Een brug tussen incidentiemeetkunde, grafentheorie en onderwijs

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Zuivere Wiskunde Een brug tussen incidentiemeetkunde, grafentheorie en onderwijs Katrijn VANDEWALLE Promotor: Prof. Dr. H. Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van Master in de Wiskunde, afstudeerrichting Zuivere Wiskunde. Academiejaar

2

3

4 iv

5 Voorwoord en dankwoord Men zegt soms dat het voorwoord het meest gelezen onderdeel van een masterproef is. En kijk, ook u hoort blijkbaar bij één van die lezers. Ik zal daarom mijn best doen uw nieuwsgierigheid te prikkelen in de hoop dat u doorbladert naar de inleiding en wie weet zelfs (een gedeelte van) het corpus doorneemt! Laat ik zeggen dat dit werk absoluut de kers op mijn vijf-lagen-hoge wiskundetaart is. Vijf lagen: één voor elk jaar waarin ik mijn grenzen heb kunnen ontdekken en kunnen verleggen. Bovendien vormde het tweeluik in deze masterproef, bestaande uit een wiskundig gedeelte en didactische gedeelte, een ideale combinatie om mezelf nog verder te ontplooien. Die geslaagde ervaring zal mijn toekomstige loopbaan als wiskundeleerkracht zeker positief beïnvloeden. Kortom, dit universitaire avontuur was een grote uitdaging en ik ben heel trots om te mogen zeggen dat ik, weliswaar met vallen en opstaan, de eindmeet bereikt heb. Daarom wil ik ook een dankjewel uitreiken aan een aantal mensen. Ten eerste wil ik van harte mijn promotor prof. dr. Hendrik Van Maldeghem bedanken om mij te begeleiden bij dit eindwerk. Zonder de aanreiking van zijn nuttige ideeën en zijn hulp wanneer ik met iets vastzat, had ik dit niet tot een goed einde kunnen brengen. Graag bedank ik ook Geert Van der Sichel, wiens seminarielessen wiskunde ik voor drie weken mocht opvullen met de didactische component. Ten derde vermeld ik zeker ook Elke Roelandts en Linda Van Puyvelde. Ze gaven me telkens weer een uitgebreid antwoord op mijn (didactische) vragen. v

6 Lieve Vandewalle bedank ik voor het beschikbaar stellen van haar L A TEX-code en ik bedank in het algemeen alle mensen bij wie ik terechtkon met technische vragen. In het bijzonder schrijf ik een dankjewel aan mijn ouders. Door hen kon ik deze studie aanvatten en volhouden en daar ben ik hen heel dankbaar voor! En dan als laatste maar zeker niet minste, bedank ik mijn vriend Domien Craens. Voor onze dagelijkse uitwisseling van wiskundige hersenspinsels, maar vooral voor zijn fantastische vertrouwen in mij en zijn onvoorwaardelijke steun, van bij het begin. Katrijn Vandewalle, mei 2016 vi

7 Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating om deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef. Katrijn Vandewalle mei 2016 vii

8 viii

9 Inleiding In deze masterproef leggen we een drietal bruggen tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie. In het eerste hoofdstuk worden eerst de nodige begrippen ingevoerd voor het vervolg van de masterproef. We leggen daarbij de nadruk op punt-rechte meetkundes, i.h.b. veralgemeende vierhoeken. Deze worden zowel grafentheoretisch als axiomatisch ingevoerd. Verder worden verschillende grafen gedefinieerd die geassocieerd kunnen worden aan een punt-rechte meetkunde Γ: de Levigraaf of incidentiegraaf G L (Γ), de Mengergraaf G M (Γ), de configuratiegraaf G C (Γ) en de rechtengraaf G R (Γ). Als eerste brug wordt dan de equivalentie tussen bislanke meetkundes en trivalente grafen besproken, gebaseerd op het artikel [27] van H. Van Maldeghem. In het tweede hoofdstuk geven we voor de Mengergraaf, configuratiegraaf en rechtengraaf een meetkundige interpretatie aan een viertal invarianten: het kleurgetal χ, het onafhankelijkheidsgetal β, het dominantiegetal σ en het kliekgetal ω. We bekijken concreet wat deze interpretaties in een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) van orde (s, t) opleveren, om zo de waarde van de invarianten te bepalen afhankelijk van (s, t). De gevonden verbanden worden voor elk van de grafen geïllustreerd a.d.h.v. het voorbeeld GQ(2, 2). Als toepassing op deze theorie nemen we drie concrete meetkundes onder de loep: veralgemeende vierhoeken van orde 3, veralgemeende zeshoeken van orde 2 en de Desarguesmeetkunde. De eerste twee worden elk op een gelijkaardige manier behandeld: via een combinatorische beschrijving van de meetkunde spitten we de meetkundige interpretatie van de invarianten verder uit. ix

10 Voor de veralgemeende vierhoeken van orde 3 doen we dit voor de Mengergraaf, rechtengraaf en configuratiegraaf en voor de veralgemeende zeshoeken voor de Mengergraaf en rechtengraaf. De derde toepassing is van een andere aard. Daarin bespreken we een tweetal sporadische eigenschappen over de Desarguesmeetkunde, wiens configuratiegraaf de Petersengraaf blijkt te zijn. Het derde hoofdstuk maakt de brug naar het secundair onderwijs. In deze didactische component werd een driedelig lessenpakket ontworpen en uitgevoerd: grafentheorie, incidentiemeetkunde en de brug tussen de twee. Elk deel beslaat ongeveer twee lessen van vijftig minuten. We verduidelijken in dit hoofdstuk eerst de context van het didactisch gedeelte. Daarna wordt elk deel van het lessenpakket uitvoerig besproken op vlak van aanpak en inhoud. Na die bespreking kan u telkens een evaluatie van dat lesgedeelte vinden. De lesinhouden van grafentheorie en incidentiemeetkunde vormen eigenlijk de basis die de leerlingen nodig hebben om de leerstof uit het derde deel, waarin de brug wordt gelegd tussen de twee, te kunnen verwerken. In de les grafentheorie worden de nodige basisbegrippen ingevoerd. Het tweede deel van de les focust op modellering met grafen om dan tot de definities van de invarianten te komen. Het deel over incidentiemeetkunde is veel theoretischer van aard. Met Euclidische meetkunde als kader maken we de sprong naar de veel algemenere incidentiemeetkunde. We bekijken wat het begrip punt-rechte meetkunde betekent en de leerlingen maken ook kennis met veralgemeende vierhoeken. Op een (kleinschalige) onderzoekend lerende manier ontdekken de leerlingen in het derde deel een brug tussen grafentheorie en incidentiemeetkunde: zo geven ze interpretaties aan invarianten van de Mengergraaf en bewijzen ze een aantal kleine stellingen die daarbij aansluiten. Tot slot geven we een globale reflectie van de lessenreeks. Al het didactische materiaal kan u in de appendix terugvinden. x

11 Inhoudsopgave Voorwoord en dankwoord Toelating tot bruikleen Inleiding v vii ix 1 Begrippen en een eerste brug Grafentheoretische en meetkundige begrippen Veralgemeende vierhoeken Een eerste brug: equivalentie bislanke meetkundes en trivalente grafen 8 2 Een tweede brug: interpretatie van invarianten Invarianten van de Mengergraaf G M (Γ) Kleurgetal χ(g M ) Dominantiegetal σ(g M ) Invarianten van de rechtengraaf G R (Γ) xi

12 2.3 Invarianten van de configuratiegraaf G C (Γ) Toepassing: veralgemeende vierhoeken van orde Mengergraaf G M en rechtengraaf G R Configuratiegraaf G C Toepassing: veralgemeende zeshoeken van orde Mengergraaf G M en rechtengraaf G R Toepassing: Desarguesmeetkunde en Petersengraaf Een derde brug: de brug naar onderwijs Context van het didactisch gedeelte Les 1 en 2: grafentheorie Aanpak en inhoud van de les Evaluatie Les 2 en 3: incidentiemeetkunde Aanpak en inhoud van de les Evaluatie Les 5 en 6: een brug tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie Aanpak en inhoud van de les Evaluatie Globale reflectie en besluit Appendices 61 A English summary 63 B Definities en stellingen 65 C Punten en rechten GH(2, 2) 69 D Bijlage stelling E Werkbundel didactisch gedeelte 75 F Slides didactisch gedeelte 105 xii

13 G Evaluatieformulieren didactisch gedeelte 125 Bibliografie 129 xiii

14 xiv

15 Hoofdstuk 1 Begrippen en een eerste brug 1.1 Grafentheoretische en meetkundige begrippen Definitie Een incidentiemeetkunde Γ is een geordend viertal (X, I,, τ) waarbij X een nietledige verzameling is. De elementen van X noemt men elementen van de incidentiemeetkunde. een verzameling van elementen is die types worden genoemd. τ is een surjectieve afbeelding X is, de typeafbeelding genaamd, zodat τ(x) = i het type is van het element x voor elke x X. I een binaire incidentierelatie is, d.w.z. een reflexieve symmetrische relatie op de elementen van X en zodanig dat x, y X : (τ(x) = τ(y) xiy) x = y. Het aantal types wordt ook wel de rang van de incidentiemeetkunde genoemd. Incidentiemeetkundes van rang 2 verdienen een apart begrip: Definitie Een punt-rechte meetkunde Γ is een drietal (P, L, I), met P en L disjuncte verzamelingen waarbij de elementen uit P punten worden genoemd en de elementen uit L rechten. I (P L) (L P) is een symmetrische incidentierelatie 1

16 Hoofdstuk 1. Begrippen en een eerste brug en pil (p P en L L) verwoorden we als p is incident met L of p ligt op L of L gaat door p. Zo een incident paar (p, L) wordt dan een vlag genoemd. Definitie Een punt-rechte meetkunde Γ is lineair als elke twee verschillende punten op hoogstens één gemeenschappelijke rechte liggen. In definitie bestaat dus uit de types 0 (punten) en 1 (rechten). Het begrip punt-rechte meetkunde wordt soms afgekort tot meetkunde. Bij de vermelding van het woord meetkunde moet men dus, tenzij anders vermeld, in feite punt-rechte meetkunde lezen. Zoals volgende voorbeelden illustreren, is het begrip punt-rechte meetkunde zeer algemeen. Voorbeeld (i) Op een natuurlijk manier kunnen we een willekeurige simpele graaf beschouwen als een lineaire punt-rechte meetkunde met als punten de toppen, als rechten de bogen en adjacentie als incidentierelatie. (ii) Elke familie van verzamelingen F P(X) is een punt-rechte meetkunde met X de verzameling punten, F de verzameling rechten en als incidentierelatie. (iii) Op een schaakbord kunnen we naar de 8 8 vakjes kijken als punten, en de schaakstukken als rechten. Op een zeker moment in het spel staat een deelverzameling van de 32 schaakstukken verspreid op het bord waarbij de incidentierelatie gedefinieerd wordt als vakje p is incident met schaakstuk L als L kan verplaatst worden naar p. Het is duidelijk dat dit geen lineaire punt-rechte meetkunde voorstelt. (iv) Een projectief vlak is een punt-rechte meetkunde waarvoor voldaan is aan volgende axioma s: (PV1) Elke rechte heeft ten minste drie punten. (PV2) Door elk paar verschillende punten gaat er juist één rechte. (PV3) Er bestaan drie punten die niet op één gemeenschappelijke rechte liggen. (PV4) Het axioma van Pasch geldt, d.w.z. voor vier gegeven punten a, b, c, d, waarvan geen drie collineair, geldt dat als de rechten ab en cd een snijpunt hebben, dan ook de rechten ac en bd. In dit document worden alle meetkundes stilzwijgend verondersteld als zijnde lineair. Er zijn verschillende manieren om een graaf te associëren met een meetkunde. Onderstaande definities geven al twee mogelijkheden. Definitie Twee punten p en q van Γ worden collineair genoemd als ze incident zijn met een gemeenschappelijke rechte, notatie p q. De collineariteitsgraaf of Mengergraaf G M (Γ) van Γ is de graaf met toppenverzameling P, waarbij twee toppen adjacent zijn als ze collineaire punten voorstellen. 2

17 1.1. Grafentheoretische en meetkundige begrippen Definitie De incidentiegraaf of Levigraaf G L (Γ) van een punt-rechte meetkunde Γ is de (bipartiete) graaf met als toppenverzameling P L en waarbij twee toppen adjacent zijn als ze een vlag vormen. De afstand δ(x, y) tussen twee elementen x en y in Γ wordt gedefinieerd als de graaf-theoretische afstand in G L (Γ). Daarmee kunnen we de verzamelingen Γ i (x) = {y P L δ(x, y) = i} definiëren. Als Γ 1 (x) constant is voor x P en Γ 1 (L) constant voor L L, dan zegt men dat Γ orde (s, t) heeft met Γ 1 (x) = t + 1 en Γ 1 (L) = s + 1. Γ wordt samenhangend genoemd als G L (Γ) samenhangend is. Een punt-rechte meetkunde Γ waarvoor het aantal punten per rechte en het aantal rechten per punt constant is, krijgt ook een aparte naam. Ze worden als volgt ingevoerd. Definitie Zij Γ = (P, L, I) een punt-rechte meetkunde met P = n en L = b. Als door elk punt r rechten gaan en elke rechte incident is met k punten, dan noemen we Γ een (n r, b k )-configuratie. Merk op dat voor een (n r, b k )-configuratie geldt dat I = n r = b k. In het symmetrisch geval (i.e. als n = b en dus ook r = k) spreekt men dan ook van een n r -configuratie. Volgende stelling is duidelijk en hoeft weinig bewijs ([20]). Stelling Een punt-rechte meetkunde is een (n r, b k )-configuratie als en slechts als de Levigraaf een (r, k)-semireguliere graaf met taille tenminste 6 is. Een punt-rechte meetkunde is een (n r )-configuratie als en slechts als de Levigraaf r- reguliere is en taille tenminste 6 heeft. Bewijs. Voor een (n r, b k )-configuratie: de Levigraaf is (r, k)-semiregulier omdat elk punt incident is met r rechten en elke rechte met k punten. De laatste voorwaarde over de taille volgt gewoon uit het feit dat we enkel lineaire meetkundes beschouwen. Het symmetrisch geval is analoog. Voorbeeld (i) Een r-reguliere simpele graaf G = (V, E) kan gezien worden als een ( V r, E 2 )-configuratie. De Mengergraaf is gelijk aan de graaf zelf. (ii) De enige samenhangende n 1 -configuratie is de 1 1 -configuratie. (iii) De enige samenhangende n 2 -configuraties zijn de punt-rechte meetkundes van de (gewone) veelhoeken met tenminste drie punten. (iv) In volgende paragraaf wordt ingezoomd op n 3 -configuraties. Ze worden ook wel bislanke meetkundes genoemd. (v) Het Fanovlak is het kleinst mogelijke projectieve vlak. Het telt 7 punten, 7 rechten, door elk punt gaan 3 rechten en elke rechte telt 3 punten. Het Fanovlak is dus een 7 3 -configuratie. G M is isomorf met K 7, de complete graaf op 7 toppen (immers, in een projectief vlak gaat er door elk paar punten een rechte). 3

18 Hoofdstuk 1. Begrippen en een eerste brug Definitie Zij Γ = (P, L, I) een punt-rechte meetkunde. De duale meetkunde Γ van Γ is de meetkunde Γ = (L, P, I). Het duaal begrip van collineaire punten wordt gedefinieerd als concurrente rechten. Een Levigraaf bepaalt een punt-rechte meetkunde uniek op dualiteit na: er moet voor de bipartiete graaf een keuze gemaakt worden welke toppenverzameling de punten voorstelt en welke de rechten. In tegenstelling tot de Levigraaf bepaalt de Mengergraaf de meetkunde niet uniek, zelfs niet op dualiteit na. Een mooi voorbeeld hiervan zijn de projectieve vlakken. Dan zijn elke twee punten collineair, dus de Mengergraaf is een complete graaf. Elke 2 nietisomorfe projectieve vlakken van dezelfde orde bezitten dus dezelfde Mengergraaf Veralgemeende vierhoeken Definitie Een veralgemeende vierhoek is een punt-rechte meetkunde Γ = (P, L, I) waarvoor voldaan is aan volgende axioma s: (VV1) Elk punt is incident met t + 1 rechten (t 1) en elke twee verschillende punten zijn incident met ten hoogste één rechte. t + 1 (VV2) Elke rechte is incident met s + 1 punten (s 1) en elke twee verschillende rechten zijn incident met ten hoogste één punt. s + 1 (VV3) Gegeven een punt p en rechte L, p IL, dan bestaat er een unieke rechte door p die L snijdt. p L We zeggen dan dat de veralgemeende vierhoek orde (s, t) heeft. Als s = t wordt Γ symmetrisch genoemd. Γ heeft dan orde s. Als t = 1 wordt Γ ook wel een rooster genoemd. Een dikke (resp. dunne) veralgemeende vierhoek heeft tenminste 3 (resp. juist 2) punten per rechte. 4

19 1.1. Grafentheoretische en meetkundige begrippen Via axioma (VV1) zijn veralgemeende vierhoeken altijd lineair. Merk op dat een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) in feite een (n t+1, b s+1 )-configuratie is die aan het bijkomend axioma (VV3) voldoet. Veralgemeende vierhoeken behoren tot de klasse van de veralgemeende veelhoeken, als volgt gedefinieerd. Definitie Zij Γ een punt-rechte meetkunde en n een natuurlijk getal, n > 2. Γ wordt een zwakke veralgemeende n-hoek genoemd als de Levigraaf G L (Γ) diameter n en taille 2n heeft. Een zwakke veralgemeende n-hoek van orde (s, t) wordt een regelmatige n-hoek genoemd als s = t = 1 en een (dikke) veralgemeende n- hoek als s, t 2. Als we n niet willen benadrukken wordt de term veelhoek i.p.v. n-hoek gebruikt. Een veralgemeende veelhoek is per definitie samenhangend, d.w.z. dat de bijhorende Levigraaf samenhangend is. De voorwaarden op de diameter en taille van de Levigraaf in vorige definitie kunnen we vertalen naar de meetkunde als volgt: in een veralgemeende n-hoek zijn geen regelmatige k-hoeken te vinden (met k n 1), maar door elke twee punten gaat wel een regelmatige n-hoek. We bekijken eerst het geval n = 3: een veralgemeende driehoek blijkt gewoon een projectief vlak te zijn (of een gewone driehoek in het dunne geval). Dit kunnen we als volgt beredeneren. (PV1) is voldaan omdat s 2. Voor twee niet collineaire punten p en q geldt δ(p, q) > 2 in de Levigraaf. Echter p en q zijn allebei punten, dus δ(p, q) 4, maar dat is strijdig met diam(g(γ)) = 3. Dus elke twee punten zijn collineair. Als p en q beiden op twee verschillende rechten L en M liggen dan vormt (p, L, q, M, p) een cykel van lengte 4 in G(Γ), wat niet kan want de taille van G(Γ) is 6. Dus aan axioma (PV2) is voldaan. Ook aan (PV3) is voldaan: stel dat elk drietal punten collineair zou zijn. Beschouw dan vier punten p, q, r, s en L = {p, q, r} en M = {p, r, s}. Dan is in G L (Γ) (p, L, r, M, p) een cykel van lengte 4, opnieuw strijdig met de taillevoorwaarde. Het laatste axioma (PV4): omdat diam(g M (Γ)) = 3 snijden elke twee rechten in een punt, waardoor (PV4) automatisch vervuld is. Stellen we n = 4 in definitie dan is een veralgemeende vierhoek blijkbaar een puntrechte meetkunde waarvan elke rechte minstens 3 punten bevat, door elk punt minstens 3 rechten gaan en waarvoor de Levigraaf diameter 4 en taille 8 heeft. We merken op dat al eerder het begrip veralgemeende vierhoek werd geïntroduceerd, namelijk in definitie We gaan nu na dat deze definitie equivalent is aan de eerder ingevoerde definitie. Stelling Definitie is equivalent met definitie voor n = 4 en orde (s, t). Bewijs. We bewijzen eerst dat een veralgemeende vierhoek Γ volgens definitie ook een veralgemeende vierhoek is volgens definitie Het eerste deel van (VV1) (resp. (VV2)) volgt rechtstreeks uit de tweede parameter t (resp. eerste parameter s) van de orde (s, t). Het feit dat de Levigraaf taille 8 heeft 5

20 Hoofdstuk 1. Begrippen en een eerste brug verzekert dat door elke twee verschillende punten hoogstens één rechte gaat en elke twee verschillende rechten incident zijn met ten hoogste één punt. Blijft nog (VV3) over. Neem een punt p en een rechte L niet door p. We moeten het bestaan van een uniek koppel (p, L ) bewijzen zodat aan (VV3) voldaan is. De overeenkomstige toppen van p en L liggen in de Levigraaf op afstand 3 van elkaar: diam(g(γ)) = 4 en p en L zitten in verschillende bipartitie verzamelingen. Er is dus een punt p en rechte L zodat pil, p IL en p IL. Het koppel (p, L ) is uniek want anders zou de Levigraaf taille < 8 hebben. Zij nu Γ = (P, L) een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) volgends definitie Het is duidelijk uit (VV1) en (VV2) dat de orde (s, t) bedraagt. We moeten aantonen dat de bijhorende Levigraaf G(Γ), met bipartiete toppenverzamelingen P en L, diameter 4 en taille 8 heeft. Voor een willekeurig punt p en rechte L is δ(p, L) 3: als pil is δ(p, L) = 1; in het andere geval is δ(p, L) = 3 door (VV3). Voor twee willekeurige punten x, y P geldt δ(x, y) = 2 als x y en opnieuw wegens (VV3) δ(x, y) = 4 in het andere geval. Dus inderdaad diam(g(γ)) = 4. De taille van G(Γ) moet minstens 8 zijn om ervoor te zorgen dat de uniciteit van het koppel (p, L ) uit (VV3) behouden blijft. Uit het bestaan van zo n koppel voor elk nietincident punt-rechte paar volgt dan dat de taille effectief 8 bedraagt. Neem willekeurig p P en L L, p niet door L. Neem het uniek punt q op L collineair via K met p. Neem op L een punt r q. Door r gaat nog een rechte M. Zij dan v het unieke punt op M collineair met p via N uit (VV3). De positie van deze elementen t.o.v. elkaar geeft in G(Γ) aanleiding tot een cykel (p, K, q, L, r, M, v, N, p) van lengte 8. Definitie Zij Γ een veralgemeende vierhoek. Een partiële ovoïde (resp. ovoïde) O van Γ is een verzameling punten met de eigenschap dat elke rechte van Γ ten hoogste (resp. juist) één punt van O bevat. Een partiële spread (resp. spread) S van Γ is een verzameling paarsgewijs disjuncte rechten van Γ (resp. een verzameling rechten die de punten van Γ partitioneren). Een partiële ovoïde/spread wordt maximaal genoemd als ze geen deel is van een grotere partiële ovoïde/spread. We merken op dat de duale van een veralgemeende vierhoek Γ = (P, L, I) van orde (s, t) terug een veralgemeende vierhoek Γ = (L, P, I) is, maar van orde (t, s). Tevens is het duidelijk dat in een veralgemeende vierhoek ovoïde en spread duale begrippen zijn. Via dubbele tellingen komen we tot de volgende interessante eigenschappen: Eigenschap Zij Γ = (P, L, I) een veralgemeende vierhoek van orde (s, t), O een ovoïde en S een spread van Γ. Dan geldt: (i) P = (s + 1)(st + 1) (ii) L = (t + 1)(st + 1) (iii) O = S = (st + 1) Bewijs. (i) Neem een punt p en rechte L niet door p. We tellen m.b.v. een dubbele telling het aantal koppels (p, M) waarbij M door p gaat en L snijdt. Nemen we p 6

21 1.1. Grafentheoretische en meetkundige begrippen (linkerlid) respectievelijk M (rechterlid) vast dan bekomen we ( P (s + 1)) 1 = (1 + s) t s en daaruit (i). (ii) Volgt meteen uit (i) via dualiteit. (iii) Voor een ovoïde O bezit elke rechte juist 1 punt van O en vermits elk punt incident is met t + 1 rechten, bekomen we via (ii) dat het aantal punten in een ovoïde juist st + 1 bedraagt. Over de Mengergraaf van een veralgemeende vierhoek Γ van orde (s, t) hebben we in het algemeen al veel informatie. Stelling De Mengergraaf G M (Γ) van een veralgemeende vierhoek Γ van orde (s, t) is sterk regulier met parameters ((s + 1)(st + 1), (t + 1)s, s 1, t + 1). Bewijs. Het aantal toppen van G M (Γ) is juist P. Door elk punt gaan t + 1 rechten waar elk nog s andere punten op liggen. De graad van elke top is dus (t + 1)s. Voor de derde parameter moeten we voor 2 adjacente toppen hun gemeenschappelijke buren tellen; voor de meetkunde betekent dit het aantal punten collineair met twee gegeven collineaire punten. Door axioma (VV3) zijn dit enkel de punten die ook op die rechte door de twee gegeven punten liggen. Zo zijn er nog (1 + s) 2 = s 1. De laatste parameter beschrijft het aantal gemeenschappelijke buren van twee niet-adjacente toppen, dus het aantal punten collineair met twee gegeven niet-collineaire punten p en q. Dit is juist t+1 wegens axioma (VV3): door q gaan 1 + t rechten en, vermits p q, is p collineair met een uniek punt van elk zo een rechte. Voor q geldt dit analoog. Af en toe zal ook het complement van de Mengergraaf, de configuratiegraaf G C aan bod komen. Definitie Zij Γ = (P, L, I) een punt-rechte meetkunde. De configuratiegraaf G C (Γ) van Γ is de graaf die ontstaat door P als toppenverzameling te nemen en de bogen zijn de paren van punten die niet op eenzelfde rechte in Γ liggen. Stelling De configuratiegraaf G C (Γ) van een veralgemeende vierhoek Γ van orde (s, t) is sterk regulier met parameters ((s + 1)(st + 1), s 2 t, s 2 t s st + t, st(s 1)). Bewijs. Het complement Ḡ van een sterk reguliere graaf G met parameters (v, k, λ, µ) is opnieuw sterk regulier met parameters (v, v k 1, v 2k +µ 2, v 2k +λ): het aantal toppen v blijft hetzelfde, de elke top is in Ḡ adjacent met elke top behalve zichzelf en zijn buren in G (zo zijn er k), m.a.w. de graad van elke top in Ḡ is nu v k 1. Neem nu twee niet adjacente toppen x en y in G. Deze hebben µ gemeenschappelijke buren. In Ḡ zijn x en y wel adjacent. Ze zijn nu elk niet meer adjacent met hun eigen k buren in G, waarvan ze er µ gemeenschappelijk hebben. Dus hebben x en y in Ḡ v 2k +µ 2 buren 7

22 Hoofdstuk 1. Begrippen en een eerste brug gemeenschappelijk. Door een analoge redenering hebben twee toppen x en y die adjacent zijn in G (en dus niet adjacent in Ḡ) v 2k + λ gemeenschappelijke buren in Ḡ. Omdat G M een sterk reguliere graaf is met parameters ((s + 1)(st + 1), (t + 1)s, s 1, t + 1), kan men via een eenvoudige berekening nagaan dat G C dan sterk regulier is met parameters ((s + 1)(st + 1), s 2 t, s 2 t s st + t, st(s 1)). Door de Mengergraaf te dualiseren, kunnen we een vierde soort graaf beschouwen. Definitie De rechtengraaf G R (Γ) van Γ = (P, B, I) is de graaf met toppenverzameling B, waarbij twee toppen adjacent zijn als ze concurrente rechten voorstellen. Stelling De rechtengraaf G R (Γ) van een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) is sterk regulier met parameters ((t + 1)(st + 1), (s + 1)t, t 1, s + 1). Bewijs. Dit volgt rechtstreeks uit dualisering van het bewijs van dezelfde stelling voor G M. 1.2 Een eerste brug: equivalentie bislanke meetkundes en trivalente grafen Een eerste brug die kan gelegd worden tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie komt uit [27]. Daarin wordt een mooie equivalentie gelegd tussen bislanke meetkundes en trivalente grafen. In deze paragraaf zal worden aangetoond dat het bestuderen van bislanke meetkundes volledig overeenkomt met de studie van trivalente grafen (dit zijn grafen waarbij elke top graad 3 heeft) en omgekeerd. Ze zijn dus equivalent. Definitie Een punt-rechte meetkunde Γ wordt slank (slim in het Engels) genoemd als s = 2 en bislank (bislim in het Engels) als s = t = 2. Als we de notatie van vorige paragraaf in acht nemen, zijn bislanke meetkundes in feite gewoon n 3 -configuraties. Laat ons eens beginnen met de incidentiegraaf van een bislanke meetkunde te bekijken. Dit blijkt een bipartiete trivalente graaf te zijn: bipartiet per definitie van incidentiegraaf en trivalent omdat elk punt op juist drie rechten ligt en elke rechte incident is met exact drie punten. De studie van bislanke meetkundes komt dus overeen met het bestuderen van bipartiete trivalente grafen: er bestaat (op dualiteit na) een 1-1 verband tussen beide objecten. Dan rijst de vraag of dit te veralgemenen valt tot willekeurige (niet noodzakelijk bipartiete) trivalente grafen: is er een manier waarop een willekeurige trivalente graaf aanleiding geeft tot een bislanke meetkunde? Het is hier dat het begrip buurtmeetkunde opduikt: aan een (trivalente) graaf zullen we als volgt een meetkunde associëren. 8

