Enkele toepassingen van grafen:

Transcriptie

1 Enkele toepassingen van grafen: Euler en het bruggenprobleem van Königsberg... pag. 1 Handelsreizigersprobleem... pag. 5 Voronoidiagrammen en Delaunaytriangulatie... pag. 6 Vierkleurenprobleem... pag. 8 Schlegel diagrammen... pag. 9 Kortste pad tussen twee punten... pag. 11 Minimaal opspannende boom... pag. 13 (via -> Matrices -> grafen) door Chris Cambré chris.cambre@telenet.be en

2 1. Euler en de bruggen van Königsberg Het moederprobleem van grafen is een heel triviale vraag over het maken van een wandeling over de verschillende bruggen in een Pruisische stad. Euler wees eerst de vraag af omdat ze volgens hem weinig met wiskunde te maken had, maar kon het uiteindelijke niet laten om ze op een heel eigen manier te benaderen. Zijn antwoord zou later zowel uitgroeien tot de topologie als tot de grafentheorie. Binnen deze grafentheorie werden later nog andere vragen gesteld die hun eigen leven gingen leiden en toepassingen vonden in netwerkenoplossingen. Ook gewoon als probleem is het ook bruggenprobleem boeiend om te bestuderen. De benadering van Euler illustreert waarom en hoe wiskunde werkt met modellen. Het is wiskundig niet moeilijk, ook niet voor leerlingen, maar de kernvraag is: Ik kan het verhaal wel anekdotisch vertellen, maar kan ik de leerlingen ook iets laten doen? GeoGebra biedt mogelijkheden om grafen praktische te bestuderen. We bekijken hoe leerlingen zelf door de Königsberg kunnen wandelen en hoe je aan de configuraties van een graaf kunt zien of de stadswandeling mogelijk is. Daarna verkennen we andere toepassingen van grafen. Verschillende toepassing zijn door ingebouwde commando s eenvoudig te exploreren met GeoGebra. Engelse tekst met meer achtergrond over het bruggenprobleem vind je op de pagina Het stadsplan Een afbeelding van het stadsplan van Königsberg kan je in het Tekenvenster invoeren met de knop Afbeelding Invoegen op de knoppenbalk: 1.2. Wandelen door de stad Wandelen door de stad kan je met een versleepbaar punt waarvan je het spoor toont. - Voeg een nieuw punt in met de knop Nieuw Punt. - Rechtsklik op het punt en selecteer Eigenschappen. - In de tabs Kleur en Stijl kan je de opmaak van het punt aanpassen. - Vink in de tab Basis de optie Label tonen uit en vink de optie Spoor tonen aan. - Je kunt nu wandelen door de stad door het punt te verslepen. - Het commando Inzoomen(1) doet alle getoonde sporen verdwijnen, waarna je een nieuwe wandeling kunt maken. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 1

3 Interactief werken met grafen Een verbinding tussen twee punten maak je door een lijnstuk te tekenen. Om verschillende paden te maken langs de punten van een graaf moeten we een middel vinden om verbindingen te activeren of te verbreken. Dit kan je visueel realiseren met een eenvoudig scripting commando en dynamische kleuren. Bedoeling: een actieve verbinding kleurt blauw, een niet-actieve kleurt lichtgrijs. - Definieer eerst een booleaanse variabele toonab = false. - Bepaal twee punten A en B en teken een lijnstuk dat beide punten verbindt. - Rechtsklik op het lijnstuk, selecteer Eigenschappen en open de tab Scripting - Typ in de tab Bij klikken het commando SetValue(toonAB,!toonAB). Bij klikken op het lijnstuk zal de waarde nu telkens wisselen tussen true en false. Deze syntax maakt is een eenvoudig en gelijkwaardig alternatief voor een commando als SetValue(toonAB, Als(toonAB==true, false, true). Met de mogelijkheid om in een graaf bepaalde verbindingen te selecteren kan je zowel allerhande theoretische aspecten van grafen als praktische toepassingen uitproberen en verkennen. In deze syllabus verkennen we enkele uiteenlopende toepassingen van grafen. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 2

