Grafen. Grafen, toppen en bogen

Transcriptie

1 Grafen Het zijn configuraties van knoppen en verbindingen, waar we de knoppen toppen noemen en de verbindingen tussen 2 toppen noemen we een boog. Toppen en bogen kunnen bijkomende attributen hebben, zoals een kleur of gewicht. Grafen, toppen en bogen Definitie Een graaf G = (V (G), E(G)) bestaat uit een eindige verzameling V (G) van objecten, toppen genoemd, en een verzameling E(G) van paren van elementen uit V (G), bogen genoemd. De verzameling V (G) wordt de toppenverzameling genoemd van G genoemd, en de verzameling E(G) is de bogenverzameling. Waneer we slects 1 graaf G beschouwen, wordt soms ook de notatie V en E gebruikt om de toppenverzameling en bogenverzameling van G aan te duiden. Definitie Elke boog van een graaf is geassocieerd met een verzameling van twee toppen, die de eindpunten van de boog worden genoemd. Een boog u, v van een graaf G wordt dikwijls als uv genoteerd. Een boog verbindt zijn eindpunten. Definitie Het aantal toppen in een graaf G wordt de orde van de graaf genoemd, en het aantal bogen is zijn groote. Een graaf van orde n en groote m wordt ook een (n m)-graaf genoemd. Eigenschap Wanneer G een (n, m)-graaf is, dan geldt dat m ( n c). Dit volgt onmidelijk uit het feit dat er V (G) zijn. ( ) n mogelijke paren van elementen van c 1

2 Definitie Adjacente toppen zijn twee toppen die verbonden zijn door een boog. Wanneer twee toppen u en v adjat zijn, noteren we dit door u v. Adjacente bogen zijn twee bogen die een eindpunt gemeen hebben. Waneer een top v een eindpunt is van een boog e, dan noemen we v incident met e en e incident met v. E = θ( V 2 ) - dichte graaf E = θ( V ) - ijle graaf Definitie Wanneer we toelaten dat toppen in een graaf door meer dan een boog worden verbonden, dan bekomen we een multigraaf. Twee of meer bogen met dezelfde eindpunten worden parallele bogen genoemd; een collectie van twee of meer paralelle bogen wordt een multiboog genoemd. Definitie Wanneer een top met zichzelf verbonden is, wordt deze boog een zelflus genoemd. Een boog die geen zelflus is, wordt een eigenlijke boog genoemd. Wanneer we zowel zelflussen als multibogen toelaten, dan bekomen we een pseudograaf Definitie Een simplele graaf is een graaf die geen zelflussen en geen multibogen bevat. Meestal zullen we de term graaf zonder meer gebruiken om een simpele graaf aan te duiden. Definitie Een gerichte boog of pijl is een boog waarvan een van de eindpunten als kop aangeduid wordt, terwijl het andere eindpunt als staart aangeduid wordt. Men zegt dat een pijl gericht is van zijn kop naar staart. Een multipijl is een verzameling van twee of meerdere pijlen die dezelfde kop en dezelfde staart hebben. Definitie Een gericht graaf is een graaf waarvan alle bogen gericht zijn. Een gedeeltelijke gerichte graaf is een graaf die zowel ongericht al gerichte bogen heeft. De Onderliggende graaf van een gerichte of gedeeltelijk gerichte graaf G is de graaf die resulteert door het verwijderen van de richtingen op de bogen, m.a.w, door het verwijderen van de aanduiding kop/staart op de gerichte bogen G Definitie het complement Ḡ van een graaf G is de graaf met V Ḡ = V (G), en zodanig dat uv een boog van Ḡ is als en slechts als uv geen boog van G is. 2

