Stabiliteit van Schijfvormige Sterrenstelsels

Transcriptie

1 Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vakgroep Wiskundige Natuurkunde en Sterrenkunde Voorzitter: Prof. dr. W. SARLET Stabiliteit van Schijfvormige Sterrenstelsels door Vanessa DURY Promotor: Dr. S. DE RIJCKE Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk natuurkundig ingenieur Academiejaar

2 De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. 31 mei 2005, Vanessa Dury

3 Voorwoord Bij het tot stand komen van deze thesis zijn er een aantal personen die ik in het bijzonder wil bedanken. Eerst en vooral wil ik Dr. S. De Rijcke bedanken voor de vele tips, de interesse en de hulp bij het oplossen van diverse probleempjes. Dankzij het voorbeeldprogramma en de tips bij het programmeren van Dr. P. Vauterin heb ik het programmeren tot een goed einde weten te brengen, zodat ik ook hem wil bedanken. Verder wil ik nog lic. D. Michielsen bedanken voor de hulp bij het schrijven van deze thesis in L A TEX. ii

4 Overzicht Stabiliteit van Schijfvormige Sterrenstelsels door Vanessa DURY Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk natuurkundig ingenieur Academiejaar Promotor: Dr. S. DE RIJCKE Vakgroep Wiskundige Natuurkunde en Sterrenkunde Voorzitter: Prof. dr. W. SARLET Faculteit Toegepaste Wetenschappen Universiteit Gent Samenvatting Het doel van deze thesis is om de stabiliteit van schijfvormige sterrenstelsels te onderzoeken. We zullen hiervoor eerst in hoofdstuk 1 de verschillende sterrenstelsels en hun belangrijkste eigenschappen bespreken. Nadien zullen we in hoofdstuk 2 op zoek gaan naar een model om schijfvormige sterrenstelsels te beschrijven. We zullen sterrenstelsels beschrijven aan de hand van een distributiefunctie. Deze distributiefunctie beschrijft de verdeling van de sterren over de mogelijke sterbanen. De sterbanen in een sterrenstelsel worden bepaald door de potentiaal van het sterrenstelsel. In hoofdstuk 3 worden storingen geïntroduceerd. We zullen de invloed van deze storingen op de ongestoorde distributiefunctie onderzoeken. De geperturbeerde distributiefunctie moet dan door een computerprogramma berekend worden. Een groot deel van deze thesis bestond dus uit het programmeren van een programma dat de invloed van een storende potentiaal op een ongestoorde distributiefunctie berekent. Aangezien we analytische uitdrukkingen numeriek zullen moeten programmeren, is het belangrijk om de berekeningen van het programma te controleren. We zullen dit doen in hoofdstuk 4. Uiteindelijk kunnen we, wanneer de gestoorde distributiefunctie gekend is, de gestoorde massadichtheid berekenen. Dit wordt gedaan in hoofdstuk 5. Hierin wordt ook vermeld hoe we op zoek kunnen gaan naar zelf-consistente storingen. Trefwoorden: distributiefunctie, potentiaal, storingen, programmeren, controleren. iii

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding De kleur van een sterpopulatie Sterrenstelsels in het algemeen Spiraalvormige sterrenstelsels Elliptische sterrenstelsels Onregelmatige sterrenstelsels Donkere materie Het ontstaan van spiraalarmen: het windingsprobleem Doel van deze thesis Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels Inleiding De distributiefunctie De globale potentiaal De transportvergelijking Storingen in schijfvormige sterrenstelsels De ongestoorde component De ongestoorde distributiefunctie De ongestoorde momenten De geperturbeerde distributiefunctie Inleiding De storing De geperturbeerde distributiefunctie Keuze van de baanparameters Fourier-ontwikkeling langs ongestoorde banen Baanbeschrijving aan de hand van de keerpunten iv

6 Inhoudsopgave v 4 Implementatie en controlepunten Inleiding De ongestoorde banen Epicykeltheorie Ontwikkelen in een Fourier-reeks Controle van de geperturbeerde distributiefunctie Controle van een m = 1 perturbatie Controle van een m = 2 perturbatie Besluit De geperturbeerde massadichtheid Inleiding Berekenen van ρ (r) Berekenen ρ (r) zonder gebruik te maken van W(r,p) De geperturbeerde massadichtheid Storing met R(ω) = jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar Storing met R(ω) = 0jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar Storing met R(ω) = 10 6 jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar Besluit Zoeken naar zelf-consistente storingen Een basis van potentiaal-dichtheidsparen Voorwaarde voor zelf-consistente storingen A Handleiding bij het programma 81 A.1 Enkele wiskundige berekeningen: math.h A.1.1 Klasse ardouble A.1.2 Klasse spline A.1.3 Klasse fourcmplx A.2 De ongestoord component: pot0.h A.2.1 Klasse pot A.2.2 Klasse unpertdis A.3 De ongestoorde banen: Unpertorbit.h A.3.1 Klasse unpertorbit A.3.2 Klasse unpertorbitinfo A.4 De gestoorde potentiaal: pertpot.h A.5 Voorbeeldprogramma: propot.cpp A.6 Het berekenen van het rooster van Fouriercoëfficiënten: fourlib.h A.6.1 Klasse orbitinfo A.6.2 Klasse fourlib

7 Inhoudsopgave vi A.7 Voorbeeldprogramma s four.cpp en testfour.cpp A.8 De gestoorde distributiefunctie met interpolatie op het Fourierrooster: pertdis.h A.9 De gestoorde distributiefunctie: pertdist.h A.10 De gestoorde banen: pertorbit.h A.11 Controle van de gestoorde distributiefunctie: pnumpert.h A.12 Voorbeeldprogramma testdisnum.cpp A.13 De geperturbeerde massadichtheid: mompert.h A.14 Controle van de massadichtheid: pertmom.h A.15 Voorbeeldprogramma s mompert.cpp en testpertmom.cpp

8 Hoofdstuk 1 Inleiding 1.1 De kleur van een sterpopulatie Het doel van deze thesis is het modelleren van schijfvormige sterrenstelsels. Om een idee te hebben over wanneer we de sterrenstelsels schijfvormig kunnen veronderstellen, is het nuttig om de verschillende soorten sterrenstelsels te bestuderen. Vooraleer we de sterrenstelsels bekijken, beschrijven we eerst de kleur van de sterren die we waarnemen. Wanneer we naar de sterren kijken, valt het op dat sommige sterren een andere kleur hebben. We zullen nu proberen iets over de sterren te zeggen aan de hand van hun kleuren. Om deze kleuren te kunnen begrijpen, merken we eerst op dat de energieverdeling van de straling van sterren in goeie benadering dezelfde is als de energieverdeling van de straling van een zwart lichaam. We kunnen de kleur van het licht, dat een bepaald object uitstraalt, begrijpen aan de hand van het verwarmen van een ijzeren staaf. Wanneer deze staaf begint te gloeien, straalt het rood licht uit. Bij verder verwarmen verandert de kleur geleidelijk aan naar geel-witachtig. Moesten we de staaf verder kunnen verwarmen, zonder dat ze smelt, zouden we blauwachtig licht zien. Aan de hand van dit voorbeeld zien we dat de energie, die uitgestraald wordt, afhangt van de temperatuur van het object. Ook de belangrijkste golflengte van de straling wordt bepaald door de temperatuur van het object. Zo zal een object met een hoge temperatuur, en dus een hoge energie, vooral straling uitzenden met een korte golflengte. Een object met een lage temperatuur zendt vooral straling uit met een lange golflengte. Een zwart lichaam is een object dat geen invallend licht reflecteert, maar al het invallende licht absorbeert. Het licht dat we van een zwart lichaam ontvangen, wordt dus volledig veroorzaakt door zijn temperatuur. Om de golflengte van het licht, dat door een zwart lichaam wordt uitgestraald, te kunnen bepalen in functie van de temperatuur van het zwarte lichaam passen we de wet van Wien toe. De wet van Wien zegt dat de dominante golflengte, van de straling die wordt uitgezonden, omgekeerd evenredig is met de temperatuur van het zwarte lichaam. Zo zal voor hete zwarte lichamen het uitgezonden licht zich bevinden in het blauwe gebied van het spectrum en voor koude zwarte lichamen in het rode gebied. We kunnen nu de resultaten van de zwarte lichamen ook gebruiken voor de sterren. Als we de intensiteit van de straling weergeven in functie van de golflengte, kunnen we aan de hand van de ligging van het maximum van deze curve de dominante golflengte en dus ook de oppervlaktetemperatuur van de ster bepalen. 1

9 Hoofdstuk 1. Inleiding 2 Figuur 1.1: Stralingscurves van enkele denkbeeldige sterren met een verschillende oppervlaktetemperatuur. Onderaan wordt de ster weergegeven in de kleur zoals wij ze waarnemen. spectraaltype temperatuur (K) O B A F G K M onder 3900 Tabel 1.1: De oppervlaktetemperaturen voor de sterren uit de verschillende spectraaltypes. We bekijken daarom in figuur 1.1 enkele stralingscurves van enkele denkbeeldige sterren met een verschillende oppervlaktetemperatuur. Op deze figuur is duidelijk te zien dat wanneer de oppervlaktetemperatuur van de ster groter wordt, de top van de curve zich verplaatst naar het gebied van de korte golflengtes. De hoogte van de piek verkleint bij dalende oppervlaktetemperatuur. Dit effect wordt niet getoond op de figuur door het herschalen van de intensiteitsas. Het regenboogpatroon op de grafieken geeft de indeling van het visuele spectrum weer. De temperatuursbepaling op deze manier is niet optimaal aangezien een ster geen perfect zwart lichaam is. Het zal dus niet de juiste temperatuur zijn. Voor ons is het echter niet de bedoeling is om de exacte temperatuur te kennen, maar is het enkel nodig om een idee te krijgen over de grootte-orde van de temperatuur. In de sterrenkunde worden sterren verdeeld in de verschillende spectraaltypes OBAF GKM. Deze verdeling van de sterren komt ook overeen met de temperatuur. De temperaturen van de verschillende spectraaltypes worden weergegeven in tabel 1.1. Een jonge sterpopulatie bevat veel zware, heldere O en B sterren. Hierdoor hebben ze een blauwe kleur. De levensduur van een ster hangt af van zijn massa. Zo zullen de zware sterren van het type O en B korter leven. Een oude sterpopulatie bevat dus geen O en B sterren meer waardoor ze een gele of rode kleur hebben.

10 Hoofdstuk 1. Inleiding 3 Figuur 1.2: Classificatie van sterrenstelsels aan de hand van het stemvorkschema opgesteld door Hubble. Hij onderscheidde drie groepen van sterrenstelsels: de elliptische (E), de spiraalvormige (S) en de onregelmatige (Irr) sterrenstelsels. De spiraalvormige sterrenstelsels worden verdeeld in balkspiralen (BS) en gewone spiralen. 1.2 Sterrenstelsels in het algemeen Alle mogelijke sterrenstelsels werden ingedeeld volgens hun vorm in het zogenaamde stemvorkschema, opgesteld door Edwin P. Hubble. Dit wordt weergegeven in figuur 1.2. Hij onderscheidde drie grote groepen sterrenstelsels: Spiraalvormige sterrenstelsels: voorgesteld door het symbool S. Elliptische sterrenstelsels: voorgesteld door het symbool E. Onregelmatige sterrenstelsels: voorgesteld door het symbool Irr. We zullen eerst de verschillende sterrenstelsels bekijken om een idee te hebben over de opbouw van sterrenstelsels. Aangezien een sterrenstelsel ook donkere materie bevat, wordt nadien even dieper op dit begrip ingegaan Spiraalvormige sterrenstelsels Deze sterrenstelsels worden verder onderverdeeld in de gewone spiralen (S) en de balkspiralen (SB). Bij beide types zien we spiraalarmen. Het onderscheid tussen die twee groepen volgt uit het feit dat er bij balkspiralen een balkachtige structuur is, die door de kern van het sterrenstelsel gaat. Dit wordt getoond in figuur 1.3. Om de opbouw van dit soort sterrenstelsels te begrijpen, bekijken we eerst enkele figuren van S-type sterrenstelsels. In figuren 1.3 en 1.4 zien we enkele gemeenschappelijke kenmerken voor de sterrenstelsels: een afgeplatte schijf met centraal een sferische verdikking, de bult. Bij het sterrenstelsel van het type Sa in figuur 1.4 bevinden er zich in het gebied rondom de afgeplatte schijf bolvormige sterrenhopen. We kunnen dus stellen dat er drie belangrijke gebieden in deze sterrenstelsels te vinden zijn: een afgeplatte schijf, centraal een sferische kern en hierrond het gebied, waarin de bolhopen zich bevinden: een sferische halo, die zich ver rond de kern van het sterrenstelsel uitstrekt. De spiraalarmen bevinden zich steeds in het vlak van de schijf.

11 Hoofdstuk 1. Inleiding 4 Figuur 1.3: Twee S-type sterrenstelsels. Links een S-type en rechts een SB-type. Beide types hebben spiraalarmen. Balkspiralen hebben ook nog een balk die door de kern gaat. Figuur 1.4: Twee S-type sterrenstelsels. Links een Sa-type en rechts een Sb-type. In beide sterrenstelsels is duidelijk een afgeplatte schijf en een centrale bolvormige kern te zien.

12 Hoofdstuk 1. Inleiding 5 Figuur 1.5: Een sterrenstelsel van het type SB. We zien hierin verschillende gebieden, 1: jonge, hete sterren van het type O en B, 2: H II-gebieden, 3: stof en gas, 4: kern met zowel oude en jong sterren. Bekijken we nu figuur 1.5. In deze figuur zien we, net zoals in de vorige figuren van schijfvormige sterrenstelsels, dat er zich verschillende kleuren in het sterrenstelsel bevinden. We weten al dat sterpopulaties kunnen verschillen van kleur. Daarom bekijken we nu even beter de verschillende gebieden die zich in het vlak van de schijf bevinden. Enkele van die gebieden werden in de figuur aangeduid met nummers. In de buurt van de spiraalarmen zien we blauwe vlekken (nr.1). Deze plaatsen stemmen overeen met jonge sterpopulaties, die veel sterren van het type O en B bevatten. Sterren ontstaan door een sterke compressie van gebieden met een hoge dichtheid aan interstellaire materie. Door deze compressie stijgt de druk en de temperatuur in het gas van de interstellaire materie. Dit gas bevat vooral lichtere elementen zoals waterstof en helium. Wanneer nu de temperatuur van het gas voldoende sterk is gestegen, kan waterstoffusie beginnen. Op dat moment spreken we van een ster. Hierdoor zal de temperatuur in de kern toenemen. Door de temperatuurstijging zal de ster uitzetten, waardoor de oppervlaktetemperatuur daalt. Op deze manier zien we dat sterren van het type O en B, jonge sterren zijn. O en B sterren leven kort zodat oudere sterpopulaties geen O en B sterren meer bevatten en een gele of rode kleur vertonen.

13 Hoofdstuk 1. Inleiding 6 Figuur 1.6: Schematische opbouw van ons sterrenstelsel. Hierin zijn de 3 grote delen duidelijk: de afgeplatte schijf, de centrale bult en de halo errond. In de halo vindt men vooral oude bolvormige sterrenhopen. In de schijf vindt men vooral jonge sterren en gebieden van stervorming in het aanwezige gas en stof. Verder zien we in de buurt van de spiraalarmen nog rode vlekken (nr.2). Dit zijn de H II-gebieden aangezien ze voorkomen in de buurt van de blauwe gebieden. De H II-gebieden ontstaan doordat hoog-energetische fotonen, die door de jonge sterren worden uitgezonden, invallen op het waterstofgas dat zich in het interstellaire medium bevindt. Een waterstofatoom bestaat uit een positief geladen kern met daarrond een elektron dat in een cirkelvormige baan rond de kern beweegt. Als nu een hoog-energetisch foton op dit waterstofatoom invalt, kan het elektron losgeslagen worden uit zijn baan, waardoor enkel een positief geladen kern achterblijft. Het elektron verkrijgt dan een bijkomende energie en het neutrale waterstof wordt geïoniseerd. Als nu het elektron opnieuw recombineert met het proton, wordt het waterstof opnieuw neutraal en het elektron zal zich opnieuw met een lagere energie op een cirkelvormige baan rond de kern bewegen. Hierdoor komt er een foton vrij. De helderste lijn van die straling, in het optische gebied, is de Balmer α lijn en ligt in het rode gedeelte van het spectrum. Verder zien we in het vlak van de schijf ook donkere gebieden (nr.3). In deze gebieden wordt het zichtbare licht, dat door de sterren wordt uitgezonden, geblokkeerd. Dit wijst op het bestaan van stof in het vlak van de schijf. Ook op de figuur van het sombrero-sterrenstelsel in figuur 1.4 is duidelijk het donkere gebied, veroorzaakt door het stof, zichtbaar. In deze gebieden bevindt zich een grote hoeveelheid aan interstellaire materie. Het is dan ook in die gebieden dat er mogelijk stervorming kan gebeuren. De kern van het sterrenstelsel (nr.4) heeft soms een roodachtige kleur door het voorkomen van bijvoorbeeld rode reuzen met een lage oppervlaktetemperatuur. In de kern zullen er dus ook oudere sterren bewegen. Samengevat kunnen we dan stellen dat een sterrenstelsel uit de volgende drie delen wordt opgebouwd (zie figuur 1.6): De centrale bult: Helder sferisch gebied dat zich bevindt rond het centrum van het sterrenstelsel en met een diameter van enkele kpc. Dit gebied bevat zowel oude en jonge sterren.

