Consistente interacties in elektromagnetische kaonproductie

Transcriptie

1 FACULTEIT WETENSCHAPPEN Consistente interacties in elektromagnetische kaonproductie Tom Vrancx Promotor: Prof. Dr. Jan Ryckebusch Begeleiders: Lesley De Cruz en Pieter Vancraeyveld Faculteit Wetenschappen Vakgroep Fysica en sterrenkunde Vakgroepvoorzitter: Prof. Dr. Dirk Ryckbosch Academiejaar Thesis ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de fysica en de sterrenkunde

2

3 Nothing s impossible I have found, For when my chin is on the ground, I pick myself up, Dust myself off, Start all over again. Dorothy Fields

4

5 Dankwoord Thesissen is alles behalve een sinecure. In het prille begin word je ondergedompeld in een zee van literatuur en verzuip je haast. Uiteindelijk kom je, na heel wat trappelen, dan toch boven water en ga je aan wal. Net op dát moment, ben je heel even euforisch en denk je dat je al heel wat achter de rug hebt. Je beseft dan ook niet dat alles eigenlijk nog moet beginnen... In onze branche sta je in een volgende stap oog in oog met een monster van een computercode. De strijd lijkt op het eerste zicht onhaalbaar en totaal uitzichtloos. Het vergt dan ook heel wat inspanning voor je ook dit beestje de baas en je eindelijk kan focussen op het echte werk. Op dit punt kom je tot de conclusie dat je al een heel eind onderweg bent en eigenlijk nog niet echt iets gerealiseerd hebt. Je geraakt als het ware een beetje ontmoedigd. De tijd begint te dringen en de weg naar het uiteindelijke doel zit vol met valkuilen. Je bent je hier niet bewust van, tot op het moment dat je er met je open ogen intuimelt. Wanneer dit gebeurt moet je terug de begane weg zien te bereiken, zonder al te veel tijd te verliezen. Dit mag ook niet té snel of té roekeloos gebeuren want uiteindelijk moet je uit elke val iets leren; alleen zo kan je ze in de toekomst vermijden. Naarmate het einde meer en meer in zicht komt, weet je de meeste hindernissen te ontwijken en ben je ook in staat om echt iets op te bouwen. Van dan af aan verloopt het parcours alsmaar vlotter en vlotter. Langzaam aan echter, begin je te beseffen dat er eigenlijk niet echt een einde aan is. Op een gegeven moment moet je dan ook beslissen om te stoppen of halt te houden, en tevreden zijn met wat je uiteindelijk verwezenlijkt hebt. Uiteindelijk kan je het thesispad niet op je eentje bewandelen; je zou al snel verdwalen. Je hebt dan ook mensen nodig die je op het goede pad houden en je de juiste richting uitsturen. Zonder hen maak je geen schijn van kans. Prof. Ryckebusch, ik kan u niet genoeg bedanken voor uw vertrouwen in mij en de steun die u mij gaf. Ikzelf heb ook altijd het volste vertrouwen in u en uw onderzoeksgroep gehad. Bedankt voor de vruchtbare gesprekken en uw vakkundig advies. Lesley en Pieter, zonder jullie zou deze thesis nooit geweest zijn wat ze nu is. Bedankt voor jullie tijd, voor al de technische en minder technische hulp, voor het nalezen en i

6 ii becommentariëren van deze thesis en vooral ook voor de interessante discussies. Het is absoluut een privilege om begeleid te worden door twee ervaren fysici als jullie. Pa, bedankt voor de steun en het vertrouwen in mij. Je hebt mij altijd mijn ding laten doen en dat appreciëer ik echt enorm. Ma, ik weet dat we elkaar vaak niet begrijpen maar je had mij toch wel meer mogen steunen in de keuzes die ik maakte. Toch vergeef ik het je, omdat ik weet dat het jouw intentie niet is. Bedankt voor alles wat je voor mij gedaan hebt! Aan broer en zus en ook al de vrienden: bedankt om er te zijn! Bedankt voor de amusante en de hilarische momenten. Zonder jullie zou ik nooit gestaan hebben waar ik nu sta. Jullie hebben mij ook altijd met beide voeten op de grond gehouden, waarvoor mijn oprechte dank.

7 Inhoudsopgave Dankwoord Inhoudsopgave i iii Inleiding Fermionische Rarita-Schwinger velden 7. Het Rarita-Schwinger formalisme De Rarita-Schwinger vergelijkingen Ijkinvariantie van massaloze Rarita-Schwinger velden De vrije Rarita-Schwinger spinoren Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld De vrije Lagrangiaan De propagator Symmetriëen van het vrije spin- 3 veld Conventionele koppeling aan een externe stroom Inconsistentie van contactinvariante interacties Trivialiteit van de punttransformatiesymmetrie Het Pascalutsa formalisme Consistentie van ijkinvariante interacties: de korte weg Een ijkinvariante constructie Ijkinvariante Lagrangianen Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld De vrije theorie Consistentie van ijkinvariante spin- 5 interacties Een ijkinvariante constructie Ijkinvariante Lagrangianen iii

8 iv Inhoudsopgave 3 Het Regge-plus-resonantie model Inleiding Kinematica en observabelen van elektromagnetische KY -productie De Mandelstam variabelen KY -fotoproductie KY -elektroproductie Effectieve versus fundamentele veldentheoriën De naakte propagator en schending van unitariteit Resonantie en achtergrondamplitudes De interactie Lagrangianen Vormfactoren Het Regge model Nefaste gevolgen van zuivere isobaarmodellen De Regge amplitude De Regge-plus-resonantie amplitude Off-shell versus ijkinvariante koppelingen in het RPR-model Consistente interacties in K + Λ 0 -fotoproductie Inleiding Resultaten en bespreking Modelvarianten Op zoek naar het beste model De niet-gepolariseerde werkzame doorsnede De fotonpolarisatieasymmetrie De protonpolarisatieasymmetrie De hyperonpolarisatieasymmetrie Foton-hyperonpolarisatieasymmetrie Conclusies Consistente interacties in K + Λ 0 -elektroproductie Inleiding Resultaten en bespreking Op zoek naar het beste model De niet-gepolariseerde werkzame doorsnede De werkzame doorsnede voor gepolariseerde elektronen De getransfereerde hyperonpolarisatie

9 Inhoudsopgave v 5..5 Conclusies Conclusies en vooruitzichten 7 6. Conclusies Vooruitzichten A Notaties en conventies 3 A. Indices A. Covariante en contravariante viervectoren A.3 De Dirac theorie A.3. Definities A.3. De Dirac spinoren A.4 De Feynman propagatoren A.5 De Feynman regels B Bijkomende figuren voor K + Λ 0 -fotoproductie 9 Bibliografie 4 Lijst van figuren 47 Lijst van tabellen 53

10

11 Hoofdstuk Inleiding Protonen en neutronen, gezamenlijk nucleonen genoemd, zijn verantwoordelijk voor % van de zichtbare massa in het universum. Nucleonen zijn de basiscomponenten van atoomkernen en samen met elektronen vormen zij atomen. Dit zijn de bouwstenen van moleculen die op hun beurt de macroscopische substanties, nl. vaste stoffen, vloeistoffen, gassen en plasma s, vormen. Al het materiële dat de mensheid bekend is, behalve dan de hypothetische donkere materie, bestaat in essentie uit nucleonen en van dit alles maakt ook u deel uit, beste lezer. De hiërarchie van de opbouw der materie begint echter niet bij de nucleonen maar gaat nog één niveau dieper. Nucleonen zijn immers geen elementaire deeltjes, ze zijn opgebouwd uit quarks. Reeds enkele decennia lang neemt men aan dat deze quarks samen met de elektronen de ware fundamenten van de materie zijn. In het standaardmodel van de elementaire deeltjesfysica zijn zes smaken van quarks bekend: het up-quark en het down-quark (eerste generatie), het charm-quark en het strange-quark (tweede generatie) en het top-quark en het bottom-quark (derde generatie). De nucleonen bestaan louter uit verschillende quarks van de eerste generatie. De nucleonen maken deel uit van de baryonen die samen met de mesonen onder de gemeenschappelijke noemer van hadronen geplaatst worden. Laat ons deze terminologie even verduidelijken. Het woord hadronen is afkomstig van het Griekse woord ὰδρóς dat krachtig of sterk betekent. Baryon is afgeleid van het Griekse woord βαρύς dat zwaar betekent terwijl meson afgeleid is van µέσoς hetgeen middelmatig betekent. De termen zwaar en middelmatig refereren naar de quarkinhoud van de baryonen en de mesonen: baryonen bestaan uit drie quarks, mesonen daarentegen bestaan uit een quark en een antiquark. Beide worden ze ook hadronen genoemd omdat de quarks waaruit ze bestaan, interageren via de sterke wisselwerking. Behalve via de sterke wisselwerking, interageren quarks ook via de elektromagnetische wisselwerking en in verwaarloosbare mate via de zwakke en de gravitationele wisselwerking. Naast baryonen en mesonen onderscheidt men tevens leptonen die niet interageren via de sterke wisselwerking. Lepton is afkomstig van het Griekse woord λεπτ óς dat licht (qua massa) betekent. Elektronen zijn de bekendste leptonen.

12 Hoofdstuk. Inleiding QED versus QCD: confinement en asymptotische vrijheid Op de schaal waar de quarkinhoud van hadronen manifest is, wordt de elektromagnetische wisselwerking beschreven door de kwantumelektrodynamica (QED) en de sterke wisselwerking door de kwantumchromodynamica (QCD), beide kwantummechanische en speciaalrelativistische veldentheorieën. De sterkte van de elektromagnetische interactie tussen de quarks wordt bepaald door hun elektrische lading, die van de sterke interactie door de kleurlading van de quarks. Op kwantumniveau worden elektromagnetische interacties gemedieerd door virtuele fotonen (de kwanta van het elektromagnetisch veld), terwijl sterke interacties gemedieerd worden door virtuele gluonen (de kwanta van het sterke veld). Het zijn deze fotonen en gluonen die respectievelijk koppelen aan de elektrische en de kleurlading en als dusdanig de eigenlijke interactie tot stand brengen. Beide ladingen zijn geen constanten en dit is louter een gevolg van de kwantummechanische aard van de natuur op zeer kleine schalen. De kwantumtheorie leerde ons immers dat de resolutie waarmee subatomaire deeltjes kunnen waargenomen worden, afhankelijk is van de energie van de probe die er mee interageert. Dit fenomeen wordt mathematisch vertolkt door Heisenberg s onzekerheidsrelatie E r, E m, waarbij E en m de energie en de rustmassa van de probe voorstellen, en r de resolutieschaal is. Bovenstaande relatie impliceert dat hoe meer detail we van een subatomair deeltje in kaart willen brengen, hoe groter de energie van de geschikte probe moet zijn. Deeltjes die een elektrische lading (kleurlading) dragen, zijn omringd door een wolk van virtuele fotonen (gluonen). Deze virtuele fotonen (gluonen) creëren virtuele deeltje-antideeltjeparen. Voor fotonen betreft dit lepton-antilepton- en quark-antiquarkparen, gluonen daarentegen kunnen enkel virtuele quark-antiquarkparen creëren. Naast de vaste, reële quarks waaruit het hadron bestaat, de zogenaamde valentiequarks, zijn er in hadronen dus ook virtuele quarks aanwezig, de zogenaamde zeequarks. Deze zeequarks kunnen zowel quarks van de eerste, de tweede als de derde generatie zijn. We hebben in het begin van dit hoofdstuk vermeld dat nucleonen louter uit quarks van de eerste generatie bestaan. Dit geldt inderdaad voor de valentiequarks maar niet voor de zeequarks. Het fundamentele verschil tussen QED en QCD is dat fotonen geen elektrische lading dragen (Abelse ijktheorie) terwijl gluonen wel een kleurlading dragen (niet-abelse ijktheorie). De naakte lading van een elektrisch geladen deeltje is volgens de renormalisatietheorie oneindig groot. Experimentatoren nemen echter geen oneindige lading waar omdat deze afgeschermd wordt door een wolk van virtuele elektrisch geladen deeltje-antideeltjeparen. Naarmate de energie van een elektromagnetische probe toeneemt, zullen er steeds minder van deze deeltje-antideeltjeparen waargenomen worden met als gevolg dat de waargenomen elektrische lading toeneemt. Dit lopen van de elektromagnetische koppelingsconstante (equivalent met elektrische lading) met de energie wordt benaderend gegeven door

13 3 0730/(-0730/(3pi)log(x/005)) QED QCD α(q) Q(GeV) Figuur.: De elektromagnetische en sterke koppelingsconstante i.f.v. de momentumoverdracht Q = Q. Deze functies zijn slechts benaderend (één lus niveau). De gestreepte lijnen komen overeen met de onder- en bovenlimiet van Λ QCD. [] α(q ) = α α 3π, Q ln m e met α = e de zogenaamde fijnstructuurconstante, m 4π e de massa van het elektron en Q de kwadratische momentumoverdracht tussen de probe en het object onder studie. Deze toename is slechts zeer gering voor QED, zoals men kan zien in figuur.. Bij QCD treedt echter een geheel andere situatie op. Doordat de gluonen kleurlading dragen, en dus onderling interageren, vindt er geen afscherming plaats, zoals in QED, maar antiafscherming. Het lopen van de koppelingsconstante met de energie wordt hier benaderend gegeven door [] α s (Q Λ QCD) = 4π 7 ln Q Λ QCD met α s (Q ) = g s(q ). We hebben hierbij aangenomen dat er zes verschillende smaken 4π van quarks zijn. De energieschaal Λ QCD werd experimenteel vastgepind op de waarde Λ QCD = MeV [3]. In figuur. wordt ook de sterke koppelingsconstante i.f.v. Q = Q uitgezet. Het limietgedrag van α s (Q ) t.g.v. de anti-afscherming in QCD luidt lim α s (Q ) =, Q 0 lim α s (Q ) = 0. Q,