4 - Selecteer nu de tab Geavanceerd en definieer de dynamische kleuren: Als toonab als waarde true heeft, krijgen Rood en Groen als waarde 0 en Blauw als waarde 1: het lijnstuk kleurt blauw. Als toon AB als waarde false heeft, krijgen de drie kleuren als waarde 0.7 zodat het lijnstuk lichtgrijs kleurt. Opmerking: De waarden geven zwart als kleur, geeft wit. Bij herhaaldelijk klikken zal de kleur van het lijnstuk wisselen tussen lichtgrijs en blauw. Voor eventuele bijkomende versleepbare bruggen kan je om het even wat gebruiken. Een optie is bijvoorbeeld een starre veelhoek. Construeer je een Starre veelhoek CDEF, dan worden na constructie enkel de eerste twee hoekpunten getoond. Met het eerste hoekpunt C versleep je de veelhoek in het tekenvenster (dat kan je ook door de muisaanwijzer midden in de rechthoek te plaatsen), met het tweede hoekpunt D roteer je de rechthoek rond het punt C. Met zulke versleepbare bruggen kan je een willekeurige configuratie van bruggen realiseren en uitproberen of ze een stadswandeling over alle bruggen mogelijk maken Graad van een punt In het bruggenprobleem is de graad van elk punt op de graaf van belang, dit is het aantal geselecteerde verbindingen dat in een punt samenkomt. Hierbij is het handig om weten dat je booleaanse variabelen met waarden false of true gewoon kunt optellen. De som van booleaanse waarden a, b, c, d en e zegt ons hoeveel van deze vijf variabelen als waarde true hebben. De graad van een punt is dus gewoon de som van alle getallen toon die horen bij de verbindingen die in het punt samenkomen. We kunnen ook testen of een punten een oneven graad heeft door de modulo 2 van de graad van het punt te berekenen. Omdat de modulo 2 van een getal ofwel 0 ofwel 1 is, geeft de som van deze moduli bovendien het totaal aantal knooppunten met een oneven graad. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 3

5 1.5. Configuratie in Königsberg Voorzien we per punt twee mogelijke actieve verbindingen dan - wordt de graad van het punt A: graada = toonab1 + toonab2 + toonac1 + toonac2 + toonad1 + toonad2 - testen we of de graad even of oneven is door de modulo 2 van dit getal te bereken. onevena= Mod(graadA, 2). Een resutaat 1 betekent dat de graad oneven is. - berekenen we het totaal aantal punten met een oneven graad als aantaloneven = onevena + onevenb + onevenc + onevend. Die waarden kan je dynamisch in een tekst opnemen, zodat je mooi kunt volgen wat het resultaat is van het (de)selecteren van verbindingen in de graaf. Werk je ook hier met een versleepbaar punt met spoor, dan kan je controleren welke configuraties realiseerbare wandelingen in de stad opleveren. Algemener kan je dit (de)selecteren ook gebruiken bij een meer theoretische benadering van grafen, waarbij je de eigenschappen van diverse soorten grafen bestudeert. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 4