14 Hoofdstuk 1. Inleiding 7 Figuur 1.7: Links zien we M87, een elliptisch sterrenstelsel van type E1. Rechts zien we NGC 1332, een elliptisch sterrenselsel van type E7. We zien duidelijk, dat als we gaan van type E1 naar type E7, dat het sterrenstelsel meer afgeplat wordt. De schijf: Schijfvormig gebied van het sterrenstelsel. De schijf heeft een diameter van enkele tientallen kpc en een dikte van ongeveer 0.6 kpc. We kunnen de schijf dus benaderend in een vlak veronderstellen. In de schijf bevinden zich stof-en gaswolken en redelijk jonge sterren. De halo: De halo wordt sferisch verondersteld en bevat vooral oudere sterren en donkere materie. Verder worden de sterrenstelsels van type S en SB nog verder onderverdeeld in de type s a,b en c. Hierbij wordt, als men gaat van type a naar c, de kern steeds kleiner en de opening van de spiraalarmen groter. Ook zullen er bij het naderen van type c meer H II-gebieden en jonge sterren aanwezig zijn Elliptische sterrenstelsels De elliptische sterrenstelsels worden verder verdeeld in subcategoriën door het plaatsen van een getal n achter het symbool E: ( n = 10 1 b ), (1.1) a met b de korte as en a de lange as van de ellips. Dit getal varieert dus van 0, voor sferische sterrenstelels, tot 7, voor meer afgeplatte sterrenstelsels. In figuur 1.7 worden enkele elliptische sterrenstelsels getoond.

15 Hoofdstuk 1. Inleiding 8 Figuur 1.8: Links zien we M82, een onregelmatig sterrenstelsel van type II en rechts, NGC1313, een onregelmatig sterrenstelsel van type I. Bij sterrenstelsels van het type I zien we vooral veel jonge sterren, bij dat van type II zien we de aanwezigheid van stofbanden. We overlopen nu alle elliptische sterrenstelsels vanaf E0 tot E7 en maken nadien de overgang via S0 naar de spiraalvormige sterrenstelsels. Aan de hand van de opbouw van de spiraalvormige sterrenstelsels kunnen we enkele besluiten trekken. Aangezien de afplatting sterker wordt bij het naderen van S0, zien we dat er maar sprake van een schijf zal zijn wanneer er voldoende afplatting is van het sterrenstelsel. Zo zal er voor elliptische sterrenstelsels nog geen sprake zijn van een schijf en zullen spiraalarmen zich ook niet voordoen. Na het ontstaan van de schijf en bij het naderen van Sc krimpt dan het niet afgeplatte stuk naar het centrum van het sterrenstelsel toe. Uiteindelijk zal de beweging van de sterren zo goed als volledig in het vlak van de schijf gebeuren zoals in rechts figuur Onregelmatige sterrenstelsels De sterrenstelsels van deze groep hebben nauwelijks gemeenschappelijke kenmerken. Ze worden onderverdeeld in twee groepen: In de onregelmatige sterrenstelsels van type I is er bijna geen stof te vinden. Wel vinden we er gas, jonge hete O- en B-sterren, HII gebieden en oude sterren. Ze kunnen gezien worden als een uitbereiding van de Hubble-sequentie. De onregelmatige sterrenstelsels van type II bevatten nauwelijks of geen hete jonge O- en B-sterren. Daardoor hebben deze sterrenstelsels een rodere kleur. Ook zien we in deze sterrenstelsels stofbanden. In figuur 1.8 worden enkele onregelmatige sterrenstelsels getoond. Hierop zien we duidelijk de belangrijkste kenmerken van beide type s.

16 Hoofdstuk 1. Inleiding 9 Figuur 1.9: Rotatiecurve voor het melkwegstelsel. In de bovenste curve zien we de op observaties gebasseerde rotatiecurve. In de onderste curve de rotatiecurve die theoretisch berekend werd, hiervoor werd geen rekening gehouden met de aanwezigheid van donkere materie en zien we op grote afstand van het centrum een Kepleriaanse daling Donkere materie We hebben al vermeld dat de halo donkere materie bevat. We hebben echter nog niets verteld over waarom het bestaan van donkere materie wordt aangenomen. Donkere materie is immers niet optisch detecteerbaar. We kunnen het bestaan ervan echter begrijpen aan de hand van rotatiecurves van spiraalvormige sterrenstelsels. De sterren en het gas in een sterrenstelsel bewegen in een baan rond het centrum. In spiraalvormige sterrenstelsels zijn de sterbanen grotendeels cirkelvormige banen. De gravitatiekracht die een ster ondervindt, en dus de versnelling, is meestal enkel afhankelijk van de afstand van de ster tot het centrum van het sterrenstelsel. Deze kracht moet dan de centrifugaalkracht, veroorzaakt door de beweging rond het centrum, opheffen. We krijgen dan dat: v 2 r = a(r), (1.2) met r de afstand van de ster tot het centrum, v de rotatiesnelheid van de ster op de cirkelbaan en a(r) de versnelling van de ster. We kunnen dus de rotatiesnelheid van een ster in een sterrenstelsel bepalen aan de hand van zijn afstand tot het centrum van het sterrenstelsel. Wanneer we nu die rotatiesnelheid weergeven in functie van r, bekomen we de rotatiecurve. In figuur 1.9 (bovenste curve) wordt de rotatiecurve voor ons melkwegstelsel getoond. In figuur 1.10 worden enkele rotatiecurves getoond van andere sterrenstelsels. Deze curves hebben ongeveer een gelijkaardig verloop als de rotatiecurve van het melkwegstelsel.

17 Hoofdstuk 1. Inleiding 10 Figuur 1.10: Enkele rotatiecurves van spiraalvormige sterrenstelsels. Deze curves hebben een gelijkaardig verloop als die van het melkwegstelsel. We kunnen dus stellen dat de rotatiecurve uit twee delen bestaat: Een zeer snel stijgend stuk dicht bij het centrum. Op grote afstand van het centrum een benaderend vlak stuk, dat soms een licht stijgende of dalende trend vertoond. Wanneer de rotatiecurve berekend wordt aan de hand van de gravitatiekrachten tussen de verschillende sterren die men waarneemt, verwacht men op grote afstand van het centrum een Kepleriaanse daling. De derde wet van Kepler zegt immers voor een cirkelbaan met straal R dat: T 2 R 3 = 4π2 GM tot = constant, (1.3) met T de periode van de baan, M tot de massa die omsloten wordt in de baan en G de universele gravitatieconstante. De afstand die op de cirkelbaan wordt afgelegd is 2πR in een tijd T zodat de rotatiesnelheid op de cirkelbaan gelijk wordt aan: v = 2πR T = GMtot R. (1.4) Aangezien de rotatiesnelheid omgekeerd evenredig is met R, zal de snelheid dalen wanneer de afstand tot het centrum van het sterrenstelsel groter wordt. Wanneer we deze derde wet van Kepler toepassen moet de massa, die omsloten wordt door de verschillende banen, constant blijven. Dit kan indien ongeveer de volledige massa van het sterrenstelsel omsloten wordt.

18 Hoofdstuk 1. Inleiding 11 Figuur 1.11: Bovenaan de rotatiecurve voor ons melkwegstelsel. Onderaan de verwachtte totale massa van het sterrenstelsel in functie van de afstand tot het centrum. Beide curves worden berekend voor de schijf, de centrale bult,voor de donkere materie en voor het volledige sterrenstelsel. We kunnen voor een sterrenstelsel een maximale straal afschatten op basis van de rand die we waarnemen. Indien we dan een baan nemen met een straal die minstens gelijk is aan de maximale straal, kunnen we de derde wet van Kepler toepassen. Aangezien we geen Kepleriaanse daling waarnemen, doet dit ons vermoeden dat er, buiten de rand die we kunnen waarnemen, nog materie aanwezig is. Aangezien we deze materie kunnen waarnemen aan de hand van gravitatiekrachten op sterren en niet optisch, wordt deze materie donkere materie genoemd.

19 Hoofdstuk 1. Inleiding 12 In figuur 1.11 wordt bovenaan de rotatiecurve voor de verschillende delen van het melkwegstelsel getoond. Onderaan wordt de totale massa van het sterrenstelsel berekend in functie van de afstand tot het centrum van het sterrenstelsel. Hierop zien we duidelijk dat, voor de centrale bult en de schijf met de zichtbare materie, de volledige massa al vlug bereikt wordt. Ook zien we dat de centrale bult bijna geen donkere materie bevat. Op grote afstand van het centrum bevindt er zich nog steeds donkere materie, zodat de totale massa van het sterrenstelsel pas veel verder bereikt wordt. Zowat 90% van de massa van een sterrenstelsel is afkomstig van donkere materie, die zich in de halo bevindt. 1.3 Het ontstaan van spiraalarmen: het windingsprobleem Bij de bespreking van de sterrenstelsels hebben we gezien dat er bij schijfvormige sterrenstelsels in het vlak van de schijf spiraalarmen aanwezig zijn. We zullen nu enkele mogelijke manieren van het ontstaan van die spiraalarmen bespreken. Een eerste mogelijke verklaring volgt uit het verloop van de rotatiecurve. Sterren die zich op een grote afstand van het centrum van het sterrenstelsel bevinden, bewegen benaderend met dezelfde rotatiesnelheid op een cirkelvormige baan. Sterren die zich verder bevinden moeten echter een grotere afstand afleggen om een volledige omwenteling rond het centrum te maken. Veronderstellen we nu een aantal sterren die zich initieel op dezelfde lijn bevinden. De sterren die het verst van het centrum verwijderd zijn, zullen zich minder vlug van die lijn weg bewegen dan sterren die zich dicht bij het centrum bevinden. Als we de sterren in de tijd gaan volgen, zal er zich geleidelijk aan een spiraal beginnen vormen. Dit wordt getoond in figuur Wanneer we nu echter verder gaan in de tijd, zal de spiraal zich meer en meer beginnen opwinden. Uiteindelijk zal de spiraal zelfs verdwijnen. De tijd waarin dit gebeurt is echter kort vergeleken met de levensduur van ons melkwegstelsel, zodat dit geen juiste verklaring is voor het ontstaan van de spiraalarmen. De banen die de sterren beschrijven, zijn niet exact cirkelvormig. Verder zullen we nog zien dat wanneer de baan iets afwijkt van een cirkelbaan, we de baan kunnen beschrijven aan de hand van een epicyclische beweging. We kunnen de epicyclische beweging beschrijven aan de hand van een punt dat beweegt op een cirkelbaan met straal R g en met een hoeksnelheid Ω(R g ). De ster voert dan een harmonische beweging uit op een ellips met als middelpunt het punt dat op de cirkelbaan beweegt. Deze beweging wordt getoond in figuur Tijdens de epicyclische beweging varieert de afstand R van de ster tot het centrum volgens: R = R g + x = R g + X cos(κt + ψ), (1.5) hierin is R g de gemiddelde straal en dus de straal van de cirkel waarop het middelpunt van de ellips beweegt. De harmonische beweging wordt voorgesteld door x met x << R g en heeft een amplitude X, een frequentie κ en een beginfase ψ. Kiezen we nu een aantal punten verspreid op een cirkel met straal R g en we veronderstellen dat rond elk punt een ster een epicyclische beweging uitvoert. Noemen we de beginhoek van een punt op de cirkelbaan φ(0) en kiezen we dan de beginfase behorend bij de ster die rond dit punt beweegt mφ(0). Hierin stelt m een symmetriegetal voor. Zo is voor éénarmige spiraalstelsels m = 1 en voor twee-armige spiraalstelsels m = 2.

20 Hoofdstuk 1. Inleiding 13 Figuur 1.12: Het ontstaan van spiraalarmen wanneer we veronderstellen dat de beweging van de sterren op een cirkelbaan gebeurt. De sterren bewegen ongeveer allemaal aan dezelfde rotatiesnelheid. Hierdoor zullen sterren dichtbij het centrum vlugger een rotatie hebben uitgevoerd, dan de sterren verder weg. Uiteindelijk zullen de windingen van de spiraal dichter op elkaar liggen. Figuur 1.13: De elliptische epicykelbeweging: oscillatie met amplitude X rond een punt dat beweegt op cirkelbaan met straal R g >> X.

21 Hoofdstuk 1. Inleiding 14 Figuur 1.14: Kinematische spiraalarmen die gevormd worden aan de hand van de elliptische epicykelbeweging. Op een later tijdstip t zijn de punten op de cirkelbaan bewogen zodat φ(t) = φ(0) + Ωt. Op deze manier wordt dan: ψ = m(φ(t) Ωt), (1.6) zodat: R = R g + X cos(κt + m(φ(t) Ωt)) = R g + X cos((mω κ)t mφ(t)) (1.7) Op het tijdstip t = 0 liggen de sterren op een ellips met de lange as horizontaal en dus φ = 0. Zo zal dan op het moment t de lange as van de ellips gelegen zijn volgens de hoek: φ = (Ω κ/m)t Ω p t. (1.8) We kunnen nu de hoeksnelheid Ω p opvatten als een hoeksnelheid van de lange as van de ellips, die gevormd wordt door de sterren die een epicyclische beweging uitvoeren rond de verschillende punten gekozen op dezelfde cirkelbaan. Deze hoeksnelheid is steeds kleiner dan wanneer we de beweging op cirkelvormige banen veronderstellen, aangezien κ en m positief zijn. In figuur 1.14 wordt links een twee-armige spiraal getoond die gevormd wordt door de ellipsvormige sterbanen die gevormd worden aan de hand van de verschillende punten die op de cirkelbaan werden gekozen. We noemen dit de kinematische spiraalarmen. Ook hier varieert de hoeksnelheid Ω p in functie van de straal van de cirkelbaan zodat ook hier het windingsprobleem voorkomt. Het opwinden van de spiraal gebeurt echter een factor Ωp Ω trager ten opzichte van de beschrijving aan de hand van cirkelvormige banen. Rechts in figuur 1.14 wordt een éénarmige spiraal getoond. 1.4 Doel van deze thesis Wanneer we schijfvormige sterrenstelsels willen beschrijven, moeten ook spiraalarmen beschreven worden. De vorige beschrijvingen voor het ontstaan van spiraalarmen waren niet correct door het voorkomen van het windingsprobleem. We moeten dus op zoek gaan naar een andere beschrijving.

