Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 1 [21] Vandaag. 3. Aggregeren van support op regelniveau (accrual)
|
|
- David Brabander
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 1 [21] Vandaag 1. Recapitulatie DOS en DOB 2. Verschil tussen locaal (regel-gebaseerd) en globaal (argument-gebaseerd) redeneren. 3. Aggregeren van support op regelniveau (accrual) 4. Vertaling van zoekalgoritme naar dialoogvorm.
2 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 2 [21] Taxonomie van regels en proposities Propositie Atomaire bewering, bv. p. 1. Bezit soms een DOB, verkregen door observatie of input van buiten het systeem. (Als DOB ontbreekt, dan DOB = 0 bij verstek.) 2. Bezit altijd een DOS, verkregen door een combinatie van DOB en inferentie. Altijd: DOS DOB. Regel Bijzonder soort propositie. Verbindt proposities door inferentie, bv. a, b, c (s) p. Bezit, naast DOB en DOS, 1. Een regel- of implicatiesterkte, hier s: sterkte van verbinding tussen antecedent en consequent. 2. Een r-dos: de support die door deze regel stroomt.
3 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 3 [21] Ondersteuning die een regel aan consequent geeft Laat r = p 1,...,p n (s) q Laat alle voorwaarden bekend zijn voor de toepassing van r: - DOS(p 1 ),..., DOS(p n ) - DOS(r) - De implicatiesterkte s Dan wordt r s support voor q gegeven door DOS(r; q) = Def s min{dos(p 1 ),...,DOS(p n ), DOS(r)}
4 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 4 [21] Voorbeeld van berekening van support-per-regel Propositie DOB r waarbij r 1 = b, c (0.89) a r waarbij r 2 = d (0.94) c a 0.00 b 0.97 c 0.00 d 0.98
5 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 5 [21] Voorbeeld van berekening DOS(r 1 ;a) Volgens eerdere definitie: DOS(r 1 ; a) = s min{dos(r 1 ), DOS(b), DOS(c)}. Er geldt: DOS(r 1 ) = DOB(r 1 ) = 1.00 DOS(b) = DOB(b) = 0.97 Dus DOS(r 1 ; a) = 0.89 min{1.00, 0.97, DOS(c)}.
6 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 6 [21] DOS(r 2 ; c) = 0.94 min{dos(r 2 ), DOS(d)} Er zijn geen regels die verder r 2 of d ondersteunen, zodat DOS(d) = DOB(d) = 0.98, and DOS(r 2 ) = DOB(r 2 ) = Dus DOS(r 2 ; c) = 0.94 min{dos(r 2 ), DOS(d)} = 0.94 min{1.00, 0.98} = 0.92 Tenslotte kan support van r 1 voor a berekend worden: DOS(r 1 ; a) = 0.89 min{1.00, 0.97, 0.92} = 0.82
7 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 7 [21] Regels zijn (ook) proposities bezitten ook DOB en DOS a, b (0.97) (c, d, e, f (0.89) g), i.e., c d e 0.89 g f 0.97 a, b Regel r 1 = a, b (0.97) r 2, waarbij regel r 2 = c, d, e, f (0.89) g. De antecedent van r 1 is a, b en de consequent van r 1 is r 2. Het is mogelijk om bv. te zeggen: DOB(r 1 ) = 0.45.
8 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 8 [21] DOS = 1 DOS < 1 strength = 1 strength < 1 Zekere deductieve regels. A-priori inferenties: cirkel rond ; vrijgezel niet-getrouwd. Inductief a-posteriori: In nieuwsbladen staan advertenties. Zekere regels met weerlegbare consequent. Regels a-priori met een plausibele conclusie: het rollen van een dobbelsteen resulteert gewoonlijk niet in een zes ; inductief a-posteriori met massieve bevestiging: meeste vogels vliegen. Plausibele deductieve regels. Deductieve regels a-posteriori waarvoor (nog?) geen tegenvoorbeelden zijn gevonden: alle Denen (die ik ontmoet heb) zijn aardig. Plausibele regels met weerlegbare consequent. Weerlegbare regels a-posteriori: de meeste Spaniels die ik ontmoet heb waren aardig, op een paar na.
