 = A 4 Vervang in (1) A 1 door A 2 en A 4 door A 3 Dan krijg je A 2 + A 2 + A 3 + A 3 = 180 Ofwel: 2 A 2 + 2 A 3 = 180 Delen door 2 geeft: A 2 + A 3 = A 23 = 90
6 Loodlijn oprichten Basisconstructie 6: In een punt van een lijn, een loodlijn op die lijn op te richten. Gegeven: lijn l en een punt P op l. In feite komt deze constructie neer op het construeren van de bissctrice van een gestrekte hoek. Neem de passer met willekeurige straal en pas aan beide kanten van P gelijke stukken af op lijn l. Zo ontstaan de punten A en B. Daarvoor geldt: PA = PB Neem tussen de benen van de passer een afstand die een paar cm groter is dan PA en cirkel dit af vanuit A, boven de lijn l Cirkel dezelfde boog ook om vanuit B (ook boven lijn l) Waar de bogen elkaar kruisen ontstaat punt C Trek PC PC is de gevraagde loodlijn.
7 Loodlijn neerlaten Basisconstructie 7: Hoogtelijn uit punt P neerlaten. Gegeven: een lijn l en een punt P buiten lijn l. Trek vanuit P een cirkelboog die lijn l twee maal snijdt. Noem de snijpunten A en B. Bepaal met basisconstructie 1 het midden van lijnstuk AB. Dit noem je M. Trek lijn PM. Deze lijn is de gevraagde hoogtelijn.
8 Een hoek van 60 Basisconstructie 8 Constructie van een hoek van 60 (op een lijnstuk) Gegeven: Een willekeurig lijnstuk AB. Trek een willekeurig lijnstuk AB (neem voor het gemak ongeveer 6 cm) Trek boven lijnstuk AB 2 cirkelbogen met AB als straal en A en B als middelpunten. Het snijpunt van de cirkelbogen is C. Trek AC Hoek CAB is de gevraagde hoek van 60 Opmerking: Merk op dat je eigenlijk een gelijkzijdige driehoek hebt geconstrueerd. Zoals je weet, zijn alle hoeken en alle zijden dan gelijk. De 3 hoeken van een driehoek zijn samen altijd 180. Dus elke hoek is 60 en dat was precies de bedoeling)
9 Een hoek van 45 Basisconstructie 9 Constructie van een hoek van 45 (op een lijn) Gegeven: Een willekeurige lijn met daarop een punt P Trek een willekeurige lijn en neem daarop een punt P aan. Richt in P een loodlijn op volgens basisconstructie nr. 6 Construeer de bissectrice van P volgens basisconstructie nr. 4 Nu is de gevraagde hoek van 45 ontstaan. Opmerking: Merk op dat je eigenlijk een hoek van 90 door midden deelt. De deelhoeken zijn dus 45
10 Gelijkbenige driehoek Basisconstructie 10 Constructie van willekeurige gelijkbenige driehoek Gegeven: Een willekeurig lijnstuk AB als basis voor de driehoek. (Neem voor het gemak ongeveer 6cm) Neem een afstand in de passer, die wat groter is dan de afstand AB. Trek met A als middelpunt een cirkelboog boven AB Trek dezelfde cirkelboog met B als middelpunt Waar beide cirkelbogen elkaar snijden ontstaat punt C Trek AC en BC Driehoek ABC is de gevraagde willekeurige gelijkbenige driehoek. Opdracht: Voer op de achterkant dezelfde opdracht uit, maar nu met een straal van iets meer dan de helft van AB. Wat kun je zeggen over hoek C die nu is ontstaan in vergelijking tot hoek C van de eerste constructie?
11 Zwaartelijn in een driehoek Basisconstructie 11 Gegeven een driehoek ABC. Een zwaartelijn neerlaten op een de zijde AB vanuit punt C Een zwaartelijn is een lijn, die van een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde loopt. Gegeven: De driehoek ABC Bepaal met basisconstructie 1 het midden van AB noem dat punt M. Trek de lijn CM De lijn CM is de gevraagde zwaartelijn