Permutoëders en Hamiltoniaanse paden

Permutoëders en Hamiltoniaanse paden Daniel von Asmuth Inleiding Samenvatting We bestuderen het plain changes algoritme met behulp van geometrie en grafentheorie. Waarschuwing 1. Dit is een vlottend document - versie 20180521. Hierin probeer ik te bewijzen dat de Cayley graaf van een permutoëder tenminste één Hamiltioniaans pad heeft en beschrijf een procedure om zo n pad te vinden, die een abstracte beschrijving vormt van het plain changes algoritme. Maar eerst een beknopte inleiding met permutaties, groepen en grafen. De moeilijksgraad ligt ongeveer op VWO niveau, maar het tempo iets hoger. Change ringing is een traditie van Engelse kerkklokkenluiders sinds de 17 e eeuw, waarin een aantal kerklokken telkens wordt geluid in een andere volgorde, waarbij telkens twee klokken van positie wisselen. Meestal gaat dat in vaste patronen. De methode die plain changes wordt genoemd heeft als voordeel dat ze alle mogelijke permutaties afwerkt. In de zestiger jaren werd deze methode herontdekt als algorithme voor computers. Permutaties volgens de verzamelingenleer Een afbeelding of functie genoemd is een relatie tussen elementen van een domein en bereik verzameling waarin geen twee elementen van het bereik worden gekoppeld aan het zelfde element van het domein. Een afbeelding wordt volledig genoemd als ze aan elk element van het domein een element van het bereik (soms codomein genoemd) koppelt. Een afbeelding heet een surjectie wanneer elk element van het bereik een beeld is van een element van het domein. Een afbeelding heet een injectie als er geen twee elementen van het domein hetzelfde beeld hebben. Een afbeelding heet een bijectie als ze zowel volledig, surjectie als injectie is. Een bijectie wordt een permutatie genoemd als domein en bereik dezelfde verzameling zijn. Permutaties van het domein {1,2,...n} worden hier van de orde n genoemd. Stelling 2. De groep van permutaties van orde n kan recursief worden opgebouwd uit de permuaties van orde (n-1). Het aantal permutaties bedraagt n=0 1 n!={ n>0 n (n 1)! Bewijs. n = 0: een lege verzameling kan maar op 1 manier worden geschreven. n = 1: een verzameling met 1 element kan op 1 manier worden gerangschikt. n > 1: in een gegeven permutatie van (1,2,...,n-1) kan het getal n op n posities worden ingevoegd. Omdat n in geen permutatie van orde n-1 voorkomt en alle permutaties van orde n- 1 verschillend zijn, zijn ook de permutaties van orde n uniek. Volgens de inductiehypothese zijn er (n-1)! permutaties van orde n-1, dus n! = n (n 1)! Opmerking 3. Het bewijs suggereert een algoritme om alle permutaties te genereren. Stelling 4. De permutaties van orde n vormen de groep S n. 1