23 1.2. Een eerste brug: equivalentie bislanke meetkundes en trivalente grafen Definitie Zij G een trivalente graaf. Stel P en L voor als twee kopieën van de verzameling toppen van G: voor een top x definieert men het object x p en steekt het in P en definieert men het object x l en steekt het in L. We noemen een punt x P en een rechte L L incident, xil, als deze elementen gezien als toppen van G, adjacent zijn in G. De zo verkregen punt-rechte meetkunde N (G) = (P, L, I) wordt de buurtmeetkunde van G genoemd. De naam buurtmeetkunde komt van het feit dat de punten op eenzelfde rechte in een buurtmeetkunde overeenkomen met de buren van een zekere top in de graaf. Waarbij we eerder vertrokken van een meetkunde om een associatie te maken met (bijvoorbeeld) een incidentiegraaf, gaat men hier dus a.h.w. omgekeerd te werk: een graaf geeft aanleiding tot een meetkunde. Als G niet bipartiet is, ontstaat hierdoor een samenhangende bislanke meetkunde Γ en we noemen G dan een gepolariseerde graaf. Als G bipartiet is, en dus isomorf is met een Levigraaf G(Γ) voor zekere (bislanke) punt-rechte meetkunde Γ, bestaat de buurtmeetkunde van G uit twee disjuncte kopieën van Γ. Hieruit zien we dat een gepolariseerde graaf als het ware half zo groot is als de Levigraaf van die meetkunde. Stelling Een buurtmeetkunde N (G) van een graaf G is lineair als en slechts als G geen 4-cykel bevat. Bewijs. We tonen aan dat N (G) niet lineair is als en slechts als G een 4-cykel p, l, r, k bevat. Bekijken we wat de operatie N doet op deze 4-cykel dan kan men makkelijk inzien dat N aanleiding geeft tot het di-gon (p, r, l, k, (p, l), (p, k), (r, l), (r, k)) als substructuur van de configuratie N (G) en omgekeerd zal elke zon digon in N (G) afkomstig zijn van een 4-cykel in G. Niet elke punt-rechte meetkunde is een buurtmeetkunde van een zekere graaf G. De volgende stelling vertelt welke meetkundes over een gepolariseerde graaf beschikken, waarmee ook meteen verklaard is van waar die term komt. Daarvoor hebben we eerst nog volgende definitie nodig. Definitie Een polariteit van een punt-rechte meetkunde Γ = (P, L, I) is een bijectie ρ : P L van orde 2 (dus ρ 2 = id) met de eigenschap dat xil L ρ Ix ρ. Een absoluut punt van een polariteit ρ is een punt x P zodat xix ρ. Een absolute rechte is een rechte L L zodat LIL ρ. Stelling Zij Γ = (P, L, I) een punt-rechte meetkunde. Dan geeft elke gepolariseerde graaf van Γ aanleiding tot een unieke polariteit zonder absolute punten. Omgekeerd kan men met elke polariteit zonder absolute punten een unieke gepolariseerde graaf associëren. Bewijs. Zij G een gepolariseerde graaf van Γ. De bijectie die het punt x p afbeeldt op de rechte x l voor elke top x van G is een polariteit zonder absolute punten. 9

24 Hoofdstuk 1. Begrippen en een eerste brug Figuur 1.1: D als buurtmeetkunde van P, haar gepolariseerde graaf Omgekeerd zij ρ een polariteit van Γ zonder absolute punten. Beschouw de graaf met toppenverzameling {(x, x ρ ) x P} en definieer adjacentie als: (x, x ρ ) is adjacent met (y, y ρ ) als yix ρ (uit de definitie van polariteit is dit equivalent aan xiy ρ ). Omdat er geen absolute punten zijn, zijn er geen zelflussen. Dit is een gepolariseerde graaf van Γ. Dus enkel een punt-rechte meetkunde die een polariteit zonder absolute punten bezit, beschikt over een gepolariseerde graaf en is dus een buurtmeetkunde van die graaf. Bovendien heeft een punt-rechte meetkunde evenveel gepolariseerde grafen als polariteiten zonder absolute punten. Voorbeeld Een voorbeeld wordt geïllustreerd op figuur 1.1. De Desarguesmeetkunde D is de buurtmeetkunde van de Petersengraaf P, die dus de gepolariseerde graaf is van D. De polariteit zonder absolute punten wordt daar via kleuren voorgesteld: het beeld van een punt is de rechte in dezelfde kleur als het punt en omgekeerd. Het antwoord op de vraag of we een veralgemening tot willekeurige trivalente grafen kunnen maken is dus een genuanceerde ja. Vertrekkend vanuit het standpunt van een bislanke meetkunde komen we via de incidentiegraaf tot een bipartiete trivalente graaf. Bekijken we de zaak echter vanuit het standpunt van een willekeurige trivalente graaf vinden we via de buurtmeetkunde operatie een bijhorende, al dan niet samenhangende, bislanke meetkunde. Een bipartiete trivalente graaf stelt enerzijds de incidentiegraaf voor van een samenhangende bislanke meetkunde, maar anderzijds, via de operatie van de buurtmeetkunde, kunnen we er ook een niet-samenhangende bislanke meetkunde mee 10

25 1.2. Een eerste brug: equivalentie bislanke meetkundes en trivalente grafen associëren. Een niet-bipartiete trivalente graaf geeft, zoals al gezegd, aanleiding tot een samenhangende bislanke meetkunde. 11

26 Hoofdstuk 1. Begrippen en een eerste brug 12

27 Hoofdstuk 2 Een tweede brug: interpretatie van invarianten Zij Γ = (P, L, I) een (n r, b k )- configuratie. We hebben reeds een aantal manieren gezien om aan Γ een graaf te hechten. In wat nu volgt zullen we enkele eigenschappen en bijhorende invarianten zoals kleuringen, klieken, coklieken... van die grafen onder de loep nemen om op zoek te gaan naar interessante verbanden tussen de meetkunde en haar grafen. Eerst komt de interpretatie van de invarianten, met direct daaropvolgend een voorbeeld waarin de verbanden geïllustreerd worden. Daarna wordt nog verder ingezoomd op een drietal meetkundes om die theorie als toepassing uit te spitten. Concreet worden voor de Mengergraaf, rechtengraaf en configuratiegraaf de volgende eigenschappen en bijhorende invarianten besproken: kleurgetal, onafhankelijkheidsgetal, dominantiegetal en kliekgetal. De betekenis van deze begrippen kan men in appendix B terugvinden. Veralgemeende vierhoeken zijn vrij concrete incidentiestructuren waardoor soms diepere interpretaties mogelijk zijn. De interpretaties zullen zich dan ook vooral focussen op deze incidentiemeetkundes. In het geval dat Γ een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) voorstelt, zullen we GQ(s, t) als notatie gebruiken (komt van generalized quadrangle). Merk op dat dit in feite een (n 1+t, b 1+s )-configuratie is. De meetkundige interpretaties zullen als voorbeeld toegepast worden op de unieke veralgemeende vierhoek van orde 2. Een combinatorische beschrijving ervan gaat als volgt. 13

28 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten De punten van deze meetkunde zijn de paren van elementen uit {1, 2, 3, 4, 5, 6} en de rechten zijn de tripels van paren die {1, 2, 3, 4, 5, 6} partitioneren. Incidentie is. Punten zijn dus collineair als ze disjuncte paren voorstellen. 2.1 Invarianten van de Mengergraaf G M (Γ) Voor de sterk reguliere G M (Γ), waarin adjacente toppen overeenkomen met collineaire punten, kunnen we de invarianten als volgt interpreteren. Tabel 2.1: Interpretatie invarianten voor G M (Γ) Invariant Γ Kleurgetal χ(g M ) Onafhankelijkheidsgetal β(g M ) Dominantiegetal σ(g M ) Kliekgetal ω(g M ) coll. punten verschillende kleur max. verzameling 2 aan 2 niet-coll. punten elk punt is coll. met 1 punt uit min. dom. verz. (of zit erin) max.verzameling 2 aan 2 coll. punten Daarbij kunnen een aantal zaken opgemerkt worden. 1. Voor een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) kunnen we via de stelling van Brooks (zie ook appendix B) de bovengrens voor χ(g M ) vastleggen op s(t + 1), zie stelling Een maximale cokliek in de Mengergraaf wordt vertaald als een maximale partiële ovoïde in GQ(s, t) en omgekeerd komt een maximale partiële ovoïde tot uiting in de Mengergraaf als een maximale cokliek. Een ovoïde van GQ(s, t) echter resulteert altijd in een maximum 1 cokliek. In dat geval is dus β(g M ) = O = st + 1 uit eigenschap Omdat algemeen voor een graaf G geldt σ(g) β(g) is dus σ(g M ) st + 1 voor GQ(s, t). Echter, wegens axioma (VV3) is een verzameling van s + 1 punten van eenzelfde rechte altijd een dominerende verzameling. We kunnen dus scherper stellen σ(g M ) s + 1. Stelling (na deze opmerkingen) toont echter aan dat deze bovengrens niet scherper kan. Dus geldt er wel degelijk σ(g M ) = s Voor GQ(s, t) bedraagt de kardinaliteit van een maximum kliek juist het aantal punten op een rechte; meer kan niet wegens (VV3). We hebben dus ω(g M ) = s Algemeen is het kliekgetal een ondergrens voor het kleurgetal van een graaf. Via de eerste en vorige vaststelling hebben we voor GQ(s, t) dus s+1 χ(g M ) s(t+1). 1 Er is een subtiel verschil tussen maximaal en maximum: het eerste slaat op niet uitbreidbaar, het tweede op met een zo groot mogelijk aantal. 14

29 2.1. Invarianten van de Mengergraaf G M (Γ) Voorbeeld Op de volgende figuur zie je de unieke veralgemeende vierhoek GQ(2, 2) met rechts ervan de Mengergraaf G M (GQ(2, 2)). Concreet hebben we voor deze graaf volgende waarden voor de invarianten: Invariant Waarde χ(g M ) 4 σ(g M ) 3 β(g M ) 5 ω(g M ) 3 De kleuren van de onderste drie invarianten van de tabel verwijzen naar de kleuren in de meetkunde en de graaf. De kleuren op de figuur stellen dus geen expliciete kleuring van G M voor, maar duiden enkel op de andere drie invarianten. De punten van de blauwe rechte {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} stellen zowel een minimum dominerende verzameling voor (dit zal later blijken uit stelling 2.1.9) als een maximum kliek in G M. De rode punten vormen samen een ovoïde en komen overeen met een maximum cokliek in G M Nu wordt algemeen wat dieper ingegaan op het kleurgetal χ(g M ) en dominatiegetal σ(g M ) voor veralgemeende vierhoeken Kleurgetal χ(g M ) Observeer volgende tabel. Orde (s, t) van GQ(s, t) χ(g M ) s(t + 1) (2,1) 3 4 (2,2) 4 6 (2,4)

30 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Opvallend hierbij is het feit dat de bovengrens voor χ(g M ) allerminst scherp blijkt te zijn. Vermoedelijk wordt die bovengrens s(t + 1) slechts zelden bereikt. Een eerste manier om deze bovengrens drastisch te verlagen is om op zoek te gaan naar veralgemeende vierhoeken die een partitie van de punten in ovoïden toelaten (in het Engels: fan). Daarover hebben we volgende karakterisatie. Stelling In een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) geldt: χ(g M ) = s + 1 (m.a.w. de ondergrens voor χ(g M ) wordt bereikt) als en slechts als GQ(s, t) gepartitioneerd kan worden in ovoïden. Bewijs. GQ(s, t) telt (s + 1)(st + 1) punten en elke ovoïde bevat st + 1 punten. Aan elke ovoïde hoeft maar één kleur worden toegekend (want in een ovoïde is elk tweetal punten niet-collineair en dus niet adjacent in G M ). Als GQ(s, t) gepartitioneerd wordt in ovoïden hebben we dus inderdaad met s + 1 kleuren voldoende. Binnen elke kleurklasse zijn geen twee punten collineair in GQ(s, t). Elke kleurklasse stelt dus een partiële ovoïde voor en telt dus hoogstens st + 1 punten. Maar GQ(s, t) telt juist (s + 1)(st + 1) punten, dus elke klasse bezit wel degelijk st + 1 punten (anders zijn er punten zonder kleur). GQ(s, t) wordt dus gepartitioneerd in ovoïden. Fans lijken niet zo vaak voor te komen; het is immers een vrij strenge voorwaarde op de puntenverzameling. In [19] vindt men daarover een (negatief) resultaat (stelling 2.1.5). Om daartoe te komen, eerst nog een definitie en lemma (ook uit [19]). Definitie Als x y en x y, of als x y en {x, y} = t + 1 voor x, y punten van GQ(s, t) dan wordt het paar {x, y} regulier genoemd. Het punt x is regulier als {x, y} regulier is voor elk punt y, y x. Lemma Beschouw een veralgemeende vierhoek GQ(s) van orde s met een regulier paar {x, y} van niet-collineaire punten. Als O een ovoïde is van GQ(s) dan O {x, y}, O {x, y} {0, 2}, en O ({x, y} {x, y} ) = 2. Als de veralgemeende vierhoek van orde s (s 1) een ovoïde bevat en een regulier punt z niet behorend tot de ovoïde, dan is s even. Bewijs. Zij O ({x, y} {x, y} ) = {y 1,..., y r }. Als u P \ ({x, y} {x, y} ), dan ligt u op juist één rechte die een punt van {x, y} verbindt met een punt van {x, y}. Als u ({x, y} {x, y} ), dan ligt u op s+1 rechten die een punt van {x, y} verbinden met een punt van {x, y}. We tellen de paren {L, u} met L een rechte die een punt van {x, y} verbindt met een punt van {x, y}, u een punt van O incident met L. Houden we L respectievelijk u vast bekomt men (s+1) 2 = s 2 +1 r +r(1+s). Daaruit volgt dat r = 2. Omdat geen twee punten in O collineair zijn, is O {x, y}, O {x, y} {0, 2}. Voor het tweede deel van het lemma, zij O een ovoïde van de veralgemeende vierhoek GQ(s) en z een regulier punt niet in O. Zij y / O, z collineair met y (z y). De punten van O collineair met y noteren we met z 0,..., z s met z 0 Izy. Door het eerste deel van 16

31 2.1. Invarianten van de Mengergraaf G M (Γ) het lemma geldt voor elke i = 1,..., s {z, z i } O = {z i, z j } voor zekere j i. De z i s komen dus in paren voor. Vandaar is z 1,..., z s even, waarmee het tweede deel van het lemma bewezen is. Stelling Zij GQ(s) = (P, L, I) een veralgemeende vierhoek, met s even, die een regulier paar niet-collineaire punten bevat. Dan kunnen de punten van GQ(s) niet gepartitioneerd worden in ovoïden. Bewijs. Zij (x, y) een regulier paar van niet-collineaire punten van GQ(s). Als P gepartitioneerd kan worden in ovoïden, dan is wegens vorig lemma {x, y} even, en dus s = t oneven. Het lijkt het dus zinvol om via een andere (zwakkere) soort indeling van de punten het kleurgetal te proberen beperken. Vandaar volgende definitie. Definitie Een rosette van ovoïden van een veralgemeende vierhoek is een verzameling ovoïden door een punt, die de verzameling van punten op afstand twee van dat punt partitioneren. Voor veralgemeende vierhoeken GQ(s, t) die rosettes toelaten, kan de bovengrens voor χ(g M ) teruggebracht worden tot 2s. Immers, neem een rosette door een punt p en zij X de verzameling punten op afstand twee van p. Er zijn juist (s+1)(st+1) s(t+1) 1 = s 2 t punten in X (dit zijn immers juist de punten die niet-collineair zijn met p, door axioma (VV3)). Elke ovoïde door p bezit juist st punten uit X. We hebben dus slechts s2 t st = s kleuren nodig om de punten uit X geldig te kleuren. Voor p kunnen we één van de kleuren uit X gebruiken en dan rest ons nog de punten te kleuren die collineair zijn met p. Vermits geen twee daarvan, die op een verschillende rechte door p liggen nog eens onderling collineair zijn, volstaan hier s kleuren. We hebben dus slechts 2s kleuren nodig, m.a.w. als GQ(s, t) een rosette van ovoïden heeft, is χ(g M ) 2s, wat een pak beter is dan de bovengrens s(t + 1). Voorbeeld Nu kunnen we deze vaststellingen gebruiken om de waarden van χ(g M ) uit de tabel toe te lichten. (i) Een veralgemeende vierhoek van orde (2, 1) is isomorf met een (3 3)-rooster. Het telt 6 ovoïden en 2 fans, waarvan één staat afgebeeld op de figuur hiernaast. Voor GQ(2, 1) geldt dus inderdaad χ(g M ) = = 3, hoewel dit hier geen drastische verlaging van de Brooksgrens (die 4 was) oplevert. (ii) GQ(2, 2), waarvoor een constructie uitgelegd staat aan het begin van dit hoofdstuk, telt 6 ovoïden: neem een x {1, 2, 3, 4, 5, 6} vast, dan definiëren de verzameling van paren waarin x voorkomt telkens een ovoïde. Hiermee is ook duidelijk dat elke twee ovoïden snijden in een (uniek) punt. Er bestaan dus geen partities van 17

32 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten ovoïden voor GQ(2, 2). Dit verklaart waarom in dit geval χ(g M ) > = 3. Uit de tabel lezen we af dat χ(g M ) = 4 = 2 2. Een manier waarop we dit kunnen verklaren is via de rosettes van ovoïden zoals hierboven beschreven. GQ(2, 2) telt er zelfs 15 (1 rosette per punt). Dit wordt geïllustreerd op de tekening. Daarin herkent men een rosette door het punt {1, 6}: door dat punt gaat 46 enerzijds de ovoïde bestaande uit de punten met cijfer 1 in de naam 12 {{1, x} x {1, 2, 3, 5, 6}} (blauw) 13 en anderzijds de ovoïde {{x, 6} x {1, 2, 3, 4, 5}} (waarvan alle punten behalve {1, 6} kleur rood kregen om dat aan dit punt al het kleur van de blauwe ovoïde werd toegekend). Dan zijn er nog twee kleuren nodig (oranje en paars) voor de punten collineair met {1, 6}. Dit resulteert dus inderdaad in een kleuring van G M met 2 2 = 4 kleuren en het is hier meteen ook het minimum aantal kleuren dat er nodig zijn (χ(g M ) = 4). (iii) Als laatste een antivoorbeeld: GQ(2, 4) is een veralgemeende vierhoek die geen ovoïden heeft. De bovenstaande methodes kunnen we dus niet toepassen. GQ(2, 4) kan men combinatorisch beschrijven als volgt. Beschouw de veralgemeende vierhoek GQ(2, 2), ontstaan via de paren punten uit {1, 2, 3, 4, 5, 6} zoals eerder al beschreven. Voeg daar nog de nieuwe punten 1, 2, 3, 4, 5 en 6 en de nieuwe punten 1, 2, 3, 4, 5 en 6 aan toe. De punten van GQ(2, 4) bestaan uit de punten van GQ(2, 2) samen met deze nieuwe punten. De rechten van GQ(2, 4) zijn de rechten van GQ(2, 2) met al de nieuwe rechten van de vorm {x, {x, y}, ỹ} of {x, {y, x}, ỹ} (x, y {1, 2, 3, 4, 5, 6}, x y). Dan bezit GQ(2, 4) = 27 punten en = 45 rechten. Verder is χ(g M ) = 6, maar kunnen we niet bepalen via de beschreven methodes. Deze aantallen over ovoïden en fans voor elk van de veralgemeende vierhoeken zijn ook terug te vinden in [10] Dominantiegetal σ(g M ) Ook de opmerkingen over σ(g M ) zijn aanvulbaar met enkele interessante resultaten. De eerste stelling garandeert dat in GQ(s, t), s + 1 de kleinste bovengrens is voor σ(g M ). Stelling In een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) is een verzameling D van s punten nooit een dominerende verzameling in de Mengergraaf G M. 18

33 2.2. Invarianten van de rechtengraaf G R (Γ) Bewijs. Beschouw een willekeurige verzameling D van s punten. Neem in GQ(s, t) een rechte L scheef aan D. Dit is mogelijk omdat GQ(s, t) uit stelling (t + 1)(st + 1) rechten bevat en er hoogstens s(t + 1) zijn die een punt van D bevatten. Elk punt uit D is echter collineair met een uniek punt op L wegens (VV3). Maar L telt s + 1 punten, er is dus minstens één punt op L collineair met geen enkel punt uit D. M.a.w. D is geen dominerende verzameling in G M. Uit deze stelling en de opmerkingen aan het begin van de paragraaf volgt dus onmiddellijk: Stelling Voor een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) is het dominantiegetal σ(g M ) gelijk aan s + 1. We merken daarbij nog het volgende op. Dit resultaat betekent niet dat enkel de punten op eenzelfde rechte een dominerende verzameling van kardinaliteit σ(g M ) kunnen vormen. Neem bijvoorbeeld de punten {1, 3}, {1, 4} en {3, 4} in GQ(2, 2): deze 2+1 punten liggen niet op eenzelfde rechte maar vormen wel een minimum dominerende verzameling. Conclusie Voor een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) is ω(g M ) = s + 1 χ(g M ) s(t + 1). De bovengrens kan in een aantal gevallen verscherpt worden tot 2s. Dit is het geval als GQ(s, t) een rosette van ovoïden toelaat. Ook werd de nodige en voldoende voorwaarde opgesteld dat χ(g M ) = s + 1 als en slechts als de punten van GQ(s, t) gepartitioneerd kunnen worden in ovoïden. Als GQ(s, t) een ovoïde heeft, dan geeft dit aanleiding tot een maximum cokliek in G M en dus β(g M ) = st + 1. Het dominantiegetal σ(g M ) ligt voor GQ(s, t) vast op s + 1: de punten op eenzelfde rechte vormen een minimum dominerende verzameling. 2.2 Invarianten van de rechtengraaf G R (Γ) A.d.h.v. dualisatie zullen we voor G R enkele resultaten kunnen afleiden uit de bevindingen voor G M. Immers, de duale van een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) is terug een veralgemeende vierhoek GQ(t, s) waarbij dus de rol van de parameters omgewisseld is. Dan volgen de stellingen over G R vrij onmiddellijk uit de stellingen over G M. Om het dualiseren van een bewijs toch nog eens te illustreren wordt bij de eerste stelling alles uitgeschreven. De rest van de stellingen wordt zonder bewijs gegeven, omdat men telkens gewoon het principe van dualiteit moet toepassen. We beginnen met de dualisatie van tabel

34 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Tabel 2.2: Interpretatie invarianten voor G R (Γ) Invariant Γ Kleurgetal χ(g R ) Onafhankelijkheidsgetal β(g R ) Dominantiegetal σ(g R ) Kliekgetal ω(g R ) conc. rechten verschillende kleur max. verzameling 2 aan 2 niet-conc. rechten elk rechte is conc. met 1 rechte uit min. dom. verz. (of zit erin) max.verzameling 2 aan 2 conc. rechten We kunnen enkele gedualiseerde opmerkingen maken. 1. Voor GQ(s, t) bedraagt de kardinaliteit van een maximum kliek juist het aantal rechten door een punt; meer kan niet wegens (VV3). We hebben dus ω(g R ) = t Daaruit, en via de stelling van Brooks bekomen we ω(g R ) = t + 1 χ(g R ) t(1 + s). 3. Een maximale cokliek in de rechtengraaf wordt vertaald als een maximale partiële spread in GQ(s, t) en omgekeerd komt een maximale partiële spread tot uiting in de rechtengraaf als een maximale cokliek. Een spread van GQ(s, t) echter resulteert altijd in een maximum cokliek. In dat geval is dus β(g R ) = S = st + 1 uit eigenschap Ten slotte stelt hier analoog het aantal rechten door een punt een minimum dominerende verzameling voor, m.a.w. σ(g R ) = t + 1. Voorbeeld Op de volgende figuur zie je opnieuw GQ(2, 2) met rechts ervan de rechtengraaf G R (GQ(2, 2)) = G M (GQ(2, 2). Dit voorbeeld is dus heel gelijkaardig aan het voorbeeld voor G M : Invariant Waarde χ(g R ) 4 σ(g R ) 3 β(g R ) 5 ω(g R ) 3 De kleuren van de onderste drie invarianten van de tabel verwijzen opnieuw gewoon naar de kleuren in de meetkunde en de graaf. De rechten door het punt {1, 2} stellen zowel een minimum dominerende verzameling voor (dit zal later blijken uit stelling 2.2.5) als een maximum kliek in G R. De rode rechten vormen samen een spread en komen overeen met een maximum cokliek in G R. 20

35 2.2. Invarianten van de rechtengraaf G R (Γ) , 35, 26 15, 34, 26 16, 34, 25 12, 35, 46 13, 46, 25 13, 45, 26 16, 45, , 25, 36 14, 23, 56 15, 23, 46 15, 36, 24 12, 34, 56 12, 45, 36 16, 24, 35 13, 56, 24 Deze bevindingen kunnen we nu wat scherper belichten. Het loont bijvoorbeeld de moeite te onderzoeken wat voor resultaten het dualiseren van het begrip dominerende verzameling oplevert. Daarvoor definiëren we eerst wat we verstaan onder een duale dominerende verzameling; voor de duidelijkheid herhalen we ook nog eens de definitie van een gewone dominerende verzameling. Zij G = (V, E) een graaf. Definitie Een deelverzameling S V is een dominerende verzameling van G als elke top van V S adjacent is met tenminste één top uit S. Een dominerende verzameling van G M (Γ) komt overeen met een verzameling punten van Γ zodanig dat elk ander punt niet in die verzameling collineair is met tenminste één punt wel uit die verzameling. Als we deze redenering nu dualiseren, komen we tot een verzameling rechten van Γ zodat elke andere rechte niet in die verzameling concurrent is met tenminste één rechte wel uit die verzameling. Definitie Een duale dominerende verzameling van Γ bestaat uit de verzameling rechten bepaald door de toppen uit een dominerende verzameling van G R (Γ). Stelling In een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) geldt: ω(g R ) = t+1 χ(g R ) t(1 + s) waarbij de ondergrens bereikt wordt als en slechts als GQ(s, t) gepartitioneerd kan worden in spreads. Bewijs. Uit axioma (VV3) volgt dat t + 1 het maximaal aantal rechten is dat 2 aan 2 concurrent kan zijn, namelijk alle rechten door een gegeven punt. Daardoor is ω(g R ) = t + 1. Het kliekgetal is een ondergrens voor het kleurgetal, dus dan volgt de eerste 21

36 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten ongelijkheid. De bovengrens bekomen we door de stelling van Brooks toe te passen: elke rechte is concurrent met t(1 + s) andere rechten, dus de graad van elke top in G R is t(1 + s). GQ(s, t) telt (t+1)(st+1) rechten en elke spread bevat st+1 punten. Aan elke spread hoeft maar één kleur worden toegekend (want in een spread is elk paar rechten nietconcurrent en dus niet adjacent in G R ). Als GQ(s, t) gepartitioneerd wordt in spreads hebben we dus inderdaad met t + 1 kleuren voldoende. Binnen elke kleurklasse zijn geen twee rechten concurrent in GQ(s, t). Elke kleurklasse stelt dus een partiële spread voor en telt dus hoogstens st + 1 rechten. Maar GQ(s, t) telt juist (t + 1)(st + 1) rechten, dus elke klasse bezit wel degelijk st + 1 rechten (anders zijn er toppen in G R zonder kleur). GQ(s, t) wordt dus gepartitioneerd in spreads. Ook voor G R geldt dat als de veralgemeende vierhoek in kwestie een rosette van spreads 2 toelaat, χ(g R ) = 2t. Er zijn immers door (VV3) (t + 1)(st + 1) t(s + 1) 1 = st 2 rechten op afstand twee van een gegeven rechte L (noem deze verzameling rechten Y ). Elke spread door L bezit juist st rechten van Y. We hebben dus slechts st2 st = t kleuren nodig om de punten uit Y geldig te kleuren. Voor L kunnen we één van de kleuren uit Y gebruiken en dan rest ons nog de rechten te kleuren die concurrent zijn met L. Vermits geen twee daarvan, die door een verschillend punt van L gaan nog eens onderling concurrent zijn, volstaan hier t kleuren. We hebben dus slechts 2t kleuren nodig, m.a.w. als GQ(s, t) een rosette van spreads heeft, is χ(g R ) 2t, wat een pak beter is dan de bovengrens t(s + 1). Stelling Voor een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) geldt: σ(g R ) = t + 1. Bewijs. We zijn op zoek naar de kardinaliteit van een minimum duale dominerende verzameling van GQ(s, t). Uit stelling telt een minimum dominerende verzameling van de duale veralgemeende vierhoek GQ(t, s) t + 1 punten. Wegens dualiteit vormen deze punten, in GQ(s, t), een minimum duale dominerende verzameling rechten. Een duale dominerende verzameling van een veralgemeende vierhoek doet denken aan een geometrische hypervlak van een polaire ruimte: deze laatste is immers een echte deelruimte die met geen enkele rechte disjunct is. Men zou dus kunnen vermoeden dat de unie van de punten van een duale dominerende verzameling een geometrisch hypervlak is. Dat blijkt inderdaad zo te zijn voor de minimum duale dominerende verzamelingen. Daarvoor moet nog enkel aangetoond worden dat zo n verzameling een echte deelruimte is, aan de andere voorwaarde van geometrisch hypervlak is bij definitie al voldaan. Stelling De unie van de punten van een minimum duale dominerende verzameling van GQ(s, t) (bestaande uit minstens 2 rechten) vormt een geometrisch hypervlak van de polaire ruimte GQ(s, t). 2 Door dualisering van definitie wordt met een rosette van spreads bedoeld: een verzameling spreads door een rechte, die de verzameling van rechten op afstand twee van die rechte partitioneren (met afstand bekeken in de rechtengraaf G R). 22

