Voorwoord 2. 0 Verklarende begrippen 4

Transcriptie

1 Inhoudsopgave Voorwoord 2 0 Verklarende begrippen 4 1 Literatuurstudie Inleiding Geïdealiseerde modellen Schuttelaars & de Swart (1996) Schuttelaars (1998) / Schuttelaars & de Swart (1999) Schuttelaars & de Swart (2000) Van Leeuwen et al. (2000) Van Leeuwen & de Swart (2001) Van Leeuwen & de Swart (2004) Schramkowski et al. (2002) Schramkowski et al. (2004) Ter Brake & Schuttelaars (2010) Ter Brake & Schuttelaars (2011) Lanzoni & Seminara (2002) Todeschini et al. (2003)/ Todeschini et al. (2008) Todeschini et al. (2006) Experimentele studies Tambroni et al. (2005) Garotta et al. (2007) Proces-gebaseerde modellen Hibma et al. (2003) Van der Wegen & Roelvink (2008)

2 Voorwoord Getijgebonden rivieren en estuaria zijn zeer interessante onderdelen van kustgebieden en dit vanuit verschillende standpunten. Zo komen estuaria en getijgebonden rivieren wereldwijd in vele kustgebieden voor en zijn ze zowel op economisch (bijv. toegang tot havens langsheen het estuarium) als op ecologisch (bijv. vogels en andere dieren vinden voedsel op de zandbanken) vlak van groot belang. Door de voortdurende invloed van getijgegenereerde stromingen, wind en dichtheidsverschillen ontstaan bodempatronen, die gekarakteriseerd worden door diepe geulen en ondiepe zandbanken. Deze morfologische kenmerken zijn onderhevig aan veranderingen in ruimte en in tijd. De morfodynamica van een getijsysteem is het resultaat van de interactie tussen de waterbeweging, het sedimenttransport en de topografie van de bodem. Processen en fenomenen van verschillende ruimtelijke en tijdelijke schalen reageren met elkaar op een niet-lineaire manier. Observaties tonen duidelijk dat de vorm van de bodem in een getijsysteem gevoelig is voor externe veranderingen ten gevolge van natuurlijke evolutie en menselijke tussenkomsten (bijv. zeespiegelstijging, verruimingen van de vaargeul, onderhoudsbaggerwerken, zandwinning...). Gezien de grote economische en ecologische belangen van estuaria en getijgebonden rivieren is het belangrijk om de gevoeligheid van de morfodynamica van getijsystemen voor veranderende condities te kunnen voorspellen. Hiervoor zijn tegenwoordig complexe proces-gebaseerde modellen voorhanden. Deze modellen hebben echter een paar nadelen. Zo hebben ze het moeilijk om de evolutie op lange termijn te voorspellen, aangezien gebruik gemaakt wordt van een morfodynamische versnellingsfactor. Verder is de output van dergelijke modellen complex en moeilijk te analyseren. Het is bijgevolg niet eenvoudig om te bepalen welke mechanismen nu juist verantwoordelijk zijn voor het gedrag van de gesimuleerde fenomenen. Deze modellen zijn immers niet gemaakt om fundamenteel begrip van de onderliggende fysische mechanismen te verkrijgen. Ook de mogelijkheid van meerdere evenwichtstoestanden is moeilijk na te gaan met complexe proces-gebaseerde modellen. In geïdealiseerde modellen worden alleen processen bestudeerd die belangrijk geacht worden. Aangezien deze modellen een stuk eenvoudiger zijn, is hun output makkelijker te analyseren. Op die manier kunnen we fundamenteel inzicht verkrijgen in de achterliggende fysische mechanismen en de directe effecten van menselijke ingrepen. Uiteraard dienen de onderliggende aannames van geïdealiseerde modellen wel gevalideerd te worden door een vergelijking van de output met meetgegevens (op een kwalitatieve manier) en met output 2

3 van andere, meer gesofisticeerde modellen (op een kwantitatieve manier). Naast het numerieke werk, bestaat er ook experimenteel werk rond morfodynamica. Hoewel reeds in de 19 e eeuw labo-experimenten werden uitgevoerd (bijvoorbeeld door Reynolds), spitste deze onderzoekstak zich lange tijd toe op kanalen in landelijke of rivier-gedomineerde systemen. Pas de laatste tien jaar hebben experimenten de nadruk gelegd op getijgedomineerde kanalen. Experimentele studies hebben echter ook een paar nadelen. Zo ondervinden ze dikwijls last van schaaleffecten, zijn ze vaak sterk vereenvoudigd wegens technische beperkingen en door de geringe grootte van de stroomgoten en de lage snelheden en waterdieptes is er vaak weinig turbulentie en bijgevolg een vertekend sedimenttransport. Daar tegenover staat dat deze experimenten waardevolle manieren zijn om inzicht te krijgen in morfodynamische systemen onder gecontroleerde omstandigheden. Bovendien kunnen ze een belangrijke dataset bieden om numerieke modellen mee te testen. Onderstaand rapport bestaat uit twee grote delen. In het eerste deel zullen we een overzicht geven van de reeds bestaande literatuur in verband met geïdealiseerde modellen, experimentele studies en complex procesgebaseerde modellen betreffende morfodynamica in getijsystemen. In deel twee wordt een methodologie beschreven om, met behulp van geïdealiseerde modellen, geometrieën te kunnen bestuderen die dichter bij de realiteit (in casu het schelde-estuarium) komen dan tot op heden het geval was in de literatuur. Met name wordt een methodologie beoogd die toepasbaar is op domeinen met een willekeurige vorm in planzicht (en later uitbreidbaar is naar domeinen met intergetijdegebieden). Voorafgaand aan beide delen van het rapport worden enkele belangrijke begrippen en definities gegeven, die nuttig zijn voor het goede begrip van dit rapport. 3

4 HOOFDSTUK 0 Verklarende begrippen Grootheden We sommen hier de belangrijkste grootheden op, die in dit rapport gebruikt worden. u pu, vq: dieptegemiddelde snelheid H: hoogte van de waterspiegel in rust, ten opzichte van z 0 (m) ζ: hoogte van de waterspiegel ten opzichte van de referentiehoogte H (m) m s h: hoogte van de bodem, ten opzichte van z 0 (m) C: dieptegemiddelde sedimentconcentratie kg m, i.e. de hoeveelheid sediment in een waterkolom met 2 horizontaal eenheidsoppervlak t: tijdschaal van het getij (s) τ: morfologische tijdschaal, τ δt, met δ typisch van de orde 10 3 (a) Zij-aanzicht (b) Bovenaanzicht Figuur 1: Voorbeeld van een getijbekken in boven- en zij-aanzicht, met de belangrijkste grootheden. 4

5 Definities en grootteordes We zullen hieronder een tabel maken, met de belangrijkste grootheden en parameters, samen met hun typische grootteordes en eventuele afgeleide begrippen die verder in dit rapport gebruikt worden. Tabel 1: De belangrijkste grootheden en parameters variabele symbool typische grootteorde in artikels getijgebolden Schelde ë afgeleid begrip definitie Lengte van het bekken L m (kort) tot 10 5 m (lang) m ë kort kanaal kort in vergelijking met de wrijvingsloze golflengte breedte van het bekken B m (smal) tot m m (aan de monding) ë smal kanaal smal in vergelijking met de lengte (L) en de Rossby vervormingsstraal hoogte van de waterspiegel in rust H 5 12 m 1 16 m (doorsnedegemiddelde diepte) ë diep kanaal korrelgrootte van sediment bezinkingssnelheid van sediment tijdschaal van de wrijving en getijperiode hebben dezelfde grootteorde d s m - w s m s - zwaarteveldsterkte g 9.81 m s 2 idem amplitude getij aan zeewaartse rand A m 2 m periode M2-getij T s (12 h 25 m) idem frequentie M2-getij ë wrijvingsloze golflengte σ 2π T s 1 idem horizontale afstand die een golf aflegt in één getijperiode 4 rad coriolisparameter f 0 10 s idem ë Rossby vervormingsstraal lengteschaal waarop rotationele effecten belangrijk worden typische snelheidsschaal U AσL H 1 m s idem wrijvingscoëfficiënt r 10 3 idem 5

6 tijdschaal van de ë wrijving horizontale diffusiecoëfficiënt tijdschaal waarop wrijvingsprocessen spelen µ 10 2 m2 s - verticale diffusiecoëfficiënt κ v 0.1 m2 s - 2 kg s erosiecoëfficiënt α 10 m - 4 sedimentdichtheid ρ s 2650 kg m 3 - porositeit p Hieronder geven we nog wat bijkomende uitleg en wiskundige formuleringen van bepaalde parameters uit de bovenstaande tabel. Daarnaast geven we nog enkele definities, die later in dit rapport gebruikt worden. wrijvingsloze golflengte van het getij: golf, met voortplantingssnelheid a gpζ? 2π gpζ H hq σ ( m), de horizontale afstand die een H hq, aflegt gedurende één getijperiode T 2π σ? gpζ H hq Rossby vervormingsstraal: f 0 ( 10 5 m), de lengteschaal waarop rotationele effecten (rotatie van de aarde) even belangrijk worden als effecten ten gevolge van de archimedeskracht of de zwaartekracht voor de evolutie van de stroming. Het Rossby-getal (Ro) is de verhouding van de Rossby-vervormingsstraal en de lengteschaal van het systeem. Wanneer dit dimensieloos getal klein is (Ro! 1), dan wordt het systeem sterk beïnvloed door de corioliskracht. wrijvingscoëfficiënt r m s : Dit is de wrijvingscoëfficiënt overeenkomstig een Lorenz-linearisatie. r 8 3π g C 2 U 8 gn 2 3π 8 3π AσL R 1 3 H h gpb 2Hq 1 3 AσL n 2, pb.hq 1 3 H met C de Chézy-coëfficiënt en n de Manning coëfficiënt. We zien dat de wrijvingscoëfficiënt evenredig is met het kwadraat van de Manning-coëfficiënt en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de Chézy-coëfficiënt tijdschaal van de wrijving: ζ H h r p 10 4 sq convexe functie: een functie is convex binnen een bepaald interval als ze voor elke twee punten in het interval onder het lijnstuk ligt dat deze twee punten met elkaar verbindt (een functie f is concaaf als f convex is) rigid lid: in deze context betekent rigid lid dat de verhouding tussen de amplitude van het getij ten ζ opzichte van de referentiehoogte H en de waterdiepte klein is, ζ H h! 1 6

7 evenwichtsbodem: een bodem wordt in evenwicht verondersteld, wanneer het getijgemiddelde sedimenttransport nul is, i.e. wanneer de getijgemiddelde erosie en depositie elkaar neutraliseren. Wiskundig noteren we dit als Bh Bτ 0, met τ de morfologische tijdschaal. getijprisma (tidal prism): het volume water in het bekken tussen het gemiddelde hoog water en het gemiddelde laag water. overtide: hogere harmonische golven bovenop de fundamentele golf, i.e. bijkomende golven waarvan de frequentie (snelheid) een exact veelvoud is van de frequentie van de fundamentele golf. Overtides vervormen de fundamentele golf en veroorzaken getij-asymmetrieën. Ze kunnen zowel extern gegenereerd zijn (i.e. opgelegd aan de zeewaartse rand van het rekendomein), als intern opgewekt worden (door niet-lineaire termen in de wiskundige vergelijkingen). 7

8 HOOFDSTUK 1 Literatuurstudie 1.1 Inleiding Midden jaren 90 stond de fysisch-wiskundige modellering van de interactie tussen stromingen en bodemveranderingen nog in de kinderschoenen. Enerzijds werd empirisch onderzoek gedaan naar verbanden tussen morfologische parameters, waarbij echter geen dynamische interpretatie aan de resultaten werd gegeven. Anderzijds concentreerden theoretische studies zich op rivieren zonder getijden of werd louter de dynamica van getijgeïnduceerde stromingen bestudeerd zonder evenwel rekening te houden met feedbackmechanismen met de bodem. Aangezien computers in die tijd nog niet krachtig genoeg waren, was het nog niet mogelijk om numerieke lange-termijn-simulaties uit te voeren met proces-gebaseerde modellen. Deze omstandigheden motiveerden onderzoek met behulp van geïdealiseerde modellen, waarin bepaalde fysische effecten geïsoleerd worden en die (semi-)analystisch bestudeerd kunnen worden, wat bovendien tot meer (fysisch) inzicht leidt. In sectie 1.2 zullen we verschillende artikels bespreken betreffende geïdealiseerde modellen voor het bepalen van morfologische evenwichten. Gelijkenissen en verschillen zullen worden besproken en afgewogen worden tegenover de keuzes die wij in ons toekomstig werk zullen maken. We kunnen twee grote onderzoeksgroepen onderscheiden, een Nederlandse, met onder andere H. Schuttelaars, H. de Swart en G. Schramkowski en medewerkers, en een Italiaanse, met onder andere G. Seminara, S. Lanzoni en M.Tubino en medewerkers. We zullen nu, per onderzoeksgroep de artikels chronologisch bespreken, zodat de evolutie goed te volgen is en uiteindelijk duidelijk zal worden waar nog nood is aan aanvullend onderzoek. Een samenvatting van de artikels omtrent geïdealiseerde modellen en de belangrijkste eigenschappen is terug te vinden in Tabel 1.1 Vervolgens zullen we in sectie 1.3 enkele artikels omtrent experimentele studies bespreken. Deze experimentele studies omtrent getijgebonden kanalen zijn uitgevoerd door de hierboven vermelde Italiaanse onderzoeksgroep. In sectie 1.4 zullen we ten slotte nog enkele artikels bespreken, die proces-gebaseerde modellen behandelen en waarin tot op zekere hoogte een vergelijking wordt gemaakt tussen de proces-gebaseerde en de geïdealiseerde modellen. 8