3 Definitie Voor een top v van een graaf G wordt de nabuurschap N G (v) gedefineerd als N G (v) = u V (G) vu E(G). De graad deg G (v) is het aantal toppen dat adjacnt is me v, of ook met het aantal bogen incident met v, m.a.w. deg G (v) = N G (v). Meer algemeen, voor een pseudograaf wordt de graad van een top v ook gedefineerd als het aantal eigelijke bogen incident met v, plus tweemaal het aantal zelflussen. Wanneer de graaf G duidelijk is uit de context kunnen we ook N(v) en deg(v) schrijven. Definitie Een top met graad 0 wordt een geisoleerde top genoemd. Een top met graad 1 wordt een eindtop genoemd. Een even top is een top met even graad, een oneven top is een top met oneven graad. Definitie De gradenrij van een graaf G is de rij die gevormd wordt door de graden van de toppen in niet-dalende volgorde te rangschikken. De kleinte waarde uit de gradenrij wordt de minimumgraad van G genoemd, en wordt doorgaans genoteerd als δ(g). De grootste waarde uit de gradenrij wordt de maximum graad van G genoemd, en wordt genoteerd als (G). Stelling Een graaf G van orde n > 1 heet minstens een paar toppen waarvan de graad gelijk is Het is gemakelijk in te zien dat er voor graaf G van orde n en een top v van G geldt dat 0 deg(v) n 1. Er dus zijn n mogelijke waarden voor de graad van een top. nl 0,, n 1. Er kan echter niet zowel een top van graad 0 als een top van graad n 1 zijn, omdat de aanwezigheid van een top van graad 0 impliceert dat elk van de n 1 andere toppen met hoogstensn 2 toppen adjacent kan zijn. De n toppen van G kunnen dus hoogstens n 1 mogelijke waarden voor hun graad realiseren. Gebruik makend van het pigeonhole principle(duivenhok) volgt hieruit dat minstens twee van de n toppen dezelfde graad hebben. Stelling (Euler). Zij G een graaf met orde n en grootte m, en zij V (G) = v 1, v 2,, v v. Dan geldt n i=1 deg(v i) = 2m Wanneer de som van de graden van de toppen berekend wordt,wordt elke boog tweemaal meegerekend. eenmaal voor elk van zijn twee incidente toppen. 3

4 Voor gerichte grafen Definitie De ingraad van een top v is een gerichte graaf G is het aantal pijlen dat naar v gericht is, de uitgraad van v is het aantal pijlen dat vanuit v gericht is. In het geval van een gerichte pseudograaf draagt een zelfluseen bij aan de ingraad en aan de uitgraad van de corresponderende top. Stelling In een gerichte graaf G zijn de som van de ingradenen de som van de uitgraden allebei gelijk aan het aantal bogen van G. Elke gerichte boog e draagt een bij aan de ingraad van de staart van e en een aan de uitgraad vande kop e. Isomorfisme van grafen Dit zijn grafen die structureel equivalent zijn. Dit wil zeggen dat dezelfde graaf kan hertekend worden. Definitie Twee grafen G en H zijn isomorf, genoteerd als G = H, als er een bijectie φ van V (G) op V (H) bestaat, zondanig dat uv E(G) als en slechts als φ(u)φ(v) E(H). De functie φ wordt een isomorfisme genoemd. Twee grafen G en H zijn gelijk als V (G) = V (H) en E(G) = E(H) Paden en samenhangendheid Definities van de begrippen wandeling, pad, cycle en samenhangenheid Definitie In een graaf G is een wandeling van top v 0 naar top v e een rij met afwisseld toppen en bogen, van de vorm W = (v o, e 0, v 1, e 1,, v l 1, e l, v l,zodanig dat de eindpunten van elke boog e i uit de rij v i 1 en v i zijn, voor elke i = 1,, l Definitie In een gerichte graaf is een gerichte wandeling van v 0 naar v l een rij met afwisseld toppen en pijlen, van de vorm W = (v 0, e 1, v 1, e 2,, v l 1, e l, v l ) zodanig dat voor elke pijl e i uit de rij v i 1 de kop en v i de staart is, voor elke i = 1,, l Definitie Een (gerichte) wandeling van een top x naar een top y wordt ook een (gerichte) x y wandeling genoemd. 4

5 Definitie Een (gerichte) x-y-wandeling wordt een gesloten wandeling genoemd als x en y dezelfde top zijn: anders wordt ze een open wandeling genoemd. Een wandeling W = v 0, e 1, v 1, e 2,, v l 1, e l, v l ) kan ook korter worden genoteerd, nl (1) als een seqentie van toppen (e 1, e 2,, e l ), en (2). Merk op dat deze laatste verkorte notatie enkel kan worden gebruikt in een simpele graaf, waneer de graaf geen multibogen heeft. Sporen en paden Definitie Een spoor is een wandeling waarin geen herhalende bogen voorkomen. Een pad is een wandeling waarin geen herhalende toppen voorkomen, behalve eventueel het begin-en eindpunt Definitie Een wandeling, spoor of pad is triviaal als het bestaat uit een enkele top en geen enkele boog. Definitie Een gericht spoor is een gerichte wandeling waarin geen herhalende pijlen voorkomen. Een gericht pad is een gerichte wandeling waarin geen herhalende toppen voorkomen, behalve eventueel het begin- en eindpunt. Circuits en cykles Definitie Een niet-triviaal gesloten spoor wordt een circuit genoemd. Een niet-triviaal gesloten pad wrodt een cykel genoemd. Definitie De lengte van een wandeling, spoor of pad (gericht of gesloten) is het aantal bogen in deze wandeling, spoor of pad Definitie De taille van een graaf G wordt gedefinieerd als de lengte van de korste cycle in G. Definitie Een acyclische graaf is een graaf waarin geen enkele cykels optreden. Een gerichte acyclische graaf, ook DAG genoemd, is een gerichte graaf waarin geen gerichte cykles optreden. 5

