Het belang van context: voorbeelden uit de peilingen wiskunde

Transcriptie

1 Het belang van context: voorbeelden uit de peilingen wiskunde Prof. dr. Herman Callaert Statistiek = de wetenschap van het leren uit cijfermateriaal in aanwezigheid van variabiliteit en toeval en waarbij de context van reële onderzoeksvragen cruciaal is. Een aandachtspunt bij onderwijs in de statistiek: het verschil tussen wiskundig redeneren en statistisch redeneren. wiskunde: uiteindelijk gaat het in wiskunde om de studie van onderliggende structuren en patronen, los van een concrete context. statistiek: wat structuren en patronen betekenen wordt in statistiek in grote mate bepaald door de context. Hieronder bespreken we 2 voorbeeldopgaven uit de peilingen wiskunde. Het zijn opgaven die betrekking hebben op de context van een statistisch onderzoek. Leerlingen hebben hier geen enkele formule en geen enkele wiskundige bewerking nodig. Centrum voor statistiek

2 1 Inleidende informatie Op de website van de Vlaamse overheid lees je: De eindtermen zijn de basiskennis die u moet verwerven in het gewoon lager onderwijs, gewoon secundair onderwijs, de basiseducatie en het secundair volwassenenonderwijs. en ook: Eindtermen beschrijven wat leerlingen moeten kennen en kunnen en welke houdingen van hen worden verwacht. De eindtermen vind je op: Voor de brochures over de peilingen wiskunde ga je naar: - voor de tweede graad - voor de derde graad Tot op heden (2016) komt de onderstaande tekst voor als een eindterm opgelegd door de Vlaamse overheid. Het is eindterm 46 bij de eindtermen wiskunde voor de tweede graad ASO en dezelfde tekst geldt ook als eindterm 14 bij de eindtermen wiskunde voor de derde graad KSO en TSO. De leerlingen leggen aan de hand van voorbeelden het belang uit van de representativiteit van een steekproef voor het formuleren van statistische besluiten over de populatie. Deze eindterm werd door de Vlaamse overheid getest: bij de Peiling Wiskunde voor de tweede graad ASO (peiling afgenomen in 2011) bij de Peiling Wiskunde voor de derde graad ASO/TSO/KSO (peiling afgenomen in 2014). Enkele bemerkingen vooraf. - Volgens de bovenstaande eindterm verwacht men dat de leerling kan uitleggen wat het belang is van een representatieve steekproef voor het formuleren van een statistisch besluit over de populatie. Dat is iets anders dan herkennen of een steekproef op een goede manier getrokken wordt (zoals bij de voorbeeldopgave van de peiling wiskunde 2 e graad). Dat is ook iets anders dan uit een eigenschap van de steekproef een eigenschap van de populatie raden (zoals bij de voorbeeldopgave van de peiling wiskunde 3 e graad). - De eindterm spreekt over statistische besluiten. Het woord statistische staat daar niet zomaar. Het verwijst naar een besluitvorming die gebaseerd is op methoden uit de statistiek. Dat wil onder meer zeggen dat je werkt met data die uit een welgedefinieerde populatie verkregen zijn volgens een kenbaar kansmechanisme. Alleen op die manier kan je vanuit een steekproef een statistisch onderbouwd besluit over de bestudeerde populatie formuleren (met wetten van de kansrekening). - Elke statistische studie start met een onderzoeksvraag. Het juist formuleren van de onderzoeksvraag helpt om het kader vast te leggen waarbinnen het onderzoek verloopt. Het is een eerste en een belangrijke stap bij elke studie. De voorbeeldopgave van de peiling wiskunde 2 e graad start met een onderzoeksvraag. Bij de voorbeeldopgave van de peiling wiskunde 3 e graad is er geen onderzoeksvraag. Centrum voor statistiek 1

