De confinement-afhankelijkheid van elektromagnetische vormfactoren van baryonen

Faculteit Subatomaire en Stralingsfysica Academiejaar 5 6 De confinement-afhankelijkheid van elektromagnetische vormfactoren van baryonen Hendrik Deschout Promotor: Prof. dr. J. Ryckebusch Begeleider: Dr. ir. T. Van Cauteren Scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van Licentiaat Natuurkunde

Dankwoord Heel wat mensen hebben mij geholpen bij deze thesis, via deze weg zou ik hen willen bedanken voor hun verschillende bijdragen. Allereerst wil ik natuurlijk Prof. dr. Jan Ryckebusch bedanken voor het vertrouwen dat hij in me heeft gesteld door als promotor van deze thesis te fungeren. Dr. ir. Tim Van Cauteren wil ik bedanken voor de degelijke begeleiding en de hoeveelheid tijd die hij daarvoor overhad, daarnaast zou ik Tim ook willen bedanken voor het toffe gezelschap. Mijn studiegenootjes die ondertussen vrienden zijn geworden, wil ik bedanken voor hun minder rechtstreekse bijdrage aan deze thesis. Een uitzondering hierop was Arne, hem wil ik bedanken voor het pdf-en van enkele figuurtjes, een verdienste die enkel kon worden afgekocht door middel van een vermelding in het dankwoord. Tenslotte zou ik ook mijn ouders willen bedanken voor hun praktische en morele steun tijdens het schrijven van deze thesis. Hendrik Deschout, Gent, juni 6 i

Inhoudsopgave Inleiding De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 8. Inleiding....................................... 8. De koppeling van een foton aan een baryon................... 8.3 Elastische elektromagnetische vormfactoren................... 9.3. De fysische interpretatie van de elastische vormfactoren.........3. De koppeling van een reëel foton..................... 3.4 Transitie elektromagnetische vormfactoren................... 4.4. De transitie van J π = + naar J π = +............... 4.4. De transitie van J π = naar J π = +................ 6.4.3 De transitie van J 3 naar J π = +.................. 6 3 De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren 8 3. Inleiding....................................... 8 3. De Rosenbluth methode.............................. 9 3.. Verstrooiing aan het baryon als puntdeeltje............... 9 3.. De werkzame doorsnede voor het puntvormig baryon.......... 3..3 De Rosenbluth werkzame doorsnede................... 3 3.3 De polarisatiemethode............................... 6 4 Het covariante quarkmodel 7 4. Inleiding....................................... 7 4. De zes-punt Greense functie........................... 9 4.3 De gebonden toestanden............................. 34 4.4 De Bethe-Salpeter vergelijking.......................... 36 4.5 De reductie naar de Salpeter vergelijking.................... 38 4.5. De reductie zonder twee-deeltjes interacties............... 39 4.5. De projectorstructuur van de Salpeter vergelijking........... 4 4.5.3 De reductie met twee-deeltjes interacties................. 43 4.5.4 De effectieve potentiaal VM eff........................ 44 4.6 De interacties................................... 47 4.6. Confinement................................ 47 4.6. De t Hooft interactie........................... 5 ii

Inhoudsopgave iii 5 Elektromagnetische vormfactoren in het covariante quarkmodel 53 5. Inleiding....................................... 53 5. Het Mandelstam formalisme........................... 53 5.3 Reconstructie van de Bethe-Salpeter amplitude................. 56 5.4 De effectieve stroomkernel............................ 58 6 De confinement-afhankelijkheid van de elektromagnetische vormfactoren 6 6. Inleiding....................................... 6 6. De richtingscoëfficiënt............................... 6 6.. De massa van de grondtoestand..................... 6 6.. De elektrische vormfactor......................... 64 6..3 De magnetische vormfactor........................ 67 6.3 De offset-constante................................ 73 6.3. De massa van de grondtoestand...................... 73 6.3. De elektrische vormfactor......................... 75 6.3.3 De magnetische vormfactor........................ 78 6.4 De inter-quark afstand.............................. 84 6.4. De elektrische vormfactor......................... 84 6.4. De magnetische vormfactor........................ 85 6.4.3 De heliciteitsamplitude A 6.4.4 De heliciteitsamplitude C 6.4.5 De heliciteitsamplitude A 3........................ 86........................ 9........................ 94 7 Conclusies 98 Bibliografie 3

Hoofdstuk Inleiding Elke atoomkern is opgebouwd uit nucleonen, deeltjes met spin en positieve pariteit die worden samengehouden door de sterke interactie. Er bestaan twee soorten nucleonen: protonen en neutronen. De massa s van het proton en het neutron verschillen slechts met,%. Daarnaast blijkt dat atoomkernen, die enkel van elkaar verschillen doordat een neutron vervangen is door een proton, gelijkaardige spectra hebben. Het proton en het neutron zijn dus vrijwel identiek voor de sterke interactie. Dit fenomeen kan men verklaren door het proton en het neutron te beschouwen als twee aparte isospintoestanden van hetzelfde deeltje in een inwendige ruimte, die de isospinruimte wordt genoemd. Aangezien de sterke interactie geen onderscheid maakt tussen het proton en het neutron, is deze interactie invariant onder rotaties in deze isospinruimte. Zo n isospinrotatie kan men voorstellen door middel van unitaire matrices. Een willekeurige unitaire matrix kan ook nog worden geschreven als het product van een fasefactor en een unitaire matrix met determinant. De groep van de unitaire N N matrices wordt U N genoemd en men schrijft U = U SU.. De U fasefactor zorgt er dus voor dat beide isospintoestanden met dezelfde fase worden vermenigvuldigd, zodat de som van het aantal protonen en het aantal neutronen behouden blijft. De eigenlijke isospinsymmetrie zal dus worden beschreven door SU, de groep van de unitaire matrices met determinant. Het nucleon transformeert onder die groep als een doublet, beschreven door isospin I = en isospin-projectie I 3 = ±. Dit doublet is een fundamentele representatie van SU. Het nucleon is echter niet het enige sterk interagerende deeltje. Vanaf de jaren vijftig van de vorige eeuw werden heel wat nieuwe deeltjes ontdekt die ook onderhevig zijn aan de sterke interactie, die men hadronen noemde. Deze hadronen kunnen verder onderverdeeld worden in

Hoofdstuk. Inleiding twee categoriëen. Enerzijds zijn er zware fermionen, die men baryonen noemt, en anderzijds zijn er middelzware bosonen, die men mesonen noemt. De meeste hadronen hebben een relatief lange levensduur van grootteorde s, wat erop duidt dat ze vervallen via de zwakke interactie. Aangezien ze sterk interageren, zouden hadronen in principe ook via de sterke interactie kunnen vervallen. Omdat dit echter niet gebeurt, is men genoodzaakt om een kwantumgetal in te voeren dat behouden wordt door de sterke interactie, maar niet door de zwakke interactie. Dit nieuwe kwantumgetal wordt de vreemdheid S genoemd. Met behulp van de vreemdheid S wordt de lading van elk hadron gegeven door de uitdrukking = B+S + I 3.. Het kwantumgetal B wordt het baryongetal genoemd en is de behouden grootheid die met de globale U symmetrie overeenstemt. De waarde van het baryongetal is voor een baryon en voor elk ander deeltje. Tegen de jaren zestig van de vorige eeuw nam de hoeveelheid ontdekte hadronen echter zulke indrukwekkende proporties aan, dat men op zoek ging naar de regelmaat in de Hadronenzoo. Door de vreemdheid van de deeltjes uit te zetten ten opzichte van hun isospin-projectie, kan men de grondtoestanden van de baryonen met spin en positieve pariteit in een octet stoppen. Deze ordening wordt weergegeven in figuur.. S n p Σ - Σ - Λ Σ + I 3 Ξ + - Ξ Figuur.: Het baryonoctet voor de grondtoestanden van de baryonen met J π = +.

