TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Mechanica 2 voor N (3AA42) woensdag 24 juni 2009 van

Transcriptie

1 M C 4 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Mechanica voor N (3AA4) woensdag 4 juni 009 van uur Dit examen bestaat uit de opgaven t/m 6. Bij dit examen mag geen grafische rekenmachine, gewone rekenmachine of Notebook gebruikt worden. Maak uw werk op het doorslagpapier. Lever het origineel in en neem de doorslag mee naar huis, zodat u aan de hand daarvan uw eigen werk kunt beoordelen via de na afloop van het tentamen uit te reiken antwoorden. Bij het cijfer afhalen dient u de eigen beoordeling mee te brengen.. Een homogene koperen staaf met massa m, lengte l 0 en doorsnede A is aan de linkerkant bevestigd aan een scharnier. Via een aan de rechterkant bevestigde kabel wordt de staaf in horizontale positie gehouden (zie figuur). De kabel maakt een hoek θ met de staaf. Young s modulus voor koper is Y. De versnelling van de zwaartekracht is g. a. Bereken de grootte van de kracht die het scharnier op de staaf uitoefent. a. Bereken de lengteverandering van de staaf als gevolg van de horizontale drukkrachten. Verwaarloos hierbij de doorbuiging van de staaf. g. In een holle buis in de vorm van een halve cirkel met straal R, die wrijvingsloos rond een as door het midden van de buis kan roteren, bevindt zich een puntmassa m die wrijvingsloos door de buis kan bewegen. Op een gegeven moment roteert de buis met hoeksnelheid ω en bevindt de puntmassa zich t.o.v. de buis in rust in het punt P, waarvan de verbindingslijn met het centrum van de cirkel een hoek van 45 maakt met de rotatie-as. Zie de figuur. Het traagheidsmoment van de buis t.o.v. de rotatie-as is I en de versnelling van de zwaartekracht is g. a. Teken een krachtendiagram in het meeroterende stelsel en geef hierin duidelijk aan welke krachten en schrijnkrachten op de puntmassa werken. Leid uit dit diagram een uitdrukking of voor de hoeksnelheid ω in termen van de overige gegeven grootheden. " #

2 O N 4 C Plotseling wordt de hoeksnelheid verlaagd tot ω = ω/, waarna het systeem weer vrij kan roteren. De puntmassa beweegt naar beneden en komt op een gegeven moment met een bepaalde snelheid aan in het punt O, dat op de rotatie-as ligt. b. Bereken de hoeksnelheid van het systeem op dat moment. U mag hierbij ω als gegeven beschouwen. 3. Een homogene biljartbal met massa m en straal R op een horizontale biljarttafel krijgt op tijdstip t = 0 een stoot naar rechts met tegendraads effect. Na de stoot is de snelheid van de bal gelijk aan v 0 in de x-richting en de hoeksnelheid gelijk aan ω 0 (zie figuur). De kinetische wrijvingscoëfficiënt is µ k. De valversnelling is g. M L a. Laat zien dat op het tijdstip t = (v 0 + ω 0 R)/(7gµ k ) de beweging van de biljartbal overgaat van slippen naar rollen. Het blijkt dat na de overgang van slippen naar rollen de bal in de negatieve x-richting beweegt met een snelheid exact tegengesteld aan zijn oorspronkelijke snelheid. b. Bepaal voor dit specifieke geval de beginhoeksnelheid ω 0 en de arbeid die de wrijvingskracht verricht tijdens de slipfase. Beide antwoorden dienen te worden uitgedrukt in de gegeven grootheden, waarbij ω 0 niet in het eindantwoord mag voorkomen. 4. Een cilinder met massa M, lengte L en straal R ligt stil op een wrijvingsloze, horizontale tafel. De cilinder is van binnen uitgehold tot een straal R/ (zie figuur), en heeft een niet-uniforme massadichtheid ρ die omgekeerd evenredig is met de afstand r tot de as van de cilinder (ρ /r). Op een zeker moment wordt de cilinder getroffen door een kogel met massa m, die net voor de botsing evenwijdig aan de tafel en loodrecht op de as van de cilinder beweegt met een snelheid ter grootte v. De kogel raakt de cilinder op een hoogte h boven de tafel en op afstand L/ vanaf beide uiteinden. Direct na de botsing beweegt de kogel met snelheid w in verticale richting omhoog. De valversnelling is g.