37 2.2. Invarianten van de rechtengraaf G R (Γ) Bewijs. We gaan enkel nog na dat een minimum duale dominerende verzameling D een echte deelruimte is van GQ(s, t). Daartoe moeten we aantonen dat voor twee punten x en y in D, de rechte L door x en y volledig in D bevat zit. Stel uit het ongerijmde dat dit niet waar is. Neem een punt p van L, p D. Zij K (resp. M) een rechte door x (resp. y) bevat in D. We hebben D = t+1 uit stelling Door p gaan t+1 rechten, die elk tenminste één punt uit D bevatten omdat D een duale dominerende verzameling is. Twee rechten door p kunnen niet dezelfde rechte in D snijden omdat dit in strijd is met (VV3). Alle t + 1 rechten door p hebben dus een unieke rechte in D waarmee ze concurrent zijn. Maar zo n unieke rechte mag niet K noch M zijn, omdat anders terug niet voldaan is aan (VV3). Aangezien D evenveel rechten telt als er rechten door p gaan, is dit onmogelijk. Alle punten van L liggen bijgevolg in D. D is dus een geometrisch hypervlak van GQ(s, t). Er bestaat een volledige classificatie van de geometrische hypervlakken van een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) [19]. Concreet kunnen zich voor een geometrisch hypervlak H volgende gevallen voordoen (met s > 1): (a) H = p voor een zeker punt p van GQ(s, t), (b) H is een ovoïde, (c) H is een deelvierhoek van orde (s, t ). Daarbij stelt p de verzameling punten voor die collineair zijn met p en een veralgemeende vierhoek GQ (s, t ) = (P, L, I ) van orde (s, t ) wordt een deelvierhoek van de veralgemeende vierhoek GQ(s, t) = (P, L, I) genoemd als P P, L L en als I de restrictie is van I tot (P L ) (L P ). In voorbeeld hebben we dus te maken met geval (a). In het geval (c) dat H een deelvierhoek is van orde (s, t ) benadrukken we het behoud van de eerste parameter s. Dit is noodzakelijk omdat H een geometrisch hypervlak is en dus moet snijden met elke rechte van GQ(s, t). Deze garantie heeft men niet als de eerste parameter kleiner zou zijn dan s. Ook op de tweede parameter t liggen restricties, zoals de volgende stelling toont. Stelling Zij GQ(s, t) een veralgemeende vierhoek. Als in GQ(s, t) een geometrisch hypervlak H een deelvierhoek van orde (s, t ) is, dan geldt t = st (of dus t = t s ). Bewijs. Zij L de verzameling rechten van GQ(s, t). We tellen dit aantal op twee verschillende manieren. Enderzijds haalt men uit stelling dat L = (t + 1)(st + 1). Anderzijds kunnen we L opsplitsen in rechten volledig behorende tot H en rechten die niet volledig tot H behoren (en H dus in een uniek punt snijden). Omdat H een veralgemeende vierhoek is van orde (s, t ) haalt men opnieuw uit stelling dat het aantal rechten van H (t + 1)(st + 1) bedraagt. Door elk punt van GQ(s, t) gaan t + 1 rechten, waarvan er t + 1 volledig tot H behoren. Elk punt p van H bezit dus nog t t 23

38 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten rechten die H in dat uniek punt p snijden. Omdat H (opnieuw wegens stelling ) (s + 1)(st + 1) punten bezit, vinden we dat er dus (t t )(s + 1)(st + 1) rechten H in een uniek punt snijden. We bekomen onderstaande vergelijking in s, t en t en lossen op naar t : waaruit of dus (t + 1)(st + 1) = (t + 1)(st + 1) + (t t )(s + 1)(st + 1) 0 = t 2 + t(t s + t ) st 2 t 1 = t s + t + (st t ) 2 2 en t 2 = t s + t (st t ) 2 2 t 1 = t s en t 2 = t waarbij we de oplossing t 2 = t buiten beschouwing laten omdat H een echte deelvierhoek is. We vinden dus inderdaad t = st. Voorbeeld (i) Voor s = t, beschouw een veralgemeende vierhoek van orde s met als deelvierhoek een rooster van orde (s, 1). Een spread in deze deelvierhoek stelt een duale dominerende verzameling voor van GQ(s, s). (ii) Analoog stelt een spread in GQ(2, 2) een duale dominerende vezameling voor in GQ(2, 4). Conclusie Voor een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) geldt ω(g R ) = t + 1 χ(g R ) t(s + 1). In het geval dat GQ(s, t) een spread bevat kan de bovengrens verscherpt worden tot 2t. Ook werd hier de nodige en voldoende voorwaarde opgesteld voor het bereiken van de ondergrens: χ(g R ) = t + 1 als en slechts als de rechten van GQ(s, t) gepartitioneerd kunnen worden in spreads. Als GQ(s, t) een spread heeft, dan geeft dit aanleiding tot een maximum cokliek in G R, en dus dan β(g R ) = st + 1. Rechten door eenzelfde punt vormen een minimum dominerende verzameling, waaruit σ(g R ) = t + 1. De unie van de punten van zo n minimum duale dominerende verzameling rechten vormt een geometrisch hypervlak in GQ(s, t). 2.3 Invarianten van de configuratiegraaf G C (Γ) G C (Γ) is het complement van G M (Γ). In G C (Γ) worden dus twee toppen verbonden door een boog als de overeenkomstige punten niet collineair zijn in Γ. Voor de interpretaties komt dit erop neer dat we gewoon de negatie van de interpretaties voor G M kunnen nemen. Onderstaande opmerkingen volgen ook rechtstreeks uit de vaststellingen over G M. 24

39 2.3. Invarianten van de configuratiegraaf G C (Γ) Tabel 2.3: Interpretatie invarianten voor G C (Γ) Invariant Γ Kleurgetal χ(g C ) Onafhankelijkheidsgetal β(g C ) Dominantiegetal σ(g C ) Kliekgetal ω(g C ) niet-coll. punten verschillende kleur max. verzameling 2 aan 2 coll. punten elk punt is niet-coll. met 1 punt uit min. dom. verz. (of zit erin) max. verzameling 2 aan 2 niet-coll. punten 1. Een maximale cokliek van G C wordt vertaald als een maximale partiële ovoïde in GQ(s, t) en omgekeerd komt een maximale partiële ovoïde tot uiting in de configuratiegraaf als een maximale cokliek. Een ovoïde van GQ(s, t) echter resulteert altijd in een maximum cokliek. In dat geval is dus ω(g C ) = O = st + 1 uit eigenschap Samengevat is dus ω(g C ) st + 1 met gelijkheid als de veralgemeende vierhoek een ovoïde bezit. 2. Voor GQ(s, t) bedraagt de kardinaliteit van een maximum cokliek juist het aantal punten op een rechte; meer kan niet wegens (VV3). We hebben dus β(g C ) = ω(g M ) = s + 1 voor GQ(s, t). 3. Omdat algemeen voor een graaf G geldt σ(g) β(g) is dus σ(g C ) s + 1 voor GQ(s, t). 4. Algemeen is het kliekgetal een ondergrens voor het kleurgetal. Als GQ(s, t) minstens één ovoïde bevat dan ligt ω(g C ) vast op st + 1 en dus dan st + 1 χ(g C ) t(s + 1). Deze bovengrens is opnieuw afgeleid uit de stelling van Brooks. Voorbeeld Deze vaststellingen worden, zoals bij de vorige twee grafen, geïllustreerd a.d.h.v. GQ(2, 2), rechts op de afbeelding vindt u G C (GQ(2, 2)). Concreet bedragen de waarden voor de invarianten hier: Invariant Waarde χ(g C ) 5 σ(g C ) 3 β(g C ) 3 ω(g C ) 5 Ook hier duiden de kleuren in de figuur enkel op de laatste drie invarianten, niet op een kleuring voor G C. De rode rechte {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} wordt een maximum onafhankelijke verzameling in G C en omgekeerd. De blauwe ovoïde {{1, x} x {2, 3, 4, 5, 6}} van GQ(2, 2) toont de overeenkomst met een maximum kliek in G C. 25

40 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Stelling Voor een veralgemeende vierhoek is σ(g C ) = Bewijs. We bewijzen eerst dat er minstens 3 punten nodig zijn in een minimum dominerende verzameling: 2 collineaire punten kunnen nooit voldoen vermits de andere punten op die rechte (zo is er minstens nog één, zie definitie ) dan collineair zijn met alle punten van de minimaal dominerende verzameling. 2 niet-collineaire punten x en y zijn ook niet genoeg: neem bijvoorbeeld een rechte L door x, dan is y collineair met een punt z op L verschillend van x. Maar dan is z collineair met zowel x als y, dus in G C adjacent met noch x noch y. We tonen nu aan dat 3 punten voldoende zijn: door dezelfde redenering als daarnet kunnen 3 collineaire punten nooit voldoen als een rechte meer dan 3 punten bevat (is dat niet het geval, dan vormen de punten van een rechte wel een minimaal dominerende verzameling in G C, zie bijvoorbeeld het (3 3)-rooster). Wel is het voldoende om 2 collineaire punten x en y te nemen, samen met een punt z collineair met bijvoorbeeld x. Dan bestaat er geen enkel punt collineair met al deze punten wegens (VV3). Merk op dat als de strengere definitie van dominerende verzameling gebruikt wordt (d.w.z. dat ook voor de punten in de dominerende verzameling moet gelden dat ze nietcollineair zijn met tenminste één punt van de dominerende verzameling) volstaan juist 4 punten die in een configuratie van een gewone vierhoek liggen. In stelling werd een nodige en voldoende voorwaarde opgesteld om het kleurgetal χ(g M ) van GQ(s, t) vast te leggen op s + 1. Het is een natuurlijke denkpiste om te onderzoeken of iets gelijkaardigs ook kan gedaan worden voor het complement, de configuratiegraaf G C. Dit blijkt inderdaad zo te zijn. Stelling In de configuratiegraaf G C van een veralgemeende vierhoek GQ(s, t) geldt χ(g C ) = st + 1 als en slechts als GQ(s, t) heeft een spread. Bewijs. Per rechte van de spread kan men één kleur toekennen: die punten zijn twee aan twee collineair en dus niet-adjacent in G C. Een spread telt 1 + st rechten en zo 26

41 2.4. Toepassing: veralgemeende vierhoeken van orde 3 hebben we maximum 1 + st kleuren. We hebben er ook minimum zoveel nodig, want ω(g C ) = 1 + st χ(g C ). Hieruit volgt dus inderdaad de gelijkheid χ(g C ) = st + 1. Stel χ(g C ) = st + 1. Vermits het totaal aantal punten (s + 1)(st + 1) bedraagt, telt elke kleurklasse gemiddeld s + 1 punten. Maar meer dan s + 1 punten kan niet, want β(g C ) = s + 1 door (VV3). Dus alle kleurklassen bezitten juist s + 1 punten, i.h.b. telkens s + 1 punten van eenzelfde rechte. Alle kleurklassen stellen dus rechten voor, m.a.w. de kleuring in st + 1 kleuren resulteert in een spread van GQ(s, t). Conclusie Een maximum kliek bestaat uit het maximum aantal paarsgewijs niet-collineaire punten. Vandaar ω(g C ) st + 1 met gelijkheid als GQ(s, t) een ovoïde bezit. Een maximum cokliek wordt gevormd door het aantal punten op een rechte, dus β(g C ) = s + 1. Het kleurgetal χ(g C ) bedraagt hoogstens t(s + 1) en bereikt zijn ondergrens st + 1 dan en slechts dan als GQ(s, t) een spread bezit. Als GQ(s, t) zowel een ovoïde als een spread bezit, dan is dus ω(g C ) = χ(g C ) = st + 1. Verder ligt het dominantiegetal van G C voor een veralgemeende vierhoek altijd vast op σ(g C ) = Toepassing: veralgemeende vierhoeken van orde 3 Alle veralgemeende vierhoeken van orde 3 zijn gekend: ofwel is GQ(3, 3) isomorf met de symplectische polaire ruimte W (3) ofwel met zijn duale W (3) D = Q(4, 3) waarbij W (3) bestaat uit alle punten van P G(3, 3) en als rechten de totaal isotrope rechten van P G(3, 3) heeft m.b.t. de symplectische polariteit horende bij W (3). Q(4, 3) is een parabolische kwadriek in P G(4, q) bestaande uit de absolute punten van P G(4, q) m.b.t. de polariteit horende bij Q(4, 3). Er is een combinatorische omschrijving van W (3) om handen [4], die het soms makkelijker maakt bepaalde zaken te beschrijven of voor te stellen: Stel N = {1, 2, 3, 4}. De 40 punten van W (3) zijn de elementen (i+), (i ), (ij+), (ij ), met i, j N. 16 van de 40 rechten kunnen beschreven worden als de verzamelingen {(i+), (j ), (ij+), (ij ) i, j N} (waarbij i = j is toegestaan). Verder kunnen twee rechten worden beschreven als {(iiɛ) i N}, ɛ {+, }}. Voor elke vaste fixpuntvrije involutie σ van N hebben we de twee rechten {(ii σ ɛ i ) i N, {ɛ i, ɛ j } = {+, }, voor{i, i σ, j, j σ } = N}. Voor de overige rechten: neem een permutatie θ 0 van N vast, waarbij θ 0 juist één fixpunt heeft. Voor elke permutatie θ van N met juist één fixpunt definiëren we de rechten {(ii θ ɛ) i N}, ɛ {+, }} als θ 0 θ juist één fixpunt heeft, en {(ii θ ɛ) i N}, {ɛ i, ɛ j } = {+, } voor i j = j θ } in het andere geval (dan heeft θ 0 θ dus geen of vier fixpunten). 27

42 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Deze constructie resulteert in een (40) 4 -configuratie zonder driehoeken. Dat het wel degelijk W (3) definieert - en niet zijn duale Q(4, 3) - kan men zien aan het feit dat deze constructie een duaal rooster bevat (in tegenstelling tot Q(4, 3) die een rooster als deelvierhoek bevat) : de 4 punten uit {(i+) i N} zijn collineair met alle 4 de punten van {(i ) i N}. We merken nog op dat er in feite slechts 2 verschillende keuzes zijn voor θ 0 (bepaalde keuzes zullen toch tot dezelfde rechten leiden). Voor het vervolg werd de keuze θ 0 = (234) gemaakt. In het vervolg van de paragraaf worden enkele resultaten getoond over de Mengergraaf, rechtengraaf en configuratiegraaf van deze veralgemeende vierhoeken van orde 3. Deze twee veralgemeende vierhoeken worden tegelijkertijd behandeld omdat ze zo nauw met elkaar in verband staan door dualiteit. Door de grote orde van de grafen in dit voorbeeld zullen de grafen zelf niet expliciet voorgesteld worden (die verbanden werden immers al expliciet geïllustreerd in de vorige paragrafen). De combinatorische beschrijving zal wel helpen om hier en daar de gedachten te vestigen Mengergraaf G M en rechtengraaf G R Door de dualiteit tussen enerzijds Q(4, 3) en W (3) en anderzijds de Mengergraaf G M en rechtengraaf G R ontstaat het handige verwantschap: Stelling G M (Q(4, 3)) = G R (W (3)) en G M (W (3)) = G R (Q(4, 3)). Bewijs. We geven een bewijs voor het eerste isomorfisme, het tweede is analoog. Daarvoor gaan we op zoek naar een bijectie f tussen de toppen van G M (Q(4, 3)) en G R (W (3)) waarvoor geldt u v f(u) f(v). Door dualiteit corresponderen de punten van Q(4, 3) met de rechten van W (3). De toppenverzameling van G M (Q(4, 3)) komt overeen met de punten van Q(4, 3) en de toppenverzameling van G R (W (3)) met de rechten van W (3). Twee toppen uit G M (Q(4, 3)) zijn adjacent zijn als en slechts als door de overeenkomstige punten p en q in Q(4, 3) een rechte gaat. Door dualiteit gebeurt dit als en slechts als de rechten p D en q D concurrent zijn, of dus de overeenkomstige toppen van p D en q D in G R (W (3)) adjacent. Kleurgetal χ Voor GQ(3, 3) is G M 12-regulier. Wegens de stelling van Brooks geldt dus: χ(g M ) 12. Van de methoden uit paragraaf 2.1 over fans van ovoïden om deze bovengrens eventueel te verlagen zullen we hier weinig vruchten plukken. Dit volgt uit onderstaande bestaansresultaten over ovoïden en spreads van Q(4, q) [19]. Omdat W (3) en Q(4, 3) elkaars duale zijn, verschaft dit ook informatie over spreads en ovoïden van W (3): 28

43 2.4. Toepassing: veralgemeende vierhoeken van orde 3 Stelling De GQ Q(4, q) heeft altijd ovoïden. Het bezit spreads als en slechts als q even is, maar in dat geval heeft het geen partitie in ovoïden of spreads wegens stelling Het geval dat hier behandeld wordt is q = 3, dus volgt dat Q(4, 3) altijd ovoïden heeft maar geen spreads bezit (en W (3) dus altijd spreads bezit, maar geen ovoïden heeft). Een voorbeeld van een spread in W (3), via de combinatorische beschrijving is deze partitie van punten in rechten: {(1+),(1-),(11+),(11-)} {(2+),(2-),(22+),(22-)} {(3+),(3-),(33+),(33-)} {(4+),(4-),(44+),(44-)} {(12±),(21±),(34 ),(43 )} {(13±), (24 ), (31±), (42 )} {(14±),(23 ),(32 ),(41±)} Q(4, 3) heeft rosettes van ovoïden, maar geen fans van ovoïden [10]. Hieruit volgt dus ook dat W (3) niet kan gepartitioneerd worden in spreads. Door de afwezigheid van fans en de aanwezigheid van rosettes van ovoïden in Q(4, 3) halen we dus dat 4 < χ(g M (Q(4, 3))) 2s = 2 3 = 6, anders gezegd χ(g M (Q(4, 3))) = 5 of 6. Wegens dualiteit komt een rosette van ovoïden in Q(4, 3) overeen met een rosette van spreads in W (3) 3. Uit stelling volgt χ(g R (W (3))) = 5 of 6. Verder is 4 χ(g M (W (3))) 12. Onafhankelijkheidsgetal β Vermits Q(4, 3) over ovoïden beschikt, volgt er uit opmerking 3 bij de interpretatie van de invarianten van de Mengergraaf (paragraaf 2.1) en stelling dat β(g M (Q(4, 3))) = β(g R (W (3))) = 10. Zoals ook daarjuist gezegd bezit W (3) geen ovoïden. Hier is dus β(g M (W (3))) < 10. Men moet op zoek naar zo groot mogelijke partiële ovoïden om β(g M (W (3))) te bepalen: deze punten bepalen dan immers een zo groot mogelijke maximale cokliek (i.e. maximum cokliek). In [7] heeft men onder andere voor W (3) bepaald dat de groottes van maximale partiële ovoïden tot het interval [4, 7] behoren. Merk op dat die ondergrens ook volgt uit de grafentheoretische eigenschap dat σ(g) β(g) voor een willekeurige graaf G en stelling Hieruit besluiten we dus β(g M (W (3))) = 7 = β(g R (Q(4, 3))). Onderstaande constructie maakt duidelijk hoe je zo een maximale partiële ovoïde van orde 7 kan vinden. Daarna geven we een bewijs van de geldigheid ervan. De methode zelf komt ook uit [7]. Eerst komt nog een definitie die nodig is voor de constructie. Definitie In een veralgemeende vierhoek wordt de verzameling punten {x, y} (voor 2 willekeurige punten x en y) een hyperbolische rechte genoemd. 3 Door dualisering van definitie wordt met een rosette van spreads bedoeld: een verzameling spreads door een rechte, die de verzameling van rechten op afstand twee van die rechte partitioneren (met afstand bekeken in de rechtengraaf G R). 29

44 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten W (3) wordt gekarakteriseerd door het feit dat al haar punten regulier zijn (definitie 2.1.3) [19]. De hyperbolische rechten in W (3) tellen dus 4 punten. Neem alle punten buiten één punt r van een hyperbolische rechte. Neem nu nog willekeurig één punt (verschillend van r) op elk van de 4 rechten door r. Zo krijgen we een verzameling van = 7 punten. Stelling De puntenverzameling O bekomen via bovenstaande constructie vormt een partiële ovoïde van W (3). Bewijs. Voor de duidelijkheid: het begrip collineariteit slaat hier op de gewone rechten van de veralgemeende vierhoek W (3) en niet op de hyperbolische rechten. Punten die behoren tot eenzelfde hypberbolische rechte kunnen nooit collineair zijn want dit zou (VV3) tegenspreken. De punten behorend tot r, die op een verschillende rechte door r liggen, zijn onderling ook niet collineair, opnieuw door (VV3). Tenslotte kan het ook niet dat een rechte zowel een punt van de gekozen hyperbolische rechte, als één van de gekozen punten uit r bevat (zoals beschreven in de constructie), door opnieuw hetzelfde axioma (de punten van de hyperbolische rechte zijn immers al collineair met een punt van elke rechte door r). Elke rechte bevat dus hoogstens één punt van O, m.a.w. O is een partiële ovoïde van W (3). Voorbeeld Via de combinatorische beschrijving beschouwen we bijvoorbeeld de hyperbolische rechte {(1 ), (4 )} bestaande uit de punten {(1 ), (2 ), (3 ), (4 )} (de punten uit {(1 ), (4 )} zijn de punten {(1+), (2+), (3+), (4+)}). Kiezen we r = (1 ) en achtereenvolgens (11+), (21+), (31+), (41+) als punten uit r dan vinden we bijvoorbeeld als maximale partiële ovoïde van 7 punten: {(2 ), (3 ), (4 ), (11+), (21+), (31+), (41+)} Dit wordt verduidelijkt op onderstaande tekening (enkel de relevante punten zijn getekend). (2 ) (1 ) (11+)(21+) (31+) (41+) (1+) (2+) (3+) (4+) {(1 ), (4 )} (3 ) (4 ) 30

45 2.4. Toepassing: veralgemeende vierhoeken van orde 3 Dominantiegetal σ Stelling toegepast op dit voorbeeld (veralgemeende vierhoeken van orde 3) legt σ(g M ) vast op 4 (en dus ook σ(g R )). Deze sectie is dus snel afgerond. W (3) en zijn duale Q(4, 3) lenen zich echter mooi om de theorie over dominerende verzameling en duale dominerende verzameling nog eens te illustreren. Herinner u dat Q(4, 3) een (4 4)-rooster als deelvierhoek bezit, laten we dat R noemen, en W (3) een duaal (4 4)-rooster R D. (Het duale rooster bestaat via de combinatorische beschrijving uit de punten {(i+) i N} en {(i ) i N}). Een spread van R is een duale dominerende verzameling van Q(4, 3) (dit haalt men uit voorbeeld 2.2.8) en wegens dualiteit vinden we dus in R D een ovoïde van R D die een dominerende verzameling voorstelt in W (3). De puntenverzameling θ := {(i+) i N} van R D voldoet bijvoorbeeld aan die eis: elke rechte in R D bezit juist één punt van θ en elk punt van W (3) is collineair met een punt uit θ, wat de meetkundige interpretatie was van een dominerende verzameling. Kliekgetal ω Zoals al eerder gezien is ook hier ω(g M ) gewoon gelijk aan het aantal punten op een rechte, hier dus 4. Ook volgt meteen ω(g R ) = Configuratiegraaf G C De meeste resultaten over de configuratiegrafen G C (Q(4, 3)) en G C (W (3)) vloeien snel voort uit de vaststellingen in de paragraaf van de invarianten van de configuratiegraaf. Hier worden ze bondig opgesomd. Omdat Q(4, 3) over ovoïden beschikt, wordt ω(g C (Q(4, 3)) = 10. Voor W (3) gebruiken we het feit dat G C en G M elkaars complement zijn: ω(g C (W (3)) = β(g M (W (3)) = 7. β(g C ) = 4 want zowel Q(4, 3) als W (3) hebben 4 punten per rechte. Voor W (3) en Q(4, 3) is σ(g C ) = 3 wegens stelling Voor Q(4, 3): uit ω(g C ) χ(g C ) en de stelling van Brooks en stelling volgt 10 χ(g C ) 27. Voor W (3): via dezelfde redenering krijgen we hier 7 χ(g C ) 27. De intervallen voor χ zijn in beide gevallen nogal breed. Het kleurgetal χ(g C (W (3))) kan echter exact vastgelegd worden op 10 via stelling (W (3) heeft een spread). Een verfijning voor χ(g C (Q(4, 3))) kunnen we niet rechtstreeks bekomen, maar a.d.h.v. de maximale partiële ovoïde van W (3) in voorbeeld en dualiteit kan men besluiten dat χ(g C (Q(4, 3))) 11. Inderdaad, de maximale partiële ovoïde Õ (7 punten) van W (3) die daar beschouwd werd, was {(2 ), (3 ), (4 ), (11+), (21+), (31+), (41+)} 31

46 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Door dualiteit stelt dit een maximale partiële spread S voor in Q(4, 3). Er zijn 7 4 = 28 van de 40 rechten die een punt van de partiële ovoïde bevatten. Dat zijn dus duaal 28 punten die per 4 door een rechte van de overeenkomstige partiële spread bedekt worden. Om de overeenkomstige toppen in G C te kleuren hebben we hier al 7 kleuren nodig: voor elke rechte een ander. Er zijn nog 12 rechten van W (3) die geen enkel punt gemeen hebben met Õ. Dat zijn dus 12 punten van Q(4, 3) die tot geen enkele rechte van S behoren. 19 = kleuren volstaan dus al zeker om G C te kleuren, maar dat is in het geval al die overblijvende 12 punten 2 aan 2 niet-collineair zouden zijn. Dit is echter niet zo. Dit kan men inzien door de configuratie van de 12 overblijvende rechten in W (3) te bekijken en daar zal dan ook meteen het besluit over χ(g C ) uit vloeien. Hieronder worden de 12 overblijvende rechten (i.e. de rechten die volledig disjunct zijn met Õ) opgelijst: {(13 ), (3 ), (13+), (1+)} {(11 ), (22 ), (33 ), (44 )} {(13 ), (24+), (31 ), (42+)} {(11 ), (24+), (32+), (43+)} {(13 ), (32 ), (21 ), (44 )} {(11 ), (23 ), (34 ), (42 )} {(12 ), (21 ), (34+), (43+)} {(14 ), (23+), (32+), (41 )} {(12 ), (22+), (34 ), (41 )} {(14 ), (22 ), (31 ), (43 )} {(12 ), (23 ), (31 ), (44+)} {(14 ), (21 ), (33+), (42 )} De rechten staan gegroepeerd per 3, omdat die telkens door een gemeenschappelijke eerste punt gaan (nl. de punten uit {(13 ), (11 ), (12 ), (14 )} =: A). De punten uit A zijn onderling niet-collineair: de laatste rechte door (13 ) is {(1+), (3 ), (13+), (13 )}, voor (11 ) is dat de rechte {(1+), (1 ), (11+), (11 )}, voor het punt (12 ) wordt dat {(1+), (2 ), (12+), (12 )} en voor (14 ) bestaat de laatste rechte uit de punten {(1+), (4 ), (14+), (14 )}. Door dualiteit zullen de overeenkomstige rechten van de punten uit A in Q(4, 3) dan 2 aan 2 niet-concurrent zijn, noem deze verzameling rechten A D. Dus een top in G C die een punt van zo een rechte L A D voorstelt, zal adjacent zijn met elke andere top, die een punt van één van de andere rechten uit A D \ L voorstelt. Elke rechte bevat 3 van de overblijvende 12 punten van Q(4, 3). De punten op zo een rechte mogen hetzelfde kleur krijgen in G C. In totaal hebben we dus nog 4 extra kleuren nodig (nl. één voor elke rechte), m.a.w. 10 χ(g C (Q(4, 3))) = 11. Maar χ(g C (Q(4, 3))) = 10 kan niet: dan zou die partitie van de punten in 10 coklieken van kardinaliteit 4 resulteren in een spread in Q(4, 3), strijdig met stelling We besluiten dus χ(g C (Q(4, 3))) = 11. Hieronder als besluit een overzichtstabel van de gevonden waarden voor de invarianten. 32