22 Hoofdstuk 1. Inleiding 15 Figuur 1.15: Spiraalarmen kunnen gezien worden als een dichtheidsgolf die roteert in de schijf. Deze golf kan een compressie veroorzaken in het aanwezige stof en gas waardoor stervorming kan gebeuren. Wanneer de sterren verouderen gaan ze weg uit de spiraalarm, maar worden minder helder en dus niet zo duidelijk zichtbaar als de jonge sterren in de buurt van de spiraalarmen. We kunnen de spiraalarmen ook als volgt bekijken. Veronderstel dat de vorm van de spiraalarmen al aanwezig is. We kunnen deze spiraalarmen zien als een ophoping van sterren ten opzichte van de rest van de omgeving. Het is immers niet zo dat er tussen het gebied van de spiraalarmen geen sterren voorkomen. De sterren op deze plaatsen zijn echter oud in vergelijking met de O en B sterren die vooral te vinden zijn in de omgeving van de spiraalarmen zodat deze sterren minder fel licht uitschijnen. We kunnen deze ophoping van sterren opvatten als een dichtheidsgolf in het vlak van de schijf. Wanneer deze dichtheidsgolf zich nu beweegt in het vlak van de schijf, kan deze golf voor een compressie zorgen in het aanwezige stof en gas in de schijf. Op deze manier zou stervorming kunnen ontstaan. In de buurt van de spiraalarmen zien we dus de aanwezigheid van jonge hete sterren. Wanneer deze sterren nu verouderen zullen ze bewegen volgens hun baan. Tijdens het verouderen van de ster zal de ster minder fel worden en uiteindelijk niet meer zichtbaar zijn. Dit wordt getoond in figuur Op deze manier wordt het probleem van het opwinden van de spiraalarmen vermeden. De spiraalarmen zelf blijven zichtbaar aangezien de golf zich blijft verplaatsen in het vlak van de schijf en de stervorming zich in de buurt van de spiraalarmen blijft voordoen. Aangezien we de spiraalarmen kunnen opvatten als een dichtheidsgolf, kunnen we deze spiraalarmen ook opvatten als storingen van het systeem. Op deze manier kunnen we bijvoorbeeld ook balken opvatten als storingen van het systeem. Aan de hand van spiraalarmen en balken is duidelijk te zien dat we de storingen meestal als roterend en eventueel exponentieel kunnen opvatten. De exponentiële groei kan echter niet blijven doorgaan en zal na een tijd stoppen door allerlei niet lineaire effecten. We kunnen de dichtheid ρ van een sterrenstelsel in verband brengen met de gravitatiepotentiaal Ψ van het sterrenstelsel aan de hand van de vergelijking van Poisson: 2 Ψ = 4π Gρ, (1.9) met G de universele gravitatieconstante.

23 Hoofdstuk 1. Inleiding 16 We kunnen deze dichtheidsgolf dus ook bestuderen aan de hand van de gravitatiepotantiaal. Dit is wat we in deze thesis zullen doen. We zullen een ongestoord gekend systeem veronderstellen. Dit systeem zullen we beschrijven aan de hand van een distributiefunctie die de verdeling van de sterren over alle mogelijke sterbanen van het sterrenstelsel beschrijft. Daarna zal de invloed van een storende potentiaal op deze ongestoorde distributiefunctie berekend worden. De storende potentiaal zal een roterende, exponentieel groeiende storing zijn. We zullen dus eerst op zoek gaan naar een uitdrukking voor de gestoorde distributiefunctie. Deze distributiefunctie moet dan door een computerprogramma berekend worden. Nadien wordt dan aan de hand van de gestoorde distributiefunctie, de gestoorde massadichtheid berekend. Wanneer we de gestoorde massadichtheid opnieuw met de storende potentiaal in verband brengen aan de hand van de vergelijking van Poisson, kunnen we de zelf-consistente storingen opzoeken. Het is in deze thesis niet de bedoeling om de zelf-consistente storingen te zoeken, maar om een programma te schrijven die de distributiefunctie met een redelijk grote nauwkeurigheid kan berekenen. Er zal dus veel aandacht besteed worden aan de controle van het computerprogramma. Nadien zullen we dan de gestoorde massadichtheid behorend bij de geperturbeerde distributiefunctie berekenen.

24 Hoofdstuk 2 Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 2.1 Inleiding Een schijfvormig sterrenstelsel bestaat uit een stellaire component, donkere materie, gas- en stofwolken. De gas- en stofwolken zijn echter minder belangrijk voor de dynamica van het systeem, omdat hun massa verhoudingsgewijs veel lager is dan die van de stellaire component. Zoals we in het vorige hoofdstuk hebben gezien, heeft donkere materie een grote invloed op de dynamica van een sterrenstelsel. We houden hier echter geen rekening met donkere materie, omdat de beweging ervan gebeurt in willekeurig geöriënteerde, excentrische banen waarin moeilijk een gecontroleerde beweging te verkrijgen is. De donkere materie zal zich dus niet blijvend in de schijf bevinden en we zullen er verder geen rekening meer mee houden voor het onderzoeken van de storingen. We zullen immers enkel het effect op de zichtbare stellaire materie onderzoeken. De dynamica van de sterren in de schijf wordt beschreven door de Newtoniaanse mechanica omdat de materie in een sterrenstelsel doorgaans veel trager beweegt dan de lichtsnelheid. Enkel in de omgeving van een zwart gat kunnen relativistische correcties voorkomen, wat hier niet behandeld wordt. De straal r van de invloedssfeer van een zwart gat wordt immers gegeven door: r = GM σ 2, met M de massa van het zwarte gat en σ de snelheidsdispersie van het sterrenstelsel. Deze vergelijking volgt uit de vergelijkingen van Kepler. Typisch is M van de orde M en σ 140 km s zodat r 6.5pc. Aangezien we de schijf bekijken op de orde van enkele tientallen kpc is deze invloedssfeer zeer klein. Er zullen dus weinig sterren invloed van het zwarte gat ondervinden. We zouden de stellaire component van het sterrenstelsel kunnen modelleren door alle Newtoniaanse interacties tussen de sterren te integreren. Men zou zo de interacties van deeltjes moeten berekenen. N-deeltjes berekeningen zijn al veel gebruikt voor de simulatie van sterrenstelsels en zijn zeer belangrijk bij het onderzoek naar het ontstaan, de structuur en de evolutie van sterrenstelsels. Met behulp van numerieke simulatie, kunnen we een willekeurig sterrenstelsel beschrijven, onafhankelijk van de geometrie en kunnen we ook niet-lineair werken. 17 (2.1)

25 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 18 Het nadeel van deze N-deeltjes simulaties is echter dat ze zeer rekenintensief zijn en de berekeningen dus lang duren. Kleine perturbaties zijn moeilijk te bestuderen door het voorkomen van allerlei cumulerende afrondingsfouten tijdens de berekeningen. Sterke tweelichaamsinteracties worden onderdrukt door de deeltjes niet als puntdeeltjes te beschouwen maar ze uit te spreiden over een klein volume. Dit wordt softening genoemd. Hier gebruiken we een andere aanpak. De baan die de sterren beschrijven in een sterrenstelsel wordt bepaald door de gravitationele potentiaal van het sterrenstelsel. Verder maken we gebruik van de statistische fysica die de verdeling van de sterren over de verschillende banen beschrijft aan de hand van een distibutiefunctie. We zullen in dit hoofdstuk enkele belangrijke begrippen introduceren die nodig zijn voor de dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels. In het vorige hoofdtuk hebben we al vermeld dat we storingen in de schijf van het sterrenstelsel willen bestuderen. We zullen daarom een algemeen model voor een sterrenstelsel splitsen in een ongestoord model en een gestoord model. Nadien wordt de invloed van de storing op het ongestoorde model berekent. In dit hoofdtuk worden de ongestoorde modellen, die in het computerprogramma gebruikt worden, besproken. In het volgende hoofdtuk gaan we dan dieper in op de storingen. 2.2 De distributiefunctie Voor de beschrijving van het sterrenstelsel wordt gebruik gemaakt van de statistische fysica. Hierbij is men in de beweging van een individueel deeltje niet geïnteresseerd, enkel in de globale grootheden die betrekking hebben op zeer veel deeltjes. Deze beschrijving vormt geen enkel probleem omdat het licht dat men van een sterrenstelsel ontvangt, de geïntegreerde straling is van duizenden sterren. Het systeem wordt beschreven door een distributiefunctie die afhankelijk is van de plaatscoördinaten, de snelheden en de tijd: f(x,y,z,v x,v y,v z,t). De faseruimte wordt opgespannen door alle ruimtecoordinaten en snelheden. Kiezen we in de faseruimte het punt (x,y,z),(v x,v y,v z ). De verwachtingswaarde van de totale massa aan sterren in een infinitesimaal klein volume van de faseruimte dxdy dz dv x dv y dv z, rond dit punt op het tijdstip t, wordt gegeven door: f(x,y,z,v x,v y,v z,t)dxdydz dv x dv y dv z. (2.2) Men kan dit nu integreren over een gebied in de faseruimte dat groot genoeg is en voldoende sterren bevat zodat statistische fluctuaties te verwaarlozen zijn. De massadichtheid wordt bekomen door te integreren over alle snelheidscoördinaten: ρ(x,y,z,t) = f(x,y,z,v x,v y,v z,t)dv x dv y dv z. (2.3) Indien we de distributiefunctie van de schijfcomponent berekenen, kan men sterke vereenvoudigingen doorvoeren door de schijf tweedimensionaal voor te stellen en het aantal coördinaten verminderen van 6 naar 4. We kunnen dan werken in het equatoriaal vlak en de posities beschrijven aan de hand van de poolcoördinaten (r,θ) en bijhorende snelheden (v r,v θ ). Verder zullen we steeds werken met deze coördinaten.

26 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels De globale potentiaal De sterren, die bewegen in een sterrenstelsel, bewegen onder de invloed van een gravitatiepotentiaal. Deze potentiaal wordt veroorzaakt door de gravitatie-interactie tussen de verschillende elementen die behoren tot het sterrenstelsel. Door het lange-afstands karakter van deze 1 r gravitatie-interactie wordt de beweging van een individuele ster bepaald door het globale gravitatie-effect van de sterren en donkere materie in het 2 systeem. Ze wordt dus ook beïnvloed door de sterren die ver verwijderd zijn. De kans dat een ster sterk beïnvloed wordt door een andere ster in haar onmiddellijke nabijheid is zeer klein. Een sterrenstelsel is immers zeer ijl, zodat de kans dat twee sterren elkaar dicht naderen zeer klein is. Het is belangrijk dat deze binaire interacties verwaarloosd worden, anders zou de kracht die elke ster in het systeem ondervindt niet beschreven kunnen worden door één enkele globale potentiaal Ψ(r,θ,t). We veronderstellen dat de galaxie een zelf-consistent systeem is, zodat de sterren en donkere materie enkel onder invloed van hun eigen aantrekkingskracht bewegen, zonder uitwendige invloeden. We kunnen de sterren in een sterrenstelsels opvatten als puntmassa s. De gravitatiewet van Newton zegt ons dan dat, wanneer een puntmassa M een tweede puntmassa m op een afstand r beïnvloedt, de versnelling a van m gegeven wordt door: ma = GmM r 3 r. We zien dat in deze vergelijking m aan beide kanten voorkomt, zodat we m kunnen schrappen. De versnelling die een ster ondervindt is dus onafhankelijk van zijn massa. Veronderstellen we nu een sterrenstelsel dat N sterren met massa m α (α = 1,2,...,N) bevat, op de posities r α. De versnelling a β van een ster op positie r β wordt dan: (2.4) a β = α Gm α r β r α 3(r β r α ), (2.5) met α β. Stellen we de potentiaal voor door: Ψ(r) = α Gm α r r α, (2.6) dan wordt de verselling a van een ster op positie r gegeven door: a = Ψ(r). (2.7) Indien we de distributie van de sterren in het sterrenstelsel continu veronderstellen, kunnen we de potentiaal ook schrijven in functie van de massadichtheid ρ(r ): Gρ(r ) Ψ(r) = r r d3 r. (2.8) Hierbij wordt er geïntegreerd over het volume van het sterrenstelsel dat alle andere sterren van het sterrenstelsel bevat.

27 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 20 Laten we nu 2 inwerken op beide leden van de vorige uitdrukking: ( ) 1 2 Ψ(r) = Gρ(r ) 2 r r d 3 r. (2.9) Wanneer nu r r wordt: ( ) 1 r r = r r r r 3, (2.10) en dus: ( ) 1 2 r r = 0. (2.11) Het integrandum in het rechterlid van vergelijking (2.9) is dus 0 buiten een kleine sfeer met straal ǫ en middelpunt gelegen op de positie r. We kunnen nu ǫ klein genoeg kiezen zodat we de massadichtheid binnen de sfeer S ǫ (r) constant kunnen veronderstellen. Vergelijking (2.9) wordt dan: ( ) ( ) Ψ(r) = Gρ(r) 2 S ǫ(r) r r d 3 r = Gρ(r) 2 r S ǫ(r) r r dv. (2.12) Om tot deze uitdrukking te komen werd in de laatste stap gebruik gemaakt van 2 r, om aan te duiden dat we nu afleiden naar r in plaats van naar r. Dit kan omdat de twee afgeleiden hetzelfde resultaat hebben. We kunnen nu de divergentiestelling van Gauss toepassen. Noemen we A S de oppervlakte van de sfeer, dan wordt: ( ) 1 2 Ψ(r) = Gρ(r) r r.ds. (2.13) A S r De integraal wordt nu berekend langs het oppervlak. Het integrandum is eigenlijk het vectorieel product van de uitwendige normaal op het oppervlak van de sfeer met een vector. Deze vector heeft een lengte ǫ en is gericht naar het middelpunt van de sfeer. De integraal is dus gelijk aan 4π. Op deze manier bekomen we de vergelijking van Poisson: 2 Ψ(r) = 4π Gρ(r). (2.14) Deze vergelijking verbindt de potentiaal met de massadichtheid. We zullen nu voor de beschrijving van een sterrenstelsel een bepaalde potentiaal kiezen. Nadien kunnen we dan de corresponderende massadichtheid aan de hand van die potentiaal bepalen. In figuur 2.1 staat de Plummerpotentiaal afgebeeld. Deze potentiaal ziet er als volgt uit: Ψ(r) = GM a 2 + r 2, (2.15) met M de massa van het sterrenstelsel en a een constante met de eenheid van een lengte. Deze potentiaal wordt verder nog regelmatig als voorbeeld gebruikt en wordt in het programma gebruikt om de verschillende sterbanen in een sterrenstelsel te berekenen.

28 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 21 Figuur 2.1: De Plummerpotentiaal met a = 1kpc en M = M. De potentiaal is doorgaans benaderend axisymmetrisch en dus meestal enkel afhankelijk van de radiële coördinaat r. Hierdoor wordt de potentiaal meestal weergegeven door de rotatiecurve. De rotatiecurve geeft voor elke afstand r van het centrum, de snelheid v c van een ster op een cirkelvormige baan. Doordat de gravitatiekracht gelijk moet zijn aan de centrifugaalkracht, krijgen we dat: v 2 r = Ψ, en dus dat: v c = r Ψ r. (2.16) (2.17) De rotatiecurve corresponderend met de Plummerpotentiaal wordt getoond door de curve in figuur 2.2. We zien hierin twee delen: Dicht bij het centrum is er een zeer snel stijgend stuk. Deze stijging is meestal ongeveer lineair. Dit wijst op een centrale kern van ongeveer homogene dichtheid. Dit kunnen we inzien aan de hand van de vergelijking van Poisson: 1 r r ( r Ψ r met ρ constant. ) = 4πGρ, (2.18) We kunnen deze vergelijking integreren met als randvoorwaarde dat de snelheid in de oorsprong 0 is. We krijgen dan dat: v c = r Ψ r = r 2πGρ. (2.19) Verder van het centrum zien we een Kepleriaanse daling zoals besproken in het vorige hoofdstuk. Dit wijst erop dat er bij de Plummerpotentiaal geen rekening gehouden wordt met de aanwezigheid van donkere materie.

29 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 22 Figuur 2.2: De rotatiecurve voor de potentiaal uit het voorbeeld. 2.4 De transportvergelijking Het is belangrijk om de evolutie van de distributiefunctie in de tijd te kennen. De distributiefunctie beschrijft de verdeling van de sterren op alle mogelijke sterbanen in een sterrenstelsel. We kunnen dus de evolutie van de distributiefunctie berekenen door de sterren te volgen op hun banen. Onderstel dat we op t 0 de distributiefunctie f(r 0,v 0,t 0 ) kennen. De distributiefunctie op het tijdstip t ontstaat dan door f(r 0,v 0,t 0 ) te onderwerpen aan een transformatie, die elk punt (r 0,v 0 ) afbeeldt op het punt dat ontstaat door de sterbaan die op t 0 door (r 0,v 0 ) gaat gedurende een tijd t t 0 te volgen. Dit is precies wat de sterren gedurende die tijd gedaan hebben. Stellen we deze transformatie voor door (r(t;r 0,v 0,t 0 ),v(t;r 0,v 0,t 0 ),t). Omdat de distibutiefunctie een differentiële grootheid is moeten we vermenigvuldigen met de Jacobiaan J van deze transformatie. De transformatie is echter canonisch omdat ze ontstaat als oplossing van een Hamiltoniaans stelsel. De stelling van Liouville leert ons dan dat de transformatie volumebehoudend is en dus dat J = 1. We krijgen dan dat: f(r(t;r 0,v 0,t 0 ),v(t;r 0,v 0,t 0 ),t) = f(r 0,v 0,t 0 ). (2.20) Als we nu deze laatste betrekking naar de tijd afleiden bekomen we: r f(r(t),v(t),t). dr dt (t) + vf(r(t),v(t),t). dv f (t) + (r(t),v(t),t) = 0. (2.21) dt t Uit de vergelijking van Newton weten we dat r = r Ψ. Verder moet de bovenstaande identiteit voldaan zijn ongeacht de keuze van de baan en het tijdstip, zodat moet gelden: r f(r,v,t).v v f(r,v,t). r Ψ(r,t) + f (r,v,t) = 0. (2.22) t Dit is de botsingsloze transportvergelijking van Boltzmann.