2 Sectie Bewijs. Twee permutaties p en q kunnen worden gecombineerd tot een nieuwe permutatie van (1,2,..,n) die we kunnen schrijven als q(p(1,2,...,n)) = (q(p(1)), q(p(2)), q(p(3)),...,q(p(n)). Voor elk drietal permutaties p, q, r geldt de associatieve eigenschap: p(qr)=(pq)r Er is een identiek of neutraal element i = (1,2,...,n) (1,2,...,n) waarvoor geldt i(p)=p(i)=p Voor elk element p = (1, 2,, n) (p 1, p 2,., p n ) bestaat er een inverse p 1 = (p 1, p 2,., p n ) waarvoor geldt p 1 (p)=p(p 1 )=i Gevolg 5. Als we alle permutaties van een symmetrische groep toepassen op een willekeurige permutatie p, dan zijn de beelden van p weer alle elementen van die groep. Bewijs. Als de stelling niet waar is, dan zijn er twee verschillende permutaties r 1 en r 2 zodanig dat r 1 (p) = r 2 (p) = q. Dan geldt r 1 1 r 1 p=r 1 1 r 2 p i=r 1 1 r 2 =r 2 1 Omdat de inverse van een permutatie uniek is, moet r 1 =r 2. Notatie 6. We schreven permutatie van (1,2,...,n) als een tupel. Een andere mogelijkheid is de cykelnotatie, waarin een permutatie p wordt beschreven door een orgineel (te beginnen bij 1), gevolgd door het beeld ervan, gevolgd door diens beeld, etc. De volgende cykel bestaat uit het kleinste element dat niet in de eerste cykel zit, gevolgd door diens beeld, etc., voor alle elementen van het domein. (1,2,3,4) (1)(2)(3)(4) (1,2,4,3) (1)(2)(34) (1,4,2,3) (1)(243) (4,1,2,3) (1432) (4,1,3,2) (142)(3) (1,4,3,2) (1)(24)(3) (1,3,4,2) (1)(234) (1,3,2,4) (1)(23)(4) (3,1,2,4) (132)(4) (3,1,4,2) (1342) (3,4,1,2) (13)(24) (4,3,1,2) (1423) (4,3,2,1) (14)(23) (3,4,2,1) (1324) (3,2,4,1) (134)(2) (3,2,1,4) (13)(2)(4) (2,3,1,4) (123)(4) (2,3,4,1) (1234) (2,4,3,1) (124)(3) (4,2,3,1) (14)(2)(3) (4,2,1,3) (143)(2) (2,4,1,3) (1243) (2,1,4,3) (12)(34) (2,1,3,4) (12)(3)(4) Tabel 1. S 4 in cykelnotatie

De permutoëder 3 Stelling 7. Elke permutatie van eindige orde n kan worden gevormd door een eindig aantal verwisselingen van twee naburige elementen (dus (12), (23), (34),..., (n-1,n)) Bewijs. Voor n = 0 en n = 1 is de bewering triviaal en voor n = 2 zijn er twee permutaties, die in elkaar overgaan door de eerste twee elementen te verwisselen. Stel je hebt een permutatie van de vorm (a, b,..., i, n, j,..., m), dan kun je die in een eindig aantal verwisselingen van buren afbeelden op (a, b,..., m, n). Volgens de inductiehypothese kan (a, b,..., m) door middel van een eindig aantal verwisselingen worden verkregen uit (1,2,..., n- 1). Gevolg 8. Voor elke permutatie p van orde n geldt dat de lengte van een cykel maximaal n bedraagt en dat p x =i voor een bepaalde x n! Voorbeeld 9. Laat p = (135)(24), dan is de kleinste x waarvoor p x =i gelijk aan x=2 3. Gevolg 10. Uit elke permutatie kun je door die herhaaldelijk op zichzelf toe te passen een subgroep van S n genereren. Stelling 11. Elke permutatie van eindige orde n kan worden samengesteld uit ten hoogste n-1 verwisselingen van twee willekeurige elementen. Bewijs. We kunnen de stelling ook formuleren dat elke permutatie met een cykellengte van n in hoogstens n uitwisselingen uiteenvalt en we merken op dat S n minstens 1 permutatie met cykellengte n heeft. Voor n =2 is 1 verwisseling voldoende; voor n = 3 2 verwisselingen en voor n = 4 kunnen we controleren dat 3 verwisselingen volstaan. Een permutatie p met x = n+1 elementen kunnen we vormen door eerst een permutatie p =(a,b,c,...,n,x) te vormen in n-1 stappen en dan in 1 stap de x op de gewenste plaats in te voegen tot biiv. (a,x,c,...,n,b). Hulpstelling 12. Een symmetrische groep S n heeft een verzameling van generatoren bestaande uit de elementen p = (12)(3)...(n) en q = (123...n). Bewijs. p 2 =i pq =(1)(23)(4) (n) p 2 q=(1)(2)(34) (n) p n 1 q=(1)(2)(3) (n 2)(n 1n) Uit stelling 7 volgt dat we alle elementen van de groep kunnen genereren. Gevolg 13. Een eindige symmetrische groep is cyclisch. De permutoëder Definitie 14. Een permutoëder van orde n is een veelhoek te waarvan de hoeken bestaan uit de permutaties van 1...n en de zijden twee dichtstbijzijnde punten verbinden. Gevolg 15. Een permutoëder van orde n bezit n! hoekpunten en n! (n 1)/2 zijden. Gevolg 16. Een permutoëder van orde n kan recursief worden gevormd uit n exemplaren van orde n-1. Hulpstelling 17. Een permutoëder van orde n is een (n-1)-dimensionale figuur. Bewijs. Voor n = 4 zijn de coördinaten van de hoekpunten te schrijven als (x,y,z,w) waarvoor de relatie w = x + y + z - 10 geldt; analoog voor andere ordes. Hulpstelling 18. Een permutoëder van orde n bevat n 2 exemplaren van orde n-1 (waarvan de hoekpunten samenvallen).