Hoofdstuk. Inleiding 3 Er ontstaat een zeshoekige structuur, waarbij elke lijn bestaat uit isospin-multipletten die worden gekenmerkt door hun vreemdheid S en isospin I. Naarmate de vreemdheid van een isospin-multiplet negatiever wordt, zal de massa van dat multiplet stijgen. Om dit symmetrische patroon te verklaren, wordt verondersteld dat de isospinsymmetrie SU slechts een deel is van een grotere symmetrie SU 3 f. Deze symmetrie heeft een triplet 3 als fundamentele representatie, gekenmerkt door een isodoublet met S = en een isosinglet met S =. Op het eerste zicht lijkt de symmetrie SU 3 f met een triplet als fundamentele representatie een vreemde keuze. De samenstelling van drie tripletten van SU 3 f kan echter worden ontbonden op volgende wijze 3 3 3 = 8 8..3 Men krijgt dus een singlet, een decuplet en twee octetten. Het blijkt dat de isospin-projectie en de vreemdheid van de leden van het baryonoctet overeenkomen met die van de leden van één van de octetten van 3 3 3. Ook het decuplet van SU 3 f heeft een realisatie in de natuur. Het is namelijk mogelijk om baryonresonanties met spin 3 en positieve pariteit als het gezochte decuplet te ordenen. Dit wordt gedaan in figuur.. S Δ - Δ Δ + Δ ++ - Σ *- Σ * Σ *+ I 3 - Ξ *- Ξ * -3 Ω - Figuur.: Het baryondecuplet voor de resonanties van de baryonen met J π = 3 +. De vraag stelt zich wat de betekenis is van de SU 3 f classificatie. Tot eind de jaren zestig van de vorige eeuw werd de symmetrie enkel als een wiskundig hulpmiddel gebruikt, zonder er een fysische interpretatie aan toe te kennen. Toen begon men te veronderstellen dat

Hoofdstuk. Inleiding 4 de fundamentele representatie van SU 3 f een realisatie in de natuur heeft, bestaande uit deeltjes met spin, die men quarks noemt. Het baryonoctet volgt dan uit de samenstelling van minstens drie tripletten, zodat het baryon dus uit minstens drie quarks moet bestaan. Aangezien de fundamentele representatie een triplet is, zijn er drie soorten quarks. Om de soorten van elkaar te onderscheiden, werd het kwantumgetal smaak ingevoerd. In de context van de einde van de jaren zestig, kon een quark dus drie smaken hebben, aangeduid met up, down en strange. Het up en down quark vormen een isodoublet met S = en het strange quark is een isosinglet met S =. Om het massaverschil tussen de isospin-multipletten in het baryonoctet te verklaren, moet de massa van het up en down quark ongeveer even groot zijn, terwijl het strange quark ongeveer 5 MeV zwaarder moet zijn. Ieder quark krijgt ook op democratische wijze het baryongetal B = 3 toegekend. Hieruit volgt onmiddellijk met behulp van vergelijking. dat het quark een fractionele lading moet hebben. De quarkhypothese, zoals die tot dan toe was opgesteld, bevatte echter een belangrijk probleem met betrekking tot de resonantie ++ van het baryondecuplet. Deze resonantie heeft namelijk de kwantumgetallen I 3 = 3, S 3 = 3 en L =, zodat het smaak-, spin- en ruimtelijk gedeelte van de golffunctie van het baryon symmetrisch zijn onder het permuteren van twee quarks. Dit wil dus zeggen dat de drie quarks in dezelfde toestand zitten, wat tegenstrijdig is met het Pauli principe. In het jaar 968 ontdekte men in diep-inelastische verstrooiingsexperimenten puntvormige deeltjes binnenin het proton. Sommige deeltjes hadden spin en een fractionele lading, en werden geïdentificeerd als quarks. Er werden ook neutrale deeltjes met spin gevonden. Naast het probleem met de resonantie ++ is er nu ook de vraag hoe die spin deeltjes in het geheel pasten. Beide moeilijkheden werden verklaard door de kwantumchromodynamica, kortweg CD. Dit is de ijktheorie voor de sterke interacties, die begin de jaren zeventig van de vorige eeuw werd ontwikkeld. Men veronderstelt dat een quark naast smaak een ander kwantumgetal bezit, dat kleur wordt genoemd. Net zoals voor de lichte smaken, zijn er ook drie kleuren mogelijk. De kleurensymmetriegroep van de sterke interacties, beschreven door CD, is SU 3 c. Met het nieuwe kwantumgetal kleur kon het probleem met ++ worden opgelost. veronderstelt dan dat het kleurgedeelte van de golffunctie van de resonantie antisymmetrisch is onder permutaties van quarks. De totale golffunctie is dan ook antisymmetrisch en voldoet zodoende aan het Pauli principe. Men Het kleurgedeelte van de golffunctie is dus een singlet onder SU 3 c. Dit geldt voor alle baryonen, want anders zou men acht verschillende SU 3 f octetten vinden onder SU 3 c. Men kan dus besluiten dat de baryonen kleurloos zijn. Om de aanwezigheid van de spin deeltjes te verklaren, wordt de globale SU 3 c symmetrie gepromoveerd tot een lokale ijksymmmetrie. Dit vereist het bestaan van 8 ijkbosonen die transformeren onder de toegevoegde representatie van SU 3 c. Deze ijkbosonen brengen de