3 2 Voorbeeldopgave uit de peiling voor de tweede graad. Nota. - In de brochure over deze peiling wordt verwezen naar twee groepen van opgaven: basisopgaven en bijkomende opgaven, met volgende verduidelijking: - In de brochure staat ook: Ter informatie vindt u telkens hoeveel leerlingen een correct antwoord gaven. Bij meerkeuzevragen vindt u bovendien hoeveel leerlingen elk antwoordalternatief aanduidden. Met de code GA wordt aangeduid hoeveel procent van de leerlingen geen antwoord gaf. Centrum voor statistiek 2

4 Deze opgave start met een onderzoeksvraag: De overheid van een land, dat zich kandidaat wil stellen om het WK voetbal te organiseren, wil weten wat de bevolking daarvan vindt. Om een idee te hebben over de mening van de bevolking wil de overheid 1000 mensen om hun mening vragen. Om die 1000 mensen te contacteren worden 4 methoden voorgesteld, met de vraag welke van die 4 methoden de beste garantie biedt op een representatieve steekproef. In de 4 antwoordmogelijkheden staat telkens aangegeven: 1. op welke manier mensen geselecteerd worden 2. uit welke groep die mensen geselecteerd worden. 1. Manier van selecteren Bij manier van selecteren moet je in statistiek tewerk gaan volgens een kansmechanisme. Alleen dan kan je kansrekening gebruiken om vanuit een steekproef een statistische uitspraak te doen over de populatie. Lukraak betekent helemaal niet in het wilde weg of de eerste de beste of Bij deze opgave kan je bijvoorbeeld een EAS (enkelvoudige aselecte steekproef) gebruiken waarbij je lukraak trekt zodanig dat elke groep van 1000 mensen dezelfde kans heeft om getrokken te worden als gelijk welke andere groep van 1000 mensen. [In de praktijk gebruikt men dikwijls een ingewikkelder kansmechanisme om steekproeven te trekken, maar dat valt buiten de leerstof van het secundair onderwijs.] Op basis van de selectiemethode vallen de antwoordmogelijkheden 3 en 4 door de mand. Het is onmogelijk te bepalen met welke kans die 1000 mensen geselecteerd zijn, als je in treinstations zomaar reizigers aanspreekt of als je de eerste 1000 kijkers die digitaal stemmen als steekproef neemt. Bij de antwoordmogelijkheden 1 en 2 wordt er wel een statistische methode gebruikt om de steekproef te trekken, namelijk door lukraak kiezen. 2. Relevante populatie Antwoordmogelijkheid 1 is een klassieker die al decennia meegaat. Zo n 50 jaar geleden had niet de helft van de mensen een telefoon en wie een telefoon had behoorde meestal tot een hogere sociaaleconomische klasse. Je beperken tot nummers uit het telefoonboek betekende toen dat de gehanteerde methode gedoemd was om een vertekend beeld te geven: je trok alleen deelnemers uit een specifieke subgroep van de populatie. Momenteel is de situatie drastisch veranderd. Zowat iedereen heeft een of ander toestel waarop kan getelefoneerd worden. Dat wil niet zeggen dat al die telefoonnummers publiek zijn, laat staan dat ze in een telefoonboek staan (misschien vragen sommige leerlingen wat dat is: een telefoonboek ). Je beperken tot de nummers in een telefoonboek betekent dat je trekt uit een subgroep die te klein is. Centrum voor statistiek 3