9 Tabel 1.1: Samenvattende tabel van de besproken artikels Artikel vorm bekken lengte t.o.v. getijgolflengte ruimtelijke dimensies lineariteit andere Schuttelaars & de Swart (1996) rechthoekig kort 1D lineair - Schuttelaars (1998) / Schuttelaars & de Swart (1999) rechthoekig kort 2D lineair - Schuttelaars & de Swart (2000) rechthoekig arbitrair 1D niet-lineair - Van Leeuwen et al. (2000) rechthoekig arbitrair 1D niet-lineair - Van Leeuwen & de Swart (2001) rechthoekig kort 2D niet-lineair - Van Leeuwen & de Swart (2004) rechthoekig kort 2D niet-lineair - Schramkowski et al. (2002) rechthoekig arbitrair 2D niet-lineair Schramkowski et al. (2004) rechthoekig arbitrair 2D niet-lineair rigid lid rigid lid Ter Brake & Schuttelaars (2010) rechthoekig kort 1D niet-lineair - Ter Brake & Schuttelaars (2011) rechthoekig kort 2D niet-lineair - Lanzoni & Seminara (2002) convergerend arbitrair 1D niet-lineair Todeschini et al. (2003) / Todeschini et al. (2008) convergerend arbitrair 1D niet-lineair Todeschini et al. (2006) convergerend arbitrair 1D niet-lineair droogval droogval droogval 9

10 1.2 Geïdealiseerde modellen Schuttelaars & de Swart (1996) In dit eerste artikel wordt een zeer eenvoudig model besproken, namelijk dat van een smal, diep, kort en rechthoekig bekken, waarin enkel de bodem erodeerbaar is. Een smal bekken wil zeggen smal in vergelijking met de lengte van het bekken en met de Rossby vervormingsstraal. Dit wil zeggen dat het systeem benadert kan worden door een 1-dimensionaal model, waarin dus geen laterale variaties voorkomen. Een diep kanaal wil zeggen zo diep dat de tijdschaal van de wrijving van dezelfde grootteorde is als de periode van het getij. Een kort kanaal wil zeggen kort in vergelijking met de wrijvingsloze golflengte van het getij. Dit impliceert dat op een bepaald tijdstip er geen verschil is in waterhoogte doorheen het bekken, met andere woorden, het vrij oppervlak gaat uniform op en neer met het getij, dat bepaald wordt aan de zeewaartse grens. Wiskundig kunnen we dit als volgt uitdrukken ζ x 0, (1.1) waarbij ζ de hoogte is van de waterspiegel t.o.v. een bepaalde referentiehoogte en de notatie. x B Bx ruimtelijke partiële afgeleide is. de Figuur 1.1: Boven- en zij-aanzicht van een recht kanaal, met de gebruikte symbolen. Sediment kan in dit artidel getransporteerd worden in suspensie of langs de bodem en het sedimenttransport wordt bestudeerd aan de hand van de dieptegemiddelde sedimentconcentratie C, i.e. de hoeveelheid sediment in een waterkolom met horizontaal eenheidsoppervlak. Dit leidt uiteindelijk tot volgend stelsel van vergelijkingen ζ t rph ζ hqus x 0 (1.2a) ζ x 0 C t puc µc x q x αu 2 γc ρ s p1 pqph τ xs b,x yq xαu 2 γcy, (1.2b) (1.2c) (1.2d) waarbij H de referentiehoogte is, h de hoogte van de bodem, u de doorsnedegemiddelde snelheid snelheid, τ de morfologische tijdschaal, die typisch veel groter is dan de tijdschaal van het getij, ρ s de dichtheid van de sedimentdeeltjes, p de porositeit, xs b,x y het getijgemiddelde sedimenttransport langs de bodem, α is een 10

11 materiaalafhankelijke erosiecoëfficiënt, µ is een constante horizontale diffusiecoëfficiënt en γ is een constante die afhangt van de bezinkingssnelheid van de deeltjes (w s ) en van de vertikale diffusiecoëfficiënt (γ w2 s κ v ). De notatie x.y drukt het tijdsgemiddelde uit over één getijperiode. Een bodem wordt in evenwicht verondersteld wanneer hij niet meer verandert in de tijd. Wiskundig betekent dit dat 1 h τ 0 ρ s p1 pq xs b,xy xαu 2 γcy. (1.3) In dit eenvoudige geval kan een oplossing nog analytisch bepaald worden en worden enkele gevallen besproken. In het geval met één getijcomponent en met het sedimenttransport hoofdzakelijk in suspensie krijgen we een evenwichtsbodem h eq x, zoals te zien is in Fig Figuur 1.2: Evolutie van een initieel vlakke bodem naar een evenwichtsbodem in het geval van één getijcomponent en voornamelijk suspensietransport (t 1 0, t 2 2τ, t 3 5τ, t 4 8τ, t 5 10τ en t 6 17τ). en met het sedimenttransport hoofdzakelijk langs de bodem krijgen we een evenwichtsbodem h eq 0. In het geval met twee getijcomponenten krijgen we afhankelijk van de waarden van de verschillende parameters een rijke variatie aan verschillende (of zelfs helemaal geen) evenwichtsbodems. Een voorbeeld hiervan zien we in Fig

12 Figuur 1.3: Evolutie van een initieel vlakke bodem naar een evenwichtsbodem in het geval van twee getijcomponenten en voornamelijk suspensietransport (t 1 0, t 2 τ, t 3 3τ, t 4 5τ en t 5 8τ). Lineaire stabiliteitsanalyse leert dat alle gevonden evenwichtsbodems in dit artikel ook stabiel zijn tegenover kleine, 1-dimensionale perturbaties. Dit artikel is pionierswerk en dient als basis voor vele latere artikels, maar zal voor ons werk niet meer zo belangrijk zijn, aangezien wij niet de veronderstellingen zullen maken van een kort, smal en rechthoekig bekken Schuttelaars (1998) / Schuttelaars & de Swart (1999) We bespreken deze twee artikels samen, aangezien ze zeer gelijklopend zijn. Er wordt in beide gevallen een model bestudeerd van een kort, diep en rechthoekig kanaal. De veronderstelling van een smal kanaal wordt hier dus niet gemaakt, zodat niet langer 1-dimensionaal gewerkt kan worden. Er wordt hier getest of de evenwichtsbodems uit het 1-dimensionale geval (die ook evenwichtsbodems zijn in het 2-dimensionale geval) stabiel zijn ten opzichte van 2-dimensionale perturbaties. Er wordt hier dus 2-dimensionaal gewerkt. De aanname van een kort kanaal laat toe om de hoogte van de waterspiegel ζ en de snelheidscomponenten u en v te ontwikkelen in de kleine parameter L 2 {L 2 g, waarbij L de lengte van het bekken is en L g de wrijvingsloze golflengte van het getij. In laagste orde blijven enkel de druk-termen over in de impulsvergelijkingen, zodat ζ x 0 en ook ζ y 0, wat een ruimtelijk uniform verticaal getij voorstelt. Deze uitdrukkingen volstaan echter niet langer als momentumvergelijkingen om een gesloten systeem te verkrijgen. Daarom worden ook de impulsvergelijkingen in OpL 2 {L 2 gq meegenomen, die, na eliminatie van de druktermen, leiden tot de vorticiteitsvergelijking rv ru Ω t pv x u y q t H h r H ζ v ζ x H h h 1 η H ζ x ζ y h u 1 η H ζ, (1.4) y waarbij η de waarden 0 of 1 kan aannemen. De aanname van een kort kanaal laat eveneens toe om advectietermen te verwaarlozen, zowel in de momentumvergelijkingen als in de vergelijking voor sedimenttransport. 12

13 Het probleem is dus volledig diffusie-gedomineerd. De evenwichtsbodem uit het vorige (1-dimensionale) geval, namelijk een bodem met een constante helling en een ruimtelijk uniform snelheidsveld, is ook hier in evenwicht. Deze evenwichtstoestand is stabiel ten opzichte van 1-dimensionale perturbaties. Wanneer men nu een 2-dimensionale perturbatie aan de evenwichtstoestand oplegt, dan ontstaan er (kleine) pieken en dalen in de dwarsrichting. Wanneer deze (kleine) perturbaties niet stabiel zijn, kunnen ze verder groeien en op die manier de typische bodempatronen vormen, die in estuaria worden geobserveerd. In dit artikel worden opnieuw verschillende gevallen bekeken. In het geval dat de (lineaire) wrijvingsterm onafhankelijk is van de waterdiepte (η 0) wordt er geen vorticiteit gecreëerd en hebben we een irrotationele stroming. In dit geval zijn er geen onstabiliteiten en worden de perturbaties gedempt tot opnieuw de evenwichtstoestand wordt bereikt. Dit is zelfs het geval wanneer het stabiliserende effect van zwaartekracht langsheen een helling wordt verwaarloosd. Zwaartekracht beweegt deeltjes van pieken naar dalen en werkt dus stabiliserend. Figuur 1.4: Plot van een bodemprofiel met η 0. De pieken zijn wit, de dalen zwart. De pijltjes stellen het sedimenttransport voor en we zien duidelijk dat sediment van de pieken naar het dal wordt getransporteerd en dat de perturbaties gedempt worden. In het geval dat de (lineaire) frictieterm wel afhankelijk is van de waterdiepte (η 1) zal de stroming meer vertraagd worden bij kleine dieptes, i.e. boven de toppen. Hierbij worden wrijvingskoppels (frictional torques) gegenereerd en bijgevolg vorticiteit opgewekt; de vloeistof is dus niet langer rotatievrij (vergelijk dit met een bal die begint te rollen over een oppervlak, in plaats van te glijden). Dit blijkt een nodige voorwaarde te zijn om instabiliteit te veroorzaken. In dit geval kan er immers een positieve feedback bestaan tussen bodemverandering en waterbeweging. Een belangrijke parameter hierbij is de wrijvingsparameter r. Wanneer deze waarde kleiner is dan een bepaalde kritische waarde, dan worden de perturbaties gedempt. Wanneer de wrijvingsparameter echter groot genoeg is en het effect van de zwaartekracht langsheen een helling relatief klein is, dan kunnen instabiliteiten ontstaan en kunnen perturbaties groeien. Wrijving genereert vortices dicht bij de bodem, die ervoor zorgen dat de snelheid iets hoger is boven de dalen en iets lager boven de pieken, wat resulteert in een sedimenttransport van de dalen naar de pieken. 13

14 Figuur 1.5: Plot van een bodemprofiel met η 1. De pieken zijn wit, de dalen zwart. De pijltjes stellen het sedimenttransport voor en we zien duidelijk dat sediment van het dal naar de pieken wordt getransporteerd en dat de perturbaties groeien. Deze artikels werken reeds 2-dimensionaal, maar verwaarlozen nog alle niet-lineaire (of advectie-) termen. Ze kunnen enkel de eerste groeifase van perturbaties beschrijven, maar zijn niet in staat om effecten op lange termijn te voorspellen. Daarvoor is een volledig niet-lineair model nodig. In (Schuttelaars, 1998) wordt hier al een eerste aanzet toe gegeven Schuttelaars & de Swart (2000) In dit artikel wordt opnieuw een smal bekken besproken, zodat opnieuw 1-dimensionaal gewerkt kan worden. De aanname van een kort bekken wordt hier echter niet meer gemaakt. Dit betekent dat niet langer geldt dat ζ x 0. Bovendien is het niet langer realistisch om de niet-lineaire advectietermen te verwaarlozen. We krijgen dan volgende momentumvergelijking u t uu x gζ x ru H h ζ 0. (1.5) De andere vergelijkingen uit (1.2) blijven ongewijzigd. De aanname van een lang kanaal geeft aanleiding tot nieuwe dynamische verschijnselen door het mogelijke optreden van getijpropagatie en resonantie en door nieuwe contributies aan het sedimenttransport door intern gegenereerde overtides. In het artikel wordt eerst een bekken besproken dat korter is dan de wrijvingsloze golflengte van het getij. Dit is echter geen limietgeval zoals in de vorige artikels, dit wil zeggen dat de verhouding tussen de lengte van het bekken en de wrijvingsloze golflengte van het getij, L{L g, klein, maar eindig is, zodat niet geldt dat L{L g Ñ 0. In dit geval kan de oplossing niet langer analytisch bepaald worden, zoals het geval was in (Schuttelaars & de Swart, 1996). Er blijkt dat de evenwichtsbodem niet langer lineair is, maar wel concaaf. Vervolgens wordt een bekken met een willekeurige lengte behandeld: met een getij dat louter door een externe M2-component wordt aangedreven (overtides worden dus enkel intern gegenereerd door niet-lineaire interacties) blijkt dat voor een toenemende lengte van het 14

15 Figuur 1.6: Analytisch en numeriek bepaalde evenwichtsbodem van een kort kanaal (L{L g klein). bekken, de evenwichtsbodem meer en meer concaaf wordt. De bodem in de buurt van de zeewaartse zijde wordt namelijk steeds dieper voor een toenemende lengte van het bekken. Dit is duidelijk te zien op Fig Voor een kort bekken (onderaan de figuur) is de evenwichtsbodem quasi-lineair, terwijl voor een langer bekken (bovenaan de figuur) de evenwichtsbodem veel dieper wordt aan de zeekant en bijgevolg veel concaver wordt. Figuur 1.7: Contourplot van de evenwichtsbodem in functie van de dimensieloze lengteschaal en van de verhouding tussen de lengte van het bekken en de wrijvingsloze golflengte van het getij, L{L g (L g 450km). Het getij wordt enkel gegenereerd door een externe M2-component. met een getij dat wordt aangedreven door een M2- en een M4-component, met een faseverschil φ 0, blijkt dat er, mits de M4-component sterk genoeg is, meerdere evenwichtsbodems mogelijk zijn. Er bestaat echter een bovenlimiet voor de lengte van het bekken. Als het bekken te lang wordt, dan zijn de snelheden aan de landwaartse zijde te klein om een netto gebrek aan sedimenttransport te onderhouden. Het bekken vult zich dan met sediment tot de maximale lengte waarvoor evenwichtsbodems mogelijk zijn, bereikt wordt. We kunnen nu nog twee subgevallen onderscheiden. Indien de verhouding tussen de M4- en de M2-component van het getij klein is, dan zijn er twee verschillende evenwichten mogelijk. Er bestaat een kritische lengte van het bekken, waarvoor van 15