Hoofdstuk. Inleiding 5 sterke interactie over en worden gluonen genoemd. De gluonen moeten spin hebben en kunnen dus geïdentificeerd worden met de waargenomen spin deeltjes. Daarnaast wordt verondersteld dat ze smaak- en massaloos zijn. Na de ontdekking van het quark, vond men al vrij vlug dat hoe dichter deze deeltjes elkaar naderden, hoe zwakker ze interageerden. Dit fenomeen wordt asymptotische vrijheid genoemd en kan door CD worden verklaard. De gluonen die de interactie overbrengen hebben namelijk zelf een kleurlading, en schermen op korte afstand de kleurlading van het quark af. Een ander fenomeen dat door CD zou moeten worden verklaard, is confinement. De sterke interacties tussen kleurladingen worden oneindig sterk, als de afstand tussen die kleurladingen oneindig groot wordt. Men heeft met andere woorden oneindig veel energie nodig om een vrij quark of gluon te creëren. Dit is de reden waarom nog nooit een vrij quark is waargenomen en alle baryonen kleurloos zijn. Ook zorgt dit fenomeen ervoor dat de gluonen, die massaloos zijn, geen lange-dracht interacties veroorzaken. Confinement is een hypothese die nog niet analytisch uit de CD-vergelijkingen is afgeleid. In de jaren zeventig van vorige eeuw vond men aanwijzingen dat er quarks bestaan met andere smaken dan diegene die tot dan toe bekend waren. Men noemde deze zwaardere smaken charm en bottom. Omdat deze bijkomende smaken niet passen in het SU 3 f plaatje, werd deze symmetrie uitgebreid naar globale SU 6 f, die echter sterk gebroken is. Hierbij veronderstelde men dat er nog een bijkomend smaak bestond. uarks met deze zesde smaak werden voor het eerst in 994 ontdekt en werden top quarks genoemd. Baryonen zijn geen fundamentele deeltjes want ze bestaan uit quarks en gluonen. Er kan dus een ruimtelijke structuur worden geassocieerd met het baryon. Om deze structuur te bestuderen, kan men gebruik maken van de elektromagnetische interactie. Dit is een voor de hand liggende keuze, want deze interactie wordt beschreven door de kwantumelektrodynamica ED, op dit moment de nauwkeurigste fysische theorie. De deeltjes die de elektromagnetische interactie overbrengen worden fotonen genoemd. Concreet probeert men dus de koppeling van een foton, met viermomentum, aan een baryon te beschrijven. Deze koppeling wordt geparametriseerd met behulp van elektromagnetische vormfactoren, die in essentie functies zijn van. Er wordt hierbij onderscheid gemaakt tussen twee mogelijkheden: ofwel blijft het baryon voor en na de koppeling met het foton identiek, ofwel ondergaat het baryon tijdens de koppeling een transitie. In het eerste geval spreekt men over een elastisch proces, en bijgevolg over elastische elektrische en magnetische vormfactoren. In het tweede geval wordt de elektromagnetische koppeling door transitievormfactoren. De vormfactoren zijn belangrijke grootheden, want de elektromagnetische structuur van het baryon zit erin vervat. Het blijkt namelijk dat de Fouriergetransformeerde van de elektrische en magnetische vormfactor kan worden geassocieerd met respectievelijk de ladings- en mag-

Hoofdstuk. Inleiding 6 netisatiedichtheid van het baryon. Voor de transitievormfactoren is de fysische interpretatie niet zo eenvoudig, al bestaat er een gelijkaardige associatie met een transitielading en transitie magnetisch moment. In hoofdstuk wordt dieper ingegaan op de manier hoe vormfactoren in de foton-baryon koppeling worden ingepast. De relaties tussen vormfactoren en de matrixelementen van de elektromagnetische stroomoperator zullen hier ook afgeleid worden. Elektromagnetische vormfactoren zijn niet alleen belangrijk voor hun betekenis in de theorie, ze kunnen ook op een experimentele manier worden bepaald. Voor het meten van elektrozwakke vormfactoren wordt gebruik gemaakt van de elastische verstrooiing van een lepton aan een baryon. Doordat leptonen niet interageren via de sterke wisselwerking, kunnen ze gemakkelijk doordringen in hadronische materie. Bovendien kan het verstrooiingsproces via de perturbatieve elektrozwakke theorie worden behandeld. Daarnaast zijn leptonen puntvormige deeltjes, wat de zaken eenvoudiger maakt dan wanneer de verstrooiende deeltjes wel een ruimtelijke structuur hebben. In het verstrooiingsproces wisselt het lepton in eerste benadering één virtueel ijkboson uit met het baryon, zodat men de koppeling van dat ijkboson aan het baryon beschrijft. De vormfactoren die deze koppeling beschrijven, kunnen dan uit de werkzame doorsnede van het verstrooiingsproces worden gehaald. In praktijk zal het lepton meestal een elektron zijn dat via één-foton-uitwisseling interageert met het baryon. Het baryon is over het algemeen een proton of een neutron in een lichte kern omdat deze stabiel zijn. De elektromagnetische transitievormfactoren kan men experimenteel bepalen met behulp van de quasi-elastische verstrooiing van een elektron aan een baryon. In quasi-elastische verstrooiing heeft het foton, dat wordt uitgewisseld tussen elektron en baryon, voldoende energie om dat baryon in een hogere energietoestand te brengen. Het baryon ondergaat dus een transitie tijdens de koppeling met het foton, zodat dit proces beschreven wordt door transitievormfactoren. De nucleonresonantie die na het verstrooiingsproces ontstaat, heeft een zeer korte levensduur; het vervalt namelijk vrij vlug via de sterke interactie in een of meer dan een meson en een baryon. Dit gegeven bemoeilijkt de procedure om de transitievormfactoren uit de werkzame doorsnede te halen vrij sterk. De instellingen waar momenteel onderzoek wordt gedaan naar de elektromagnetische structuur van het baryon zijn onder andere het Jefferson National Accelerator Center en het MIT-Bates Lineair Accelerator Laboratory in de Verenigde Staten. Op deze plaatsen wordt gebruik gemaakt van een lineaire versneller, die in staat is om elektronen tot enkele GeV te versnellen. Gelijkaardige energieëen worden bereikt in de Electron Stretcher Accelerator Bonn en de Mainz Microtron te Duitsland. Daar bevinden zich respectievelijk een synchrotron en een microtron. In hoofdstuk 3 worden twee methodes behandeld om de elektrische en magnetische vormfactor uit de werkzame doorsnede van de elastische elektron-nucleon verstrooiing te halen. Dit zijn