5 Antwoordmogelijkheid 2 zegt dat je uit het bevolkingsregister moet trekken. De onderzoeksvraag zegt dat de overheid 1000 mensen om hun mening wil vragen. Dat betekent dat de overheid wil werken met een steekproef van 1000 mensen die een mening kunnen geven. Bij een enquête zou men bijvoorbeeld aan de 1000 geselecteerde personen kunnen vragen om één van onderstaande vakjes aan te kruisen: Ons land moet zich kandidaat stellen voor de organisatie van het WK voetbal: Akkoord Niet akkoord Geen mening Bij dit onderzoek moet door de overheid (of door een bevoegde commissie) duidelijk vastgelegd worden uit welke bevolkingsgroep men lukraak 1000 mensen wil trekken om hun mening te vragen. Je kan deze situatie gedeeltelijk vergelijken met verkiezingen. Ook daar wordt de mening van de bevolking gevraagd (de mening over het politieke beleid). Maar men werkt daar niet met het bevolkingsregister. Het zou nogal belachelijk zijn om baby s en kleuters die nog niet kunnen lezen of schrijven (laat staan een mening geven ) op te roepen, zelfs al staan zij in dat bevolkingsregister. Bij antwoordmogelijkheid 1 stelt men voor om te trekken uit een bevolkingsgroep die te klein is, bij antwoordmogelijkheid 2 stelt men voor om te trekken uit een bevolkingsgroep die te groot is. Geen van beide antwoorden is een goede methode om 1000 mensen te selecteren die een representatieve steekproef vormen. De steekproef moet immers representatief zijn voor de populatie die men, binnen de context van de onderzoeksvraag, bestudeert. Die populatie bestaat hier niet uit mensen met een nummer in het telefoonboek en ook niet uit iedereen die in het bevolkingsregister is ingeschreven. 3 Voorbeeldopgave uit de peiling voor de derde graad. Nota. - In de brochure over de peiling wiskunde voor de derde graad staat: Bij de meerkeuzevragen noteren we ook hoe vaak de leerlingen een bepaald antwoordalternatief kozen. Het juiste antwoordalternatief staat vetgedrukt. Tot slot vermelden we bij elke voorbeeldopgave of de leerling die net het minimumniveau van de eindtermen bereikt de opgave moet beheersen. In wat volgt noemen we die leerling de cesuurleerling. - Bij de onderstaande voorbeeldopgave 1 staat: De cesuurleerling moet deze opgave beheersen wat betekent dat een leerling deze opgave moet beheersen om de eindterm te halen. Centrum voor statistiek 4

6 Deze voorbeeldopgave geeft de indruk dat het hier eigenlijk gaat over logisch redeneren, los van de aangehaalde context. Met statistiek of met de eindterm over het belang van de representativiteit van een steekproef heeft de opgave weinig te maken. Als je aan een deur aanbelt en er is iemand die komt opendoen, dan is er daar minstens één persoon thuis. Alleen antwoordmogelijkheid D spreekt over er is minstens één persoon thuis en 63 % van de leerlingen heeft dat antwoord aangeduid. Leerlingen hebben blijkbaar geen enkele verdere context nodig: wat is hier de onderzoeksvraag? wat is de steekproef? welk kansmechanisme is er gebruikt bij het trekken van de steekproef? wat is in dit onderzoek het belang en de afbakening (in tijd, ruimte en interpretatie) van: - een dinsdag in september - een doordeweekse werkdag - een dorp - een gezin - Centrum voor statistiek 5