6 0.0.1 Hamiltoiaanse en eulerisaanse grafen Definitie Een euleriaans spoor in een graaf G is een open spoor dat elke boog van G bevat. Een euleriaans circuit is een gesloten spoor dat elke boog van G bevat. Een euleriaanse graaf is een graaf die een euleriaans circuit bevat. Definitie Een hamiltiaans pad is een graaf G is een pad dat elke top van G aandoet. Een hamiltoniaans cykel is een graaf G is een cykel die elke top van G aandoet. Een hamiltioniaanse graaf is een graaf die een hamiltoniaanse cykel bevat Samenhangenheid Definitie Een top v van graaf G is bereikbaar vanuit een top u van G als er een wandeling van u naar v is. Een graaf G is samenhangend als er voor elk paar toppen u en v een wandeling van u naar v is, m.a.w. elke to bereikbaar is vanuit elke andere top. Definitie Twee toppen u en v is een gerichte v-u wandeling bevat in een gerichte graaf D zijn wederzijds bereikbaar als D een gerichte u-v-wandeling bevat. En een gerichte v-u-wandeling bevat. Een gerichte graaf is sterk samenhagend als elke twee toppen ervan wederzijds bereikbaar zijn. Een gerichte graaf is zwak samenhangend als de onderligende graaf samenhangend is. Definitie Een graaf G wordt sterk orienteerbaar genoemd wanneer er een toekenning van richtingen aan de bogen kan worden gevonden zodanig dat de bekomen gerichte graaf sterk samenhangende is. Dergelijke toekenning wordt een sterke orgientatie genoemd. Een boom is een samen- Bomen en wouden Definitie Een acyclische graaf wordt een woud genoemnd. hagende graaf die geen cyckles bevat Deelgrafen Definitie Een graaf H is een deelgraaf van een graaf G als V (H) V (G) en E(H) E(G) 6

7 Definitie Het gewicht w(h) van een deelgraaf H van een gewongen graaf G is de som van de gewichten van de bogen van H Definitie Zij is een niet-ledige deelverzameling van V (G). De deelgraaf geintroduceerd door S, genoteerd als < S > bevat percies die bogen van G die toppen van S verbinden. Een deelgraaf H van een graaf G is een top-geinduceerde deelgraaf, of kortweg geinduceerde deelgraaf, als H =< S > voor zekere nietledige deelverzameling S van de toppen van G. Definitie Een deelgraaf H van een graaf G wordt een opspannende deelgraaf van G die een woud is. Een opspannende boom van graaf G is een opspannende deelgraaf van G die een boom is. Eigenschap Een graaf is samenhagend als en slechts als hij een opspannende boom bevat Veronderstel dat G een opspannende boom T bevat. Per definitie is T samenhangend, dus is er een pad tussen elke paar toppen van T, en dus ook tussen elke paar toppen van G Veronderstel dat G samenhangend is. Als G geen boom is, bevat G minstens een cykel. Wanneer we uit dergelijke cykel een boog verwijderenn blijft de graaf nog steeds samenhangend. Op die manier kunnen we uit elke cykel een boog verwijderen tot we een acyclishe graaf bekomen. Deze is nog steeds samenhangende en is dus een opspannende boom van de oorspronkelijke graaf Definitie Een component van een graaf G is een maximale samenhangende deelgraaf van G. maw een samenhangende deelgraaf H is een component van een graaf GalsH geen echte deelgraaf is van de samenhagende deelgraaf van G. Afstand en aanverwante begrippen Definitie De afstand d(s, t) van een top s naar een top t in een graaf G is de lengtevan de korste s-t-pad in de graaf, of wanneer een geen graad is van s naar t. Voor gerichte grafen wordt de geriche afstand gedefineerd als de lengte van het kortste gerichte pad tussen de twee toppen. De afstand functie op een graaf G voldoet aan de volgende eigenschappen d(u, v) 0, voor alle u, v V (G), en d(u, v) = 0 als en slechts als u = v. 7