3 a. Bereken het traagheidsmoment van de cilinder voor rotatie rond de as van de cilinder, uitgedrukt in M, L en R. Voor het vervolg van deze opgave is gegeven dat het bij onderdeel (a) gevraagde traagheidsmoment de waarde I heeft. b. Beschouw het speciale geval waarbij de kogel direct na de botsing geen snelheid heeft (dus w = 0). Bereken dan de hoogte h waarvoor de cilinder direct na de botsing rolt zonder te slippen. Geef een duidelijke omschrijving van de wetten of principes waar de berekening op gebaseerd is. c. Neem nu aan dat (in tegenstelling tot hierboven) w 0 en dat de cilinder direct na de botsing wel degelijk slipt. Verder is ook nog gegeven dat de botsing van kogel en cilinder elastisch is. Geef dan aan welke dynamische grootheden van het systeem van cilinder en kogel samen tijdens de botsing behouden zijn, en schrijf duidelijk op waarom dat zo is. Stel op grond hiervan een aantal vergelijkingen op waarmee in principe de massa m van de kogel kan worden uitgedrukt in R, h, I, M, v en w. De vergelijkingen hoeven niet daadwerkelijk te worden opgelost. 5. De spaceshuttle met massa m beweegt met snelheid v 0 in een cirkelvormige baan om de aarde op een afstand r 0 van het centrum van de aarde. In een manoeuvre om terug te keren naar de aarde worden op een bepaald moment kortstondig remraketten in werking gebracht waardoor de grootte van de snelheid daalt naar v 0 = /3 v 0, maar waarbij de richting van de snelheid nog steeds loodrecht op de verbindingslijn tussen spaceshuttle en aarde staat. Zie de figuur. G is de gravitatieconstante en M is de massa van de aarde. 8 8 H a. Geef een uitdrukking voor v 0 in termen van r 0, m, M and G. Geef duidelijk aan op welke wetten of principes uw berekening is gebaseerd. b. Geef een uitdrukking voor de afstand r van dichtste nadering tot het centrum van de aarde na de manoeuvre en de snelheid v op dat punt in termen van r 0, m, M and G. Geef duidelijk aan op welke wetten of principes uw berekening is gebaseerd. 3

4 6. Een kubus met massa M, rustend op een vloer, is via twee massaloze veren ingeklemd tussen twee muren. De ene veer heeft een lengte L en veerconstante k, de andere een lengte L en veerconstante k. In de figuur is de situatie in evenwicht te zien. Aan de kubus wordt een kleine horizontale uitwijking u 0 naar rechts gegeven. Na loslaten op tijdstip t = 0 met snelheid v(t = 0) = 0 voert het systeem een zwak gedempte trilling uit, waarbij het een wrijvingskracht ter grootte αv ondervindt, met v de snelheid van de kubus en α een positieve constante. a. Stel de differentiaalvergelijking op voor de uitwijking u(t) van de kubus, en geef een uitdrukking voor de trillingstijd T 0. b. Neem aan dat de trillingstijd T 0 uit onderdeel (a) gegeven is. Bepaal de uitwijking u(t) als functie van de tijd in termen van de gegeven grootheden M, α, u 0 en T 0. EINDE 4

