Masterproef Studie naar de afregeling van hydraulische toepassingen

Transcriptie

1 Masterproef Studie naar de afregeling van hydraulische toepassingen Studiegebied Industriële wetenschappen en technologie Opleiding Master of Science in de industriële wetenschappen: elektromechanica Academiejaar Brecht D heygere

2 Voorwoord Vooraleer over te gaan naar de thesistekst zou ik enkele mensen willen bedanken die gezorgd hebben dat dit eindwerk tot een goed eind is gebracht. Als eerste zou ik de Hogeschool West-Vlaanderen meerbepaald het departement GKG willen bedanken, dit om de kans die ze me gaven om dit eindwerk te kunnen uitvoeren. Ik wil ze bedanken voor het ter beschikking stellen van lokalen, materialen en machines tijdens de hele periode van het eindwerk. Daarnaast wil ik ook mijn promotoren Dhr. Bart Vanwalleghem en Dhr. Stijn Derammelaere bedanken. Dit voor de hulp die ik gehad heb tijdens de masterproef. Ik wil ook Dhr. Kurt Stockman en Dhr. Bram Vervisch bedanken voor de hulp bij de toestandsregeling. Dankzij deze mensen is deze masterproef een leerrijke ervaring geweest en heb ik veel bijgeleerd over hydraulische applicaties en de afregeling ervan. Tot slot wil ik mijn ouders nog bedanken voor de steun tijdens dit laatste jaar en de voorgaande jaren. Brecht D heygere II

3 Abstract Secondary controlled drives are drives which can recuperate energy when braking. Hydrostatic transmissions and other standard hydraulic drives can t recuperate that energy. However secondary controlled drives are only used in specific applications and that with special developed components. The secondary controlled drives aren t cheap because of the special developed components. The first milestone of this thesis is the development of a simulation model of a secondary controlled drive. The components of the drive must be designed on a specific hydraulic unit. Also the controller that the hydraulic unit needs must be designed, the controller must be regulating the speed of the hydraulic unit. Beside the designed secondary controlled drive in this thesis is there also another part. The second part of this thesis is the study on a position application. At the present are the controllers that are used for position applications PID-controllers. Beside the PID-controllers there are also state space controllers, the state space controllers are controllers that aren t regularly used. The second milestone of this thesis is to build a state space model of a position application. This state space model is then used to build a state space controller. The state space controller must be used on a existing position application. III

4 Inhoudsopgave VOORWOORD... II ABSTRACT... III SYMBOLENLIJST... VI FIGURENLIJST... VIII INLEIDING SIMULATIEMODEL SECUNDAIRE AANDRIJVING Werking secundaire aandrijving Principiële opbouw en werking Vierkwadranten werking Voor- en nadelen Hydraulisch schema open circuit in DSHplus Hydraulische motor Last Accumulator Overdrukventiel Pomp Regelschema hydromotor Bepaling transferfunctie open lus regelaar Regelschema hydromotor Bepaling PI-regelaar Regelaar pomp Regelschema pomp Bepaling PI-regelaar Metingen met ingestelde PI-regelaar Hydraulisch schema gesloten circuit in DSHplus Vulpomp + accumulator lage drukleiding Regelaars gesloten circuit Besluit secundaire aandrijving THEORETISCH MODEL HYDRAULISCH POSITIONEERSYSTEEM IV

5 2.1. Inleiding Ventiel Hydrodynamisch systeem debietvergelijking Lineaire debietvergelijking Vergelijking volledig ventiel Cilinder Theoretisch toestandsmodel positioneersysteem Toestandmodel met de dynamica van het ventiel Toestandsmodel zonder de dynamica van het ventiel IMPLEMENTATIE TOESTANDSREGELAAR Praktisch toestandsmodel Model toestandsregelaar Instellen toestandsregelaar Bepaling factoren via poolplaatsing Bepaling factoren via optimale afregeling Metingen toestandsregelaar via matlab Meting met bepaling via poolplaatsing Meting met bepaling via optimale afregeling Metingen toestandsregelaar op de positioneerapplicatie BESLUIT LITERATUURLIJST V