Hoofdstuk. Inleiding 7 de Rosenbluth- en de polarisatiemethode. Theoretisch kunnen de vormfactoren van het baryon worden berekend aan de hand van de matrixelementen van de elektromagnetische stroomoperator van het baryon. De theorie om deze matrixelementen te berekenen is in principe CD, maar in praktijk laat CD bij de energieën hier van toepassing geen analytische berekeningen toe. Daarom heeft men in de laatste dertig jaar fenomenologische quarkmodellen voor het baryon opgesteld. Deze modellen waren in de eerste plaats niet-relativistisch, maar tegenwoordig zijn er ook covariante quarkmodellen uitgewerkt. Een van die covariante quarkmodellen is het constituenten quarkmodel dat aan de Universität Bonn werd ontwikkeld. In dit quarkmodel wordt een baryon als een gebonden toestand van drie quarks beschouwd. Deze gebonden toestand wordt dan beschreven door een Bethe- Salpeter amplitude, die een oplossing is van de covariante Bethe-Salpeter integraalvergelijking. Het quarkmodel veronderstelt twee mogelijke interacties tussen de quarks, zijnde de confinement interactie en de t Hooft instanton-geïnduceerde interactie. Beide interacties worden op een fenomenologische manier benaderd door respectievelijk een drie-deeltjes en een tweedeeltjes instantane potentiaal. Daarnaast wordt de volledige quarkpropagator vervangen door de vrije-quark propagator van een constituentenquark, die een effectieve quarkmassa bezit. Het covariante quarkmodel wordt behandeld in hoofdstuk 4. Met een theoretische beschrijving van het baryon, zoals het covariante quarkmodel van Bonn, is men in staat om de elektromagnetische vormfactoren te berekenen. Hiervoor moeten de matrixelementen van de elektromagnetische stroomoperator van het baryon worden bepaald. Dit kan worden gedaan met het Mandelstam formalisme, dat toelaat om deze matrixelementen in functie van de Bethe-Salpter amplitudes te bepalen. In hoofdstuk 5 wordt nagegaan hoe de matrixelementen van een algemene operator worden bepaald met behulp het Mandelstam formalisme. De elektromagnetische vormfactoren, die werden berekend met behulp van het covariante quarkmodel, besproken in hoofdstuk 6. Concreet worden de elektrische en magnetische vormfactor van enkele baryonen uit het baryonoctet en de transitievormfactoren van enkele nucleon- en -resonanties behandeld. Hierbij worden de parameters van de fenomenologische potentiaal die de confinement beschrijft, gevarieerd. De vergelijking van de vormfactoren voor verschillende waarden van deze parameters, laat toe om na te gaan of het covariante quarkmodel consistent is en in hoeverre het model afhangt van de specifieke waarden van de confinement parameters. Tenslotte worden in hoofdstuk 7 de essentiële elementen van het covariante quarkmodel nog eens op een rijtje gezet. Ook de resultaten van de berekeningen die met dat model werden gedaan, worden nog eens overlopen om er enkele conclusies uit te trekken.

Hoofdstuk De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren. Inleiding Een baryon is geen puntdeeltje, het heeft namelijk een zekere uitgestrektheid. Zodoende heeft het een vrij ingewikkelde elektromagnetische structuur. Deze structuur kan worden beschreven door middel van elektromagnetische vormfactoren. In dit hoofdstuk wordt nagegaan hoe de elektromagnetische vormfactoren de koppeling van een foton aan een baryon theoretisch beschrijven [Cau5]. Daarnaast zal ook een poging worden ondernomen om een fysische interpretatie te geven aan de vormfactoren [TW, FH74]. Via de elektromagnetische wisselwerking kan een baryon in de grondtoestand blijven of geëxciteerd worden. Men heeft het dan over respectievelijk elastische en transitie vormfactoren. Deze worden afzonderlijk behandeld in sectie.3 en.4. In sectie.3 wordt dieper ingegaan op het geval dat het inkomende en uitgaande baryon in de grondtoestand zitten. Ze hebben dan beiden spin en pariteit J π = +. In deze situatie spreekt men van elastische elektromagnetische vormfactoren. Er bestaan echter ook transitie elektromagnetische vormfactoren, waarbij het ingaande en uitgaande baryon niet identiek zijn. In sectie.4 wordt specifiek de overgang van resonanties met J π = +, J π = en J 3 naar de grondtoestand nader bekeken.. De koppeling van een foton aan een baryon De elektromagnetische structuur van een baryon duikt op in de theoretische beschrijving van de koppeling van een foton met dat baryon, die in figuur. wordt weergegeven. 8

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 9 = ω,q P = E,p P = E,p Figuur.: De koppeling van een foton met viermomentum aan een baryon, dat voor de koppeling viermomentum P en na de koppeling viermomentum P heeft. In de kwantumelektrodynamica wordt het foton in de momentumruimte beschreven door middel van de polarisatievector ɛ µ, waarbij het viermomentum van dat foton voorstelt. Bij de berekening van de Feynman amplitude voor het koppelingsproces moet de polarisatievector gecontraheerd worden met een andere viervector. Deze viervector stelt de koppeling van het foton aan het baryon voor en moet een lineaire combinatie zijn van de viervectoren die inherent zijn aan het systeem in kwestie. De coëfficiënten behorend bij deze viervectoren zijn dan functies van de scalairen in het systeem. Deze coëfficiënten gaan door het leven als de elektromagnetische vormfactoren van het baryon. Het viermomentum van het baryon voor de interactie wordt gegeven door P = E, p, na de interactie is het viermomentum P = E, p. Wegens het behoud van viermomenta krijgen we dan voor het inkomend foton het viermomentum = P P = ω, q. De viervector die de koppeling weergeeft, wordt gegeven door Γ µ P, P. Hiermee wordt de operator die de foton-baryon koppeling beschrijft, geschreven als ɛ µ Γ µ P, P.. Het is noodzakelijk enkele voorwaarden op te leggen aan deze operator. Allereerst moet deze een Lorentz scalair zijn. Daarnaast moet ɛ µ Γ µ P, P Hermitisch zijn en zijn matrixelementen moeten invariant zijn onder pariteitstransformaties..3 Elastische elektromagnetische vormfactoren Nu wordt de gedaante van Γ µ P, P opgesteld in het geval dat zowel het ingaande als uitgaande baryon spin en pariteit J π = + hebben. De viervector moet een lineaire combinatie zijn van de viervectoren inherent aan het systeem, namelijk P µ, P µ, µ, ɛ µ. Tenslotte

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren moet ook nog rekening worden gehouden met de Dirac matrices γ µ, omdat het baryon een fermion is. Aangezien de Feynman amplitude van het proces volgens. de contractie is van de polarisatievector met een viervector die onafhankelijk is van die polarisatievector, kan ɛ µ al geëlimineerd worden. Daarnaast weet men dat = P P, zodat van de viervectoren P µ, P µ en µ slechts twee lineair onafhankelijk zijn. Als men dan P µ weglaat, blijven enkel P µ, µ en γ µ over. Deze drie viermomenta kunnen vermenigvuldigd worden met operatoren in de Dirac-ruimte, die zich in de configuratieruimte als scalairen gedragen. Na eliminatie blijkt [Cau5] dat voor een on-shell baryon enkel de eenheidsoperator I en γ 5 = iγ γ γ γ 3 overblijven. Daarbij komen de combinaties van de drie viermomenta met γ 5 enkel voor in het geval van een abnormale pariteittransitie. Aangezien bij een elastisch proces spin en pariteit behouden blijven, is de pariteittransitie normaal. Men hoeft de viermomenta dus enkel met de eenheidsoperator te vermenigvuldigen. De koppeling van een foton met het baryon wordt dus beschreven door een viervector bestaande uit drie onafhankelijke viervectoren die corresponderen met de drie viermomenta. In plaats van P µ, µ en γ µ als de drie onafhankelijke viervectoren, worden vaker iσµν ν m p, µ en γ µ vooropgesteld. Men krijgt dan Γ µ P, P = f γ µ + f iσ µν ν m p + f 3 µ.. Hierbij is m p de massa van het proton, daarnaast geldt dat σ µν = i [γµ, γ ν ]. De coëfficiënten f, f en f 3 zijn de vormfactoren, die functie zijn van het kwadraat van het viermomentum van het foton = µ µ. De elektromagnetische stroomoperator van een baryon dat koppelt aan een foton wordt gegeven door ĵ x µ = eψ B x Γ µ P, P Ψ B x..3 De factor e staat voor de lading van een positron, Ψ B x en Ψ B x zijn creatie- en annihilatie operatoren van het baryon. De elektromagnetische stroom j B P, λ ; P, λ µ van dat baryon dan gegeven door deze uitdrukking j B P, λ ; P, λ µ = B; P, λ ĵ µ B; P, λ = B; P, λ eψ B Γ µ P, P Ψ B B; P, λ = eu B P, λ [ Γ µ P, P u B P, λ = eu B P, λ f γ µ + f iσ µν ν m p + f 3 ] µ u B P, λ..4