4 Sectie Bewijs. nader uit te werken Cayley grafen Definitie 19. Een graaf bestaat uit een verzameling van knopen en een verzameling van zijden, waarin een zijde twee knopen verbindt. Definitie 20. Een graaf heet enkelzijdig als een zijde altijd twee verschillende knopen verbindt en tussen twee knopen ten hoogste één zijde loopt. Definitie 21. Een pad tussen twee knopen A en B is een rij knopen die begint met A en eindigt met B waarin tussen elke knoop en de volgende een zijde van de graaf ligt en geen knoop twee maal voorkomt. Definitie 22. Een graaf heet samenhangend als er tussen elk paar knopen een pad bestaat. Definitie 23. Een cykel in een graaf is een pad dat in dezelfde knoop begint en eindigt. Definitie 24. Een Hamiltioniaans pad in een graaf is een soort pad dat alle knopen van de graaf doorloopt als er van de laatste knoop in het pad weer een zijde naar de eerste knoop is. Definitie 25. Een graaf heet planair als ze op een plat vlak kan worden getekend zonder dat twee zijden elkaar snijden. Hulpstelling 26. (Stelling van Euler) voor een planaire graaf met k knopen en z zijden geldt: z 3 k 6 Bewijs. Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/grafentheorie Planaire grafen hebben nuttige eigenschappen, maar vaststellen of een graaf planair is is niet triviaal. Definitie 27. Een enkelzijdige graaf heet volledig als er tussen elk paar knopen een zijde is. Hulpstelling 28. In een volledige graaf K n vormt elke permutatie van de n knopen een Hamiltoniaans pad. Figuur 1. Volledige grafen K 3 en K 4 Figuur 2. Planaire graaf K 5 -

Hamiltoniaanse paden in Cayley grafen 5 Opmerking 29. Grafen kunnen op verschillende manieren getekend worden: in figuuur 1 is de planaire graaf K 4 twee keer getekend. De graaf in figuur 2 kan worden aangevuld tot de volledige graaf K 5 middels een zijde tussen knopen A en B, maar dat kan niet zonder een zijde te snijden, dus K 5 is niet planair. Definitie 30. Gegeven een groep G en een verzameling V van generatoren van G. De Cayley Graaf Γ(G,V) is een gerichte gekleurde graaf die wordt gevormd met: Elk element g van G vormt een knoop in Γ. Elke generator v uit V krijgt een andere kleur k v. Voor elk element g wordt voor elke generator v een zijde z = (g, gv) toegevoegd aan Γ met kleur k v. Gevolg 31. Uit stelling 7 en 11 kunnen we afleiden dat de Cayley Graaf van S n cyclisch is. Er is voor iedere knoop k een knoop die het verst van k verwijderd is. Hulpstelling 32. We kunnen een polyëder (veelvlak) beschouwen als een graaf met de hoekpunten als knopen en de zijden als zijden. Met de naburige verwisselingen van stelling 6 als generatoren vormen we een Cayley graaf Γ die isomorf is met G; de permutaties uit hulpstelling 10 leveren een andere Cayley graaf op. Bewijs. Uit het voorafgaande kunnen we afleiden dat de Cayley Graaf van S n cyclisch is, even veel knopen en zijden heeft als de permutoëder en bovendien hoge symmetrie moet bezitten. Uit de stellingen over permutaties volgt dat voor ieder paar knopen k 1 en k 2 in de graaf S n een transformatie bestaat die k 1 afbeeldt op k 2 waarbij het beeld isomorf is met het origineel. Dat brengt ons op het idee dat Γ isomorf moet zijn met een permutatie van S n en dus met S n zelf. Wikipedia leert ons dat je de Cayley graaf en de permutoëder in elkaar kunt omzetten door elke knoop door zijn inverse te vervangen. Figuur 3. Groep S 3 als permutoëder en Cayley graaf Tot zover de inleiding; nu volgt de kern van het verhaal. Hamiltoniaanse paden in Cayley grafen Hulpstelling 33. n!=(n 1) {(n 1)!+(n 2)!} voor n 2 Bewijs. Probeer dit zelf eens Gevolg 34. Een permutoëder van orde n kan recursief worden geconstrueerd uit n-1 exemplaren van orde n-1 plus n-1 van orde n-2. Stelling 35. Een Cayley graaf van de symmetrische groep S n met als generatoren de verwisselingen (12), (23), (34),..., (n-1,n) bezit minstens 1 Hamiltoniaans pad. Bewijs. We proberen dit met inductie op te bouwen, waarin we telkens Hamiltoniaanse paden van een aantal Cayley grafen combineren tot dat van een grotere graaf.