9 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 9 [21] Verschil tussen regels en redenen Regel Een inferentieschema r = p 1,...,p n (s) q waar de volgende parameters bekend van zijn 1. Regelsterkte s Reden Een geïnstantieerde regel. Naast (1) zijn ook de volgende parameters bekend: 2. DOS(r) 3. DOS(p 1 ),..., DOS(p n ) 4. Met 1e-orde regels: alle variabele-instanties. a Observatie: een sterke regel kan resulteren in een zwakke reden. a Gedaan in argumentation engine ontwikkeld i.h.k. van Europees ASPIC project. (Zoek op internet met argumentation service platform with integrated components ).
10 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 10 [21] Vorig college: argument-gebaseerd redeneren Argument-gebaseerd redeneren Eerst argumenten vormen, dan argumenten tegen elkaar uitspelen. Regel-gebaseerd redeneren Support van regels met strijdige conclusies combineren. Deze berekening is vindt locaal plaats: Voorbeeld: twee regels voor p en twee regels tegen p (voor p): DOS(r 4, p)= 0.9 DOS(r 1, p)= 0.8 DOS(r 7, p)= 0.5 DOS(r 3, p)= 0.2 Het probleem is nu om het support van deze vier regels te combineren met DOB(p) en evt. DOB( p).
11 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 11 [21] Accrual of evidence (Ned.: ophoping van bewijs) Propositie DOS waarbij h (0.83) j 1.00 h = hittegolf r (0.87) j 1.00 r = het regent h, r (0.91) j 1.00 j = joggen is plezierig h 1.00 r 1.00 Wat kun je zeggen over j als h en r.? Twee strijdige visies: 1. Meest specifieke regel wint: h, r (0.91) j. 2. Bewijs uit de eerste twee regels kan gecombineerd worden: h (0.83) j en r (0.87) j levert support ( )/( ) = 0.99.
12 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 12 [21] Ondersteuning door onafhankelijke regels Laat R = {r 1,...,r m } een verzameling onafhankelijke regels voor q zijn. a De ondersteuning van R voor q, notatie DOS(R; q), wordt gegeven door DOS(R; q) = Def DOS(r 1 ; q) DOS(r m ; q) waarbij gedefinieerd is als x y = Def (x + y)/(1 + xy). De hyperbolische som gedraagt zich als gewone optelling, met het verschil dat de sum altijd in [ 1, 1] blijft. a Welke regels (on-)afhankelijk zijn valt in beginsel niet uit de regels zelf af te leiden en wordt apart gespecificeerd in de kennisbank.
13 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 13 [21] Ondersteuning door verzameling afhankelijke regels Laat R een verzameling regels zijn voor q, en laat π = {R 1,...,R m } een partitie zijn van R in onafhankelijke regel-verzamelingen. De ondersteuning van π voor q, notatie DOS(π; q), wordt gegeven door DOS(π; q) = Def max{dos(r 1 ; q),..., DOS(R m ; q)} waarbij DOS(R i ; q) gedefinieerd is als boven. Tekening: Als r i R i en r j R j, i j dan zijn r i en r j afhankelijk. R 1 R 2 R 4 R 3
14 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 14 [21] Afhankelijkheidsgraaf: regels met identieke consequent a b h d e i f c j g n k p m q l Knoop (punt): regel voor α; kant (lijn): twee regels zijn afhankelijk. Omcirkelde knopen: een maximaal onafhankelijke verzameling regels voor α.