16 de ene evenwichtsbodem naar de andere wordt overgegaan. Voor lengtes groter dan deze kritische lengte, zien we evenwichtsbodems gelijk aan deze als in het geval zonder extern overtide, aangezien in dit geval het intern gegenereerde overtide veel belangrijker wordt dan het externe. Als we de grootste lengtes op Fig. 1.8a vergelijken met deze in Fig. 1.7, zan zien we inderdaad dat deze zeer gelijkaardig zijn. Voor lengtes kleiner dan de kritische lengte heeft de evenwichtsbodem een veel grotere waterdiepte. Indien de verhouding tussen de M4- en de M2-component van het getij groter is, dan zijn er 3 verschillende evenwichten mogelijk. Er is nu een klein interval van mogelijke lengtes van het bekken, waarin zich een (onstabiele) evenwichtsbodem manifesteert die een gladde overgang vormt tussen de twee evenwichtsbodems uit het vorige geval. Dit is duidelijk te zien in Fig. 1.8b (a) De verhouding tussen de M2- en de M4- component is klein. (b) De verhouding tussen de M2- en de M4- component is groter. Figuur 1.8: Contourplot van de evenwichtsbodem in functie van de dimensieloze lengteschaal en van de verhouding tussen de lengte van het bekken en de wrijvingsloze golflengte van het getij, L{L g. Het getij wordt enkel gegenereerd door een externe M2- en M4-component. In dit artikel wordt de aanname van een kort bekken losgelaten, maar de aanname van een smal bekken opnieuw ingevoerd. De logische volgende stap lijkt nu om beide aannames los te laten, maar dat blijkt minder eenvoudig dan het lijkt. Er worden dan ook eerst, binnen de context van een van deze drie voorgaande artikels, enkele effecten meer in detail bestudeerd. Verder wordt ook nog de tussenstap doorlopen van een kanaal dat niet kort en niet smal is, maar waar de aanname van een rigid lid wordt gemaakt, zoals in (Schramkowski et al., 2002) en (Schramkowski et al., 2004). Merk op dat in deze context rigid lid wil zeggen ζ dat de amplitude van het getij veel kleiner is dan de ongestoorde waterdiepte, i.e. H! 1. Het is de bedoeling om in ons toekomstig werk ook de aanname van een rigid lid te laten vallen, hetgeen een nodige voorwaarde is, indien men droogval wil beschouwen Van Leeuwen et al. (2000) Dit artikel is een uitbreiding van (Schuttelaars & de Swart, 1996) en wel op twee manieren. Eerst wordt gekeken naar de invloed van de lokale waterdiepte op de sedimentdepositie en vervolgens wordt het effect bestudeerd van een toename van de lengte van het bekken. Dit laatste is echter niet meer dan een voorproefje op het later dat jaar verschenen artikel (Schuttelaars & de Swart, 2000) en biedt in dat opzicht dus geen 16

17 nieuwe informatie. We zullen hier dus enkel het effect van de lokale waterdiepte op de sedimentdepositie bespreken. Er wordt een kort en smal bekken verondersteld, zodat 1-dimensionaal gewerkt kan worden en het getij zich gedraagt als een staande golf (ζ x 0). Verder wordt sedimenttransport langs de bodem verwaarloosd. Dit leidt tot het volgende stelsel ζ t rph ζ hqus x 0 (1.6a) ζ x 0 C t puc µc x q x αu 2 γβpζ, hqc ρ s p1 pqh τ xαu 2 γβpζ, hqcy, (1.6b) (1.6c) (1.6d) waarbij β 1 e ws H h ζ κv 1, (1.7) met w s de bezinkingssnelheid van de deeltjes en κ v een vertikale diffusiecoëfficiënt. β 1 is dus het geval van een voldoende diep bekken, zoals in (Schuttelaars & de Swart, 1996) en hier beschouwen we het geval β 1, waarvoor de sedimentsgrenslaag van dezelfde grootteorde is als de totale diepte van het bekken. Wanneer β 1 zal de depositie van sediment toenemen. Het bodemverloop zal dan niet langer lineair zijn, maar zal convex worden. Dit kunnen we als volgt inzien: kleinere waterdieptes leiden tot meer sedimentdepositie en zo tot nog kleinere waterdieptes. We zien deze convexe vorm duidelijk terug in Fig Om opnieuw een evenwicht te vinden zal ook de de snelheid toenemen aan de landwaartse zijde, zodat verhoogde erosie kan compenseren voor de verhoogde depositie. Figuur 1.9: Analytisch en numeriek bepaalde evenwichtsbodem van een kort kanaal, waarbij respectievelijk geen en wel rekening gehouden is met het effect van de waterdiepte op de sedimentdepositie. De resultaten tonen dat de evenwichtsbodem vrij gevoelig is aan de parameterisatie van de sedimentdepositie. Dit kan in ons toekomstig onderzoek nog een belangrijke rol spelen, zeker in het kader van eventuele droogval Van Leeuwen & de Swart (2001) Dit artikel is een uitbreiding van (Schuttelaars & de Swart, 1999) met de niet-lineaire advectietermen in de momentum- en de sedimenttransportvergelijking. Er wordt gewerkt in een kort, voldoende breed kanaal, zodat 2-dimensionaal gewerkt moet worden en zodat ζ pζ x, ζ y q 0. Sedimenttransport vindt hier plaats 17

18 in suspensie en langs de bodem. Om een gesloten systeem van vergelijkingen te verkrijgen, moeten we opnieuw de vorticiteitsvergelijking meenemen. We krijgen volgend stelsel ζ t rph h ζq us 0 ζ 0 rv Ω t p uωq H h ζ x ru H h ζ y (1.8a) (1.8b) (1.8c) C t p uc µ Cq αu 2 γc (1.8d) ρ s p1 pqh τ x uc µ Cy λ 2 h, (1.8e) waarbij Ω v x u y de vorticiteit is en λ een parameter voor het sedimenttransport langs de bodem ten gevolge van de zwaartekracht. De andere variabelen en parameters zijn zoals hierboven gedefinieerd. Het blijkt dat de gevonden evenwichtsoplossing uit het 1-dimensionaal geval (dus zonder variatie in de y- richting) ook een evenwichtsoplossing is van het 2-dimensionale geval. In (Schuttelaars & de Swart, 1999) werd aangetoond dat dit evenwicht niet stabiel is ten opzichte van 2-dimensionale perturbaties, indien de advectietermen verwaarloosbaar klein zijn. In dit artikel wordt de stabiliteit van de 1-dimensionale evenwichtsbodem getest ten opzichte van 2-dimensionale perturbaties, wanneer de advectietermen niet langer verwaarloosd kunnen worden. In Fig wordt het groeitempo van de perturbaties getoond in functie van de parameter ɛ A H, met A de amplitude van het getij (in dit geval de amplitude van de M2-component), die de sterkte van de advectie uitdrukt. We zien dat de advectie eerst een stabiliserend effect heeft (perturbaties groeien minder snel). Wanneer advectie echter toeneemt, wordt de invloed ervan destabiliserend. Uiteindelijk wordt de destabiliserende invloed van advectie zelfs groter dan wanneer er geen advectietermen zijn. Figuur 1.10: Groeitempo van de perturbaties ten opzichte van de dimensieloze parameter ɛ, die een maat is voor de sterkte van de advectieve termen. In tegenstelling tot in het geval zonder advectie worden de instabiliteiten hier gecreëerd door vorticiteit en advectieve stroming in de langsrichting. Een ander belangrijk aspect is wrijving. Aangezien wrijving het sterkst is in ondiep water, zullen de snelheden boven de pieken lager liggen en boven de dalen hoger. Dit wil zeggen dat er boven de dalen meer sediment in suspensie zal zijn dat (via de vorticiteit en advectieve 18

19 stromingen) getransporteerd wordt naar de landwaartse en zeewaartse zijde van het bekken. De perturbaties in de langsrichting zullen bijgevolg groeien. Dit wordt verder verduidelijkt in Fig. 1.11, waar we het sedimenttransport zien voor verschillende waarden van de parameter ɛ. Voor ɛ 0 is er geen advectie. De dwarse instabiliteit groeit louter door het effect van de lagere snelheden boven de pieken, ten gevolge van de sterkere wrijving. Voor ɛ 0.05 treden vorticiteit en advectieve stromingen op. Dit heeft als gevolg dat sediment niet enkel meer in de dwarsrichting wordt getransporteerd, maar ook in de langsrichting. Het transport in de dwarsrichting wordt bijgevolg gevoeliger aan het stabiliserende effect van sedimenttransport langs de bodem ( λ 2 h). We hebben dus een stabiliserend effect. Voor ɛ 0.2 zijn de vorticiteit en de advectieve stroming nog versterkt. Er is nu nog minder sedimenttransport in de dwarsrichting, maar des te meer in de langsrichting, zodat de perturbaties in de langsrichting nu sterk beginnen groeien. (a) ɛ 0 (b) ɛ 0.05 (c) ɛ 0.2 Figuur 1.11: Contourplot van de evenwichtsbodem. Wit zijn pieken, zwart zijn dalen. De pijltjes stellen de richting en sterkte van het sedimenttransport voor. In dit artikel worden voor het eerst de niet-lineaire advectietermen meegenomen in een 2-dimensionaal model, hetgeen ook onze intentie is, zij het dan voor een kanaal met willekeurige lengte en geometrie Van Leeuwen & de Swart (2004) In dit artikel wordt gebruik gemaakt van hetzelfde model als in het voorgaande, maar worden andere parameterwaarden onderzocht. Hierbij wordt sterk de nadruk gelegd op het verschil tussen de lokale en de globale bodempatronen. In de voorgaande artikels werd enkel gekeken naar globale bodemvormen, ter grote van de lengte van het bekken. In de natuur worden echter ook lokale bodemvormen gevonden, die schalen met de breedte van het bekken, nl. de zandbanken (tidal bars). In dit artikel wordt dus onderzocht of bepaalde perturbaties van de gekende evenwichtstoestand leiden tot de groei van zulke lokale bodempatronen. 19

20 Meer bepaald wordt er gekeken naar het effect van een grotere (en meer realistische) waarde van de bodemwrijvingsparameter, in plaats van enkel kleine waarden te beschouwen, waarvoor de perturbaties het snelst onstabiel worden. Daarnaast wordt ook het verschil tussen dominant diffusief sedimenttransport en dominant advectief sedimenttransport nader bekeken. We merken nog op dat enkel met de M 2-getijcomponent gewerkt wordt (overtides worden enkel intern gegenereerd). De eerder besproken artikels beperkten zich tot kleine waarden voor de bodemwrijvingsparameter, omdat bodemperturbaties dan het snelst onstabiel worden. In vele realistische situaties is de bodemwrijving echter een stuk groter. In Fig zien we dat voor een grotere waarde voor de bodemwrijving, het bodempatroon kleiner is geworden in de longitudinale richting (in vergelijking met Fig. 1.11), maar nog steeds een globale structuur heeft (i.e. een significant deel van het bekken beslaat). In vergelijking met het voorgaande artikel is het groeitempo veel hoger (andere schaal dan in Fig. 1.10!) en heeft de snelst groeiende perturbatie een hoger golfgetal. Dit wil zeggen dat er meerdere pieken en dalen ontstaan in de laterale richting. Het hogere groeitempo komt overeen met meer realistische waarden voor de tijdschaal van de evolutie van de bodemvormen. (a) (b) Figuur 1.12: (a) Groeitempo van de bodemperturbaties in functie van de laterale mode (aantal laterale perturbaties). (b) De corresponderende contourplot voor n 7 (mode met sterkste groei). Wit zijn pieken, zwart zijn dalen en de pijlen duiden de richting en relatieve grootte van het getijgemiddelde sedimenttransport aan. Om de relatieve invloed van advectieve en diffusieve fluxen te onderzoeken, wordt de waarde van de diffusiecoëfficiënt, µ, verlaagd. We zien meteen in Fig. 1.13a dat voor een bepaalde waarde voor µ er een omslag is van een globaal patroon naar een lokaal patroon. Ook het golfgetal van de laterale perturbatie is afhankelijk van de diffusiecoëfficiënt. Voor kleinere µ-waarden hebben we dus een lokaal bodempatroon, dat zich bevindt aan de zeewaartse zijde van het bekken, met een hoger groeitempo. Deze patronen hebben een grootte van de orde van de breedte van het bekken en worden zandbanken (tidal bars) genoemd. In dit geval is de advectieve flux dominant en destabiliserend en, in tegenstelling tot in het vorige geval, waar diffusie dominant en sterk destabiliserend was, heeft de diffusieve flux nu een stabiliserend effect. Dit effect is echter klein aangezien de diffusieve fluxen klein zijn. De dominante advectieve sedimentflux heeft een sterker destabiliserend effect, in vergelijking met de dominante diffusieve sedimentflux uit het vorige geval, wat resulteert in een hoger groeitempo van de perturbaties. 20

21 (a) (b) Figuur 1.13: (a) Groeitempo en lateraal golfgetal voor de snelst groeiende perturbatie, bij een middelgrote bodemwrijving en in functie van de diffusiecoëfficiënt. (b) Corresponderende contourplot (en een zoom van de eerste drie kilometer van het bekken) voor een diffusiecoëfficiënt die vier keer kleiner is dan in het geval uit de voorgaande paragraaf (zie Fig. 1.12). In dit artikel worden meer realistische waarden gehanteerd voor de bodemwrijving en kunnen ook lokale bodemvormen gesimuleerd worden. Dit biedt perspectief op een heleboel nieuwe mogelijkheden en bevestigt de gevoeligheid van een niet-lineair systeem aan parametervariaties. Gevoeligheidsanalyses zijn dan ook van groot belang en hierbij zijn geïdealiseerde modellen een zeer nuttige toevoeging aan de complexe procesgebaseerde modellen Schramkowski et al. (2002) In dit artikel worden de aannames van een kort en smal kanaal beiden losgelaten, zodat men hier verplicht is om 2-dimensionaal te werken met twee niet-lineaire momentumvergelijkingen. Er wordt echter wel een nieuwe, vrij strenge, aanname gemaakt: een zogenaamd rigid lid. Zoals reeds vermeld, wil dit zeggen dat er wordt verondersteld dat de amplitude van het getij ten opzichte van de referentiehoogte veel kleiner is dan de waterdiepte. Dit wil zeggen dat in de vergelijkingen de hoogte van het wateroppervlak, ζ, en al haar afgeleiden verwaarloosd mogen worden, behalve in termen die het getij beschrijven, gζ x en gζ y. De 21