6 Sectie Voor orde n = 0 hebben we eerder gedefinieerd dat er 1 permutatie is. Voor ordes n = 1 en 2 moeten we niet-enkelzijdige grafen gebruiken: ten eerste een graaf met een zijde die begint en eindigt bij de enige knoop en ten tweede twee zijden met dezelfde begin- en eindpunten. Hamiltoniaans pad in graaf S 3 Figuur 4. Constructie van graaf S 3 De figuur laat zien hoe het Hamiltoniaanse pad van Cayley graaf S 3 kan worden geconstrueerd uit twee grafen van S 1 en van S 2 door van elke component een zijde om te laten klappen. In dit geval zijn alle paden van lengte 6 representanten van de zelfde cykel. Je kunt op dezelfde manier S 0 en S 1 samenvoegen tot S 2. De afgeknotte octaëder S 4 Figuur 5. Permutoëder S 4 De figuur toont de permutoëder S 4. De gekleurde vlakken laten zien hoe die kan worden geconstrueerd uit vier zeshoeken. De permutatie (1234) voert de vier gemarkeerde knopen in elkaar over, wat een tetrahedrale symmetrie oplevert (je zou het een afgeknotte tetraëder kunnen noemen). Die permutatie kun je vormen met een combinatie van vijf zijden. Op die manier krijg je de rood gemarkeerde cykel van 20 knopen; er blijven nog 4 knopen over voor een Hamiltoniaans pad. De langste afstand tussen twee knopen (1,2,3,4) en (4,3,2,1) bedraagt 6. Het is ook mogelijk om alle verwisselingen van 2 getallen als basis te gebruiken. Dan kun je elke permutatie met een cykellengte 4 vormen uit een combinatie van 3 verwisselingen en een cykel van 3 uit 2 verwisselingen. In combinatie met de spiegelsymmetrie van S 2 geeft dit drie viertallige rotatieassen door de middelpunten van de vierkanten. De tabel toont 8 permutaties met een cykellengte van 3, die overeenkomen met vier drietallige rotatieassen door de middelpunten van de zeshoeken.