47 2.5. Toepassing: veralgemeende zeshoeken van orde 2 Tabel 2.4: Besluit invarianten veralgemeende vierhoeken orde 3 W (3) Q(4, 3) 4 χ 12 ω = 4 G M β = 7 σ = 4 χ = 5 of 6 ω = 4 G R β = 10 σ = 4 χ = 10 ω = 7 G C β = 4 σ = 3 χ = 5 of 6 ω = 4 β = 10 σ = 4 4 χ 12 ω = 4 β = 7 σ = 4 χ = 11 ω = 10 β = 4 σ = Toepassing: veralgemeende zeshoeken van orde 2 Op isomorfisme na bestaan er slechts twee veralgemeende zeshoeken van orde (2, 2), genoteerd met GH(2, 2) en GH(2, 2) D [8]. Er bestaat voor GH(2, 2) een beschrijving m.b.v. het Fanovlak P G(2, 2), zie ook [23]. Die ziet er als volgt uit. Definieer de volgende meetkunde Γ = (P, L, I). De verzameling P van punten is de verzameling punten (type P ), rechten (type L), vlaggen (type V ) en anti-vlaggen (type A) van P G(2, 2). Daarbij is een vlag een incident punt-rechte paar en een anti-vlag een niet-incident punt-rechte paar. Binnen de elementen uit L, de rechten van Γ dus, bestaan twee verschillende types. We definiëren de types door telkens de 3 punten incident met elke rechte te geven. Voor een vlag {p, L}, met p een punt van P G(2, 2) en L een rechte van P G(2, 2) is voor het eerste type de verzameling {p, L, {p, L}} een rechte van Γ. Voor elke vlag {p, L} van P G(2, 2) is de verzameling {{p, L}, {x 1, M 1 }, {x 2, M 2 }} een tweede type rechte van Γ, waarbij {p, x 1, x 2 } de verzameling punten van P G(2, 2) incident met L is en duaal, {L, M 1, M 2 } de verzameling van de rechten concurrent met L is. Deze twee types rechten noteren we respectievelijk met P RV en V AA. P G(2, 2) telt 7 punten, 7 rechten, 3 vlaggen per punt en 4 antivlaggen per punt, waaruit P = = 63. Van het eerste type rechten zijn er evenveel als er vlaggen zijn (21) en van het tweede type zijn er voor elke vaste vlag 2 mogelijkheden om een rechte van het tweede type te maken. Zo komt men dus op L = = 63 = P. Stelling De hierboven m.b.v. het Fanovlak beschreven punt-rechte meetkunde Γ stelt een veralgemeende zeshoek voor van orde (2, 2). Bewijs. Áls de beschrijving een veralgemeende zeshoek voorstelt, is de orde automatisch (2, 2): men kan gemakkelijk nagaan dat per constructie door elk punt drie rechten gaan en op elke rechte drie punten liggen. A B C G F D E 33

48 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Appendix C lijst de punten en rechten van GH(2, 2) expliciet op, die in appendix D worden gebruikt in tabellen om dit bewijs te verduidelijken. We tellen het aantal punten op afstand 6 van een gegeven punt, voor elk type punt: type P (bv. A) in tabel D.1, type V (bv. {A, ABC}) in tabel D.3 en type A, bv. {B, AGD}) in tabel D.4. Type R speelt dezelfde rol als type P, maar voor de volledigheid werd ook zo n punt (bv. ABC) opgenomen in een tabel D.2. Daaruit kunnen we een aantal zaken besluiten. Dat elk punt collineair is met 6 andere punten is meteen duidelijk uit de constuctie en de tabellen. Ten tweede zien we dat voor elk type punt er juist 24 punten op afstand 4 liggen in de 3- reguliere bipartiete graaf G L (Γ). Dit is ook het maximale aantal dat we konden bekomen als elk punt incident is met 3 rechten en op elke rechte 3 punten liggen, nl. dat elk van de 6 punten op afstand 2 effectief 4 nieuwe punten op afstand 4 oplevert. In de meetkunde betekent dit dat er geen vierhoeken mogelijk zijn. Verder zijn er voor elk type punt nog 32 punten op afstand 6, waardoor we uit = 63 = P kunnen besluiten dat diam(g L ) = 6. Blijft nog aan te tonen dat in de meetkunde geen vijfhoeken voorkomen, waaruit we dan kunnen besluiten dat de taille van G L 12 bedraagt. Daarvoor tellen we het aantal punten op afstand 5 van een gegeven rechte. Dit zijn dus de punten op afstand 4 van de punten van die gegeven rechte. We splitsen op in twee gevallen, naar de twee soorten rechten P RV en V AA. Nemen we voor het geval P RV bijvoorbeeld de rechte {A, ABC, {A, ABC}}. Uit tabellen D.1, D.2 en D.3 besluiten we dat er in totaal juist 63 verschillende punten op afstand 5 liggen van de rechte {A, ABC, {A, ABC}}. Hetzelfde kunnen we voor de rechte {{A, ABC}, {B, AGD}, {C, AF E}} van type V AA besluiten uit de tabellen D.3, D.4 en D.5. Hieruit volgt dus dat de taille van G L 12 is en met diam(g L ) = 6, besluiten we dat de taille juist 12 is. De constructie stelt dus inderdaad een veralgemeende zeshoek voor. Voor de duale veralgemeende zeshoek GH(2, 2), gebruikt met soms volgende beschrijving [25]. Beschouw in PG(2,9) een hermitische kromme H, i.e. de verzameling absolute punten horende bij een hermitische polariteit. Een pooldriehoek is een verzameling van 3 niet-collineaire punten {x 1, x 2, x 3 } zodat x i x j toegevoegd is aan x k met betrekking tot de hermitische polariteit β geassocieerd aan H, voor alle {i, j, k} = {1, 2, 3} (dus (x i x j ) β = x k voor alle {i, j, k} = {1, 2, 3}). Definieer als volgt een meetkunde Γ. De punten van Γ zijn de punten die niet op de hermitische kromme H liggen. De rechten van Γ zijn de pooldriehoeken en incidentie is. De interpretaties van de invarianten (zoals beschreven in de tabellen 2.1, 2.2 en 2.3) in de verschillende grafen blijven dezelfde voor een veralgemeende zeshoek als incidentiemeetkunde. Toch zijn er hier en daar enkele verschillen op te merken Mengergraaf G M en rechtengraaf G R Stelling De Mengergraaf G M (GH(2, 2)) van de veralgemeende zeshoek GH(2, 2) is sterk regulier met parameters (63, 6, 2, 0). 34

49 2.5. Toepassing: veralgemeende zeshoeken van orde 2 Bewijs. Het aantal toppen werd reeds geteld. Door elk punt gaan 3 rechten waar nog 2 andere punten op liggen, dus elk punt is collineair met 6 andere punten. De graad van elke top in G M is dus 6. Om dezelfde reden als bij veralgemeende vierhoeken, is ook hier het aantal punten collineair met twee collineaire punten, s 1 = 2. Voor 2 gegeven niet-collineaire punten vinden we echter geen punten collineair met beide, want in een veralgemeende zeshoek zijn twee punten nooit bevat in een gewone vierhoek, m.a.w. µ = 0. We kunnen nog meer over de Mengergraaf van een veralgemeende zeshoek (in het algemeen) kwijt. Die is namelijk altijd afstandsregulier [11]. Definitie Een samenhangende graaf G met diameter d wordt afstandsregulier genoemd als er constanten c i, a i en b i (de zogenaamde doorsnedegetallen) bestaan zodat voor alle i = 0, 1,..., d en alle toppen x en y op afstand i = d(x, y) het volgende geldt: er zijn c i buren van y op afstand i 1 van x, a i op afstand i en b i op afstand i + 1. Elke afstandsreguliere graaf heeft een zogenaamde doorsnederij (b 0,..., b d 1, c 1,..., c d ), waarin de getallen a i niet zijn opgenomen omdat die waarde kan bepaald worden als b i en c i gekend zijn: een afstandsreguliere graaf is i.h.b. regulier van graad k = b 0 en voor elke i = 0, 1,..., d is a i + b i + c i = k. Merk ook op dat b d = c 0 = 0 altijd en deze getallen werden dus niet opgenomen in de doorsnederij. Stelling De Mengergraaf G M (GH(s, t)) van een veralgemeende zeshoek van orde (s, t) is afstandsregulier met diameter 3 en doorsnederij (s(t + 1), st, st, 1, 1, t + 1). Bewijs. Diameter 3 volgt uit het feit dat elke twee punten in een zeshoek bevat zijn. Verder stelt b 0 zoals al gezegd de graad van elke top voor, s(t + 1) dus. Neem nu twee willekeurige toppen x en y met d(x, y) = 1. Dan zijn er juist st toppen op afstand 2 van x en afstand 1 van y, namelijk alle punten collineair met y die niet op de rechte xy liggen. Daaruit halen we dus b 1 = st. Er is slechts 1 buur van y op afstand 0 van x (x zelf), dus c 1 = 1. Voor twee toppen x en y met d(x, y) = 2 beredeneren we dat er door x en y een zeshoek gaat, maar geen n-hoek met n 6. Daardoor is er slechts 1 buur z van y op afstand 1 van x; dan zijn er nog st buren van y op afstand 3 van x. (De punten op de rechte yz liggen op afstand 2 van x). Dus c 2 = 1 en b 2 = st. Zij nu x en y zo dat d(x, y) = 3. Dan is c 3 = t + 1 want elke rechte door y heeft een uniek punt op afstand 2 van x (de rest van de buren van y liggen noodzakelijk op afstand 3 van x). Voor GH(2, 2) is G M dus afstandsregulier met diameter 3 en doorsnederij (6, 4, 4, 1, 1, 3). Stelling G M (GH(2, 2)) = G R (GH(2, 2) D ) en G M (GH(2, 2) D ) = G R (GH(2, 2)). Bewijs. Het bewijs is analoog aan stelling

50 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Kliekgetal ω Om dezelfde reden als bij veralgemeende vierhoeken (nl. geen driehoeken) kan een maximumkliek enkel bekomen worden door de punten van eenzelfde rechte te beschouwen, dus ω(g M (GH(2, 2))) = ω(g M (GH(2, 2) D )) = 3. Onafhankelijkheidsgetal β Voor veralgemeende vierhoeken bestaat een sterk verband tussen het onafhankelijkheidsgetal en ovoïden in de meetkunde. Bij GH(2, 2) (en veralgemeende zeshoeken in het algemeen) is dit verband niet meer aanwezig (maar er bestaat dan weer wel een verband met het dominantiegetal, zie verder). In veralgemeende zeshoeken kunnen, afhankelijk van de context, de begrippen ovoïde en spread een andere inhoud dekken dan bij veralgemeende vierhoeken. De nieuwe betekenis van de begrippen wordt hieronder gedefinieerd. Ze kregen de aangepaste naam (partiële) afstands-6-ovoïde en analoog (partiële) afstands-6-spread zodat in het vervolg duidelijk is over welke soort begrip het gaat. Definitie Een partiële afstands-6-ovoïde van een veralgemeende zeshoek Γ is een verzameling wederzijds tegenoverstaande punten (d.w.z. punten op afstand 6 van elkaar in de incidentiegraaf G L (Γ)). Een afstands-6-ovoïde O van een veralgemeende zeshoek Γ is een verzameling van wederzijds tegenoverstaande punten zodat elk element van Γ op afstand ten hoogste 3 ligt (in G L (Γ)) van ten minste één element van O. Door de definitie van (partiële) afstands-6-ovoïde te dualiseren bekomt men de definitie van (partiële) afstands-6-spread S. Volgende stelling geeft een karakterisatie van een afstands-6-ovoïde in een veralgemeende zeshoek. Het bewijs komt uit [25]. Stelling Zij O een verzameling punten van een veralgemeende zeshoek Γ. Dan is O een afstands-6-ovoïde als en slechts als elke punt van Γ op afstand < 3 ligt van een uniek element van O. Omdat punten enkel op even afstand van elkaar kunnen liggen in de incidentiegraaf, betekent deze karakterisatie dus dat elk punt van de veralgemeende zeshoek die niet tot O behoort, op afstand 2 ligt van (i.e. collineair is met) een uniek punt van O. Bewijs. Stel eerst dat O een afstands-6-ovoïde is. In G L (Γ) ligt geen enkel punt op afstand 3 van enig ander punt, dus elk punt ligt op afstand < 3 van een zeker element van O. We bewijzen nu de uniciteit van dat punt. Als een punt p op afstand n i < 3 van x i O, i = 1, 2 ligt, dan volgt uit de driehoeksongelijkheid d(x 1, x 2 ) n 1 +n 2 < 2 3 = 6. Dus x 1 en x 2 zijn niet tegenoverstaand, dus x 1 = x 2. Omgekeerd, als elk punt van Γ op afstand < 3 ligt van een uniek element van een verzameling punten O, dan ligt elke rechte op afstand 3 van een element van O, dus is O een afstands-6-ovoïde. 36

51 2.5. Toepassing: veralgemeende zeshoeken van orde 2 Via een eenvoudige telling ziet men in dat een afstands-6-ovoïde van de veralgemeende zeshoek GH(2, 2), 9 punten moet tellen: er zijn O punten op afstand 0 van een zeker element van O en O (2 + 1) 2 punten op afstand 2 van een uniek element van O. Daarmee hebben we alle punten beschouwd wegens stelling Uit P = 63 = O + 6 O volgt O = 9. Omdat een afstands-6-ovoïde enkel punten bevat op afstand 6 van elkaar, zal in het algemeen β(g M ) O. Concreet bevat G M (GH(2, 2)) een cokliek van 21 punten en uit een dubbele telling zal volgen dat dit ook een maximum cokliek is. Stelling Voor een verzameling A van 2 aan 2 niet-collineaire punten van GH(2, 2) is A 21. Bewijs. Voer daarvoor volgende dubbele telling uit. We tellen het aantal koppels {(p, L) p A, pil}. Nemen we eerst p vast. Door elk punt gaan 3 rechten en we hebben zo A punten. Anderzijds, gaat elke rechte van GH(2, 2) ofwel door een punt van A, ofwel niet, en dus bekomen we volgende ongelijkheid: GH(2, 2) telt 63 rechten, dus A A L. Uit deze stelling volgt rechtstreeks het resultaat β(g M (GH(2, 2))) = 21: de 21 punten van het type vlag vormen zo een maximum cokliek. De punten van type V vormen dus een ovoïde (in oude zin) van GH(2, 2). Om iets te weten te komen over het onafhankelijkheidsgetal van G M (GH(2, 2) D ) bekijken we de graaf die hier isomorf mee is, G R (GH(2, 2)). GH(2, 2) bezit geen spread (in oude zin) [3]. Daarom geldt β(g M (GH(2, 2) D )) < 21. We moeten op zoek naar een zo groot mogelijke partiële spread (in oude zin) van GH(2, 2). Mijn zoektocht strandt bij een maximale partiële spread van 17 rechten, hieronder opgelijst. {A, ABC, {A, ABC}} {B, BGE, {B, BGE}} {C, CGF, {C, CGF }} {D, AGD, {D, AGD}} {E, AF E, {E, AF E}} {F, CGF, {F, CGF }} {{A, AGD}, {G, AF E}, {D, ABC}} {{A, AF E}, {F, AGD}, {E, ABC}} {{B, BDF }, {D, BGE}, {F, ABC}} {{B, ABC}, {A, BGE}, {C, BDF }} {{C, ABC}, {B, CGF }, {A, CDE}} {{D, CDE}, {C, BDF }, {E, AGD}} {{E, BGE}, {G, CDE}, {B, AF E} {{E, CDE}, {C, BGE}, {D, AF E}} {{F, AF E}, {A, CGF }, {E, BDF }} {{G, CGF }, {C, AGD}, {F, BGE}} {{G, BGE}, {B, AGD}, {E, CGF }} 37

52 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Hieruit besluit ik dus dat 17 β(g M (GH(2, 2) D )) 20. Kleurgetal χ Via het kliekgetal en stelling van Brooks krijgen we 3 χ(g M (GH(2, 2))) 6. Als we in G M de cokliek van de vlaggen van vorige paragraaf wegnemen, valt G M uiteen in twee aparte deelgrafen. Enerzijds verschijnt de zogenaamde Heawoodgraaf (zie figuur 2.1), bestaande uit de 14 toppen die de punten van type P en R voorstellen. Deze graaf is bipartiet (nl. de bipartitieklassen P en R). Twee kleuren volstaan dus voor een kleuring. De tweede deelgraaf is de zogenaamde Coxetergraaf (zie figuur 2.2), bestaande uit de 28 toppen die de punten van type A voorstellen. Deze graaf is niet-bipartiet en 3-regulier, voor deze graaf zijn er dus drie kleuren nodig. Daarvan mogen we de twee kleuren van de Heawoodgraaf hergebruiken, want geen enkele top van de ene deelgraaf is verbonden met één van de andere. De punten uit de cokliek kunnen uiteraard ook in eenzelfde (nieuw) kleur gekleurd worden. In totaal hebben we dus hoogstens vier kleuren nodig om G M te kleuren. Men kan gemakkelijk nagaan, via de constructie in het Fanovlak, dat dit optimaal is: er bestaat geen partitie in drie coklieks van 21 punten. Hieruit leiden we dus af dat χ(g M (GH(2, 2))) = 4. A AF E ABC E C CDE CGF D F AGD BDF G B BGE Figuur 2.1: Kleuring van Heawoodgraaf: punten type P en type R 38

53 2.5. Toepassing: veralgemeende zeshoeken van orde 2 {D, CGF } {E, ABC} {A, BGE} {G, BDF } {C, BDF } {C, AF E} {E, AGD} {B, AGD} {F, CDE} {G, ABC} {E, BDF } {C, AGD} {A, CDE} {B, AF E} {E, CGF } {F, AGD} {B, CGF } {D, AF E} {C, BGE} {A, BDF } {G, CDE} {F, BGE} {F, ABC} {D, ABC} {D, BGE} {G, AF E} {A, CGF } {B, CDE} Figuur 2.2: Kleuring van Coxetergraaf: punten type A Dominantiegetal σ Voor veralgemeende vierhoeken werd in stelling besloten dat de punten op eenzelfde rechte een dominerende verzameling vormen. Bij GH(2, 2) is dit niet meer het geval, door verlies van het handige (VV3) axioma. We herhalen nog eens dat in een afstands-6- ovoïde O van G M (GH) elk punt collineair is met een uniek punt van O. Grafentheoretisch betekent dit dat de verzameling toppen die overeenkomt met de afstands-6-ovoïde een dominerende verzameling is. Meer nog, elke top wordt via een unieke top gedomineerd. Een dominerende toppenverzameling D waarin elke top niet in die verzameling adjacent is met juist één top uit D wordt een perfect dominerende verzameling genoemd. Omdat elke top juist één keer gedomineerd wordt, is de kardinaliteit van een perfect dominerende verzameling gelijk aan het dominantiegetal. We kunnen dus besluiten: Stelling Een perfect dominerende verzameling in de Mengergraaf G M van een veralgemeende zeshoek Γ correspondeert met een afstands-6-ovoïde van Γ. Als een veralgemeende zeshoek dus over een afstands-6-ovoïde beschikt, is σ(g M ) = O. Deze stelling kunnen we echter niet toepassen op GH(2, 2) om het dominantiegetal te bepalen. Om dat te doen, kunnen we wel gebruik maken van de ontbinding van G M (GH(2, 2)) in een cokliek van 21 vlaggen, de Heawoodgraaf van de punten type P en type R (noem deze G H ) en de Coxetergraaf van de punten type A (noem deze G Cox ). Voor die laatste bestaat een minimum dominerende verzameling uit 7 antivlaggen, bv. D Cox := {{B, AF E}, {E, CGF }, {F, AGD}, {A, CDE}, {C, BDF }, {D, BGE}, {G, ABC}} is een minimum dominerende verzameling op figuur 2.2. Elke andere antivlag wordt door één van deze antivlaggen uniek gedomineerd. Dit vormt 39

54 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten m.a.w. een perfect dominerende verzameling van G Cox. Ook wordt elke vlag door een unieke antivlag uit D Cox gedomineerd in G M (GH(2, 2)). In G M (GH(2, 2)) moeten dus nog enkel de punten van type P en type R gedomineerd worden. De Heawoodgraaf heeft dominantiegetal 4, bv. D H := {A, CDE, BGE, F } is een minimum dominerende verzameling op figuur 2.1. Merk op dat dit echter geen perfect dominerende verzameling vormt. Via stelling kunnen besluiten dat 9 σ(g M (GH(2, 2))) = 11. Herinner u dat GH(2, 2) een ovoïde heeft, nl. de verzameling van 21 punten van type V. Daaruit besloten we dat β(g M (GH(2, 2)) = 21. Door dualiteit kunnen we besluiten dat voor de duale veralgemeende zeshoek GH(2, 2) D er een spread bestaat, waarmee dan analoog β(g R (GH(2, 2) D ) = 21. Bekijk bijvoorbeeld een veralgemeende deelzeshoek GH(2, 1) van GH(2, 2) D. De verzameling rechten die niet tot GH(2, 1) behoren, maar wel een punt snijden van GH(2, 1) vormen een spread van GH(2, 2). Door elk van de 21 punten in GH(2, 1) gaat er zo juist één rechte (de andere twee rechten liggen in GH(2, 1)) waar nog 2 andere punten op liggen, niet in GH(2, 1). De 63 punten van GH(2, 2) D worden zo inderdaad gepartitioneerd in rechten [14]. We bespreken kort één resultaat over de configuratiegraaf van GH(2, 2) D. Stelling In de duale veralgemeende zeshoek GH(2, 2) D is χ(g C (GH(2, 2) D ))) = 21. Bewijs. In GH(2, 2) vormden de vlaggen een maximum cokliek van 21 punten in de graaf G M (GH(2, 2)). Duaal beschikt GH(2, 2) D dus over 21 rechten die 2 aan 2 nietconcurrent zijn. In G C (GH(2, 2) D ) komt dit tot uiting als een kliek van 21 punten. Uit stelling volgt dat elke rechte juist één punt van die cokliek in G M (GH(2, 2)) bevat (d.w.z. elke rechte heeft een punt van type V ). De interpretatie in G C (GH(2, 2) D ) is dus een spread (in oude zin) van GH(2, 2): elk punt behoort tot juist één rechte en de 21 rechten zijn onderling 2 aan 2 niet-concurrent. Elke rechte bezit drie punten, er bestaat dus een partitie van de punten in 21 coklieken van kardinaliteit 3. Daarmee is de stelling bewezen. In de beschrijving van GH(2, 2) D m.b.v. een hermitische kromme H in PG(2,9) is ook een afstands-6-ovoïde te bemerken: 9 punten op een raaklijn aan H. Daarvoor gaan we op zoek naar een verzameling van negen punten, 2 aan 2 op afstand 6 van elkaar in de incidentiegraaf. Merk op dat twee punten op afstand twee tot dezelfde pooldriehoek behoren. Een rechte van een pooldriehoek is altijd een snijlijn. Punten op afstand 2 behoren dus tot een snijlijn, en geen raaklijn aan H. Voor punten op afstand 4 van elkaar geldt eenzelfde verhaal: deze punten moeten noodzakelijk ook samen op een snijlijn aan 40

55 2.6. Toepassing: Desarguesmeetkunde en Petersengraaf H liggen. De enige mogelijkheid om een verzameling van 9 punten die 2 aan 2 op afstand 6 van elkaar liggen, te vinden, is dus 9 punten te zoeken die 2 aan 2 op een raaklijn aan H liggen. Een rechte in PG(2,9) telt 10 punten, een raaklijn telt dus 9 punten die niet op H liggen. Die 9 punten vormen een afstands-6-ovoïde van GH(2, 2) D. Nu volgt uit stelling dat σ(g M (GH(2, 2) D ) = 9. Een concrete beschrijving van, duaal, een afstands-6-spread van GH(2, 2) zou een mooie afsluiter vormen van deze paragraaf. Hieronder staat dan ook een voorbeeld van 9 rechten van GH(2, 2), onderling op afstand 6 van elkaar in de incidentiegraaf. De spread bestaat uit 3 rechten van type P RV en 6 rechten van type V AA. Gemakkelijkheidshalve is het Fanovlak erbij geplaatst. C B D {A, AGD, {A, AGD}} {B, BGE, {B, BGE}} {C, CGF, {C, CGF }} {(D, BDF ), {B, CDE}, {F, AGD}} {(F, AF E), {A, BDF }, {E, CGF }} G {(F, BDF ), {B, AF E}, {D, CGE}} {(E, CDE), {C, AF E}, {D, BGE}} {(E, AF E), {F, BGE}, {A, CDE}} A E {(D, CDE), {C, BDF }, {E, AGD}} F De besproken resultaten worden samenvattend weergegeven in deze tabel. Daarbij maken we gebruik van stelling Tabel 2.5: Besluit invarianten veralgemeende zeshoeken orde 2 GH(2, 2) GH(2, 2) D χ = 4 ω = 3 χ = 21 ω = 3 G M β = 21 9 σ β 20 σ = 9 χ = 21 ω = 3 χ = 4 ω = 3 G R 17 β 20 σ = 9 β = 21 9 σ 11 G C χ = Toepassing: Desarguesmeetkunde en Petersengraaf Deze toepassing behoort niet echt tot het rijtje van de vorige twee, zoals u zal merken. We verlaten de veralgemeende veelhoeken en nemen de Desarguesmeetkunde D en Petersengraaf P uit voorbeeld wat beter onder de loep. Zoals in voorbeeld al getoond werd, is de Desarguesmeetkunde D de buurtmeetkunde van P. Via figuur 2.3 kan men ook nagaan dat de Petersengraaf P de configura- 41

56 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Figuur 2.3: D als buurtmeetkunde van P, haar configuratiegraaf tiegraaf is van de Desarguesmeetkunde D, m.a.w. N (P ) = D en G C (D) = P. Of dus blijft D invariant onder N G C en blijft P invariant onder G C N, in symbolen: N (G C (D)) = D en G C (N (P )) = P. Door dit nauwe verband tussen de twee objecten D en P ontstaan bij het interpreteren van enkele invarianten van P merkwaardige verbanden tussen de twee. De eerste stelling zegt dat elke kleuring van P met χ(p ) = 3 kleuren leidt tot een rechte in D waarvan de punten in éénzelfde kleur zijn gekleurd. De notaties zijn de notaties zoals in definitie Stelling Bij elke minimale kleuring van P (d.w.z. een kleuring met χ(p ) = 3 kleuren) vinden we in de meetkunde D een unieke rechte waarvan al haar punten in hetzelfde kleur zijn gekleurd. Bewijs. We nummeren de toppen van P zoals op de tekening en verwijzen in het bewijs naar de overeenkomstige punten en rechten in D met hetzelfde nummer x en bijpassende index p of l, afhankelijk of het om het punt x p of rechte x l gaat. We zeggen dat een rechte in kleur α is gekleurd als al haar punten hetzelfde kleur α hebben. Laat dit niet tot verwarring leiden: de kleuring van D op bovenstaande figuur vertolkt gewoon een polariteit zonder absolute punten, aan de hand waarvan u gemakkelijk kan zien dat P, 42

57 2.6. Toepassing: Desarguesmeetkunde en Petersengraaf naast de configuratiegraaf, ook de gepolariseerde graaf is van D. We proberen, uit het ongerijmde, een minimale kleuring in P te maken met kleuren α, β en γ, zodat, overeenkomstig in D geen enkele rechte in een zeker zelfde kleur kan gekleurd worden. Om zo n kleuring te bekomen kunnen voor geen enkele top x in P alle buren eenzelfde kleur α krijgen, vermits dan de rechte x l volledig in α gekleurd is ( ). We beredeneren het bewijs zonder verlies van algemeenheid vanuit top 1. Tabel 2.6 kan daarbij helpen om de gedachten te vestigen. Geef top 1 kleur α. Om de buren van 1 te kleuren zijn er 2 mogelijkheden: Geval I: Wegens ( ) zijn er vanuit top 2 (resp. 5) drie mogelijkheden om buren 7 en 3 (resp. 10 en 4) te kleuren: top 2 top 5 A 7 in β, 3 in β 1 10 in β, 4 in β B 7 in β, 3 in γ 2 10 in β, 4 in γ C 7 in γ, 3 in β 3 10 in γ, 4 in β We gaan na welke mogelijkheden uit de tweede en vierde kolom combineerbaar zijn om een correcte minimale kleuring te bekomen. Merk op dat toppen 3 en 4, en toppen 7 en 10 adjacent zijn en dus niet in hetzelfde kleur mogen gekleurd worden. Daardoor vallen de meeste combinaties al af en blijven enkel nog B3 en C2 over. Voor B3 is het meteen duidelijk dat rechte 9 l volledig in β gekleurd wordt. Voor C2 hebben we hetzelfde probleem voor de rechte 8 l. Mogelijkheid I leidt dus niet tot een geldige kleuring. Geval II: We gaan gelijkaardig te werk als bij mogelijkheid I. Wegens ( ) zijn er vanuit top 2 (resp. 6) drie mogelijkheden om buren 7 en 3 (resp. 8 en 9) te kleuren: top 2 top 6 A 7 in β, 3 in β 1 8 in β, 9 in β B 7 in β, 3 in γ 2 8 in β, 9 in γ C 7 in γ, 3 in β 3 8 in γ, 9 in β Opnieuw omdat toppen 7 en 9 en toppen 8 en 3 adjacent zijn, blijven enkel combinaties B2 en C3 over. Voor B2 is het meteen duidelijk dat rechte 10 l volledig in β gekleurd wordt. Voor C2 hebben we hetzelfde probleem voor de rechte 4 l. Mogelijkheid II leidt dus ook niet tot een geldige kleuring. In een minimale kleuring is er dus minstens één rechte in eenzelfde kleur gekleurd. Er is ook hoogstens zo een rechte: 2 niet-disjuncte rechten kunnen nooit helemaal in dezelfde kleur gekleurd worden in D omdat in P er dan minstens 2 adjacente toppen dezelfde kleur krijgen. Maar ook 2 disjuncte rechten kunnen niet in dezelfde kleur gekleurd worden om dezelfde reden. 43