15 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 15 [21] (Eénzijdige) ondersteuning voor propositie (gross support) Laar R bestaan uit alle regels voor q. Dan GROSS(q) = Def max{ DOS(π; q) π is een onafhankelijke partitie van R } Algoritme om GROSS(q) te berekenen: 1. Bereken DOS(R, q) voor iedere maximaal onafhankelijke verzameling R R. 2. Neem de zwaarste verzameling uit (1). Komt neer op het oplossen van het maximum weighted independent set problem (MWIS). De algemene versie van dit probleem is NP-volledig.
16 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 16 [21] Tweezijdige ondersteuning voor propositie (nett support) Laat GROSS(p) als boven gedefinieerd zijn. Dan GROSS(p) als GROSS(p) GROSS( p) NETT(p) = 0 anders GROSS( p) als GROSS(p) < GROSS( p) NETT( p) = 0 anders. Merk op: 1. Nooit positieve support voor zowel propositie als negatie van propositie. 2. Alles-of-niets benadering weerspiegelt karakter van argumentatie.
17 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 17 [21] Berekening van DOS(f) [= NETT(f)] Prop. DOB Prop. DOB a 0.91 f 0.00 b 0.63 r waarbij r 1 = a, b (0.89) f c 0.74 r waarbij r 2 = b, c (0.94) f d 0.86 r waarbij r 3 = d (0.88) f e 0.98 r waarbij r 4 = e (0.73) f Te berekenen DOS(f) en DOS( f). Stap 1: GROSS(f) en GROSS( f) berekenen. Propositie f wordt ondersteund door regels r 1 en r 2 ; deze delen variabelen onafhankelijkheid kan niet worden aangenomen.
18 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 18 [21] Berekening van DOS(f) [= NETT(f)] (vervolg) Regels r 1 en r 2 zijn afhankelijk: GROSS(f) = max{dos(r 1 ; f), DOS(r 2 ; f)} = max{min{0.91, 0.63} 0.89, min{0.63, 0.74} 0.94} = Regels r 3 en r 4 delen geen variabelen we nemen onafhankelijkheid aan: GROSS( f) = DOS(r 1 ; f) DOS(r 2 ; f) = ( ) ( ) = Stap 2: eenzijdig support combineren: DOS(f) = NETT(f) = 0.00 en DOS( f) = NETT( f) = 0.96.
19 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 19 [21] Zoekalgoritme omzetten in dialoogvorm Idee: 1. Dialoog = trace zoekalgoritme. 2. Twee partijen: PRO en CON. - Prefix print statements met PRO als zoekacties positief verbonden zijn met hoofdthese. - Prefix print statements met CON, anders. 3. Wat je ziet: PRO probeert de hoofdthese met een onweerlegbare reden a te verdedigen, CON tracht elke reden die PRO in de verdediging gebruikt te weerleggen (met andere redenen). Vreeswijk, G.A.W. (2001). Eight dialectic benchmarks discussed by two artificial localist disputors. Synthese, vol. 127, nr. 1-2, pp a Een reden is een instantiatie van een inferentieregel.
20 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 20 [21] PRO probeert A te verdedigen: Dialoog op basis van lege database 1 0,0 pro: I claim that A holds. 2 1,0 con: Why? - Eerste kolom: regelnummer. 3 0,0 pro: Um... upon closer inspection 4 0,0 pro: I see I have no grounds for A. - Tweede kolom: diepte in zoekboom (= hoe vaak bewijslast is omgedraaid; vgl. aantal plies in schaak-zoekboom). - Derde kolom: diepte van de rechtvaardiging (vgl. lengte van compleet argument). - Uitspraken rechts: print-statements gesubjectiveerd naar PRO of CON.
21 Gerard Vreeswijk Automatisch redeneren College 13 [16], Slide 21 [21] Dialoog op basis van één gegeven, t.w. DOB(A) = ,0 pro: I claim that A holds. 2 1,0 con: Why? 3 0,0 pro: Simply because A is the case with DOS = ,0 con: Frankly, I am willing to contest A: 5 1,0 con: I claim that A holds. 6 2,0 pro: Why? 7 1,0 con: Um... upon closer inspection 8 1,0 con: I see I have no grounds for A. 9 0,0 pro: That leaves me with A, obviously.
FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE
FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Bewijzen en Technieken 1 7 januari 211, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe.
Nadere informatieLogica Les 1 Definities en waarheidstabellen. (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online)
Logica Les 1 Definities en waarheidstabellen (Deze les sluit aan bij les 1 van de syllabus Logica WD_online) Definities Een propositie is een bewering die waar of onwaar is (er is geen derde mogelijkheid).
Nadere informatieInl. Adaptieve Systemen
Inl. Adaptieve Systemen Gerard Vreeswijk Leerstoelgroep Intelligente Systemen, Departement Informatica en Informatiekunde, Faculteit Bètawetenschappen, Universiteit Utrecht. Gerard Vreeswijk. Laatst gewijzigd
Nadere informatieTussentijdse toets Expertsystemen
Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. A Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen. Tussentijdse
Nadere informatieKansrekenen: Beliefs & Bayes
Kansrekenen: Beliefs & Bayes L. Schomaker, juni 2001 Bereik van kansen 0 P (A) 1 (1) Kansen op valide en onvervulbare proposities P (W aar) = 1, P (Onwaar) = 0 (2) Somregel P (A B) = P (A) + P (B) P (A
Nadere informatieTegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Nadere informatieWiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma
Wiskunde C vwo Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal Programma 1. Vorm en ruimte in Getal & Ruimte 2. Logisch redeneren in Getal & Ruimte 1. Examenprogramma
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieZoekproblemen met tegenstanders. Zoekalgoritmen ( ) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Een zoekprobleem met een tegenstander
Zoekproblemen met tegenstanders Zoekalgoritmen (29 2) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag Zoekproblemen met meer dan één partij worden gekenmerkt door interventies
Nadere informatieTentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen TI1300 en IN1305-A (Redeneren en) Logica 21 Januari 2011, 8.30 11.30 uur LEES DEZE OPMERKINGEN AANDACHTIG DOOR
Nadere informatieDe Sinn van fictie. Wouter Bouvy March 12, 2006
De Sinn van fictie Wouter Bouvy 3079171 March 12, 2006 1 Inleiding Hoe is het mogelijk dat mensen de waarheid van proposities over fictie zo kunnen bepalen dat iedereen het er mee eens is? Kan een theorie
Nadere informatie1. TRADITIONELE LOGICA EN ARGUMENTATIELEER
Inhoud Inleidend hoofdstuk 11 1. Logica als studie van de redenering 11 2. Logica als studie van deductieve redeneringen 13 3. Logica als formele logica Het onderscheid tussen redenering en redeneringsvorm
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Nadere informatieParadox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11.
Paradox van zelfreproductie College 11 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 27 mei 2009 1 Levende wezens zijn machines. 2 Levende wezens kunnen zich reproduceren. 3 Machines kunnen zich niet reproduceren.