30 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 23 Deze vergelijking vervangt de bewegingsvergelijking voor individuele deeltjes in het geval van een continuüm. Belangrijk om tot deze gedaante te komen, is dat de binaire interacties tussen de deeltjes onderling verwaarloosd werden. Moest men dit niet doen, dan zou de kracht die de ster ondervindt niet meer af te leiden zijn van één enkele potentiaal. We kunnen deze transportvergelijking nu anders schrijven met het Hamiltonformalisme. De hamiltoniaan wordt gegeven door: H Ψ = v 2 + Ψ(r,t). (2.23) 2 Als we nu een soort van Poisson-haakje definiëren als: wordt: [f,g] = r f v g v f r g, (2.24) [f,h Ψ ] = r f v v f r Ψ. (2.25) We bekomen dan voor uitdrukking (2.22) dat: f t + [f,h Ψ] = 0. (2.26) Verder zullen we werken met de bindingsenergie in plaats van de potentiaal. Deze bindingsenergie is voor een gebonden systeem intrinsiek positief. De bindingspotentiaal en de bindings-hamiltoniaan worden dus: V (r,t) = Ψ(r,t), (2.27) H = H Ψ = V (r,t) 1 2 v 2. (2.28) De corresponderende Boltzmann vergelijking wordt dan: f t [f,h] = 0. (2.29) 2.5 Storingen in schijfvormige sterrenstelsels Doordat we een schijfvormig sterrenstelsel bestuderen, is het logisch de pool-coördinaten (r,θ,v r,v θ ) te gebruiken. Verder splitsen we de potentiaal en de distributiefunctie op in twee stukken: De ongestoorde component. De bijhorende distributiefunctie en potentiaal worden tijdsonafhankelijk en axisymmetrisch verondersteld en worden genoteerd als: f 0 (r,v r,v θ ) en V 0 (r). (2.30) De storing. Deze component is in het algemeen tijdsafhankelijk en niet axisymmetrisch. De distributiefunctie en de potentiaal worden genoteerd als: f (r,θ,v r,v θ,t) en V (r,θ,t). (2.31) Samengevat krijgen we dus dat: f(r,θ,v r,v θ,t) = f 0 (r,v r,v θ ) + f (r,θ,v r,v θ,t), (2.32) H = V 0 (r) + V (r,θ,t) 1 2 v 2 = H 0 + V (r,θ,t). (2.33)

31 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels De ongestoorde component De ongestoorde potentiaal V 0 wordt veroorzaakt door sterren in de ongestoorde schijfcomponent maar ook door alle andere componenten van het sterrenstelsel die niet aan de storing deelnemen. Zo beinvloedt ook donkere materie de potentiaal, aangezien het bestaan van donkere materie noodzakelijk is voor het verklaren van de vorm van een rotatiecurve. Donkere materie speelt echter niet mee bij het onderzoek van de storingen die zich voordoen in het vlak van de schijf, zoals al vroeger vermeld werd. Bij een storingsanalyse veronderstelt men de ongestoorde componenten als een gegeven van het vraagstuk. De stelling van Jeans leert ons dat de functionele afhankelijkheid van de ongestoorde distributiefunctie kan gaan via isolerende constanten van de beweging voor de bijhorende potentiaal. In het geval van een schijfvormig sterrenstelsel met een axisymmetrische, tijdsonafhankelijke potentiaal zijn er twee onafhankelijke constanten van de beweging, de energie E en het draaimoment J, gedefinieerd door: E = V 0 (r) 1 2 (v2 r + vθ 2 ), (2.34) J = rv θ. (2.35) De ongestoorde distributiefunctie noteren we dan als: f 0 (r,v r,v θ ) = f 0 (E(r,v r,v θ ),J(r,v θ )). (2.36) Er wordt voor beide functies dezelfde notatie f 0 gebruikt omdat geen verwarring mogelijk is aangezien het verschillend aantal argumenten De ongestoorde distributiefunctie In het programma is gebruik gemaakt van een ongestoorde distributiefunctie van de vorm: f 0 (E,J) = J a (E E 0 ) b, (2.37) met a en b constanten, J het draaimoment en E de bindingsenergie. De constante E 0 wordt bepaald door voor het sterrenstelsel een eindige maximale straal te veronderstellen. E 0 is dan de bindingsenergie op die plaats. Deze distributiefunctie is gedefinieerd voor E > E 0 en J > 0. Hierbuiten is de distributiefunctie identisch nul. In figuur 2.3 worden enkele distributiefunctie s getoond. Alle distribuitiefunctie s hebben een maximale straal van 5kpc. We hebben in deze figuren de waarde van de distributiefunctie herschaald door ze te delen door een constante factor. We willen immers de gestoorde distributiefunctie onderzoeken die evenredig is met de ongestoorde distributiefunctie. De exacte waarde van de distributiefunctie is dan niet nodig, aangezien we enkel geïnteresseerd zijn in waar sterren verdwijnen en waar er bij komen. Op de horizontale as is de straal van het pericentrum afgebeeld en op de vertikale as de straal van het apocentrum. Deze variëren beide van 0kpc tot 5kpc. De figuren geven dus de verdeling van de sterren over de mogelijke banen weer. Als de distributiefunctie afhankelijk is van het draaimoment gaan er geen sterren door de oorsprong en zitten we met een gat in het centrum.

32 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 25 Figuur 2.3: Enkele ongestoorde distributiefuncties van de vorm J a (E E 0 ) b.

33 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels De ongestoorde momenten Eenmaal de ongestoorde distributiefunctie f 0 (r,v r,v θ ) gekend is, kunnen we de ongestoorde momenten µ 2i,j berekenen. Deze momenten zijn gedefinieerd als: µ 2i,j (r) = f 0 (r,v r,v θ )vr 2i v j θ dv rdv θ. (2.38) Hierin zijn i en j positieve gehele getallen en er wordt geïntegreerd over alle mogelijke snelheden. Zo is bijvoorbeeld: µ 0,0 (r) = ρ(r), µ 0,1 (r) = ρ(r) < v θ >, µ 2,0 (r) = ρ(r) < v 2 r >, µ 0,2 (r) = ρ(r) < v 2 θ >. We gebruiken steeds 2i aangezien de oneven waarden 0 zijn. We hebben immers voor alle positieve waarden van v r een tegengestelde negatieve waarde zodat deze elkaar opheffen. We kunnen de ongestoorde momenten ook schrijven in functie van de energie en de tangentiële snelheid. We weten dat: v r = ± 2(V (r) E) vθ 2. (2.39) Kiezen we dan de positieve vierkantswortel, dan wordt: 1 0 dv r dv θ = 2(V (r) E) v 2 θ v θ 1 2(V (r) E) v 2 θ dedv θ = [ 2(V (r) E) vθ 2 ]1 2 dedv θ. (2.40) We kunnen nu de integraal berekenen met v r > 0, maar we moeten dan de integraal vermenigvuldigen met een factor 2. Het geval dat v r < 0 geeft immers dezelfde bijdrage. De ongestoorde momenten worden dan: E0 µ 2i,j (r) = 2r a (E E 0 ) b 2(V (r) E) de Stellen we nu: t = V (r) v 2 θ 2(V (r) E) zodat dv θ = de momenten worden dan: µ 2i,j (r) = r a E0 V (r) 0 v a+j θ [ 2(V (r) E) v 2 θ ] i 1 2 dv θ. (2.41) V (r) E 2(V (r) E)t dt, (2.42) (E E 0 ) b [2(V (r) E)] 2i+a+j 2 de 1 0 (1 t) i 1 a+j 1 2 t 2 dt. (2.43)

34 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 27 We kunnen nu de β(x,y)-functie en de Γ(x)-functie definiëren als: β(x,y) = Γ(y) = t x 1 (1 t) y 1 dt = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y), (2.44) e x x y 1 dx. (2.45) Wanneer we deze functies gebruiken voor de momenten, krijgen we dat: µ 2i,j (r) = r aγ(a+j+1 2 )Γ( 2i+1 2 ) E0 Γ( 2i+a+j+2 (E E 0 ) b [2(V (r) E)] 2i+a+j 2 de. (2.46) 2 ) V (r) Wanneer we nu de integratiegrenzen omwisselen en E = E E 0 stellen,wordt dit: µ 2i,j (r) = r aγ(a+j+1 2 )Γ( 2i+1 2 ) Γ( 2i+a+j+2 2 ) Stellen we nu: t = dan wordt: V (r) E0 0 (E ) b [2(V (r) E E 0 )] 2i+a+j 2 de. (2.47) E V (r) E 0 zodat de = (V (r) E 0 )dt, (2.48) µ 2i,j (r) = r a 2 2i+a+j 2 Γ( a+j+1 2 )Γ( 2i+1 Γ( 2i+a+j+2 2 ) 2 ) = r a 2 2i+a+j 2 (V (r) E 0 ) 2i+a+j+2b+2 2 (V (r) E 0 ) 2i+a+j+2b+2 2 Γ( a+j+1 2 )Γ( 2i Γ( 2i+a+j+2b+4 2 ) (t) b (1 t) 2i+a+j 2 dt )Γ(b + 1). (2.49) We hebben dus een analytische uitdrukking die de ongestoorde momenten berekent. De momenten zijn omwille van het tijdsonafhankelijke en axiaalsymmetrische karakter van de ongestoorde potentiaal onafhankelijk van de tangentiële coördinaat. In figuur 2.4 worden de ongestoorde massadichtheden getoond die behoren bij de ongestoorde distributiefuncties van figuur 2.3. We hebben geen gebruik gemaakt van eenheden omdat we enkel in de vorm van de massadichtheid geïnteresseerd zijn. We zien duidelijk dat wanneer de distributiefunctie sterker afhankelijk is van de energie, de massa zich dicht bij het centrum van het sterrenstelsel bevindt. Wanneer de distributiefunctie sterker afhankelijk wordt van het draaimoment, schuift de massa verder van het centrum weg. We kunnen aan de hand van µ 0,1 (r) de gemiddelde tangentiële snelheid < v θ > berekenen: < v θ >= µ 0,1 µ 0,0. (2.50) Dit wordt, opnieuw voor de distributiefuncties uit figuur 2.3, weergegeven in figuur 2.5. Hierop zien we dat als de distributiefunctie sterker afhankelijk wordt van de energie, de gemiddelde snelheid daalt. Wanneer de distributiefunctie sterker afhankelijk wordt van het draaimoment, stijgt de gemiddelde snelheid.

35 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 28 Figuur 2.4: Massadichtheden, behorend bij de ongestoorde distributiefuncties uit figuur 2.3, in functie van de afstand tot het centrum. We kunnen ook de snelheidsdispersies berekenen. Aangezien de gemiddelde waarde van de radiële snelheid < v r >= 0, vinden we voor de radiële snelheidsdispersie σ r dat: σ 2 r =< v2 r < v r > 2 >=< v 2 r >= µ 2,0 µ 0,0. (2.51) Voor de tangentiële snelheidsdispersie σ θ vinden we dat: σθ 2 =< v2 θ < v θ > 2 >=< vθ 2 > < v θ > 2 = µ 0,2 µ2 0,1. (2.52) µ 0,0 µ 2 0,0

36 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 29 Figuur 2.5: Gemiddelde tangentiële snelheid, behorend bij de ongestoorde distributiefuncties uit figuur 2.3, in functie van de afstand tot het centrum. We hebben de snelheidsdispersies weergegeven in figuur 2.6. Deze snelheidsdispersies behoren bij de distributiefuncties uit figuur 2.3. We zien dat de snelheidsdispersie daalt wanneer de distributiefunctie sterker afhankelijk wordt van de energie of het draaimoment.

37 Hoofdstuk 2. Dynamische modellering van schijfvormige sterrenstelsels 30 Figuur 2.6: Gemiddelde snelheidsdispersies, behorend bij de ongestoorde distributiefuncties uit figuur 2.3, in functie van de afstand tot het centrum. Lichtblauw is de radiële snelheidsdispersie σ r, donkerblauw de tangentiële snelheidsdispersie σ θ.

38 Hoofdstuk 3 De geperturbeerde distributiefunctie 3.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk hebben we de distributiefunctie en de Hamiltoniaan voor een sterrenstelsel gesplitst in een ongestoorde en een storende component: f(r,θ,v r,v θ,t) = f 0 (r,v r,v θ ) + f (r,θ,v r,v θ,t), (3.1) H = V 0 (r) + V (r,θ,t) 1 2 v 2 = H 0 + V (r,θ,t). (3.2) We zullen in dit hoofdstuk de storingen bestuderen aan de hand van de Boltzmannvergelijking: f t [f,h] = 0. (3.3) De storingen worden klein verondersteld ten opzichte van de ongestoorde component. We zullen dus de Boltzmannvergelijking lineariseren. We gaan uit van uniform roterende en eventueel exponentieel groeiende storingen. De storende potentiaal kan dan geschreven worden als: V (r,θ,t) = R[V (r)e i(mθ ωt) ]. (3.4) Hierin is m het symmetriegetal van de storing, R(ω) m de rotatiesnelheid en I(ω) de groeisnelheid. Het symmetriegetal werd al kort besproken in Hoofdstuk 1. Zo is voor axiaalsymmetrische sterrenstelsels m = 0, voor éénarmige spiralen is m = 1 en voor twee-armige spiralen is m = 2. De storingen zijn consistent met de Poissonvergelijking: [ ( 1 2 V (r,θ,t) = r V ) ] (r) m2 r r r r 2 V (r) e i(mθ ωt) = 4πGρ (r)e i(mθ ωt). (3.5) De gestoorde massadichtheid en distributiefunctie hebben dezelfde θ en t afhankelijkheid. Verder in het hoofdstuk werken we met de complexe waarden. De vergelijkingen die we gebruiken zijn lineair zodat dit geen enkel probleem vormt. Op het einde nemen we dan enkel het reëele deel. 31

39 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 32 Bij de berekeningen in de rest van het hoofdstuk worden er enkele veronderstellingen gemaakt. De eerste is dat de ongestoorde schijven een eindige uitgestrektheid hebben en dus de straal maximaal tot r max gaat. Dit is,fysisch gezien, geen probleem aangezien een sterrenstelsel zich niet oneindig ver kan uitstrekken. Verder veronderstellen we ook dat de potentiaal eindig is in het centrum van het systeem. Ook dit is fysisch aanvaardbaar indien we geen rekening houden met een zwart gat in het centrum van het systeem. Ook al zou er een zwart gat in het centrum liggen, het aantal sterren dat hier invloed van ondervindt is zo gering dat we het kunnen verwaarlozen. De gemaakte veronderstellingen vereenvoudigen de nodige berekeningen in dit hoofdstuk aanzienlijk. 3.2 De storing De gestoorde potentiaal V wordt veroorzaakt door de sterren die beschreven worden door de gestoorde distributiefunctie. De gestoorde massadichtheid is: ρ (r,θ,t) = f (r,θ,v r,v θ,t)dv r dv θ. (3.6) Met deze massadichtheid komt een potentiaal overeen, waarbij het verband gegeven wordt door de Poisson vergelijking: 2 V (r,θ,t) = 4πGρ (r,θ,t). (3.7) Wanneer de storing in de schijf veroorzaakt wordt door een externe kracht (bv. het voorbijkomen van een naburig sterrenstelsel), dan moet er in het rechterlid van de bovenstaande vergelijking een extra term bijgevoegd worden zodat de externe potentiaal gezien wordt als een deel van de storing. Wanneer we nu (3.1) en (3.2) invullen in (3.3) bekomen we: f 0 t [f 0,H 0 ] + f t [ f,h 0 ] [ f0,v ] [ f,v ] = 0. (3.8) De eerste twee termen in de bovenstaande vergelijking vallen weg omdat dit de transportvergelijking voor de ongestoorde component is. We bekomen dan het volgende: f t [ f,h 0 ] = [ f0,v ] + [ f,v ]. (3.9) Deze partiële differentiaalvergelijking bepaalt f in functie van V op een niet-lineaire manier. Als we nu echter veronderstellen dat de storing zeer klein is ten opzichte van de ongestoorde distributiefunctie dan kunnen we kwadratische termen verwaarlozen ten opzichte van de lineaire termen en verkrijgen we de gelineariseerde Boltzmannvergelijking: f t [ f,h 0 ] = [ f0,v ]. (3.10) We zullen later, tijdens de controle van het computerprogramma, controleren of deze linearisatie toegepast kan worden.