58 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten Geval I Geval I.B3 Geval I.C Geval II Geval II.B2 Geval II.C Tabel 2.6: Gevallenonderscheid stelling Vorige stelling is in feite een gevolg van het feit dat voor elke minimale kleuring in P er een top bestaat waarvoor al zijn buren tot dezelfde kleurklasse behoren. Men zou zich dus algemeen kunnen afvragen of er nog andere grafen G zijn (en zo ja, welke) van orde n met graad k, zonder C 4 als deelgraaf (wegens stelling 1.2.3), en waarbij noodzakelijk elke minimale kleuring de buren van minstens één top dezelfde kleur geeft. Dan is N (G) een n k -configuratie waarin minstens één rechte in eenzelfde kleur is gekleurd. Het kleurgetal bepalen van een willekeurige graaf is echter helemaal niet eenvoudig en dan is de positie van de kleuren onderling nog niet bepaald. Na wat zoekwerk lijkt dit mijns inziens eerder een sporadisch eigenschap te zijn... Het dominantiegetal σ(p ) = 3. Een minimum dominerende verzameling bestaat dus uit 3 toppen en dat is ook net het aantal punten op een rechte in D. Daarover hebben we het volgende resultaat: Stelling Elke verzameling van 3 toppen dat overeenkomt met 3 collineaire punten, is een minimum dominerende verzameling in P. Omgekeerd bestaat een minimum dominerende verzameling in P altijd uit, overeenkomstig in D, 3 collineaire punten. Bewijs. Het is makkelijk na te gaan via figuur 2.3 dat voor een willekeurige rechte in D geen enkel punt collineair is met alle drie de punten van die gekozen rechte. Anders gezegd, elk punt niet op de rechte is niet collineair met tenminste één punt van die rechte. Dit is net de interpretatie van het dominantiegetal in de configuratiegraaf, zie tabel 2.3. Men kan dit eveneens inzien door in P na te gaan dat de verzameling buren van een willekeurige top een minimum dominerende verzameling is (deze toppen stellen immers een rechte voor in D). Omgekeerd, neem een minimum dominerende verzameling {x, y, z} in P. We bewijzen dat dit noodzakelijk een verzameling van 3 collinaire punten x p, y p en z p in D is. Immers, 44

59 2.6. Toepassing: Desarguesmeetkunde en Petersengraaf stel x y en dus x p y p Er zijn, door symmetrie, slechts twee mogelijke liggingen van x en y in P die we moeten beschouwen: De rode toppen in figuur 2.4 stellen de toppen voor die nog niet adjacent zijn met x of y. Een minimum dominerende verzameling telt slechts 3 toppen, maar in beide gevallen is het onmogelijk om 1 extra (rode) top z te selecteren zodat {x, y, z} een minimum dominerende verzameling is. y x x y Figuur 2.4: Gevallenonderscheid stelling

60 Hoofdstuk 2. Een tweede brug: interpretatie van invarianten 46

61 Hoofdstuk 3 Een derde brug: de brug naar onderwijs 3.1 Context van het didactisch gedeelte In het didactisch gedeelte heb ik gepoogd om enkele basisideeën uit deze masterproef aan te brengen in het secundair onderwijs. Concreet liet het geheel zich gemakkelijk opdelen in drie hoofdstukken, waardoor de volgende driedelige lessenreeks ontstaan is: 1. Grafentheorie (les 1 en 2) 2. Incidentiemeetkunde (les 3 en 4) 3. Een brug tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie (les 5 en 6) Deze lessenreeks ging door op mijn middelbare school Emmaüs Bovenbouw OP WEG in de lessen seminarie wiskunde uit het zesde jaar. Dit gebeurde op 20 april 2016, 27 april 2016 en 4 mei Het vak seminarie wiskunde is een keuzevak voor de leerlingen, waardoor mijn doelpubliek bestond uit tien nieuwsgierige en geïnteresseerde adolescenten. Voor elk gedeelte van de lessenreeks werden twee (aaneensluitende) lesuren van 50 minuten voorzien, in totaal ging het dus om zes lesuren. De keuze voor de drieledigheid in dit lessenpakket is vrij straight forward. De lessen grafentheorie en incidentiemeetkunde 47

62 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs dienen als bagage om de brug te kunnen maken tussen de twee wiskundegebieden. Ik ben dan ook van achter naar voor vertrokken in het bepalen van de lesdoelen. Eerst heb ik vastgelegd welke brug ik zou blootleggen en in welke mate. Van daaruit kon ik dan de leerstof aflijnen, die de leerlingen zouden moeten beheersen in dat laatste deel. Om een samenhangend verhaal te creëren, vermeld ik hier al de lesdoelen die ik naar voor schoof voor deel 3: De leerlingen kennen de definitie van een Levigraaf en Mengergraaf van een puntrechte meetkunde. De leerlingen geven voor enkele grafentheoretische begrippen (kliek, cokliek, dominerende verzameling en kleuring) van deze grafen een meetkundige interpretatie. De leerlingen leiden uit meetkundige interpretaties een onder- en/of bovengrens of een exacte waarde af voor de valentie, kliekgetal en kleurgetal van de Mengergraaf van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t). Door de grote vrijheid in deze lessenreeks (o.a. op vlak van timing) en door het ontbreken van verplichtingen t.o.v. leerplannen, kon ik echter flexibel omspringen met de voorziene lestijden en lesinhouden. Zo kon ik op elk moment aanpassingen doen aan bijvoorbeeld tempo, afhankelijk van de noden van de leerlingen zelf: extra uitdagingen geven of juist langer stilstaan bij een moeilijk begrip. In het vervolg van dit didactisch gedeelte, wordt elk gedeelte van de lessenreeks uitvoerig besproken op vlak van aanpak, inhoud en (zelf)evaluatie. Soms verwijs ik expliciet naar zaken uit de werkbladen. Die laatste kan u in appendix E terugvinden. Daarvan is enkel de verbetersleutel opgenomen (de exemplaren voor de leerlingen waren identiek aan de verbetersleutel, op de oplossingen van de oefeningen na uiteraard). Als laatste volgt een algemene zelfreflectie en besluit over mijn ervaringen bij het voorbereiden en uitvoeren van deze lessenreeks. 3.2 Les 1 en 2: grafentheorie Het onderwerp grafentheorie leent zich uitermate goed om aan te brengen in het secundair onderwijs. Grafen zijn heel concrete objecten waardoor het abstractieniveau - in tegenstelling tot incidentiemeetkunde - vrij beperkt blijft. Ook door de vele toepassingen van grafentheorie in concrete problemen, is het een interessant onderwerp: de link tussen wiskunde en realiteit wordt dan eens expliciet blootgelegd Aanpak en inhoud van de les Met in het achterhoofd het feit dat deel 1 en 2 van de lessenreeks bedoeld zijn als bagage om in deel 3 de leerlingen zelf een aantal linken te laten leggen tussen grafentheorie 48

63 3.2. Les 1 en 2: grafentheorie en incidentiemeetkunde, heb ik voor dit eerste deel de volgende lesdoelen naar voor geschoven: De leerlingen kennen de definitie van een graaf en de begrippen die daar rechtstreeks mee samenhangen (orde, grootte, adjacentie,... ). De leerlingen kennen de definitie van de volgende begrippen: kliek en kliekgetal, onafhankelijke verzameling en onafhankelijkheidsgetal, dominerende verzameling en dominantiegetal, kleuring en kleurgetal. De leerlingen bepalen deze invarianten in een gegeven graaf. Naarmate deze les meer vorm aannam, voegde ik daar ook nog volgend nuttig lesdoel aan toe: De leerlingen modelleren met grafentheorie een aantal problemen uit de realiteit. Dit laatste lesdoel is misschien wel het belangrijkste, omdat het de leerlingen een helder beeld geeft van hoe wiskunde op talloze verschillende terreinen kan ingezet worden. Dit geeft een serieuze boost in de motivatie voor het vak. De les zelf gaf ik met behulp van een beamerpresentatie (appendix F), maar die maakte ik pas nadat de werkbladen opgesteld waren. Ik vermeld dit omdat mijn aanpak bij incidentiemeetkunde vreemd genoeg omgekeerd was: daar vond ik het gemakkelijker eerst een presentatie te ontwerpen, om daarna alles in een vloeiende tekst te gieten op de werkbladen. Na wat gegrasduin in verschillende bronnen om inspiratie op te doen over een interessante inleiding, stak een bekend grafentheoretisch probleem steeds de kop op: de zeven bruggen van Koningsbergen. Dit werd ook het startpunt van mijn les. Na de schets van het probleem en de voorstelling met een graaf, ga ik eerst over op het invoeren van de definitie van een graaf en de bijhorende begrippen zoals orde, grootte, graad, adjacentie,... Aansluitend is er een oefening om de begrippen in te oefenen. Om dan tot de oplossing van het probleem te komen, stel ik een aantal deelvragen die naar de conclusie leiden dat het probleem onoplosbaar is. Vervolgens worden nog een aantal begrippen ingevoerd (wandeling, cykel, bipartiete graaf,... ), opnieuw gevolgd door een kleine oefening om de begrippen in te oefenen. Dit alles gebeurde via een onderwijsleergesprek a.d.h.v. de beamerpresentatie. Voor de kleine oefeningen kregen de leerlingen telkens een paar minuten tijd. Daarna werd kort klassikaal een verbetering overlopen. In het tweede deel van de les werden de begrippen over invarianten van een graaf ingevoerd. Als instap daarbij liet ik de leerlingen per twee discussiëren over een aantal problemen uit de realiteit die m.b.v. grafen kunnen voorgesteld en opgelost worden. Die bijlage, getiteld Modellering met grafen - instap op invarianten, kan u terugvinden aan het einde van het eerste hoofdstuk van de werkbundel. Daarbij vond ik het belangrijk dat ze (mondeling) oefenden op de juiste wiskundige formulering van hoe ze het probleem 49

64 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs zouden aanpakken. Met deze instap maken ze eerst via concrete voorbeelden (onbewust) kennis met de nieuwe begrippen (kliek, cokliek, dominerende verzameling,... ), wat helpt om de begrippen later beter te onthouden. Per probleem werd de oplossing van de leerlingen mondeling besproken, om daarna over te gaan tot de exacte wiskundige definitie van de bijhorende invariant. Direct na elk probleem werd al een oefening op de nieuwe definitie gemaakt, om de verwarring tussen de begrippen te beperken. De leerlingen kregen telkens een tweetal minuten de tijd om zelfstandig de oefening op te lossen en daarna besprak ik klassikaal de oplossing kort a.d.h.v. de presentatie. Na de laatste invariant (kleurgetal) heb ik de les beëindigd, omdat ik de leerlingen nog een evaluatieformulier heb laten invullen over de ervaringen van de les (zie bijlage). Dit deed ik uit nieuwsgierigheid, maar ook omdat ik de volgende vier lessen dan zoveel mogelijk rekening kon houden met hun opmerkingen. De laatste twee oefeningen en de stelling van Brooks heb ik dus in deze les niet meer behandeld, maar komen wel in deel 3 van de lessenreeks nog aan bod Evaluatie Deze evaluatie is een compilatie van zelfevaluatie, didactische opmerkingen van de leerkracht en de conclusies uit de evaluaties van de leerlingen zelf. Ik liet hen op het einde van de les immers een evaluatieformulier invullen, onder andere om in de komende vier lessen zoveel mogelijk rekening te kunnen houden met hun feedback. Ik was bij de lessen grafentheorie niet verrast over de vlotheid waarmee de leerlingen aan de slag gingen met het toegankelijke onderwerp. Bovendien waren er een aantal leerlingen met voorkennis omdat ze in hun onderzoekscompetentie al rond grafen gewerkt hadden. Het is een concreet onderwerp, wat in feite goed past in het wiskundekader van het huidig secundair onderwijs. De inleiding over de bruggen van Koningsbergen is een heel dankbaar probleem om grafen mee in te leiden: het symboliseert effectief de kiem waaruit grafentheorie ontwikkeld is en het probleem is eenvoudig te verwoorden, maar anderzijds is het tegelijk ook onoplosbaar. Leerlingen uit het secundair onderwijs zijn niet gewoon om onoplosbare problemen voorgeschoteld te krijgen. Dit wekte van bij het begin hun nieuwsgierigheid. Het constante gepingpong tussen een theoriegedeelte (invoeren nieuwe begrippen) en oefeningen (inoefenen nieuwe begrippen), ervoeren de leerlingen als aangename afwisseling. Zoals ik, naast mijn zelfreflectie, ook uit de leerlingenevaluaties kon afleiden, kon de begeleiding van de oefeningen geoptimaliseerd worden door beter in de gaten te houden wanneer de meeste leerlingen klaar waren met de opdracht. Sommigen vonden dat er te veel tijd werd voorzien voor het zelfstandig oplossen, vooraleer we klassikaal de oplossing overliepen. Ik kende het niveau van de klas nog niet goed, maar tussen de leerlingen zelf was er wel sprake van een niveauverschil. Door meer effectief mee te lezen met wat leerlingen aan het noteren zijn, kan ik hier beter zicht op krijgen. Nochthans werd het volgen van het leerproces van elke leerling vaak als sterk punt naar voor geschoven in 50

65 3.2. Les 1 en 2: grafentheorie mijn gewone stages. In deze setting stond dit precies wat op een lager pitje. De lesfase over de modellering met grafen a.d.h.v. vier problemen uit de realiteit vonden de leerlingen een hoogtepunt om een aantal redenen: ze kunnen ten eerste actief aan de slag waardoor het leerrendement sterk verhoogd wordt. Ze ontdekken eerst al explorerend de nieuwe begrippen. Dit geeft hen bij het formeel invoeren van de definities al een houvast; wat je zelf doet, onthou je immers sowieso beter. Dit is ook de boodschap die sterk wordt aangemoedigd in de lerarenopleiding. Zelfs uit mijn geringe ervaring als leerkracht begrijp ik al ten volle het belang van dit onderwijsidee. Bovendien worden via het discussiëren met een medeleerling een aantal extra vaardigheden geoefend: problemen juist interpreteren, antwoorden correct verwoorden... Tenslotte was in deze lesfase de link met de realiteit het grootst. Leerlingen worden duidelijk sterk gemotiveerd als ze het nut inzien van de leerstof die ze voorgeschoteld krijgen. In mijn evaluatieformulier polste ik ook naar de verhouding werkbladen/presentatie. Ik koos in deze les bewust voor een presentatie om een aantal redenen. Ten eerste eist een eerste les grafentheorie heel wat nieuwe begrippen. Via een presentatie kon ik die vlot en overzichtelijk overbrengen. Ook bij de oefeningen kon ik zo de grafen op een duidelijke manier snel weergeven. Hoewel de leerlingen, traditiegetrouw, een lichte voorkeur voor werkbladen hadden, haalden ook zij deze argumenten aan waarom een presentatie in deze les op zijn plaats was. Verder kreeg ik nog een tweetal praktische tips van de leerkracht zelf. Zoals al eerder aangehaald, zijn er in een eerste les grafentheorie heel wat nieuwe definities aan de orde. Door deze via regelafstand of omkadering beter te scheiden van de oefeningen, wordt de cursus overzichtelijker. Dit vergemakkelijkt het opzoeken van de nodige definities tijdens de oefeningen, omdat ze meer in het oog springen. Verder kreeg ik de tip om per nieuw begrip ook een nieuwe afdruk van dezelfde graaf te voorzien bij bijvoorbeeld oefening Zo is het handiger om bij het bepalen van een invariant aanduidingen te maken op een verse graaf. Ik heb deze aanpassingen reeds gemaakt op de (oningevulde) exemplaren voor de leerlingen, maar in de verbetersleutel werd dit niet aangepast om papier te besparen. Als leuk extraatje heb ik kort een tweetal problemen, waarin grafentheorie gebruikt wordt, aangekaart uit het boekje Succesformules, toepassingen van wiskunde van Bennie Mols en Ionica Smeets. Zowel leerlingen als leerkracht waren zeer enthousiast bij het doorbladeren van het boekje. Daaruit heb ik vooral de conclusie getrokken dat zulke zijsporen een grote meerwaarde bieden aan de les. Het geeft je de kans om een leuke, interessante of verrassende kwinkslag aan de leerstof te geven via een korte anekdote, een artikel uit een boekje... De impact daarvan op de motivatie van leerlingen mag niet onderschat worden. Het zorgt tevens voor een moment van pauze, waardoor de eventuele sleur in de les doorbroken wordt en de zoekgeraakte concentratie terug op peil kan komen. In mijn toekomstige loopbaan hou ik dit besluit zeker in het achterhoofd. 51

66 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs 3.3 Les 2 en 3: incidentiemeetkunde In tegenstelling tot het toegankelijke onderwerp grafentheorie is incidentiemeetkunde van een hele andere aard. Niet alleen eist het een aantal abstractieniveaus hoger in denkvermogen, ook de link met de realiteit valt zo goed als weg. Deze lessen vormden voor mij dus de grootste uitdaging in dit lessenpakket Aanpak en inhoud van de les Ik heb onderstaande lesdoelen vooropgesteld in het ontwerpen van deze les over incidentiemeetkunde. Die heb ik - zoals al aangehaald in het begin van dit hoofdstuk - gekozen op basis van de lesinhoud voor deel 3. De leerlingen kennen het begrip incidentiemeetkunde en punt-rechte incidentiestructuur. De leerlingen geven (eenvoudige) voorbeelden van punt-rechte incidentiestructuren. De leerlingen kennen de definitie van veralgemeende vierhoek, (partiële) ovoïde en (partiële) spread. Ondanks deze vrij eenvoudige en concrete lesdoelen, vond ik het moeilijk een gestructureerde les op te bouwen. Mijn prille didactische vaardigheden werden serieus op de proef gesteld: zoek een uitdagend evenwicht tussen enerzijds de abstracte wiskundeleerstof en anderzijds het opstellen van een begrijpbare cursus voor een zesde jaar. Ik ben als inspiratie op internet op zoek gegaan naar inleidingen op incidentiemeetkunde en ik heb een tweetal bruikbare documenten gevonden waarop ik mijn cursus gebaseerd heb ([30] en [37]). Ik nam het idee over om te vertrekken vanuit het begrip veelhoek. Het is iets waar leerlingen al jaren vertrouwd mee zijn en dat biedt een aantal interessante perspectieven. Ten eerste zorgt het voor een logische opbouw in de cursus: de stap naar het onbekende onderwerp wordt kleiner en minder abstract omdat bekende zaken langzaam getransformeerd worden in algemene incidentiestructuren. Ten tweede biedt dat bekende terrein net ook een uitvalsbasis om aan te tonen dat vanzelfsprekende zaken niet altijd zo vanzelfsprekend zijn in wiskunde. Hier kan ik opnieuw belang hechten aan juiste verwoording (wat is een veelhoek eigenlijk, hoewel ik met zoiets al van in de lagere school bezig ben?). Ook kan ik proberen om de kritische voelsprieten van de leerlingen uit te dagen en de volgende boodschap mee te geven: neem niet zomaar alles aan, maar sta voldoende stil bij het hoe en vooral het waarom! Ook deze les heb ik aangepakt m.b.v. een beamerpresentatie. Het was volgens mijn eigen verbazing voor mij gemakkelijker eerst de essentie van de leerstof in een aantal slides te gieten. Dit kon ik daarna snel in een vloeiende tekst gieten, met de werkbundel als gevolg. 52

67 3.3. Les 2 en 3: incidentiemeetkunde De start van de les bestond uit een kort brainstormmoment over het woord incidentiemeetkunde. De leerlingen gaven me ietwat aarzelend een aantal associaties die zij maakten met het woord incidentie, het woord meetkunde of het woord incidentiemeetkunde als geheel. Zo kon ik op een speelse manier naar hun voorkennis polsen, om later in de les eventueel op een gepast moment te verwijzen naar zo een associatie. Om voldoende kadering te geven, vervolgde ik de les met een vleugje geschiedenis over Euclidische meetkunde. Het begrip axioma was bij de leerlingen gekend en zo ging ik over op de vijf axioma s van Euclides, gevolgd door een kleine uitweiding over het parallellenpostulaat. Daarna ben ik op een intuïtieve manier te werk gegaan. Via concrete voorbeelden (projectieve meetkunde door het principe van lijnperspectief in de beeldende kunst en meetkunde op een wereldbol) heb ik de leerlingen laten aanvoelen dat, afhankelijk van de context waarin men aan meetkunde wil doen, er andere axioma s aan de orde zijn. Vooraleer tot de wiskundige definitie te komen van incidentiemeetkunde en punt-rechte incidentiestructuur, kwam eerst het voorbeeld van de veelhoek aan bod. De leerlingen kregen enkele figuren voorgeschoteld, al dan niet veelhoeken. Gedurende een aantal minuten discussiëerden ze welke figuren volgens hen veelhoeken voorstelden, waarbij de nadruk (alweer) voornamelijk lag op het verwoorden waarom. Daarna werd expliciet, maar nog steeds intuïtief, getoond hoe je een veelhoek als incidentiestructuur kan beschouwen. Daarna werd de intuïtie vervangen door de wiskundige definitie van incidentiestructuur, gevolgd door een aantal voorbeelden. Het laatste deel van de les werd ingevuld met de grote, uitdagende oefening De oefening behandelt de combinatorische beschrijving van de veralgemeende vierhoek van orde (2,2), zonder het woord veralgemeende vierhoek al te laten vallen. Ik liet de leerlingen vrij zelfstandig werken, omdat de vele deelvragen als een duidelijke leidraad konden dienen. De deelvragen staan wel al in nauw verband met de axioma s van een veralgemeende vierhoek, een beetje bedoeld als (on)bewuste instap op die nieuwe paragraaf. De les was na deze oefening helaas bijna ten einde. Ik heb nog juist de definitie van een veralgemeende vierhoek kunnen aanbrengen Evaluatie Voor deze les had ik wel een evaluatie voorzien, maar wegens tijdsgebrek is die niet meer ingevuld geraakt. Ik wilde daarin vooral peilen naar hun eerste echte ervaring met zuivere wiskunde: te abstract? (on)interessant? logische opbouw van de les? te weinig voorbeelden? De leerlingenevaluatie over deel 3 bevatte daarom nog enkele vragen die in feite betrekking hebben op de les over incidentiemeetkunde, maar de conclusies daaruit zal ik al opnemen in deze evaluatie. Algemeen was de opbouw van de les een geslaagd experiment, denk ik. Met de opbouw bedoel ik de start bij Euclidische meetkunde, daarna de overgang naar een intuïtief begrip voor incidentiestructuur a.d.h.v. de veelhoek. Vervolgens kwam de wiskundige 53

68 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs definitie, een aantal voorbeelden en oefening (veralgemeende vierhoek orde (2,2)). De leerlingen konden de les vrij goed volgen, al paste ik mijn tempo wel aan waar nodig. Een beetje tegen mijn verwachting in viel in het algemeen het onderwerp incidentiemeetkunde nog iets meer in de smaak dan grafentheorie. De leerlingen voelen zich door de leerstof uit dit deel meer uitgedaagd. Incidentiemeetkunde staat ook ver van de wiskunde uit het secundair onderwijs, waardoor ze het onderwerp als een aangename verbreding hebben ervaren. Het nodige abstractievermogen schrikte hen dus niet af, integendeel. Een boodschap die ik zeker meeneem naar de toekomst toe: mik het niveau van de les voldoende hoog, zodat leerlingen hun grenzen kunnen verleggen. Het brainstormingsmoment was een goede inleidingsfase. Zoals al gezegd, kon ik zo later in de les, bij nieuwe concepten, vlot ingaan op associaties die de leerlingen zelf gelegd hadden. Bijvoorbeeld was er een leerling (Latijnse richting) die aan het woord incidentie het woord snijden koppelde (van het Latijnse incidere, snijden). Daar kon ik dan naar verwijzen wanneer het concept van een incidentierelatie werd ingevoerd. Tevens schept zo n inleiding een ontspannen sfeer en leerlingen voelen zich meteen betrokken bij de les. In mijn toekomstige loopbaan lijkt deze werkvorm dus zeker bruikbaar om een nieuw thema te starten. Bij de uitleg over Euclidische meetkunde was het mijn bedoeling al een eerste keer hun kritische ingesteldheid aan te wakkeren. Het merendeel van de leerlingen zal pas in mijn les de eerste keer hebben stilgestaan bij wat Euclidische meetkunde nu eigenlijk inhoudt, hoewel dat de meetkunde is waar ze al jaren mee werken. Hetzelfde doel beoogde ik bij het stuk over de veelhoek. Ik hoop hiermee, in het kader van leraar als pedagoog, toch hun gezond kritische geest te hebben wakker geschud. De grote oefening had ik beter kunnen aanpakken. Ten eerste had ik me beter moeten informeren over de voorkennis bij de leerlingen, aangezien er een aantal (eenvoudige) telproblemen in voorkomen. De helft van de klas had al combinaties gezien, de andere helft slechts variaties, maar nog geen combinaties. Omdat combinatoriek sowieso al geen gemakkelijk onderwerp is, ben ik de leerkracht dankbaar dat hij hier en daar wat is bijgesprongen. Ik kon de telling voor de rechten beter gewoon getaltheoretisch aanpakken, zonder het woord combinatie al in de mond te nemen. Didactisch wordt de rechte voorgesteld als Nu is het gemakkelijk voor leerlingen om in te zien dat de 6 cijfers onderling op 6! manieren gewisseld kunnen worden. Sommige configuraties leveren echter dezelfde rechte op: de duo s vormen op 3! manieren dezelfde rechte, en de cijfers binnen een duo op 2! manieren hetzelfde duo, m.a.w. het aantal rechten berekenen we als 6! 2!2!2!3! = 15. Ik heb wel bewust gekozen om deze combinatorische oefening in mijn les op te nemen, zodat ik al eens heel kort kon ervaren hoe het voelt om over dat onderwerp les te geven. Het behoort voor veel leerlingen tot de moeilijkste wiskundeleerstof van het secundair onderwijs. Dit onderwerp zal ook voor mij als leerkracht, meer dan andere leerstof, een uitdaging zijn. Uit deze ervaring onthoud ik dat voldoende visuele voorstellingen gebrui- 54

69 3.3. Les 2 en 3: incidentiemeetkunde ken, vraagstukken zo concreet mogelijk aanbrengen en een goed gestructureerd schema aanreiken in dit vakonderdeel belangrijke leidraden zijn. Daarmee kom ik ook direct tot een algemenere opmerking die daarmee samenhangt. Een beetje als gevolg van de academische omgeving waarin ik nu al vijf jaar vertoef, had ik de manier waarop zesdejaars omgaan met nieuwe terminologie en notaties wat overschat. Ik geef toe dat ik hier en daar woorden vermeld heb waarvoor een minder formeel alternatief een betere didactische keuze was geweest: geen gemeenschappelijke doorsnede i.p.v. disjunct of relatie tussen twee verzamelingen i.p.v. binaire relatie. Toch ben ik voorstander van leerlingen op gepaste momenten voldoende kennis te laten maken met het wiskundig vakjargon. Deze les eiste echter heel wat abstractievermogen op andere vlakken, waardoor sommige terminologie eerder cognitieve ballast dan wel een verrijking vormde. Hetzelfde fenomeen zag ik een beetje terugkeren toen ik het principe van de dubbele telling aanbracht. Mijn voorbereiding m.b.v. de notaties uit de verzamelingenleer overdonderde de meeste leerlingen een beetje. Ook hier sprong de leerkracht snel bij. Hij verduidelijkte de notatie van een relatie als verzameling koppels door de analogie met functies te maken. Bij de uitleg van het principe van de dubbele telling zelf (hou het ene element vast, laat het andere variëren) maakte hij de link met partieel afleiden: daarin wordt ook één veranderlijke vastgehouden terwijl de andere varieert. Dit vind ik mooie voorbeelden van waar voor mij een goede leerkracht toe in staat moet zijn: leg hetzelfde idee op een aantal verschillende manieren uit, zodat je een leerling de keuze laat met welke uitleg hij het beste aan de slag kan. Je geeft hen actief de mogelijkheid nieuwe kennis aan oude te koppelen. Dit leer je echter vooral uit ervaring, zoals de leerkracht mij ook geruststelde na de les. In dezelfde lijn ligt de keuze van mijn voorbeelden bij het invoeren van het begrip incidentie. Concretere voorbeelden hadden de definitie sneller kunnen duiden. Terwijl ik me tot echte wiskundevoorbeelden beperkte (veelhoek, graaf, expliciete tekening van een incidentiemeetkunde), voegde de leerkracht nog een aantal praktische voorbeelden (en antivoorbeelden!) eraan toe: getrouwd zijn als incidentierelatie tussen mannen en vrouwen bijvoorbeeld. De beamerpresentatie had in deze les een kleinere rol dan in de les grafentheorie, maar toch was het aangenaam bijvoorbeeld de Euclidische axioma s snel en overzichtelijk te kunnen oplijsten. Als laatste opmerking wil ik nog iets over de gebruikte werkvormen kwijt. Deze les was vrij theoretisch van aard en ik was daardoor vooral geneigd om (zeker in het begin van de les) de doceerstijl afgewisseld met een onderwijsleergesprek te gebruiken (ik was vooral zelf vaak aan het woord). Uit de evaluaties van de leerlingen bleek niet dat dit hen stoorde (ondanks dat een doceerstijl in het secundair onderwijs wordt afgeraden). Als ik deze les eventueel in de toekomst nog eens gebruik, zal ik wel proberen om toch op zijn minst vooral een onderwijsleergesprek te voeren i.p.v. te doceren. Toch heb ik bewust gedurende de ganse lessenreeks veel verschillende werkvormen aan bod laten komen, zodat een doceerstijl ook wel een gepaste plaats verdient. Deze lessenreeks zie ik immers als een extra kans om in een veilige omgeving nog vanalles uit te proberen vooraleer ik echt als leerkracht aan de slag ga. 55

