Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand unt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige laatsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectriceaar, middenarallel, cirkel, arabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, arallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn o koorde, middellijn, Thales, middeluntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie + = + sin( t) + sin( u ) = sin t+ u ( ) cos t u ( ) = sin( t) sin( u) = sin t u ( ) cos t+ u ( ) + = cos( t) + cos( u ) = cos t+ u ( ) cos t u ( ) = + cos( t) cos( u ) = sin t+ u ( ) sin t u ( ) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) 1
Parabolen met gemeenschaelijke raaklijn Voor elke waarde van is de functie f gegeven door: f ( x ) = ( x ) + De grafieken van deze functies zijn arabolen. Twee van deze arabolen gaan door de oorsrong. 4 1 Bereken exact de coördinaten van de toen van deze twee arabolen. Verder is gegeven de lijn k met vergelijking y = x 1. Voor elke waarde van raakt de lijn k aan de grafiek van met coördinaten ( + 1;+ 1). f in het unt 4 Bewijs dat het unt ( + 1;+ 1) inderdaad raakunt is. We bekijken de functies f 0 en f (met 0 ). De lijn k raakt de grafiek van f 0 in Q en de grafiek van De grafieken van f 0 en figuur 1 y f 0 f k f snijden elkaar in f in S. Zie figuur 1. R. S R O Q x Er geldt: de x-coördinaat van van Q en R. 5 3 Bewijs dit. S is het gemiddelde van de x-coördinaten
De grafieken van f 0 en f 4 en de gemeenschaelijke raaklijn k sluiten een gebied V in. Zie figuur, waarin gebied V met grijs is aangegeven. figuur y f 0 f 4 k S 4 R 4 V O Q x 6 4 Bereken exact de oervlakte van V. 3
Sots Veel industriële en medische rocessen worden figuur 1 gestuurd door een digitale camera die gekoeld is aan camera een comuter. Hierbij is een gelijkmatige verlichting van het werkoervlak van groot belang. Voor de belichting sot gebruikt men vaak een of meer kleine sots. Zie figuur 1. sot Om de belichting goed te kunnen instellen is de hoogte van de sots boven het werkoervlak variabel. We bekijken eerst de situatie met één sot S. Zie figuur. De waargenomen verlichtingssterkte figuur E (in lux) in een unt P van een horizontaal oervlak kan berekend worden met de formule: S werkoervlak d Isot E = cos α 4πr α Hierin is: I sot een constante: de door de sot P uitgezonden lichtstroom (in microlumen); r de afstand (in mm) tot de sot; α de hoek (in radialen) tussen de lichtstraal en de loodlijn in P o het werkoervlak. In figuur is d de horizontale afstand in mm van de sot tot P en x de verticale afstand in mm van de sot tot P. Er geldt: Isot E = 4π 4 5 Bewijs dit. x ( x + d ) 3 We kiezen d = 10. Er is een waarde van x waarvoor E maximaal is. 7 6 Bereken algebraïsch deze waarde van x. Rond je antwoord af o één decimaal. r x 4
In de rest van deze ogave bekijken we de situatie met twee identieke sots. Voor elke sot geldt: I sot = 500. De sots hebben horizontaal een onderlinge afstand van 40 mm en schijnen recht naar beneden. De verticale afstand van de sots tot het werkoervlak is 5 mm. Zie figuur 3. Hierin is ook d aangegeven, de horizontale afstand in mm van de linker sot tot P. De horizontale afstand in mm van de rechter sot tot P is dan 40 d. figuur 3 S d 40 40 d S 5 P De totale verlichtingssterkte E totaal in een unt o het werkoervlak is de som van de waargenomen verlichtingssterktes in dat unt van beide sots. Het deel van het werkoervlak tussen de sots wordt voldoende gelijkmatig belicht als de laagste waarde van E totaal in dat deel minstens 80% van de hoogste waarde van E totaal bedraagt. 5 7 Onderzoek of bij de ingestelde verticale afstand van 5 mm het deel van het werkoervlak tussen de sots voldoende gelijkmatig belicht wordt. 5
Buiten en binnen de cirkel Gegeven is een cirkel c met middelunt M en straal 1. Buiten de cirkel liggen unten P en Q zo dat M niet o de lijn door P en Q ligt. O lijnstuk MP ligt binnen de cirkel het unt P' zo dat MP' MP = 1. O lijnstuk MQ ligt binnen de cirkel het unt Q' zo dat MQ' MQ = 1. In figuur 1 zijn de unten P en Q met de bijbehorende unten P' en Q' getekend. Deze figuur staat ook o de uitwerkbijlage. figuur 1 c P M P' Q' Q De driehoeken MP'Q' en MQP zijn gelijkvormig. 4 8 Bewijs dit. 6