Nadere informatieModeluitwerking Tentamen Computationele Intelligentie Universiteit Leiden Informatica Vrijdag 11 Januari 2013
Modeluitwerking Tentamen Computationele Intelligentie Universiteit Leiden Informatica Vrijdag Januari 20 Opgave. Python Gegeven is de volgende (slechte) Python code:. def t(x): 2. def p(y):. return x*y
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatieUitwerkingen Sum of Us
Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieArtificiële intelligentie: les van 21 november 2002
Artificiële intelligentie: les van 21 november 2002 Nys Wim, wim.nys@vub.ac.be Gybels Kim, kim.gybels@vub.ac.be Leuse Tom, tom.leuse@vub.ac.be Heyse Wouter, wouter.heyse@vub.ac.be Frank Joris, frank.joris@vub.ac.be
Nadere informatieLogica 1. Joost J. Joosten
Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde
Nadere informatieLTX016B05. Nieuwe ontwikkelingen in de syntaxis. College 13 (slot)
LTX016B05 Nieuwe ontwikkelingen in de syntaxis College 13 (slot) 2/69 Vandaag: vierde college Minimalisme (4/4) 3/69 Minimalisme! voortzetting van de generatieve syntaxis (1991-heden)! kernidee: de grammatica
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieOpgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen
Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Top-down inferentie In de opgaven in deze paragraaf over top-down inferentie wordt aangenomen dat de feitenverzameling alleen feiten bevat die als getraceerd
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Metavariabelen Logica, p Minder connectieven nodig
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 5: Semantiek van de Propositielogica Tomas Klos Algoritmiek Groep Tip: Als ik je vraag de recursieve definitie van een functie over PROP op te schrijven,
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST
College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieEen voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander
Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel: een probleemtoestand is een plaatsing van i kruisjes en j nulletjes in de vakjes van het raam, met i j en
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieFormeel Denken. October 20, 2004
Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 2002 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen October 20, 2004 Contents 1 Predicatenlogica
Nadere informatieModel-gebaseerd Redeneren. Ervaringsregels. Medische diagnostiek: facialisparese. Gebruik van modellen. Probleemoplossen op grond van ervaringsregels:
Model-gebaseerd Redeneren Ervaringsregels Traditionele kennissystemen: regel gebaseerd (ervaringsregels) if conditions then actions/conclusions fi. gebruikte redeneermethoden: top-down inferentie: redeneer
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatieModulewijzer InfPbs00DT
Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieTentamen Kunstmatige Intelligentie (INFOB2KI)
Tentamen Kunstmatige Intelligentie (INFOB2KI) 12 december 2014 8:30-10:30 Vooraf Mobiele telefoons en dergelijke dienen uitgeschakeld te zijn. Het eerste deel van het tentamen bestaat uit 8 multiple-choice
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatieInleiding logica Inleveropgave 3
Inleiding logica Inleveropgave 3 Lientje Maas 30 september 2013 Ik (Rijk) heb verbeteringen in rood vermeld. Deze verbeteringen meegenomen zijn dit correcte uitwerkingen van de derde inleveropgaven. 1
Nadere informatieRedeneren met Onzekerheid II. Manipulatie van Onzekerheid. Kansverdeling. if E 2 then H y2 fi. if E 1 and E 2 then H z fi.
Redeneren met Onzekerheid II Classificatieregel-gebaseerd redeneren met onzekerheid: kies een geschikte theorie vind een invulling voor de combinatiefuncties implementeer de combinatiefuncties als onderdeel
Nadere informatieHoofdstuk 3. behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en
Hoofdstuk 3 Semantiek van de Propositielogica In dit hoofdstuk wordt de semantiek (betekenistheorie) van de propositielogica behandeld. In de paragrafen 3.1 en 3.2 worden de noties valuatie, model en logisch
Nadere informatie2015! Is SIZE the only differentiator in the Cloud?!
2015! Is SIZE the only differentiator in the Cloud?! Agenda! Introductie Saas4Channel! Waar staan we vandaag en waar gaan we naar toe! Is grootte het enige onderscheid in de Cloud! Go to Market in de Cloud!
Nadere informatieDynamisch Programmeren III. Algoritmiek
Dynamisch Programmeren III Vandaag Dynamisch programmeren met wat lastiger voorbeelden: Handelsreiziger Longest common subsequence Optimale zoekbomen Knapsack 2 - DP2 Handelsreiziger Een handelsreiziger
Nadere informatieTAALFILOSOFIE. Overkoepelende vraag: WAT IS BETEKENIS?
