Tentamen 2IV10 Computergrafiek

Transcriptie

1 Tentamen IV0 Computergrafiek april 0, 4:00-7:00 uur Dit tentamen bestaat uit vier vragen met in totaal 6 deelvragen. Elke deelvraag eegt even zaar. In alle gevallen geldt: LICHT UW ANTWOORD TOE. Gebruik aar nodig schetsen om het antoord te verhelderen. Lees eerst de vragen in zijn geheel door. Als om een procedure ordt gevraagd, dan ordt een beschrijving in stappen of in pseudo-code veracht, die zodanig helder is dat omzetten naar echte code triviaal is. Streef naar compactheid en helderheid. Gebruik hulp-procedures indien geenst. Geef van elke procedure en functie een korte omschrijving van input en output. Gebruik van het boek, aantekeningen, kopieën van sheets en ander materiaal is niet toegestaan. De onderstaande figuur toont een Boom van Pthagoras. De figuur ordt verkregen door een eenvoudig recept te herhalen. We nen met een vierkant (bijvoorbeeld een vierkant met breedte, gecentreerd om de oorsprong O) en construeren tee nieue vierkanten A en B van gelijke grootte, zoals getoond in de figuur. Vervolgens herhalen e dit recursief voor vierkant A en B, tot een gegeven niveau N, hier N=4. A B 3 4 O a) Wat is hier de breedte van een vierkant van niveau N? Stel dat de breedte van een vierkant a is en dat de breedte van het nieue vierkant b. De driehoek op het vierkant heeft rechte zijden b en schuine zijde a. Met Pthagoras vinden e dat b / a = /. De schaalfactor is dus constant en de breedte van een vierkant van niveau N volgt ( N ) / uit het herhaaldelijk toepassen: b N = /. b) Geef tee transformatiematrices A en B die het oorspronkelijke vierkant transformeren naar respectievelijk de vierkanten A en B. Hierbij mag orden aangenomen dat de volge basistransformatiematrices voor D homogene coördinaten-transformaties beschikbaar zijn: T(a, b): transleer over de vector (a, b); R(a): roteer over een hoek a; en S(s): schaal uniform met een factor s. Vierkant A krijgen e door achtereenvolgens () de linkeronderhoek op de oorsprong te plaatsen; () te roteren over 45 graden; (3) te schalen met de hiervoor bereke schaalfactor; (4) de linkeronderhoek van de oorsprong te verplaatsen naar de oude positie van de linkerbovenhoek. Ofel, A = T (,) S(/,/ ) R( π / 4) T (, ). De matrix voor vierkant B krijgen e op een soortgelijke manier: door achtereenvolgens () de rechteronderhoek op de oorsprong te plaatsen; () te roteren over -45 graden; (3) te schalen met de hiervoor bereke schaalfactor; (4) de rechteronderhoek van de oorsprong te verplaatsen naar de oude positie van de rechterbovenhoek. Ofel, = T (,) S ( /, / ) R ( / 4) T (,). B π