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren De viercomponent-spinor u B P, λ beschrijft het baryon met viermoment P en spinprojectie λ. Deze spinor voldoet aan de Dirac vergelijking / P m B ub P, λ =..5 Hierbij is m B de massa van het baryon. De spinor u B P, λ zelf heeft dan de volgende uitdrukking u B P, λ = χ λ E + m B σ p..6 E+m B χ λ De vector van de Pauli matrices wordt gegeven door σ = σ, σ, σ 3 en χ λ is een tweecomponent spinor. De elektromagnetische stroom van het baryon is behouden. Dit wordt uitgedrukt door µ j B P, λ ; P, λ µ =. Dit is het equivalent in de momentumruimte van de meer intuïtieve behoudswet µ J B P, λ ; P, λ µ = in de configuratieruimte. Het contraheren van µ met de stroom geeft de uitdrukking [ µ j B P, λ ; P, λ µ = eu B P, λ f / + f iσ µν µ ν m p f 3 ] u B P, λ..7 De tweede term verdwijnt vanwege de contractie van de antisymmetrische tensor σ µν met de symmetrische tensor µ ν. De eerste term kan worden herschreven met behulp van de Dirac vergelijkingen /P m B ub P, λ = en /P m B u B P, λ =, waarbij m B en m B de massa s van respectievelijk het ingaande en uitgaande baryon zijn. Rekening houdend met de behoudswet krijgt men dan dat u B P, λ [ f m B m B f 3 ] u B P, λ =..8 Hieruit volgt onmiddelijk het volgende verband tussen f en f 3 f 3 = m B m B f..9 In het geval van elastische verstrooiing zijn het baryon voor en na de interactie met het foton identiek, zodat ook hun massa s gelijk zijn. Met dit gegeven krijgt men f 3 =.. Aangezien deze relatie voor alle mogelijke waarden van moet gelden, volgt daaruit dat f 3 verdwijnt, zodat in Γ µ P, P slechts twee vormfactoren overblijven. De uitdrukking van Γ µ P, P voor baryonen in het geval van elastische verstrooiing wordt dan uiteindelijk gegeven door

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren Γ µ P, P = f γ µ + f iσ µν ν m p.. Hiermee wordt de elektromagnetische stroom van het baryon voor elastische verstrooiing [ j B P, λ ; P, λ µ = eu B P, λ f γ µ + f ] iσ µν ν m p u B P, λ.. Deze uitdrukking is zeer geschikt voor het beschrijven van de verstrooiing van een elektron aan een baryon in de Born benadering, dit wil dus zeggen bij uitwisseling van één virtueel foton. De vormfactoren f en f die hier overblijven, worden in deze situatie respectievelijk de Dirac en de Pauli vormfactor genoemd. Deze notaties worden aangenomen F B F B = f = f..3 Om de relatie tussen vormfactoren en de baryonstroom eenvoudiger te maken, definieert men de Sachs vormfactoren G B E = F B 4m pm B F B G B M = F B + m B m p F B.4. Hierbij wordt G B E de elektrische vormfactor en G B M de magnetische vormfactor genoemd. In het ruststelsel van het ingaand baryon gelden deze eenvoudige uitdrukkingen G B E G B M = B;P, ĵb B; P, 4m B + = B;P, ĵb +iĵ B B; P,. Het viermomentum van een baryon dat on-shell is, wordt genoteerd als P..5.3. De fysische interpretatie van de elastische vormfactoren De elastische vormfactoren kunnen het best geïnterpreteerd worden door ze te beschouwen in de niet-relativistische limiet in het Breit stelsel. In dit stelsel heeft het foton geen energie, maar enkel een momentum q zodat =, q. Het baryon heeft voor de interactie met dat foton het driemomentum q, zodat P = E, q, en nadien q en dezelfde energie, zodat P = E, q. Met deze gegevens neemt het matrixelement van de stroom B; P, λ ĵ B µ B; P, λ voor de verschillende componenten de volgende vorm aan j B P, λ ; P, λ = B; P, λ ĵ B B; P, λ = m B G B E q δ λλ j B P, λ ; P, λ = B; P, λ ĵb B; P, λ = G B M q χ.6 λ iσ qχ λ. Als de vormfactoren volledig gekend zijn, kan men van beiden de driedimensionale Fourier integraal nemen. Dit levert voor G B E q bijvoorbeeld de volgende uitdrukking

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 3 ρ E r = dq m B π 3 Eq GB E q..7 Aangezien G B E q evenredig is met de tijdscomponent van het stroommatrixelement, is de Fourier integraal ρ E r dus te vergelijken met de ladingsdichtheid. Een analoge Fourier integraal is mogelijk voor G B M q. Deze levert dan een grootheid die kan geïnterpreteerd worden als de magnetisatiedichtheid. De vormfactoren G B E en G B M kunnen dus worden aanzien als de Fourier transformaties van respectievelijk de dichtheidsdistributie van de elektrische lading en de magnetisatie..3. De koppeling van een reëel foton Beschouw nu de elastische verstrooiing met een reëel foton. Daarvoor geldt dat P = P = m B en =. Wegens het behoud van viermomentum = P P is dit echter onmogelijk, zodat men deze situatie als een limietgeval moet beschouwen. In die limiet ervaart het foton het baryon als één geheel, en alle elektromagnetische eigenschappen van het baryon worden als het ware geïntegreerd over de ruimtetijd. Dat kan ook worden gezien alsof het foton in die limiet het baryon steeds meer als een puntdeeltje ziet. Voor een puntdeeltje zullen de twee vormfactoren echter constant zijn. In de limiet kan men G B E dus als een lading beschouwen. In eenheden van e geeft dit voor het proton en het neutron G p E =, Gn E =..8 Hetzelfde geldt voor G B M, maar dan hebben we het over een magnetisch moment dat wordt uitgedrukt in eenheden van het nucleaire magneton µ N = e m p. Dit geeft dan G p M =, 793, Gn E =, 93..9 Het baryon bezit dus een elektromagnetische structuur waarvan het elektrisch gedeelte in het Breit stelsel wordt beschreven door een ladingsdichtheid ρ E r. Analoog wordt het magnetisch gedeelte dan gegeven door een magnetisatiedichtheid ρ M r. Met beide dichtheden kan een gemiddelde kwadratische straal r worden geassocieerd. Blijft men in het Breit stelsel, dan wordt de sferische ladingsdichtheid gegeven door de volgende bekende relatie r E = drr ρ E r.. Een analoge relatie geldt voor het magnetisch geval. Als de vormfactor voor niet verdwijnt, dan is de bovenstaande uitdrukking voor beide gevallen gelijk aan r dg = 6 B. G B d. = In het geval dat de vormfactor voor toch naar nul nadert, krijgt men