14 4 Hoofdstuk. Inleiding De eerste eigenschap wordt confinement genoemd. Dit houdt in dat quarks nooit als vrije deeltjes voorkomen in de natuur, ze zullen zich altijd groeperen in hadronen. Als twee quarks van elkaar verwijderd zouden worden dan neemt de interquarkpotentiaal toe met de afstand tussen beide. Op een gegeven moment wordt deze potentiaal zo groot dat er genoeg energie beschikbaar is om een quark-antiquarkpaar te creëren met de vorming van hadronen, ook wel hadronisatie genoemd, tot gevolg. De tweede eigenschap staat bekend als de asymptotische vrijheid van QCD. Slechts in de asymptotische limiet, i.e. voor Q, kunnen quarks als vrije deeltjes beschouwd worden. Wat heeft al het bovenstaande nu te maken met nucleonen? Wel, het nucleon is de grondtoestand van een rijk spectrum aan baryonen. De baryonen die louter uit (valentie)quarks van de eerste generatie bestaan, vervallen via de sterke interactie naar het nucleon. Baryonen die (valentie)quarks van de tweede en/of de derde generatie bevatten maken eerst een omleiding via verval door de zwakke interactie, om dan uiteindelijk via de sterke interactie naar het nucleon te vervallen. In dit werk zijn we geïnteresseerd in de resonanties van het nucleon. Deze resonanties hebben dezelfde quarkinhoud als het nucleon, maar bevatten een quark dat zich in een aangeslagen toestand bevindt. In deze toestand is het quark minder sterk gebonden en dus zal de nucleonresonantie noodzakelijkerwijs massiever zijn. Ook het angulair moment van dit quark kan verschillen van deze in de grondtoestand en dus zullen sommige van deze resonanties een hogere niet-gehele spin hebben, i.e. J π = 3 ±, 5 ±, 7 ±,... De energieniveaus van het aangeslagen quark liggen enkele honderden MeV verwijderd van het grondtoestandsniveau. Het probleem is nu dat deze energieverschillen veel te klein zijn opdat QCD perturbatief zou kunnen toegepast worden; de sterke koppelingsconstante is in dit energieregime te groot om een Feynman diagramatische expansie uit te voeren. Het zijn in essentie de intergluonische interacties die hiervoor verantwoordelijk zijn. Kwantumhadrodynamica Het is quasi onmogelijk om fundamentele QCD toe te passen in de beschrijving van fysische processen die nucleonen exciteren. Begin jaren 70 werd er voor dit probleem een oplossing bedacht door J. D. Walecka [4], L. Wilets en anderen [5, 6]. Zij formuleerden als eersten de theorie van de kwantumhadrodynamica (QHD), een effectieve kwantumveldentheorie waarin de hadronen en niet de quarks als fundamentele vrijheidsgraden optreden. Een kwantumveldentheorie is enkel van toepassing op puntdeeltjes en dit geldt uiteraard ook voor de kwantumhadrodynamica. De ruimtelijke structuur van hadronen wordt in de kwantumhadrodynamica expliciet ingebouwd door de invoering van sterke vormfactoren en, daar waar nodig, elektromagnetische vormfactoren. Deze vormfactoren zijn de mathematische vertolking van de fysische ladings- en stroomdistributies t.g.v. de elektrische en We merken op dat nucleonresonanties ook via de elektromagnetische wisselwerking naar het nucleon kunnen vervallen. Het verval via de sterke interactie is echter zoveel efficiënter, i.e. sneller, dat het elektromagnetische verval eigenlijk verwaarloosbaar is.

15 5 kleurlading van de quarks waaruit het hadron bestaat. De fysische interactie tussen de quarks van het hadron en een externe probe wordt in QHD dus omgezet naar een effectieve interactie tussen het hadron en de betreffende externe probe. In QHD wordt een geëxciteerd hadron beschouwd als het deeltje dat de eigenlijke interactie medieert. Deze benadering is verantwoord omdat het geëxciteerde hadron niet onmiddellijk vervalt, maar pas na enige tijd (0-0 4 s) en dus na enige afstand. Het mediërend hadron propageert dus als het ware. Vreemdheidsproductie aan nucleonen en deuteronen Een kleine tien jaar geleden werd binnen onze onderzoeksgroep een model ontwikkeld, het zogenaamde Regge-plus-resonantie model, dat in staat was de observabelen in de p(γ, K + )Λ 0 -reactie kwantitatief te verklaren voor fotonenergieën kleiner dan ruwweg GeV [7]. Ondertussen heeft dit model al heel wat upgrades achter de rug waardoor het vandaag capabel is om een kwantitatieve beschrijving te leveren voor N(γ ( ), K)Y - en N(K, γ)y -reacties en dit over een zeer breed energiegebied [8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3]. Hierbij stellen K en Y respectievelijk kaonen en hyperonen voor. Gezien nucleonen quarks bevatten en geen antiquarks, zal het gevormde hyperon een strange-quark bevatten (baryonen bevatten immers drie quarks, antibaryonen bevatten daarentegen drie antiquarks) en moet het kaon dus een anti-strange-quark bevatten. Consistente interacties in de p(γ ( ), K + )Λ 0 -processen In dit werk zullen we ons specifiek toespitsen op de p(γ, K + )Λ 0 -reactie. De nucleonresonanties die de voornaamste bijdrage leveren in deze reacties hebben een spin J π = ±, 3 ±, 5 ±. De spin- resonanties kunnen beschreven worden a.d.h.v. de Dirac theorie. Dit geldt echter niet voor de spin- 3 en de spin- 5 resonanties. In de literatuur worden deze laatste beschreven door zogenaamde Rarita-Schwinger velden [5]. In dit werk zijn we geïnteresseerd in de interacties tussen RS-velden en standaardvelden (i.e. spin-, spin-0 en spin- velden). De interactie Lagrangianen die men hiervoor terugvindt in de literatuur bezitten echter niet-fysische componenten. De niet-interagerende Rarita-Schwinger theorie is vrij van deze niet-fysische componenten, omdat daar specifieke restricties opgelegd worden die deze componenten elimineren. Dit geldt echter niet meer voor de interagerende theorie waar er zogenaamde spookinteracties optreden. Deze spookinteracties leveren naast de fysische interacties ook een bijdrage aan de berekende observabelen. Deze conventionele interacties werden tot nu toe ook gebruikt in het model van onze onderzoeksgroep voor de spin- 3 resonanties. Naast de nucleonresonanties die getabelleerd werden door de Particle Data Group (PDG) [96], werden er in voorgaande analyses reeds aanwijzingen gevonden voor het bestaan van één of meerdere ontbrekende resonanties [99, 74, 00, 4]. In [7] werd met behulp van

16 6 Hoofdstuk. Inleiding ons model reeds de beste kandidaat voor de ontbrekende resonantie geïdentificeerd. Het model zoals het toen was bevatte echter niet-fysische spin- 3 interacties en beschreef nog geen spin- 5 resonanties terwijl deze laatste wel degelijk kunnen bijdragen aan de totale transitieamplitude. Het doel van deze thesis is om de oude spin- 3 interacties te vervangen door de consistente interacties die voorgesteld werden door V. Pascalutsa [47]. De spin- 5 resonanties werden tot nu toe nog niet beschreven in ons model. Voor deze spin- 5 resonanties zullen we een consistente interagerende theorie ontwikkelen en deze ook implementeren in het model. De vrije spin- 3 en spin- 5 theorie, de problemen met de corresponderende interagerende theorieën en de consistentie interacties voor beide zullen afgeleid en besproken worden in hoofdstuk. In hoofdstuk 3 wordt het zogenaamde Regge-plus-resonantie model uit de doeken gedaan en wordt er wat dieper ingegaan over de specifieke karakteristieken van effectieve veldentheorieën. Ook de elektromagnetische vormfactoren die overeenstemmen met de consistente spin- 3 en spin- 5 interacties worden hier berekend. Het nieuwe Regge-plus-resonantie model wordt in hoofdstuk 4 gefit aan de experimentele p(γ, K + )Λ 0 -data. Hierbij zullen we ook op zoek gaan naar aanwijzingen voor ontbrekende resonanties en onzekere resonanties, i.e. diegene die getabelleerd werden door de PDG, maar waarvan het bestaan niet zeker is. In hoofdstuk 5 worden de elektromagnetische vormfactoren uit hoofdstuk 3, samen met de resultaten van hoofdstuk 4, gebruikt om de observabelen voor het p(e, e K + )Λ 0 -proces (i.e. het p(γ, K + )Λ 0 -proces) te voorspellen. Tenslotte worden in hoofdstuk 6 de conclusies die volgen uit de resultaten van hoofdstuk 4 en 5 samengevat. In dit hoofdstuk zullen we ook de vooruitzichten voor toekomstige berekeningen bespreken.

17 Hoofdstuk Fermionische Rarita-Schwinger velden. Het Rarita-Schwinger formalisme.. De Rarita-Schwinger vergelijkingen Niet-interagerende elementaire fermionen, i.e. vrije spin- fermionen, worden in de kwantumveldentheorie beschreven door de vrije Dirac Lagrangiaan, L D = ψ(i / m)ψ, (.) hierbij stelt ψ een Dirac spinor voor en m is de massa van het beschouwde fermion. De corresponderende bewegingsvergelijkingen worden bekomen via de Euler-Lagrange vergelijkingen en luiden (i / m)ψ = 0. (.) Een Dirac spinor beschrijft zowel het fermion als het antifermion en dit in beide spintoestanden, het is bijgevolg een 4-component veld. Een naïeve analoge formulering voor fermionen met hogere spin s impliceert het invoeren van (s + )-component velden. Dit vereist echter een uitbreiding van de Dirac theorie naar hoger-dimensionele spinruimten en is geen trivialiteit. De fundamenten van dit concept werden voor het eerst gevestigd door M. Fierz en W. Pauli [4]. Zij ontwikkelden een algemene theorie die massieve deeltjes met arbitraire spin (zowel bosonen als fermionen) beschrijft. Ondanks het eenvoudige concept is deze manier van werken vrij gecompliceerd. De correcte benaming is Lagrangiaanse dichtheid. De eigenlijke Lagrangiaan L wordt bekomen door integratie van de Lagrangiaanse dichtheid L over het gehele ruimtelijke volume, i.e. L = Ldx. In dit werk worden steeds natuurlijke eenheden gebruikt, i.e. = c =. Voor de andere conventies en notaties wordt verwezen naar bijlage A. 7

18 8 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden In 94 kwamen W. Rarita en J. Schwinger met een alternatief formalisme op de proppen [5]. In de Rarita-Schwinger (RS) theorie wordt een fermion met spin s = r + (r N) voorgesteld door het Rarita-Schwinger veld ψ µ...µ r, dat het direct product is van een Dirac veld en een symmetrische rang-r tensor ψ µ...µ r = ψ φ µ...µ r, (.3) ψ µ...µ r is dus een symmetrische rang-r tensor-spinor. In feite bevatten Dirac spinoren een spinor index a en is de correcte notatie ψ µ...µ r,a, deze wordt echter steeds onderdrukt om de uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk te houden. Het RS-veld is dus ook een 4-component veld en alle recepten van de Dirac theorie kunnen bijgevolg rechtstreeks overgenomen worden. De vrije bewegingsvergelijkingen voor de RS-velden luiden (i / m)ψ µ...µ r = 0, (.4) γ µ ψ µ...µ r = 0. (.5) In het geval van hogere-spin fermionen moeten er echter wel bijkomende voorwaarden opgelegd worden opdat het correcte aantal vrijheidsgraden, i.e. (s + ) = 4(r + ), beschreven wordt. Deze condities zijn mathematisch verwoord in (.5). Het valt gemakkelijk in te zien dat het RS-veld geen overtollige vrijheidsgraden bevat. Het totaal aantal onafhankelijke componenten van een symmetrische rang-r tensor in d dimensies is ( ) r + d, r waarbij ( ) n = r n! r!(n r)!. Aangezien d = 4 en de Dirac spinor Ψ vier componenten bevat is het totaal aantal vrijheidsgraden van het RS-veld 4(r + 3)!/(3!r!). De voorwaarden (.5) kunnen opgesplitst worden aangezien γ 0 enkel hoofddiagonale componenten en γ i enkel nevendiagonale componenten bevat. We krijgen vervolgens ( ) r + γ 0 ψ 0µ...µ r = 0 4, r ( ) r + γ i ψ iµ...µ r = 0 4. r Het verschil in aantal voorwaarden voor µ = i is een rechtstreeks gevolg van de condities voor µ = 0. Het totaal aantal onafhankelijke componenten is nu ( ) ( ) ( ) r + 3 r + r = 4(r + ), r r r

19 .. Het Rarita-Schwinger formalisme 9 en is het correcte aantal. Meestal worden er nog twee andere condities vermeld, nl. ψ µ µ µ 3...µ r = 0, (.6) µ ψ µ...µ r = 0. (.7) Deze condities zijn echter triviaal daar ze rechtstreeks volgen uit (.4) en (.5). Dit kunnen we als volgt inzien. Uit (.5) leiden we af dat γ µ γ µ ψ µ...µ r = 0. (.8) Gebruik makende van σ µν = i [γ µ, γ ν ] = i(γ µ γ ν g µν ) en de symmetrie van ψ µ...µ r we onmiddellijk dat vinden g µ µ ψ µ µ...µ r = 0, (.9) en dus eigenschap (.6). Om eigenschap (.7) te bewijzen contraheren vergelijking (.4) met γ µ hetgeen zich, rekening houdend met (.5), reduceert tot γ µ (i / m)ψ µ...µ r = 0, (.0) γ µ /ψ µ...µ r = γ µ γ µ µ ψ µ...µ r = 0. (.) Met behulp van γ µ γ ν tenslotte = γ ν γ µ + g µν en opnieuw gebruik makend van (.5) vinden we µ ψ µ...µ r = 0. (.) Nu, wat is de fysische interpretatie van voorwaarde (.5) en de afgeleide eigenschappen (.7) en (.6)? Wel, het veld γ µ ψ µ µ...µ r is eigenlijk een spin-(r ) RS-veld (i / m)γ µ ψ µ µ...µ r = 0, (.3) γ µ γ µ ψ µ µ...µ r = 0, (.4) zoals men afleidt uit vergelijking (.5) na vermenigvuldiging met (i / m) en contractie met γ µ. Door met meer γ µ s te contraheren bekomt men RS-velden met een steeds lagere spin. Nu is het zo dat deze velden eigenlijk geen fysische vrijheidsgraden beschrijven, het zijn immers lagere-spin RS-velden. Hun aanwezigheid in de theorie is echter onvermijdelijk; ze vloeien voort uit deze specifieke constructie voor hoger-spin velden. Voorwaarde (.5) eist dan ook dat al deze lagere-spin velden verdwijnen uit de vrije theorie. Hetzelfde geldt ook voor de velden ψ µ µ µ 3...µ r en µ ψ µ µ...µ r : eigenschappen (.7) en (.6) zorgen ervoor dat ook deze lagere-spin velden uit de vrije theorie geëlimineerd worden.