22 vergelijkingen herleiden zich dan tot rph hqus x rph hqvs y 0 ru u t uu x vu y H h gζ x rv v t uv x vv y H h gζ y C t puc µc x q x pvc µc y q y αu 2 γc ρ s p1 pqh τ xαu 2 γcy λ 2 h. (1.9a) (1.9b) (1.9c) (1.9d) (1.9e) Dit systeem van vergelijkingen, aangevuld met de nodige randvoorwaarden, heeft als evenwichtstoestand een getij in een kanaal met een ongestoorde waterdiepte H en een horizontale bodem. Dit evenwicht is in het algemeen echter niet stabiel ten opzichte van perturbaties met een component in de dwarsrichting, zodat deze perturbaties kunnen groeien door een positief feedbackmechanisme tussen de waterbeweging en de bodem. De perturbaties worden gedefinieerd door een longitudinaal en een laterale golfgetal. Hoe hoger dit golfgetal, hoe hoger de frequentie van de perturbaties. De belangrijkste parameter voor de bepaling van het al dan niet groeien van de perturbaties is de wrijvingsparameter r. In Fig zien we neutrale curves voor verschillende laterale golfgetallen. Voor r-waarden die zich boven de curve bevinden zullen perturbaties groeien, voor r-waarden onder de curve zullen ze gedempt worden. Er bestaat dus een kritische waarde voor de wrijvingsparameter, die overschreden moet worden opdat de perturbaties zouden groeien. We zien dat de perturbatie, corresponderend met de curve voor het kleinste lateraal golfgetal (i.e. een perturbatie die lateraal 1 dal en 2 pieken heeft) het snelst instabiel wordt. Hoe hoger het lateraal golfgetal (i.e. hoe meer pieken en dalen in de dwarse richting), hoe meer het stabiliserende effect van het sedimenttransport langs de bodem een rol speelt en dus hoe hoger de frictieparameter moet worden om toch nog instabiliteit te creëren. We merken hier ook nog op dat de minst stabiele perturbaties, deze zijn die een lengteschaal hebben vergelijkbaar met de lengte van de getijbeweging (tidal excursion length) l U σ, i.e. waarvoor kl 1. Figuur 1.14: Neutrale curves voor verschillende laterale golfgetallen in functie van de longitudinale golfgetallen en de frictieparameter. Hoe lager het lateraal golfgetal, hoe kleiner het minimum van de neutrale curve. Er wordt hier ook gekeken of de aanname van een lineaire frictieterm een fysisch correctere, maar algebraisch lastigere, kwadratische frictieterm r u H h r u} u} H h r H h, pu, vq in plaats van een grote rol speelt. In Fig zien we twee neutrale curves, bepaald met respectievelijk een lineaire en met een kwadratische frictieterm. We zien meteen dat de kritische waarde voor de frictieparameter hoger ligt voor de kwadratische frictieterm. Als we de lineare frictieterm gebruiken zullen permutaties dus iets sneller instabiel worden dan 22

23 in werkelijkheid. We kunnen dit kwalitatief als volgt inzien. De lineare frictieterm hangt enkel af van de waterdiepte (meer frictie in ondiep water). In het kwadratische geval hangt deze ook af van de grootte van de snelheid. Aangezien de snelheid hoger is boven pieken dan boven dalen, zal de snelheidsafhankelijkheid ervoor zorgen dat de frictieterm kleiner wordt voor kleine waterdieptes en groter voor grote waterdieptes. De snelheidsafhankelijkheid zorgt dus voor een verzwakking van de frictieterm, zodat de frictieparameter r groter moet worden dan in het lineaire geval om instabiliteit te scheppen. Figuur 1.15: Neutrale curves voor een bepaald lateraal golfgetal in functie van de longitudinale golfgetallen en de frictieparameter. De volle lijn is voor de lineaire frictieterm en de streepjeslijn voor een kwadratische frictieterm. Tot slot wordt in dit artikel ook nog het effect van de breedte van het bekken bestudeerd. Bovenstaande resultaten zijn geldig voor bekkens waarvoor de breedte van de dezelfde grootteorde is als de tidal excursion length. Voor smallere bekkens geldt dat perturbaties met een bepaald lateraal golfgetal, steilere hellingen zullen hebben dan diezelfde perturbaties in een breder bekken. De stabiliserende invloed van bodemtransport langs de bodem is bijgevolg veel sterker in smallere bekkens. De kritische waarde voor de frictieparameter om instabiliteit te veroorzaken is dan ook hoger voor smallere bekkens. Dit artikel maakt op vele vlakken dezelfde aannames als deze die ook wij zullen maken, bijvoorbeeld 2- dimensionaal, niet lineair, willekeurige lengte en breedte... De aanpak met een rigid lid zullen wij echter niet volgen, aangezien dat geen goede benadering meer is, wanneer de waterdiepte klein is. Indien we in ons model droogval willen bestuderen, dan kunnen we immers niet aannemen dat de waterdiepte overal veel groter is dan de amplitude van het getij Schramkowski et al. (2004) In de bovenstaande artikels wordt een lineaire stabiliteitsanalyse uitgevoerd om de dynamica van perturbaties op een bepaalde evenwichtstoestand te bestuderen. Hierdoor is hun validiteit beperkt tot de intitiële groeifase van de perturbaties, i.e. wanneer de perturbaties klein zijn. Indien men de effecten op langere termijn, met grotere amplitudes van de perturbaties wil bekijken, dan moet de lineaire analyse uitgebreid worden met de niet-lineaire effecten. In dit artikel wordt zo een niet-lineaire analyse uitgevoerd, met specifieke aandacht voor het effect van de wrijvingscoëfficiënt en de breedte van het bekken. Er wordt opnieuw vertrokken van een lang, recht kanaal, waarbij de waterdiepte veel groter verondersteld wordt dan de amplitude van het getij, zodat een rigid lid benadering mag toegepast worden. De vergelijkingen zijn bijgevolg dezelfde als in (1.9). 23

24 De analyse die in dit artikel wordt uitgevoerd kan men in drie delen opsplitsen: een lineaire stabiliteitsanalyse van de oorspronkelijke evenwichtstoestand, een eindige-amplitude-analyse en een bifurcatieanalyse. De lineaire stabiliteitsanalyse is volledig analoog aan deze uit Schramkowski et al. (2002) en leert ons dus dat instabiliteiten kunnen groeien als de frictieparameter r een bepaalde kritische waarde overschrijdt. In Fig zien we verschillende contourplots voor perturbaties op de vlakke evenwichtsbodem, met verschillende laterale en longitudinale golfgetallen. De configuratie met de kleinste golfgetallen wordt het eerst instabiel en begint dus als eerste te groeien. In de volgende paragrafen, zal dan ook enkel deze perturbatie nog besproken worden. (a) m n 1 (b) m 1, n 2 (c) m 2, n 1 41 Figuur 1.16: Contourplots van de perturbaties op een vlakke evenwichtsbodem, voor verschillende waarden voor de laterale (n) en longitudinale (m) golfgetallen van de perturbaties. Om grotere perturbaties op langere termijn te bestuderen moet een eindige-amplitude-analyse uitgevoerd worden, waarin ook niet-lineaire effecten in rekening gebracht worden. Hiertoe worden de niet-lineare vergelijkingen geprojecteerd op oplossingen van de lineaire analyse. Een belangrijke afweging is hier tot op welke orde dit moet gebeuren. Naast de eindige-amplitude-analyse is er ook nog een bifurcatieanalyse, waarbij een bepaalde parameter (bijvoorbeelde de wrijvingsparameter r) stelselmatig wordt verhoogd (of verlaagd) en voor elke waarde van die parameter de stabiliteit wordt bepaald. Er worden hier twee gevallen beschouwd. Voor een smal kanaal (ten opzichte van de lengte van de getijbeweging) zien we op Fig. 1.17b dat wanneer de frictieparameter kleiner is dan de kritische waarde (open cirkeltje), i.e. 0 r À 0.11, de vlakke bodem de enige evenwichtsbodem is. Wanneer deze waarde overschreden wordt, beginnen de perturbaties te groeien en vormen ze een nieuwe, stabiele evenwichtsbodem (volle lijn duidt aan dat de evenwichtsbodem stabiel is). De vlakke bodem wordt een onstabiele configuratie (stippellijn duidt aan dat de evenwichtsbodem onstabiel is; de x-as wordt een stippellijn voor r Á 0.11). Voor nog hogere waarden voor de wrijvingsparameter (r Á 0.23) treedt een tweede bifurcatie op en verliest de statische oplossing zijn stabiliteit. Vanaf nu treden er stabiele, periodieke (in de tijd) oplossingen op. Fig. 1.17a toont de bodemconfiguratie voor de waarde van de wrijvingsparameter die overeenkomt met het pijlte in Fig. 1.17b. We zien nog de resten van de perturbatie met de kleinste golfgetallen (zie Fig. 1.16a). 24

25 (a) contourplot van de niet-lineaire perturbatie op een vlakke evenwichtsbodem in een smal kanaal. (b) Bifurcatiediagram met de frictieparameter op de x-as een maat voor de perturbatiegrootte op de y-as. Figuur 1.17 Voor een breed kanaal (grootteorde van de lengte van de getijbeweging) zien we op Fig. 1.18b dat wanneer de wrijvingsparameter de kritische waarde (r ) overschrijdt, de vlakke evenwichtsbodem onstabiel wordt en een daling van de wrijvingsparameter teweegbrengt, tot een bepaalde kleinere waarde, waarna een tweede bifurcatie optreedt (voor r ) en de bodem terug stabiel wordt. Er bestaat dus geen evenwichtsoplossing met kleine perturbaties en een wrijvingsparameter lichtjes hoger dan de kritische waarde. Voor waarden van de wrijvingsparameter hoger dan deze voor het tweede bifurcatiepunt maar kleiner dan de kritische waarde daarentegen, bestaan er twee verschillende evenwichtsoplossingen (een vlakke bodem en een bodem met grote perturbaties). Een derde bifurcatie geeft het verlies van de stabiliteit aan van deze tweede evenwichtsoplossing voor hogere waarden van de wrijvingsparameter (r Á ). Het bodemprofiel in Fig. 1.18a toont een kwalitatief en kwantitatief ander beeld dan in het geval van een smal kanaal. De zandbanken (pieken) lijken nu verbonden door dunnen bruggen, die de bodem verdelen in diepe, afgescheiden poelen. We zien echter nog steeds de resten van de snelst groeiende perturbatie. 25

26 (a) contourplot van de niet-lineaire perturbatie op een vlakke evenwichtsbodem in een smal kanaal. (b) Bifurcatiediagram met de frictieparameter op de x-as een maat voor de perturbatiegrootte op de y-as. Figuur 1.18 In dit artikel wordt niet enkel de initiële groeifase van de perturbaties bestudeerd, maar wordt ook naar de (niet-lineaire) groei op langere tijdschaal gekeken. Er worden ook gevoeligheidsanalyses uitgevoerd met betrekking tot de wrijvingsparameter. Dit zijn twee belangrijke aspecten, die wij ook willen behandelen in het komende onderzoek Ter Brake & Schuttelaars (2010) Net als in (Schuttelaars & de Swart, 1996) en in (Van Leeuwen et al., 2000), wordt in dit artikel uitgegaan van een kort en smal bekken, zodat een 1-dimensionale benadering gebruikt kan worden en zodat de amplitude van het getij ruimtelijk uniform is (ζ x 0). Bovenstaande modellen worden enerzijds uitgebreid en anderzijds gewijzigd. De vergelijking voor het sedimenttransport wordt uitgebreid met een term die de convergentie en divergentie uitdrukt van de horizontale sedimentflux ten gevolge van bodemvariaties. We kunnen dit als volgt inzien. De sedimentconcentratie is het hoogst vlak bij de bodem en neemt af met kleiner wordende diepte. Bijgevolg zal op een welbepaalde diepte de sedimentconcentratie hoger zijn in de ondiepere gebieden van het bekken en zal er dus een concentratiegradiënt zijn, die een horizontale sedimentflux veroorzaakt. De Figuur 1.19: Langse doorsnede van een bekken. Zwart is de bodem, hoe roder (blauwer), hoe hoger (lager) de sedimentconcentratie. Op een welbepaalde diepte is er een concentratiegradiënt tussen twee waterkolommen. 26

27 vergelijking voor het sedimenttransport wordt dan C t puc µc x q x µ w s βh x C κ v x αu 2 γβc, (1.10) waarbij β gedifinieerd is als in (1.7), w s de bezinkingssnelheid is van de deeltjes en κ v de verticale diffusiecoëfficiënt. De wijziging ten opzichte van de voorgaande modellen zit in de randvoorwaarde aan de zeewaartse zijde. In de voorgaande modellen werd h 0, verondersteld, zodat de waterdiepte aan de zeewaartse rand op voorhand gekend was. In dit artikel wordt het effect bestudeerd van randvoorwaarden h x 0 en h xx 0. Wanneer deze randvoorwaarden worden opgelegd, wordt de evenwichtstoestand bepaald voor alle mogelijk waterdieptes binnen een zeker interval, om vervolgens te kijken voor welke waterdiepte(s) aan de randvoorwaarde is voldaan. We bekijken eerst de invloed van de sedimentflux ten gevolge bodemvariaties, µ ws κ v βh x C. In Fig x zien we verschillende evenwichtsprofielen voor een toenemende mate van complexiteit in de vergelijking voor het sedimenttransport. (a) Enkel M2 (b) M2 en M4 (c) M2 en M4 plus sedimentflux Figuur 1.20: Evenwichtsprofielen van de bodem. t.g.v. bodemvariatie In Fig. 1.20a wordt enkel de M2-component van het getij beschouwd en wordt de invloed van de sedimentflux ten gevolge van bodemvariaties verwaarloosd. We zien we van onder naar boven: het bodemprofiel wanneer β 1 (zoals besproken in (Schuttelaars & de Swart, 1996)), het bodemprofiel voor variërende beta, maar met enkel advectietermen (µ 0), het bodemprofiel voor variërende beta, met zowel advectie als diffusietermen (zoals besproken in (Van Leeuwen & de Swart, 2001)) en het meest convexe profiel is voor variërende beta, maar met enkel diffusietermen. In Fig. 1.20b wordt ook de M4-component van het getij in rekening gebracht, maar niet de sedimentflux ten gevolge van bodemvariaties. Wat meteen opvalt is dat de evenwichtsprofielen een stuk korter zijn dan in het vorige geval. Voor langere bekkens kan geen evenwichtstoestand gevonden worden binnen dit model. We zien ook een zeer sterke afhankelijkheid van de evenwichtsprofielen voor het faseverschil tussen de M 2- en de M4-component van het getij. In Fig. 1.20c wordt ten slotte ook nog de sedimentflux ten gevolge van bodemvariates in rekening gebracht. Dit blijkt essentieel te zijn om oplossingen te verkrijgen, die vergeleken kunnen worden met waargenomen 27