Hamiltoniaanse paden in Cayley grafen 7 Hamiltoniaanse paden in Cayley graaf S 4 Figuur 6. Constructie van graaf S 4 De figuur illustreert hoe permutoëders S 2 en S 3 kunnen worden worden samengevoegd tot een zeshoek + vierhoek. Door de zijde tegenover het vierkant om te klappen kunnen drie van deze componenten worden samengevoegd tot een S 4 en de Hamiltoniaanse paden gecombineerd volgens in figuur 8. Zo als gezegd is een permutoëder van orde 4 een figuur met 3 dimensies, maar de graaf is bovendien planair, zodat we ze overzichtelijker kunnen weergeven in de volgende figuur, die Schlegel diagram heet met kleuren voor de generatoren als in figuur 3. Voor de knopen van de graaf zijn twee kleuren echter voldoende; dat betekent dat S 4 een bipartiet is. De vierkleurenstelling zegt dat een landkaart (met bepaalde beperkingen) kan worden ingekleurd met hooguit vier kleuren waarbij aangrezende landen steeds verschillende kleuren hebben. Hier volstaan drie kleuren voor de cykels van S 4. Definitie 36. Een graaf is bipartiet wanneer de knopen uit twee deelverzamelingen (kleuren) bestaan zodanig dat er alle zijden twee knopen uit verschillende deelverzamelingen verbinden. Hulpstelling 37. Een graaf zonder cykels van oneven lengte is bipartiet. Bewijs. Te vinden op Wikipedia. Figuur 7. Schegel diagram van Cayley graaf S 4 Figuur 8. Constructie Hamiltioniaans pad in Caley graaf S 4 Behalve het pad in de figuur hierboven, dat wordt gevolgd door het plain changes alias Steinhaus Johnson Trotter algoritm e bestaan er nog meer Hamiltoniaans paden met verschillende symmetrie; onderstaande figuur toont er een aantal.

8 Sectie Figuur 9. Meer Hamiltoniaanse paden in S 4 De S 5 permutoëder De permutoëder van groep S 5 wordt onder meer omnitruncated 5-cell genoemd. De onderstaande figuur probeert ze te visualiseren. Ze bestaat uit 120 knopen, 240 zijden, 90 vierkanten, 60 zeshoeken, 20 hexagonale prisma s en 10 afgeknotte octaëders. Figuur 11 geeft aan hoe een Hamiltoniaans pad kan worden geconstrueerd uit vier zeshoeken en vier afgeknotte octaëders, maar er zullen veel meer mogelijkheden zijn. Figuur 10. Schlegel diagram van S 5 permutoëder Figuur 11. Constructie van graaf S 5