40 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 33 We kunnen deze laatste vergelijking nu interpreteren in termen van de sterbeweging. Het linkerlid is de totale tijdsafgeleide van f genomen langs een ongeperturbeerde sterbaan. Als we dus de waarde van f op een tijdstip t 0 in het punt (r 0,θ 0,v r0,v θ0 ) willen bepalen, moeten we de bovenstaande vergelijking integreren vanaf het moment dat de storing ontstaan is, tot op het tijdstip t 0. Dit moet gebeuren langs een sterbaan die op het moment t 0 precies door het punt (r 0,θ 0,v r0,v θ0 ) gaat. Veronderstellen we nu een sterbaan: r(t;r 0,v 0,t 0 ), v(t;r 0,v 0,t 0 ), (3.11) met beginvoorwaarden: r(t 0 ;r 0,v 0,t 0 ) = r 0, v(t 0 ;r 0,v 0,t 0 ) = v 0. (3.12) De gestoorde distributiefunctie wordt dan gegeven door: f (r 0,v 0,t 0 ) = t0 [ f0 (r(t;r 0,v 0,t 0 ),v(t;r 0,v 0,t 0 )),V (r(t;r 0,v 0,t 0 ),t) ] dt. (3.13) Als deze integraal convergeert (wat het geval zal zijn als storing voldoende snel groeit in de tijd), kunnen we de gestoorde distributiefunctie bepalen in functie van de ongeperturbeerde sterbanen. 3.3 De geperturbeerde distributiefunctie We proberen nu een analytische uitdrukking voor de geperturbeerde distributiefunctie op te stellen. Op deze manier kunnen we dan de invloed van de storende potentiaal op de ongestoorde distributiefunctie onderzoeken. We hernemen terug vergelijking (3.10) en noteren we de hamiltoniaan met E: f t [ f,e ] = [ f 0,V ]. (3.14) Omdat de potentiaal onafhankelijk is van de snelheid, kunnen we het rechterlid van de vergelijking schrijven als: v f 0 r V. (3.15) We weten al dat we de ongestoorde evenwichtsdistributiefunctie kunnen uitdrukken in functie van 2 constanten van de beweging: de bindingsenergie E en het draaimoment J E = V 0 (r) 1 2 (v2 r + v2 θ ), (3.16) J = rv θ. (3.17) Wanneer we hier mee rekening houden, kunnen we (3.15) schrijven als: ( f0 E ve + f ) 0 J vj r V. (3.18)

41 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 34 Als we verder nog rekening houden met de volgende twee gelijkheden: v E = v, v J r V = V (3.19) θ, (3.20) bekomen we de volgende uitdukking van het rechterlid: f 0 E v rv f 0 V J θ. (3.21) Nemen we de totale tijdsafgeleide van de geperturbeerde potentiaal: dv V (r,t) = dt t (r,t) + rv (r,t) dr (t), (3.22) dt zien we dat r V v = dv dt V Uitdrukking (3.21) wordt dan: t. (3.23) f 0 dv E dt f 0 V E t f 0 V J θ. (3.24) Als we tenslotte rekening houden met de algemene vorm voor de gestoorde potentiaal (3.4), krijgen we dat: f t [ f,e ] = f 0 dv ( E dt + i ω f ) 0 E m f 0 V. (3.25) J De operator die op f inwerkt, in het linkerlid van bovenstaande uitdrukking, is eigenlijk een totale tijdsafgeleide langsheen banen in de ongestoorde potentiaal. Als we die vergelijking naar de tijd integreren langs een ongestoorde baan krijgen we dus de volgende oplossing voor de geperturbeerde distributiefunctie: f (r 0,v 0 ;t 0 ) = f 0 E V (r 0 ;t 0 ) + i ( ω f ) t0 0 E m f 0 V (r)e i(mθ ωt) dt. (3.26) J Deze integraal wordt berekend langs een ongestoorde baan die op het moment t 0 door het punt (r 0,θ 0,v r0,v θ0 ) gaat. Deze uitdrukking is enkel zinnig als de storing nul was op het moment t = en dus groeiend is in de loop van de tijd. Als de storing zou afnemen in de loop van de tijd, kunnen we een analoge integraal opstellen, maar met de grenzen t 0 en +. Voeren we nu in de integraal de substitutie t = t 0 + t en θ = θ 0 + θ door, en vervangen we nadien t en θ opnieuw door t en θ, dan bekomen we: f (r 0,v 0 ;t 0 ) = f 0 E V (r 0 ;t 0 ) + ie i(mθ 0 ωt 0 ) ( ω f ) 0 0 E m f 0 V (r)e i(mθ ωt) dt. (3.27) J Nu wordt de integraal berekend langs een ongestoorde sterbaan, die op t = 0 door het punt (r 0, 0, v r0, v θ0 ) gaat.

42 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie Keuze van de baanparameters De integraal (3.27) wordt berekend langs een ongestoorde sterbaan. De baanstructuur is echter gekend omdat de ongestoorde potentiaal V 0 axisymmetrisch is en omdat we enkel geïnteresseerd zijn in banen die gelegen zijn in het symmetrievlak. We hebben een centrale kracht. Door de wet van behoud van draaimoment, weten we dat de radiële coördinaat r van de ongestoorde sterbaan zich gedraagt zoals een eendimensionaal deeltje dat beweegt in de effectieve potentiaal van de vorm: V eff (r) = V 0 (r) J2 2r2. (3.28) We kunnen dit gemakkelijk inzien aan de hand van de radiële component van de bewegingsvergelijkingen in poolcoördinaten: r r θ 2 = V 0 r. (3.29) We weten dat het draaimoment J constant is en gelijk aan r 2 θ. Als we dit in de laatste uitdrukking invullen, krijgen we: r = V 0 r + J2 r 3. Hierin zien we gemakkelijk de vorm van de effectieve potentiaal voor de radiële coördinaat. (3.30) Als we de laatste vergelijking vermenigvuldigen met de radiële snelheid en dan integreren over de tijd krijgen we dat: ( rṙ dt = ṙ2 2 = dv0 (r) + )ṙ J2 dt r 3 dt = V 0 (r) J2 E. (3.31) 2r2 In deze laatste vergelijking staat E voor de bindingsenergie. De radiële snelheid is gelijk aan: ( ) ṙ = ± 2 V 0 (r) J2 2r 2 E. (3.32) We hebben enkel een reële radiële snelheid wanneer: E V eff (r). (3.33) Wanneer we de effectieve potentiaal uitzetten in functie van r kunnen we de punten, waar de radiële snelheid gelijk wordt aan nul, grafisch bepalen door een horizontale lijn te trekken bij de energie en de snijpunten met de effectieve potentiaal te zoeken (zie figuur 3.1). De snijpunten worden keerpunten genoemd. Het pericentrum r is de plaats op de baan die het dichtst gelegen is bij het centrum. Het apocentrum r + is de plaats op de baan die het verst verwijdert is van het centrum. Aangezien de potentiaal moet voldoen aan voorwaarde (3.33) is er enkel beweging mogelijk op het lijnstuk tussen de keerpunten. De keerpunten bepalen twee cirkels waartussen de baan moet liggen. Wanneer de keerpunten samenvallen, hebben we een cirkelvormige baan.

43 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 36 Figuur 3.1: Bepalen van de keerpunten voor de Plummerpotentiaal met J = 400kpc. km s E = km2 s. 2 en We kunnen dus evengoed de ongestoorde banen beschrijven met de keerpunten in plaats van te werken met de energie en het draaimoment. We nemen r + steeds positief en r geven we hetzelfde teken als het draaimoment. Er geldt dat r + r. We kunnen de keerpunten bepalen aan de hand van: E = V 0 (r) J2 2r 2. (3.34) Als de energie en het draaimoment gekend zijn, kunnen de wortels van vergelijking (3.34) numeriek opgelost worden. Dit wordt gedaan door eerst te zoeken naar het minimale punt van de effectieve potentiaal. Daarna wordt, in beide intervallen rond het minimale punt, gezocht naar het snijpunt van de energie en de effectieve potentiaal. Anderzijds kunnen we de energie en het draaimoment uit r + en r berekenen. Door het behoud van energie en draaimoment weten dat: V 0 (r + ) J2 2r+ 2 = V 0 (r ) J2 2r 2, (3.35) [V 0 (r + ) E] r+ 2 = [V 0 (r ) E]r. 2 (3.36) Zo krijgen we voor het draaimoment en de energie dat: J = V 0 (r + ) V 0 (r ) 2r + r r 2, (3.37) r2 + E = r2 + V 0(r + ) r 2 V 0(r ) r+ 2. (3.38) r2

44 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 37 We kunnen nu dus aan de hand van de beginvoorwaarden, de energie en het draaimoment berekenen. Hieruit berekenen we dan r en r +. Laten we nu een ster vanuit het apocentrum vertrekken naar het pericentrum. In dit geval hebben we een negatieve radiële snelheid en is de tijd T 1 die nodig is om van het apocentrum naar het pericentrum te gaan gelijk aan: T 1 = r r + r r 2(V0 (r) E)r 2 J dr = r dr. (3.39) 2 (r+ r)(r r ) Deze oneigenlijke integraal is begrensd aangezien r + en r enkelvoudige polen zijn van de te integreren functie. Voor de omgekeerde beweging krijgen we analoog dat: T 2 = r+ r r + r 2(V0 (r) E)r 2 J 2 dr = T 1. (3.40) Na een tijd T = 2T 1 heeft de ster opnieuw dezelfde radiële coördinaat met dezelfde beginvoorwaarden. De radiële coördinaat is dus periodiek met periode T. Wanneer we te maken hebben met een cirkelvormige baan, is het snijpunt van de energie met de effectieve potentiaal gelegen in het maximum van de effectieve potentiaal. Als we de bindingsenergie dan iets laten afnemen blijft de ster in de buurt van het punt bewegen, wat wijst op een stabiel punt. Wanneer het draaimoment gelijk is aan nul, valt het maximum van de effectieve potentiaal in de oorsprong. We hebben dan een baan waarvoor r = 0. We hebben dan een rechtlijnige baan door de oorsprong. 3.5 Fourier-ontwikkeling langs ongestoorde banen De radiële coördinaat r is een periodieke functie van de tijd met periode T en met een hoeksnelheid ω r = 2π T. Ook v r is een periodieke functie van de tijd, aangezien ze de afgeleide naar de tijd is van r. Omdat v θ = J r, is ook v θ periodiek. Allemaal hebben ze dezelfde hoeksnelheid ω r. We kunnen ook θ anders schrijven. θ is ook periodiek met hoeksnelheid ωr omdat θ = v θ r, maar de gemiddelde waarde van θ over een volledige periode is niet noodzakelijk nul. θ zal dus bestaan uit een periodiek stuk gecombineerd met een zekere driftsnelheid: θ = ω θ t + θ p (t). (3.41) Hierin is θ p een periodieke functie met hoeksnelheid ω r en ω θ is de gemiddelde waarde van θ over een periode. We kunnen nu al deze baanparameters ontwikkelen in Fourier-reeksen door gebruik te maken van de periodiciteit. We herschrijven nu eerst de volgende integraal: 0 V (r)e i(mθ ωt) dt. (3.42) Eerst splitsen we in de integraal het gedeelte dat periodisch is in ω r af van de rest: 0 I(t)e i(mω θ ω)t dt. (3.43)

45 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 38 Hierin is I(t) het periodische deel en is gelijk aan: I(t) = V (r(t))e imθp(t). (3.44) Omdat we de integraal nu moeten uitrekenen langs de ongestoorde baan kunnen we ze ontwikkelen in een Fourier-reeks: I(t) = I l e ilωrt. (3.45) Hierin is: I l = 1 T l= T 0 I(t)e ilωrt dt. (3.46) Als we nu deze Fourier-ontwikkeling in de integraal (3.43) invullen verkrijgen we: I l i lω r + mω θ ω. (3.47) l= De voorwaarde voor de integraal was dat de storing groeit in de tijd, wat betekent dat I(ω) > 0. Zelfs voor stationaire storingen is deze oplossing eindig, behalve wanneer: R(ω) = lω r + mω θ. (3.48) Als dit voldaan is, zijn de natuurlijke frequenties van de sterbaan in resonantie met de rotatiesnelheid van de storing. De sterbaan zal dan, voor een waarnemer in een assenstelsel dat mee roteert met de storing, een gesloten figuur zijn. De rotatiesnelheid ω w van de waarnemer is dan: ω w = l m ω r + ω θ. (3.49) Na m rotaties van de storing zal de ster opnieuw op dezelfde plaats terechtkomen in de storende potentiaal. Het eerste deel uit het rechterlid van vergelijking (3.27) kunnen we ook schrijven als: of: f 0 E V (r 0,t 0 ) = f 0 E ei(mθ 0 ωt 0 ) f 0 E V (r 0,t 0 ) = f 0 E ei(mθ 0 ωt 0 ) 0 l= d[i(t)e i(mω θ ω)t ], (3.50) I l. (3.51) Als we dit en (3.47) invullen in (3.27) invullen, krijgen we de volgende uitdrukking voor de gestoorde distributiefunctie: f (r 0,v 0 ;t 0 ) = e i(mθ 0 ωt 0 ) (lω r + mω θ ) f 0 E I m f 0 J l. (3.52) lω r + mω θ ω l= De gestoorde distributiefunctie heeft in het lineaire regime dezelfde harmonische tijds- en hoeksafhankelijkheid als de storende potentiaal. We kunnen nu de gestoorde distributiefunctie in elk punt van de faseruimte berekenen, voor een willekeurige potentiaal. We moeten hiervoor wel de ongestoorde baan berekenen. Uit deze ongestoorde baan kunnen we dan de radiële hoeksnelheid ω r, de azimutale hoeksnelheid ω θ en de Fourier-coëfficiënten I l berekenen.