28 morphodynamische evenwichten. Deze term heeft duidelijk een stabiliserend effect, aangezien nu opnieuw evenwicht mogelijk is voor langere bekkens. Daar staat tegenover dat de gevoeligheid voor de parameters µ en w s κ v (die beide voorkomen in de nieuwe term) toeneemt. Zo zien we dat voor een µ-waarde die een grootteorde kleiner is, er geen evenwichtstoestand meer gevonden kan worden voor langere bekkens (bovenste grafiek in de figuur). De ws κ v -afhankelijkheid kan men als volgt inzien. Een lage ws κ v -waarde wijst erop dat het sediment goed gemengd is in de waterkolom, zodat de invloed van de sedimentflux t.g.v. bodemvariaties kleiner is en omgekeerd. Een wijziging van de parameter ws κ v kan een omslag betekenen van een convex naar een concaaf evenwichtsprofiel. De convexiteit hangt ook af van het faseverschil tussen de M 2- en de M 4-component van het getij en van de lengte van het bekken. Vervolgens bekijken we de invloed van verschillende randvoorwaarden aan de zeezijde. We variëren hiervoor de diepte aan de zeezijde van 3 tot 30 meter en berekenen voor elke diepte de evenwichtsconfiguratie (gebruik makende van de volledige vergelijking (1.10)). De voorwaarde h x 0 of h xx 0 is dan een extra beperking, waaraan de evenwichtsbodem moet voldoen. Deze aanpak werkt, aangezien we op zoek zijn naar evenwichtsbodems, i.e. bodems met een vaste diepte aan de zeezijde. In Fig. 1.21a zien we dat voor de referentieparameters er geen evenwichtsbodems bestaan die voldoen aan de voorwaarde h x 0. Er zijn daarentegen twee evenwichtsoplossingen die voldoen aan de voorwaarde h xx 0, een ondiepe en min of meer lineair oplopende oplossing en een diepe, concave oplossing (zie Fig. 1.21b). Deze oplossingen zijn sterk afhankelijk van de lengte van het bekken en ook van het faseverschil tussen de M2- en de M4 component van het getij. Zo is er voor andere waarden van het faseverschil wel één evenwichtsoplossing mogelijk die voldoet aan de voorwaarde h x 0 en die tussen de twee oplossingen ligt die voldoen aan h xx 0. (a) Waarden voor de eerste en tweede afgeleide van h aan de zeezijde in functie van de diepte aan de zeezijde. (b) Twee evenwichtsprofielen die aan de zeezijde voldoen aan de randvoorwaarde h xx x0 0. Figuur 1.21: Invloed van de randvoorwaarden aan de zeezijde Ter Brake & Schuttelaars (2011) In (Van Leeuwen & de Swart, 2001) werd het lineaire, 2-dimensionale model van (Schuttelaars & de Swart, 1999) uitgebreid met niet-lineaire advectietermen in de momentumvergelijking. In deze voorgaande artikels werden de groeiende bodemperturbaties gevonden aan de zeewaartse zijde of in het midden van het bekken. Complexe proces-gebaseerde modellen, zoals (Van der Wegen & Roelvink, 2008), toonden echter aan dat de initiële groei van perturbaties aan de landwaartse zijde plaatsvindt. In dit artikel wordt dit model daarom verder uitgebreid met een diepteafhankelijke depositieparameter β, zoals ingevoerd in (1.7), en met termen 28

29 die de convergentie en divergentie uitdrukken van de horizontale sedimentflux ten gevolge van bodemvariaties, zoals in (Ter Brake & Schuttelaars, 2010). Daarnaast worden ook de termen die de bodemwrijving voorstellen, lichtjes aangepast tot r u H h ζ h 0. (1.11) In de voorgaande artikels (met h 0 0) wordt deze term gelineariseerd in de veronderstelling dat overal in het bekken geldt dat h ζ! H (m.a.w. de Taylorontwikkeling wordt na twee termen afgebroken). In dit artikel wordt deze term niet gelineariseerd. De parameter h 0 zorgt ervoor dat de wrijving niet opblaast als de waterdiepte naar nul gaat. Dit levert dan het volgende stelsel op ζ t rph h ζq us 0 ζ 0 rv Ω t p uωq H h ζ h 0 C t x ru H h ζ h 0 p uc µ C µ w s κ v βc hq αu 2 γβc ρ s p1 pqh τ xαu 2 γβcy λ 2 h, y (1.12a) (1.12b) (1.12c) (1.12d) (1.12e) Er wordt opnieuw onderzocht wat de invloed is van 2-dimensionale perturbaties op de 1-dimensionale evenwichtsoplossing om zo de initiële groei van bodemvariaties te bestuderen. Wat meteen opvalt in Fig is dat dat de initiële perturbaties zich, in tegenstelling tot in (Schuttelaars & de Swart, 1999) en in (Van Leeuwen & de Swart, 2001), aan de landwaartse zijde van het bekken bevinden. Dit verschil in resultaat kan verklaard worden door het niet lineariseren van de term voor de bodemwrijving. Een perturbatie met een bepaald golfgetal kan pas beginnen groeien bij een voldoende hoge bodemwrijvingscoëfficiënt, r. Het al dan niet groeien van een perturbatie wordt bepaald door de gecombineerde invloed van de verschillende sedimentfluxen. Op Fig. 1.22c zien we de (de)stabiliserende invloed van de verschillende sedimentfluxen. De destabiliserende, diffusieve flux (F diff µ C) en de stabiliserende, horizontale flux ten gevolge van bodemvariaties (F vd µ ws κ v βc h) zijn veel groter dan de overige fluxen, maar neutraliseren elkaar bijna volledig, zoals te zien is in Fig. 1.22b (in Fig. 1.22c wordt enkel hun gemeenschappelijke bijdrage getoond). De (intern en extern gegenereerde) advectieve flux (F int, F ext ) en de stabiliserende, gravitationeel geïnduceerde bodemflux (F bl λ h) zijn veel kleiner, maar spelen dus toch een belangrijke rol. De gezamenlijke bijdrage van alle sedimentfluxen is lichtjes destabiliserend, zodat de perturbaties kunnen beginnen groeien. We zullen ook nog kort de gevoeligheid van dit model bespreken aan enkele parameters, zoals de bezinkingssnelheid van de deeltjes, w s en de parameter h 0. Een verandering in w s leidt tot een verandering in w s κ v (in dit artikel aangeduid als het Péclet-getal). We zien in Fig. 1.23b dat voor een stijgend Péclet-getal de evenwichtsbodem steeds dieper wordt aan de landwaartse zijde. Dit wil zeggen dat de wrijvingseffecten gedempt worden, hetgeen leidt tot een verzwakking van de destabiliserende sedimentfluxen, zoals te zien is in Fig. 1.23a. Voor een groter Péclet-getal zijn de evenwichtsconfiguraties bijgevolg stabiel. De parameter h 0 is ingevoerd om te voorkomen dat de bodemwrijvingsterm explodeert voor zeer kleine waterdieptes. Aangezien h 0 in de noemer staat van de bodemwrijvingsterm, geldt dat kleinere waarden voor h 0 leiden tot sterkere effecten van de bodemwrijving en bijgevolg meer instabiliteit. Vanaf een bepaalde 29

30 (b) (a) Figuur 1.22: (a) Contourplot van het bekken. Wit(zwart) staat voor een positieve(negatieve) amplitude van de perturbatie. (b) en (c) Een doorsnede in het xz-vlak langs de zwarte lijn in (a), waarop enerzijds de bodemperturbatie wordt weergegeven en anderzijds de (de)stabiliserende invloed van de verschillende sedimentfluxen. Van de diffusieve sedimentflux en de flux ten gevolge van bodemvariaties wordt enkel de gemeenschappelijke bijdrage getoond in (c), aangezien deze veel groter is dan de (som van de) overige fluxen, maar elkaar grotendeels neutraliseren. (c) waarde voor h 0 wordt de evenwichtsbodem bijgevolg stabiel, zoals we kunnen zien in Fig. 1.24a. Voor nog grotere waarden van h 0 zien we in Fig. 1.24b dat de postie van de grootste perturbatie plots verschuift naar de zeewaartse zijde van het bekken. Voor relatief grote waarden van h 0 is de linearisatie, die gebruikt werd in voorgaande artikels, echter gerechtvaardigd en dit resultaat is dan ook comform met de resulaten uit de voorgaande artikels. In dit artikel wordt een hogere mate van realisme bereikt, maar ook de complexiteit verhoogt. Het invoeren van de parameter h 0 maakt de zaken er geenszins eenvoudiger op. In ons toekomstig werk zullen we eveneens steeds de afweging moeten maken tussen de mate van realiteit en complexiteit Lanzoni & Seminara (2002) Naast de Nederlandse onderzoeksgroep met onder andere Schuttelaars, de Swart en Schramkowski, doet ook een Italiaanse groep onderzoek naar geïdealiseerde modellen van getijdebekkens. In dit artikel wordt een kanaal besproken dat onderhevig is aan het getij en een convergerende vorm heeft. Dit wil zeggen dat de 30

31 (a) De (de)stabiliserende invloed van de verschillende sedimentfluxen. (b) De 1-dimensionale evenwichtsbodem voor verschillende waarden van het Péclet-getal. Figuur 1.23: Gevoeligheid van het model aan het Péclet-getal. (a) De (de)stabiliserende invloed van de verschillende sedimentfluxen. (b) Longitudinale locatie van de maximale bodemperturbatie. Figuur 1.24: Gevoeligheid van het model aan de parameter h 0. breedte van het kanaal voldoet aan volgende formule x L B B 0 e b, (1.13) waarbij B 0 de breedte van het kanaal is aan de zeewaartse zijde, x de longitudinale coördinaat en L b de convergentielengte. In dit artikel worden dimensievolle grootheden met een sterretje aangeduid. Vermits in deze literatuurstudie enkel met dimensievolle grootheden wordt gewerkt en om de uniformiteit te behouden, worden deze sterretjes in de tekst achterwege gelaten. Verder wordt in dit artikel (en bijgevolg ook in de figuren, die uit het artikel zijn overgenomen) de notatie η gebruikt voor de hoogte van de bodem, waar wij verder de notatie h zullen blijven gebruiken. Het kanaal heeft een arbitraire lengte. Er wordt gewerkt met een 1-dimensionaal, niet-lineair model. Dit leunt bijgevolg dicht aan bij het model uit (Schuttelaars & de Swart, 2000), al zijn er enkele belangrijke verschillen. Zoals reeds gezegd, gaat het hier niet langer om een rechthoekig kanaal, maar om een convergerend kanaal, zoals in de meeste estuaria het geval is. Verder wordt het herhaardelijk droogvallen van het 31

32 Figuur 1.25: Schets van een convergerend kanaal, met de gebruikte symbolen. meest ondiepe gebied, dat zich na verloop van tijd vormt aan het meest landwaartse deel van het kanaal, in rekening gebracht. Er wordt hierbij gebruik gemaakt van de aanpak van (Defina, 2000). Daarnaast wordt de oorspronkelijke vorm van de bodemwrijvingsterm gebruikt ( u} u}), in plaats van de lineaire benadering ( u). Deze lineaire benadering is een goede benadering indien de waterdiepte overal groot genoeg is, zoals in (Schramkowski et al., 2002), maar is niet langer aanvaardbaar wanneer de waterdiepte zeer klein wordt. In (Schuttelaars & de Swart, 2000) en (Ter Brake & Schuttelaars, 2011), wordt dit probleem op een artificiële manier omzeild, maar hier wordt geopteerd om met de oorspronkelijke, niet-lineaire vorm te werken. Een ander zeer belangrijk verschil is dat de vergelijking voor de dieptegemiddelde sedimentconcentratie C expliciet apart wordt opgelost en dus geen deel uitmaakt van het stelsel partiële differentiaalvergelijkingen. Met behulp van analytische benaderingen en (semi-)empirische formules worden op die manier formules opgesteld voor het sedimenttransport in suspensie en langs de bodem. De uitgemiddelde formules kunnen dan rechtstreeks in de vergelijking voor de bodemverandering worden geïmplementeerd. Dit geeft dan p1 pqb Bh Bτ BBxSy Bx waarbij S het totaal sedimenttransport per eenheidsbreedte is. 0, (1.14) Een laatste belangrijk verschil is dat de zeer strenge randvoorwaarde h 0 aan de zeewaartse zijde, hier niet langer wordt opgelegd. Het bodemprofiel evolueert in de tijd totdat overal in het kanaal een evenwichtstoestand wordt bereikt. Deze aannames hebben tot gevolg dat er niet langer (deels) analytisch kan gewerkt worden, maar dat evenwichtsoplossingen numeriek moeten bepaald worden. Er wordt hierbij gebruik gemaakt van de predictor-corrector eindige differentiemethode van MacCormack. Het is belangrijk om op te merken dat, in tegenstelling tot de artikels van de Nederlandse onderzoeksgroep, hierbij in de tijd wordt gestapt. Evenwichtsconfiguraties worden dus niet rechtstreeks berekend, maar worden verondersteld wanneer de getijgemiddelde sedimentflux klein genoeg is. In Fig zien we de evolutie in de tijd van een sterk convergerend en van een recht kanaal. In beide gevallen zien we dat het sediment aan de zeewaartse zijde uitgeschuurd en naar het midden en de landwaartse zijde 32