Dieper graven naar grafen 9 Algemeen Een Cayley graaf van orde n hebben alle knopen de graad n-1. Wanneer we de graaf van orde n+1 opbouwen uit componenten (A, B en C) van lagere orde, dan krijgt elke knoop er een zijde bij die correspondeert met de verwisseling (n-1n), die ze verbindt met een knoop van een andere component (in figuur 7 groen gekleurd). Door telkens dezelfde zijden van iedere component te verbinden ontstaat een figuur met n+1 -voudige symmetrie. Bewijs. (afronden stelling 35) Bovenstaande procedure illustreert gevolg 34, terwijl hulpstellling 33 zegt dat het aantal knopen overeenkomt. Het aantal zijden bedraagt (n 1) n!/2. Dat betekent dat er (n + 1) (n 1)!/2= 1 n! + 2 1 (n 1)! zijden bijkomen die knopen uit verschillende componenten verbinden. Daarvan correspondeert de tweede term met de zijden die nodig zijn om telkens een S n-1 en S n-2 samen te 2 voegen en de eerste met de zijden die S n vormen, dat is telkens 1 extra zijde per knoop. Als je de componenten, bijvoorbeeld de 8-cykels uit figuur 8 reduceert tot enkele knopen, dan krijg je een volledige graaf, zoals K 3 voor S 4 en K 4 voor S 5. (te bewijzen). Aanrenzende knopen in een compenten grenzen aan verschillende componten. Elke permutatie van de knopen in een volledige graaf vormt een Hamiltoniaans pad. Een permutoëder van orde n bezit dus een cykel van lengte 2 n, bestaande uit afwisselend 1 zijde van een component en een zijde die twee componenten verbindt. Vanwege de symmetrie en de inductiehypothese maakt elke zijde van een component deel uit van een Hamiltoniaans pad. Genoemde cykel van 2 n kan worden getransformeerd door telkens de interne zijde uit dat Hamiltionaanse pad te verwijderen vervangen en de rest van het pad te koppelen naar de volgende component. Dat levert een Hamiltoniaans pad op van het geheel. Definitie 38. Een graaf is bipancyclisch als ze cykels bevat van alle even lengten van 4 tot en met het aantal knopen. Stelling 39. De Cayley grafen S 4 en hoger zijn bipancylisch. Bewijs. Voor S 4 kan de stelling worden bewezen door cykels van lengte 4,6,8,..., n! te vinden. We hebben laten zien hoe je S n+1 kunt construëren uit n exemplaren van S n en S n-1. Als je steeds de zijde tussen AB koppelt aan BA en B A (corresponderende knopen uit een ander deel) krijg je een cykel van lengte 2 n. Volgens de inductiehypothese bestaan er tussen A en B tevens paden tot aan lengte n, waarmee we even cykels tot aan 2n+n! 2kunnen maken. Door met de corresponderende zijden hetzelfde te doen kunnen we cykels vormen tot een lengte van n n!=(n+1)! Stelling 40. De afstand tussen twee punten in een Cayley graaf van orde n bedraagt ten hoogste 1 2 n (n 1). Bewijs. In een Cayley graaf hebben de punten (1,2,...,n) en (n,n-1,...,2,1) de maximale afstand. Om de 1 naar de laatste positie te verplaatsen voldoet de combinatie (12)(23)(34)...(n- 1n). Dan staat de 2 vooraan, die met de combinaties (12)(34)...(n-2n-1) de voorlaatste positie bereikt, waarna de 3 met (12)(34)...(n-3n-2) op zijn plaats komt, enz, tot aan (12). Het aantal verwisselingen bedraagt dus n i= 1 n (n+1) 2 i=0 Dieper graven naar grafen Definitie 41. Een planaire graaf G heeft een duale graaf G waarvoor geldt elke cykel in G overeenkomst met een knoop in G.

10 Sectie Figuur 12. S 4 en diens duale graaf Wikipedia leert ons dat de duale graaf van G weer de graaf G is en dat grafen van convexe veelvlakken een unieke duale graaf bezitten; andere grafen kunnen verschillende dualen bezitten. We kunnen die gebruiken voor de genoemde vierkleurenstelling. Verder is een zwakke duale graaf gedefinieerd waarin de buitenste cykel niet met een knoop correspondeert. Nu gaan we eens het aantal cykels tellen in een plainaire graaf die bestaat uit vier aaneengesmede cykels van lengte 6. In de figuur is die links boven te zien samen met zijn zwakke duale graaf. Daaronder staan de verschillende deelgrafen met hoevaak ze voorkomen. Er is geen cykel die overeenkomt met het z-vormige pad; deze graaf bezit geen Hamiltoniaans pad. Nabeschouwing Figuur 13. Cykels tellen in een graaf Hopelijk is het hiermee duidelijk geworden hoe het plain changes algoritme werkt en hoe achter de iteratieve code een recursieve structuur schuilt. Het algoritme zoekt niet naar een Hamiltoniaans pad, maar loopt de bekende oplossing stap voor stap af, wat het efficiënt maakt. Een interessante opgave is een programma schrijven dat alle Hamiltoniaanse paden vindt. De gekozen strategie om eerst Hamiltoniaanse paden van subgrafen te zoeken en die samen te voegen werkt heel goed omdat het probleem volledig symmetrisch is. In het algemeen is het vinden van cykels in een graaf niet zo moeilijk, maar die kunnen op veel manieren worden samengevoegd. Bronnen https://en.wikipedia.org/wiki/steinhaus%e2%80%93johnson%e2%80%93trotter_algorithm en gerelateerde onderwerpen op Wikipedia

Bronnen 11 Knuth, Donald (2011), "Section 7.2.1.2: Generating All Permutations", The Art of Computer Programming, volume 4A. Sedgewick, Robert (1977), "Permutation generation methods", ACM Comput. Surv., 9 (2): 137 164, doi:10.1145/356689.356692