8 d(u, v) d(u, w) + d(w, v), voor alle u, v, w V (G) (driehoeksongelijkheid)/ Definitie Zij G een gewogen graaf, waarvan elke boog e een gewicht w(e) heeft. Het gewicht van een pad tussen twee toppen u en v is de som van de gewichten van de bogen op het u-v pad. De gewogen afstand d(u, v) tussen twee toppen u en v van G is het gewicht van een u-v pad met minimaal gewicht in G, indien een dergelijk pad bestaat; anders is d(u, v) =. Een dergelijk pad wordt ook een kortste gewogen pad tussen u en v genoemd. Excentriciteit, straal en diameter Definitie De excentriciteit e(v) van een top v in een graaf (of een gewogen graaf) G is de afstand van v naar een top die het verst van v verwijderd is Definitie e(v) = max d(u, v) u V (G) De straal rad(g) van een samenhangende graaf (of een gewogen graaf) G is gedefineerd als dim(g) = max e(v) v G(G) = max d(u, v) u, v V (G) De diameter van een samenhangende graaf kan ook worden beschouwd als de maximale mogelijke afstand tussen een paar toppen in de graaf. Stelling Zij G een graaf. Dan geldt dat rad(g) diam(g) 2 rad(g) De eerste ongelijkheid volgt rechtstreeks uit de definitie. Om de tweede ongelijkheid te bewijzen, beschouwen we 2 toppen u, v V (G) waarvoor d(u, v) = diam(g). Zij w een top van G waarvoor e(w) = rad (G). Wegens de driehoeksongelijkheidgeldt dat voorbeeld diam (G) = d(u, v) d(u, w) + d(w, v) 2 rad (G) Stel een graaf G 1 en een gewogen graaf G 2. Hierbij zijn de toppen met hun excentricieten gelabeld. Daaruit volgt dat rad(g 1 ) = 2, diam(g 1 ) = 4 en rad(g 2 ) =

9 Centrum van een graaf Definitie Het centrum C(G) van een samenhangende (gewogen) graaf G is de deelgraaf die geintroduceerd wordt door de toppen van G waarvan de excentriciteit gelijk is aan de straal van G. voorbeeld C(G) = v V (G) e(v) = rad(g) Beschouw opnieuw de grafen G 1 en G 2, het centrum C(G 2 ) bestaat uit de enige top met excentriciteit 8. Het centrum C(G 1 ) wordt geintroduceerd door de twee adjacente toppen met excentriciteit 2 Mediaan van een graaf Definitie De afstand d(v) van een top v is een (gewogen) graaf is de som van de afstanden van v tot elke top G d(v) = d(u, v) Definitie u v V (G) De mediaan M(G) van een graaf G is de deelgraaf geintroduceerd door de verzameling van toppen van G met minimale afstand Schanierputen en brugge Definitie Zij G een graaf. De schrappingen van een echte deelverzameling S van toppen uit Gis de deelgraafl die bestaat uit de toppen van G die niet tot S behoren, en de bogen van G die niet incident zijn met een top in S. Deze deelgraaf wordt genoteerd als G S Definitie de schrapping van een verzameling X van bogen van een graaf G, genoteerd als G X, is de opspannende deelgraaf G die bekomen wordt door het verwijderen van de bogen van X uit E(G) Definitie Een toppensende in een graaf G is een toppenverzameling S zodanig dat G S meer componenten dna G heeft. Een schanierpunt is een toppen snede bestaat uit een enkele top 9

10 Definitie Een bogensnede in een graaf G is een brug als G e niet-samenhangende is. Stelling Een booge van een samenhangende graaf G is een brug van G als en slechts als e niet op een cykel in G ligt. Klieken,onafhankelijke verzamelingen en kleuringen Definitie Een deelverzameling S van toppen van een graaf G wordt een kliek genoemd als elk paar toppen van S adjacent is in G. Een maximale kliek is een deelverzameling van wederzijds adjacente toppen in G die geen eigelijke deelverzameling van een ander kliek is. Het maximale aantal toppen van een kliek van een graaf G wordt het kliekgetal van G genoemd en wordt soms genoteerd als w(g) Definitie Een deelverzameling S van toppen van een graaf G wordt een onafhankelijke verzameling genoemd als geen twee toppen van S adjacent zijn in G. Een onafhankelijke verzameling S van toppen van een graaf G wordt een maximale onafhankelijke verzameling genoemd als S geen eigelijke deelverzameling is van een andere onafhankelijke verzameling van toppen van G. De maximale kardinaliteit van een onafhankelijke verzameling van toppen van een graaf G wordt het onafhankelijkheidsgetal genoemd. Definitie een (top)kleuring van een graaf G is een toekenning van kleuren (elementen van een bepaalde verzameling) aan de toppen van G. een kleur per top, zodanig dat adjecente toppen een verschillende kleur krijgen. een k-kleuring van een graaf G produceert een partitie van V (G) in k onafhankelijke verzamelingen, die de kleurenklassen genoemd worden. Als er een k-kleuring van een graaf G bestaat, dan noemt men G kleurbaar. De kleinste waarde k waarvoor er een k-kleuring voor een graaf G bestaat, noemt men het chromatiche getal. 10