46 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie Baanbeschrijving aan de hand van de keerpunten Aan de hand van de keerpunten kunnen we de structuur van de sterbaan bepalen. Ze geven echter geen informatie over de positie van de ster op een bepaald tijdstip of over de oriëntatie van de baan in het vlak van de schijf. We kunnen deze enkel weten door op een bepaald tijdstip ook de ruimtelijke coördinaten van de ster te kennen. Als we de Fourier-coëfficiënten willen bepalen die behoren bij een ongestoorde sterbaan, gekarakteriseerd door (r +,r ), moeten we een keuze maken voor de beschrijving van de sterbaan. Stel dat we de sterbaan beschrijven als een baan waarvoor geldt dat ze op t = 0 door r = r + en θ = 0 gaat en dat we de gestoorde distributiefunctie willen bepalen in het punt p 0 = (r 0,0,v r0,v θ0 ). We stellen in dit punt t = 0 en θ = 0 omdat de harmonische hoeks- en tijdsafhankelijkheid al gekend is. Uit deze beginvoorwaarden kunnen we dan (r +,r ) bepalen en de Fourier-coëfficiënten van een bijbehorende sterbaan. Deze sterbaan heeft echter meestal een andere oriëntatie en tijdsreferentie dan de sterbaan die door het punt p 0 gaat. Stellen we de berekende sterbaan voor als r F (t), θ F (t), v rf (t), v θf (t). We zien gemakkelijk in dat de parameters van de werkelijke baan in de tijd getransleerd zijn: (r,v r,v θ )(t) = (r F,v rf,v θf )(t + t F (r 0 )). (3.53) De hoek kunnen we dan als volgt berekenen: θ(t) = θ F (t + t F (r 0 )) θ F (r 0 ). (3.54) Aangezien de hoek die berekend wordt kan opgesplitst worden in een periodiek deel en een lineair deel krijgen we dat: en dus: θ(t) = ω θ t + ω θ t F (r 0 ) + θ P,F (t + t F (r 0 )) θ F (r 0 ) = ω θ t + θ P,F (t + t F (r 0 )) θ P,F (r 0 ), (3.55) θ P (t) = θ P,F (t + t F (r 0 )) θ P,F (r 0 ). (3.56) De baan zal dus op het moment t = 0 door het punt (r 0,0,v r0,v θ0 ). Wanneer we nu tenslotte de uitdrukking voor θ(t) invullen in de integraal in vergelijking (3.27), krijgen we dat: 0 V (r)e i(mθ ωt) dt = 0 V (r(t+t F (r 0 )))e i(mω θ ω)t e imθ P,F (t+t F (r 0 )) e imθ P,F (r 0 ) dt. (3.57) We kunnen nu net zoals in paragraaf (3.4) weer ontwikkelen in een Fourier-reeks. De integraal wordt nu in dit geval: of: 0 l= I(t + t F (r 0 ))e i(mω θ ω)t e imθ P,F (r 0 ) dt, (3.58) 0 I l e i(lωr+mωθ ω).t e lωrt F (r 0 ) mθ P,F (r 0 ) dt. (3.59)

47 Hoofdstuk 3. De geperturbeerde distributiefunctie 40 We krijgen dan de volgende uitdrukking voor de geperturbeerde distributiefunctie: f (r 0,v 0 ;t 0 ) = e i(mθ 0 ωt 0 ) l= (lω r + mω θ ) f 0 E I m f 0 J l e i(lωrt F (r 0 ) mθ P,F (r 0 )). (3.60) lω r + mω θ ω We moeten dus bij het berekenen van de ongestoorde baan ook de waarden van t F (r) en θ P,F (r) berekenen. Deze functies zijn echter tweewaardig omdat r twee keer dezelfde waarde bereikt gedurende een periode. We kunnen dit probleem oplossen door rekening te houden met het teken van v r. Ook moeten we opletten omdat de functie s voor r + en r een oneindige afgeleide hebben in de omgeving van de keerpunten. Voor deze punten gebruikt men dan beter t F (v r ) en θ P,F (v r ).

48 Hoofdstuk 4 Implementatie en controlepunten 4.1 Inleiding In het vorige hoofdstuk hebben we een uitdrukking voor de geperturbeerde distributiefunctie berekend: f (r 0,v 0 ;t 0 ) = e i(mθ 0 ωt 0 ) l= (lω r + mω θ ) f 0 E I m f 0 J l e i(lωrt F (r 0 ) mθ P,F (r 0 )). (4.1) lω r + mω θ ω Deze uitdrukking moet nu door een computerprogramma berekend worden. Tijdens de implementatie zullen er steeds een aantal benaderingen ingevoerd worden. Het is dus belangrijk om de numerieke berekeningen regelmatig te controleren. De distributiefunctie wordt berekend via de ongestoorde banen. Deze banen worden berekend door het numeriek integreren van de bewegingsvergelijkingen. We zullen daarom eerst de ongestoorde banen bekijken. Een tweede belangrijk punt is de ontwikkeling in een Fourier-reeks van het periodieke gedeelte van de potentiaal. Hiervoor zullen we eerst het periodieke gedeelte van de hoek bestuderen aan de hand van de epicykeltheorie. Op deze manier krijgen we een idee van het gedrag van de periodieke potentiaal. Bij de ontwikkeling in een Fourier-reeks moet de sommatie eigenlijk over een oneindig aantal termen worden berekend. In het programma gebeurt deze sommatie over een eindig aantal termen zodat het belangrijk is om de correcte periodieke functie te vergelijken met de Fourier-ontwikkeling. Uiteindelijk kunnen we dan ook nog de distributiefunctie zelf controleren. Dit kunnen we doen aan de hand van uitdrukking (3.27): f (r 0,v 0 ;t 0 ) = f ( 0 E V (r 0 ;t 0 ) + ie i(mθ 0 ωt 0 ) ω f ) 0 0 E m f 0 V (r)e i(mθ ωt) dt. (4.2) J De distributiefunctie die op deze manier berekend wordt moet uiteraard een gelijkaardig resultaat opleveren als uitdrukking (4.1). 41

49 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten De ongestoorde banen De ongestoorde banen worden berekend uit de baanvergelijkingen: ṙ(v r ) = v r, v r (r) = dv 0(r) + J2 dr r 3, θ(r) = J r 2. (4.3) (4.4) (4.5) Deze vergelijkingen vormen een stelsel van eerste orde differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden. Ze worden opgelost met behulp van een vierde orde Runge-Kutta methode: k 1 = hf(t n,x n ) k 2 = hf(t n + h 2,x n + k 1 2 ) k 3 = hf(t n + h 2,x n + k 2 2 ) k 4 = hf(t n + h,x n + k 3 ) x n+1 = x n + k k k k O(h5 ). (4.6) Hierin is ẋ = f(t,x). Vanaf de beginvoorwaarden worden de volgende punten van de sterbaan berekend aan de hand van: k 1 = hṙ(v ri ) k 2 = hṙ(v ri + l 1 2 ) k 3 = hṙ(v ri + l 2 2 ) k 4 = hṙ(v ri + l 3 ) r i+1 = r i + k k k k 4 6, (4.7) l 1 = h r(r i ) l 2 = h r(r i + k 1 2 ) l 3 = h r(r i + k 2 2 ) l 4 = h r(r i + k 3 ) v ri+1 = v ri + l l l l 4 6, (4.8)

50 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 43 m 1 = h θ(r i ) m 2 = h θ(r i + k 1 2 ) m 3 = h θ(r i + k 2 2 ) m 4 = h θ(r i + k 3 ) θ i+1 = θ i + m m m m 4 6. (4.9) v θ kan nadien bepaald worden door het verband met het draaimoment J = rv θ. Wanneer het programma de ongestoorde baan berekent, wordt er over een halve radiële periode geïntegreerd. De ongestoorde baan wordt dus berekend vanaf r + tot r. Ook wordt er bij de integratie steeds een beginhoek θ 0 = 0 en een begintijdstip t 0 = 0 gebruikt zoals vermeld in het vorige hoofdstuk. Om nadien de Fourier-coëfficiënten te berekenen moeten we de halve radiële periode verdubbelen. Stel dat we de baan hebben berekend in n punten, dan kunnen we de punten over een volledige radiële periode berekenen met behulp van: t n+i = 2t n 1 t n 2 i r n+i = r n 2 i v rn+i = v rn 2 i v θn+i = v θn 2 i θ n+i = t n+i ω θ (θ n 2 i t n 2 i ω θ ) i = 0,...,n 1. (4.10) In het vorige hoofdstuk hebben we al gezien dat een sterbaan ofwel een cirkelbaan, een rozet of een rechte is. In de figuren 4.1, 4.2, 4.3 en 4.4 worden enkele sterbanen getoond. De sterren bewegen allemaal onder invloed van de Plummerpotentiaal. De banen van figuren 4.1, 4.2 en 4.3 hebben allemaal een draaimoment J = 400kpc km s. In figuur 4.4 hebben we een draaimoment J = 0 en hebben we een rechte als baan. De controle van deze banen kan gebeuren aan de hand van het testen van het behoud van energie en draaimoment op verschillende tijdstippen. Tijdens de controle van het programma bleek dat deze behouden bleven. Als de energie en het draaimoment gekend zijn, kunnen we de keerpunten berekenen. De keerpunten bepalen twee cirkels waartussen de baan steeds gelegen is. Aan de hand van de figuren kunnen we dus de straal van het pericentrum en het apocentrum controleren. Ook dit is correct zodat we kunnen besluiten dat de integrator goed werkt. Aangezien we nu de banen kennen, kunnen we ook het gedrag van de plaats- en snelheidscoördinaten bestuderen. We hebben al afgeleid dat de radiële coördinaten en de tangentiële snelheidscoördinaat periodiek moeten zijn met dezelfde periode en dat de tangentiële plaatscoördinaat bestaat uit een periodiek stuk gecombineerd met een zekere driftsnelheid. In figuren 4.5, 4.6, 4.7 en 4.8 worden de plaats-en snelheidscoördinaten weergegeven voor de baan met r + = 2kpc en r = 0.18kpc uit figuur 4.3. In figuur 4.5 zien we de beweging tussen de keerpunten en we kunnen er ook de radiële periode T bepalen. Bij de snelheidscoördinaten zien we dezelfde periode T.

51 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 44 Figuur 4.1: Baan met r + = r = 0.474kpc. Figuur 4.2: Baan met r + = 0.5kpc en r = 0.45kpc.

52 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 45 Figuur 4.3: Baan met r + = 2kpc en r = 0.18kpc. Figuur 4.4: Baan met r + = 2kpc en r = 0kpc.

53 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 46 Figuur 4.5: Verloop van de radiële coördinaat voor een baan met r + = 2kpc en r = 0.18kpc. Figuur 4.6: Verloop van de radiële snelheid voor een baan met r + = 2kpc en r = 0.18kpc. Figuur 4.7: Verloop van de tangentiële snelheid voor een baan met r + = 2kpc en r = 0.18kpc.

54 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 47 Figuur 4.8: Verloop van de tangentiële coördinaat voor een baan, onder invloed van de Plummerpotentiaal, met r + = 2kpc en r = 0.18kpc. We kunnen dus aan de hand van de ongestoorde baan de radiële periode bepalen. Als de radiële periode gekend is, kunnen we de gemiddelde waarde ω θ van de hoek over een radiële periode bepalen. Samen met het verband: θ(t) = θ p (t) + ω θ t, (4.11) kunnen we dan het periodieke gedeelte van de hoek berekenen. 4.3 Epicykeltheorie Vanaf het moment dat de ongestoorde banen gekend zijn, kan het periodieke gedeelte van de potentiaal: V (r(t))e imθp(t), (4.12) berekend worden en ontwikkeld worden in een Fourier-reeks. Voordat we deze Fourier-ontwikkeling bekijken is het nuttig om het gedrag van het periodieke gedeelte van θ te bestuderen. Op deze manier krijgen we immers een duidelijk beeld van de functie die we in een Fourier-reeks willen ontwikkelen. In figuur 4.9 wordt het periodieke gedeelte van θ weergegeven in functie van de tijd voor banen, onder invloed van de Plummerpotentiaal, met r + = 2kpc en r tussen 0 en 2kpc. We bekijken dus de overgang van radiële banen naar cirkelbanen. De discontinuïteit bij de radiële baan is afkomstig van het discontinu variëren van θ, van 0 naar π, bij doorgang door de oorsprong. We kunnen nu het gedrag van θ p (t) verklaren aan de hand van de epicykeltheorie. Hiervoor beschouwen we opnieuw een sterrenstelsel met een axisymmetrische gravitatiepotentiaal Φ(r). We werken opnieuw in het vlak van het sterrenstelsel en dus met de poolcoördinaten (r,θ). Aangezien de potentiaal onafhankelijk is van θ hebben we behoud van het draaimoment J en kunnen we schrijven dat: r = r θ 2 Φ(r) r = Φ eff(r), (4.13) r

55 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 48 Figuur 4.9: Het periodieke gedeelte van θ voor banen met r + = 2kpc en r tussen 0 en 2kpc. met Φ eff (r) = Φ(r) + J2 2r2. (4.14) Wanneer we vergelijking (4.13) vermenigvuldigen met ṙ en integreren, vinden we dat: 1 2ṙ2 + Φ eff (r) = constant. (4.15) In figuur 4.10 wordt een Plummerpotentiaal getoond: GM r 2 + a 2, (4.16) met a = 1. De figuur is zo herschaald dat de eenheid van het draaimoment gegeven wordt door GMa en de eenheid van de potentiaal door GM a. Wanneer een ster een cirkelbaan volgt weten we dat ṙ = 0 en de effectieve potentiaal is dan constant. Noemen we nu R g de straal van de cirkelbaan. Er geldt dan dat: Φ r (R g) = J2 R 3 g = R g Ω 2 (R g ), (4.17) met Ω(R g ) de hoeksnelheid op de cirkelbaan.

56 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 49 Figuur 4.10: Effectieve potentiaal Φ eff met J = en plummerpotentiaal Φ. Als de baan een cirkelbaan is, dan weten we uit het vorige hoofdstuk dat Φ eff (r) een minimum heeft voor r = R g. Deze baan heeft de laagste energie en is dus het meest stabiel. Elke andere baan met hetzelfde draaimoment en een iets verschillende energie zal oscilleren rond dit punt. We zullen nu aantonen dat we die beweging benaderend kunnen voorstellen door een beweging op een elliptische epicykel rond het centrum, dat op de cirkelbaan beweegt met hoeksnelheid Ω(R g ). Onderstellen we een baan die niet veel van de cirkelbaan afwijkt en dus met een energie iets hoger dan de minimale energie. Stellen we dan r = R g + x met x << R g. We kunnen nu r ontwikkelen in een Taylor-reeks en tweede orde termen verwaarlozen: r = Φ eff(r) r Stellen we nu dat: [ 2 ] Φ eff (r) dan wordt: r 2 ( [ Φeff ] [ (r) 2 ] Φ eff (r) + (R g + x Rg) r R g r 2 R g ) [ 2 ] Φ eff (r) = x r 2. R g (4.18) R g = κ 2 (R g ), (4.19) r κ 2 (R g )x, (4.20) zodat, wanneer κ 2 > 0: x X cos(κt + ψ), (4.21) met X en ψ integratieconstanten. Dit is een harmonische beweging met epicyclische frequentie κ.

57 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 50 Figuur 4.11: De elliptische epicykelbeweging: een harmonische beweging op een ellips, rond een punt dat éénparig op een cirkelbaan beweegt. Wanneer κ 2 < 0 is de cirkelbaan onstabiel. We weten echter dat: κ 2 = 2 Φ eff (r) r 2 = 2 Φ(r) r 2 Door de vergelijking van Poisson, weten we dat: + 3 J2 r 4. (4.22) 2 Φ(r) = 2 Φ(r) r 2 = 4πGρ(r). (4.23) Aangezien de massadichtheid overal positief is, is κ 2 steeds positief. We kunnen ook θ berekenen aan de hand van het verband met het draaimoment: θ = J r 2 = Ω(R g)rg 2 (R g + x) 2 = Ω(R ( g) ) 2 Ω(R g ) 1 (1 2x ). (4.24) + x R g Rg Hierin werd voor de laatste overgang opnieuw gebruik gemaakt van een Taylor-ontwikkeling, tot op eerste orde, rond het punt x = 0. Als we nu in deze laatste uitdrukking x vervangen door (4.21) en dan integreren, krijgen we dat: θ(t) = θ 0 + Ω(R g )t 2Ω X sin(κt + ψ), (4.25) R g κ met θ 0 een integratieconstante. De eerste twee termen van θ beschrijven de beweging van het centrum op de cirkelbaan met straal R g. De derde term beschrijft een harmonische beweging met dezelfde frequentie als die van de radiële beweging maar 90 uit fase en vermenigvuldigd met een constante factor. De epicyclische beweging wordt getoond in figuur Aan de hand van de uitdrukking voor θ(t) zien we gemakkelijk de overeenkomsten met de, uit de ongestoorde sterbaan berekende, θ(t). θ p (t) heeft hetzelfde verloop als de derde term in uitdrukking (4.25). In de eerste helft is θ p negatief en in de tweede helft positief. Dit wijst erop dat tijdens de beweging van het apocentrum naar het pericentrum de hoekbeweging trager gebeurt dan langs de cirkelbaan en in het tweede gedeelte sneller. Verder kunnen we, aan de hand van de raaklijn aan θ p (t), zien dat de ster versneld wordt in de tangentiale richting wanneer ze aan de binnenkant van de cirkelbaan beweegt en vertraagd wordt erbuiten.

58 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 51 Figuur 4.12: Verloop van de radiële coördinaat voor een baan met r + = 2kpc en r = 1.99kpc. Figuur 4.13: Verloop van het periodieke gedeelte van de tangentiële coördinaat voor een baan met r + = 2kpc en r = 1.99kpc. We kunnen nu de epicykeltheorie vergelijken met een baan die door het computerprogramma berekend werd. We hebben een baan berekend met r + = 2kpc en r = 1.99kpc. In figuur 4.12 wordt het verloop van de radiële coördinaat weergegeven. In figuur 4.13 wordt het verloop van het periodieke gedeelte van de tangentiële coördinaat weergegeven. Voor deze baan hebben we dat: X = 0.005kpc, R g = 1.995kpc, (4.26) (4.27) J = kpc km s, (4.28) T = jaar, (4.29) en dus de amplitude van het periodieke gedeelte van de hoek wordt: 2ΩX R g κ = JXT Rgπ 3 = (4.30) Deze berekende amplitude komt overeen met de waargenomen amplitude van in figuur We zien ook de faseverschuiving van 90, ten opzichte van de radiële beweging, voor het periodieke gedeelte van de hoek.