5 FORMULEBLAD MECHANICA A ( B C) = ( A. C) B ( A. B) C A B = (A B 3 A 3 B ) e x + (A 3 B A B 3 ) e y + (A B A B ) e z Traagheidsmomenten ten opzichte van centrale as: bolschil : 3 mr ; massieve bol : 5 mr Traagheidsmomenten ten opzichte van centrale as, loodrecht oppervlak: bierviltje : mr ; briefkaart : m(b + l ) Poolcoördinaten: v = ṙ e r + r ϕ e ϕ, a = ( r r ϕ ) e r + (ṙ ϕ + r ϕ) e ϕ Baanvergelijking voor een satelliet om de aarde in poolcoördinaten: + ɛ r(θ) = r 0 + ɛ cosθ, met ɛ = r 0v0 gr E = r 0v 0 GM. Plaats, snelheid en versnelling in een roterend stelsel QX Y Z ten opzichte van een inertiaalstelsel OXY Z: r = r r Q ; v = v v Q ω r ; a = a a Q α r ω v ω ( ω r ) Young s modulus: Y = F /A l/l 0 Bulk modulus: B = p V/V 0 Shear modulus: S = F /A x/h Oscillator met kleine demping: x = Ae bt/m cos(ω t + ϕ) met ω = Amplitude van een gedwongen trilling: A = Goniometrie gegevens: sin30 o = cos60 o = sin45 o = cos45 o = sin60 o = cos30 o = 3 F max (k mω d ) +b ωd k m b 4m 5

6 B E O O R D E L I N G S F O R M U L I E R van het examen Mechanica (3AA4) van 4 juni 009 In principe is het cijfer gelijk aan het totaal gedeeld door 7,. Voor een goede berekening die berust op een principieel fout uitgangspunt worden geen punten gegeven. De voorlopige cijfers zullen uiterlijk donderdag 9 juli 009 bekend gemaakt worden, evenals de data voor het bespreken. Indien u gebruik wilt maken van het bespreken dan dient u dit formulier ingevuld mee te brengen voor het onderhoud met de corrector. Naam: Identiteitsnr.: Groep: Te behalen Toegekend door Toegekend door Vraagstuk: punten: corrector: student:. a) a) a) a) a) c) a) a) Totaal te behalen punten: 7 Behaald:... Behaald:... 6

7 C M C 4 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Mechanica voor N (3AA40) woensdag 4 juni 009 van uur. a. Met T de spankracht in de kabel volgt met Στ = 0 t.o.v. het scharnier: l 0 T sinθ = 0mg en dus: T = mg F = 0 volgt voor de kracht van het scharnier op sinθ de staaf: horizontaal: F sh = T cosθ = mg en verticaal: F tanθ sv = mg; de totale kracht is dus: F s = mg sinθ a. Formuleblad: l l 0 = F /A Y = mg AY tanθ.. a. Zie de figuur voor het krachtendiagram. De echte krachten die werken zijn de zwaartekracht mg en de normaalkracht F n. De centrifugaalkracht is gelijk aan (formuleblad) mω r, met r = R/, dus F cf = mω R/. In het meeroterende stelsel werkt er geen netto kracht op m. Uit de krachtenbalans voor horizontale en verticale krachten vinden we dan F cf = mg, waaruit ω = /4 g/r. b. Op het systeem van buis en puntmassa werkt geen extern krachtmoment in verticale richting, dus er geldt behoud van de verticale component van het impulsmoment t.o.v. de rotatie-as. Met de puntmassa in P is het impulsmoment van de puntmassa mvr = mω r = mω R / en dat van de buis Iω. Met de puntmassa in O is het impulsmoment van de puntmassa 0 en dat van de buis Iω. Er geldt dus: Iω = Iω +mω R /. Hieruit: ω = [+mr /(I)]ω = [+mr /(I)]ω/ voor de hoeksnelheid als de puntmassa in O is. 3. a. De wrijvingskracht die de tafel uitoefent op de biljartbal is naar links gericht en is gelijk aan mgµ k. Op basis van een krachtendiagram en I = (/5)mR (formuleblad) vinden we als bewegingsvergelijkingen, voor de translatie naar rechts: mgµ k = ma en voor de rotatie rechtsom: mgµ k R = (/5)mR α. Hieruit vinden we a = gµ k en α = 5gµ k /(R). We lossen het tijdstip t op uit de rolconditie v = ωr en de relaties v = v 0 + at (translatie) en ω = ω 0 + αt (rotatie). Hieruit vinden we t = (v 0 + ω 0 R)/(7gµ k ). b. M.b.v. de uitdrukking voor t uit (a) en de relatie v = v 0 + at met a = gµ k vinden we v(t) = (5v 0 ω 0 R)/7. Met v(t) = v 0 vinden we dan ω 0 = 6v 0 /R. Aangezien de kinetische energie in de translatiebeweging gelijk is gebleven (v(t) = v 0 ) is de arbeid verricht door de wrijvingskracht t.g.v. het slippen gelijk aan het verschil in rotatie-energie Iω(t) / Iω0/. Uit de rolvoorwaarde volgt ω(t) = v 0 /R. Met I = (/5)mR vinden we dan 7mv0 voor de arbeid verricht door de wrijvingskracht..? B. L 4. " #. D