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 4 r = 6 dgb d =..4 Transitie elektromagnetische vormfactoren Het transitieproces waarbij het ingaande baryon verschilt van het uitgaande baryon, wordt beschreven door de transitie elektromagnetische vormfactoren. In deze sectie wordt ingegaan op die transities waarbij het baryon van een resonantie overgaat naar de grondtoestand..4. De transitie van J π = + naar J π = + Als zowel de grondtoestand als de resonantie dezelfde spin en pariteit hebben, wordt het proces beschreven door de eerder bekomen elektromagnetische stroom [ j B B P, λ ; P, λ µ = eu B P, λ f γ µ + f iσ µν ν m p + f 3 ] µ u B P, λ..3 Hierbij zijn P en P de momenta van respectievelijk het ingaande baryon in de grondtoestand en de uitgaande baryonresonantie. De massa van het ingaande en uitgaande baryon worden gegeven door m B en m B. Het behoud van stroom levert opnieuw deze uitdrukking op f 3 = m B m B f..4 Het ingaande en uitgaande baryon hebben echter niet noodzakelijk dezelfde massa, zodat f 3 hier niet zonder meer gelijk aan nul kan worden gesteld. Deze vormfactor wel worden weggewerkt met behulp van De elektromagnetische stroom van het baryon wordt dan f 3 = m B m B f..5 [ j B B P, λ ; P, λ µ = eu B P, λ f γ µ m B m B µ + f ] iσ µν ν m p u B P, λ. Om divergenties te vermijden voor =, gaat men ervan uit dat.6 lim f =..7 Dit wil echter niet zeggen dat de enige bijdrage tot de elektromagnetische stroom in het geval van reële fotonen afkomstig is van f. Als f evenredig is met, is er in die limiet namelijk nog steeds een term die evenredig is met m B m B µ. In de Feynman amplitude

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 5 wordt deze term gecontraheerd met ɛ µ. Voor reële fotonen wordt echter meestal geëist dat ɛ µ µ =, zodat de term in praktijk dus toch verdwijnt. De Dirac en Pauli transitievormfactoren F B B middel van en F B B F B B = f κ B BF B B = f. worden gedefinieerd door.8 Hierbij staat κ B B voor het anomaal transitie magnetische moment, uitgedrukt in eenheden van het nucleair magneton µ N. De vormfactor f wordt in de limiet gelijkgesteld aan dit transitie magnetisch moment. De Pauli transitievormfactor wordt dus genormeerd op F B B =. De transitie lading wordt op een analoge manier gegeven door f in de limiet. Volgens vergelijking.7 moet f in deze limiet moet verdwijnen, zodat de transitie lading dus gelijk aan nul moet zijn. Met de definities van de Dirac en Pauli transitievormfactoren wordt Γ µ P, P gegeven door Γ µ P, P = F B B γ µ m B m B µ + F B B κ B B iσµν ν en F B B m p..9 uit de Het kan worden aangetoond dat de transitie vormfactoren F B B matrixelementen van de stroom operator ĵ B x µ kunnen worden afgeleid. In het stelsel waarin de ingaande baryon resonantie in rust is, krijgt men dan ef B B = m +m B +m B q B +m B +m B m B eκ B B F B B m p = +m B +m B q +m B m B p M, M+, p M, + m B+m B M +,..3 Hierbij staat p voor de grootte van het driemoment van het uitgaande baryon. De matrixelementen van de stroom operator worden gegeven door M λ,λ, M + λ,λ en M λ,λ. Ze hebben de volgende uitdrukkingen M λ,λ = M + λ,λ = M λ,λ = B; P, λ ĵ B ; P, λ B; P, λ ĵ + iĵ B ; P, λ..3 B; P, λ ĵ iĵ B ; P, λ Voor het geval dat de spin van zowel ingaand als uitgaand baryon J = J = is, zijn maximaal twee matrixelementen van de stroom operator onafhankelijk. Vandaar dat er in deze situatie slechts twee transitie vormfactoren zijn.

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 6.4. De transitie van J π = naar J π = + Het verschil met de vorige situatie zit hem in het feit dat de pariteit van de baryon resonantie hier negatief is, men spreekt van een abnormale pariteittransitie. Dit heeft als gevolg dat de Dirac operator, waarmee de viervectoren in de uitdrukking van Γ µ P, P worden vermenigvuldigd, nu γ 5 zal zijn in plaats van de eenheidsoperator. Dit in gedachten houdend, veronderstelt men dat de elektromagnetische stroom van het baryon deze vorm heeft [ j B B P, λ ; P, λ µ = eu B P, λ f γ µ + f iσ µν ν m p + f 3 ] µ γ 5 u B P, λ..3 Het behoud van stroom en de eigenschap {γ µ, γ 5 } = hebben opnieuw als gevolg dat f 3 kan worden geëlimineerd in termen van f. Men krijgt dan [ j B B P, λ ; P, λ µ = eu B P, λ f γ µ m B +m B µ + f ] iσ µν ν m p γ 5 u B P, λ..33 Hierbij moet f in de limiet verdwijnen. Net zoals in het vorige geval worden de Dirac en Pauli transitievormfactoren geïntroduceerd via deze definities F B B = f κ B BF B B = f..34 Het transitie magnetisch moment wordt gegeven door κ B B en is opnieuw op dezelfde manier gerelateerd aan de vormfactor f als in sectie.4.. Ook hier is de transitielading nul wegens het gedrag van f in de limiet. De transitievormfactoren kunnen worden uitgedrukt in functie van de matrixelementen van de stroomoperator M λ,λ, M + λ,λ en M λ,λ. Met name kan worden aangetoond dat ef B B = m +m B m B q B m B +m B +m B eκ B B F B B m p = +m B m B q +m B +m B.4.3 De transitie van J 3 naar J π = + p M, + M+, p M, m B m B M +,..35 In het geval dat de spin van de baryonresonantie J 3 is, wordt de elektromagnetische transitie meestal beschreven met heliciteitsamplitudes in plaats van vormfactoren. In deze situatie zijn drie matrixelementen van de stroomoperator onafhankelijk, zodat men met drie heliciteit amplitudes te maken heeft.