6 Symbolenlijst A matrix van het toestandsmodel A i matrix van het toestandsmodel met integrator A 1-4 doorstromingsoppervlakte (m²) A z cilinderstang oppervlakte bij het A-gedeelte (m²) A r cilinderstang oppervlakte bij het B-gedeelte (m²) B matrix van het toestandsmodel B i C d matrix van het toestandsmodel met integrator stromingscoëfficiënt c wrijving cilinder (N/m/s) C lek C M lekconstante matrix voor het bepalen van de regelbaarheid d diameter plunjer (m) d 1 diameter plunjer (m) d 2 diameter drainageleiding (m) E stor energie die opgeslagen moet worden in de accu (J) F kracht (N) F hydr hydraulische kracht door de cilinder (N) F ext externe kracht die inwerkt op de cilinder (N) F magn magneetkracht (N) F in totale versnellingskracht (N) F wr wrijvingskracht (N) F st totale stationaire stromingskracht (N) F tr totale transiënte stromingskracht (N) F v veerkracht (N) F leid kracht in de drainageleiding (N) J inertie (kgm²) I eenheidsmatrix van dezelfde orde als A i K Qx lineairisatieconstante van de plunjerpositie (m²/s) K Qp lineairisatieconstante van de druk (m³/pa s) K Qx,A-B lineairisatieconstante van de plunjerpositie (m²/s) K Qp,A-B lineairisatieconstante van de druk (m³/pa s) k v ingangsconstante van de ventielingang K veerconstante (N/m) K i matrix dat de versterkingsfactoren bevat l 1 lengte (m) l 2 lengte (m) l s lengte wrijving tussen de plunjer en de huls (m) m massa (kg) m A massa in het A-gedeelte van de cilinder (kg) m B massa in het B-gedeelte van de cilinder (kg) m massa cilinder en last (kg) m 1 massa plunjer (kg) m 2 massa olie in de stuurkamer (kg) m 3 massa veer (kg) m 4 massa olie in de drainageleiding (kg) VI

7 n polytropische factor n rang van de A-matrix p druk (Pa) p s aanvoerdruk (Pa) p A druk bij de cilinderleiding (Pa) p B druk bij de cilinderleiding (Pa) p 0 tankdruk (Pa) p L verschil tussen druk A en druk B (Pa) p d2 druk in de drainagekamer en drainageleiding (Pa) p 1-4 druk bij v 1-4 (Pa) p 1 minimale accudruk (bar) p 2 maximale accudruk (bar) p A druk in de hogedruk leiding (Pa) p B druk in de lagedruk leiding (Pa) Q debiet (m³/s) Q A debiet naar het A-gedeelte van de cilinder (zie (m³/s) Q B debiet naar het B-gedeelte de cilinder (zie (m³/s) Q 1-4 debiet in het ventiel (m³/s) Q L debiet (m³/s) Q lek interne lek (m³/s) Q debiet door het ventiel (m³/s) Q invloedmatrix R invloedmatrix s speling tussen de plunjer en de huls (m) t tijd (s) T koppel hydromotor (Nm) T versn versnellingskoppel hydromotor (Nm) T s settlingtijd (s) U grootte onderlap (m) u matrix van het toestandsmodel u v ingangssignaal plunjer v snelheid (m/s) v s snelheid aanvoerleiding (m/s) v 1d-4d snelheid olie bij A 1-4, debietvergelijking (m/s) v 1-4 snelheid (m/s) V volume (V) V A volume A-gedeelte van de cilinder (m³) V B volume B-gedeelte van de cilinder (m³) V A0 volume A-gedeelte cilinder zonder verplaatsing (m³) V B0 volume B-gedeelte cilinder zonder verplaatsing (m³) V instelbaar slagvolume van de hydromotor (m³) V acc gewenst accumulator slagvolume (l) x matrix van het toestandsmodel x v versnelling plunjer (m/s²) x v snelheid plunjer (m/s) x v positie plunjer (m) y verplaatsing cilinder (m) y snelheid cilinder (m/s) VII