70 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs 3.4 Les 5 en 6: een brug tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie De samenvloeiing van incidentiemeetkunde en grafentheorie leek mij een geschikt onderwerp om op een (kleinschalig) onderzoekend lerende manier aan te pakken. Ik wilde sowieso zeker deze werkvorm in het lessenpakket verwerken, omdat ik overtuigd ben van de kracht ervan Aanpak en inhoud van de les De vorige twee lessen vormden de fundering waarop de leerlingen in deze les een brug zouden bouwen tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie. Ik heb dan ook bij het ontwerpen van dit lessenpakket eerst nagedacht over de doelstellingen voor deze les. Daaruit vloeiden dan vanzelf de lesdoelen voor de twee voorafgaande delen. Voor deel 3 had ik oorspronkelijk volgende doelstellingen opgesteld, die ik ook al in 3.1 vermeldde: De leerlingen kennen de definitie van een Levigraaf en Mengergraaf van een puntrechte meetkunde. De leerlingen geven voor enkele grafentheoretische begrippen (kliek, cokliek, dominerende verzameling, kleuring) van deze grafen een meetkundige interpretatie. De leerlingen leiden uit meetkundige interpretaties een onder- en/of bovengrens of een exacte waarde af voor de valentie, kliekgetal en kleurgetal van de Mengergraaf van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t). Zoals ik al opmerkte in 3.1 liet deze didactische component mij volledig vrij in de te behalen doelstellingen. In zo een luxepositie kon ik op elk moment de les aanpassen aan het tempo van de leerlingen. De leerstof uit de vorige twee delen, waar in de les zelf geen tijd meer voor was, heb ik daardoor pas opgenomen in deze les. De les kon ik dus eigenlijk in twee delen opsplitsen: de nog niet behandelde opdrachten uit zowel grafentheorie als incidentiemeetkunde en de nieuwe leerstof over de brug tussen de twee. Ik wilde als rode draad de - voor interpretatie vatbare - werkvorm onderzoekend leren in de hele les uitbouwen. Het eerste deel heb ik aangepakt a.d.h.v. de werkvorm stamen expertgroepen. Voor mij past deze werkvorm immers bij het idee van onderzoekend leren. De leerlingen werden eerst (willekeurig) verdeeld in twee expertgroepen: een expertgroep grafentheorie en een expertgroep incidentiemeetkunde. Elke groep kreeg de opdracht om samen (een deel van) de resterende theorie en oefeningen te doorgronden in hun expertgebied (zie achteraan de werkbundel). Daarna werd de klas (terug willekeurig) herverdeeld in stamgroepen van telkens twee personen: een expert in grafentheorie en één in incidentiemeetkunde. Door elkaar dan de inzichten uit het eigen expertgebied uit te leggen, had iedereen na dit eerste deel van de les dezelfde bagage om aan het laatste deel te starten. 56

71 3.4. Les 5 en 6: een brug tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie De les werd verdergezet in de koppels van de stamgroepen. De leerlingen kregen hoofdstuk 3 van de werkbundel en gingen daarmee in de stamgroep aan de slag. Ik liep rond en beantwoordde vragen of gaf hints waar nodig. Omdat het eerste deel van de les werd ingepalmd door de leerstof van vorige weken, had ik besloten de lesdoelstelling over de incidentiegraaf te laten vallen en enkel de focus te leggen op de Mengergraaf. In mijn masterproef behandel ik immers de Levigraaf zelf maar kort. Verder heb ik in de werkbundel gewoon letterlijk een aantal bevindingen uit mijn wiskundige component in opdrachten gegoten, analoog met hoe ik ook zelf gestart ben met onderzoeken. Daarbij gebruikte ik de veralgemeende vierhoek van orde (2,2) als rode draad en zo hadden de leerlingen ook een visuele houvast. De opmerking van de leerkracht over de kladgrafen uit de eerste les heb ik hier al in de praktijk gebracht, wat de laatste pagina van de werkbundel verklaart. Omdat ik het belangrijk vond bij het afsluiten van dit lessenpakket naar de ervaring van de leerlingen te peilen, heb ik de les vijf minuten vroeger beëindigd. De meeste leerlingen zijn daardoor slechts t.e.m. opdracht geraakt, maar van onderzoekend leren hebben ze in deze les zeker kunnen proeven! Evaluatie Hoewel het tijdsschema een minimale rol speelde in deze lessenreeks, had ik de tijd die de expertgroepen nodig hadden, wel onderschat. Bovendien was de expertgroep incidentiemeetkunde veel sneller klaar met hun opdracht dan de expertgroep grafentheorie. Dit had ik snel opgelost, door hen de rest van de oefeningen (die oorspronkelijk niet tot de opdracht behoorden) ook te laten maken. Zo konden ze het principe van de dubbele telling extra inoefenen; in de les incidentiemeetkunde kwam dat maar kort aan bod. Een alternatief was om hen al te laten beginnen aan de opdracht van de andere expertgroep. Die was wel meer inzichtelijk (en dus moeilijker en tijdrovender) dan de opdracht voor incidentiemeetkunde. Maar de leerlingen verloren vooral veel tijd omdat geen enkel groepslid de les van twee weken terug herbekeken had. Daardoor moesten de begrippen terug grondig hernomen worden. Een kant-en-klaar overzicht van de verschillende invarianten had voor deze leerlingen een nuttig instrument geweest. Zo had men vlotter op de essentie van de oefening kunnen overgaan. Mijn eenvoudig bedacht kaartjessysteem om de groepsverdelingen te maken, werkte wel heel efficiënt. Elke leerling trok een kaartje met een kleur en cijfer op. Eerst waren de cijfers van belang: cijfers 1 vormden de ene expertgroep, cijfers 2 de andere. Om dan de stamgroepen te bepalen, hoefden de leerlingen enkel nog hun kleurbuddy (die noodzakelijk in de andere expertgroep zat) te zoeken. Toen ik voor het eerst hoorde van de werkvorm stam- en expertgroepen, was ik meteen enthousiast. Leerlingen ervaren dit ten eerste als een aangename afwisseling op de traditionele onderwijsleergesprekken. Ten tweede word je als leerkracht geforceerd om in deze werkvorm hogere orde leeropdrachten op te stellen. Dit zijn opdrachten waarbij de uit- 57

72 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs voering de vaardigheden analyseren, evalueren of creëren vereist. Leerlingen worden zo gestimuleerd om probleemoplossend te denken, kritisch te zijn t.o.v. zichzelf en anderen en in dialoog te gaan met elkaar. Ze zijn de hele tijd zelf actief bezig en door deze vele facetten is het leerrendement dan ook hoog. Ik had deze werkvorm in één van mijn laatste stagelessen al een eerste keer toegepast, met uitstekend resultaat. Nu het ook deze tweede test ruimschoots doorstaan heeft, wordt deze werkvorm een belangrijk aspect in mijn toekomstige vakdidactiek. Eerlijkheidshalve, en volgens wat ik heb opgevangen van mensen uit het vak, besef ik wel dat eenzelfde lesinhoud via een onderwijsleergesprek in misschien de helft van de tijd al behandeld kan worden, t.o.v. een aanpak met stamen expertgroepen. Het wordt alleszins een uitdaging om het behalen van de vereiste leerplandoelstellingen in de voorziene tijd regelmatig toe te passen in een setting waarin leerlingen tegelijk ook andere belangrijke vaardigheden kunnen en moeten uitbouwen. Oefening over het dominantiegetal had ik oorspronkelijk niet opgenomen in de werkbundel. Door enkele vragen van de leerlingen hierover, heb ik na de les deze oefening eraan toegevoegd. Ondanks dat de leerlingen een opdrachtenblad kregen waarop de instructies duidelijk vermeld stonden, hadden een aantal leerlingen last met het correct uitvoeren van de opdracht. Sommigen begonnen blindelings enkele oefeningen op te lossen, zonder de opdracht eerst goed te lezen. Dit heeft me er wel van bewust gemaakt dat zelfs in een derde graad sommige leerlingen nog veel nood hebben aan structuur. Of dat ze toch tenminste nog training kunnen verdragen op het efficiënt aanpakken van een oefening, zoals bijvoorbeeld eerst de opgave goed lezen en interpreteren. Ik sluit deze evaluatie af met de belangrijkste conclusie uit de leerlingenevaluaties. Het was voor hen heel verhelderend om expliciet (en zélf) de brug te leggen tussen de twee verschillende onderwerpen. Dit in combinatie met de werkvorm, hebben ze deze les als heel aangenaam ervaren. 3.5 Globale reflectie en besluit Bij het horen van de mogelijkheid om een didactisch gedeelte uit te bouwen in de masterproef, was ik meteen enthousiast. Aangezien ik de opleiding wiskunde gestart ben met het idee om later in het onderwijs te stappen, leek mij dat een uitgelezen kans om extra ervaring op te doen in het uitbouwen van mijn didactische vaardigheden. Die laatste heb ik zowel inhoudelijk als praktisch kunnen uitdagen. Inhoudelijk omdat ik abstracte onderwerpen moest boetseren tot een begrijpbare uitleg in de derde graad. Praktisch omdat ik kon experimenteren met werkvormen. Door de kleine klas vol geïnteresseerde leerlingen heb ik nauwelijks aan klasmanagement moeten doen. Dit is enerzijds positief, maar anderzijds heb ik geen extra oefening gehad in bijvoorbeeld omgang met ongewenst leerlingengedrag. Dit zal in mijn toekomstige loopbaan echter wel een groot aandachts- 58

73 3.5. Globale reflectie en besluit punt zijn voor mij. Mijn algemene tevredenheid en voldoening tijdens en na de lessenreeks staat in vrij schril contrast met mijn ervaringen op de echte stages. Dit didactisch gedeelte voelde als een echte verademing, als een soort van thuiskomen, wat ik bij de gewone stagelessen nooit ervaren heb. De context waarin deze lessen gegeven werden, verschilt nogal van een echte stage. Ik kreeg zo goed als volledige carte blanche: lesonderwerp, werkvormen, aantal lessen, tempo... Toch ligt de oorzaak van mijn gevoel ook (en misschien vooral) bij een ander verschil: aan deze lessenreeks hingen geen quotaties van de vakmentor af. Bij de gewone stages ervaarde ik dat echt als een verlamming, waardoor ik me gevangen voelde, daar vooraan in de klas. Dat had (on)rechtstreeks invloed op de kwaliteit van mijn lessen. In deze lessenreeks daarentegen heb ik veel meer kunnen tonen wat ik didactisch in mijn mars heb, omdat dat quoterend aspect wegviel. Ongeveer de helft van de lesdoelen uit dit lessenpakket zijn van lagere orde niveau. Om twee nieuwe onderwerpen aan te brengen, moeten sowieso veel nieuwe begrippen ingevoerd worden. Soms schuilt dan het gevaar dat het niveau van de lessen wat op een laag pitje komt te staan. Ik heb echter de theorie en oefeningen bewust geselecteerd/ontworpen met de idee dat de leerlingen voldoende uitgedaagd moesten worden. Uit de reactie van de omgeving lijkt dit een geslaagd geheel. Ik koos tijdens deze lessenreeks om bewust verscheidene keren naar de mening van de leerlingen te vragen. Ik vond dat dit in gewone stages wat ontbrak; het is uiteindelijk aan de leerlingen zelf dat je lesgeeft. Ik ben van plan dit ook in mijn eerste werkjaar af en toe in te plannen. Leerlingen appreciëren het als ook naar hun mening wordt gevraagd, het is een uiting van respect. Toch valt het op dat de meesten moeite hebben met concrete feedback te verwoorden op papier. Een klasgesprek kan hier dus misschien nuttiger zijn. De belangrijkste boodschap die ik voor mezelf meeneem uit deze ervaring is de volgende: uitdagende lessen maken, waarin de leerlingen veel zelf aan de slag kunnen, bevatten de sleutel tot succes. De motivatie en interesse krijgt zo automatisch een boost bij hen. Laat het nut inzien van wiskunde in de realiteit en verfijn de kwaliteit van de lessen met bijvoorbeeld een boeiend weetje als verrassende inleiding. 59

74 Hoofdstuk 3. Een derde brug: de brug naar onderwijs 60

75 Appendices 61

76

77 Bijlage A English summary In this master s thesis we build three bridges between incidence geometry and graph theory. In the first chapter we start off by introducing some definitions in both subjects. Generalized quadrangles for example are seen from an axiomatic as well as a graph theoretical viewpoint. We define four graphs that can be associated with a point-line geometry Γ: the Levi graph or incidence graph G L (Γ), the Menger graph G M (Γ), the configuration graph G C (Γ) and the line graph G R (Γ). As a first bridge, we prove the equivalence between bislim geometries and trivalent graphs, based on the article [27] from H. Van Maldeghem. Bislim geometries are pointline geometries such that every point is incident with three lines and vice versa. Trivalent graphs are graphs with valency three. The incidence graph of a bislim geometry is a bipartite trivalent graph. The study of bislim geometries therefore matches the study of bipartite trivalent graphs. Now consider an arbitrary (not necessarily bipartite) trivalent graph G. Is there a way G gives rise to a bislim geometry? There exists an operation, the so called neighbourhood operation N, that provides us a bislim geometry N (G) from a trivalent graph G. It appears that G is not bipartite if and only if N (G) is connected. In the second chapter we take a closer look at the Menger graph, configuration graph and line graph of a point-line geometry. We provide geometrical interpretations of four invariants of these graphs: the chromatic number χ, the independence number β, the domination number σ and the clique number ω. We interpret these invariants for a generalized quadrangle GQ(s, t) of order (s, t) and thus obtain the value of the invariants 63

78 Hoofdstuk A. English summary in function of (s, t). A conclusion is made at the end of each paragraph. These results are for each graph illustrated with the example GQ(2, 2). As an application on this theory we focus on three geometries: generalized quadrangles of order 3, generalized hexagons of order 2 and the Desargues geometry. For the first two there is a combinatorial description of the geometry, which makes it easier to refine the geometrical interpretations of the invariants. We do this for the Menger graph and line graph in both cases. For the generalized quadrangles of order 3, we also look at the configuration graph. In the third application, the Desargues geometry, we take a different route. In this section we discuss two sporadic properties of this geometry, whose configuration graph is the Petersen graph. The last chapter handles the bridge to secundary education. In this didactic component a threefold series of lessons were designed and taught: graph theory, incidence geometry and the bridge between the two. Every part consists of two lessons. First we clarify the context of this didactic chapter. Subsequently we discuss every lesson in detail in terms of approach and content. After that you can find an evaluation of each lesson. The courses graph theory and incidence geometry form the base on which the content of the third part is built. In the two lessons on graph theory we introduce some basic concepts. Later on we focus on modelling realistic problems with graph theory. From this discussion we obtain the definitions of the four needed invariants of a graph. The incidence geometry part is more abstract. We use Euclidian geometry as a framework to attain to the more general incidence geometry. A point-line geometry is defined and the students make the acquaintance of generalized quadrangles. The last two lessons aim at inquiry learning. Students discover by themselves how invariants of the Menger graph can be interpreted in a point-line geometry. They prove some small theorems on that topic from the master s thesis. Eventually we give a global evaluation of this experience. 64

79 Bijlage B Definities en stellingen Omdat een basiskennis in grafentheorie en incidentiemeetkunde verondersteld wordt, worden sommige begrippen niet expliciet gedefinieerd. Ik vermeld hier toch nog enkele begrippen voor de duidelijkheid. Ze zijn ook te vinden in [12],[21], [24], en [26]. Grafentheorie Definitie B.0.1. Een semi-reguliere bipartiete graaf G = (V 1, V 2, E) is een bipartiete graaf zodanig dat elke twee toppen uit dezelfde bipartitieverzameling dezelfde graad hebben. Als r graad is van de toppen uit V 1 en k de graad is van de toppen uit V 2, dan wordt G een (r, k)-reguliere graaf genoemd. Definitie B.0.2. Een deelverzameling S van toppen van een graaf G wordt een kliek genoemd als elk paar toppen in S verbonden is door een boog. Een deelverzameling S van toppen van G wordt een maximale kliek genoemd als S een kliek is en niet bevat is in een grotere kliek. Een maximum kliek is een maximale kliek met het grootste aantal toppen. Het aantal toppen in een maximum kliek van een graaf G wordt het kliekgetal genoemd en wordt genoteerd als ω(g). Definitie B.0.3. Een verzameling S van toppen van een graaf G is onafhankelijk als geen twee toppen van S adjacent zijn. Een onafhankelijke verzameling wordt soms ook een cokliek genoemd. Een onafhankelijke verzameling wordt een maximale onafhankelijke verzameling genoemd als S geen eigenlijke deelverzameling is van een andere cokliek. Een maximum onafhankelijke verzameling of maximum cokliek 65

80 Hoofdstuk B. Definities en stellingen is een maximale cokliek met het grootste aantal toppen. Het aantal toppen β(g) in een maximum cokliek wordt het onafhankelijkheidsgetal genoemd. Definitie B.0.4. Een verzameling S van toppen in een graaf G wordt een dominerende verzameling genoemd als elke top die niet tot S behoort, adjacent is met een top uit S. Een dominerende verzameling S is een minimale dominerende verzameling als geen eigenlijke deelverzameling van S ook een dominerende verzameling in G is. Een minimum dominerende verzameling is een minimale dominerende verzameling met het minst aantal toppen. Het dominantiegetal σ(g) is het aantal toppen in een minimum dominerende verzameling. Definitie B.0.5. Een kleuring van een graaf G is een toekenning van kleuren (te zien als elementen van een bepaalde verzameling) aan de toppen, één kleur per top, zodanig dat adjacente toppen een verschillende kleur krijgen. Het minimaal aantal kleuren dat hiervoor nodig is wordt het kleurgetal genoemd en genoteerd met χ(g). Definitie B.0.6. Zij G een graaf. De schrapping van een echte deelverzameling S van toppen uit G is de deelgraaf die bestaat uit de toppen van G die niet tot S behoren, en de bogen van G die niet incident zijn met een top in S. Deze deelgraaf wordt genoteerd als G S. Definitie B.0.7. Twee grafen G en H zijn isomorf, genoteerd als G = H, als er een bijectie φ van V (G) op V (H) bestaat, zodanig dat uv E(G) als en slechts als φ(u)φ(v) E(H). De functie φ wordt een isomorfisme genoemd. Stelling B.0.8. (Brooks) Zij G een samenhangende graaf met maximale graad = (G). Dan geldt dat 1. ω(g) χ(g) 1 + ; 2. χ(g) als en slechts als G noch een complete graaf, noch een oneven cykel is. Incidentiemeetkunde Definitie B.0.9. De projectieve ruimte of projectieve meetkunde P G(n, K) is de incidentiemeetkunde (S, I,, τ) afgeleid van een linkse vectorruimte V (n + 1, K) van dimensie n + 1 over een delingsring K. De verzameling S bestaat uit de deelruimten van V (n + 1, K) verschillend van de ledige deelruimte en de volledige vectorruimte, I is de symmetrische strikte inclusie, is de verzameling {1,..., n}, en τ beeldt iedere deelruimte af op haar projectieve dimensie (d.w.z. vectoriële dimensie verminderd met één) over K. Definitie B Is F (X 0, X 1,..., X n ), of kortweg F, een homogene polynoom van de graad m, m 1 in K[X 0,..., X n ], K een veld, dan is V (F ) de verzameling van alle punten (x 0, x 1,..., x n ) van P G(n, K) waarvoor F (X 0, X 1,..., X n ) = 0. Is F van 66

81 de gedaante n i,j=0 a ijx i Xj θ met a ij K, K een veld, en θ Aut(K), dan is V (F ) de verzameling van alle punten (x 0, x 1,..., x n ) van P G(n, K) waarvoor n i,j=0 a ijx i x θ j = 0. Een kwadriek Q(n, K) in P G(n, K), n, is elke verzameling punten in P G(n, K) van de gedaante V (F ) met F = n i j a ij X i X j, a ij K en niet alle a ij s gelijk aan nul. Als i,j=0 n even is wordt de kwadriek parabolisch genoemd. Een hermitische variëteit H(n, K) van P G(n, K), n 1, is elke verzameling punten van P G(n, K) van de gedaante V (F ) met F = n i,j=0 a ijx i X θ j waarbij a ij K, niet alle a ij s gelijk aan nul, θ Aut(K) met θ 1 en θ 2 = 1 en a θ ij = a ji. Is n = 2 dan spreken wij ook van een hermitische kromme. Definitie B Een polariteit β van een projectieve ruimte P G(n, K) is een involutie van de familie deelruimten van P G(n, K) die de strikte inclusie omdraait. Voor de verschillende soorten polariteiten (orthogonaal, symplectisch, hermitisch... ) verwijzen we naar [12]. Definitie B Een eindige symplectische polaire ruimte W (2n+1, q) is gedefinieerd in de projectieve ruimte P G(2n+1, q) en bestaat uit de punten van P G(2n+1, q), tesamen met de totaal isotrope deelruimten van P G(2n + 1, q) met betrekking tot een symplectische polariteit. Stelling B Elke niet-singuliere hermitische variëteit in P G(n, K), n 2, is de verzameling der absolute punten van een hermitische polariteit β van P G(n, K). Elke niet-singuliere kwadriek in in P G(n, K), n 2 met karakteristiek van K verschillend van twee, is de verzameling der absolute punten van een orthogonale polariteit β van P G(n, K). 67

82 Hoofdstuk B. Definities en stellingen 68

83 Bijlage C Punten en rechten GH(2, 2) C B G D A Punten van GH(2, 2) per type: F E 6 punten van type P, 6 punten van type R: A, B, C, D, E, F, G ABC, AGD, AF E, BGE, BDF, CGF, CDE 21 punten van type V : {A, ABC} {B, BGE} {C, CGF } {D, AGD} {E, AF E} {F, CGF } {G, CGF } {A, AGD} {B, BDF } {C, CDE} {D, BDF } {E, BGE} {F, BDF } {G, AGD} {A, AF E} {B, ABC} {C, ABC} {D, CDE} {E, CDE} {F, AF E} {G, BGE} 69

84 Hoofdstuk C. Punten en rechten GH(2, 2) 28 punten van type A: {A, BGE} {B, CGF } {C, AGD} {D, ABC} {E, BDF } {F, ABC} {G, BDF } {A, CDE} {B, CDE} {C, BGE} {D, AF E} {E, ABC} {F, BGE} {G, ABC} {A, CGF } {B, AF E} {C, AF E} {D, BGE} {E, AGD} {F, AGD} {G, CDE} {A, BDF } {B, AGD} {C, BDF } {D, CGF } {E, CGF } {F, CDE} {G, AF E} Rechten van GH(2, 2) per type: 21 rechten van type P RV : {A, ABC, {A, ABC}} {A, AGD, {A, AGD}} {A, AF E, {A, AF E}} {B, BGE, {B, BGE}} {B, BDF, {B, BDF }} {B, ABC, {A, ABC}} {C, CGF, {C, CGF }} {C, CDE, {C, CDE}} {C, ABC, {C, ABC}} {D, AGD, {D, AGD}} {D, BDF, {D, BDF }} {D, CDE, {D, CDE}} {E, AF E, {A, AF E}} {E, BGE, {E, BGE}} {E, CDE, {E, CDE}} {F, CGF, {F, CGF }} {F, BDF, {F, BDF }} {F, AF E, {F, AF E}} {G, CGF, {G, CGF }} {G, AGD, {G, AGD}} {G, BGE, {G, BGE}} 42 rechten van type V AA: {{A, ABC}, {B, AGD}, {C, AF E}} {{A, ABC}, {B, AF E}, {C, AGD}} {{A, AGD}, {G, ABC}, {D, AF E}} {{A, AGD}, {G, AF E}, {D, ABC}} {{A, AF E}, {F, AGD}, {E, ABC}} {{A, AF E}, {F, ABC}, {E, AGD}} {{B, BGE}, {G, ABC}, {E, BDF }} {{B, BGE}, {G, BDF }, {E, ABC}} {{B, BDF }, {D, ABC}, {F, BGE}} {{B, BDF }, {D, BGE}, {F, ABC}} {{C, CGF }, {G, ABC}, {C, CDE}} {{C, CGF }, {G, CDE}, {F, ABC}} {{B, ABC}, {A, BGE}, {C, BDF }} {{B, ABC}, {A, BDF }, {C, BGE}} {{C, CDE}, {D, ABC}, {E, CGF }} {{C, CDE}, {D, CGF }, {E, ABC}} {{C, ABC}, {B, CGF }, {A, CDE}} {{C, ABC}, {B, CDE}, {A, CGF }} {{D, AGD}, {G, CDE}, {A, BDF }} {{D, AGD}, {G, BDF }, {A, CDE}} {{D, CDE}, {C, BDF }, {E, AGD}} {{D, CDE}, {C, AGD}, {E, BDF }} {{E, AF E}, {F, BGE}, {A, CDE}} {{E, AF E}, {F, CDE}, {A, BGE}} {{E, BGE}, {G, AF E}, {B, CDE}} {{E, BGE}, {G, CDE}, {B, AF E}} {{E, CDE}, {C, AF E}, {D, BGE}} {{E, CDE}, {C, BGE}, {D, AF E}} {{F, CGF }, {G, AF E}, {C, BDF }} {{F, CGF }, {G, BDF }, {C, AF E}} {{F, BDF }, {B, AF E}, {D, CGF }} {{F, BDF }, {B, CGF }, {D, AF E}} {{F, AF E}, {A, CGF }, {E, BDF }} {{F, AF E}, {A, BDF }, {E, CGF }} {{G, CGF }, {C, AGD}, {F, BGE}} {{G, CGF }, {C, BGE}, {F, AGD}} {{G, AGD}, {A, CGF }, {D, BGE}} {{G, AGD}, {A, BGE}, {D, CGF }} {{G, BGE}, {B, AGD}, {E, CGF }} {{G, BGE}, {B, CGF }, {E, AGD}} {{D, BDF }, {B, AGD}, {F, CDE}} {{D, BDF }, {B, CDE}, {F, AGD}} 70

85 Bijlage D Bijlage stelling Afstand Punten Aantal 0 A 1 2 {A, ABC}, ABC, {A, AF E}, AF E, {A, AGD}, AGD 6 B {B, ABC} {B, AGD} {B, AF E} C {C, ABC} {C, AF E} {C, AGD} 4 F {F, AF E} {F, AGD} {F, ABC} E {E, AF E} {E, ABC} {E, AGD} 24 G {G, AGD} {G, ABC} {G, AF E} D {D, AGD} {D, AF E} {D, ABC} {B, BGE} {B, BDF } {C, CGF } {C, CDE} {D, BDF } {D, CDE} {E, BGE} {E, CDE} {F, CGF } {F, BDF } {G, CGF } {G, BGE} 6 {A, BGE} {A, CDE} {A, CGF } {A, BDF } {B, CGF } {B, CDE} {C, BGE} {C, BDF } 32 {D, BGE} {D, CGF } {E, BDF } {E, CGF } {F, BGE} {F, CDE} {G, BDF } {G, CDE} BGE BDF CGF CDE Tabel D.1: Geval stelling type punt = P 71

86 Hoofdstuk D. Bijlage stelling H Afstand Punten Aantal 0 ABC 1 2 {A, ABC}, A, {B, ABC}, B, {C, ABC}, C 6 AGD {A, AGD} AF E {A, AF E} BGE {B, BGE} BDF {B, BDF } 4 CDE {C, CDE} CGF {C, CGF } {B, AGD} {C, AF E} {B, AF E} {C, AGD} 24 {A, BGE} {C, BDF } {A, BDF } {C, BGE} {B, CGF } {A, CDE} {B, CDE} {A, CGF } {D, AGD} {E, AF E} {F, CGF } {G, CGF } {D, BDF } {E, BGE} {F, BDF } {G, AGD} {D, CDE} {E, CDE} {F, AF E} {G, BGE} 6 {D, ABC} {E, BDF } {F, ABC} {G, BDF } {D, AF E} {E, ABC} {F, BGE} {G, ABC} 32 {D, BGE} {E, AGD} {F, AGD} {G, CDE} {D, CGF } {E, CGF } {F, CDE} {G, AF E} D E F G Tabel D.2: Geval stelling type punt = R Afstand Punten Aantal 0 {A, ABC} 1 2 ABC, A, {B, AGD}, {C, AF E}, {B, AF E}, {C, AGD} 6 {A, AF E} AF E {A, AGD} AGD {B, ABC} B {C, ABC} C 4 {G, BGE} {E, CGF } {D, BDF } {F, CDE} {E, CDE} {D, BGE} {F, CGF } {G, BDF } 24 {E, BGE} {G, CDE} {F, BDF } {D, CGF } {G, CGF } {F, BGE} {D, CDE} {E, BDF } {B, BGE} {B, BDF } {C, CGE} {C, CDE} {D, AGD} {E, AF E} {F, AF E} {G, AGD} {A, ABC} {A, CDE} {A, CGF } {A, BDF } 6 {B, CGF } {B, CDE} {C, BGE} {C, BDF } {D, ABC} {D, AF E} {E, ABC} {E, AGD} 32 {F, ABC} {F, AGD} {G, ABC} {G, AF E} BGE BDF CGF CDE D E F G Tabel D.3: Geval stelling type punt = V 72