6 2. Handelsreizigersprobleem Wat is het kortste circuit op een graaf dat juist één keer langs elk punt passeert? Dit probleem wordt 'het handelsreizigersprobleem' (traveling salesman problem of TSP) genoemd, naar een handelaar die wil uitzoeken hoe hij de route langs zijn klanten kan optimaliseren. Het probleem werd voor het eerste geformuleerd in 1930 en werd een van de meest bestudeerde optimalisatieproblemen. Een bekende economische toepassing van dit probleem is het ontwerpen van printplaten. Meer voor de hand liggend zijn het uitstippelen van routes voor schoolbussen of bedeelfirma s. David L. Applegate schreef er hét standaardwerk over dit probleem en publiceerde het bij Princeton University Press als The Traveling Salesman Problem. A Computational Study. Het is een kanjer van niet minder dan 600 pagina s, maar je vindt er dan ook alle wat er te zeggen is over het probleem. Bart Demoen schreef er als informaticaonderzoeker aan de KU Leuven enkele artikels over. Je vindt verschillende versies online als het probleem van de handelsreiziger. Voor 3, 4 of 5 punten kan je het probleem nog gemakkelijk manueel oplossen, maar snel wordt het een hele uitdaging voor computerprogrammeurs. Het is ook door deze complexiteit dat het probleem zijn reputatie verwierf. Met het commando Handelsreizigersprobleem( <Lijst met punten> ) kan je het probleem wel mooi illustreren op kaarten of grondplannen. Op een kaart van Europa kan je mooi zien hoe de kortste rondreis langs enkele steden andere volgorden kiest wanneer je een stad vervangt door een andere. - Voeg een kaart of grondplan in een ggb-bestand in met de knop Afbeelding invoegen. - Creëer enkele punten, bijvoorbeeld A, B, C, D en E. - Typ in de invoerbalk het commando Handelsreizigersprobleem({A,B,C,D,E}). - Versleep een of meerdere punten en zie hoe de route wijzigt. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 5

7 3. Voronoidiagrammen en Delaunaytriangulatie Een Voronoidiagram heeft alles te maken met nabijheid en heeft vele toepassingen: Een vliegtuig in nood vindt snel het meest nabije vliegveld, een fastfoodketen plant zijn vestigingen in een grootstad, een toerist vindt het meest nabije metrostation in Londen, een automobilist een parking of benzinestation Twee punten Je staat op het St-Pietersplein in Rome. Welk is de meest nabije fontein? Het is eenvoudig te begrijpen dat de middelloodlijn van twee punten twee halfvlakken definieert. Het zijn de gebieden die het dichtst bij een van de twee fonteinen liggen Drie punten Bij drie punten A, B en C bepaal je 2 per 2 de middelloodlijnen van twee punten. Deze bepalen drie meest-nabije gebieden. Het gemeenschappelijk snijpunt van de drie middelloodlijnen is ook het middelpunt van de cirkel door A, B en C, de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC. De graaf die het vlak onderverdeelt in meest-nabije gebieden van een lijst met gegeven punten noemt men het Voronoidiagram van deze punten. De knooppunten van deze graaf zijn de snijpunten van de middelloodlijnen van deze punten, 2 aan 2 genomen. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 6

8 3.3. Voronoidiagram en Delaunaytriangulatie Voronoidiagrammen en Delaunaytriangulaties zijn elkaars duale voorstellingen. Daar waar een Voronoidiagram de meest-nabije gebieden afbakent van een reeks punten, verdeelt een Delaunaytriangulatie het vlak in driehoeken met de gegeven punten als hoekpunten. De middelpunten van de omgeschreven cirkels van de gevormde driehoeken komen hierbij overeen met de knooppunten in het Voronoidiagram. De verdeling in driehoeken is minder vanzelfsprekend dan het lijkt. Neem b.v. een vierhoek. Je kunt deze vierhoek op twee manieren verdelen in driehoeken. Om de meest nabije gebieden te bepalen, is het niet om het even welke verdeling je kiest. Je moet die verdeling kiezen waarbij geen van de punten binnen de omgeschreven cirkel ligt van de driehoek door de andere drie punten. In onderstaande figuur kiezen we daarom voor de linkse optie: - A ligt niet binnen de omgeschreven cirkel van de driehoek BCD. - B ligt niet binnen de omgeschreven cirkel van de driehoek ACD. In de optie rechts liggen C en D wel binnen de omgeschreven cirkels van de overstaande driehoeken. Voor vierpunten is het eenvoudig om de juiste verdeling te vinden. Voor een uitgebreide lijst met punten een triangulatie maken die voor elke driehoek aan deze eis voldoet is dat minder. Want een aanpassing tussen vier punten wijzigt meteen ook de situatie voor de omliggende punten. Daarom werden ook voor de opbouw van Voronoi diagrammen meerdere algoritmes ontwikkeld. In GeoGrebra kan je voor een gegeven lijst met punten zowel het Voronoi diagram creëren als de Delaunay triangulatie met volgende ingebouwde commando s: Voronoi( <Lijst met punten> ) en Delaunay( <Lijst met punten> ) In een applet kan je ook het verband onderzoeken tussen beide. Je ziet heel mooi hoe verdelingen verspringen bij het verslepen van punten. Beide grafen kan je uitwerken op grondplannen, stadsplannen of landkaarten. Als extraatje kan je patronen creëren met regelmatige veelhoeken en eventuele extra punten. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 7