TAALFILOSOFIE Overkoepelende vraag: WAT IS BETEKENIS? GOTTLOB FREGE (1848 1925) Uitvinder moderne logica Vader van de taalfilosofie BEGRIFFSCHRIFT (1879) Bevat moderne propositie en predicaten-logica Syllogistiek
Nadere informatieSelecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1
Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieCollege Introductie
College 2016-2017 Introductie Doaitse Swierstra (Jeroen Bransen) Utrecht University September 13, 2016 Waarom is FP anders? in plaats van opdrachten die na elkaar moeten worden uitgevoerd, definiëren we
Nadere informatie1 Logica. 1.2.1 a. tautologie -1-
1 Logica 1.1.1 a. neen: de spreker bedoelt met "hier" de plek waar hij op dat moment is, maar "warm" is subjectief; vgl.: "het is hier 25 graden Celsius". b. ja: de uitspraak is onwaar (=120 uur). c. neen:
Nadere informatieOntwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4
0 Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 Voor alle volgende opgaven over programmaatjes geldt de spelregel: formuleer altijd eerst alle bewijsverplichtingen. selectie 45. (tail distribution)(prima
Nadere informatiei(i + 1) = xy + y = x + 1, y(1) = 2.
Kenmerk : Leibniz/toetsen/Re-Exam-Math A + B-45 Course : Mathematics A + B (Leibniz) Date : November 7, 204 Time : 45 645 hrs Motivate all your answers The use of electronic devices is not allowed [4 pt]
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatieINLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:
Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};
Nadere informatieBegrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Nadere informatieHoofdstuk 21: Gegevens samenvatten
Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht
Nadere informatie4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.
3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele
Nadere informatieTentamentips. Tomas Klos. 14 december 2010
Tentamentips Tomas Klos 14 december 010 Samenvatting In dit document vind je een aantal tentamen tips. Het gaat om fouten die ik op tentamens veel gemaakt zie worden, en die ik je liever niet zie maken.
Nadere informatieALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5
ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 opgave 1. a. Brute force algoritme, direct afgeleid uit de observatie: loop v.l.n.r. door de tekst; als je een A tegenkomt op plek i (0 i < n 1), loop dan van daaruit
Nadere informatie6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x )] xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist:
6.3.2 We moeten onderzoeken of de volgende bewering juist is of niet: x [ P (x ) Q (x ) xp(x ) xq(x ). De bewering is onjuist: Kies als tegenvoorbeeld: P (x ):x 2 > 0enQ (x ):x>0, voor U = R Dan geldt:
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatiePropositielogica Het maken van een waarheidstabel
Informatiekunde naam datum Propositielogica Het maken van een waarheidstabel Eindhoven, 4 juni 2011 De propositielogica Zoekopdrachten met de operatoren AND, OR en zijn zogenaamde Booleaanse expressies.
Nadere informatieProgrammeermethoden NA. Week 5: Functies (vervolg)
Programmeermethoden NA Week 5: Functies (vervolg) Kristian Rietveld http://liacs.leidenuniv.nl/~rietveldkfd/courses/prna2016/ Functies Vorige week bekeken we functies: def bereken(a, x): return a * (x
Nadere informatieGroeperen. Het weldoordacht ordenen en weergeven van informatie. Groeperen van items. Groeperingprincipes kiezen. Geordend.
Overzicht Methodiek KRITISCH DENKEN met RATIONALE KRITISCH DENKEN Groeperen Redeneren Structureren Analyseren Evalueren Oordelen 4 Grondslagen van Redeneren I Het weldoordacht ordenen en informatie. Het
Nadere informatieConstraint satisfaction. Zoekalgoritmen ( ) College 11: Constraint Satisfaction. Voorbeelden. Een constraint satisfaction probleem
Constraint satisfaction Zoekalgoritmen (2009 2010) College 11: Constraint Satisfaction Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag Een constraint satisfaction probleem (CSP) bestaat uit: een verzameling variabelen;
Nadere informatieLogica voor Informatica
Logica voor Informatica 10 Predikatenlogica Wouter Swierstra University of Utrecht 1 Vorige keer Syntax van predikatenlogica Alfabet Termen Welgevormde formulas (wff) 2 Alfabet van de predikatenlogica
Nadere informatieSamenvatting. TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten. Disclaimer
Samenvatting TI1306 Redeneren & Logica Review Guide 2014 Door: David Alderliesten Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst mogelijke
Nadere informatieOpdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010
Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]
Nadere informatiePopulaties beschrijven met kansmodellen
Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.