2 c) Gegeven een transformatiematrix M die het oorspronkelijke vierkant transformeert naar een nieu vierkant. Stel dat e dit nieue vierkant verder illen transformeren, bijvoorbeeld met een rotatie R(a). Deze rotatie kan globaal (ten opzichte van de oorsprong O) of lokaal (ten opzichte van het middelpunt van het nieue vierkant) orden uitgevoerd. Geef voor beide varianten de bijbehore transformatiematrices van het oorspronkelijke vierkant naar het nieue geroteerde vierkant. Welk tpe transformatie is bij deze toepassing het nuttigst? Een globale transformatie is R(a)M, een lokale transformatie MR(a). Hier is het handigst om lokale transformaties te gebruiken, het plaatsen van nieue vierkanten gaat het handigst vanuit bestaande vierkanten. d) Gegeven een procedure DraSquare(M: Matrix) die een vierkant tekent dat getransformeerd is volgens de matrix M. Geef een procedure DraTree(M: Matrix; N: integer) aarmee een Boom van Pthagoras ordt getek van niveau N (hint: gebruik recursie). Met behulp van de resultaten van de voorgaande opgaven kunnen e de volge procedure opstellen: procedure DraTree(M: Matrix; N: integer) if N > 0 then { stop de recursie als e op een te laag niveau zijn } DraSquare(M); { teken een vierkantje volgens de huidige transformatie } DraTree(MA, N-); { teken de linkertak } DraTree(MB, N-); { teken de rechtertak } Aanroepen met DraTree(I, N), aarbij I een eenheidsmatrix is, geeft een afbeelding van de boom. Geenst is om een golflijn te tekenen, zie de figuur. Hiervoor gebruiken e een reeks teedegraads Bézier-segmenten, beschreven met P ( t) = ( P0 + t( P + t P met 0 t. Per cclus van de golf gebruiken e tee segmenten. We bekijken de tee segmenten P en Q om de oorsprong, de golflijn ordt verkregen door deze te transleren langs de x-as. O Q P x a) Geef alle mogelijke posities van de stuurpunten P 0, P, P, Q 0, Q en Q, zodanig dat de golflijn glad is en dat op de aangegeven posities de x-as ordt doorsneden. Licht u antoord toe: Welke vooraarden gelden hier, elke vrije parameters zijn er? De punten P, P 0, Q0 en Q dienen op de x-as te liggen. De positie kan eenvoudig orden bepaald door naar de figuur te kijken: P = (,0) ; Q = (,0) ; en verder geldt P = Q (0,0). De 0 0 = binnenpunten zijn iets subtieler. Voor een gladde overgang in de oorsprong dienen P, P enq op een lijn te liggen. Dit kunnen e voor elkaar krijgen door te kiezen

3 P = ( a, b); Q = ( a, b) s, aarbij s een schaalfactor is. Maar ook dienen Q,Q en P ' op een lijn te liggen, aarbij P ' = ( a, b), ofel een naar rechts verschoven versie van P. We kunnen hier op verschille manieren verder aan rekenen. Een oplossing is om de tangens van de hoeken die de golf maakt links en rechts van het punt (, 0) gelijk aan elkaar te stellen. Als e die hoeken α en β noemen, dan krijgen e: tanα = tan β ; ofel bs b = ; ofel as a bs abs b + abs = 0; b( s ) = 0. ofel Als en b allebei ongelijk 0 zijn (en de golf dus niet gedegenereerd is tot een lijn of een punt), dan kan hieraan alleen orden voldaan als s=. Ofel: P = ( a, b); Q = ( a, b), de tee binnenpunten liggen gespiegeld ten opzichte van de oorsprong. b) Gegeven een aarde voor de vrije parameters, at is de amplitude (maximale aarde voor de -coördinaat) van de golflijn? We bekijken de -coördinaat van het Q-segment: Q ( t) = ( 0 + t( b + t 0, ofel Q ( t) = (t t ) b. Differentiëren geeft: '( t) = ( 4t) b. Q Als e dit gelijkstellen aan 0 (maximum of minimum), dan krijgen e t=/. Voor deze aarde geldt Q ( / ) = b /. De gevraagde amplitude is dus b /. c) Wat zijn de mogelijke posities van de stuurpunten als bovien ordt geëist dat het segment P spiegelsmmetrisch is om een verticale lijn? Hiervoor dient a=/ te orden gekozen. Het maximum ligt dan precies tussen de tee nuldoorgangen in. d) Geef een formule voor een raakvector V(t) aan een punt P(t). Deze krijgen e door P(t) te differentiëren naar t: V t) = P'( t) = ( P + ( P + tp met 0 t. ( 0 3 Een ellipsoïde (geschaalde bol) kan orden beschreven door ( x / a) + ( / b) + ( z / c) =. a) Geef een impliciete beschrijving in de vorm f(x,,z) = 0. Uitgaande van de gegeven formule is dit eenvoudig f(x,, z) = ( x / a) + ( / b) + ( z / c) = 0. b) Geef een parametrische beschrijving P(u,. We gebruiken bolcoördinaten, aarbij e de coördinaten per as schalen: P ( u, = ( a cosu cosv, bsin u cosv, csin, met 0 u < π en -π / v π /. Invullen van bijvoorbeeld P ( 0,0) = ( a,0,0) in de impliciete beschrijving laat zien dat vermenigvuldigen met de schaalfactoren het goede resultaat geeft. c) Geef een formule voor een normaalvector N op de ellipsoïde. De kortste route is vanuit de impliciete beschrijving: 3