9 4. Vierkleurenprobleem Het vierkleurenprobleem dateert al uit de 19 e eeuw, toen men zich afvraag hoeveel kleuren er minimaal nodig waren om een landkaart in te kleuren. Dat bleken er verrassend slechts vier te zijn. Je kunt het onderzoeken door gebieden aanklikbaar te maken, analoog als in het bruggenprobleem van Königsberg. We werken nu echter met vier kleuren. Het bepalen van de kleur bij herhaaldelijk aanklikken moet je gebied per gebied doen, zodat er heel wat typwerk aan te pas komt. Voor het inkleuren van veelhoek 1 werken we als volgt: - Bij elke veelhoek hoort een teller, voor veelhoek1 is dat n1. - Bij elke klik verhogen we die teller met 1. - Staat de teller al op 4, dan wordt hij 0 bij een volgende klik. - Bij elke waarde van de teller hoort een kleur: 0 = wit, 1 = rood, 2 = groen, 3 = blauw, 4 = geel - Een resetknop plaatst alle tellers terug op 0 en kleurt de veelhoeken opnieuw wit. Je kunt het inkleuren van gebieden ook vertalen naar grafen: We kunnen het Schlegel diagram van een dodecaëder (twaalfvlak) ook voorstellen als een niet gerichte graaf: - Elk gebied van de graaf stellen we voor door een punt. - Aangrenzende gebieden stellen we voor een lijn in de graaf. - Het resultaat is een planaire graaf met evenveel punten als gebieden en evenveel lijnen als grenzen. Het vierkleurenprobleem wordt nu: "Elke planaire graaf kan je met hoogstens vier kleuren inkleuren zodat verbonden punten een verschillende kleur krijgen ". Opmerking: De graaf in het voorbeeld die op het Schlegeldiagram van een twaalfvlak getekend is, telt slechts 11 punten en geen twaalf. Het is geen illustratie van hoe kan je een ruimtelichaam inkleuren? maar illustreert enkel hoe je regio s op vlakke landkaarten kunt linken aan grafen. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 8

10 5. Schlegeldiagrammen (Solids, graphs and paths) Ruimtelichamen voorstellen Hoe beeld je ruimtelichamen af op een plat vlak? Intuïtief denken we daarbij aan een tekening die er uitziet als een foto. Het resultaat is plat, maar je herkent de voorstelling als een ruimtelichaam. Deze voorstellingen hebben ook nadelen: - Omdat je een aanzicht moet kiezen, blijven sommige zijden, vlakken, punten zijn onzichtbaar. - Bij de keuze van een perspectiefmethode worden meerdere hoeken en/of zijden niet in ware grootte afgebeeld. Leonardo da Vinci construeerde reeds in 1509 afbeeldingen van ruimtelichamen. Met een kubus hebben we weinig problemen, maar de rechtse afbeelding herkennen we enkel als een twintigvlak omdat we het kennen als wiskundigen. Daarom ontwikkelde Victor Schlegel in 1886 een nieuwe manier van voorstellen. Het merkwaardige is dat je de vormen van het ruimtelichamen helemaal niet meer herkent, maar wel de configuratie van hoekpunten, zijden en vlakken. In volgende afbeelding wordt een prisma voorgesteld in een Schlegeldiagram. Dit is een planaire graaf, m.a.w. de verbindingen in de graaf snijden elkaar niet. Hierdoor krijg je een overzichtelijk beeld van het verband tussen de punten. Welke hoekpunten van het prisma zijn met elkaar verbonden door een zijde en welke niet? Hoeveel zijden snijden elkaar in een hoekpunt? Is dit zo voor elk hoekpunt? Je ziet ook snel dat het prisma 9 zijden heeft en 6 hoekpunten. Tel je ook het buitenvlak mee als een vlak dan tel je 5 vlakken. Drie zijvlakken van het prisma zijn vierhoekig, twee zijvlakken zijn driehoekig. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 9