Nadere informatie13538/14 cle/rts/sv 1 DG D 2B
Raad van de Europese Unie Brussel, 30 september 2014 (OR. en) Interinstitutioneel dossier: 2013/0407 (COD) 13538/14 DROIPEN 112 COPEN 230 CODEC 1868 NOTA van: aan: het voorzitterschap het Comité van permanente
Nadere informatieHoofdstuk 20: Wiskundige functies
Hoofdstuk 20: Wiskundige functies 20.0 Introductie Er is een uitgebreid aanbod aan wiskundige functies in Excel, variërend van het simpele + teken tot de esoterische statistiek functies voor een correlatie
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieARGUMENTEREN EN REDENEREN
ARGUMENTEREN EN REDENEREN Julie Kerckaert Vaardigheden I Academiejaar 2014-2015 Inhoudsopgave Deel 1: Argumenteren en redeneren... 2 1.1 Logica... 2 1.1.1 Syllogismen... 2 1.1.2 Soorten redeneringen...
Nadere informatieInformatieuitwisseling 2014/2015. Argumentatie: een AI-perspectief. Henry Prakken 14 Januari 2015
Informatieuitwisseling 2014/2015 Argumentatie: een AI-perspectief Henry Prakken 14 Januari 2015 Wat is argumentatie? Een standpunt ondersteunen met gronden om twijfel aan dat standpunt weg te nemen Logica
Nadere informatieConstanten. Variabelen. Expressies. Variabelen. Constanten. Voorbeeld : varid.py. een symbolische naam voor een object.
een symbolische naam voor een object. Variabelen Constanten Variabelen Expressies naam : geeft de plaats in het geheugen aan waarde : de inhoud van het object identifier : een rij van letters en/of cijfers
Nadere informatieProeftentamen Digitale technieken
Proeftentamen Digitale technieken André Deutz October 17, 2007 De opgaven kunnen uiteraard in willekeurige volgorde gemaakt worden geef heel duidelijk aan op welke opgave een antwoord gegegeven wordt.
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieLoterijlogica: Een onderzoek naar de relevantie van de loterijparadox voor argumentatielogica s
Loterijlogica: Een onderzoek naar de relevantie van de loterijparadox voor argumentatielogica s Naomi Prins Studentnummer: 3978990 n.v.prins@students.uu.nl Bachelorscriptie Kunstmatige Intelligentie 7,5
Nadere informatieOver Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding. G.J.E. Rutten
1 Over Plantinga s argument voor de existentie van een noodzakelijk bestaand individueel ding G.J.E. Rutten Introductie In dit artikel wil ik het argument van de Amerikaanse filosoof Alvin Plantinga voor
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieWerkwinkel Permutatiepuzzels
Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatie1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatie5. Functies. In deze module leert u:
5. Functies In deze module leert u: - Wat functies zijn; - Functies uitvoeren; - De verschillende functies van Calc kennen. - Naar een ander werkblad verwijzen. U kunt eenvoudige berekeningen, zoals aftrekken,
Nadere informatieUitleg van de Hough transformatie
Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een
Nadere informatie8C080 deel BioModeling en bioinformatica
Vijf algemene opmerkingen Tentamen Algoritmen voor BIOMIM, 8C080, 22 april 2009,14.00-17.00u. Het tentamen bestaat uit 2 delen, een deel van BioModeling & bioinformatics en een deel van BioMedische Beeldanalyse.
Nadere informatie