In figuur zie je onieuw de cirkel c met middelunt M en straal 1. Verder is een lijn l buiten de cirkel getekend. figuur B A M A' c l O l ligt het unt A zo dat lijnstuk MA loodrecht o l staat. O lijnstuk MA ligt het unt A' zo dat MA' MA = 1. Figuur staat ook o de uitwerkbijlage. In figuur is ook een unt B o l getekend. O lijnstuk MB ligt het unt B' zo dat MB' MB = 1. 3 9 Bewijs dat B' o de cirkel met middellijn MA' ligt. 7
uitwerkbijlage 8 P c M P' Q' Q 9 B A A' M c l 8
Getransformeerde grafiek De functies f en g worden gegeven door: f( x) = ln( x + 1) en e gx ( ) = ln x + 1 De grafieken van f en g staan in figuur 1. Ze snijden elkaar in de unten S en T. figuur 1 y l A f S T P O B x g Lijn l met vergelijking x = snijdt de grafiek van f in unt A en de grafiek van g in unt B. Het unt o lijn l met y-coördinaat 1 noemen we P. In figuur 1 is de situatie weergegeven waarbij l rechts van T ligt. 3 10 Bewijs dat in deze situatie AP = BP. 9
Ook voor waarden van waarvoor l niet rechts van T ligt, geldt dat AP = BP. Hieruit volgt dat de grafieken van f en g elkaars gesiegelde zijn in de lijn met vergelijking y = 1. Deze lijn is getekend in figuur. In figuur is het gebied rechts van de y-as dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de y-as, grijsgemaakt. figuur y f S T O x g Dit gebied wordt gewenteld om de y-as. 5 11 Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam. De grafiek van f wordt naar rechts verschoven. In figuur 3 staan de grafiek van f en de verschoven grafiek. figuur 3 y f O x Het lijkt of deze grafieken elkaar loodrecht snijden. Dit is zo als in het snijunt van de grafieken het roduct van de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan deze grafieken gelijk is aan 1. 8 1 Bewijs dat ze elkaar loodrecht snijden. 10
Droogligtijd In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loo van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een eriode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule: h= 15cos π ( t) 745 Hierbij is h de waterhoogte in cm ten ozichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is t de tijd in minuten. Tijdsti t = 0 komt overeen met een moment waaro h = 15. In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen. De droogligtijd D is het aantal minuten er getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste unt van de zandbank ten ozichte van NAP. In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP. In figuur 1 is de grafiek van de waterhoogte h getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één eriode zijn er twee tijdstien waaro de waterhoogte h gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstien t 1 en t. Het verschil tussen t en t 1 is de droogligtijd D. figuur 1 h 15 40 O droogligtijd D t 1 745 t 745 t 15 4 13 Bereken de droogligtijd D van deze zandbank. Rond je antwoord af o een geheel aantal minuten. 11
O drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen. Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten ozichte van NAP. Er geldt dan: 5 14 Bewijs dit. z = 15cos π π ( D) 745 In figuur is de grafiek van z getekend voor waarden van D tussen 0 en 745. Ook kan een grafiek van het verband tussen D en z worden getekend waarbij z o de horizontale as en D o de verticale as wordt gekozen. Zie figuur 3. figuur figuur 3 figuur 4 z 15 D 745 D 745 O 745 D -15 37,5 37,5-15 O 15 z -15 O 15 z In onderzoeksraorten wordt, in laats van de formule die bij figuur 3 hoort, ook wel de volgende derdegraads formule gebruikt: 5 3 D = 8 10 z + 1,7 z+ 37,5 De bijbehorende grafiek staat in figuur 4. De grafieken in figuren 3 en 4 lijken o elkaar. Zo verschillen de hellingen van beide grafieken in het unt (0 ; 37,5) niet veel. De helling in een unt o de grafiek van figuur 3 kan worden berekend met behul van de helling in het overeenkomstige unt in figuur : er geldt dat het roduct van deze twee hellingen gelijk is aan 1. 5 15 Bereken o algebraïsche wijze bij elk van de figuren 3 en 4 de helling van de grafiek in het unt (0 ; 37,5). Rond je antwoorden af o één decimaal. 1
Driehoek, cirkel en koordenvierhoek Gegeven is driehoek ABC. Verder is gegeven een cirkel, zo dat de cirkel zijde AB in unt D raakt; de cirkel zijde BC in twee unten E en F snijdt; zijde DE evenwijdig aan zijde AC is. Zie de figuur, die ook o de uitwerkbijlage staat. figuur C F E A D B 4 16 Bewijs dat vierhoek ADFC een koordenvierhoek is. 13
uitwerkbijlage 16 C F E A D B 14