7 Nota over het woordgebruik. - Bij studies zoals hierboven gebruik je beter gemeente dan dorp omdat een dorp niet overal goed omschreven is. - Bij studies met adressen en woningen is het meestal beter om gezin te vervangen door huishouden = personen die op een zelfde adres wonen en woonfaciliteiten delen. Gezin is maar één vorm van huishouden naast commune, kloostergemeenschap, enz. Bij het vervolg van deze bespreking zullen wij, omdat die woorden zo in de opgave staan, toch dorp en woning/huis/gezin blijven gebruiken. Maar bij een echte enquête kunnen hier al onnauwkeurigheden insluipen. - We vervangen in eerste instantie de gezinnen van het dorp waarvan minstens één lid op een doordeweekse werkdag thuis is door de woningen waar de deur opengaat = de woningen waar iemand de deur opendoet als Latifa aanbelt. De reden hiervoor wordt verder duidelijk. De steekproef. De opgave zegt: Voor welke populatie is deze steekproef van 60 woningen representatief?. Maar deze 60 woningen zijn niet de steekproef. Een voorbeeld ter verduidelijking. Wanneer je van een populatie van leerlingen wil weten hoeveel percent jongens er zijn, dan is dat een vraag over een eigenschap (jongen zijn) van een populatie (leerlingen). Je trekt dan bijvoorbeeld een (goede) steekproef van 250 leerlingen en noteert telkens het geslacht. Je hebt 190 meisjes en 60 jongens. Dit is een steekproef van 250 leerlingen uit de populatie van leerlingen. Dit is niet een steekproef van 60 jongens. Dat zou iets helemaal anders zijn. Een steekproef van 60 jongens trek je uit de populatie van jongens om bijvoorbeeld te onderzoeken hoeveel percent jongens obesitas heeft. Op analoge manier gaat het bij de voorbeeldopgave over woningen waar Latifa aanbelt. Dat zijn er 250. De bestudeerde eigenschap is: gaat de deur open?. Bij 190 blijft de deur gesloten en bij 60 gaat de deur open. Dat is zoals die 250 leerlingen met 190 meisjes en 60 jongens. Dat was geen steekproef van 60 jongens en ook bij deze opgave heb je geen steekproef van 60 woningen waar de deur opengaat. Een steekproef van woningen waar de deur opengaat trek je uit een populatie van woningen waar de deur opengaat. Dan heb je wel een probleem. Uit welke populatie van woningen waar de deur opengaat trek je dan een steekproef van grootte n 60? En voor welke populatie is die steekproef representatief? De onderzoeksvraag. Een onderzoeksvraag bepaalt het kader van een studie: welke eigenschap wil je bestuderen van welke populatie en op welke manier trek je daarvoor een steekproef?. Het ontbreken van een onderzoeksvraag is bij deze voorbeeldopgave een probleem. We proberen enkele voorstellen te formuleren en kijken wat de gevolgen zijn. Centrum voor statistiek 6

8 Een (eerste) voorstel voor een onderzoeksvraag. We beginnen met een vereenvoudigde versie (zonder specificatie van tijdstip): Bij hoeveel percent van de woningen in dit dorp gaat de deur open als men aanbelt? Als dit de vraag is, dan bestaat de populatie uit de woningen in het dorp. De eigenschap die je per woning bekijkt is: gaat de deur open als je aanbelt, ja of neen? Dat is zoals een succes-mislukking populatie met succes = de deur gaat open. De populatie-eigenschap die je dan wil kennen is de populatieproportie (de proportie successen in de totale populatie). Als je volgens een goed kansmechanisme een steekproef trekt (zoals een EAS een enkelvoudige aselecte steekproef), dan is die steekproef representatief voor de populatie. Je kan dan werken met de successen (de deur gaat open) en de mislukkingen (de deur gaat niet open) in de steekproef en vanuit de steekproefproportie statistische uitspraken doen over de populatieproportie. Om een idee te hebben over het percent woningen waar de deur open gaat zou je in een groot dorp (met bijvoorbeeld 8000 woningen) een steekproef kunnen trekken van 250 woningen. Dat is hier in de voorbeeldopgave niet gebeurd. Daar is te lezen dat het dorp 250 woningen heeft en dat Latifa ze allemaal bezoekt. Hier wordt geen steekproef getrokken. Of de deur al dan niet opengaat wordt genoteerd voor de totale populatie, bij elke woning in dit dorp. De vraag naar representativiteit van de steekproef is in dit geval niet zinvol. Maar misschien gaat de onderzoeksvraag over iets anders Een (tweede) voorstel voor een onderzoeksvraag. Het blijkbaar juiste antwoord (antwoord D) verwijst naar plaats en tijd: - woningen waar de deur opengaat in dit dorp - woningen waar de deur opengaat op een doordeweekse werkdag Het eerste voorstel voor een onderzoeksvraag concentreerde zich enkel op de plaats (woningen in dit dorp). Maar misschien moet de nadruk liggen op het tijdsaspect. Als afkorting schrijven we werkdag voor doordeweekse werkdag. Bij een studie waar de tijd een rol speelt is het belangrijk dat je vooraf vastlegt wat het tijdskader is waarbinnen je het onderzoek wil uitvoeren. Dat is hier niet duidelijk: - wil je onderzoeken wat er gebeurt op een willekeurige werkdag in een jaar (er zijn zo ongeveer 220 werkdagen per jaar)? - of gaat het over een willekeurige werkdag in september (waarom staat september in de opgave)? - of gaat het over een willekeurige dinsdag (waarom staat dinsdag in de opgave)? - Als je een willekeurige werkdag in een jaar als referentiekader neemt, dan zou een onderzoeksvraag er als volgt kunnen uitzien: Wat is, van alle woningen in het dorp, de proportie waar de deur opengaat op een doordeweekse werkdag in een jaar? Het specifiëren van een onderzoeksvraag is cruciaal. Dat zie je hier duidelijk: een andere onderzoeksvraag leidt tot een andere populatie en een andere steekproef. Centrum voor statistiek 7