8 4. a. Stel ρ(r) = a/r. Massa cilinder is dan M = L R a/r πr dr = πalr. R/ Traagheidsmoment voor rotatie om as is L R a/r πr R/ r dr = (7/)πaLR 3. Er volgt I = (7/)MR. b. Principe: impulsmoment van cilinder t.o.v. ieder punt op werklijn van v behouden. Gebruikmakend v.d. impulsmomentstelling volgt 0 = Iω MV (h R) met ω de rotatiesnelheid en V de translatiesnelheid van het massamiddelpunt na de botsing. Samen met de rolconditie V = ωr volgt h = (I + MR )/MR. c. (i) Het is een elastische botsing, dus is de totale mechanische energie behouden mv = mw + Iω + MV. (ii) In horizontale richting werken geen externe krachten, dus is de horizontale component van de totale impuls behouden (dit geldt niet in verticale richting want de cilinder ondervindt tijdens de botsing een verticale stoot van de normaalkracht uitgeoefend door de tafel) mv = MV. (iii) De enige belangrijke externe kracht (de normaalkracht van de tafel) werkt in het raakpunt van de cilinder met de tafel, dus is het totale impulsmoment t.o.v. dit punt behouden mvh = mw{r (h R) } / + Iω + MV R. Dit zijn drie vergelijkingen waaruit in principe de onbekenden m, V en ω opgelost kunnen worden. 5. a. Voor een cirkelvormige baan moet de gravitatiekracht juist gelijk zijn aan de middelpuntzoekende kracht, dus: mv0/r 0 = mmg/r0. Hieruit vinden we v 0 = MG/r0. b. Behoud van impulsmoment en gebruik makend van het antwoord bij (a): r 0 mv 0 = r 0 m /3 v 0 = m MGr 0 /3 = rmv, met v de snelheid in het punt van dichtste nadering. Behoud van energie: mv 0 MmG/r 0 = MmG/r 3 0 = mv MmG/r. Hieruit vinden we v = MG/(3r 0 ) en r = r 0 /. 6. a. Krachten die op de kubus werken bij een uitwijking u: F veer = k u en F veer = k u. De wrijvingskracht is: αv = α u. De bewegingsvergelijking is dan: mü = (k + k )u α u. De hoekfrequentie is (formuleblad): ω = (k + k )/M α /(4M ). Hieruit volgt voor de trillingstijd: T 0 = π/ω = π/ (k + k )/M α /(4M ). b. Het systeem is zwak gedempt, dus is de algemene oplossing voor de uitwijking (formuleblad): u(t) = A exp[ αt/(m)] cos(πt/t 0 + φ). Voor de snelheid volgt hieruit: u(t) = A exp[ αt/(m)]{[α/(m)] cos(πt/t 0 + φ) + [π/t 0 ] sin(πt/t 0 + φ)}. Uit u(t = 0) = A{[α/(M)] cos φ + [π/t 0 ] sin φ} = 0 volgt: φ = arctan[ αt 0 /(4πM)]. Uit u(t = 0) = u 0 volgt: u 0 = A cos φ, dus A = u 0 / cos φ. Hiermee zijn A en φ uitgedrukt in de gegeven grootheden.