20 0 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden.. Ijkinvariantie van massaloze Rarita-Schwinger velden Wanneer een RS-veld geen massa draagt dan moet het aantal vrijheidsgraden, i.e. 4(r + ), gereduceerd worden. De speciale relativiteitstheorie dicteert namelijk dat reële 3 massaloze velden enkel transversaal gepolariseerd kunnen zijn, dit omwille van hun Lorentz invariant 4 karakter. Een massaloos RS-veld kan bijgevolg slechts vier vrijheidsgraden bevatten, nl. twee heliciteiten voor het fermion en twee heliciteiten voor het antifermion. De overtollige vrijheidsgraden van een massaloos RS-veld kunnen geëlimineerd worden door te eisen dat de RS-vergelijkingen (.4) en (.5) invariant zijn onder volgende transformatie voor r > 0 ψ µ...µ r ψ µ...µ r + r ( µ ɛ µ...µ r µr ɛ µ...µ r ), (.5) met ɛ µ...µ r een arbitraire symmetrische rang-(r ) tensor-spinor. Op het eerste gezicht lijkt het dat de RS-vergelijkingen enkel invariant kunnen zijn onder (.5) wanneer geldt dat /ɛ µ...µ r = 0, (.6) γ µ ɛ µ...µ r = 0, (.7) en dus zou ɛ µ...µ r zelf een massaloos RS-veld moeten zijn. Stel nu dat een massaloos RSveld inderdaad slechts vier componenten bevat, dan kunnen er m.b.v. transformatie (.5) vier vrijheidsgraden van ψ µ...µ r geëlimineerd worden. De RS-vergelijkingen zijn tevens invariant onder ( ) ψ µ...µ r ψ µ...µ r + µ µ ɛ µ3...µ r(r ) r µr µr ɛ µ...µ r, (.8) met ɛ µ...µ r een arbitrair massaloos spin-(r 3 ) RS-veld /ɛ µ...µ r = 0, (.9) γ µ ɛ µ...µ r = 0. (.0) Transformatie (.8) elimineert op haar beurt weer vier vrijheidsgraden. Gelijkaardige transformaties, die hogere-orde afgeleiden bevatten en lagere-orde massaloze RS-velden, kunnen nu doorgevoerd worden tot we uiteindelijk belanden bij r = 0 en dus een Dirac veld ɛ. Een Dirac veld bevat vier vrijheidsgraden en dus kunnen er in totaal 4r vrijheidsgraden verwijderd worden uit ψ µ...µ r. Equivalent kunnen we nu stellen dat de RS-vergelijkingen invariant zijn onder (.5), waarbij ɛ µ...µ r een willekeurige symmetrische rang-(r ) tensor-spinor voorstelt die voldoet aan γ µ ɛ µ...µ r = 0. (.) 3 Virtuele velden zijn off-shell, i.e. p µ p µ = p m, en dus geldt voor virtuele massaloze velden dat p 0. 4 Een Lorentz invariant transformeert onder de triviale representatie van de Lorentz groep.

21 .. De vrije Rarita-Schwinger spinoren Onderhevig aan deze conditie, bevat ɛ µ...µ r nu 4r onafhankelijke componenten en de invariantie van de RS-vergelijkingen onder (.5) reduceert het aantal vrijheidsgraden van het massaloze RS-veld ψ µ...µ r dus naar vier, zoals het hoort. Deze transformatie is een lokale transformatie aangezien ze ruimte-tijdsafgeleiden bevat en dus spreken we van een ijktransformatie en de corresponderende ijksymmetrie. Voor een meer rigoureuze afleiding van de ijksymmetrie van massaloze RS-velden verwijzen we naar [6, 7, 8, 9]. Wat is nu de betekenis van de RS-ijksymmetrie? In QED bv, zijn de veldvergelijkingen voor het fotonveld A µ invariant onder U()-ijktransformaties van deze laatste, nl. A µ A µ + µ χ met χ een willekeurig ruimte- en tijdsafhankelijk pseudoscalair veld. Indien de fotonen reëel zijn, zal deze ijksymmetrie samen met de ijkvoorwaarde (bv Coulomb ijk µ A µ = 0) twee polarisatievrijheidsgraden van het foton elimineren. Een reëel foton bezit dus twee polarisaties die fysisch zijn. Zijn de fotonen virtueel, dan is er geen ijkvoorwaarde meer, i.e. µ A µ 0 voor de Coulomb ijk. De fotonen vergaren dan ook een derde polarisatie die (noodzakelijkerwijs) longitudinaal is. De ijksymmetrie van de vrije massaloze RS-theorie zorgt dus net zoals de U()-ijksymmetrie in QED, voor het verwijderen van overtollige vrijheidsgraden. Ijksymmetrieën hebben altijd een behouden stroom tot gevolg. Deze stroom wordt de Noether-stroom genoemd en het behoud ervan t.g.v. de ijksymmetrie, wordt het Noethertheorema genoemd. Elektromagnetische interacties worden in QED beschreven door ijkinvariante interactie Lagrangianen. De Noetherstroom die voortvloeit uit de U()-ijksymmetrie is niets anders dan de elektromagnetische vierstroom, die de elektromagnetische stroom en de elektrische lading omvat. In elektromagnetische interacties worden de elektromagnetische stroom en de elektrische lading dus behouden. Een RS-theorie is geen theorie die een fundamentele wisselwerking beschrijft. Er zijn dan ook geen fysische stromen of ladingen geassocieerd met RS-velden. De RS-ijksymmetrie heeft dus niet echt een fysische betekenis. Welke betekenis heeft deze symmetrie dan wel? Het enige plausibele antwoord is dat een interagerende theorie die RS-ijkinvariant is, enkel de fysische componenten van het RS-veld bevat en in die zin dus consistent is. Het ontkoppelen van de niet-fysische vrijheidsgraden moet dan een gevolg zijn van het behoud van de RS-stroom. Het feit dat de U()-ijksymmetrie in QED verantwoordelijk is voor de beschrijving van het correcte aantal polarisatievrijheidsgraden van zowel on-shell als off-shell fotonen, ondersteunt deze bevinding.. De vrije Rarita-Schwinger spinoren In deze sectie wordt een expliciete vorm voor de vrije RS-spinoren afgeleid. Deze spinoren zijn namelijk vereist voor sommige expliciete berekeningen. Men kan RS-velden zowel beschouwen in de configuratierepresentatie als in de momentumrepresentatie. De overgang van de ene naar de andere representatie gebeurt m.b.v. een Fourier transformatie. De

22 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden overgang van de configuratierepresentatie naar de momentumrepresentatie gebeurt via ψ µ...µ r (p) = d 4 xψ (π) µ...µ r (x)e ip x. (.) Het spin-s RS-veld, met s = r +, kan geschreven worden als volgende lineaire combinatie s ψ µ...µ r (p) = C ms (p)u ms µ...µ r (p), (.3) m s= s waarbij de C ms (p) expansiecoëfficiënten voorstellen. De spinoren u ms µ...µ r (p) worden de veralgemeende Rarita-Schwinger spinoren genoemd. Een expliciete voorstelling van deze spinoren moet opgebouwd zijn uit een Dirac spinor en een symmetrische rang-r tensor. Een specifieke constructie is de volgende [30, 3] u ms µ...µ r (p) = / m u= / m l =, m u;, m ;... ;, m r s, ms umu (p)e m µ (p)... e mr µ r (p), (.4) met l =... r. Hierbij stellen, m u;, m ;... ;, m r s, ms samengestelde Clebsch- Gordon coëfficiënten voor, u mu (p) is een Dirac spinor met spinprojectie m u en de e m l µ l (p) zijn de polarisatieviervectoren van een spin- veld met spinprojectie m l. Deze laatste worden gegeven door [3] met en e m l µ (p) = L ν µ (p)e m l ν, (.5) L 00 (p) = p 0 m, (.6) L 0i (p) = p i m = L i0, (.7) p i p j L ij (p) = δ ij m(p 0 + m), (.8) e µ = (0, e x ie y ), (.9) e 0 µ = e z, (.30) e + µ = (0, e x + ie y ). (.3) De tensor L µν (p) is een representatie van de Lorentz groep, i.e. een Lorentz boost, die de polarisatieviervectoren in het ruststelsel, i.e. e m l µ e m l µ (0), transformeert naar de corresponderende polarisatieviervectoren in het stelsel dat met viermomentum p µ beweegt, i.e. e m l µ (p). De viervectoren e m l µ (p) zijn, zoals men eenvoudig kan nagaan, genormaliseerd e m l µ (p)e m l,µ (p) = δ ml m l, (.3)

23 .. De vrije Rarita-Schwinger spinoren 3 en ze staan loodrecht op het viermomentum p µ van het spin- veld p µ e m l µ (p) = 0. (.33) Deze relatie zorgt dus voor eigenschap (.7). Uit definitie (.4) volgt onmiddellijk dat u ms µ...µ r (p) totaal symmetrisch is in de Lorentz indices. Immers, zowel de som over de m l als de Clebsch-Gordon coëfficiënten zijn symmetrisch onder verwisseling van de m l. De Dirac spinoren u mu (p) en de coëfficiënten C ms (p) worden bepaald door de RS-vergelijkingen (.4,.5). Verder volgt uit (.3) en de normering van de Dirac spinoren (zie bijlage A), i.e. u mu (p)u m u (p) = mδ mum u, (.34) dat de RS-spinoren genormaliseerd zijn u ms,µ...µ r (p)u m s µ...µ r (p) = mδ msm s. (.35) Met het oog op expliciete berekeningen, en voor de volledigheid, schrijven we de spin- 3 en spin- 5 RS-spinoren uit in de ruststelsels van deze velden. De spin- 3 RS-spinoren luiden u µ 3 u µ u µ u µ 3 = e µ +u, = = 3 eµ 0u 3 eµ 0u = e µ u eµ +u, 3 eµ u, (.36) Voor de spin- 5 RS-spinoren vinden we u µν 5 u µν 3 u µν u µν u µν 3 u µν 5 = e µ +e ν +u, [ = 5 e µ +e ν 0 + e µ 0e+] ν u [ = 0 eµ +e ν + [ = 0 eµ e ν + + [ = 5 e µ e ν 0 + e µ 0e ] ν u + = e µ e ν u. + 5 eµ +e ν +u, ] 5 eµ 0e ν eµ e ν + 5 eµ 0e ν eµ +e ν 5 eµ e ν u u + ] u +, [ 5 e µ [ 5 e µ +e ν 0 + e µ 0e ν +] u e ν 0 + e µ 0e ν ] u,, (.37)

24 4 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden.3 Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld.3. De vrije Lagrangiaan De RS-vergelijkingen voor het spin- 3 veld worden rechtstreeks bekomen uit (.4) en (.5) (i / m)ψ µ = 0, (.38) γ µ ψ µ = 0. (.39) De vrije Lagrangiaan waaruit bovenstaande bewegingsvergelijkingen volgen, kan algemeen uitgedrukt worden als L = ψ µ Λ µν ψ ν. (.40) Een expliciete uitdrukking voor deze Lagrangiaan wordt bekomen na het introduceren van spin- 3 en spin- projectieoperatoren en de RS-operator Λ µν te expanderen in deze projectorbasis. De vereiste voor een reguliere RS-operator in de limiet p 0 en het opleggen van hermiticiteit fixeren de finale vorm van Λ µν in termen van één vrije reële parameter A [33] Λ A µν = (i / m)g µν + ia(γ µ ν + γ ν µ ) + i (3A + A + )γ µ /γ ν + m(3a + 3A + )γ µ γ ν, (.4) met als corresponderende Lagrangiaan L A = ψ µ Λ A µνψ ν, (.4) een uitdrukking die vaak gevonden wordt in de literatuur [34, 35, 36, 37]. De parameter A is niet volledig willekeurig. Opdat de propagator van het spin- 3 veld ten alle tijde een eindige uitdrukking zou kennen is de keuze A = niet toegestaan. Dit laatste zal verduidelijkt worden in de volgende sectie..3. De propagator De propagator van het spin- 3 veld is één van de ingrediënten die noodzakelijk zijn voor het expliciet berekenen van Feynman diagrammen aangaande intermediaire spin- 3 velden. Deze propagator P µν (p) is de oplossing van volgende identiteit in de momentumrepresentatie [34] Λ A µλ(p)p λν A (p) = g ν µ. (.43) Λ µλ (p) is de RS-operator in de momentumrepresentatie en wordt afgeleid uit (.4) via de substitutie i µ p µ. Gezien de vorm van de RS-operator (.4) kan P µν A (p) algemeen

25 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 5 uitgedrukt worden als een lineaire combinatie van alle mogelijke rang- tensoren gevormd door p µ, p ν, γ µ en γ ν vermenigvuldigd met m of p/. Een specifieke parametrisatie is dan P µν A (p) = p/ + m [ Ag p m µν + Bγ µ γ ν + C γ µp ν m + D γ νp µ m + E p ] µp ν. (.44) m Na substitutie van (.44) in (.43) en het oplossen van bovenstaande coëfficiënten vindt men P µν A (p) = p/ + m [ g µν p m 3 γµ γ ν 3m (γµ p ν γ ν p µ ) ] 3m pµ p ν 3m A + A + [ 3A + A + γµ p ν + A + ( ) ] A + p/ Am γ µ γ ν, (.45) een uitdrukking die men ook kan terugvinden in [34, 38]. Men ziet nu expliciet dat de keuze A = leidt tot een divergente propagator, een situatie die vanuit een mathematisch alsook een fysisch standpunt uiteraard ongewenst is..3.3 Symmetriëen van het vrije spin- 3 veld De RS-operator (.4) bevat een willekeurige parameter A. Het zou een lastige situatie zijn als deze parameter de fysische eigenschappen van ψ µ beïnvloedde. We verwachten dus intuïtief dat dit niet het geval is en er bijgevolg een corresponderende symmetrie moet bestaan die dit mathematisch verwoordt. Vooreerst bemerken we dat de RS-vergelijkingen (.38) invariant zijn onder volgende transformatie van ψ µ met z een arbitraire constante en ψ µ θ µν (z)ψ ν, (.46) θ µν (z) = g µν + zγ µ γ ν, (.47) hetgeen een rechtstreeks gevolg is van (.39). De toegevoegde RS-vergelijkingen zijn dan invariant onder de transformatie De getransformeerde RS-Lagrangiaan wordt nu ψ µ (i / m) = 0, (.48) ψ µ γ µ = 0, (.49) ψ µ ψ ν θ νµ (z). (.50) L A = ψ λθ λµ (z)λ A µνθ νρ (z)ψ ρ. (.5)

26 6 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden Opdat L A = L A voeren we volgende lineaire shift uit A = a(z)a + b(z)z. (.5) Na enig rekenwerk wordt gevonden dat de RS-Lagrangiaan L A invariant is onder de transformatie 5 ψ µ ψ µ + zγ µ γ ν ψ ν, (.53) A A z + 4z. (.54) Deze symmetrie staat beter bekend als de punttransformatiesymmetrie of de contactinvariantie. Ze impliceert dat ψ µ altijd de transformatie (.53) kan ondergaan mits A gewijzigd wordt via (.54). 6 Fysisch betekent dit dat de observabelen geassocieerd met ψ µ onafhankelijk zijn van A. Buiten de keuze A = is deze parameter dus volledig arbitrair. Deze bepaalt in welke mate het spin- veld γµ ψ µ aanwezig is in de vrije theorie. Inderdaad, in (.4) ziet men dat A alleen optreedt in combinatie met γ µ ψ µ en/of ψ µ γ µ, zijnde de spin- componenten van het RS-veld. Deze contactinvariante Lagrangiaan is dus invariant onder rotaties in de spin- ruimte en beschrijft bijgevolg louter de fysisch relevante vrijheidsgraden. Een veelgemaakte keuze is A = [33, 34, 36] en heeft alles te doen met het reduceren van de propagator (.45) tot zijn meest eenvoudige vorm P µν (p) = p/ + m [ g p m µν 3 γ µγ ν 3m (γ µp ν γ ν p µ ) ] 3m p µp ν. (.55) In termen van de spin- 3 en spin- projectieoperatoren [33] P 3 µν (p) = 3p ( 3p g µν p µ p ν p/(γ µ p ν γ ν p µ ) γ µ γ ν p ), P µν (p) = 3p ( pµ p ν + p/(γ µ p ν γ ν p µ ) + γ µ γ ν p ), = P,µν (p) + P,µν (p), P,µν (p) = 3p ( pµ p ν + p/(γ µ p ν γ ν p µ ) + γ µ γ ν p ), P,µν (p) = p µp ν p, P,µν (p) = 3p (p µp ν p/γ µ p ν ), P,µν (p) = 3p (p/p µγ ν p µ p ν ), (.56) 5 De waarde z = 4 is uiteraard uitgesloten. 6 Uiteraard moet ook het toegevoegde veld ψ µ getransformeerd worden.