9 De populatie bestaat nu uit 220 proporties (voor de 220 werkdagen). Voor elke werkdag noteer je bij alle woningen of de deur opengaat. Voor de ene werkdag heb je een proportie van 60/250 (er gaan 60 deuren open), voor een andere werkdag vind je een proportie van 72/250 (72 deuren gaan open), enz. Je bestudeert nu een populatie van 220 proporties waar nogal wat verschillen op zitten. De vraag naar de proportie woningen waar de deur opengaat kan je bekijken zoals de vraag naar de lengte van 17-jarige Vlaamse meisjes. Ook daar zitten nogal wat verschillen op maar toch ben je niet verbaasd als je leest dat 17-jarige meisjes 1.66 m groot zijn. Dit gaat over een typische lengte (hier is dat de gemiddelde lengte). Op eenzelfde manier kan je de huidige onderzoeksvraag interpreteren als een vraag naar de typische proportie woningen waar de deur opengaat op een willekeurige werkdag. Ook hier kan je met het gemiddelde werken (als het aantal woningen in dat dorp niet wijzigt). Om de onderzoeksvraag te beantwoorden ga je niet op elke werkdag bij al die woningen aanbellen. Je trekt een goede steekproef van bv. 20 willekeurige werkdagen en op die dagen noteer je hoeveel deuren er opengaan bij die 250 woningen. Je hebt dan een steekproef van 20 proporties en de typische proportie in je steekproef laat je dan toe om een statistische uitspraak te doen over de typische proportie in de populatie. Als dit de onderzoeksvraag is, dan is er een probleem met de voorbeeldopgave want: - Latifa heeft niet op basis van een kansmechanisme die dinsdag in september uitgekozen - Latifa heeft nu een steekproef van grootte één opgemeten (als het al een steekproef zou zijn). Verdere problemen in dit onderzoek Een fundamenteel probleem bij het onderwijs in de statistiek is dat statistiek als wiskunde wordt behandeld. De context is dan alleen maar wat blabla die je zeker niet au sérieux moet nemen. - Het antwoord D dat als correct wordt aangeduid, luidt als volgt: de gezinnen van het dorp waarvan minstens één lid op een doordeweekse werkdag thuis is. Als het nu echt de bedoeling is om te onderzoeken bij welke gezinnen er minstens één lid op een doordeweekse werkdag thuis is, hoe doe je dat dan? Trek je een goede steekproef en leid je een enquêteur op om aan die woningen te gaan aanbellen en te controleren of de persoon die opendoet lid is van het gezin dat daar woont? Of stuur je de watermaatschappij? - De opgave zegt over Latifa: Ze verzamelt de meterstanden in 60 woningen. Enkele mogelijkheden zijn: in een woning is geen enkel gezinslid thuis, maar wel de poetsvrouw. Die doet de deur open zodat Latifa de meterstand kan opnemen. 4 woningen vormen samen een appartementsgebouw. Eén persoon beantwoordt de parlofoon. Latifa mag binnen, gaat naar de kelder waar de 4 meters naast elkaar hangen, met naam en nummer van elk appartement. Voor deze 4 gezinnen wordt de meterstand genoteerd. enz Besluit If we don't change direction soon, we will end up where we are going. Irwin Corey Centrum voor statistiek 8