33 (a) Een sterk convergend kanaal. (b) Een recht kanaal. Figuur 1.26: De evolutie van een intitieel vlakke bodem naar een evenwichtstoestand voor een sterk convergerend (a) en recht (b) kanaal, van ongeveer 30km en met enkel een M 2-component. getransporteerd wordt. Er onstaat dus een sedimentfront dat landwaarts migreert. Wanneer dit front het einde van het kanaal bereikt, wordt het gereflecteerd, waardoor er aan de landwaartse zijde een zeer ondiep gebied ontstaat (een strand). Hierbij moet opgemerkt worden dat de uiteindelijke bodemprofielen quasievenwichtstoestanden zijn. Inderdaad, in Fig zien we dat de naarmate het bodemprofiel evolueert de sedimentflux asymptotisch kleiner wordt. Als we beide gevallen (convergerend en recht) met elkaar vergelijken, zien we dat de convergentie slechts een matige invloed heeft. Voor een recht kanaal heeft de bodemhelling een nagenoeg constante waarde, hetgeen in overeenstemming is met (Schuttelaars & de Swart, 1996) (zie Fig. 1.2). (a) Een sterk convergend kanaal. (b) Een recht kanaal. Figuur 1.27: De evolutie in de tijd van de netto sedimentflux in het kanaal. Het is moeilijk om data te vergaren omtrent de (natuurlijke) evolutie in de tijd van het bodemprofiel in echte estuaria. Er kan echter wel een vergelijking gemaakt worden met bodemprofielen van vrij stabiele getijgevoelige kanalen zoals de noordelijke kanalen in de Venetiaanse lagune. In Fig zien we een vergelijking tussen de data en de voorspellingen van het model, waarbij de parameters bepaald werden aan de hand van zowel meetdata als van complexe proces-gebaseerde modellen. Ondanks de vele aannames en vereenvoudi- 33

34 gingen in dit model, zien we toch een behoorlijke overeenkomst tussen de data en de voorspellingen van het model. Figuur 1.28: Geobserveerde bodemprofielen voor enkele stabiele, getijgevoelige kanalen in de lagune van Venetië (volle lijn), vergeleken met de evenwichtsprofielen, berekend met het 1-dimensionale model. In dit artikel wordt niet langer gewerkt in een rechthoekig kanaal, maar in een convergerend, recht kanaal. Het is onze bedoeling dit uit te breiden naar kanalen die niet langer recht zijn. Voorts wordt in dit artikel een 1-dimensionale aanpak gehanteerd en worden evenwichten gezocht door te stappen in de tijd, waar wij rechtstreeks evenwichten willen berekenen in een 2-dimensionaal model Todeschini et al. (2003)/ Todeschini et al. (2008) We bespreken deze twee artikelen als één, aangezien ze zeer gelijklopend zijn. In dit artikel wordt een vereenvoudigd model gehanteerd ten opzichte van (Lanzoni & Seminara, 2002), maar dit laat toe om dieper in te gaan op de invloed op lange termijn van de convergentie en ook van de lengte van het kanaal. De numerieke methoden zijn wel dezelfde als in (Lanzoni & Seminara, 2002). In Fig zien we de evolutie van het longitudinale bodemprofiel, doorheen de tijd voor een relatief kort en een lang kanaal; beide kanalen zijn convergent en hebben dezelfde convergentielengte (160km). Indien de lengte van het kanaal voldoende klein is, zal het sedimentfront zich doorheen het volledige kanaal voortplanten en krijgen we uiteindelijk een evenwichtsconfiguratie, waarvan de lengte even groot is als de oorspronkelijke lengte van het kanaal. Dit is consistent met de resultaten van (Lanzoni & Seminara, 2002), wat te verwachten was, aangezien dezelfde aanpak werd gehanteerd. Deze resultaten zijn echter ook min of meer in overeenkomst met deze van (Schuttelaars & de Swart, 2000), zoals te zien is in Fig. 1.7, waar evenwichtsconfiguraties getoond worden voor rechte kanalen met gelijkaardige lengteschalen. De evenwichtsbodems zijn echter minder concaaf, dan in (Schuttelaars & de Swart, 2000), maar deze concaviteit, die weinig wordt waargenomen in echte estuaria, is te verklaren door de strenge randvoorwaarde (h 0), die wordt opgelegd aan de zeewaartse zijde. We kunnen hieruit besluiten dat voor relatief korte kanalen, de invloed van convergentie niet zo groot is. In Fig. 1.29b daarentegen, zien we dat er zich voor zeer lange kanalen een ander scenario voordoet. Hier stopt het sedimentfront, dat zich landwaarts voortbeweegt op een bepaalde afstand van de landwaartse zijde van het kanaal, aangezien er midden in het kanaal reeds een strand wordt gevormd. Dit staat een verdere ontwikkeling van het kanaal in de weg, zodat in dit geval de evenwichtsbodem, slechts een deel van de totale lengte van het oorspronkelijke bodemprofiel inneemt. Dit is in overeenstemming met de bevinding uit 34

35 (a) Een relatief kort kanaal (160km). (b) Een lang kanaal (480km). Figuur 1.29: Evolutie van een initieel vlakke bodem naar een evenwichtstoestand voor een relatief kort (a) en lang (b), convergerend kanaal, met convergentielengte 120km. Merk op dat in de tekst de notatie h wordt gebruikt voor de bodemhoogte i.p.v. η. (Schuttelaars & de Swart, 2000) dat vanaf een bepaalde lengte, een bekken zich vult met sediment tot de maximale lengte waarvoor evenwichtsbodems mogelijk zijn. In Fig wordt een samenvattende grafiek gegeven van de vele numerieke simulaties die door de auteurs zijn uitgevoerd. De lengte van de evenwichtsbodem (gedifinieerd als de afstand tussen de zeewaartse zijde en het gevormde strand of de afstand tussen de zeewaartse zijde en de landwaartse zijde, indien er zich geen strand vormt) wordt er geplot tegenover de initiële lengte van het kanaal en dat voor verschillende convergentielengtes. We zien eerst en vooral dat voor zeer korte kanalen de evenwichtsbodem altijd even lang is als het initiële profiel. Verder valt ook op dat in een recht kanaal (L b Ñ 8) het initiële en het evenwichtsprofiel even lang zijn, tenzij voor heel erg lange kanalen ( 500km voor de gebruikte parameterset). Voor sterk convergerende kanalen zullen vanaf een bepaalde initiële kanaallengte, de evenwichtsprofielen korter worden. Samengevat kunnen we stellen dat, heel korte kanalen buiten beschouwing gelaten, voor een bepaalde lengte van het kanaal geldt dat hoe sterker de convergentie is, hoe korter het evenwichtsprofiel zal zijn. We merken ten slotte nog op dat voor een bepaalde convergentielengte, de lengte van het evenwichtsprofiel convergeert naar een bepaalde asymptotische waarde en bijgevolg onafhankelijk wordt van de initiële lengte van het kanaal. Naast de initiële lengte en de convergentielengte, hebben ook nog andere parameters een invloed op de evenwichtsconfiguratie, zoals de bodemwrijving en de amplitude van het getij. In Fig. 1.31b zien we dat de bodemwrijving een sterkere invloed heeft in rechte en zwak convergente kanalen en bijna geen invloed heeft in zeer sterk convergerende kanalen. Voor zwak convergerende kanalen geldt dat hoe groter k s (dit is de Strickler-coëfficiënt, gelijk aan de inverse van de Manning-coëfficiënt, die varieert van 20 (ruwe steen) tot 80 m 1{3 {s (glad beton)) en dus hoe kleiner de bodemwrijvingscoëfficiënt r 1ks, hoe langer het uiteindelijke bodemwrijvingsprofiel zal zijn. Dit is eveneens te zien in Fig. 1.31a. De invloed van de amplitude van het getij is eveneens zeer sterk, aangezien het mede de snelheid bepaalt. Een hogere amplitude heeft een grotere uitschuring aan de zeewaartse zijde tot gevolg, wat leidt tot een sterkere helling van de bodem en bijgevolg tot een korter evenwichtsprofiel, zoals we duidelijk kunnen zien in Fig. 1.31c en Fig. 1.31d. 35

36 Figuur 1.30: Lengte van de evenwichtsbodem van het kanaal (L a ) in functie van de initiële lengte van het kanaal (L e ), voor verschillende convergentielengtes (L b ). Sterretjes duiden opnieuw dimensievolle grootheden aan. In de tekst worden deze sterretjes achterwege gelaten Todeschini et al. (2006) In dit artikel wordt hetzelfde 1-dimensionaal hydrodynamisch model gebruikt als in de voorgaande artikels, maar een andere variant van de Exner-vergelijking voor de bodemverandering. In dit artikel wordt immers de invloed onderzocht van een in de tijd variërende breedte van het kanaal. Dit wil zeggen dat de verticale zijwanden van het kanaal niet langer vast zijn, maar onderhevig aan erosie en bijgevolg variabel in de tijd. De vergelijking voor de bodemverandering, (1.14), herleidt zich in dit geval tot p1 pqb Bh Bτ BBxSy Bx ph h ζq BB Bτ. (1.15) Verder worden twee verschillende landwaartse randvoorwaarden bestudeerd. Enerzijds hebben we een gesloten wand en anderzijds hebben we een niet te verwaarlozen debiet vanuit de rivier en dus ook een inkomend sedimenttransport vanuit de rivier. In tegenstelling tot de bodemerosie, die op een vrij natuurlijke manier in een 1-dimensionaal model kan geïmplementeerd worden, hangt de erosie aan de zijwanden sterk af van de lokale snelheid, die heel anders kan zijn dan de doorsnedegemiddelde snelheid. Er wordt hiervoor dan een formule uit de literatuur omtrent rivieren ingevoerd, die oplegt dat het kanaal wijder kan worden, zodra de grootte van de doorsnedegemiddelde snelheid een bepaalde kritische waarde overschrijdt, u 2 Bτ k 1, voor u u cr, (1.16) u 2 cr waarbij k een laterale erosiecoëfficiënt is. Ook het bepalen van een evenwichtstoestand is minder evident voor de zijwanden. Op Fig zien we dat het bodemprofiel stabiel wordt na verloop van tijd, terwijl de breedte blijft toenemen. Dit komt omdat de mate van erosie aan de zijwanden bepaald wordt door de pieksnelheden en niet door de getijgemiddelde snelheden. Deze pieksnelheden hangen slechts in beperkte mate af van de breedte van het kanaal, waardoor de kritische snelheid, die nodig is voor het bereiken van een evenwicht van de zijwanden, niet altijd wordt bereikt. We kunnen in dit geval dus enkel spreken van 36

37 (a) (b) (c) (d) Figuur 1.31: Evenwichtsconfiguraties voor verschillende waarden van k s 1 r (a) en voor verschillende waarden van de amplitude van het getij, a 0 (c). De lengte van het evenwichtsprofiel voor verschillende waarden van k s wordt ook geplot in functie van de convergentielengte van het kanaal (c) en in functie van de amplitude van het getij (d). quasi-evenwichtstoestanden. Verder zien we dat de invloed van de veranderende breedte van het kanaal op het bodemprofiel eerder beperkt is. Het is namelijk zo dat de breedte van het kanaal de stroming vooral beïnvloedt door de mate van convergentie, eerder dan door de lokale waarde voor de breedte. In dit artikel wordt ook de invloed bestudeerd van een debiet komende van de rivier. Het invoeren van een debiet heeft een grote invloed op de evenwichtsconfiguratie. Eerst en vooral wordt er geen strand meer gevormd in het kanaal, verder is de hellingsgraad van het bodemprofiel kleiner en de diepte aan de zeewaartse zijde groter dan in het geval zonder debiet van de rivier, aangezien we naast een landwaartse sedimentflux nu ook een zeewaartse sedimentflux, komende van de rivier, hebben. Het debiet heeft tot slot ook tot gevolg dat het profiel van de breedte van het kanaal Bpxq een convexe vorm krijgt, zoals te zien is in Fig. 1.33b, die vrij goed het experimenteel vastgestelde exponentieel profiel benadert. Het toevoegen van een variërende breedte en zeker van een debiet vanuit een rivier verhogen het realisme van het model. Een debiet vanuit een rivier is zeker en vast een optie die ook in ons model overwogen dient te worden. 37

38 (a) Bodemprofiel. (b) Breedte van het kanaal. Figuur 1.32: De evolutie op lange termijn van de bodem en de zijwanden (breedte) van het kanaal. Het kanaal is duidelijk convergent. Hoewel de bodem na verloop van tijd stabiliseert, blijft het kanaal verbreden. We spreken hier van een quasi-evenwichtstoestand. (a) Bodemprofiel. (b) Breedte van het kanaal. Figuur 1.33: De configuratie op lange termijn van de bodem en de zijwanden (breedte) van het kanaal voor een gesloten landwaartse rand ( ) en een inkomend debiet van een rivier aan de landwaartse zijde ( ). 1.3 Experimentele studies Het opstellen van een model is één zaak. Om de deugdelijkheid van een model te testen is het belangrijk om de bekomen resultaten te toetsen aan de werkelijkheid. Dit kan op twee manieren. Men kan vergelijken met data uit de natuur, maar deze zijn in veel gevallen beperkt en men heeft geen invloed op de parameters. Een tweede manier is vergelijken met data bekomen uit experimenten in een laboratorium, waar onderzoekers wel (alle) parameters in de hand hebben en dikwijls veel meer data kunnen produceren om mee te vergelijken. In tegenstelling tot het theoretische werk rond evenwichtsconfiguraties in getijgevoelige bekkens, dat met (Schuttelaars & de Swart, 1996) begon in 1996, liet het experimentele luik op zich wachten tot 2005, met (Tambroni et al., 2005). Dit is grotendeels te verklaren door de morfologische tijdschaal, die veel langer is dan de hydrodynamisch tijdschaal, waardoor experimenten al snel een tijdsduur hebben van de orde dagen 38