59 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten Ontwikkelen in een Fourier-reeks Om tot een eenvoudige uitdrukking te komen voor de distributiefunctie, hebben we het periodieke gedeelte van de potentiaal ontwikkeld in een Fourier-reeks. Hierdoor konden we de integraal langs de ongestoorde baan eenvoudig integreren. met I(t) = V (r(t))e imθp(t) = I l e ilωrt, (4.31) I l = 1 T T 0 l= I(t)e ilωrt dt. (4.32) Bij de implementatie kunnen we niet sommeren over een oneindig aantal termen zodat we de reeks moeten afkappen bij een bepaalde l max : I(t) = l max l= l max I l e ilωrt. (4.33) Het is dus belangrijk om te onderzoeken over welk aantal termen er moet gesommeerd worden om tot een correcte uitdrukking voor I(t) te komen. In figuren 4.14 en 4.15 wordt het periodieke gedeelte van de potentiaal getoond voor een sterbaan met r + = 2kpc en r = 0.18kpc. In figuren 4.16 en 4.17 wordt het periodieke gedeelte van de potentiaal getoond voor een ster, die beweegt onder invloed van de Plummerpotentiaal, op een baan met r + = 2kpc en r = 0kpc. Deze sterren bewegen opnieuw onder invloed van de Plummerpotentiaal. In deze figuren wordt de functie die, langs de ongestoorde sterbaan, berekend wordt aan de hand van: I(t) = V (r(t))e imθp(t), (4.34) vergeleken met de door de Fourier-ontwikkeling berekende functie. Ook wordt de invloed van het aantal termen, waarover er gesommeerd wordt, getoond. Wanneer we een functie in een Fourier-reeks ontwikkelen, zal de reeks sneller convergeren naarmate de functie meer glad is. Wanneer de functie dus geleidelijk aan varieert van functiewaarde, zullen er minder termen nodig zijn in de Fourier-ontwikkeling. We zullen nu elliptische baan met een grote excentriciteit bekijken. Uit de vorige paragraaf weten we immers dat voor die banen θ p (t) sterk varieert en het verloop gebeurt er dus minder glad. Indien de Fourierontwikkeling voldoende is voor deze banen, is ze ook voldoende voor het grootste deel van de rest van de banen. Als we figuren 4.14 en 4.15 bekijken, zien we dat wanneer we 50 termen nemen er al een zeer goede overeenkomst is. Als we echter een radiële baan bekijken hebben we een sprong van π radialen in θ p (t) bij doorgang door de oorsprong. Wanneer nu m oneven is, verloopt het periodieke gedeelte van de potentiaal niet meer continu. Het reële gedeelte zal bij doorgang door de oorsprong niet meer continu differentieerbaar zijn. Hierdoor zal er steeds een kleine afwijking zijn bij de discontinuïteit (zie figuur 4.16). Het imaginaire gedeelte wordt zelfs niet meer continu en zal een sprong vertonen bij doorgang door de oorsprong.

60 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 53 Figuur 4.14: Reële gedeelte van het periodieke gedeelte van de potentiaal voor een baan met r + = 2, r = 0.18 en m=1. Figuur 4.15: Imaginaire gedeelte van het periodieke gedeelte van de potentiaal voor een baan met r + = 2, r = 0.18 en m=1.

61 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 54 Figuur 4.16: Reële gedeelte van het periodieke gedeelte van de potentiaal voor een baan met r + = 2, r = 0 en m=1. Figuur 4.17: Imaginaire gedeelte van het periodieke gedeelte van de potentiaal voor een baan met r + = 2, r = 0 en m=1.

62 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 55 Figuur 4.18: Verloop van het reële gedeelte van de lage orde Fourier-coëfficiënten voor de mogelijke banen. Wanneer we een stuksgewijs continu differentieerbare periodieke functie, die een eindig aantal sprongen vertoont, willen ontwikkelen in een Fourier-reeks zal het Gibbsfenomeen zich voordoen. Het Gibbsfenomeen beschrijft het gedrag van de Fourier-reeks in de buurt van de discontinuïteit. In de buurt van de discontinuïteit oscilleert de functie. Door meer termen te berekenen in de Fourier-reeks kan het interval, waarin de oscillaties zich voordoen, ingekort worden. De amplitude van de oscillatie zal echter naar een constante waarde evolueren. Dit wordt getoond in figuur De waarde van die amplitude is 0.09 keer de waarde van de sprong die de functie maakt. Op deze manier zal wanneer men oneindig veel termen neemt, een fout van 18% ontstaan. Deze fout komt echter maar voor in een oneindig klein interval rond de discontinuïteit. Omdat er toch steeds een kleine fout zal zitten op de Fourier-ontwikkeling van radiële banen, is het niet haalbaar om de nauwkeurigheid te verhogen door meer termen te berekenen. Bij de berekening van de distributiefunctie zullen een groot aantal van die oscillaties, langs beide kanten van de discontinuïteit, elkaar grotendeels opheffen. Nadien kunnen we dan aan de hand van de waarde van de distributiefunctie de nauwkeurigheid nog controleren.

63 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 56 Om de rekentijd van het programma wat te verkorten is er in het programma gebruik gemaakt van een rooster dat voor een aantal banen de Fourier-coëfficiënten, ω r en ω θ bijhoudt. We gebruiken een recthoekig rooster met op de ene as r + en op de andere as r r+ en gebruiken een resolutie van 100 op 100. Als we dan de Fourier-coëfficiënten van een willekeurige baan nodig hebben, interpoleren we op het rooster. De interpolatie gebeurt op tegeltjes door de berekende punten van het rooster. In figuren 4.18 en 4.19 wordt het reële gedeelte van enkele Fourier-coëfficiënten getoond in functie van de mogelijke banen. r varieert van 0kpc tot r max, r + van 0.05kpc tot r max. Op deze figuren is te zien dat voor zeer tangentiële banen de waarde van de Fourier-coëfficiënten sterk daalt voor hogere orde termen. Ook is duidelijk te zien dat voor banen met r r + klein er meer termen nodig zijn in de Fourier-ontwikkeling. 4.5 Controle van de geperturbeerde distributiefunctie We willen de invloed van de storende potentiaal op de ongestoorde distributiefunctie bestuderen. Om de gestoorde distributiefunctie te vergelijken met de ongestoorde distributiefunctie, is het dus enkel van belang om de distributiefunctie te berekenen in functie van de banen. De exacte tijds- en hoekafhankelijkheid moet dan niet gekend zijn. Als we dan nog rekening houden met het afkappen van de Fourier-reeks, krijgen we voor de uitdrukking van de gestoorde distributiefunctie dat: l max f 0 E m f 0 J f (r +,r ) = f (lω r + mω θ ) (r,v r,v θ ) = I l lω r + mω θ ω l= l max. (4.35) Deze berekening van de distributiefunctie maakt gebruik van de ontwikkeling in een Fourier-reeks. We kunnen echter ook de distributiefunctie berekenen zonder gebruik te maken van de Fourierontwikkeling. We moeten dan gebruik maken van uitdrukking 4.2. Deze uitdrukking in functie van de baanelementen wordt: f (r +,r ) = f 0 E V (r 0,0;0) + i ( ω f ) 0 0 E m f 0 V (r)e i(mθ ωt) dt. (4.36) J De integraal in deze laatste uitdrukking moet berekend worden langsheen de ongestoorde baan. We kunnen de integraal uitrekenen indien de integraal convergeert. De storing moet dus voldoende snel groeien in de tijd. Numeriek kan deze convergentie getest worden door terug te integreren in de tijd tot op een moment dat de berekende waarde van de integraal niet meer verandert. De integraal werd berekend via de trapeziumregel. Wanneer we nu de integraal berekenen via de gestoorde baan, kunnen we onderzoeken in hoever de linearisatie van de Boltzmannvergelijking geldig is. Dit kunnen we inzien aan de hand van de Boltzmannvergelijking voor linearisatie: f t [ f,h 0 ] = [ f0,v ] + [ f,v ]. (4.37) We kunnen dit schrijven als: f t [ f,h 0 ] [ f,v ] = f t [ f,h ] = [ f 0,V ]. (4.38)

64 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 57 Figuur 4.19: Verloop van het reële gedeelte van enkele hogere orde Fourier-coëfficiënten voor de mogelijke banen.

65 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 58 Het linkerlid van deze vergelijking kunnen we dan interpreteren als een totale tijdsafgeleide van f langsheen de gestoorde baan. Om de analytisch berekende distributiefunctie f ana te vergelijken met de numeriek berekende distributiefunctie f num, werd de absolute waarde van de relatieve afwijking f, uitgedrukt in percenten, tussen de twee berekende waarden weergegeven: f = 100 f ana f num f ana. (4.39) We zullen nu enkele gestoorde distributiefuncties controleren. We gebruiken een gestoorde potentiaal van de vorm: V (r,θ,t) = V 0 (r)e i(mθ ωt), (4.40) met V 0 (r) de Plummerpotentiaal. We gebruiken een ongestoorde distributiefunctie van de vorm: f 0 (E,J) = J(E E 0 ). (4.41) Controle van een m = 1 perturbatie We controleren de geperturbeerde distributiefunctie met m = 1 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar. Aangezien de Fourier-coëfficiënten sterk variëren bij het naderen van de radiële banen, zullen we de waarde van de berekening via integratie vergelijken met de waarde berekend met de op het rooster geïnterpoleerde Fourier-coëfficiënten en met de exacte Fourier-coëfficiënten. Op deze manier kunnen we dan ook deze interpolatie controleren. De resultaten, voor het reële gedeelte van de distributiefunctie, worden getoond in figuur We hebben in deze figuren de relatieve afwijking, uitgedrukt in percenten, van de numeriek berekende waarde ten opzichte van de analytisch berekende waarde weergegeven. De figuren werden herschaald op 100 %. Dit werd gedaan omdat de waarden zeer groot worden, wanneer de waarde van f ana zeer klein wordt. Bij interpolatie is duidelijk een grote afwijking te zien voor vrij radiële banen. Dit komt doordat de Fourier-coëfficiënten zeer snel stijgen wanneer je de radiële banen nadert (zie figuren 4.18 en 4.19). De manier van interpolatie is dus zeer belangrijk. Aangezien de interpolatie in het programma door een vlak gebeurt, zijn deze waarden dus minder correct. De interpolatie kan natuurlijk verbeterd worden door bijvoorbeeld gebruik te maken van een hogere orde interpolatie in plaats van een eerste orde intepolatie. Het verschil tussen de banen waarvoor de distributiefunctie berekend werd en de banen waarop het rooster van de Fourier-ontwikkeling werd berekend is ook belangrijk om de interpolatie te controleren. We hebben in ons programma voor beide een resolutie van 100 op 100 gebruikt. Bij de distributiefunctie gaat r echter van 0 naar 5 en in het interpolatierooster van 0 tot r +, zodat er wel degelijk een verschil tussen deze banen bestaat. Omdat het moelijk is om voor een resolutie van 100 op 100 een figuur te maken van deze punten, maken we als voorbeeld een figuur van deze punten voor een resolutie van 10 op 10. Dit wordt getoond in figuur We zien hierop duidelijk dat, wanneer r + groter wordt, er een groter verschil is tussen de berekende banen. Wanneer r dan klein is zal de interpolatie minder goed gebeuren door het sterk stijgen van de Fourier-coëfficiënten.

66 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 59 Figuur 4.20: Controle van het reële gedeelte van de distributiefunctie, voor een storing met m = 1 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar, door integratie via de ongestoorde baan. We doen dit door de relatieve afwijking f = 100 f ana f num f, uitgedrukt in percenten, tussen de twee berekende waarden weer te ana geven. Links werd de Fourier-ontwikkeling exact berekend en rechts werd er geïnterpoleerd. Figuur 4.21: Vergelijking van de banen waarvoor het rooster van de Fourier-ontwikkeling berekend werd en deze waarvoor de distributiefunctie berekend werd. Rood zijn de banen voor de distributiefunctie, blauw de banen van het Fourier-rooster en groen de banen die samenvallen.

67 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 60 Figuur 4.22: Het reële gedeelte van de geperturbeerde distributiefunctie voor een storing met m = 1 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar. Om de figuren van de relatieve afwijkingen beter te begrijpen is het beter om deze figuren te vergelijken met de gestoorde distributiefunctie zelf. Deze wordt getoond in figuur Wanneer we dan de relatieve fout bekijken, die werd berekend, zien we enkel grote fouten in de buurt waar de distributiefunctie zeer klein is. Een fout hier maakt niet veel uit omdat de waarde dan toch nog steeds klein blijft. Wanneer we de controle via de gestoorde banen willen doen, moeten we eerst de gestoorde banen berekenen. We nemen een gestoorde potentiaal van de vorm: V (r,θ,t) = V 0 (r) + ǫv 0 (r)e i(mθ ωt). (4.42) Op deze manier wordt de distributiefunctie: f = f 0 + ǫf. (4.43) We integreren nu de bewegingsvergelijkingen: ṙ(v) = v θ(u) = u v(r,θ,u) = dv 0(r) dr (4.44) (4.45) ( 1 + ǫcos(mθ R(ω)t)e I(ω)t) + ru 2 (4.46) θ(r,v,θ,u) = 1 r 2ǫV (r)msin(mθ R(ω)t)e I(ω)t 2 uv r. (4.47) We doen dit opnieuw met een 4de orde Runge-Kutta methode zoals we deden voor de ongestoorde banen.

68 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 61 Figuur 4.23: Controle van het reële gedeelte van de distributiefunctie, voor een storing met m = 1 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar, door integratie via de gestoorde baan. De gestoorde baan wordt bepaald door een storende potentiaal van de vorm V (r, θ, t) = V 0 (r) + ǫv 0 (r)e i(mθ ωt). Aangezien de ongestoorde banen in poolcoördinaten worden berekend hebben we voor radiële banen een probleem wanneer we door de oorsprong gaan. We kunnen dit zien door de vergelijking voor θ te bekijken. De term bij ǫ wordt immers oneindig groot wanneer de ster de oorsprong nadert. Voor deze banen zal de gestoorde baan meer afwijken van de ongestoorde baan en zal de linearisatie minder goed zijn. Aangezien we de radiële banen al gecontroleerd hebben via de ongestoorde banen, is het niet meer echt nodig om de radiële banen te bekijken.

69 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 62 In figuur 4.23 werd het reële gedeelte van de distributiefunctie gecontroleerd voor verschillende ǫ. De figuren werden weer herschaald om dezelfde redenen als voordien. r varieert nu van 0.1kpc tot 5kpc en r + van 0.05kpc tot 5kpc. We zien duidelijk een groter wordende fout wanneer ǫ stijgt, zodat de linearisatie uiteindelijk niet meer echt geldig is. In figuur 4.24 worden de resultaten van de controle van het imaginaire gedeelte van de distributiefunctie getoond. De controle via de ongestoorde baan komt overeen met het geval dat ǫ = 0. Om de problemen te vermijden van de interpolatie voor de Fourier-ontwikkeling, werd voor kleine r de Fourier-ontwikkeling exact berekend Controle van een m = 2 perturbatie We controleren nu het reële gedeelte van de geperturbeerde distributiefunctie met m = 2 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar. In figuur 4.25 worden de resultaten voor het reële gedeelte van deze distributiefunctie getoond. De controle via de ongestoorde baan komt overeen met het geval dat ǫ = 0. Om de problemen te vermijden van de interpolatie voor de Fourier-ontwikkeling, werd voor kleine r de Fourier-ontwikkeling exact berekend Besluit We kunnen dus besluiten dat de geperturbeerde distributiefunctie juist berekend wordt. We moeten echter wel opletten voor de banen met r r+ klein. Hiervoor is het beter om de Fourier-ontwikkeling exact te berkenen in plaats van te interpoleren op het rooster. Ook mogen we ǫ niet te groot nemen, aangezien dan de linearisatie van de Boltzmannvergelijking niet meer geldig is.