27 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 7 kan deze propagator herschreven worden als P µν (p) = p/ + m p m P 3 µν(p) + [P,µν (p) + P 3m,µν (p) ] (p/ + m)p 3m,µν(p). (.57) We zien dus dat naast de fysische spin- 3 component ook de niet-fysische spin- componenten propageren. Het gevolg hiervan is dat deze componenten ook zullen koppelen aan externe stromen en bijgevolg aanleiding geven tot niet-fysische interacties. Het feit dat deze componenten deel uit maken van de propagator is niets anders dan een gevolg van (.43) en kon onmogelijk vermeden worden. Voor de speciale keuze A = vindt men voor de RS-operator in de configuratierepresentatie Λ µν = (i / m)g µν i(γ µ ν + γ ν µ ) + iγ µ /γ ν + mγ µ γ ν, (.58) = i {σ µν, i / m}. (.59) De corresponderende massaloze RS-Lagrangiaan is invariant onder de ijktransformatie L = i ψµ {σ µν, i /}ψ ν, (.60) ψ µ ψ µ + µ ɛ. (.6) Hierbij stelt ɛ een willekeurig ruimte- en tijdsafhankelijk Dirac veld voor. Deze symmetrie werd reeds voorspeld door (.5) maar kan ook expliciet geverifieerd worden door rechtstreekse substitutie. 7 De massaterm breekt deze ijksymmetrie expliciet zoals gewoonlijk. Deze symmetrie, die vanuit fysisch oogpunt de meest fundamentele is, zal zeer belangrijk blijken te zijn bij het construeren van consistente koppelingen aan externe stromen..3.4 Conventionele koppeling aan een externe stroom Beschouw voor de eenvoud een externe stroom die opgebouwd wordt uit een pseudoscalair veld φ (J π φ = 0 ) en een Dirac spinor ψ (J π ψ = + ). De meest eenvoudige stroom die hiermee geconstrueerd kan worden, is er één die laagste orde in de afgeleiden is J µ = ig m φ ψ µ φ, (.6) 7 In de ijkgetransformeerde massaloze RS-Lagrangiaan treden termen op van de vorm {σ µν, γ λ } λ ν, deze verdwijnen aangezien de anticommutator een antisymmetrische tensor is {σ µν, γ λ } = iε µνλρ γ ρ γ 5 en de tensor λ ν symmetrisch is.

28 8 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden met g een koppelingsconstante en m φ de massa van het pseudoscalair veld φ. Nu willen we aan deze stroom een RS-veld ψ µ koppelen zodanig dat de corresponderende Lagrangiaan invariant is onder volgende punttransformatie ψ µ ψ ν θ νµ (z), A A z + 4z, φ φ, ψ ψ. (.63) Gezien de vorm van de transformatie van ψ µ verwachten we intuïtief een Lagrangiaan van volgende vorm 8 L ψµφψ = ψ µ θ µν ( ζ(a, z) ) Γ J ν, = g m φ ψ µ θ µν ( ζ(a, z) ) Γ ψ ν φ. (.64) Hierbij is Γ = (γ 5 ) afhankelijk van de pariteit π = +( ) van het RS-veld. 9 Aangezien A een lineaire transformatie ondergaat (.63) zal ζ(a, z) ook een lineaire functie van A zijn. We veronderstellen dan ook volgende vorm voor ζ(a, z) Substitutie van (.63) in (.64) levert dan ζ(a, z) = a(z)a + b(z). (.65) ζ(a, z) = ( + 4z)A + z, (.66) zoals bevestigd wordt in [38]. Voor het speciale geval A = definiëren we een nieuwe tensor Θ µν (z) Θ µν (z) = g µν ( z + ) γµ γ ν. (.67) De interagerende theorie van een RS-veld ψ µ, een pseudoscalair φ en een Dirac spinor ψ wordt bijgevolg beschreven door de Lagrangiaan en bevat een willekeurige reële parameter z. L ψµφψ = ig m φ ψ µ Θ µν (z)γ ψ ν φ, (.68) 8 In principe moet men steeds de Hermitisch toegevoegde Lagrangiaan includeren. Voor de eenvoud van notatie zullen we dit echter impliciet veronderstellen voor interagerende Lagrangianen. 9 Met Γ = bedoelen we eigenlijk Γ = met de 4 4 eenheidsmatrix.

29 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 9 Op dezelfde manier kan ook een theorie opgesteld worden voor een vectorveld A µ i.p.v. het pseudoscalair veld φ. Ditmaal zijn er meerdere mogelijke Lagrangianen, een gevolg van de bijkomende Lorentz index van het vectorveld, voorbeelden zijn L () ψ µψa µ = iκ m ψ ψ µ Θ µν (y)γ λ ψf λν, (.69) L () ψ µψa µ = κ ψ µ Θ m µν (x)γ λ ψf λν, (.70) ψ L (3) ψ µψa µ = κ 3 ψ µ Θ m µν (w)γψ λ F λν (.7) ψ met κ, zijnde de koppelingsconstanten, F µν = ν A µ µ A ν en Γ = γ 5 (), Γ µ = γ µ (γ µ γ 5 ) alweer afhankelijk van de pariteit π = +( ) van het RS-veld. De afwezigheid van de factor i in (.70) is te wijten aan het verschil in aantal afgeleiden met (.69). Bovenstaande Lagrangianen zijn invariant onder de punttransformatie (.63) waarbij φ dient vervangen te worden door A µ. De reden voor het optreden van F µν i.p.v. µ A ν is gegrond. De Lagrangianen (.69) en (.70) bezitten naast de punttransformatiesymmetrie ook de ijksymmetrie van het vectorveld A µ, nl. A µ A µ + µ χ, (.7) waarbij χ een willekeurig ruimte- en tijdsafhankelijk pseudoscalair veld voorstelt. De Lagrangianen (.68), (.69) en (.70) worden zeer veel gebruikt in de literatuur [34, 38, 39, 40, 4, 4]. Merk op dat de term ν F µν verdwijnt voor reële fotonen ν F µν = A µ µ ν A ν, (.73) = 0. (.74) De eerste term verdwijnt t.g.v. de massaloze Klein-Gordon vergelijking. Het verdwijnen van de tweede term wordt gerealiseerd in de Coulomb ijk µ A µ = Inconsistentie van contactinvariante interacties Er zijn een aantal problemen met de courant gebruikte contactinvariante Lagrangianen (.68), (.69) en (.70). In 96 toonden Johnson en Sudarshan aan dat het invoeren van een elektromagnetisch veld in de contactinvariante RS-theorie als problematisch gevolg heeft dat de anticommutator van het RS-veld niet positief definiet is [43]. Omdat (anti)commutatierelaties gerelateerd zijn aan het causaliteitsbeginsel, verwachten we ook in deze sector problemen. In 969 ontdekten Velo en Zwanziger inderdaad dat er bepaalde modes bestaan van het RS-veld die sneller dan het licht propageren [44, 45]. Dit is uiteraard direct in strijd met de beginselen van de speciale relativiteitstheorie. Het lijkt er dus op dat het introduceren van de contact invariantie in de interactie niet leidt tot een fysisch zinvolle theorie. De oorzaak van deze inconsistentie heeft te maken met

30 0 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden het optreden van de niet-fysische spin- componenten van het RS-veld en de geassocieerde invariantie onder rotaties in de spin- ruimte die de contact invariantie met zich meebrengt, zoals reeds eerder werd aangehaald. Deze componenten koppelen immers met arbitraire sterkte aan de externe stroom en daar ze geen fysische vrijheidsgraden beschrijven is het dus logisch dat dit voor problemen zal zorgen..3.6 Trivialiteit van de punttransformatiesymmetrie In 996 bemerkte V. Pascalutsa dat de punttransformatiesymmetrie in wezen een triviale symmetrie is [46]. Bijgevolg is het opleggen van contact invariantie in een interagerende theorie dan ook fysisch irrelevant en de inconsistenties van de corresponderende Lagrangianen kunnen eenvoudig vermeden worden door de contact invariantie op te zeggen. We beschouwen de vrije Lagrangiaan (.4) die herschreven kan worden als met L A = ψ λ θ λµ (A/)Ω µν θ νρ (A/)ψ ρ, (.75) Ω µν = (i / m)g µν 4 γ µγ λ (i / m)γ λ γ ν. (.76) Hierbij werd er een nieuwe operator Ω µν ingevoerd die onafhankelijk is van A. De A- afhankelijkheid zit nu vervat in de θ-operatoren en laat ons toe een nieuw RS-veld Ψ µ 0 in te voeren De punttransformatie (.53,.54) correspondeert dan met Nu berekent men relatief eenvoudig dat Ψ µ = θ µν (A/)ψ ν. (.77) Ψ µ = θ µν (A/)ψ ν Ψ µ = θ µν (A /)θ νλ (z)ψ λ. (.78) θ µν (A /) = θ ρ µ(a/)θ ρν [ 4z/( + 4z)], (.79) = θ ρ µ(a/)θ ρν (z), (.80) met θ µλ (z)θλ ν (z) = g µν. Gezien het optreden van deze inverse operator zien we nu expliciet dat de punttransformatie correspondeert met het invoeren van de Minkowski metriek en bijgevolg een triviale transformatie is. De keuze A = fixeert de bijdrage van de spin- componenten in de interactie, maar hun koppeling aan de externe stroom is nog steeds arbitrair en dit met een sterkte evenredig met de parameter v = z, y, x. Pascalutsa merkte echter op dat het opleggen van de ijksymmetrie (.6) in de Lagrangiaan (.68) niet gepaard gaat met de invariantie van de interactie onder rotaties in de spin- 0 De A-afhankelijkheid van dit veld wordt impliciet verondersteld.

31 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld ruimte. Deze bevinding fixeert de parameter z op de waarde z =. Opmerkelijk genoeg werd deze waarde van de parameter reeds eerder gesuggereerd in [38] opdat de interactie (.68) consistent zou zijn met het causaliteitsbeginsel. Dit sterkt het reeds bestaande vermoeden aan dat ijkinvariante interacties uiteindelijk leiden tot consistente theorieën..3.7 Het Pascalutsa formalisme In deze sectie zullen we de reeds beschouwde Lagrangianen kwantiseren volgens de Dirac- Faddeev kwantisatieprocedure waarbij we hoofdzakelijk het werk van Pascalutsa volgen [47]. Voor meer uitleg over deze techniek wordt verwezen naar [48, 49, 50, 5, 5, 53]. We achten het nuttig deze procedure te overlopen omdat we nu expliciet zullen zien wat er fout loopt met de reeds eerder vermelde interactie Lagrangianen. Het zal blijken dat de contactinvariante interacties een overtollig aantal vrijheidsgraden bezitten, afkomstig van de spin- sector, die koppelen aan de externe velden en als dusdanig aanleiding geven tot niet-fysische interacties. Het vrije spin- 3 veld We passen de Dirac-Faddeev (DF) methode vooreerst toe op de vrije theorie. herschikken we de vrije Lagrangiaan (.59) naar volgende vorm Hiertoe L = εµνλρ ψ µ γ 5 γ λ ρ ψ ν εµνλρ ρ ψ µ γ 5 γ λ ψ ν imψ µ σ µν ψ ν. (.8) De canonisch toegevoegde momenta π µ = L/ ψ µ en π µ = L/ ψ µ worden dan gegeven door π 0 = 0, π 0 = 0, π i = ε ijkγ 0 γ 5 γ k ψ j, π i = ε ijkψ j γ 0γ 5 γ k, en bijgevolg worden de primaire voorwaarden in de vrije theorie ϑ 0 = π 0, ϑ 0 = π 0, ϑ i = π i ε ijkγ 0 γ 5 γ k ψ j, ϑ i = π i ε ijkψ j γ 0γ 5 γ k. (.8) (.83) De volgende stap bestaat erin over te gaan van de Lagrangiaanse formulering van de theorie naar de Hamiltoniaanse formulering. Uit de definitie van de Hamiltoniaan Ook hier is de correcte benaming de Hamiltoniaanse dichtheid. H = π µ ψ µ + ψ µπ µ L, (.84)

32 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden halen we H = ε ijk ψ i γ j γ 5 k ψ 0 + ε ijk k ψ 0 γ 5 γ j ψ i + mψ i γ i γ 0 ψ 0 + mψ 0 γ 0 γ i ψ i + ψ i (ε ijk γ 5 γ 0 k + imσ ij ) ψ j. (.85) Deze primaire voorwaarden worden vervolgens toegevoegd aan bovenstaande Hamiltoniaan via de Lagrange parameters λ 0 en λ i zodanig dat de totale Hamiltoniaan verkregen wordt H T = H + λ 0 ϑ 0 + λ 0ϑ 0 + λ i ϑ i + λ i ϑ i. (.86) Het is vanzelfsprekend dat de voorwaarden (.83) tijdsonafhankelijk moeten zijn opdat de theorie vrij zou zijn van enige inconsistenties. Binnen de Hamiltoniaanse formulering van de theorie komt dit neer op met de Poisson haakjes gedefinieerd als {ξ, η} P = ξ ψ ϑ 0 = {ϑ 0, H T } P = 0, (.87) ϑ i = {ϑ i, H T } P = 0, (.88) η π ξ η π ψ + ξ π η ψ ξ η ψ π, (.89) waarbij Lorentz indices, spinor indices en de coördinaten weggelaten zijn om de notatie niet te overladen. De fundamentele Poisson haakjes van de vrije theorie voor x 0 = y 0 worden dan {ψ µ,a (x), π ν,b (y)} P = g µν δ ab δ(x y), {ψ µ,a (x), π ν,b (y)} P = 0, {ψ µ,a (x), ψ ν,b (y)} P = {ψ µ,a (x), ψ ν,b (y)} P = 0, {π µ,a (x), π ν,b (y)} P = {π µ,a (x), π ν,b (y)} P = 0. (.90) Uit de relaties (.88) kunnen de Lagrange parameters λ i bepaald worden. Deze geven dus geen aanleiding tot nieuwe voorwaarden en zijn bijgevolg voorwaarden van de tweede klasse. Voorwaarden van de tweede klasse worden in de Dirac kwantisatieprocedure geëlimineerd door de Poisson haakjes te vervangen door Dirac haakjes {ξ(x), η(y)} D = {ξ(x), η(y)} P ] dz dz {ξ(x), ϑ i (z )} P [{ϑ i (z ), ϑ j (z )} P {ϑj (z ), η(y)} P. (.9) Uit het behoud van de primaire voorwaarden ϑ 0 en ϑ 0 in de tijd worden volgende secundaire voorwaarden berekend ϑ 4 = σ ij i ψ j mγ i ψ i, (.9) ϑ 4 = i ψ j σ ij + mψ i γ i. (.93)