4 N ( u, = P( u, = (x / a, / b,z / c d) Geef een procedure voor het tekenen van een ellipsoïde, gegeven een procedure DraTriangle(P,Q,R: Point). ). Om het ons makkelijk te maken, maken e eerst een procedure voor het tekenen van een viervlak: procedure DraQuad(u, v, du, dv : real); P00 := P(u, ; { Bepaal hoekpunten } P0 := P(u, v+d; P0 := P(u+dv, ; P := P(u+du, v+d; DraTriangle(P00, P0, P); { Teken tee driehoeken } DraTriangle(P00, P, P0) De hoofdprocedure kan dan als volgt orden opgeschreven: procedure DraEllipsoid(a, b, c: real); N := ; { N: aantal stapjes aarmee e een cirkel benaderen } da := *pi/n; for j :=-N to N- do for i:=0 to N- do DraQuad(i*da, j*da, da, da) Dit kan op allerlei manieren efficiënter orden geïmplementeerd, bijvoorbeeld door punten maar één keer uit te rekenen en door gebruik te maken van OpenGL triangle-strips. Ook kunnen de polen een speciale behandeling orden gegeven, de viervlakken degenereren daar tot driehoeken. Maar in veel gevallen zal zo n simpele aanpak volstaan. 4 We bekijken een aantal basistechnieken voor computergrafiek. a) Beschrijf het z-buffer algoritme en geef tee voordelen ervan. Het z-buffer algoritme is een algoritme voor het verijderen van onzichtbare oppervlakken. Stel dat een verzameling driehoeken is gegeven, en stel dat hierop een vieing-transformatie is uitgevoerd, aarbij de z-as loodrecht op het scherm staat, van de kijker af. Stel dat het beeld ordt opgeslagen in een framebuffer C. We gebruiken een buffer Z met dezelfde afmetingen als C, aarbij per pixel steeds de kleinste aarde voor z is opgeslagen. Het algoritme verloopt dan als volgt: - voor alle pixels (i,j) doe Z(i,j) := ZMAX; C(i,j) := Background; // initialiseer de buffers voor alle driehoeken doe // scan-conversie van driehoek + tests Voor alle pixels (i,j) binnen de driehoek doe bepaal diepte z(i,j) en kleur c(i,j); als z(i,j) < Z(i,j) dan // is dit punt dichterbij dan alle vorige punten: Z(i,j) := z(i,j); // overschrijf diepte en kleur voor deze pixel C(i,j) := c(i,j) 4

5 Voordelen zijn dat het algoritme eenvoudig te implementeren is (en vaak al in de grafische kaart rechtstreeks ordt ondersteund); qua complexiteit lineair is in het aantal driehoeken en ook in het aantal pixels dat ordt overlapt; en dat de driehoeken niet van te voren hoeven te orden bepaald en gesorteerd. b) Gegeven een perspectiefprojectie, aarbij het oogpunt zich in de oorsprong bevindt, er in de richting van de positieve z-as ordt gekeken, en aarbij de scene ordt afgebeeld op een vlak z=d. Wat zijn de coördinaten van een punt (x,, z) na projectie? Dit punt vinden e door het snijpunt van een lijn (x,, z)t met het vlak z=d te bepalen. Hieruit volgt t=d/z, en het geprojecteerde punt is (xd/z, d/z, d). c) Wat is het karakteristieke verschil tussen diffuse en specular (spiegele) reflectie van licht door een oppervlak? Bij diffuse reflectie ordt het licht alle kanten even sterk gereflecteerd, bij specular reflectie ordt het licht voornamelijk langs en rondom een lijn die overeenkomt met een gereflecteerde lijn gereflecteerd. (Zie plaatje sheets of boek). d) Noem drie effecten die el met ra-tracing en niet met een eenvoudig belichtingsmodel kunnen orden gesimuleerd en licht u antoord toe met een schets. Voorbeelden zijn slagschaduen, perfect spiegele oppervlakken en transparantie met breking. 5