39 tot weken. Toch zijn labo-experimenten zeker de moeite om uit te voeren, aangezien ze beter te interpreteren zijn dan grootschalige veldexperimenten. We zullen hieronder enkele experimentele opstellingen en resultaten bespreken omtrent getijgevoelige kanalen Tambroni et al. (2005) De Italiaanse onderzoeksgroep onder leiding van Seminara en Lanzoni, besloot om naast een theoretisch luik, ook een experimenteel luik op te starten aan hun onderzoek omtrent de morfologische evolutie van getijgevoelige kanalen. In een eerste experimentele studie hebben ze twee experimenten uitgevoerd: één met een recht kanaal (24,14m), met een constante breedte (0,3m), waarbij de wanden van het aangrenzende bassin (dat de zee voorstelt) een hoek van 90 vormt met de wanden van het kanaal zelf, en een ander met een convergerend kanaal (22,14m). Beide kanalen zijn achteraan gesloten en hebben verticale wanden. Een oscillerend debiet wordt in het bassin geleid vanuit een tank, waarin een getijgenererend apparaat is geïnstalleerd. Op Fig. 1.34a zien we een schets van de beide opstellingen. (a) Schets van de experimentele opstelling. (b) Distributie van de korrelgrootte van het sediment. (c) Kanaal met verticale wanden en sediment op de bodem. Figuur 1.34: Fysieke eigenschappen van het experimenteel model. Op de bodem van het kanaal en van het bassin wordt een voldoende dikke laag cohesieloos granulair materiaal aangebracht, ten einde een vlakke bodem te hebben als initiële conditie. De grootte van het granulair materiaal is van de grootteorde van fijn zand en leem (zie Fig. 1.34b), zodat het sedimenttransport zowel in 39

40 suspensie als langs de bodem plaatsvindt. Tijdens beide experimenten werd de waterhoogte continu gemeten met behulp van ultrasone sondes. De oppervlaktesnelheid werd gemeten aan de hand van een particle tracking -techniek. De bodemtopografie in het kanaal en in het bassin, ten slotte, werd gescand op verschillende tijdstippen doorheen de experimenten en langsheen verschillende doorsnedes (om de 5cm), door middel van lasersysteem. In elke doorsnede werd bodemhoogte gemeten elke halve centimeter. De gemiddelde longitudinale bodemconfiguratie werd dan bekomen door lateraal het gemiddelde te nemen van de bodemhoogtes in elke doorsnede. De belangrijkste observatie was dat sediment werd uitgeschuurd in het zeewaartse deel van het kanaal om landinwaarts getransporteerd en in het middengedeelte gedeponeerd te worden. Als gevolg hiervan ontstaat een front in het bodemprofiel dat landinwaarts migreert. Wanneer dit front het gesloten uiteinde van het kanaal bereikt, ontstaat er een gebied dat periodiek droogvalt en uiteindelijk leidt tot de vorming van een strand. Merk op dat de afmetingen van het kanaal zo zijn gekozen, dat de lengte van de evenwichtsbodem even groot is als de initiële lengte van het kanaal. In Fig. 1.35a zien we een vergelijking tussen de theoretisch berekende en de experimenteel vastgestelde bodemprofielen op verschillende tijdstippen, tijdens experiment 1. De ruis in de experimentele data zijn te verklaren door kleinschalige bodemvormen, die niet teruggevonden worden door het eenvoudige 1-dimensionale theoretische model van (Lanzoni & Seminara, 2002), terwijl de grotere oscillaties de laterale gemiddeldes zijn van de zandbanken (tidal bars). Wanneer we het bodemprofiel na 1000 periodes vergelijken met het bodemprofiel na 2000 periodes, dan zien we dat de bodemconfiguratie niet ver van haar evenwicht verwijderd was aan het eind van het experiment. Het netto transport van sediment neemt asymptotisch af naarmate de bodem zijn evenwichtstoestand bereikt, zodat steeds betere benaderingen van de evenwichtsconfiguratie zeer veel tijd zouden vragen, zelfs in een laboratorium. De evolutie van het bodemprofiel in het tweede experiment is in veel opzichten gelijkaardig aan dat van het eerste experiment, zoals te zien is in Fig. 1.35b. In het tweede experiment is er een sterkere depositie van sediment in het landwaartse deel van het kanaal, ten gevolge van de convergente vorm van het kanaal, en hebben de longitudinale oscillaties een grotere amplitude en golflengte. Hoewel de algemene trend vrij goed wordt gereproduceerd door het theoretische model, zijn er toch nog een paar opmerkelijke verschillen. Het geobserveerde bodemprofiel neigt sneller naar een evenwicht dan het berekende bodemprofiel. Dit ligt aan de uitwisseling van sediment tussen het kanaal en het bassin, terwijl deze uitwisseling getijgemiddeld nul is in het 1-dimensionale model. Dit verschil wordt kleiner naarmate het experiment vordert, aangezien de berekende evenwichtsconfiguratie in goede overeenkomst is met het experimenteel bepaalde evenwichtsprofiel, behalve in de buurt van de zeewaartse rand van het kanaal, waar een sterke erosie plaatsvindt ten gevolge van stroomlijnconvergentie en 3-D effecten, die niet in het theoretisch model bevat zitten. Dit wijst erop dat een degelijk model van de morfodynamische evolutie van getijgevoelige kanalen op zijn minst 2-dimensionaal moet zijn in de buurt van de zeewaartse zijde Garotta et al. (2007) In een tweede experimentele studie van de Italiaanse onderzoeksgroep, wordt de morfodynamische evolutie onder de loep genomen van een meanderend kanaal, verbonden aan een bassin onder invloed van een getij. De kromming van het kanaal heeft een invloed op de laterale structuur van het bodemprofiel. De meanders in een getijgevoelig kanaal vertonen immers enkele gelijkenissen met riviermeanders, meer bepaald ontstaat er depositie aan binnenbocht en erosie aan de buitenbocht. De vorming van deze patronen is te wijten aan 40

41 (a) Experiment 1. (b) Experiment 2. Figuur 1.35: Vergelijking van het doorsnedegemiddelde bodemprofiel, zoals geobserveerd in de experimenten op verschillende tijdstippen en de theoretische voorspellingen uit (Lanzoni & Seminara, 2002) ( (a) 80 T ; (b) 200 T ; (c) 250 T ; (d) 370 T ; (e) 1000 T ; and (f) 2000 T, met T de periode van het getij). secundaire stroming, die het pad van sedimentdeeltjes beïnvloedt. In deze studie wordt vooral aandacht besteed aan het doorsnedegemiddelde bodemprofiel en aan het erosie-depositiepatroon in de bochten. Daarnaast wordt ook de vorming en evolutie besproken van een kanaalpatroon in het getijbassin. In de literatuur is zeer veel te vinden over deze kanaalpatronen 1, maar wij zullen er hier verder geen aandacht aan besteden. De experimenten werden uitgevoerd in een 21, 3m lange en 0, 4m brede goot, waarvan het ene uiteinde gesloten is en het andere uiteinde verbonden is met een rechthoekig bassin (6, 5m 2, 23m) dat de zee voorstelt. Het kanaal bevat 5 meanders met een golflengte van 1, 7m, aan elk uiteinde verbonden aan een rechtstuk van 1m. Een oscillerend debiet wordt toegevoegd aan het rechthoekig bassin vanuit een tank waarin een apparaat voor getijgeneratie wordt aangebracht. Op Fig is een schets van de opstelling te zien. Op de bodem van het kanaal en het bassin wordt een voldoende dikke laag cohesieloos granulair materiaal aangebracht, dat licht genoeg is om in suspensie getransporteerd te worden. Twee verschillende experimenten werden uitgevoerd, telkens met een verschillende initiële waterdiepte. Net zoals in het geval van een recht kanaal, onstaat ook hier een landwaarts gerichte sedimentflux. Sediment 1 Omtrent kanaalpatronen in getijgevoelige bassins bestaat er literatuur betreffende geïdealiseerde modellen, zoals (Van der Vegt et al., 2006) en (Marciano et al., 2005), experimentele studies, zoals (Stefanon et al., 2010), (Vlaswinkel & Cantelli, 2011) en (Kleinhans et al., 2012), en proces-gebaseerde modellen, zoals (van Maanen et al., 2013). 41

42 Figuur 1.36: Schets van de experimentele opstelling. wordt uitgeschuurd in het zeewaartse deel van het kanaal en landinwaarts getransporteerd, zoals theoretisch voorspeld in (Lanzoni & Seminara, 2002). In Fig. 1.37a zien we de evolutie van het bodemprofiel voor het eerste experiment (met de grootste initiële waterdiepte). We zien meteen een sterke erosie in het zeewaartse deel en een sedimentfront dat zich ontwikkelt en landwaarts migreert, tot de bodemhoogte het gemiddelde waterpeil bereikt. De kleinschalige oscillaties komen overeen lokale bodemvormen. Grotere fluctuaties zijn van de grootteorde van de meanders. Deze fluctuaties, die vooral in de beginfase sterk aanwezig zijn, worden waarschijnlijk veroorzaakt door de neiging van het bodemprofiel om te compenseren voor de ruimtelijke variatie van het sedimenttransport, ten gevolge van de kromming van het kanaal. Er vindt immers extra sedimenttransport plaats in de meanders, aangezien er meer erosie is in de buitenbocht en meer depositie in de binnenbocht. Deze toename van sedimenttransport wordt geneutraliseerd door een afname van de bodemhelling afwaarts van de bocht. Omdat de kromming in dit geval niet constant is, zal de bodemhelling ruimtelijke variaties vertonen op de meanderschaal. (a) Experiment 1. (b) Experiment 2. Figuur 1.37: Het doorsnede-gemiddelde bodemprofiel, zoals geobserveerd in de experimenten op verschillende tijdstippen. In Fig. 1.37b zien we twee latere fasen in de evolutie van de bodem. In dit geval blijven de grootschalige oscillaties manifest aanwezig tot in het finale stadium. Het feit dat ze vooral voorkomen aan de zeewaartse zijde, suggereert dat ze het gevolg zijn van een instabiliteit, veroorzaakt door de zeewaartse randvoorwaarde, in combinatie met de hierboven beschreven theorie omtrent meanders. Het gebrek aan een sluitende theorie laat hierover nog geen conclusies toe. 42

43 Wanneer dieper wordt ingegaan op het erosie-depositiepatroon in de bochten van het kanaal, dan valt op dat in de beginfase (zie bovenaan Fig. 1.38a) depositie voorkomt in de buitenbocht, vooral in het zeewaartse deel van het kanaal. Verderop in het experiment (zie onderaan Fig. 1.38a) zien we dat zich in het landwaartse deel een stabiele situatie vormt, met erosie in de buitenbocht en depositie in de binnenbocht. In het zeewaartse deel daarentegen zien we een vreemd patroon met depositie in de buitenbocht. Deze configuratie zou niet stabiel zijn in de natuur. Oevererosie zou immers snel de kromming tenietdoen, zodat opnieuw een recht kanaal zou ontstaan. Bovenstaande suggereert een sterke invloed van de zeewaartse randvoorwaarde, die de ontwikkeling van een volledig meanderpatroon vertraagt. In het eerste experiment ontwikkelt dit patroon zich in het landwaartse deel van het kanaal. In het tweede experiment is het depositiepatroon echter uit fase met de kromming over de hele lengte van het kanaal, zoals te zien is in Fig. 1.38b. Dit kan een verklaring zijn voor de observaties in de natuur, dat getijgevoelige kanalen zelden gekromd zijn, dicht bij hun baai. (a) Experiment 1. (b) Experiment 2. Figuur 1.38:. In dit artikel wordt duidelijk dat de bodemconfiguratie sterk afhankelijk is van de randvoorwaarden. Het erosie-depositiepatroon in de meanders hangt niet enkel van lokale processen af, zodat wie lokaal de evolutie van het bodemprofiel wil volgen, het volledige kanaal moet analyseren. Dit artikel kan belangrijk zijn voor ons, omdat hier voor het eerst wordt afgestapt van een recht kanaal. Er blijkt dat kromming, in combinatie met vaste wanden, kan leiden tot onstabiele (onnatuurlijke) situaties, iets waar we zeker rekening mee zullen moeten houden in ons toekomstig werk. 1.4 Proces-gebaseerde modellen We zullen tot slot de resultaten van enkele proces-gebaseerde modellen bespreken (en tot op zekere hoogte een vergelijking maken met de geïdealiseerde modellen) Hibma et al. (2003) Model In dit artikel vergelijken de auteurs de resultaten van (Schuttelaars & de Swart, 2000) met de resultaten van een proces-gebaseerd model. Meer bepaald een 1-dimensionaal model in Delft3D-MOR zoals beschreven in (Roelvink & Van Banning, 1994). Op die manier kan men de invloed van de toegepaste vereenvoudigingen in 43