11 5.2. Constructie Je construeert een Schlegeldiagram van een lichaam door vanuit een punt dicht bij het lichaam een centrale projectie te maken op een vlak. Experimenteer je in een applet met de positie van het rode punt, dan merk je inderdaad dat de projectie enkel een planaire graaf oplevert wanneer het punt erg dicht bij het ruimtelichaam staat Verbindingen tussen punten In een planaire graaf kan je aflezen welke punten rechtstreeks met elkaar verbonden zijn. Deze verbindingen kan je ook weergeven in een verbindingsmatrix. Ga je nog een stap verder, dan kan je door matrixvermenigvuldigingen berekenen hoeveel mogelijkheden er zijn om in b.v. 3 stappen van het ene hoekpunt naar het andere te gaan. Ook in het Schlegeldiagram kan je het aantal mogelijkheden nagaan. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 10

12 6. Kortste pad tussen twee punten Wat is de kortste afstand tussen twee punten via de verbindingen in een graaf? Het is de wiskundige vertaling van het bepalen van een reisroute met een gps Dijkstra-algoritme De Nederlandse wiskundige Edsger Dijkstra ( ) werkte een algoritme uit om in een graaf het kortste pad tussen twee punten te vinden. Het idee van dit algoritme is dat we de knopen labelen en daarbij telkens het kleinste label kiezen. We maken daarbij tijdelijke en permanente labels. Een tijdelijk label geeft de kortste afstand van het beginpunt tot die knoop, die we tot dan toe gevonden hebben. Bij iedere stap die we doen kan dit tijdelijke label kleiner worden. We maken een tijdelijk label permanent wanneer we vaststellen dat er geen korter pad naar die knoop bestaat. Zo geraak je stap na stap van A naar G en vind je dat A-B-C-E-F-G het kortste pad is tussen A en G en de kortste afstand tussen A en G via de verbindingen van de graaf 15 is. In het GeoGebraboek kan je de toepassing van het Dijksta-algoritme stapsgewijs volgen en uitproberen in enkele voorbeelden. Een heel begrijpelijke uitleg van het algoritme vind je online op Een gebruiksklare didactische uitwerking vind je op Ook op YouTube vind je filmpjes waarin het algoritme uitgelegd wordt Uitwerking in GeoGebra In GeoGebra is het Commando ingebouwd met volgende syntax: KortsteAfstand( <Lijst met lijnstukken>, <Startpunt>, <Eindpunt>, <Boolean gewicht> ) Berekent het kortste pad tussen Startpunt en Eindpunt in een grafiek bepaald door een lijst van lijnstukken. Als gewicht = false, dan wordt het gewicht van elke hoek gelijkgesteld aan 1, d.w.z. we zoeken naar het pad met het kleinst aantal hoeken). Anders wordt gezocht naar het meetkundig kortste pad. In een GeoGebra bestand werken we het kortste pad tussen twee punten op een graaf uit. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 11