33 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 3 Gebruik makende van deze nieuwe voorwaarden kan de totale Hamiltoniaan (.86) herschreven worden als H T = ϑ 4ψ 0 + ψ 0ϑ 4 + ψ i (ε ijk γ 5 γ 0 k + imσ ij ) ψ j + λ 0 ϑ 0 + λ i ϑ i + λ 0ϑ 0 + λ i ϑ i. (.94) Ook de secundaire voorwaarden (.9,.93) moeten tijdsonafhankelijk zijn en deze hebben de tertiare voorwaarden ϑ 5 en ϑ 5 tot gevolg ϑ 5 = {ϑ 4, H T } D, (.95) ϑ 5 = {ϑ 4, H T } D. (.96) Gezien de definitie van de Dirac haakjes (.9) ziet men relatief eenvoudig in dat {ϑ 4, ϑ 4} D 0. Bijgevolg zijn ϑ 5 en ϑ 5 respectievelijk lineair in de velden ψ 0 en ψ 0. Uit (.95) en (.96) worden dan de resterende Lagrange parameters λ 0 en λ 0 bepaald aangezien de totale Hamiltoniaan (.86) linear is in ϑ 0 en ϑ 0. Daarmee zijn alle voorwaarden van de vrije theorie bepaald. De voorgaande beschouwingen laten ons nu toe om het effectieve aantal vrijheidsgraden te bepalen. De fundamentele grootheden van de vrije RS-theorie zijn het RS-veld ψ µ,a en het canonisch toegevoegde momentum π µ,a. Deze bevatten elk 4 4 = 6 componenten daar µ = en a = Dit brengt het totaal aantal vrijheidsgraden op 3. De voorwaarden ϑ k,a elimineren 6 4 vrijheidsgraden aangezien k = De vrije RS-theorie bezit dus 8 vrijheidsgraden zoals het hoort. In [47] wordt tevens de padintegraal van de vrije RS-theorie berekend steunend op het formalisme dat werd opgesteld door Faddeev [49] Z = [dψ µ (t, x)][dψ µ(t, y)] det { ( iγ i i + 3m) δ(x y) } ( exp i 4 ) dx µ L. (.97) Bovenstaande determinant die resulteert uit de integratie over de ϑ-velden is veldonafhankelijk en wordt bijgevolg opgeslorpt in de normalisatie van de padintegraal. De aanwezigheid van deze ϑ-velden laten de padintegraal ongewijzigd en dus zijn de intuïtieve Feynman regels van toepassing. De interagerende theorie In de vorige sectie werd de vrije theorie gekwantiseerd volgens de DF-methode. Hierbij werd aangetoond dat het vrije spin- 3 het correcte aantal vrijheidsgraden bezit. Dit is echter geen verrassing; we hebben dit in sectie.. reeds aangetoond. Het werk dat verricht werd in vorige sectie lijkt dus overbodig. We zullen ons nu echter toespitsen op interagerende theorieën en het nut van de DF-kwantisatie van het vrije spin- 3 veld zal dadelijk blijken. Hierbij werd gebruik gemaakt van de relatie ε ijk γ 5 γ k = iσ ij γ 0.

34 4 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden We beschouwen de eenvoudigste interagerende theorie, nl. de reeds eerder besproken ψ µ φψtheorie. Deze theorie wordt in de kwantumveldentheorie beschreven door de Lagrangiaan met L φ gegeven door L = L φ + L ψ + L ψµ + L ψµφψ, (.98) L φ = µφ µ φ m φφ. (.99) De Lagrangianen L ψ, L ψµ en L ψµφψ werden reeds eerder gegeven en dit respectievelijk in (.), (.8) en (.68). In de interactie Lagrangiaan L ψµφψ zullen we voor wat volgt de massa van het veld φ opslorpen in de koppelingsconstante, die we nog steeds zullen noteren als g. Het toegevoegde momentum van het RS-veld ψ µ, nl. π µ, werd reeds berekend in (.8). We definiëren de toegevoegde momenta van het pseudoscalair veld φ en het Dirac veld ψ respectievelijk als ρ = L/ φ en ϖ = L/ ψ, ϖ = L/ ψ. Een relatief eenvoudige berekening levert ρ = φ + g ( z) ( ψ 0 ψ + ψψ 0 ) + g ( z + ) ( ψi γ i γ 0 ψ + ψγ 0 γ i ψ i ), = φ + ϱ(ψ, ψ µ ), ϖ = iψ, ϖ = iψ. Naast de reeds eerder berekende primaire voorwaarden (.83) hebben we nu ook (.00) χ = ϖ iψ, (.0) χ = ϖ + iψ. (.0) De corresponderende totale Hamiltoniaan van (.98) wordt dan met H T = H φ + H ψ + H ψµ + H ψµφψ + λ 0 ϑ 0 + λ 0ϑ 0 + λ i ϑ i + λ i ϑ i + λχ + λ χ, (.03) ( H φ = ρ ϱ ) + iφ i φ + m φφ, (.04) H ψ = ψ(iγ i i + m ψ )ψ, (.05) H ψµφψ = L ψµφψ, (.06) en H ψµ gegeven door (.85). De Lagrange parameter horende bij de primaire voorwaarde χ ( ) wordt hierbij gegeven door λ ( ). De definitie van de Poisson haakjes in (.89) is uiteraard enkel geldig voor de vrije theorie. In de interagerende theorie zijn er nog twee

35 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 5 andere velden in het spel en dus worden de Poisson haakjes uitgebreid tot 3 {ξ, η} P = ξ ψ µ η π µ ξ π µ + ξ η φ ρ + ξ η ρ φ + ξ ψ η + ξ ψ µ π µ η ϖ ξ ϖ η ψ + ξ ϖ η ψ µ ξ ψ µ η π µ η ψ ξ ψ η ϖ. De fundamentele Poisson haakjes van de betrokken velden voor x 0 = y 0 worden dan (.07) {φ(x), ρ(y)} P = δ(x y), (.08) {ψ a (x), ϖ b (y)} P = δ ab δ(x y), (.09) {ψ µ,a (x), π ν,b (y)} P = g µν δ ab δ(x y). (.0) Net zoals in (.90) verdwijnen alle andere mogelijke Poisson haakjes (uiteraard buiten de Hermitisch toegevoegden van bovenstaande relaties). Zoals gewoonlijk in de DFkwantisatieprocedure worden nu de voorwaarden van de tweede klasse, zijnde ϑ ( ) i en χ ( ), opgeslorpt in nieuwe Poisson haakjes: de Dirac haakjes {ξ(x), η(y)} D = {ξ(x), η(y)} P ] dz dz {ξ(x), ϑ i (z )} P [{ϑ i (z ), ϑ j (z )} P {ϑj (z ), η(y)} P [ ] dz dz {ξ(x), χ (z )} P {χ (z ), χ(z )} P {χ(z ), η(y)} P. (.) De primaire voorwaarden ϑ 0 en ϑ 0 mogen niet veranderen in de tijd en dit wordt uitgedrukt via de nieuwe secundaire voorwaarden ϑ 4 en ϑ 4 ϑ 4 = σ ij i ψ j m ψµ γ i ψ i + g ( z + ) γi ψ i φ + g ( z) (ρ ϱ)γ 0 ψ, (.) ϑ 4 = i ψ j σ ij + m ψµ ψ i γ i g ( z + ) ψ γ i i φ + g ( z) (ρ ϱ)ψ γ 0, (.3) waarbij we nu m m ψµ hebben gesteld. In bovenstaande uitdrukking is het pseudoscalaire veld ϱ expliciet afhankelijk van ψ 0. Gezien de vorm van de totale Hamiltoniaan (.03) merken we op dat het behoud van de secundaire voorwaarden ϑ 4 in de tijd de resterende Lagrange parameter λ 0 bepaald. In dit geval volgen er dus geen voorwaarden ϑ 5 met als gevolg dat de interagerende theorie een overvloed aan vrijheidsgraden bezit. Opdat de ψ µ φψ-theorie een consistente fysische interactie zou beschrijven mag ϑ 4 in geen geval een ψ 0 -afhankelijkheid vertonen. Op dit punt zijn we dus genoodzaakt de enige vrije parameter in de theorie, nl. z, te fixeren op de waarde z =. We herinneren eraan dat deze waarde van de parameter reeds eerder gesuggereerd werd in sectie De Lorentz indices horende bij de velden ψ ( ) µ en π ( ) µ in uitdrukking (.07) zijn enkel aanwezig om onderscheid te maken met de Dirac velden. Let op, er vindt wel degelijk een Lorentz contractie plaats maar de sommatie loopt hier niet over de index µ.

36 6 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden Zoals in de vrije theorie het geval was, zal ook nu de totale Hamiltoniaan de term ϑ 4ψ 0 bevatten en zullen de voorwaarden ϑ 5 dus lineair zijn in ψ 0. Met behulp van de nieuwe Dirac haakjes (.) kan de proportionaliteitscoëfficiënt berekend worden {ϑ 4 (x), ϑ 4(y)} D = i ( ) 3 m ψ µ g i φ(x) i φ(x) δ(x y). (.4) Nu zal voor een welbepaalde waarde van de ruimtelijke coördinaat x de coëfficiënt van δ(x y) verdwijnen. In dat geval zijn ofwel ϑ 4 voorwaarden van de eerste klasse (als ze met alle andere aanwezige voorwaarden verdwijnende Poisson haakjes hebben) ofwel zijn de voorwaarden ϑ 5 niet de laatste voorwaarden (omdat ze dan niet meer lineair zijn in ψ 0 ). In het eerste geval zijn er teveel vrijheidsgraden, in het tweede geval is er een tekort aan vrijheidsgraden. We kunnen dan ook concluderen dat zelfs na het opleggen van de restrictie z = de theorie nog steeds niet vrij is van inconsistenties. De contactinvariante ψ µ φψ-theorie (.68) beschrijft dus geen fysisch zinvolle interactie. Men ziet nu ook expliciet dat de anticommutatierelaties van ϑ 4, en dus impliciet die van ψ µ, niet positief definiet zijn. Deze bevinding werd reeds geïdentificeerd met het Johnson- Sudarshan en het Velo-Zwanziger probleem in sectie.3.5. Op zeer analoge wijze kan men ook de inconsistenties van de interacties (.69) en (.70) aantonen. Het opleggen van de punttransformatiesymmetrie in interacties met RS-velden leidt dus niet tot een consistente theorie. Consistentie van ijkinvariante spin- 3 interacties In sectie.3.7 werd expliciet aangetoond dat het vrije RS-veld ψ µ een correct aantal vrijheidsgraden bezit. Een interessante bemerking hierbij is dat de corresponderende Lagrangiaan (.8) invariant is onder de ijktransformatie (.6), afgezien van de expliciete symmetriebreking t.g.v. de massaterm. Het lijkt er dus op dat de ijksymmetrie het aantal vrijheidsgraden afstemt op het correcte aantal. Dit is niet zo verwonderlijk daar symmetrieën de theorie in zekere mate beperken en dus eigenlijk op unieke wijze moeten verbonden zijn aan de voorwaarden waaraan de theorie onderhevig is. Deze vaststelling werd in ieder geval reeds bevestigd in de vorige sectie. Hierdoor geïnspireerd zullen we onze blik nu werpen op ijkinvariante interacties. We beschouwen vooreerst een algemene interactie die bestaat uit een lineaire koppeling van een RS-veld ψ µ met een bepaalde stroom J µ L ψµj µ = ψ µ J µ + J µ ψ µ, (.5) waarbij we nu expliciet het Hermitisch toegevoegde deel vermelden. De totale Lagrangiaan van deze theorie wordt dan L = L ψµ + L Jµ + L ψµj µ. (.6)

37 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 7 Met L Jµ duiden we op de vrije Lagrangianen van de velden die vervat zitten in de stroom J µ. In de veronderstelling dat deze laatste ongewijzigd blijft bij de ijktransformatie transformeert L onder (.7) als 4 ψ µ ψ µ + µ ɛ, (.7) L L + µ ɛj µ + J µ µ ɛ. (.8) De invariantie van L onder bovenstaande ijktransformatie legt dus volgende eis op µ ɛj µ + J µ µ ɛ = 0. (.9) Na partiële integratie en wetende dat het Dirac veld ɛ volledig arbitrair is kan bovenstaande conditie enkel stand houden wanneer µ J µ = 0. (.0) De stroom J µ blijft dus behouden en kan geïdentificeerd worden met de Noetherstroom die gepaard gaat met de ijksymmetrie van L. Uit de bewegingsvergelijkingen voor het toegevoegde RS-veld ψ µ L ψ µ L ν ν ψ µ = 0, (.) volgt na het nemen van de divergentie en rekening houdend met (.0) en de antisymmetrie van ε µνλρ dat L ψ 0 = im ψµ γ 0 σ µν µ ψ ν. (.) Gezien ϑ 0 = π 0 = L/ ψ 0, ϑ 4 = ϑ 0 en ϑ 5 = ϑ 4 wordt (.) ϑ 5 = im ψµ γ 0 σ µν µ ψ ν. (.3) Gezien we niet geïnteresseerd zijn in massaloze RS-velden zien we dus dat de ijkinvariante interactie (.5) een consistente interactie is daar het veld ψ 0 aanwezig is in ϑ 5. 5 We kunnen nu ijkinvariante theorieën samenstellen bestaande uit een RS-veld ψ µ en een stroom J µ (φ, ψ) of J µ (ψ, A µ ) die behouden blijft, i.e. µ J µ = 0. 4 In principe moet in (.8) nog een term toegevoegd worden vanwege de massaterm in L ψµ maar aangezien deze voor de huidige discussie irrelevant is wordt deze weggelaten. 5 Bemerk hierbij dat { ψ 0 (x)/ x µ, π 0 (y)} D = / x µ {ψ 0 (x), π 0 (y)} D.

38 8 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden.3.8 Consistentie van ijkinvariante interacties: de korte weg We kunnen de consistentie van ijkinvariante interacties echter veel gemakkelijker aantonen zonder gebruik te maken van de Dirac-Faddeev kwantisatieprocedure. Relatie (.0) wordt in de momentumrepresentatie p µ J µ = 0. (.4) Via de definities van de spin- 3 projectieoperatoren (.56) zien we dat voor de behouden stroom J µ volgende relaties gelden Een transitiematrixelement heeft volgende vorm P,µν J ν = 0, (.5) P,µν J µ = 0, (.6) P,µν J ν = 0, (.7) P,µν J µ = 0. (.8) M = Γ µ f P µνγ ν i, (.9) met Γ i,µ en Γ f,µ de vertices die bekomen worden uit de stromen J i,µ en J f,µ na het toepassen van de Feynman regels. Deze zijn tevens behouden omdat de stromen behouden zijn, i.e. p µ Γ µ i,f = 0. (.30) Met behulp van de decompositie van P µν (p) in spinprojectieoperatoren (.57) zien we dat het transitiematrixelement zich reduceert tot M = Γ µ p/ + m f p m P 3 µνγ ν i, (.3) en dus dat alleen de fysische spin- 3 component van ψ µ de interactie medieert. Uit (.3) blijkt nu dat de stromen J i,µ en J f,µ niet alleen behouden moeten zijn, maar ook dat hun Lorentz index niet volledig afkomstig mag zijn van een γ µ of een µ. Voor de spin- 3 projectieoperator gelden immers volgende identiteiten γ µ P 3 µν (p) = P 3 µν (p)γ ν = 0, (.3) p µ P 3 µν (p) = P 3 µν (p)p ν = 0. (.33) De velden γ µ ψ µ en µ ψ µ mogen dus niet alleen optreden in een interactie Lagrangiaan omdat ze dan een verdwijnend matrixelement tot gevolg hebben. Fysisch wil dit zeggen dat een ijkinvariante interactie niet louter gemedieerd kan worden door de niet-fysische componenten van ψ µ.