70 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 63 Figuur 4.24: Controle van het imaginaire gedeelte van de distributiefunctie, voor een storing met m = 1 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar, door integratie via de gestoorde baan. De gestoorde baan wordt bepaald door een storende potentiaal van de vorm V (r, θ, t) = V 0 (r) + ǫv 0 (r)e i(mθ ωt).

71 Hoofdstuk 4. Implementatie en controlepunten 64 Figuur 4.25: Controle van het reële gedeelte van de distributiefunctie, voor een storing met m = 2 en R(ω) = I(ω) = 1rad 10 6 jaar, door integratie via de gestoorde baan. De gestoorde baan wordt bepaald door een storende potentiaal van de vorm V (r, θ, t) = V 0 (r) + ǫv 0 (r)e i(mθ ωt).

72 Hoofdstuk 5 De geperturbeerde massadichtheid 5.1 Inleiding In de vorige hoofdstukken hebben we een uitdrukking berekend voor de geperturbeerde distributiefunctie f : l max f 0 E m f 0 J f (r 0,v 0 ;t 0 ) = e i(mθ 0 ωt 0 ) (lω r + mω θ ) I l lω r + mω θ ω l= l max Daarna hebben we f berekend met een computerprogramma. e i(lωrt F (r 0 ) mθ P,F (r 0 )). (5.1) Wanneer de geperturbeerde distributiefunctie f gekend is, kunnen we de geperturbeerde distributiefunctie ρ berekenen aan de hand van: ρ (r,θ,t) = f (r,θ,v r,v θ,t)dv r dv θ. (5.2) Door de constructie van een storende potentiaal van de vorm: V (r)e i(mθ ωt), (5.3) hebben zowel de gestoorde potentiaal, distributiefunctie en massadichtheid dezelfde afhankelijkheid van θ en t. Op deze manier wordt: ρ (r,θ,t) = ρ (r)e i(mθ ωt), (5.4) zodat: ρ (r) = f (r,v r,v θ )dv r dv θ. (5.5) We zullen in dit hoofdstuk de geperturbeerde massadichtheid berekenen. We zullen deze massadichtheid echter niet in verband brengen met de ongestoorde potentiaal om de zelf-consistente storingen op te sporen. We zullen enkel de berekende massadichtheid controleren. Nadien zullen we kort iets zeggen over hoe we het programma moeten aanpassen om gemakkelijk zelf-consistente storingen te kunnen opsporen. 65

73 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid Berekenen van ρ (r) Wanneer we voor een storing, met een bepaalde m, de zelf-consistente storing willen vinden, zullen we de juiste ω moeten vinden. Het is dus interessant om een uitdrukking voor de geperturbeerde distributiefunctie te zoeken waarbij we ω gemakkelijk kunnen variëren, zodat we niet steeds lange berekeningen moeten doen. We kunnen het best de integraal in vergelijking (5.5) integreren in de poolcoördinaten (v,α) zodat: v r = v cos(α) en v θ = v sin(α) en: ρ (r) = = l max l= l max l max vesc(r) l= l max 0 (lω r (r,v r,v θ ) + mω θ (r,v r,v θ )) f 0 E I (r,v r,v θ ) m f 0 J (r,v r,v θ ) l dv r dv θ lω r (r,v r,v θ ) + mω θ (r,v r,v θ ) ω π v dv 0 A l (r,v,α) dα. (5.6) p l (r,v,α) ω In deze laatste integraal gaat α van 0 tot π aangezien we een ongestoorde distributiefunctie hebben verondersteld waarbij alle sterren een positief draaimoment hebben. We zouden nu de gestoorde distributiefunctie gemakkelijk willen bestuderen voor verschillende ω s. Aangezien p l afhankelijk is van zowel v en α, kunnen we ω niet volledig buiten de integraal brengen. We zullen nu echter proberen ω buiten één van de integralen te brengen zodat: ρ (r) = pmax p min W(r,p) p ω dp. (5.7) Op deze manier zou de 2-dimensionale integraal herleid worden naar een 1-dimensionale integraal, wat veel vlugger uitgerekend kan worden. Om de invloed van een storing, die gekarakteriseerd wordt door m en ω, te bestuderen, moeten we eerst W(r,p) berekenen. Nadien kan men vlug voor verschillende ω s de geperturbeerde massadichtheid berekenen. Het is niet gemakkelijk om analytisch ω buiten één van de integralen te brengen. We kunnen dit echter gemakkelijk numeriek realiseren. De integraal in uitdrukking (5.6) heeft een rechthoekig domein [0,v esc ] [0,π]. Verdelen we dit domein in kleine gebiedjes met een oppervlakte van v α en veronderstellen we het integrandum in deze gebiedjes constant. We kunnen dit integrandum ook schrijven als: A l (r,v,α)v v α p l (r,v,α) ω. (5.8) Om de integraal te berekenen moeten we het aandeel van al deze gebiedjes, voor elke l uit de Fourierontwikkeling, sommeren. Om over te gaan op een ééndimensionale integraal over de posities van de polen p, zullen we de vorige uitdrukking iets anders schrijven: p p l (r,v,α) ω A l(r,v,α)v v α p. (5.9) In deze uitdrukking kunnen we de vorm van de ééndimensionale integraal herkennen.

74 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 67 We houden nu voor een bepaalde straal r, W(p) bij in een rij van functiewaarden voor een eindig aantal waarden van p gaande van p min tot p max in stappen p. Deze functiewaarden W(p) worden bij het begin van de berekeningen op 0 gezet. Zoeken we nu, voor elk van de gebiedjes v α en voor elke l, welke p-waarde uit de rij van W(p)-waarden het dichtst bij de de positie P ligt en tellen we dan I = A l (r,v,α)v v α op bij de corresponderende functiewaarde W(p). Wanneer we zo alle gebiedjes afgelopen hebben, moeten we nog enkel de waarde van W(p) delen door p. Op deze manier hebben we dus de 2-dimensionale integraal uit vergelijking (5.6) omgevormd naar de 1-dimensionale integraal uit vergelijking (5.7). In figuur 5.1 wordt het rële gedeelte van W(p) weergegeven voor enkele waarden van r voor een storing met een ongestoorde Plummerpotentiaal, een ongestoorde distributiefunctie van de vorm (E E 0 )J en m = 1. We hebben voor de verdeling van het tweedimensionale integratiedomein een resolutie van 125 op 125 gebruikt. We hebben deze resolutie gekozen door het testen van allerlei resoluties. We hebben steeds een vierkant rooster gebruikt en de resolutie laten toenemen totdat de waarde van de integraal convergeerde. Voor de verdeling van het 1-dimensionale integratiedomein werd een resolutie van gebruikt. Ook deze resolutie hebben we gekozen door te bekijken wanneer de waarde van de integraal convergeert. 5.3 Berekenen ρ (r) zonder gebruik te maken van W(r, p) We kunnen ρ (r) ook berekenen zonder gebruik te maken van W(r,p), en dus de tweedimensionale integraal: ρ (r) = l max l= l max vesc(r) 0 π A l (r,v,α) v dv dα, (5.10) 0 p l (r,v,α) ω berekenen. Op deze manier kunnen we dan de twee berekeningen van ρ (r) vergelijken en controleren of het buiten brengen van ω in de integraal juist gebeurt. De berekening van deze integraal gebeurt door het opsplitsen van het integratiedomein in gebiedjes met een oppervlakte van v α. We integreren dan met behulp van de trapeziumregel. De convergentie van de waarde van de integraal hangt af van de gebruikte resolutie voor het opsplitsen van het integratiedomein. De integraal convergeert vlugger naarmate I(ω) groter is. Voor storingen met I(ω) klein zal de berekening van deze integraal dus lang duren. We hebben daarom enkel de controle gedaan voor storingen waarbij I(ω) groot is. Bij de berekening van de massadichtheid via de ééndimensionale integraal werd het probleem van de reolutie van dit integratiedomein vermeden, doordat nadien nog eens over p werd gesommeerd. Noemen we ρ m de berekende waarde met gebruik van W(r,p) en ρ z de berekening zonder het gebruik van W(r,p). Bekijken we nu de figuren 5.2 en 5.3. In deze figuren wordt links de vergelijking gemaakt van de twee berekende waarden van het reële gedeelte van ρ (r) en rechts wordt de relatieve fout ρ = ρ m ρ z ρ weergegeven. We zien dat de twee berekeningen een gelijkaardig resultaat opleveren z met enkel grote relatieve afwijkingen wanneer de massadichtheid op die plaats laag is. Uiteindelijk controleren we ook het imaginaire gedeelte van ρ (r). Dit wordt gedaan in figuren 5.4, 5.5 en 5.6.

75 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 68 Figuur 5.1: Reële gedeelte van W(p) voor verschillende r voor een storing met een ongestoorde Plummerpotentiaal, een ongestoorde distributiefunctie van de vorm (E E 0 )J en m = 1.

76 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 69 Figuur 5.2: Controle van het berekende reële gedeelte van ρ (r) voor een m = 1 storing met I(ω) = 10 4 jaar 1. Links worden de twee berekende waarden vergeleken en rechts wordt de relatieve afwijking van de berekening met W(r, p) ten opzichte van de berekening zonder W(r, p) getoond.

77 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 70 Figuur 5.3: Controle van het berekende reële gedeelte van ρ (r) voor een m = 1 storing met I(ω) = 10 5 jaar 1. Links worden de twee berekende waarden vergeleken en rechts wordt de relatieve afwijking van de berekening met W(r, p) ten opzichte van de berekening zonder W(r, p) getoond.

78 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 71 Figuur 5.4: Controle van het berekende reële en imaginaire gedeelte van ρ (r) voor een m = 1 storing met R(ω) = 0 en I(ω) = 10 4 jaar 1. Links worden de twee berekende waarden vergeleken en rechts wordt de relatieve afwijking van de berekening met W(r, p) ten opzichte van de berekening zonder W(r, p) getoond. Figuur 5.5: Controle van het berekende reële en imaginaire gedeelte van ρ (r) voor een m = 1 storing met R(ω) = 0 en I(ω) = 10 5 jaar 1. Links worden de twee berekende waarden vergeleken en rechts wordt de relatieve afwijking van de berekening met W(r, p) ten opzichte van de berekening zonder W(r, p) getoond. Figuur 5.6: Controle van het berekende reële en imaginaire gedeelte van ρ (r) voor een m = 1 storing met R(ω) = 10 6 jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar 1. Links worden de twee berekende waarden vergeleken en rechts wordt de relatieve afwijking van de berekening met W(r, p) ten opzichte van de berekening zonder W(r, p) getoond.

79 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid De geperturbeerde massadichtheid Wanneer ρ (r) gekend is, kunnen we de geperturbeerde massadichtheid berekenen in de schijf van het sterrenstelsel aan de hand van: ρ(r,θ) = R(ρ (r))cos(mθ) I(ρ (r))sin(mθ). (5.11) We zullen nu enkele gestoorde massadichtheden bekijken voor m = 1 storingen op sterrenstelsel met een ongestoorde distributiefunctie van de vorm (E E 0 )J en een ongestoorde Plummerpotentiaal. Wanneer we de geperturbeerde massadichtheid in het vlak van de schijf bekijken, zullen we deze massadichtheid delen door het maximum van de ongestoorde massadichtheid. Op deze manier hebben we dan een idee over de grootte van de geperturbeerde massadichtheid ten opzichte van de ongestoorde massadichtheid. Voor het begrijpen van de vorm van de massadichtheid, zullen we de distributiefunctie ook bekijken. We zullen hiervoor steeds de figuren van de distributiefuncties herschalen, aangezien we enkel in de vorm geïnteresseerd zijn. We zullen steeds het reële en het imaginaire gedeelte op dezelfde schaal weergeven, zodat we die waarden kunnen vergelijken Storing met R(ω) = jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar 1 In de figuren 5.7, 5.8 en 5.9 wordt een storing getoond met R(ω) = jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar 1. We kunnen nu het r-afhankelijke deel van de massadichtheid vergelijken met de distributiefunctie. Wanneer we op een bepaalde afstand r van het centrum de massadichtheid berekenen moeten we rekening houden met de sterbanen waarvoor r r r +. Wanneer we het reële gedeelte van de massadichtheid op θ = 0 bekijken in figuur 5.7, zien we in het begin een sterke stijging. Dit komt doordat de distributiefunctie voor radiële banen vooral positieve waarden heeft. Verder weg van het centrum daalt de massadichtheid door de sterk negatieve waarden uit het zwarte gebied van de distributiefunctie. Nadien stijgt de massadichtheid weer een beetje doordat we geen rekening meer moeten houden met de banen die een sterk negatieve waarde hebben van de distributiefunctie en doordat we rekening moeten houden met het blauwe gebied rechts in de distributiefunctie. Wanneer we uiteindelijk ook geen rekening meer moeten houden met deze banen daalt de massadichtheid weer en ze zal door het voorkomen van lage waarden van de distributiefunctie naar 0 gaan. We bekijken nu figuur 5.8. Aangezien het imaginaire gedeelte van de distributiefunctie vooral negatieve waarden bevat, is het imaginaire gedeelte van de massadichtheid op θ = π 2 ongeveer overal negatief. Dicht bij het centrum daalt de massadichtheid door het steeds meer voorkomen van negatieve waarden. Wanneer we verder gaan van het centrum begint de massadichtheid opnieuw te stijgen. Dit komt doordat de sterk negatieve waarden uit het zwarte gebied van de distributiefunctie niet meer voorkomen. Als we nog verder gaan van het centrum moeten we enkel nog rekening houden met zeer lage waarden van de distributiefunctie zodat de waarde van de massadichtheid naar 0 gaat. Aangezien de absolute waarde van het imaginaire gedeelte van de distributiefunctie veel groter is dan de absolute waarde van het reële gedeelte van de distributiefunctie, zal de massadichtheid in het vlak van de schijf vooral bepaald worden door het imaginaire gedeelte van het r-afhankelijke deel van de massadichtheid. Dit kunnen we zien in figuur 5.9.

80 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 73 Figuur 5.7: Links het reële gedeelte van de gestoorde distributiefunctie en rechts het reële gedeelte van de gestoorde massadichtheid op θ = 0 voor een m = 1 storing met R(ω) = jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar 1. Figuur 5.8: Links het imaginaire gedeelte van de gestoorde distributiefunctie en rechts het imaginaire gedeelte van de gestoorde massadichtheid op θ = π 2 voor een m = 1 storing met R(ω) = jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar 1. Figuur 5.9: Het reële gedeelte van de geperturbeerde massadichtheid in het vlak van de schijf voor een m = 1 storing met R(ω) = jaar 1 en I(ω) = 10 5 jaar 1 en rechts het imaginaire en reële gedeelte van het r-afhankelijke deel van de geperturbeerde massadichtheid.

81 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 74 Figuur 5.10: Links het reële gedeelte van de gestoorde distributiefunctie en rechts het reële gedeelte van de gestoorde massadichtheid op θ = 0 voor een m = 1 storing met R(ω) = 0jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar 1. Figuur 5.11: Links het imaginaire gedeelte van de gestoorde distributiefunctie en rechts het imaginaire gedeelte van de gestoorde massadichtheid op θ = π 2 voor een m = 1 storing met R(ω) = 0jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar 1. Figuur 5.12: Het reële gedeelte van de geperturbeerde massadichtheid in het vlak van de schijf voor een m = 1 storing met R(ω) = 0jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar 1 en rechts het imaginaire en reële gedeelte van het r-afhankelijke deel van de geperturbeerde massadichtheid.

82 Hoofdstuk 5. De geperturbeerde massadichtheid 75 Figuur 5.13: Links het reële gedeelte van de gestoorde distributiefunctie en rechts het reële gedeelte van de gestoorde massadichtheid op θ = 0 voor een m = 1 storing met R(ω) = 10 6 jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar 1. Figuur 5.14: Links het imaginaire gedeelte van de gestoorde distributiefunctie en rechts het imaginaire gedeelte van de gestoorde massadichtheid op θ = π 2 voor een m = 1 storing met R(ω) = 10 6 jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar 1. Figuur 5.15: Links, het reële gedeelte van de geperturbeerde massadichtheid in het vlak van de schijf voor een m = 1 storing met R(ω) = 10 6 jaar 1 en I(ω) = 10 6 jaar 1 en rechts het imaginaire en reële gedeelte van het r-afhankelijke deel van de geperturbeerde massadichtheid.