87 Afstand Punten Aantal 0 {B, AGD} 1 2 {A, ABC}, {C, AF E}, {G, BGE}, {E, CGF }, {D, BDF }, {F, CDE} 6 A ABC {B, AF E} {C, AGD} G BGE {B, CGF } {E, AGD} 4 D BDF {B, CDE} {F, AGD} {E, CDE} {D, BGE} {F, CGF } {G, BDF } 24 {F, AF E} {A, BDF } {D, ABC} {C, CDE} {E, AF E} {A, BGE} {C, CGF } {G, ABC} {A, AGD} {A, AF E} {B, BGE} {B, BDF } {B, ABC} {C, ABC} {D, CDE} {E, BGE} {F, BDF } {G, CGF } {G, AGD} {A, BDF } 6 {A, CDE} {A, CGF } {C, BGE} {C, BDF } {D, AF E} {D, CGF } {E, BDF } {E, ABC} 32 {F, ABC} {F, BGE} {G, CDE} {G, AF E} AGD AF E CGF CDE B C E F Tabel D.4: Geval stelling type punt = A Afstand Punten Aantal 0 {C, AF E} 1 2 {A, ABC}, {B, AGD}, {F, CGF }, {G, BDF }, {E, CDE}, {D, BGE} 6 A ABC {F, ABC} {B, BDF } F CGF {G, AGD} {A, CGF } 4 E CDE {C, BGE} {D, AF E} {D, AGD} {A, CDE} {B, BGE} {E, ABC} 24 {G, AF E} {C, BDF } {D, BDF } {F, CDE} {G, BGE} {E, CGF } {B, AF E} {C, AGD} {A, AGD} {A, AF E} {B, ABC} {C, CGF } {C, CDE} {C, ABC} {D, CDE} {E, BGE} {E, AF E} {F, BDF } {F, AF E} {C, CGF } 6 {A, BGE} {A, BDF } {B, CGF } {B, CDE} {D, ABC} {D, CGF } {E, BDF } {E, AGD} 32 {F, BGE} {F, AGD} {G, ABC} {G, CDE} AGD AF E BGE BDF B C D G Tabel D.5: Stelling 2.5.1, punt {C, AF E} 73

88 Hoofdstuk D. Bijlage stelling

89 Bijlage E Werkbundel didactisch gedeelte 75

90 Hoofdstuk 1 Grafentheorie 1.1 Het concept graaf: definities Inleiding: de zeven bruggen van Koningsbergen Het vraagstuk over de zeven bruggen van Koningsbergen is een gekend wiskundig probleem en wordt gezien als de kiem waaruit de grafentheorie ontwikkeld werd. De formulering van het vraagstuk gaat als volgt. Door de stad Koningsbergen in de 18e eeuw, heden ten dage Kaliningrad, stroomde de Pregelrivier. Deze rivier omringde een eiland en splitst daarna verder in twee armen. Zo onstaan vier stadsdelen. De bewoners hadden in totaal zeven bruggen ter beschikking om zich te verplaatsen tussen de gebieden. Ze vroegen zich af of het mogelijk was om een wandeling te maken zodat men elk van de zeven bruggen éénmaal oversteekt. Hieronder vind je een kaart van Koningsbergen die de ligging van de bruggen verduidelijkt. Figuur 1.1: De zeven bruggen van Koningsbergen 1

91 Opdracht: Zoek zo een manier om door de stad te wandelen zodat je elke brug één keer oversteekt Euler bedacht in 1736 een manier om het vraagstuk eenvoudig, maar abstracter voor te stellen, waarmee hij dan het probleem oplostte. Hij schematiseerde elk gebied van de stad tot een top en stelde een brug tussen twee gebieden voor door een boog tussen de overeenkomstige toppen. Het wiskundig object graaf was geboren! Figuur 1.2: Schematisering van het probleem tot een graaf Basisbegrippen van een graaf: deel 1 Vooraleer we overgaan op de oplossing van het probleem, voeren we een aantal basisbegrippen uit de grafentheorie in. Definitie Een graaf G = (V, E) is een koppel bestaande uit een eindige verzameling V van toppen en een verzameling E van paren van elementen uit V, bogen genoemd. We zullen geen grafen beschouwen waarin begin- en eindtop van een boog dezelfde is (een zelflus genaamd). Definitie Het aantal toppen in een graaf G wordt de orde van de graaf genoemd. Het aantal bogen is de grootte. 2

92 Definitie Toppen die verbonden zijn door een boog worden adjacent genoemd. Als top u adjacent is met top v worden u en v buren genoemd. We noteren dit met u v. Definitie De graad deg(v) van een top v is het aantal bogen dat vertrekt vanuit v. Een graaf wordt k-regulier genoemd als elke top dezelfde graad k heeft. Het getal k is dan de valentie van de graaf. Tijd om vertrouwd te raken met deze nieuwe begrippen! Oefening Bepaal (voorlopig) van elke graaf (slechts) de orde en grootte. Noteer bij elke top de graad ervan en bepaal daaruit of de graaf regulier is, en zo ja, geef de valentie. Orde = 4 Grootte = 5 Regulier + valentie? nee Taille = 4 Diameter = 2 Bipartiet? nee Compleet? nee Orde = 8 Grootte = 12 Regulier + valentie? ja, k = 3 Taille = 4 Diameter = 3 Bipartiet? ja Compleet? nee Orde = 7 Grootte = 21 Regulier + valentie? ja, k = 6 Taille = 3 Diameter = 1 Bipartiet?nee Compleet? nee 3

93 1.1.3 Oplossing van het probleem Als we tijdens de wandeling een stadsdeel bezoeken via een brug, verlaten we het stadsdeel via een (andere) brug. Wat zegt dit over de graad van de overeenkomstige top? Een gebied passeren betekent +2 voor de graad van die top. Voor welke toppen geldt dit niet noodzakelijk? Voor begin- en eindtop Besluit nu of er een oplossing voor het probleem bestaat en beargumenteer je antwoord. Voor zo n wandeling heeft elke top even graad nodig, behalve eventueel begin- en eindtop. Hier hebben alle toppen oneven graad, dus het probleem is onoplosbaar Basisbegrippen van een graaf: deel 2 De volgende (intuïtieve) benamingen komen ook vaak voor in de grafentheorie. Definitie Een wandeling in een graaf is een lijst v 0, e 1, v 1..., e k, v k van toppen en bogen zodat elke boog e i toppen v i 1 en v i als eindpunten heeft. Een spoor is een wandeling waarin geen herhalende bogen voorkomen. Een pad is een spoor waarin geen herhalende toppen voorkomen, behalve eventueel begin- en eindpunt. De lengte van een wandeling, spoor of pad is het aantal bogen in deze wandeling, spoor of pad. Een graaf is samenhangend als voor elk paar toppen u en v er een wandeling is van u naar v. Definitie Een gesloten spoor (resp. pad) (dat uit meer dan één top bestaat) wordt een circuit (resp. cykel) genoemd. Definitie De taille van een graaf wordt gedefinieerd als de lengte van de kortste cykel, als deze bestaat. Als er geen cykels zijn, dan stelt men de taille gelijk aan. Definitie De afstand d(u, v) van een top u naar een top v in een graaf is de lengte van de kortste u-v-wandeling in de graaf, of wanneer er geen wandeling is van u naar v. De diameter diam(g) van een graaf G is gedefinieerd als diam(g) = max{d(u, v) u, v V (G)}. 4

94 Sommige grafen behoren tot speciale families. Hieronder worden er drie opgelijst. Definitie Een cykelgraaf is een 2-reguliere samenhangende graaf. cykelgraaf van orde n wordt genoteerd als C n. Een Definitie Een complete graaf is een graaf waarbij elk paar toppen verbonden is door een boog. We noteren een complete graaf met n toppen als K n. Definitie Een bipartiete graaf is een graaf waarvan de toppenverzameling V kan worden opgesplitst in twee deelverzamelingen V 1 en V 2 zodanig dat elke boog een eindpunt heeft in V 1 en een eindpunt in V 2. Een compleet-bipartiete graaf is een bipartiete graaf waarbij elke top uit de ene bipartitieverzameling verbonden is met elke top uit de andere bipartitieverzameling. Oefening Vul de taille en diameter aan bij elk van de grafen uit oefening Ga ook na of de graaf bipartiet of compleet is. Oefening Vind in elk van de gevallen een graaf die aan de voorwaarde voldoet (geef een tekening): 2-regulier van grootte 6: C 6 3-regulier van orde 5: bv. Petersengraaf (oef middelste graaf) compleet-bipartiet (d.i. compleet én bipartiet) van orde 7: Oefening Geef de grootte van een k-reguliere graaf van orde n. Bewijs. We zoeken het aantal bogen B. Door elke top gaan k bogen en er zijn n toppen. Er zijn dus B = n k 2 waarbij we delen door twee omdat elke boog tweemaal werd geteld: een keer voor elk van haar eindtoppen. 1.2 Invarianten van een graaf Een invariant van een graaf is een getal dat een structurele eigenschap van een graaf beschrijft, bijvoorbeeld het aantal toppen of het aantal bogen. In de volgende definities komen een aantal andere belangrijke invarianten aan bod. Onderstaande figuur kan je als voorbeeld gebruiken. 5

95 Figuur 1.3: Deze graaf heeft ω(g) = 3, β(g) = 2, σ(g) = 2, χ(g) = 3. Definitie Een deelverzameling S van toppen van een graaf G wordt een kliek genoemd als elk paar toppen in S verbonden is door een boog. Een deelverzameling S van toppen van G wordt een maximale kliek genoemd als S een kliek is en niet bevat is in een grotere kliek. Definitie Het maximale aantal toppen van een kliek van een graaf G wordt het kliekgetal genoemd en wordt genoteerd als ω(g). Oefening Bepaal het kliekgetal ω(g) van onderstaande grafen. ω(g) = 3 ω(g) = 2 ω(g) = 4 β(g) = 2 β(g) = 4 β(g) = 4 σ(g) = 1 σ(g) = 3 σ(g) = 2 χ(g) = 3 χ(g) = 3 χ(g) = 4 Definitie Een verzameling S van toppen van een graaf G is onafhankelijk als geen twee toppen van S adjacent zijn. Een onafhankelijke verzameling wordt soms ook een cokliek genoemd. Een onafhankelijke verzameling wordt een maximale onafhankelijke verzameling genoemd als S geen eigenlijke deelverzameling is van een andere cokliek. 6

96 Definitie Het maximale aantal toppen β(g) dat nog een onafhankelijke verzameling van een graaf G vormen, wordt het onafhankelijkheidsgetal genoemd. Oefening Vul het onafhankelijkheidsgetal β(g) aan bij elk van de grafen uit oefening Definitie Een verzameling S van toppen in een graaf G wordt een dominerende verzameling genoemd als elke top die niet tot S behoort, adjacent is met een top uit S. Een dominerende verzameling S is een minimale dominerende verzameling als geen eigenlijke deelverzameling van S ook een dominerende verzameling in G is. Definitie Het dominantiegetal σ(g) van een graaf G is het kleinste aantal toppen die nog een dominerende verzameling in G vormen. Oefening Vul het dominantiegetal σ(g) aan bij elk van de grafen uit oefening Definitie Een kleuring van een graaf G is een toekenning van kleuren (te zien als elementen van een bepaalde verzameling) aan de toppen, één kleur per top, zodanig dat adjacente toppen een verschillende kleur krijgen. Het minimaal aantal kleuren dat hiervoor nodig is wordt het kleurgetal genoemd en genoteerd met χ(g). Merk op dat een verzameling toppen in dezelfde kleur van een kleuring een onafhankelijke verzameling voorstelt. Oefening Maak in oefening voor elke graaf een kleuring en vul het kleurgetal χ(g) aan. Oefening Bewijs dat de volgende twee ongelijkheden voor elke graaf G gelden: (a) σ(g) β(g), (b) ω(g) χ(g). Bewijs. 1. Zij S een onafhankelijke verzameling toppen van een graaf G van grootte β(g). Aangezien G geen grotere onafhankelijke verzameling van toppen bevat, moet elke top v S adjacent zijn met minstens één top van S. Dit betekent dat S ook een dominerende verzameling in G is, zodat σ(g) S = β(g). 7

97 2. In een kliek zijn elke twee toppen adjacent, dus moeten elke twee toppen een verschillende kleur krijgen. Er zijn dus minstens zoveel kleuren nodig als toppen in een maximale kliek. Oefening Een graaf G is bipartiet als en slechts als χ(g) = 2. Bewijs dit. Bewijs. Binnen een bipartitieverzameling zijn geen twee toppen adjacent. Deze kunnen allen dezelfde kleur krijgen, we hebben dus slechts 2 kleuren nodig. Twee toppen met dezelfde kleur zijn niet adjacent. Er zijn slechts twee kleuren in gebruik om een kleuring voor de graaf te vinden, m.a.w. we kunnen de toppen opdelen in twee groepen waarbij er enkel adjacenties zijn tussen de twee kleurklassen maar niet binnen eenzelfde kleurklasse, m.a.w. de graaf is bipartiet (met bipartitieverzamelingen de kleurklassen). Het is over het algemeen niet eenvoudig om het kleurgetal te bepalen van een willekeurige graaf. De volgende stelling kan daarbij een hulpmiddel zijn. Stelling (stelling van Brooks) Zij G een samenhangende graaf met maximale graad. Dan geldt dat 1. ω(g) χ(g) 1 +, 2. χ(g) als en slechts als G geen complete graaf is of geen oneven cykel is. Over het laatste puntje uit de stelling: in de beide gevallen (complete graaf of oneven cykel) is het kleurgetal bekend, nl. voor een complete graaf met n toppen is χ(g) = n en voor een oneven cykel is χ(g) = 3. 8

98 Modellering met grafen - instap op invarianten Grafen zijn krachtige tools om problemen te modelleren (en op te lossen) omdat ze inzetbaar zijn op een waaier aan problemen uit de realiteit. Beredeneer voor de volgende problemen hoe je ze via grafentheorie zou kunnen voorstellen en oplossen. 1. De populariteit van sociale media is niet te overzien de laatste jaren. Mensen worden bijvoorbeeld bevriend met elkaar op Facebook en krijgen dan elkaars interesses te zien: via de befaamde duim verschijnt het doen- en laten van de ander op de eigen wall. Stel dat we van de mensen in deze klas willen nagaan wie met wie bevriend is op Facebook en neem aan dat je elke post die een vriend van jou maakt, ook leest. Wat is in deze klas de maximale grootte van de groep mensen die elkaars posts allemaal zullen gelezen hebben? 2. Veronderstel dat een aantal chemicaliën moeten worden opgeslagen. Bepaalde paren van chemicaliën reageren, en bepaalde paren reageren niet met elkaar. Zij die reageren met elkaar mogen niet in dezelfde container worden opgeslagen. Wat is het grootste aantal chemicaliën dat in dezelfde container kan worden opgeslagen? 3. In het coöperatieve bordspel Pandemie is het de bedoeling om zo snel mogelijk medicijnen te verzamelen voordat de hele wereld door verschillende virussen besmet raakt. Als een epidemie uitbreekt in een stad, dan zijn de naburige steden ook besmet. In minstens hoeveel steden van het zwarte gebied (omcirkeld) moet een epidemie uitbreken opdat het ganse zwarte gebied besmet raakt? 9

99 4. In België zijn er talrijke GSM-zendmasten. Bepaalde zendmasten hebben een zendbereik dat overlapt met andere zendmasten: deze zendmasten moeten dan ook een verschillende frequentie hebben. Anderzijds willen we zo weinig mogelijk frequenties gebruiken! Het geschikte frequentiegebied is nu eenmaal vrij beperkt en net als in vele andere situaties wil men zo zuinig mogelijk met de beschikbare middelen omgaan. Hoeveel frequenties zijn er minimaal nodig om het GSM-verkeer in de streek rond Aalter goed te laten verlopen? Het (fictieve) bereik van elke zendmast is met een cirkel weergegeven. Bron: De Morgen, 04/04/2014 In kaart gebracht: alle gsm-antennes in uw regio. 10

100 Hoofdstuk 2 Incidentiemeetkunde 2.1 Het begrip incidentiemeetkunde Een vleugje geschiedenis als context Meetkunde is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met vorm, grootte, relatieve positie van figuren en eigenschappen van de ruimte. Deze definitie is vrij algemeen en er bestaan dan ook veel verschillende soorten meetkunde. In het secundair onderwijs wordt de zogenaamde Euclidische meetkunde onderwezen. Ze wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Euclides van Alexandrië (300 v. Chr.). Zijn bekendste werk heet De Elementen en daarin worden de beginselen van de Euclidische meetkunde opgebouwd, vertrekkende vanuit vijf axioma s. Het woord axioma is afkomstig van het Griekse woord αξιωµα en betekent letterlijk that which is thought fit or worthy, a self-evident principle. Het is in de wiskunde een niet bewezen, maar als grondslag aanvaarde bewering. Een verzameling van axioma s vormt zo een startpunt van waaruit via deductie een theorie (bv. de Euclidische meetkunde) wordt opgebouwd. Euclides stelde vijf axioma s op, waarvan de eerste vier zeer intuïtief zijn. 11

101 1. Door elke twee punten gaat een rechte lijn. 2. Elk recht lijnstuk kan oneindig worden verlengd tot een rechte lijn. 3. Gegeven een recht lijnstuk, kan men een cirkel tekenen met dit lijnstuk als straal en een eindpunt van dit lijnstuk als het middelpunt van de cirkel. 4. Alle rechte hoeken zijn congruent. 5. Gegeven een punt en een rechte lijn niet door dat punt dan gaat er juist één rechte lijn door dat punt die die eerste lijn niet snijdt. Over het vijfde axioma, ook bekend als het parallellenpostulaat, is er in de geschiedenis al heel wat ophef geweest. Euclides gaf toe dat het van een andere aard was dan de eerste vier en probeerde het zelf wel zo weinig mogelijk te gebruiken. Door de eeuwen heen werden vruchteloze pogingen ondernomen om het vijfde axioma te bewijzen uit de vorige vier (waardoor het dus geen axioma, maar een stelling zou zijn). Maar elke poging tot bewijs bevatte op zichzelf ook een evident feit, dat niet uit de eerste vier axioma s volgde, waardoor het in feite equivalent was aan het parallellenpostulaat. Het was de wiskundige Carl Friedrich Gauss ( ) die pas in midden 19e eeuw inzag dat het vijfde axioma echt onafhankelijk van de eerste vier was. Via dit inzicht kon hij de basis leggen van wat nu de niet-euclidische meetkunde wordt genoemd: meetkunde die aanpassingen doet aan de axioma s van Euclides. Een andere verzameling van axioma s geeft immers aanleiding tot een andere soort meetkunde: de wetten waaraan de objecten (bv. punten, rechten, vlakken...) moeten voldoen zijn veranderd, waardoor je (via deductie) ook tot andere conclusies (stellingen) zal komen. Bijvoorbeeld in de zogenaamde projectieve meetkunde wordt o.a. het vijfde axioma van Euclides aangepast: Gegeven een punt en een rechte lijn niet door dat punt dan gaat er GEEN rechte lijn door dat punt die de eerste lijn niet snijdt. Met andere woorden Elke rechte snijdt (in het vlak) elke andere rechte. Projectieve meetkunde is ontstaan vanuit het principe van lijnperspectief in de beeldende kunst. Om diepte realistisch af te beelden op een tweedimensionaal vlak, snijden evenwijdige lijnen in een punt op de horizon. 12

102 Figuur 2.1: Evenwijdige lijnen snijden op oneindig in een projectief vlak Een ander voorbeeld waarin je een gelijkaardig principe ziet terugkeren is de meetkunde op een (wereld)bol: als je de grote cirkels (dit zijn cirkels die de bol in twee halfronden verdelen) als rechten neemt dan snijdt elke grote cirkel elke andere (bv. elke meridiaan snijdt elke andere meridiaan in de polen). We zien dus dat afhankelijk vanuit welke axioma s je vertrekt, de objecten (punten, rechten,... ) zich anders gaan gedragen. De gekozen axioma s creëren immers telkens een ander universum (nl. een meetkunde) waarin enkel dingen leven die aan de wetten van dat universum voldoen. Het houdt dus wel degelijk steek om het woord meetkunde in het meervoud, meetkundes, te plaatsen! Het begrip incidentiemeetkunde Tijdens de ontwikkeling van verschillende meetkundes is men zich volgende vragen beginnen stellen: wat hebben alle meetkundes gemeenschappelijk? Wat zijn m.a.w. de basisconcepten die steeds terugkeren in elke meetkunde? Men is tot de conclusie gekomen dat het begrip incidentie hierin een cruciale rol speelt: bij het verwoorden van axioma s draait het hem heel vaak om welke punten op welke rechten liggen en welke rechten door welke punten gaan. Deze twee formuleringen kunnen met één woord beschreven worden: incidentie. Definitie Incidentie tussen punten en rechten is een binaire relatie I tussen punten en rechten die uitdrukt of een punt op een rechte ligt, of equivalent, een rechte door een punt gaat. 13

103 p en m zijn incident: pim m p p en m zijn niet incident: p Im m p Het voordeel van het begrip incidentie is dat het een symmetrische relatie is (pim drukt hetzelfde uit als mip) en dus punten en rechten als evenwaardige objecten beschouwt. We hebben nu voldoende bagage om intuïtief het begrip incidentiemeetkunde te vatten. Incidentiemeetkunde is de studie van incidentiestructuren. Wij zullen ons beperken tot punt-rechte incidentiestructuren (dus als objecten zijn er enkel punten en rechten). Intuïtief is een punt-rechte incidentiestructuur dat wat overblijft als alle andere begrippen (bv. hoeken, afstand,... ) worden weggelaten en men zich enkel bezighoudt met welke punten op welke rechten liggen. We bekijken eerst een voorbeeld vooraleer de echte wiskundige definitie van incidentiestructuur wordt ingevoerd Veelhoek als punt-rechte incidentiestructuur Naïef zou men als definitie voor een veelhoek kunnen nemen: een veelhoek is een figuur die ontstaat door een aantal punten te verbinden met lijn(stukk)en. Dat er nood is aan een betere definitie kan je uit de volgende oefening besluiten. Welke van bovenstaande figuren beschouw jij als veelhoeken? Probeer ook te verwoorden waarom Ondanks dat je veelhoeken al jaren kent, blijkt het toch niet zo eenvoudig om te verwoorden wat zo n object nu eigenlijk is. Wat is het basisconcept dat bij elke veelhoek 14

104 terugkomt (en waardoor hij dus ook gedefinieerd wordt)? m k = {A, D} C B l = {A, B} n l m = {B, C} A D n = {C, D} k Een veelhoek is een meetkundig object dat bestaat uit hoekpunten en zijden, zodanig dat elke zijde incident is met twee hoekpunten en elk hoekpunt incident is met twee zijden. Incidentiestructuren zijn heel algemene structuren; de begrippen hoekpunt en zijde zullen we dan ook iets algemener formuleren om een veelhoek als een echte incidentiestructuur te kunnen zien. hoekpunten punten {A, B, C, D} zijden rechten {k, l, m, n} Hiermee kunnen we de definitie voor veelhoek dus aanpassen tot Definitie Een veelhoek is een punt-rechte incidentiestructuur met 2 punten per rechte en 2 rechten per punt. Welke figuren aan het begin van deze paragraaf zijn dus veelhoeken volgens deze definitie?... Een belangrijke opmerking hierbij is dat in (eindige) incidentiemeetkunde een rechte niets anders voorstelt dan een (eindige) puntenverzameling. Dit in tegenstelling tot de Euclidische meetkunde waarin elke rechte oneindig veel punten heeft en wordt voorgesteld als de drager van een lijnstuk tussen twee van haar punten. Dit wordt geïllustreerd aan de rechterkant van de bovenstaande vierhoek. Elk van de vier rechten is gedefinieerd als een verzameling van slechts twee punten. Stelling Een veelhoek met n punten heeft n rechten. Bewijs. Stel aantal rechten = x. Aangezien er n punten zijn en door elk punt 2 rechten gaan krijgen we 2 n 2 waarbij we delen door 2 omdat elke rechte twee punten heeft, en dus twee keer geteld werd. (Merk op: dit is een dubbele telling op de verzameling koppels (p, L) met p een punt, L een rechte en pil). 15 = x

105 Gevolg Twee veelhoeken zijn equivalent als ze hetzelfde aantal punten hebben. Neem bv. n = 4: Door het feit dat bv. deze twee figuren dezelfde incidentiestructuur voorstellen, zie je dat begrippen als hoeken, convexiteit, regelmatigheid... verloren gaan. Die hebben geen betekenis in incidentiemeetkunde. Dat is ook meteen de grote troef van incidentiemeetkunde: het draait enkel en alleen om incidentie, en vele zaken worden daardoor eenvoudiger en algemener Punt-rechte incidentiestructuur Tijd om een wiskundig correcte definitie te geven van punt-rechte incidentiestructuur, gevolgd door een aantal voorbeelden. Definitie Een punt-rechte incidentiestructuur of punt-rechte meetkunde Γ is een drietal (P, L, I), met P en L disjuncte verzamelingen waarbij de elementen uit P punten worden genoemd en de elementen uit L rechten. I (P L) (L P) is een symmetrische incidentierelatie en pil (p P en L L) verwoorden we als p is incident met L of p ligt op L of L gaat door p. (i) Een veelhoek kan gezien worden als incidentiestructuur, zie eer- Voorbeeld der. (ii) Op een natuurlijk manier kunnen we een willekeurige simpele graaf (d.w.z. door elke twee toppen hoogstens één boog) beschouwen als een lineaire punt-rechte meetkunde met als punten de toppen, als rechten de bogen en adjacentie als incidentierelatie. Een punt ligt dan op een rechte als dat punt een eindpunt is van de boog die overeenkomt met de rechte. 16

106 (iii) R U l m n P Q k T S Vul de incidentierelatie horende bij deze incidentiestructuur aan: I = {(P, k), (Q, k), (T, k), (S, k), (U, n), (S, n), (Q, m), (R, m), (R, l), (P, l)} Oefening Beschouw de verzameling A := {1, 2, 3, 4, 5, 6}. We kunnen een incidentiestructuur maken door als punten de paren van verschillende elementen uit A te nemen en de rechten zijn de puntenverzamelingen zodanig dat elk element van A op elke rechte voorkomt in precies één paar. (i) Noteer expliciet de punten van deze incidentiestructuur. Om een aanzet te geven: {12} is een punt van deze incidentiestructuur. P = {{12}, {13}, {14}, {15}, {16}, {23}, {24}, {25}, {26}, {34}, {35}, {36}, {45}, {46}, {56}} (ii) Noteer expliciet de rechten (gezien als puntenverzamelingen) van deze incidentiestructuur. Om een aanzet te geven: {{12}, {34}, {56}} is een rechte van deze incidentiestructuur. {{12}, {34}, {56}} {{12}, {45}, {36}} {{12}, {35}, {46}} {{13}, {46}, {35}} {{13}, {24}, {56}} {{13}, {45}, {26}} {{14}, {35}, {26}} {{14}, {25}, {36}} {{14}, {56}, {23}} {{15}, {23}, {46}} {{15}, {24}, {36}} {{15}, {34}, {26}} {{16}, {24}, {35}} {{16}, {34}, {25}} {{16}, {23}, {45}} (iii) Hoeveel punten en hoeveel rechten telt deze incidentiestructuur? Probeer dit op een efficiënte manier te berekenen. P = 6 5 (6 keuzes 1e getal, 5 keuzes 2e getal en delen door 2 want volgorde 2 onbelangrijk) L = 6! 2!2!2!3! = 15 (iv) Is het aantal punten op een rechte constant? Ja, elke rechte telt noodzakelijk 3 punten: elk element uit A moet immers in juist één paar voorkomen. (v) Kan door twee verschillende punten meer dan één rechte gaan? Neen, voor twee verschillende paren van elementen uit A, is er juist 1 mogelijkheid om een derde paar te kiezen, zodat de drie paren samen een rechte vormen. (vi) Is het aantal rechten door een punt constant? Ja, voor een vast punt zijn er 3 mogelijkheden om uit een verzameling van 4 elementen paren te maken: ! = C4 2 C2 2 = 3. 2! Door elk punt gaan dus 3 rechten. 17

107 (vii) Hoeveel punten kunnen twee verschillende rechten hoogstens gemeen hebben? Hoogstens 1 punt want twee paren van elementen uit A leggen het derde paar (en dus ook de rechte) uniek vast. (viii) Gegeven een punt p en een rechte L niet door dat punt, hoeveel rechten zijn er door p die L snijden? Juist één punt, nl. het paar op de rechte dat volledig disjunct is van het punt p. 2.2 Veralgemeende vierhoeken We hebben tot nu toe gewoon incidentiestructuren op zich bekeken. Door te vertrekken van een aantal axioma s die je oplegt, ontstaan zogenaamde klasses van incidentiestructuren: uit het grote universum van alle mogelijke incidentiestructuren, pik je enkel die eruit die aan de opgelegde axioma s voldoen. Een belangrijke klasse van punt-rechte incidentiestructuren of incidentiemeetkundes is die van de veralgemeende vierhoeken. Definitie Een veralgemeende vierhoek is een punt-rechte meetkunde Γ = (P, L, I) waarvoor voldaan is aan volgende axioma s: (VV1) Elk punt is incident met t + 1 rechten (t 1) en elke twee verschillende punten zijn incident met ten hoogste één rechte. t + 1 (VV2) Elke rechte is incident met s + 1 punten (s 1) en elke twee verschillende rechten zijn incident met ten hoogste één punt. s + 1 (VV3) Gegeven een punt p en rechte L, p IL, dan bestaat er een unieke rechte door p die L snijdt. p L We zeggen dat de veralgemeende vierhoek orde (s, t) heeft. 18