39 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 9 In de uitdrukking van de spin- 3 propagator (.55) zien we dat enkel de fysische pool bij p m optreedt. In vorige paragraaf zagen we dat bij het construeren van het transitiematrixelement alleen het spin- 3 gedeelte van P µν(p) overblijft, i.e. M = Γ µ p/ + m f p m P 3 = Γ µ f µνγ ν i, p/ + m ( 3p g p m 3p µν p µ p ν p/(γ µ p ν γ ν p µ ) γ µ γ ν p ) Γ ν i. (.34) Na het expliciet invullen van de spin- 3 projectieoperator, gedefinieerd in.56, zien we dat er een bijkomende pool bij p 0 optreedt. Het is de ijksymmetrie van de vertices Γ i,µ en Γ f,µ die deze singulariteit genereert. Uiteindelijk mag een zinvolle theorie geen singulariteiten bevatten die niet van fysische oorsprong zijn. Zoals vermeld in sectie.3. werd deze pool ook al verwijderd voor de vrije Lagrangiaan. Alleen de ijksymmetrie opleggen in de interactievertices volstaat dus niet; we moeten deze vertices tevens zo definiëren dat de pool bij p 0 verdwijderd wordt, i.e. M = Γ µ f = Γ µ f p/ + m p m ( 3p g 3p µν p µ p ν p/(γ µ p ν γ ν p µ ) γ µ γ ν p ) Γ ν i, p/ + m (p g p m µν 3 p µp ν 3 p/(γ µp ν γ ν p µ ) 3 ) γ µγ ν p Γ ν i, (.35) met Γ i,µ en Γ f,µ het resterende gedeelte van de vertices Γ i,µ en Γ f,µ. Hoe we dit zullen verwezenlijken, zal uitgelegd worden in de volgende sectie..3.9 Een ijkinvariante constructie De vraag rest ons nu hoe we expliciet behouden stromen kunnen genereren en zo ijkinvariante interacties opbouwen. Dit is mogelijk gebruik makende van de expliciet ijkinvariante RS-veldtensor Met deze tensor en een externe stroom J µν opbouwen G µν = ν ψ µ µ ψ ν. (.36) L ψµj µ = G µν J µν, kan men volgende interactie Lagrangiaan = ( ν ψ µ µ ψ ν )J µν, = ψ µ ν (J νµ J µν ), = ψ µ J µ, (.37) waarbij we nu het Hermitisch toegevoegde deel terug hebben weggelaten. Deze Lagrangiaan is uiteraard ijkinvariant en de stroom J µ = ν (J νµ J µν ) is expliciet behouden µ J µ = µ ν (J νµ J µν ), = 0. (.38)

40 30 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden Ook voor J µν geldt dat de Lorentz indices niet zuiver afkomstig mogen zijn van een γ µ. 6 We merken op dat het gebruik van G µν equivalent is met de contractie van µ ψ ν met een antisymmetrische tensor. De tensor G µν garandeert echter niet dat de pool bij p 0 verwijderd zal worden. We moeten op deze tensor dus een operator laten inwerken die én de ijkinvariantie bewaart én de singulariteit ongedaan maakt. De Dirac operator γ µ voldoet aan deze vereisten en laat ons toe een nieuwe tensor te definiëren, nl. G µ = γ ν ψ µν = /ψ µ µ γ ν ψ ν. (.39) Bij het opstellen van een transitieamplitude zal deze ijkinvariante constructie zich omwille van (.3) reduceren tot G µ /ψ µ. (.40) De operator / samen met deze in de andere vertex zal de pool van de spin- 3 projectieoperator bij p = 0 opheffen met als gevolg dat de transitieamplitude een goed gedefinieerde limiet heeft voor p 0. Er geldt tevens dat γ µ G µ = 0, (.4) µ G µ = 0, (.4) hetgeen het aantal mogelijke koppelingen reduceert. Een interactie Lagrangiaan zal als volgt opgesteld worden L GµJ µ = G µ J µ, (.43) met J µ een externe stroom. Via partiële integratie bekomen we L GµJ µ = ψ µ (γ µ ν J ν /J µ ), = ψ µ J µ. (.44) De stroom J µ is een expliciet behouden stroom µ J µ = µ (γ µ ν J ν /J µ ), = 0, (.45) en dus mag J µ een willekeurige stroom zijn op voorwaarde dat Lorentz index niet afkomstig is van een γ µ. We merken nog op dat als de Lorentz index van de stroom J µ volledig afkomstig is van een µ, het niet uitmaakt op welk van de twee velden in J µ deze inwerkt en dit omwille van (.4). Via partiële integratie ziet men immers in dat beide varianten slechts verschillen van teken. Naast G µν bestaat er nog een andere ijkinvariante rang- tensor die impliciet voorgesteld werd in [47]. Het betreft de duale tensor van G µν, nl. G µν = ε µνλρg λρ = ε µνλρ ρ ψ λ. (.46) 6 J µν kan geen µ s afkomstig van ψ µ bevatten, deze zitten reeds vervat in G µν.

41 .3. Het spin- 3 Rarita-Schwinger veld 3 Noch deze tensor noch haar contractie met de Dirac operator γ µ kunnen de singulariteit bij p 0 teniet doen. De totale antisymmetrie van de Levi-Civita tensor ε µνλρ verhindert immers dat operatoren zoals / / of kunnen optreden in de finale vorm van het transitiematrixelement. Zulke operatoren (in feite zijn het dezelfde operatoren) zijn namelijk vereist voor de eliminatie van de singulariteit..3.0 Ijkinvariante Lagrangianen De meeste interactie Lagrangianen die men terugvindt in de literatuur bezitten gewoonlijk een zo laag mogelijk aantal afgeleiden. Een afgeleide, of equivalent een viermomentum, is echter geen perturbatieparameter en dus lijkt de orde in de afgeleiden minimaliseren niet echt fysisch gegrond. Het aantal afgeleiden in een koppeling bepaalt wel in welke mate de interactiesterkte zal afhangen van de viermomenta van de deeltjes die deelnemen aan de interactie. Nu is er niet direct een reden waarom de interactiesterkte sterk of zwak afhankelijk zou moeten zijn van de viermomenta. Intuïtief verwachten we dat een interactie niet extreem sterk afhankelijk kan zijn van de externe viermomenta en daarom wordt het aantal afgeleiden in een koppeling gewoonlijk laag gehouden. Voor een lage orde in de afgeleiden zijn er ook minder mogelijke vormen voor de interactie Lagrangiaan en dus ook minder onduidelijkheid over welke vorm de interactie het best beschrijft. De meest eenvoudige vorm voor de ψ µ φψ-interactie die men kan opbouwen met G µ is de volgende L ψµφψ = g m φ G µ Γ ψ µ φ, = g m φ ( ν ψ µ γ ν µ ψ ν γ ν )Γ ψ µ φ (.47) De corresponderende interactievertex luidt Γ µ = ig Γ [q/k m µ (k q)γ µ ], (.48) φ met q µ, k µ en p µ respectievelijk de viermomenta van ψ µ, φ en ψ, en is duidelijk ijkinvariant q µ Γ µ = 0. (.49) Na contractie met de spin- 3 tot propagator zal bovenstaande interactievertex zich reduceren Γ µ ig Γ q/k m µ. (.50) φ

42 3 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden Voor de ψ µ ψa µ -theorie worden volgende laagste-orde-in-de-afgeleiden Lagrangianen gevonden L () ψ µψa µ = κ G 4m µ Γγ ν ψf µν, (.5) ψ L () ψ µψa µ = iκ G 8m 3 µ Γ ν ψf µν, (.5) ψ L (3) ψ µψa µ = iκ 3 G 8m 3 µ Γψ ν F µν. (.53) ψ Bemerk ook hier weer het gebruik van F µν en dus de ijkinvariantie van het vectorveld A µ. We vermelden nog dat er in de orde m 3 ψ nog één andere Lagrangiaan bestaat, nl. L ψ µψa µ = iκ 3 G 8m 3 µ Γσ νλ µ ψf νλ. (.54) ψ Merk op dat deze Lagrangiaan de magnetische term σ µν F µν. In dit werk zullen we echter geen gebruik maken van deze interactie Lagrangiaan. De interactievertices van de ψ µ ψa µ - Lagrangianen werden berekend als Γ () µ,λ = iκ Γ (q/ [k/g 4m µλ k µ γ λ ] γ µ [k/q λ (k q)γ λ ]), (.55) ψ Γ () µ,λ = iκ Γ (q/ [(k p)g 8m 3 µλ k µ p λ ] γ µ [(k p)q λ (k q)p λ ]), (.56) ψ Γ (3) µ,λ = iκ 3 Γ ( q/ [ ] [ ]) k g 8m 3 µλ k µ k λ γµ k q λ (k q)k λ. (.57) ψ waarbij k µ nu het viermomentum van A µ voorstelt. De ijkinvariantie vanwege ψ µ en A µ blijkt uit q µ Γ (,,3) µ,λ = 0, (.58) k λ Γ (,,3) µ,λ = 0. (.59) Bij het opbouwen van een matrixelement zullen bovenstaande interactievertices zich reduceren tot Γ () µ,λ iκ Γq/ [k/g 4m µλ k µ γ λ ], (.60) ψ Γ () µ,λ iκ Γq/ [(k p)g 8m 3 µλ k µ p λ ], (.6) ψ Γ (3) µ,λ iκ 3 Γq/ [ ] k g 8m 3 µλ k µ k λ. (.6) ψ We herinneren er aan dat we voor het opstellen van consistente koppelingen gebruik maakten van G µ en niet van de meer algemene ijkinvariant G µν. Voor de ψ µ φψ-theorie is (.47)

43 .4. Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld 33 de enige mogelijkheid in de orde m φ. Voor de ψ µψa µ theorie bestaat er naast (.5) nog een andere koppeling in de orde m ψ, nl. [47] L ψ µψa µ = κ G 4m µν ΓψF µν. (.63) ψ Het gebruik van G µ impliceert de uitsluiting van bovenstaande koppeling. De reden waarom we G µ gebruiken, is om de theorie te vrijwaren van divergenties geassocieerd met p 0..4 Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld Voor de beschrijving van spin- 5 velden binnen het Rarita-Schwinger formalisme zijn nu twee Lorentz indices vereist. Alle uitdrukkingen worden dan nu ingewikkelder omdat ze meer termen en Lorentz indices bevatten. We zullen ons dan ook niet toeleggen op het expliciet afleiden van de spin- 5 vrije Lagrangiaan en propagator. Wat we wel zullen verwezenlijken is het construeren van consistente spin- 5 koppelingen steunend op de ijksymmetrie van de (massaloze) RS-theorie..4. De vrije theorie De vrije spin- 5 Lagrangiaan luidt [54] L A,B,C = ψ µν Λ A,B µν;λρ ψλρ + L A,B,C ξ, (.64) met Λ A,B µν;λρ = (i / m)(g µρg νλ + g µλ g νρ ) + ia [ (γ µ λ + γ λ µ )g νρ + (γ ν λ + γ λ ν )g µρ + (γ µ ρ + γ ρ µ )g νλ + (γ ν ρ + γ ρ ν )g µλ ] + if (A)(γ µ /γ λ g νρ + γ ν /γ λ g µρ + γ µ /γ ρ g νλ + γ ν /γ ρ g µλ ) + mf (A)(γ µ γ λ g νρ + γ ν γ λ g µρ + γ µ γ ρ g νλ + γ ν γ ρ g µλ ) + ib [ (γ µ ν + γ ν µ )g λρ + (γ λ ρ + γ ρ λ )g µν ] (.65) + (i /G (A, B) + mg (A, B)) g µν g λρ en L A,B,C ξ = mc ( ψ µν g µν ξ + ξg µν ψ µν ) + H(A, B, C)ξ(i / + 3m)ξ. (.66)

44 34 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden Hierbij zijn A, B en C onafhankelijke reële parameters en F (A) = ( 5A + A + ), 4 (.67) F (A) = ( 5A + 0A + 3 ), 8 (.68) G (A, B) = 5A4 A 3 0A 8A 4B 4B (7A + 6A + ), (3A + ) (.69) G (A, B) = 5A4 + 8A + 8A + B + 6B (5A + 6A + ) +, (3A + ) (.70) 4C (3A + ) H(A, B, C) = 5 (5A + 6A + 4B + ). (.7) Het invoeren van het spinorveld ξ is noodzakelijk opdat de Euler-Lagrange vergelijkingen de correcte RS-vergelijkingen zouden genereren. De introductie van bijkomende velden in de RS-theorie is in het algemeen vereist voor RS-velden met spin > 3 [55]. Onafhankelijke variatie van de vrije Lagrangiaan (.64) naar de velden ψ µν en ξ, leidt tot de RS-bewegingsvergelijkingen indien de conditie ξ = 0 opgelegd wordt. Deze voorwaarde elimineert bijgevolg de extra vrijheidsgraden afkomstig van het niet-fysische spinorveld ξ. Verder merken we op dat alleen de functie H(A, B, C) de parameter C bevat en dus dat deze laatste enkel geassocieerd is met het spinorveld ξ. De eigenlijke vrije parameters van de spin- 5 RS-theorie zijn A en B. Een decompositie van de vrije Lagrangiaan (.64) in termen van de spin- 5 projectieoperatoren toont aan dat A enkel optreedt in combinatie met de spin- 3 componenten van ψ µν terwijl B gerelateerd is aan zowel de spin- 3 als de spin- componenten van ψ µν [54]. Uit (.69) en (.70) leidt men af dat A een vereiste conditie is voor een eindige theorie. Deze voorwaarde 3 samen met A zijn noodzakelijk voor het bekomen van de RS-bewegingsvergelijkingen [54]. In [54] wordt volgend stelsel van propagatorvergelijkingen gevonden Λ A,B µν;στ(p)p στ;λρ A,B,C (p) + mcg µνp ;λρ A,B,C (p) = g µ λ gν ρ + gµ ρ gν λ, Cmg µν P µν; A,B,C (p) + H(A, B, C)(p/ + 3m)P A,B,C(p) =, (.7) met P A,B,C (p) de propagator van het spinorveld ξ en P ;µν A,B,C µν; (p) en P A,B,C (p) de propagatoren die geassocieerd zijn met de kwantummechanische opmenging van het spinorveld ξ en de spin- component van ψ µν. Voor het specifieke geval A = B = vindt men na behoorlijk wat rekenwerk volgende oplossing die onafhankelijk is van de parameter C P µν;λρ (p) = [(p/ + m)p 5µν;λρ (p) p m ( D 3 p m m µν;λρ (p) + D µν;λρ (p)) ]. (.73)