44 de geïdealiseerde modellen onderzoeken. Er wordt hierbij gekeken naar bekkens met een willekeurige lengte, die aangedreven worden aan de zeewaartse zijde door een M2- en een M4-component. De verschillen in de resultaten kunnen dan toegeschreven worden aan de verschillen in de modelformulatie en geven inzicht in het belang van deze verschillen voor de morfodynamische evolutie. Één van de belangrijkste verschillen met de geïdealiseerde modellen is de zeewaartse randvoorwaarde voor de sedimentconcentratie. In tegenstelling tot de geïdealiseerde modellen kan de waterdiepte aan de zeewaartse zijde variëren. Een ander belangrijk verschil ligt in het bepalen van de evenwichtsbodem. De geïdealiseerde modellen trachten een morfodynamisch evenwicht te vinden voor een bekken met een vaste lengte en een bepaalde diepte aan de zeewaartse zijde. Het proces-gebaseerde model tracht morfodynamische evenwichten te vinden door tijdsintegratie, waarbij zowel de diepte aan de zeewaartse zijde als de lengte van het bekken kunnen variëren. Daarnaast wordt in dit artikel ook nog een tussen-model besproken. Dit is een vereenvoudiging van het proces-gebaseerde model, dat nauwer aansluit bij de geïdealiseerde modellen. Dit om de vergelijking met de geïdealiseerde modellen te vereenvoudigen. Zo is in dit tussen-model de wrijvingsterm gelineariseerd en wordt een vaste waterdiepte aan de zeewaartse zijde opgelegd. Daarentegen wordt in het tussen-model rekening gehouden met droogval, met M 6- en hogere getijcomponenten en met een variabele lengte van het bekken door erosie of depositie aan de landwaartse zijde. Later worden de verschillen tussen dit tussen-model en het oorspronkelijke proces-gebaseerde model één per één verwijderd om hun invloed te bestuderen. Resultaten In Fig zien we de evenwichtsbodems volgens het geïdealiseerde model voor bekkens met een lengte van 50 km, 100 km en 150 km. Er werd hierbij enkel rekening gehouden met de M2-component van het getij, zodat volgens (Schuttelaars & de Swart, 2000), deze evenwichten stabiel en uniek zijn. Dit wil zeggen dat eender welk initieel bodemprofiel hiernaar zal evolueren. Figuur 1.39: Evenwichtsbodems volgens het geïdealiseerde model voor bekkens met lengte 50 km, 100 km en 150 km. Deze bodemprofielen worden gebruikt als initiële bodemprofielen in simulaties met het tussen-model. In Fig. 1.40a zien we dat de bodemprofielen na 750 jaar kwalitatief overeenkomen met de evenwichtsbodems uit de geïdealiseerde modellen, i.e. een diepe poel aan de zeewaartse zijde en meer landwaarts een min of meer lineair profiel. Gedurende de eerste jaren van de evolutie treden relatief grote veranderingen op, zoals te zien is in Fig. 1.40c. Zo begint de diepe poel aan de zeewaartse zijde zich te vullen. Later treedt sedimentatie op aan de landwaartse zijde en wordt het bekken langzaamaan korter. 44

45 Om de uniciteit van dit bodemprofiel na te gaan, worden deze simulaties herhaald met een andere intitiële bodem voor alle lengtes. De gevonde quasi-evenwichtstoestanden vertonen opnieuw kwalitatief goede overeenkomsten met de evenwichtssituaties uit de geïdealiseerde modellen. Hoewel in dit geval de bodemveranderingen niet nul worden (zie Fig. 1.40c en Fig. 1.40d), zelfs na integratie over een lange tijd (750 jaar), worden ze toch zeer klein en beïnvloeden ze vooral de lengte van het bekken. Deze aanpassing van de lengte van het bekken, zorgt ervoor dat we geen kwantitatieve vergelijking kunnen maken tussen beide modellen, beginnend van een andere initiële bodem, aangezien de lengtes van de bekkens niet langer overeen komen. De veranderende lengte is eveneens de reden waarom er geen evenwicht in de strikte betekenis wordt bereikt. Als de lengte van het bekken lichtjes wijzigt, zal de bodem immers niet langer een evenwichtsbodem zijn van het kortere bekken en bijgevolg verder evolueren. (a) (b) (c) Initiële bodem zoals in Fig (d) Lineaire initiële bodem Figuur 1.40: Bovenste rij: Bodemprofielen na 750 jaar voor bekkens met een lengte van 50, 100 en 150 km, beginnend van de evenwichtsbodem, zoals in het geïdealiseerde model (a) of van een lineaire bodem (b). Onderste rij: De gemiddelde verandering van de bodem over het bekken, in functie van de tijd. Negatieve (positieve) waarden wijzen op een afname (toename) van de waterdiepte. We kunnen concluderen dat er kwantitatief goede overeenkomsten zijn tussen het geïdealiseerde model uit (Schuttelaars & de Swart, 2000) en het tussen-model. In wat volgt zullen de aanpassingen van het Delft3D- MOR model, die tot het tussen-model hebben geleid, één voor één verwijderd worden. We krijgen op die manier een aantal aangepaste modellen, waarbij telkens één verschil tussen het tussen-model en het oorspronkelijk proces-gebaseerd model, verwijderd wordt. De overige aanpassingen blijven zoals in het tussen-model. De verschillen tussen de resultaten zijn dan een maat voor het belang van de verschillende 45

46 aanpassingen aan het proces-gebaseerde model voor de morfodynamische evolutie. Wanneer we opnieuw de niet-lineaire vorm van de bodemwrijvingsterm aannemen, in plaats van de gelineariseerde vorm, zoals in het tussen-model, dan leidt dit tot hogere snelheden en bijgevolg tot meer sedimenttransport. Dit resulteert echter niet in duidelijke verschillen in bodemprofiel aan het eind van de simulatieperiode, zoals te zien is in Fig. 1.41a. De invloed van de linearisatie van de bodemwrijvingsterm is met andere woorden beperkt. De randvoorwaarde aan de zeewaartse zijde heeft wel een kwalitatieve invloed op de morfodynamische evolutie van het bekken. Wanneer de bodem niet langer vast wordt verondersteld, maar afhankelijk is van het sedimenttransport, dan kunnen we in Fig. 1.41b zien dat de bodem aan de zeewaartse zijde wordt uitgediept. (a) Model met gelineariseerde bodemwrijvingsterm ( ) en met niet-lineaire bodemwrijvingsterm (- -). (b) Model met vaste randvoorwaarde ( ) en met dynamische randvoorwaarde (- -). Figuur 1.41: Longitudinaal bodemprofiel na een simulatieperiode van 300 jaar, vertrekkend van een lineaire bodemhelling ( ). Dit kan als volgt verklaard worden. Aan de rand van het bekken wordt de bodemevolutie bepaald door het getijgemiddelde sedimenttransport. Wanneer dit getijgemiddeld transport naar binnen is gericht, dan moet een extra, vaste randvoorwaarde worden opgelegd. Wanneer het getijgemiddeld transport echter naar buiten is gericht, dan bepalen de gradiënten in het sedimenttransport de bodemevolutie aan de rand, wat resulteert in een toe- of afname van de waterdiepte. Sedimentatie kan leiden tot een triviale oplossing, namelijk een sluiting van het bekken. Erosie kan doorgaan tot de snelheid lager wordt dan de kritische snelheid waarvoor erosie kan plaatsvinden. Wanneer deze kritische snelheid nul is, kan er geen evenwichtstoestand bereikt worden. Een vaste randvoorwaarde, zoals in het geïdealiseerde model, voorkomt zulke triviale oplossingen, maar heeft als nadeel dat het gevonden bodemprofiel niet realistisch is aan de zeewaartse zijde, namelijk de steile helling in de diepe poel Van der Wegen & Roelvink (2008) Model Waar in het vorige artikel een 1-dimensionaal proces-gebaseerd model werd besproken, richt dit artikel zich op een 2-dimensionaal model. Dit laat toe om voorspellingen te doen omtrent de bodemevolutie, 46

47 gebaseerd op meer gedetailleerde hydrodynamische en morfologische processen. Er wordt echter nog steeds met een vereenvoudigd model gewerkt, zij het minder vereenvoudigd dan de geïdealiseerde modellen, zodat de resultaten beter geanalyseerd en vergeleken kunnen worden met de resultaten van de geïdealiseerde modellen. Zo worden onder andere de Corioliskracht, dichtheidsverschillen, wind en golven verwaarloosd. Daarnaast wordt er, net als in (Lanzoni & Seminara, 2002), gebruik gemaakt van een formulering van sedimenttransport, gebaseerd op lokaal en ogenblikkelijke stroomcondities. Hierbij wordt geen onderscheid gemaakt tussen sedimenttransport in suspensie en langs de bodem. De auteurs vermelden dat ze in vervolgonderzoek, meer complexe transportvergelijkingen zullen gebruiken. De geometrie bestaat uit een rechthoekig kanaal, met een open rand aan de zeewaartse zijde. Dit omwille van een vergelijking met de geïdealiseerde modellen en omdat een realistische geometrie de analyse van de gegevens een stuk ingewikkelder maakt. Verder worden de resultaten ook vergeleken met gegevens van de Westerschelde. Dit estuarium leent zich hier uitstekend toe, aangezien het bovendebiet van de rivier zeer klein ( 1%) is in vergelijking met het getijprisma (tidal prism). Er wordt ook rekening gehouden met droogval. Dezelfde werkwijze als in (Hibma et al., 2003) wordt hier gehanteerd, namelijk dat roostercellen, die droogvallen, verwijderd worden uit de hydrodynamische berekeningen. Wanneer het getij stijgt en de cellen opnieuw onder water komen te staan, worden ze gereactiveerd. Tot slot wordt in dit model gebruik gemaakt van een morfologische versnellingsfactor (MVF) van 400. Dit heeft als voordeel dat het de morfologische berekeningen versnelt en zo de rekentijd drastisch kan verlagen. Het nadeel is dat (te) hoge waarden van de MVF kunnen leiden tot een verkeerde beschrijving van de fysische processen, aangezien erosie en depositie geëxtrapoleerd worden. Resultaten 1-D Eerst wordt een 1-dimensionaal model besproken, waarvan de resultaten zullen dienen als basis voor het 2-dimensionaal model. (a) Horizontale initiële bodem. (b) Lineaire initiële bodem. Figuur 1.42: Evolutie van de bodem bij een 1-dimensionaal model, met verschillende initiële bodemprofielen. In Fig zien we dat in het midden van het kanaal een sedimentfront ontstaat dat migreert naar de landwaartse rand. Daarnaast wordt het kanaal dieper aan de zeewaartse zijde. Na 8000 jaar zijn beide profielen min of meer gelijk, al is er in Fig. 1.42a meer sedimentatie aan de landwaartse zijde. Dit is te wijten 47

48 aan het feit dat in ondiep water de eb-stroming bemoeilijkt wordt, zodat het langer eb is en minder lang vloed. Hierdoor zijn de snelheden tijdens vloed hoger en wordt meer sediment landinwaarts getransporteerd. Dit bodemverloop komt vrij goed overeen met het gevonden bodemverloop in (Schuttelaars & de Swart, 1996, 2000). Enkel aan de landwaartse zijde is er verschil, omdat in die artikels geen rekening gehouden wordt met droogval. In (Lanzoni & Seminara, 2002) wordt wel rekening gehouden met droogval. Ondanks een verschillende geometrie, een onderscheid tussen sedimenttransport in suspensie en langs de bodem en een simulatieduur van slechts 300 jaar, zijn er goede overeenkomsten, tussen het bodemprofiel uit (Lanzoni & Seminara, 2002) en de resultaten in Fig. 1.42, namelijk een concaaf profiel met een intergetijdegebied aan de landwaartse rand. De vorm van het gevonden bodemprofiel wijzigt niet bij verschillende begincondities, hetgeen de suggestie kracht bij zet dat de profielen na 8000 jaar dicht bij hun evenwichtsvorm zijn. Resultaten 2-D Een benadering van het 1-dimensionale bodemprofiel na 8000 jaar wordt als basis gebruikt voor verder onderzoek. Deze initiële bodem wordt vervolgens willekeurig verstoord met waarden van maximum 5% van de lokale waterdiepte. Eerst onstaan er in het ondiepe deel aan de landwaartse zijde groeiende perturbaties, zoals beschreven in (Schuttelaars & de Swart, 1999) en (Schramkowski et al., 2002). Later begint zich in de diepere delen een patroon van kanalen en zandbanken te vormen. Deze bodemvormen migreren, groeien en eroderen, maar deze processen nemen exponentieel af met de tijd. We kunnen hier bijgevolg twee tijdschalen definiëren. Bodemvormen met een ruimtelijke schaal van Op1 10 kmq ontwikkelen zich binnen de eerste honderd jaar. De tweede tijdschaal correspondeert met bodemvormen van Op kmq en varieert van eeuwen tot zelfs millennia. Deze twee tijdschalen werden ook waargenomen in (Tambroni et al., 2005), waar kleine bodemvormen reeds ontwikkelden na 50 getijcycli, waar de grotere patronen slechts stabiliseerden na 2000 getijcycli. Er wordt gesuggereerd dat de kleinere patronen vooral bepaald worden door lokale hydrodynamische omstandigheden, terwijl de grote, longitudinale bodemvormen bepaald worden door feedback-processen tussen de bodem zelf en het getij. Dit kan verklaren waarom er geen evenwicht wordt bereikt. Figuur 1.43: Vorming van bodempatronen in een kanaal van 2.5 km breed en 80 km lang na (a) 15 jaar, (b) 100 jaar, (c) 800 jaar. In Fig zien we dat voor relatief lange en smalle kanalen een zandbankpatroon wordt gevormd, gescheiden door een sinusoïdaal kanaal. Het patroon voor een relatief kort en breed kanaal vertoont vrijer gedrag van 48

49 de zandbanken, in die zin dat ze minder beïnvloed worden door de randen van het kanaal. Er is niet één kanaal dat dominant is. (a) 20 km lang kanaal. (b) 80 km lang kanaal. Figuur 1.44: Bodempatronen voor een kort (a) en lang (b) kanaal na 400 jaar. In (Schramkowski et al., 2004) wordt eerder werk uit 2002 uitgebreid naar het niet-lineaire regime en worden voorwaarden gevonden voor statische en dynamische morfodynamische evenwichten. Deze evenwichten werden gevonden in relatief smalle en diepe bekkens en bevatten, net als het huidige model, een alternerend zandbankpatroon. Vergelijking van de output van het model met data van de Westerschelde, leidt tot aanvaardbare resultaten omtrent bijvoorbeeld het percentage intergetijdegebied. Dit is een opmerkelijk resultaat gezien de sterke vereenvoudigingen van het model. Ook de longitudinale profielen van het 1- en 2-dimensionaal model komen goed overeen. De grootste minpunten aan dit model zijn de rechthoekige vorm en de randvoorwaarde aan de zeewaartse zijde. Er wordt een eenvoudige sinusfunctie opgelegd voor de waterhoogte. Dit vereenvoudigt echter de vergelijking met geïdealiseerde modellen en vermijdt talrijke, langdurende simulaties om de effecten van overtides te bestuderen. 49