Hoofdstuk. De theoretische achtergrond van elektromagnetische vormfactoren 7 De stroom is een viervector, waarvan de drie ruimtelijke componenten als een drievector transformeren onder rotaties. Hieruit volgt dat de matrixelementen van de ruimtelijke componenten van de stroomoperator tussen verschillende spintoestanden aan elkaar gerelateerd zijn via de Clebsch-Gordan coëfficiënten. Er zijn dus slechts drie gereduceerde matrixelementen nodig om alle matrixelementen te berekenen. Het matrixelement van de tijdscomponent van de elektromagnetische stroomoperator behoort tot een ééndimensionale representatie van de rotatiegroep. Het gereduceerde matrixelement van deze tijdachtige component en de drie gereduceerde matrixelementen van de ruimtelijke componenten leveren vier gereduceerde matrixelementen op, deze zijn nodig om alle matrixelementen van de stroomoperator te beschrijven. Het behoud van stroom zal een van deze vier gereduceerde matrixelementen elimineren. De drie heliciteitsamplitudes zijn dan lineaire combinaties van de drie overgebleven onafhankelijke gereduceerde matrixelementen, vermenigvuldigd met kinematische coëfficiënten. De drie heliciteitsamplitudes worden gedefinieerd als Hierbij is α = e 4π 37 A B B A B B 3 C B B = πα m B m B m B M+ = πα, m B m B m B M+, 3 = πα m B m B m B M,. de elektromagnetische fijnstructuurconstante..36

Hoofdstuk 3 De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren 3. Inleiding Er zijn twee experimentele methodes om de elastische elektromagnetische vormfactoren van het baryon te meten. De meest gangbare is de Rosenbluth methode die aan bod komt in sectie 3., maar sinds enkele jaren is er ook de polarisatiemethode die in sectie 3.3 wordt besproken. Bij beiden wordt een elektron verstrooid aan het baryon. Het elektron interageert namelijk hoofdzakelijk via het elektromagnetisme met het baryon, zodat er een fotonuitwisseling is tussen elektron en baryon. Vanwege de korte levensduur van geëxciteerde en vreemde baryonen, zijn in de praktijk enkel de elastische elektromagnetische vormfactoren van het nucleon goed meetbaar. De twee methodes hebben elk hun voordelen en hun nadelen. Zo is het voordeel van de Rosenbluth methode dat men de elektrische en de magnetische vormfactor afzonderlijk kan bekomen. Een minpunt is dat men bij de extractie van de vormfactoren uit de werkzame doorsnede gebruik maakt van de Born benadering, waarbij dus één enkel virtueel foton wordt uitgewisseld. Met de eventuele mogelijkheid van een twee-foton uitwisseling wordt in de Rosenbluth methode geen rekening gehouden. Hier ligt het voordeel van de polarisatiemethode, waarbij eventuele twee-foton uitwisselingseffecten weggedeeld worden. Een belangrijk nadeel van deze methode is dat de elektrische en de magnetische vormfactoren niet afzonderlijk kunnen worden gemeten, maar enkel hun verhouding. De discrepantie tussen de twee methodes is de laatste jaren een bron van veel theoretisch onderzoek. 8

Hoofdstuk 3. De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren 9 3. De Rosenbluth methode 3.. Verstrooiing aan het baryon als puntdeeltje Er wordt gebruik gemaakt van de verstrooiing van een elektron aan een baryon. Hier wordt specifiek ongepolariseerde verstrooiing beschouwd, waarbij het baryon als een puntdeeltje wordt aanzien [Don95]. Men gebruikt enkel het eerste orde Feynman diagram, waarbij één virtueel foton wordt uitgewisseld, dit wordt de Born benadering genoemd. Deze benadering wordt weergegeven in figuur 3.. K = ε,k = ω,q P = E,p K = ε,k P = E,p Figuur 3.: De uitwisseling van een virtueel foton met viermomentum tussen een elektron en een baryon, die voor de uitwisseling respectievelijk viermomentum K en P en na de koppeling respectievelijk viermomentum K en P hebben. Het invallende elektron heeft als viervector momentum K = ɛ, k en dat van het uitgaande elektron is dan K = ɛ, k. Analoog is het momentum voor het invallende baryon P = E, p en voor het uitgaande baryon P = E, p. Tenslotte heeft het virtueel foton als viervector momentum = ω, q, waarbij geldt dat = K K = P P. De spinprojecties van het elektron en het baryon noteert men als respectievelijk σ en λ. Met deze definities wordt de verstrooiingsamplitude gegeven door ] M fi = [u e K, σ ieγ µ u e K, σ] [id F µν [u B P, λ iqγ ν u B P, λ] = ieq [u e K, σ γ µ u e K, σ] [u B P, λ γ µ u B P, λ] = i j e K, σ ; K, σ µ j B P, λ ; P, λ µ. 3. Hierbij is id F µν = igµν de foton propagator en q de lading van het baryon. De +iɛ elektromagnetische stromen van het elektron en het baryon worden gegeven door

Hoofdstuk 3. De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren j e K, σ ; K, σ µ = eu e K, σ γ µ u e K, σ j B P, λ ; P, λ µ = qu B P, λ γ µ u B P, λ. 3. De differentiële werkzame doorsnede van het verstrooiingsproces wordt geschreven als dσ = if dk π 3 dp π 3 m em B π 4 6ɛɛ EE v e v B δ4 K + P K + P M fi. 3.3 Hierbij staan v e en v B voor de snelheid van respectievelijk het elektron en het baryon voordat de interactie plaatsgrijpt. De betekenis van de sommatie is dat er wordt uitgemiddeld over de inkomende spins en gesommeerd over de uitgaande spins. Om een vergelijking met experimentele resultaten toe te laten, gaat men over naar het stelsel waarin het ingaande baryon in rust is. Er geldt dan dat Daar volgt dan onmiddellijk uit dat p =, E = m B. 3.4 v B =, v e = k ɛ. 3.5 Met deze resultaten wordt de werkzame doorsnede in het labstelsel herleid tot dσ lab = m em B ɛ k ɛ E if M fi δ m p + ɛ E ɛ dk. 3.6 Men kan hieruit ook nog halen dat p = q, dit was echter ook intuïtief al in te zien. De uitdrukking voor de differentiële werkzame doorsnede 3.3 samen met dk = k d k dω e geeft dan lab dσ dω edɛ = m e mp k k π k ɛ ɛ E δ ɛ + m p ɛ E if M fi. 3.7 De partiële afgeleide naar ɛ kan worden uitgewerkt met behulp van k + m e = ɛ. Als deze formule wordt gedifferentïeerd, krijgt men namelijk k ɛ = ɛ k. Daarbovenop wordt geïntegreerd naar ɛ zodat de werkzame doorsnede de volgende uitdrukking aanneemt lab dσ dω e = m e k π k f rec if M fi. 3.8 Hierbij is f rec de recoil-factor die de terugstoot van het baryon weergeeft De hoek θ e is de verstrooiingshoek van het elektron. [ ] f rec = E m B + ɛ k k cosθ e k E. 3.9