45 .4. Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld 35 Hierbij stelt P 5 µν;λρ (p) de spin- 5 projectieoperator voor P 5 µν;λρ (p) = (P µλp νρ + P µρ P νλ ) 5 P µνp λρ met + 0( Pµσ γ σ γ τ P τλ P νρ + P νσ γ σ γ τ P τρ P µλ + P µσ γ σ γ τ P τρ P νλ + P νσ γ σ γ τ P τλ P µρ ), (.74) P µν (p) = g µν + p p µp ν, (.75) de spin- projectieoperator. Verder stellen D 3 µν;λρ (p) en D µν;λρ (p) de propagerende spin- 3 en spin- componenten van ψ µν voor. Deze zijn respectievelijk functie van de spin- 3 projectieoperatoren [58] P 3,µν;λρ (p) = (P µλq νρ + P νλ Q µρ + P µρ Q νλ + P νρ Q µλ ) 6p O µνo λρ, P 3,µν;λρ (p) = 0( Pµσ γ σ γ τ P τλ P νρ + P νσ γ σ γ τ P τλ P µρ + P µσ γ σ γ τ P τρ P νλ + P νσ γ σ γ τ P τρ P µλ 5 P µνp λρ ), P 3,µν;λρ (p) = 5p [p λγ σ (P σµ P νρ + P σν P µρ ) + p ρ γ σ (P σµ P νλ + P σν P µλ )] p/ 3 5p P µνo λρ p/ = P 3,λρ;µν (p) en de spin- projectieoperatoren (.76) P,µν;λρ (p) = Q µν Q λρ, met P,µν;λρ (p) = 3 P µνp λρ, P 33,µν;λρ (p) = 6p O µνo λρ, P,µν;λρ (p) = 3 P µν Q λρ = P,λρ;µν (p), P 3,µν;λρ (p) = 6p O µνq λρ p/ = P 3,λρ;µν (p), P 3,µν;λρ (p) = 3 p P µνo λρ p/ = P 3,λρ;µν (p), (.77) O µν (p) = γ λ P λµ p ν + p µ P νλ γ λ, (.78) Q µν (p) = p p µp ν. (.79)

46 36 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden.4. Consistentie van ijkinvariante spin- 5 interacties In deze sectie zullen we de consistentie van ijkinvariante spin- 5 interacties aantonen. Hierbij zal niet de Dirac-Faddeev kwantisatieprocedure gevolgd worden omdat deze veel berekeningen vereist en in feite maar geldig is voor één specifieke (interactie) Lagrangiaan. De reden waarom we onze blik onmiddellijk werpen op ijkinvariante interacties en niet eerst op contactinvariante interacties is duidelijk. De vrije spin- 5 Lagrangiaan bevat twee vrije parameters, nl. A en B, die geassocieerd zijn met de niet-fysische componenten van het RS-veld ψ µν. De veralgemening van interactie (.68) naar de spin- 5 RS-theorie kan men intuïtief bedenken als L ψµνφψ = i g m φ ψ µν Θ µλ (z )Θ νρ (z )Γψ λ ρ φ, (.80) en wordt inderdaad teruggevonden in [56]. De aanwezigheid van de off-shell parameters z en z weerspiegelt de invariantie van de vrije spin- 5 RS-theorie onder herschalingen van de parameters A en B. Bovenstaande Lagrangiaan bevat niet-fysische interacties die vervat zitten in de Θ µν (z) tensoren. Net zoals in de spin- 3 RS-theorie zullen deze interacties ervoor zorgen dat de niet-fysische componenten van ψ µν mee zullen propageren. Beschouw nu volgende algemene interactie L ψµνj µν = ψ µν J µν + J µν ψ µν, (.8) met J µν een stroom die de twee andere velden, betrokken in de interactie, bevat. De eis voor het invariant zijn van interactie (.8) onder de ijktransformatie van het RS-veld ψ µν legt, na partiële integratie, volgende conditie op die, gezien het arbitrair zijn van ɛ µ, enkel opgaat wanneer Voor wat volgt moeten volgende eigenschappen gelden ψ µν ψ µν + ( µɛ ν + ν ɛ µ ), (.8) ɛ µ ( ν J µν + ν J νµ ) = 0, (.83) ν (J µν + J νµ ) = 0. (.84) of in de momentumrepresentatie ν J µν = 0, ν J νµ = 0, p ν J µν = 0, p ν J νµ = 0, (.85) (.86)

47 .4. Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld 37 met p µ uiteraard het viermomentum van het spin- 5 RS-veld. Net zoals in het spin- 3 geval moet J µν ook nu een behouden stroom zijn. Deze stroom is ook nu de Noetherstroom die de ijkinvariantie van Lagrangiaan (.8) reflecteert. Rekening houdend met (.86) en de definities van de spin projectieoperatoren (.76,.77) vinden we dat In [54] is te zien dat P 3 ij,µν;λρ J λρ = 0 i, j =, ij, (.87) P ij,µν;λρ J λρ = 0 i, j =,, 3 ij. (.88) P 3,µν;λρ (p) D 3 µν;λρ (p), (.89) P,µν;λρ (p) D µν;λρ (p). (.90) Relatie (.90) zal ervoor zorgen dat in een ijkinvariante interactie met een intermediair spin- 5 deeltje, niet alleen de fysische spin- 5 component zal propageren maar ook een gedeelte van de niet-fysische spin- component. Gebruik makend van de expliciete definitie P,µν;λρ (p) = ( g µν g λρ 3 p g µνp λ p ρ p p µp ν g λρ + ) (p ) p µp ν p λ p ρ, (.9) zien we dat P,µν;λρ (p) een term evenredig met g µν g λρ bevat. Deze term is geassocieerd met de spin- 5 component van ψ µν en zou dus eigenlijk niet mogen optreden in de lagerespin componenten van de spin- 5 propagator. Voor de spin- 3 sector is dit het geval, voor de spin- sector echter niet. De reden waarom de spin- 3 en spin- projectieoperatoren toch een term bevatten evenredig met g µν g λρ is omdat er moet voldaan zijn aan volgende identiteit [58] P 5 µν;λρ (p) + i= P 3 ii,µν;λρ (p) + 3 i= P ii,µν;λρ (p) = (g µλg νρ + g µρ g νλ ). (.9) In [54] en [58] werd aangetoond dat (.90) geldt voor willekeurige keuzes van de parameters A en B. Dit is een gevolg van het feit dat de vrije spin- 5 Lagrangiaan (.64) in de massaloze limiet niet invariant is onder de ijktransformatie (.8). In [54] wordt dit probleem opgelost door te eisen dat een transitieamplitude van volgende vorm moet zijn met M = Γ µν f P µν;λργ λρ i, (.93) Γ i,µν = P 5 µν;λρ Γ λρ, (.94) Γ f,µν = Γ λρ P 5 λρ;µν, (.95)

48 38 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden waarbij de kwadratische d Alembert operator ingevoerd wordt om de pool van P 5 µν;λρ (p) bij p = 0 en p 4 = 0 te verwijderen. 7 De orthogonaliteitsrelaties [58] P J ;στ ii,µν (p)pii,στ;λρ(p) J = δ JJ Pii,µν;λρ(p), J (.96) zullen er dan voor zorgen dat de transitieamplitude zich reduceert tot M = Γ µν p/ + m p m p8 P 5 µν;λρ Γ λρ. (.97) We zien nu dat deze manier van werken eigenlijk equivalent is met het beperken van de spin- 5 propagator tot de spin- 5 projector en het invoeren van twee vertices Γ µν en Γ µν die quasi willekeurig zijn; er moet immers rekening gehouden worden met en P 5 µν;λρ (p) = P 5 νµ;λρ (p) = P 5 µν;ρλ (p) = P 5 λρ;µν (p), (.98) p µ P 5 µν;λρ (p) = 0, (.99) γ µ P 5 µν;λρ (p) = 0, (.00) g µν P 5 µν;λρ (p) = (γ µ γ ν + iσ µν )P 5 µν;λρ (p) = 0 (.0) De beperking van de propagator tot de spin- 5 projectieoperator is volgens ons niet de meest algemene manier om consistente spin- 5 interacties te construeren. Het is veel eerder een truc die ervoor zorgt dat alleen de fysische componenten propageren. Het verdwijnen van de ijksymmetrie in de massaloze limiet is absoluut een nefaste eigenschap voor een vrije RS-Lagrangiaan. Intuïtief verwachten we dat er in de spin- 5 propagator geen opmenging zou mogen gebeuren tussen de spin- 5 sector en de spin- via de term g µν g λρ en dus dat de eigenschappen (.86) wel degelijk moeten gelden. We hebben in sectie.. reeds vermeld dat de vrije massaloze RS-theorie wel degelijk invariant moet zijn onder de ijktransformatie (.5) en dit omdat een massaloos fermionveld slechts twee vrijheidsgraden mag bevatten. De vrije spin- 5 Lagrangiaan (.64) en de spin- 5 propagator (.73) kunnen dus eigenlijk niet volledig correct zijn. Net zoals voor de spin- 3 RS-theorie verwachten we dat de ijksymmetrie van een interactie Lagrangiaan ervoor zal zorgen dat er geen zogenaamde spookinteracties optreden, i.e. P µν;λρ J λρ = p/ + m p m P 5 µν;λρ J λρ, (.0) met P µν;λρ (p) zijnde de spin- 5 propagator die volgt uit een vrije spin- 5 theorie die wel ijkinvariant is in de massaloze limiet. Hoewel een formeel bewijs hiervan ontbreekt zullen we aannemen dat (.0) geldig is. Net zoals voor spin- 3 koppelingen, zullen we gebruik maken van een expliciet ijkinvariante RS-veldtensor om consistente spin- 5 interacties te genereren. Anderzijds elimineert de symmetrie in de ijkinvariante RS-veldtensor ook een zeer groot aantal mogelijke vormen voor de spin- 5 interacties. 7 p n, met n N 0 is een verkorte notatie voor (p ) n.

49 .4. Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld Een ijkinvariante constructie Een manifest ijkinvariante RS-veldtensor die laagste orde in de afgeleiden kan men vinden door het direct product te nemen van twee ijkinvariante tensoren G µν;λρ = ( µ φ ρ ρ φ µ ) ( ν φ λ λ φ ν ) χ, (.03) en te stellen dat ψ µν = φ µ φ ν χ en dat de afgeleiden enkel inwerken op het direct product van de drie velden. Het veld χ stelt een spinor voor, het veld φ µ een vectorveld. Deze velden hebben op zich weinig betekenis; we introduceren ze louter om een ijkinvariante RS-tensor te construeren. Na uitwerking vindt men G µν;λρ = µ ν ψ λρ µ λ ψ νρ + λ ρ ψ µν ν ρ ψ µλ. (.04) Een expliciete uitwerking toont aan dat G µν;λρ inderdaad invariant is onder de ijktransformatie ψ µν ψ µν + ( µɛ ν + ν ɛ µ ), (.05) met γ µ ɛ µ = 0. Deze ijkinvariante constructie heeft volgende eigenschappen G µν;λρ = G νµ;ρλ = G λρ;µν, (.06) G µν;λρ = G ρν;λµ. (.07) Merk op dat we even goed volgende ijkinvariante constructie kunnen gebruiken G µν;λρ = µ ν ψ λρ µ ρ ψ νλ + λ ρ ψ µν ν λ ψ µρ, (.08) die dezelfde symmetrische eigenschappen bezit als G µν;λρ maar een verschillende antisymmetrische eigenschap G µν;λρ = G λν;µρ. (.09) Het verkiezen van G µν;λρ boven G µν;λρ is louter conventie. Rekening houdend met (.99) en (.00) zien we dat noch het viermomentum van ψ µν noch γ µ zuiver gecontraheerd mag worden met de spin- 5 projector. De spin- 3 velden γ ν ψ µν, ν ψ µν en de spin- velden γµ γ ν ψ µν, γ µ ν ψ µν, µ ν ψ µν of hun Hermitisch toegevoegden kunnen dus niet zuiver optreden in een eindige interactie Lagrangiaan. De tensor G µν;λρ is de meest algemene ijkinvariante RS-constructie. De spin- 5 projectieoperator heeft net als de spin- 3 projectieoperator een pool bij p = 0 maar ook een bijkomende pool bij p 4 = 0. Uiteraard willen we dit divergent gedrag vermijden in de uiteindelijke transitieamplitude. Deze divergenties zullen slechts opgeheven worden in een welbepaalde subklasse van mogelijke koppelingen die geconstrueerd worden met G µν;λρ. Deze subklasse wordt bekomen door G µν;λρ te contraheren tot G µν G µν;λρ G λ λ;µν = G µν = ψ µν µ λ ψ λν + µ ν g λρ ψ λρ ν λ ψ µλ. (.0)

50 40 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden De RS-tensor G µν is tevens ijkinvariant, zoals men expliciet kan nagaan, en heeft volgende eigenschappen G µν = G νµ, (.) γ ν G µν = 0, (.) ν G µν = 0. (.3) Deze eigenschappen reduceren het aantal mogelijke vormen voor de interacties. In (.0) zien we dat G µν contributies heeft vanwege de spin- 3 component ν ψ µν en via g µν = γ µ γ ν + iσ µν, (.4) σ µν ψ µν = 0, (.5) ook van de spin- component γµ γ ν ψ µν. De ijkinvariantie van G µν zorgt er in de eerste plaats voor dat alleen de spin- 5 projectieoperator optreedt in een transitieamplitude. Relaties (.99) en (.00) hebben tot gevolg dat de lagere-spin contributies niet zullen bijdragen tot de eigenlijke interactie. Na contractie met de spin- 5 propagator zal G µν zich reduceren tot G µν ψ µν, (.6) en dus zal de corresponderende vertex steeds de factor p bevatten. Vermits de ijkinvariantie in zowel de initiële als de finale vertex manifest moet zijn, zal er in totaal een factor p 4 optreden. Deze factor zal de polen van de spin- 5 projectieoperator bij p = 0 en p 4 = 0 exact elimineren. Eigenschappen (.), (.) en (.3) impliceren dat de ijkinvariantie van een spin- 5 interactie enkel bewaard kan blijven door hogere-orde afgeleiden in te voeren. Voor een behouden symmetrische stroom (.85) hebben we reeds aangehaald dat enkel de fysische componenten de interactie zullen mediëren. Bij de constructie van ijkinvariante koppelingen zullen wij gebruik maken van de tensor G µν en een externe stroom J µν, i.e. L GµνJ µν = G µν J µν, (.7) en hierdoor zijn condities (.86) niet a priori verzekerd. De stroom J µν kan dus niet volledig willekeurig zijn. Via partiële integratie bekomen we L GµνJ µν = ψ µν ( J µν µ λ J λν + µ ν g λρ J λρ ν λ J µλ), = ψ µν J µν. (.8) Gezien J µν een symmetrische stroom is, hebben condities (.86) volgende restrictie tot gevolg ( g νλ ν λ ) µ J νλ = 0. (.9)

