Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Toelatingstest Wiskunde, dinsdag 1 juni 011, 930-100 uur Het gebruik van een telefoon is niet toegestaan Een woordenboek zonder aantekeningen en een rekenmachine mogen wel worden gebruikt Elk antwoord moet duidelijk gemotiveerd worden en berekeningen exact uitgevoerd, tenzij anders is vermeld 1 De functie f wordt gegeven door f(x) = 4 x figuur 1 In figuur 1 zijn de lijn y = x en de grafiek van f getekend op [ 0, ] T is het snijpunt van de lijn y = x en de grafiek van f De lijn y = p snijdt het lijnstuk OT in P en de grafiek van f in Q De rechthoek met zijde P Q waarvan de tegenoverliggende zijde op de x-as ligt is in figuur 1 voor één waarde van p grijs gemaakt (1) (a) Toon aan dat de x-coördinaat van van Q gelijk is aan p Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van de rechthoek maximaal is (3) (b) Bereken deze waarde van p en de oppervlakte van de bijbehorende rechthoek figuur Het gebied V wordt begrensd door de grafiek van f, de y-as, de lijn y = x en de lijn x = 1 (zie figuur ) (3) (c) Bereken de oppervlakte van V (3) (d) Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat wanneer V om de x-as wordt gewenteld het vervolg vindt u op de achterzijde
Voor a > 0 wordt de functie f a op [ 0, π ] gegeven door f a (x) = sin(x) + a sin(x) In figuur 3 is voor enkele waarden van a de grafiek van f a getekend De grafiek van f 1 heeft een snijpunt A met de x-as figuur 3 () (a) Bereken de x coördinaat x A van A (0 < x A < π) (1) (b) Toon aan dat f a (x) geschreven kan worden als f a (x) = sin x (1 + a cos x) () (c) Voor welke waarden van a is f a (x) 0 voor 0 x π? Voor een bepaalde waarde van a heeft de grafiek van f a precies twee toppen; de x-coördinaat van één van deze toppen gelijk is aan 5 6 π De ander top noemen we B en heeft als x-coördinaat x B (3) (d) Toon aan dat cos(x B ) = 1 3 3 De functies f, g en h worden gegeven door f(x) = 6 e x 1, g(x) = e x 1 en h(x) = 3 + ex 1 figuur 4 In figuur 4 zijn de grafieken van f en g getekend op het interval [ 1, 5 ] De raaklijn m aan de grafiek van f in (a, f(a)) en de raaklijn l aan de grafiek van g in (a, g(a)) hebben een snijpunt (3) (a) Voor welke waarde van a snijden l en m elkaar loodrecht? In figuur 5 zijn de grafieken van f, g en h getekend op het interval [ 0, 3 ] Het lijkt er op dat deze grafieken door één punt gaan figuur 5 (3) (b) Toon aan dat dit vermoeden juist is en bepaal de coördinaten van het snijpunt Laten V het vlakdeel zijn ingesloten door de lijn x = 1 en de grafieken van f en g en laat W het vlakdeel zijn ingesloten door de lijn x = 1 en de grafieken van f en h (zie figuur 5) (3) (c) Toon aan dat oppervlakte(v ) oppervlakte(w ) = 4 3 Cijfer: (aantal behaalde punten + 3)/3 met afronding op gehele cijfers
Formules Goniometrie sin(t + u) = sin t cos u + cos t sin u sin t + sin u = sin t + u sin(t u) = sin t cos u cos t sin u sin t + sin u = sin t u cos(t + u) = cos t cos u sin t sin u cos t + cos u = cos t + u cos(t u) = cos t cos u + sin t sin u cos t cos u = sin t + u cos t u cos t + u cos t u sin t u
a- * v t,/ 11 / 3 u, ) 4/ - Ü ^ ^ é S 3 fcjcy T 1
= Cc) SW\ X C Life ^ C O S X ) "SV>)X- 7/Ö Wtrv O ^ ^ ^ T T v <F* C O S X >/ VVZTL O < x x cauo j^tt O < Q 4 i l ^ - 1 ^FI 1+ SLCv C O S X 4l A 4=1 a^'l, duo o< a 4 i ico ^ c l V C o i XL tt\ = o» x V ~ Q>(T C P S X +- CO&X - NTS, K ^ //O
T C - I ^ e»= l 4 = a-l*=o 0 0 ^6tf =%Cx*, x-1 ^(l +l*lft) a é-d"*^ C^+^i), I :=iüm3» -» oppe/o&jik Cvj 75 ^ h > 3 - _ f = %( ft Wis