13 - Bepaal met de knop Nieuw Punt een willekeurig aantal vrije punten. - Construeer een graaf door een aantal lijnstukken te creëren tussen deze punten. Bepaal zelf welke punten een rechtstreekse verbinding krijgen en welke niet. Vink in de tab Basis van het Eigenschappenvenster Label tonen aan en selecteer Waarde, zodat het gewicht van elk lijnstuk getoond wordt, en niet de naam. - Bepaal de lijst met alle verbindingen als lijnstukken = {f, g, h, i, j, k, l, m, n} - Het kortste pad tussen A en G vind je nu als KortsteAfstand(lijnstukken, A, G, true). Versleep nu een of meerdere punten en zie hoe GeoGebra zelf zijn oplossing aanpast. Opmerking: Het GeoGebra commando werkt enkel met reële afstanden van lijnstukken, niet met abstracte voorstellingen waarin je zelf gewichten kunt toekennen aan verbindingen. Gps-software kan dat wel en kan op die manier rekening houden met verkeersdrukte en toegelaten snelheid en zo een verschil maken tussen kortste en snelste verbinding Oefening opstellen Je kunt nu zelf oefeningen uitwerken: - Bepaal een graaf met een willekeurig aantal punten en verbindingen en toon voor elke verbinding de lengte van de verbinding. - Bepaal het kortste pad tussen twee punten op de graaf met het GeoGebra commando maar bepaal met een aanvinkvakje of de verbinding getoond wordt of niet. - Maak elke verbinding selecteerbaar (geselecteerd = blauw) met het script dat we eerder al gebruikten in het bruggenprobleem. - Werk stapsgewijs het algoritme van Dijkstra uit en bepaal het kortste pad door verbindignen aan te klikken. - Vink het aanvinkvakje aan en controleer je oplossing. Voorzie een reset-knop waarin je alle verbindingen deselecteert en het aanvinkvakje uitvinkt.gebruik hiervoor de scripting commando s SetValue(verbinding, false). Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 12

14 7. Minimaal opspannende boom De graaf die binnen een verbonden, gewogen graaf met het kleinst mogelijk totale gewicht alle punten verbindt, noemen we de minimaal opspannende boom (in het Engels: Minimal Spanning Tree). Deze graaf is altijd een boom, dat wil zeggen dat hij geen cykels heeft (= een reeks door zijden verbonden knopen met hetzelfde begin- en eindpunt). Ook hier zijn praktijkvoorbeelden als het aanleggen van een netwerk van voorzieningen niet moeilijk voor te stellen. Er werden verschillende algoritmen ontwikkeld en op het internet vind je uitgewerkte didactische gehelen over dit probleem. Gekend is het algoritme van Prim: - Kies een willekeurig punt op de graaf (1e bezochte knoop) - Kies de verbinding met de kleinste waarde verbonden met deze knoop - Voeg deze knoop toe aan je verzameling bezochte knopen - Kies de verbinding met de kleinste waarde, verbonden met je verzameling, - Voeg de nieuw bezochte knoop toe aan je verzameling bezochte knopen - Ga door tot je alle knopen bezocht hebt. In het GeoGebraboek kan je stapsgewijs het algoritme van Prim volgen en uitproberen. Je kunt de stapsgewijze oplossing vergelijken met het resultaat van het ingebouwde commando MinimaalOpspannendeBoom( <Lijst met punten> ). Net zoals in de vorige grafentoepassing kan je zelf oefenbestanden maken met selecteerbare verbindingen, een aanvinkvakje en een resetknop. Een alternatief voor het algoritme van Prim is dat van Kruskal. Hierbij vertrekt men van de verbinding met het kleinste gewicht. Telkens wordt de overblijvende verbinding met het kleinste gewicht toegevoegd, tenzij deze een cykel vormt. In oefeningen in het GGboek kan je het aanklikken van verbindingen toepassen zodat je beide algoritmes kunt oefenen in het applet zelf. Op het internet vind je tal van sites die de opbouw en het programmeren van beide algoritmes beschrijven. GeoGebra is niet de ideale programmeeromgeving om stapsgewijs dergelijke algoritmes te illustreren, wel om begrippen als minimaal opspannende boom of kortste pad interactief te tonen in een tekenvenster met een graaf door versleepbare punten. Enkele toepassingen van grafen Chris Cambré pag. 13