Hoofdstuk 3. De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren 3.. De werkzame doorsnede voor het puntvormig baryon In vergelijking 3.8 moet dus enkel de volgende factor uitgerekend worden om de werkzame doorsnede volledig te kennen if M fi = eq η unpol e K, K µν η unpol B P, P µν. 3. Hierbij wordt de elektron tensor ηe unpol K, K µν en zijn tegenhanger voor het baryon η unpol B P, P µν gedefinieerd als η e unpol K, K µν = σ,σ =± [j e K, σ ; K, σ µ ] j e K, λ ; K, λ ν η unpol B P, P µν = λ,λ =± [j B P, λ ; P, λ µ ] j B P, λ ; P, λ ν. 3. Er wordt gewerkt met de ongepolariseerde werkzame doorsnede zodat over de spins van de inkomende deeltjes wordt uitgemiddeld en over de spins van de uitgaande deeltjes wordt gesommeerd. De elektron tensor kan men nu verder uitwerken met behulp van de eigenschappen van spinoren en Dirac-matrices ηe unpol K, K µν = σ,σ =± u e K, σ γ µ u e K, σ u e K, σ γ ν u e K, σ. 3. Deze uitdrukking kan verder worden herschreven door de spinoren en de Dirac-matrices in componenten uit te schrijven. Als het geheel wordt herschikt, levert dit het spoor van een matrix op ηe unpol K, K µν = σ,σ =± T r [γ µ u e K, σ u e K, σ γ ν u e K, σ u e K, σ]. 3.3 Men herkent de projectieoperator Λ + P = σ=± [u P, σ u P, σ] = m P / + m. Substitutie van deze uitdrukking geeft [ ηe unpol K, K µν = T r γ µ /K +m e m e ] γ ν /K+m e m e. 3.4 Dit kan nu verder worden uitgewerkt met de eigenschappen van het spoor van een product van Dirac-matrices ηe unpol K, K µν [ = m K µ K ν + K µ K ν g µν K K m ] e. 3.5 e Een gelijkaardige uitdrukking geldt voor η unpol B P, P µν, beide zijn dus symmetrische tensoren. Contractie van µ met de elektron tensor geeft µ ηe unpol K, K µν =, zodat men rekening houdend met uitdrukking 3. heeft dat µ j e K, σ ; K, σ µ =. 3.6

Hoofdstuk 3. De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren Dit is het equivalent in de momentumruimte van µ j e K, λ ; K, λ µ = in de configuratieruimte, zodat kan worden besloten dat de elektromagnetische stroom van het elektron behouden is. Men is nu in staat om de werkzame doorsnede van de verstrooiing van het elektron met het puntvormig veronderstelde baryon te bepalen. Om gemakkelijker tot experimenteel toegankelijke resultaten te komen, wordt de werkzame doorsnede in de extreem relativistische limiet voor het elektron ofwel in de ERL e bekeken. In deze limiet geldt dat ɛ m e en ɛ m e zodat, rekening houdend met m e = ɛ k en de analoge vergelijking voor ɛ, geldt dat k ɛ, k ɛ. 3.7 In de ERL e mag de rustenergie dus worden verwaarloosd ten opzichte van de totale energie, dit geeft onmiddellijk het volgende resultaat voor de elektron tensor ηe unpol K, K µν = K µ K ν + K µ K ν g µν K m K. 3.8 e We herschrijven deze uitdrukking met K K ɛɛ ɛɛ cos θ e als ηe unpol K, K µν = m K µ K ν + K µ K ν g µν ɛɛ sin θe e. 3.9 Ook de recoil-factor f rec kan worden herschreven in deze limiet frec ERLe = E m B + ɛ ɛ cos θ e E. 3. Men kan naast het elektron ook het baryon in een limiet beschouwen. In tegenstelling tot het elektron neemt men echter de niet-relativistische limiet of de NRL B. Hier geldt dat p m B zodat rekening houdend met m B = E p geldt dat E m B, p. 3. Hieruit volgt dus dat P P m B zodat de baryon tensor kan worden herschreven als ηp unpol P, P µν = [P µ P ν + P µ P ν ]. m 3. B Hieruit valt gemakkelijk af te leiden dat in deze limiet enkel ηp unpol P, P = verschillend van nul is. In het ruststelsel van het inkomend baryon is E = m B. Het behoud van energie in dit stelsel geeft dan ɛ + m B = ɛ + E. Maar aangezien in de NRL B geldt dat E = m B volgt hieruit dat ɛ = ɛ. Om de werkzame doorsnede te bekomen moet de elektron en baryon tensor gecontraheerd worden, maar van die laatste is enkel de -component verschillend van nul. Men hoeft dus enkel ηe unpol K, K te berekenen in de NRL B

Hoofdstuk 3. De experimentele bepaling van elektromagnetische vormfactoren 3 Daarnaast is in de NRL B ηe unpol K, K = ɛ m sin θ e. 3.3 e f ERLe,NRL B rec = + ɛ sin θe m B. 3.4 Men beschikt nu over al het benodigde om de werkzame doorsnede op te stellen voor de verstrooiing van een relativistisch elektron aan een niet-relativistische puntvormig baryon dσ dω e lab ERL e,nrl B = eqɛ π cos θ e f rec. 3.5 Nu moet enkel nog de term in de noemer worden herschreven in de limiet, dit geeft = 4ɛ sin θe. 3.6 Hiermee wordt de werkzame doorsnede in de ERL e en de NRL B voor het baryon uiteindelijk dσ dω e lab ERL e,nrl B = e cos θe 8πɛ sin θe f rec. 3.7 De werkzame doorsnede voor de elastische verstrooiing van een elektron in de ERL e aan een puntvormig baryon, waarbij de deeltjes spinloos worden verondersteld, wordt gegeven door de Mott werkzame doorsnede dσ dω = ɛ e M ɛ eq cos θe 8πɛ sin θe. 3.8 De eerste factor in de bekomen werkzame doorsnede 3.7 wordt dus gegeven door de Mott werkzame doorsnede in de NRL B. Men heeft uiteindelijk dus deze uitdrukking dσ dω e lab ERL e,nrl B = dσ dω e + ɛ sin θe M,NRL m B. 3.9 B Dit is dus de werkzame doorsnede voor de ongepolariseerde verstrooiing van het elektron aan een baryon, waarbij beiden als puntvormige deeltjes worden aanzien. Het fysische baryon is echter niet puntvormig, maar heeft een elektromagnetische structuur. De werkzame doorsnede zal hier dus aangepast voor moeten worden. 3..3 De Rosenbluth werkzame doorsnede De elektromagnetische stroom van het puntvormig baryon had volgens 3. de vorm j B P, λ ; P, λ µ = qu B P, λ γ µ u B P, λ. 3.3