51 .4. Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld 4 Hieruit blijkt dat zowel de eerste als de tweede Lorentz index van J µν afkomstig moet zijn van een µ µ ν ΨΦ, J µν = µ Ψ ν Φ, (.0) Ψ µ ν Φ. Voor deze vormen kan men expliciet aantonen dat (.9) geldt. Deze stromen zijn alle drie equivalent na het uitvoeren van één of twee partiële integratie(s) en gebruik makend van (.3). Een andere expliciet ijkinvariante spin- 5 RS-veldtensor kan gevonden worden via E µν;λρ = (ε µλµ µ µ φ µ ) (ε νρν ν ν φ ν ) χ, (.) met dezelfde aannames die gemaakt werden voor G µν;λρ. Het resultaat is Deze tensor kan gecontraheerd worden tot E µν;λρ = ε µλµ µ ε νρν ν µ ν ψ µ ν. (.) E µν;λρ E λ λ;µν = E µν = ε λ µµ µ ε λνν ν µ ν ψ µ ν, (.3) die nog steeds ijkinvariant is. Voor interactie Lagrangianen van de vorm met J µνλρ en J µν externe stromen, geldt steeds dat L Eµν;λρ J µνλρ = E µν;λρ J µνλρ, (.4) L EµνJ µν = E µν J µν, (.5) µ J µν = 0, (.6) µ J νµ = 0. (.7) met J µν gedefinieerd in (.8) en treedt dus geen bijkomende restrictie zoals (.9) op. Bovenstaande relaties zijn een rechtstreeks gevolg van de antisymmetrie van de Levi-Civita tensor. Net zoals voor de tensor G µν = ε µνλρ ρ ψ λ in de spin- 3 theorie belemmert de totale antisymmetrie van de Levi-Civita tensoren het optreden van de operator in de finale vorm van het transitiematrixelement. Zo n operator is immers vereist voor de eliminatie van de singulariteiten bij p 0 en p Ijkinvariante Lagrangianen We bekijken eerst de ψ µν φψ-theorie. De Lagrangiaan die laagst mogelijke orde in de afgeleiden is en niet leidt tot een nulinteractie, is de volgende L ψµνφψ = g G m 4 µν Γψ µ ν φ, φ = g (.8) ( ψ m 4 µν µ λ ψ λν + µ ν g λρ ψ λρ ν λ ψ µλ )Γψ µ ν φ φ

52 4 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden met Γ = (γ 5 ) wanneer ψ µν een positieve(negatieve) pariteit heeft. De interactievertex die correspondeert met (.8) luidt Γ µν = ig Γ [ ] q k m 4 µ k ν (k q)(q µ k ν + k µ q ν ) + (k q) g µν, (.9) φ met q µ, k µ en p µ respectievelijk de viermomenta van ψ µν, φ en ψ. Bemerk de symmetrie in de Lorentz indices van deze vertex. De ijksymmetrie van deze vertex is nu duidelijk zichtbaar via q ν Γ µν = 0. (.30) Na contractie met de spin- 5 propagator herleidt deze vertex zich tot Γ µν ig Γq k m 4 µ k ν. (.3) φ In [54] wordt volgende interactie Lagrangiaan voorgesteld voor de ψ µν φψ-theorie L ψµνφψ = g ( m 6 P 5 µν;λρ ( )ψ λρ) Γψ µ ν φ. (.3) φ Bij het opstellen van een matrixelement, voor bv ψφ-verstrooiing gemedieerd door een spin- 5 deeltje, is bovenstaande Lagrangiaan equivalent aan L ψµνφψ = g m 6 φ G µν Γψ µ ν φ. (.33) Als (.0) inderdaad geldt dan zien we dat de extra d Alembert operator in bovenstaande Lagrangiaan niet nodig is en dus dat m 4 φ de laagste orde voor de ψ µν φψ-theorie is. Voor de constructie van consistente ψ µν ψa µ -interacties vereisen we zowel de ijksymmetrie van het RS-veld ψ µν als de ijksymmetrie van het vectorveld A µ. De interactie Lagrangianen moeten dus zowel G µν als F µν bevatten. De Lagrangianen die laagst mogelijke orde in de afgeleiden zijn en tevens beide ijksymmetrieën bevat zijn de volgende L () ψ µνψa µ = κ G 6m 4 µν Γ γ λ µ ψf νλ, (.34) ψ L () ψ µνψa µ = iκ G 3m 5 µν Γ µ λ ψf νλ, (.35) ψ L (3) ψ µνψa µ = iκ 3 G 3m 5 µν Γ µ ψ λ F νλ, (.36) ψ met Γ = γ 5 () wanneer ψ µν een positieve(negatieve) pariteit heeft. Er bestaat nog één andere interactie Lagrangiaan van de orde m 5 ψ, nl. L (3a) ψ µνψa µ = iκ G 3m 5 µν Γ σ λρ µ ν ψf λρ, (.37) ψ

53 .4. Het spin- 5 Rarita-Schwinger veld 43 die opnieuw de magnetische term σ µν F µν bevat. Net zoals voor de ψ µ φa µ -theorie zullen we geen gebruik maken van dit type koppeling. Merk op dat bovenstaande Lagrangianen van dezelfde vorm zijn als die van de ψ µ φa µ -theorie. De interactievertices die corresponderen met bovenstaande Lagrangianen zijn Γ () µν,λ = iκ Γ ([ ] q p 6m 4 µ (p q)q µ [k/gνλ k ν γ λ ] (.38) ψ + [(p q)g µν p µ q ν ] [k/q λ (k q)γ λ ] ), Γ () µν,λ = iκ Γ ([ ] q p 3m 5 µ (p q)q µ [(k p)gνλ k ν p λ ] (.39) ψ + [(p q)g µν p µ q ν ] [(k p)q λ (k q)p λ ] ), Γ (3) µν,λ = iκ 3 Γ ([ ] [ ] q p 3m 5 µ (p q)q µ k g νλ k ν k λ ψ + [(p q)g µν p µ q ν ] [ ]) k q λ (k q)k λ, waarbij k µ nu het viermomentum van A µ voorstelt. Ook voor deze vertices geldt dat (.40) q µ Γ (,,3) µν,λ = 0, (.4) q ν Γ (,,3) µν,λ = 0, (.4) k λ Γ (,,3) µν,λ = 0, (.43) hetgeen de ijkinvarianties vanwege ψ µν en A µ manifesteert. Na contractie met de spin- 5 propagator zullen bovenstaande vertices zich reduceren tot Γ () µν,λ iκ Γ q p 6m 4 µ [k/g νλ k ν γ λ ], (.44) ψ Γ () µν,λ iκ Γ q p 3m 5 µ [(k p)g νλ k ν p λ ], (.45) ψ Γ (3) µν,λ iκ 3 [ ] Γ q p 3m 5 µ k g νλ k ν k λ. (.46) ψ

54 44 Hoofdstuk. Fermionische Rarita-Schwinger velden

55 Hoofdstuk 3 Het Regge-plus-resonantie model 3. Inleiding De γp KY werkzame doorsnede laat het op het eerste zicht niet blijken, maar er schuilt heel wat fysica achter dit proces. Een kwantitatieve beschrijving van vreemdheidsproductie aan het proton vereist dan ook een grondige kennis van alle intermediaire kanalen, zowel resonante als achtergrondcontributies. Zoals uit figuur 3. blijkt, wordt de werkzame doorsnede voor fotonenergieën ω = GeV gedomineerd door resonante kanalen. Deze resonanties zijn instabiel tegen verval naar het KY -kanaal waardoor ze een eindige levensduur, en bijgevolg een eindige vervalbreedte hebben. Deze uiten zich in de werkzame doorsnede als resonantiepieken met een eindige breedte, die een maximum kennen bij de massa van de resonantie. Naarmate de fotonenergie hoger wordt, zullen er navenant meer en meer resonanties het spel intreden. Deze kennen een immer toenemende overlapping en gezien hun relatief grote vervalbreedtes, zullen de individuele resonantiepieken uitgesmeerd worden over de fotonenergie. Dit zorgt voor een gladde werkzame doorsnede in het energieregime ω GeV. Voor zeer hoge energieën interageren de fotonen steeds minder en minder efficiënt met het proton, wat uiteindelijk leidt tot het verdwijnen van de werkzame doorsnede voor ω. In dit energieregime kan elektromagnetische kaonproductie op quarkniveau beschreven worden, gezien de sterke koppelingsconstante reeds klein genoeg is zodat QCD perturbatief behandeld kan worden. De theoretische beschrijving van elektromagnetische vreemdheidsproductie kent hoofdzakelijk twee benaderingen. Enerzijds zijn er de zogenaamde parton-gebaseerde modellen die expliciet rekening houden met de interne structuur van de hadronen (quarks en gluonen) [59, 60, 6, 6, 63]. Een andere klasse van benaderingen vindt haar oorsprong in de kwantumhadrodynamica, die reeds besproken werd in hoofdstuk. Er zijn reeds verscheidene zogenaamde isobaarmodellen ontwikkeld in deze laatste branche [7, 8, 64, 65, 66, 67, 68, 69]. In elk van deze wordt de totale Feynman amplitude samengesteld uit een reeks laagste-orde Feynman diagrammen, de zogenaamde tree-level Feynman diagrammen. Deze benaderin- 45

56 vidual N s have vanished. Under those circumstances, the amplitude can be described by a pure background model. The latter can be explained through the duality hypothesis which roughly states that, on average, the sum of all contributing N resonances equals the sum of all possible K - or Y -trajectory exchanges. Figure. illustrates the above 46 situation. Hoofdstuk 3. Het Regge-plus-resonantie model Figuur Figure 3.:.Schematische Schematic representation weergave van de ofγp the total KY KY werkzame photoproduction doorsnede in cross functie section vanas deafotonenergie. function of the incoming photon energy (in the lab frame). In the resonance region, up to a few GeV, the measured observables exhibit specific structures. This indicates that both background (K and/or Y ) and resonant (N ) contributions take part in the reaction dynamics. At higher energies, the presence of a large number of overlapping N s results in a smooth falloff with energy. genthe leveren corresponding een goedeamplitude beschrijving mayin behet modeled resonantieregime assuming only maar background ontsnappen diagrams. niet aan enkele specifieke problemen die inherent zijn aan isobaarmodellen. Zo is er bv de schending van unitariteit t.g.v. het incorporeren van de vervalbreedtes van de resonanties. Omwille van hun specifieke constructie zijn isobaarmodellen ook niet in staat om mechanismen zoals finale-toestandsinteracties en kanaalkoppelingen te kwantifiëren. Er zijn wel al enkele strategieën uitgedokterd ter verhelping van dit mankement [70, 7, 7, 73, 74] maar ook daar duiken er weer problemen op. Het Regge-plus-resonantie (RPR) model werd ontwikkeld binnen de onderzoeksgroep [8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3] en is uniek in haar soort. In dit model worden resonanties beschreven d.m.v. een isobaarmodel. Zoals reeds werd aangehaald in hoofdstuk, zijn isobaarmodellen effectieve modellen en dus verwachten we eigenlijk problemen in het hoge-energieregime. Immers, naarmate de fotonenergie hoger wordt zal de interne structuur van het hadron zich meer en meer openbaren. In zuivere isobaarmodellen valt de werkzame doorsnede niet snel genoeg af met de energie hetgeen deze modellen dwingt om onrealistische vormfactoren in te voeren of af te wijken van theoretische voorspellingen van bepaalde effectieve koppelingsconstanten [9]. Dit probleem wordt in het RPR-model omzeild door de Feynman amplitudes te combineren met zogenaamde Regge amplitudes [75, 76]. Deze Regge amplitudes beschrijven, net zoals in het isobaarmodel, laagste-orde interacties met als cruciaal verschil dat de intermediaire toestand niet één enkel hadron omvat, maar een hele familie van hadronen. Alle hadronen van een welbepaalde familie kennen dezelfde (lineaire) relatie tussen hun spin en hun kwadratische massa, ze liggen op een zogenaamde Regge traject. De Regge amplitudes dienen uitsluitend voor de beschrijving van achtergronddiagrammen, zijnde interacties die gemedieerd worden door virtuele kaonen of hyperonen (zie sectie 3.3.).

57 Models for the p(γ, K)Y and p(e, e K)Y reactions Kinematica en observabelen van elektromagnetische KY -productie 47 Figure. Definition offiguur the reference 3.: Kinematica frames andvan kinematic het p(e, variables e K)Y -proces. for the p(e, e K)Y process. In photoproduction reactions, there is no leptonic plane. 3. Kinematica en observabelen van elektromagnetische KY photoproduction KY.. -productie The kinematical quantities involved in the photoproduction reaction De kinematica van fotogeïnduceerde en elektrogeïnduceerde KY -productie is enigszins verschillend. Bij KY -fotoproductie is het foton reëel en dus rechtstreeks betrokken bij de p (p) + γ (k) K (p K ) + Y (p Y ), (.) kinematica. Het behoud van driemomentum dicteert dat het foton, het proton, het kaon en het hyperon in één en hetzelfde vlak bewegen, het hadronische vlak. In het geval van with γ a real photon, are indicated in Fig... It is convenient to express the different KY -elektroproductie wordt het foton voorzien door het initiële elektron; het foton is nu virtueel. four-momenta Het vlakindat thewordt center-of-mass opgespannen (COM) door frame: de paden van het virtuele foton, het initiële en het finale elektron wordt het k = (ω, leptonische vlak genoemd. De hoek tussen het hadronische en het leptonische vlak wordt k ), p = (E K, p K), p = (E p, aangeduid met ϕ K en is uiteraard enkel van belang (.) bij KY -elektroproductie. In figuur 3. k ) wordt, het p(e, e p K)Y Y = -proces (E Y, p en K) dus, onrechtstreeks ook het γp KY with E h = -proces m h + grafisch weergegeven. p h (h = p, k, Y), and k = ω. As the energy-conservation relation ω + m p + ω = m K + p K De Mandelstam variabelen m Y + p K (.3) Indetermines inelastische p verstrooiingsprocessen K as a function of ω, the is het reaction gebruikelijk dynamics de zogenaamde depend solelymandelstam on the COMvari- abelen kaons, scattering t en u teangle introduceren. θ K (defined Voor ineen Fig. algemeen.) and verstrooiingsproces the incoming photon energy. Because the latter is measured in the laboratory frame, experimental results are usually presented as a function of ω lab rather a + than b ω c. + The d, two are linked through a Lorentz (3.) transformation [7]: zijn deze gedefinieerd als [ ] ω lab = ω ω + m m s = (p p ω = ω W a + p b ),, or (.4) p m p ω t = (p m p = ω lab a p c ), (3.) (.5) (ωu lab = + (pm a p ) p d ) ω. lab