108 Oefening Teken een veralgemeende vierhoek van orde (1, 1). Geef nu een verklaring voor de benaming veralgemeende vierhoek. Een gewone vierhoek is dus een specifiek geval van een veralgemeende vierhoek: nl. voor s = t = 1. Oefening Teken een veralgemeende vierhoek van orde (2, 1) en (3, 1). Oefening Hieronder staat een veralgemeende vierhoek van orde (2, 2) afgebeeld. Het blijkt in feite de incidentiemeetkunde uit oefening te zijn! Kan je de rechten uit die oefening op deze voorstelling terugvinden? Oefening Bewijs de volgende eigenschap: Een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) heeft (s + 1)(st + 1) punten en (t + 1)(st + 1) rechten. 19

109 Bewijs. Neem een punt p en rechte L niet door p. We tellen het aantal koppels (p, M) waarbij M door p gaat en L snijdt. Nemen we p (linkerlid) respectievelijk M (rechterlid) vast dan bekomen we ( P (s + 1)) 1 = (1 + s) t s en daaruit P = (s + 1)(st + 1). Uit dit resultaat volgt nu makkelijk (via een dubbele telling van de koppels (p, L) met pil) het aantal rechten: of dus L = (t + 1)(st + 1). (s + 1)(st + 1) (t + 1) = (s + 1) L In een punt-rechte incidentiestructuur vormen sommige punten een speciale verzameling. Ze verdienen een aparte definitie. Definitie Een partiële ovoïde van een veralgemeende vierhoek is een verzameling punten zodat elke rechte incident is met hoogstens één punt van die verzameling. Definitie Een ovoïde van een veralgemeende vierhoek is een verzameling punten zodat elke rechte incident is met juist één punt van die verzameling. We kunnen de vorige definities dualiseren, d.w.z. de rol van punten en rechten omwisselen. Zo krijgen we dus een speciale rechtenverzameling. Definitie Een partiële spread van een veralgemeende vierhoek is een verzameling rechten zodat elk punt incident is met hoogstens één rechte van die verzameling. Definitie Een spread van een veralgemeende vierhoek is een verzameling rechten zodat elk punt incident is met juist één rechte van die verzameling. Oefening Duid, door gepaste punten te markeren, in de volgende veralgemeende vierhoek van orde (2, 1) een drietal ovoïdes aan. 20

110 Oefening Duid, door gepaste rechten te markeren, in de volgende veralgemeende vierhoek van orde (3, 1) een spread aan. Stelling In een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) tellen een ovoïde en een spread elk st + 1 elementen. Bewijs. De veralgemeende vierhoek telt (t + 1)(st + 1) rechten. Tel het aantal koppels (p, L) waarbij p op L ligt en p een punt is van de ovoïde. Elke rechte bezit juist 1 punt van de ovoïde en door elk punt van de ovoïde gaan t + 1 rechten. We krijgen de gelijkheid (t + 1)(st + 1) 1 = (t + 1) O (t + 1)(st + 1) Een ovoïde O heeft dus = st + 1 punten. Voor een spread ga je analoog t + 1 te werk waarbij je het aantal koppels (p, L) telt waarbij p op L ligt en L een rechte is van de spread. Elk punt ligt op juist 1 rechte van de spread S en op elke rechte van S liggen s + 1 punten. We krijgen de gleijkheid Een spread S heeft dus (s + 1)(st + 1) 1 = (s + 1) S (s + 1)(st + 1) s + 1 = st + 1 rechten. Oefening Hieronder zie je weer de veralgemeende vierhoek van orde (2,2). Zoek een ovoïde. Beredeneer hoe je hier ook zonder de tekening (dus enkel getaltheoretisch ) een ovoïde kan maken. 21

111 Twee paren waarin eenzelfde cijfer voorkomt zijn niet collineair ( ). Voor elk cijfer (bv. 1) zijn er vijf paren waarin dat cijfer voorkomt (nl. {12}, {13}, {14}, {15}, {16}). Deze punten zijn onderling niet collinear wegens ( ) en aangezien op elke rechte elk cijfer juist één keer voorkomt in een uniek paar, vormen deze vijf punten een ovoïde. 22

112 Hoofdstuk 3 Een brug tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie Incidentiemeetkunde en grafentheorie lijken takken van de wiskunde te zijn die op het eerste zicht niets met elkaar te maken hebben. Toch bestaan er heel wat mooie verbanden tussen de twee, waardoor resultaten in de ene discipline tot een beter inzicht in de andere discipline kunnen leiden. In deze bundel zal je zelf die wisselwerking al een beetje kunnen ontdekken! 3.1 Mengergraaf G M Een mogelijke manier om een brug te bouwen tussen een punt-rechte incidentiestructuur en een graaf wordt uitgelegd in de volgende definitie. Definitie De Mengergraaf G M (Γ) van een punt-rechte incidentiestructuur Γ is de graaf die ontstaat door als toppenverzameling de punten uit Γ te nemen en twee toppen te verbinden door een boog als de overeenkomstige punten collineair zijn (= op eenzelfde rechte liggen). Oefening Bepaal de Mengergraaf G M van de veralgemeende vierhoeken van orde (1,1) en (2,1) 23

113 Oefening Is de volgende bewering juist of fout? Indien juist: bewijs en bepaal de valentie, indien fout: geef een tegenvoorbeeld. De Mengergraaf van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) is regulier. Om de graad van elke top te bepalen moeten we nagaan met hoeveel punten een vast punt p collineair is. Door het punt p gaan t + 1 rechten, waar elk nog s andere punten op liggen. In totaal is p dus met s(t + 1) punten collineair. Dit geldt zo voor elk punt van de veralgemeende vierhoek. De Mengergraaf is dus regulier met valentie s(t + 1). Oefening Hieronder zie je links de veralgemeende vierhoek van orde (2,2) en rechts ervan de Mengergraaf (i) Geef een meetkundige interpretatie voor elk van de volgende begrippen: (maximale) kliek, (maximaal) onafhankelijke verzameling en (minimaal) dominerende verzameling, m.a.w. ga na wat deze betekenen voor de overeenkomstige punten van de veralgemeende vierhoek. Grafentheoretisch begrip (maximale) kliek (maximale) onafh. verz. (min.) dom. verz. Meetkundige interpretatie (maximale) puntenverz die paarsgewijs collineair zijn = (alle) punten van eenzelfde rechte wegens (VV3) (max.) verz. paarsgewijs niet-coll. punten of dus (max.) partiële ovoïde elk punt is coll. met 1 punt uit (min.) dom. verz. (of zit erin) (ii) Bepaal, eventueel m.b.v. je resultaat uit (i), de invarianten ω(g M ), β(g M ), en σ(g M ) van deze Mengergraaf. 24

114 Invariant Waarde ω(g M ) 3 β(g M ) 5 σ(g M ) 3 (iii) Hoeveel zal ω(g M ) bedragen van de Mengergraaf G M van een willekeurige veralgemeende vierhoek van orde (s, t)? Door het resultaat uit (i) weten we dat een maximale kliek bestaat uit alle punten op eenzelfde rechte. Omdat elke rechte s + 1 punten telt, krijgen we dus ω(g M ) = s + 1. Oefening (i) Is de volgende bewering juist of fout? Indien juist, bewijs, indien fout, geef een tegenvoorbeeld. De punten van eenzelfde rechte in een veralgemeende vierhoek vormen in de Mengergraaf altijd een dominerende verzameling. De bewering is juist. Door axioma (VV3) weten we dat voor een vaste rechte elk punt niet op die rechte collineair is met juist één punt van die rechte. Dit betekent juist in G M dat de verzameling toppen van eenzelfde rechte een dominerende verzameling vormen: elke top is adjacent met juist één top die een punt van die rechte voorstelt. (ii) Bepaal hieruit een bovengrens voor σ(g M ), met G M de Mengergraaf van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t). Aangezien de s + 1 punten op een rechte een dominerende verzameling vormen, is σ(g M ) s + 1. Oefening (i) Wat is de meetkundige betekenis van een kleuring van de Mengergraaf? Grafentheoretisch begrip Meetkundige interpretatie kleuring collineaire punten verschillende kleur (ii) Op de laatste pagina van de bundel grafentheorie staan een aantal stellingen over de verbanden tussen de invarianten. Gebruik die om een (zo scherp mogelijke) onderen bovengrens voor χ(g M ) te bepalen voor G M van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t). Het kliekgetal is steeds een ondergrens voor het kleurgetal, dus ω(g M ) = s + 1 χ(g M ). Uit de stelling van Brooks (deel 2) weten we ook dat de maximale graad (G M ) een bovengrens vormt voor χ(g M ). De Mengergraaf van een veralgemeende vierhoek van orde (s, t) is regulier met valentie s(t + 1), wat dus ook meteen de waarde van de maximale graad is. We kunnen dus stellen χ(g M ) s(t + 1). We besluiten dat s + 1 χ(g M ) s(t + 1) 25

115 (iii) Pas je antwoord uit de vorige vraag toe op de veralgemeende vierhoek van orde (2,2). Geef een kleuring voor G M van de veralgemeende vierhoek van orde (2,2) en bepaal dus het kleurgetal χ(g M ). 3 χ(g M ) 6 en χ(g M ) = 4 :

116 Bibliografie [1] [Bordspel pandemie]. (z.j.). Geraadpleegd op [2] Cara, P. (z.j.). Inleiding tot de incidentiemeetkunde. Geraadpleegd op pcara/archive/projectieve/apm3.pdf [3] [Chemicaliën]. (z.j.). Geraadpleegd op Dienstverlening/Onderzoeksinstituten/food-biobasedresearch/Onderzoeksprogrammas/Biobased-chemicalien.htm [4] Cuban Council. (2005). Facebook logo. Geraadpleegd op [5] Dickson, A. (2006). Introduction to graph theory. Geraadpleegd op Graph Theory.pdf [6] Euclid. (2016). Geraadpleegd op 22 april 2016 op // [7] Euclidische meetkunde. (z.j.). In Wikipedia. Geraadpleegd op 22 april 2016, op meetkunde [8] Mathematics 1 part 1 Graph theory: exercises and problems. (2015). Geraadpleegd op graphs.pdf [9] Moorhouse, G.E. (2007). Incidence geometry. Geraadpleegd op geometry.pdf [10] Van Maldeghem, H. (2013). Grafentheorie. Cursus UGent [11] Van Puyvelde, L. (2014). Algebraïsche grafentheorie: van polaire ruimten tot onderzoekend leren (Master s thesis, Universiteit Gent, België). Geraadpleegd op 27

117 [12] [Wereldbol]. (z.j.). Geraadpleegd op [13] Zeven bruggen van Koningsbergen. (z.j.). In Wikipedia. Geraadpleegd op 13 april 2016, op bruggen van Koningsbergen 28

118 Opdracht expertgroep 1: grafentheorie Materiaal: bundel Hoofdstuk 1 Grafentheorie 1. Herbekijk eventueel eerst als herhaling de definities uit Maak oefening Probeer je bewijs wiskundig zo correct en volledig mogelijk op te schrijven, eerder dan een intuïtieve uitleg. 3. Maak oefening Probeer je bewijs wiskundig zo correct en volledig mogelijk op te schrijven, eerder dan een intuïtieve uitleg. 4. Overloop de stelling van Brooks (zonder bewijs): zorg dat je begrijpt wat ze inhoudt en vul de ontbrekende waarden in de laatste alinea aan. Opdracht expertgroep 2: incidentiemeetkunde Materiaal: bundel Hoofdstuk 2 Incidentiemeetkunde 1. Herlees eventueel 2.2 over de veralgemeende vierhoek. 2. Herbekijk (of maak indien dit nog niet gebeurd is) oefening Maak oefening Maak oefening en zorg dat je kort kan uitleggen wat de figuur voorstelt en wat het verband is met oefening Lees en begrijp de definities (partiële) ovoïde en (partiële) spread op p.10 en maak dan oefening en Maak oefening

119 Bijlage F Slides didactisch gedeelte 105

120 Wie? Waarom? Wat? Masterproef: Een brug tussen incidentiemeetkunde, grafentheorie en onderwijs 20 april: grafentheorie 27 april: incidentiemeetkunde 4 mei: een brug tussen incidentiemeetkunde en grafentheorie Didactische component deel 1: Grafentheorie Katrijn Vandewalle Masterproef 20 april / 1 2 / 1 Het concept graaf: definities Inleiding: de 7 bruggen van Koningsbergen Het concept graaf: definities Inleiding: de 7 bruggen van Koningsbergen Wandeling waarbij je elk van de 7 bruggen éénmaal oversteekt? 3 / 1 4 / 1

121 Het concept graaf: definities Inleiding: de 7 bruggen van Koningsbergen Het concept graaf: definities Wat is een graaf? Basisbegrippen deel 1 Modellering vraagstuk: elk gebied top elke brug boog u Definitie Een graaf G = (V, E) is een koppel bestaande uit een eindige verzameling V van toppen en een verzameling E van paren van elementen uit V, v bogen genoemd. Aantal toppen in een graaf = orde Aantal bogen = grootte. Toppen verbonden door een boog worden adjacent genoemd. Ze zijn buren. Notatie: u v. 5 / 1 6 / 1 Het concept graaf: definities Wat is een graaf? Basisbegrippen deel 1 Definitie De graad deg(v) van een top v is het aantal bogen dat vertrekt vanuit v. Een graaf wordt k-regulier genoemd als elke top dezelfde graad k heeft. Het getal k is dan de valentie van de graaf. Oefening Wat is de orde en grootte van onderstaande grafen? Zijn ze regulier? Zo ja, geef de valentie. (b) (c) (a) Het concept graaf: definities Oefening 1.1.5: 5 4 orde = orde = orde = grootte = grootte = grootte = regulier? regulier? regulier? / 1 8 / 1

122 1.1 Het concept graaf: definities Oefening 1.1.5: oplossing Het concept graaf: definities 7 bruggen van Koningsbergen: Eulers oplossing orde = 4 orde = 8 orde = 7 grootte = 5 grootte = 12 grootte = 21 regulier? nee regulier? ja, k = 3 regulier? ja, k = Stadsdeel binnengaan via een brug stadsdeel verlaten via andere brug Vertaling voor graad van de overeenkomstige top? Een gebied passeren = +2 voor graad v.d. top Voor welke gebieden moet dit niet noodzakelijk? Voor begin- en eindgebied van de wandeling = begin- en eindtop v.d. wandeling in de graaf 9 / 1 10 / 1 Het concept graaf: definities 7 bruggen van Koningsbergen: Eulers oplossing Besluit? Voor zo n wandeling heeft elke top even graad nodig, behalve eventueel begin- en eindtop In Koningsbergen: alle toppen oneven graad. Het probleem voor Koningsbergen is dus onoplosbaar. 11 / 1 Het concept graaf: definities Wat is een graaf? Basisbegrippen deel 2 Definitie v 2 d v 3 b c f e v v 4 1 a v 0 Een wandeling: een lijst v 0, e 1, v 1..., e k, v k van toppen en bogen zodat elke boog e i toppen v i 1 en v i als eindpunten heeft. Bv. (v 2, b, v 1, a, v 0, e, v 3, d, v 2, b, v 1 ) Een spoor: wandeling zonder herhalende bogen, bv. (v 2, b, v 1, a, v 0, e, v 3, d, v 2 ) Een pad: spoor zonder herhalende toppen, behalve eventueel begin- en eindpunt. Een graaf is samenhangend: voor elk paar toppen u en v is er een wandeling van u naar v. 12 / 1

123 Het concept graaf: definities Wat is een graaf? Basisbegrippen deel 2 v 3 v 4 De taille van een graaf: lengte van de kortste cykel, als deze bestaat. Als geen cykels: taille = v v 5 2 De afstand d(u, v) van een top u naar een top v = lengte van de kortste u-v-wandeling in de graaf, of (als geen wandeling bestaat) v 1 Definitie Een gesloten spoor: circuit een gesloten pad: cykel De diameter diam(g) diam(g) = max{d(u, v) u, v V (G)}. Het concept graaf: definities Wat is een graaf? Basisbegrippen deel 2 Een cykelgraaf: 2-reguliere en samenhangend Notatie: C n Een complete graaf: elk paar toppen verbonden door een boog Notatie: K n Een bipartiete graaf: de toppenverzameling V kan worden opgesplitst in twee deelverzamelingen V 1 en V 2 zodanig dat elke boog een eindpunt heeft in V 1 en een eindpunt in V / 1 14 / Het concept graaf: definities Oefening 1.1 Het concept graaf: definities Oefening: oplossing taille = taille = taille = diam = diam = diam = bipartiet? bipartiet? bipartiet? compleet? compleet? compleet? 5 4 taille = 3 taille = 4 taille = 3 diam = 2 diam = 3 diam = 1 bipartiet? nee bipartiet? ja bipartiet? nee compleet? nee compleet? nee compleet? nee 15 / 1 16 / 1

124 1.1 Het concept graaf: definities Oefening 1.2 Invarianten van een graaf Instap: modellering met grafen Oefening Vind in elk van de gevallen een graaf die aan de voorwaarde voldoet (geef een tekening): (a) 2-regulier van grootte 6, (b) 3-regulier van orde 5, (c) compleet-bipartiet (d.i. compleet én bipartiet) van orde 7. Oefening Geef de grootte van een k-reguliere graaf van orde n. 17 / 1 18 / Invarianten van een graaf Invarianten: kliekgetal ω(g) 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening Definitie Voor deze graaf: ω(g) = 3. Een kliek: verzameling toppen waarbij elk paar toppen verbonden is door een boog Maximale kliek genoemd als niet bevat in een grotere kliek Kliekgetal = maximaal aantal toppen in een kliek Notatie: ω(g) ω(g) = ω(g) = ω(g) = 19 / 1 20 / 1

125 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening ω(g) = 3 ω(g) = 2 ω(g) = Invarianten van een graaf Invarianten: onafhankelijkheidsgetal β(g) Definitie Voor deze graaf: β(g) = 2. Een onafhankelijke verzameling of een cokliek: verzameling toppen waarbij geen twee adjacent Maximaal onafhankelijk als geen eigenlijke deelverzameling van een andere cokliek Onafhankelijkheidsgetal = maximaal aantal toppen in een onafhankelijke verzameling Notatie: β(g) 21 / 1 22 / Invarianten van een graaf Invarianten: oefening Invarianten van een graaf Invarianten: oefening β(g) = β(g) = β(g) = β(g) = 2 β(g) = 4 β(g) = 4 23 / 1 24 / 1

126 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: dominantiegetal σ(g) Definitie Voor deze graaf: σ(g) = 2. Een dominerende verzameling S: elke top is adjacent met een top uit S of zit in S Minimale dominerende verzameling als geen deelverzameling van toppen van S ook een dominerende verzameling is. Dominantiegetal = minimaal aantal toppen in een dominerende verzameling Notatie: σ(g) 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening σ(g) = σ(g) = σ(g) = 25 / 1 26 / Invarianten van een graaf Invarianten: oefening Invarianten van een graaf Invarianten: kleurgetal χ(g) σ(g) = 1 σ(g) = 3 σ(g) = 2 Definitie Voor deze graaf: χ(g) = 3. Een kleuring van een graaf G is een toekenning van kleuren (te zien als elementen van een bepaalde verzameling) aan de toppen, één kleur per top, zodanig dat adjacente toppen een verschillende kleur krijgen Kleurgetal = minimaal aantal kleuren dat hiervoor nodig is Notatie: χ(g). 27 / 1 28 / 1

127 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening Invarianten van een graaf Invarianten: oefening χ(g) = χ(g) = χ(g) = χ(g) = 3 χ(g) = 3 χ(g) = 4 29 / 1 30 / Invarianten van een graaf Invarianten: oefening 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening oplossing Oefening Bewijs dat de volgende twee ongelijkheden voor elke graaf G gelden: (a) σ(g) β(g), (b) ω(g) χ(g). Oefening Een graaf G is bipartiet als en slechts als χ(g) = 2. Bewijs dit. Oefening Bewijs dat de volgende twee ongelijkheden voor elke graaf G gelden: (a) σ(g) β(g) Bewijs. Neem onafh. verz. S van β(g) toppen. elke top v S adjacent met top uit S. Dus S is dominerende verzameling σ(g) S = β(g) 31 / 1 32 / 1

128 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening oplossing 1.2 Invarianten van een graaf Invarianten: oefening oplossing Oefening Bewijs dat de volgende twee ongelijkheden voor elke graaf G gelden: (b) ω(g) χ(g). Bewijs. In kliek: elke twee toppen adjacent elke twee toppen krijgen verschillende kleur. Er zijn dus minstens ω(g) kleuren nodig. Oefening Een graaf G is bipartiet als en slechts als χ(g) = 2. Bewijs dit. Bewijs. Binnen bipart.verz.: geen twee toppen adjacent dus krijgen allen zelfde kleur. M.a.w. χ(g) = 2. Twee toppen in zelfde kleur: niet adjacent. Er zijn slechts 2 kleuren, dus deel toppen in 2 groepen. Dan elke boog eindtop in elk van de 2 groepen, dus bipartiet. 33 / 1 34 / 1

129 Inhoud Didactische component deel 2: Incidentiemeetkunde Katrijn Vandewalle Masterproef 2 Incidentiemeetkunde Het begrip incidentiemeetkunde 27 april / 33 2 / 33 Het begip incidentiemeetkunde Het begip incidentiemeetkunde Meetkunde?! incidentie meetkunde Volgens Van Dale: meetkunde = deel van de wiskunde dat betrekking heeft op punten, lijnen, vlakken en lichamen Concreter: tak van de wiskunde die zich bezighoudt met vorm, grootte, relatieve positie van figuren en eigenschappen van de ruimte. Secundair onderwijs: Euclidische meetkunde 3 / 33 4 / 33

130 Het begip incidentiemeetkunde Meetkunde?! Het begip incidentiemeetkunde Meetkunde?! Euclidische meetkunde Euclides van Alexandrië (300 v. Chr.) de Elementen: beginselen van de Euclidische meetkunde opgebouwd vanuit 5 axioma s Axioma αξιωµα: that which is thought fit/worthy, a self-evident principle een niet bewezen maar als grondslag aanvaarde bewering beginpunt van waaruit via deductie theorie wordt ontwikkeld 5 axioma s in Euclidische meetkunde 5 / 33 6 / 33 Het begip incidentiemeetkunde Meetkunde?! 5 axioma s in Euclidische meetkunde 1. Door elke twee punten gaat een rechte lijn. 2. Elk recht lijnstuk kan oneindig worden verlengd tot een rechte lijn. 3. Gegeven een recht lijnstuk, kan men een cirkel tekenen met dit lijnstuk als straal en een eindpunt van dit lijnstuk als het middelpunt van de cirkel. 4. Alle rechte hoeken zijn congruent. 5. Gegeven een punt en een rechte lijn niet door dat punt dan gaat er juist één rechte lijn door dat punt die die eerste lijn niet snijdt. Het begip incidentiemeetkunde Meetkunde?! Andere axioma s andere soort meetkunde Bv: Projectieve meetkunde: o.a. 5e axioma van Euclides wordt aangepast: Gegeven een punt en een rechte lijn niet door dat punt dan gaat er GEEN rechte lijn door dat punt die de eerste lijn niet snijdt. m.a.w. Elke rechte snijdt (in het vlak) elke andere rechte. 7 / 33 8 / 33

131 Het begip incidentiemeetkunde Meetkunde?! Het begip incidentiemeetkunde Andere axioma s andere soort meetkunde meetkundes Wat hebben meetkundes gemeenschappelijk? incidentie meetkunde 9 / / 33 Het begip incidentiemeetkunde Incidentie?! Het begip incidentiemeetkunde Incidentiemeetkunde Wat hebben meetkundes gemeenschappelijk? incidentie back-to-basics: ligt een punt p al dan niet op een rechte m of gaat een rechte m al dan niet door een punt p p en m zijn incident: pim m zijn p en m al dan niet incident? p en m zijn niet incident: m Incidentiemeetkunde = studie van incidentiestructuren Punt-rechte incidentiestructuur intuïtief = dat wat overblijft als alle andere begrippen (bv. hoeken, afstand,... ) worden weggelaten en men zich enkel bezighoudt met welke punten op welke rechten liggen p p p Im incidentie is een symmetrisch begrip: punten en rechten spelen dezelfde rol 11 / / 33

132 Het begip incidentiemeetkunde Veelhoek als punt-rechte incidentiestructuur Voorbeeld Veelhoek in het vlak (naïef) = een aantal punten die verbonden zijn door lijn(stukken). Betere definitie? Figuur: Welke figuren beschouw jij als veelhoeken? Het begip incidentiemeetkunde Veelhoek als punt-rechte incidentiestructuur Voorbeeld B l A m k C n D k = {A, D} l = {A, B} m = {B, C} n = {C, D} Een veelhoek is een meetkundig object dat bestaat uit hoekpunten en zijden, zodanig dat elke zijde incident is met twee hoekpunten en elk hoekpunt incident is met twee zijden. hoekpunten punten {A, B, C, D} zijden rechten {k, l, m, n} veelhoek = punt-rechte incidentiestructuur met 2 punten per rechte en 2 rechten per punt rechte = eindige puntenverzameling 13 / / 33 Het begip incidentiemeetkunde Veelhoek als punt-rechte incidentiestructuur Veelhoek = punt-rechte incidentiestructuur met 2 punten per rechte en 2 rechten per punt Figuur: Veelhoeken als incidentiestructuur? Het begip incidentiemeetkunde Veelhoek als punt-rechte incidentiestructuur Een veelhoek is een meetkundig object dat bestaat uit punten en rechten, zodanig dat elke rechte incident is met twee punten en elk punt incident is met twee rechten. Stelling Een veelhoek met n punten heeft n rechten. Bewijs. Stel aantal rechten = x. Veelhoek: n punten, 2 rechten per punt, 2 punten per rechte 2 n = 2 x of dus x = n 15 / / 33

133 Het begip incidentiemeetkunde Veelhoek als punt-rechte incidentiestructuur Gevolg Als twee veelhoeken hetzelfde aantal punten hebben, kunnen we ze in incidentiemeetkunde niet onderscheiden van elkaar: ze zijn equivalent. Neem bv. n = 4: Het begip incidentiemeetkunde Definitie punt-rechte incidentiestructuur Punt-rechte incidentiestructuur intuïtief = dat wat overblijft als alle andere begrippen worden weggelaten en men zich enkel bezighoudt met welke punten op welke rechten liggen verlies begrippen hoeken, regelmatigheid, convexiteit... maar... veel eenvoudiger : enkel incidentie Wiskundige definitie? 17 / / 33 Het begip incidentiemeetkunde Definitie punt-rechte incidentiestructuur Het begip incidentiemeetkunde Voorbeelden Definitie Een punt-rechte incidentiestructuur of punt-rechte meetkunde Γ is een drietal (P, L, I), met P en L disjuncte verzamelingen waarbij de elementen uit P punten worden genoemd en de elementen uit L rechten. I (P L) (L P) is een symmetrische incidentierelatie en pil (p P en L L) verwoorden we als p is incident met L of p ligt op L of L gaat door p. Veelhoek Graaf: P = toppen, L = bogen en I = adjacentie (top = eindpunt boog) R U l m n P Q k T S I = {(P, k), (P,l), (Q, k), (Q, m), (T, k), (S, k), (S, n), (R,l), (R, m), (U,n)} I? 19 / / 33

134 Het begip incidentiemeetkunde Oefening A := {1, 2, 3, 4, 5, 6}. punten = paren van verschillende elementen uit A, bv. {12} rechten = puntenverzamelingen zodanig dat elk element van A voorkomt in precies één paar, bv. {{12}, {34}, {56}} (i) Noteer de punten (ii) Noteer de rechten (iii) Hoeveel punten? Hoeveel rechten? Efficiënte berekening? (iv) Aantal punten per rechte constant? (v) Kan door 2 punten meer dan één rechte gaan? (vi) Aantal rechten per punt constant? (vii) Aantal punten dat 2 rechten gemeen kunnen hebben? (viii) Geg. punt p en rechte L niet door p: hoeveel rechten door p die L snijden? Het begip incidentiemeetkunde Veralgemeende vierhoeken Bepaalde axioma s opleggen bepaalde klasse van incidentiestructuur Klasse veralgemeende vierhoeken (VV1) Elk punt is incident met t + 1 rechten (t 1) en elke twee verschillende punten zijn incident met ten hoogste één rechte. (VV2) Elke rechte is incident met s + 1 punten (s 1) en elke twee verschillende rechten zijn incident met ten hoogste één punt. (VV3) Gegeven een punt p en rechte L, p IL, dan bestaat er een unieke rechte door p die L snijdt. Orde (s, t) t + 1 s + 1 p L 21 / / 33 Het begip incidentiemeetkunde Veralgemeende vierhoeken: voorbeelden Het begip incidentiemeetkunde Veralgemeende vierhoeken: voorbeelden s + 1 t + 1 p L s = 1, t = 1, verklaring benaming?: (gewone) vierhoek 23 / / 33