8 y versnelling cilinder (m/s²) z versnelling olie in de drainageleiding (m/s²) z verplaatsing olie in de drainageleiding (m) µ wrijvingscoëfficiënt θ hoek (zie (rad) ρ massadichtheid olie (kg/m³) ρ A massadichtheid A-gedeelte van de cilinder (kg/m³) ρ B massadichtheid B-gedeelte van de cilinder (kg/m³) ω hydr eigenfrequentie hydrodynamisch systeem plunjer (rad/s) ω hoeksnelheid hydromotor (rad/s) ω 0 maximale hoeksnelheid voor afremming (rad/s) ω 1 minimale hoeksnelheid na afremming (rad/s) δ hydr β demping hydrodynamisch systeem plunjer bulkmodulus olie p drukverschil tussen de leiding (Pa) Figurenlijst Figuur 1: onderverdeling hydraulische aandrijvingen [4]... 2 Figuur 2: principiële opbouw van het open circuit [2]... 3 Figuur 3: principiële opbouw van het gesloten circuit [2]... 3 Figuur 4: Vierkwadrantenwerking... 5 Figuur 5: hydraulisch schema open circuit... 7 Figuur 6: simulatie last... 8 Figuur 7: balgaccumulator[5]... 8 Figuur 8: schema voor bodemeting Figuur 9: amplitude van de bode Figuur 10: fase van de bode Figuur 11: bode berekende transferfunctie lastas Figuur 12: bode berekende transferfunctie motoras Figuur 13: regelschema hydromotor Figuur 14: stapresponsie bij terugkoppeling bij de last bij een regelaar Kp=1 en zonder integrator Figuur 15: simulatiemeting bij een regelaar met terugkoppeling bij de last Figuur 16: poolbaan ideale regelaar Figuur 17: stapresponsie via de transferfunctie bij de ideale regelaar Figuur 18: simulatie bij slechte regelaar, min en max waarde van de assen rechtsonderaan Figuur 19: poolbaan van de ingestelde regelaar Figuur 20: simulatie ingestelde PI-regelaar Figuur 21: stapresponsie bij ingestelde regelaar Figuur 22: responsie bij een koppelstoot bij de ingestelde regelaar Figuur 23: simulatie bij talud aan de de ingangen Figuur 24: simulatie met de 4 kwadranten Figuur 25: de 4 kwadranten Figuur 26: meting hydromotor in het eerste kwadrant Figuur 27: meting pomp in het eerste kwadrant Figuur 28: meting hydromotor in het tweede kwadrant VIII

9 Figuur 29: meting pomp in het tweede kwadrant Figuur 30: meting hydromotor in het derde kwadrant Figuur 31: meting pomp in het derde kwadrant Figuur 32: meting hydromotor in het vierde kwadrant Figuur 33: meting pomp in het vierde kwadrant Figuur 34: regelschema pomp Figuur 35:meting drukregeling met normale werking van de hydromotor Figuur 36: meting drukregelaar bij een drukdaling Figuur 37: meting drukregelaar bij een overdruk Figuur 38: meting drukregelaar bij een verandering van de drukeis Figuur 39: werking drukregelaar bij een te grote debietvraag Figuur 40: hydraulisch schema gesloten circuit Figuur 41: positioneerapplicatie[4] Figuur 42: ventiel[7] Figuur 43: doorsnede ventiel Figuur 44: oliesnelheden bij een verplaatsing van de plunjer Figuur 45:weergave van een ventiel[7] Figuur 46: vereenvoudigde weergave van een ventiel[7] Figuur 47: onderlap en overlap plunjer[8] Figuur 48: cilinder met enkelvoudige stang[7] Figuur 49: voorbeeld toestandsmodel [9] Figuur 50: gebruikte positioneerapplicatie Figuur 51: meting voor het model Figuur 52: ruissignaal meting voor het model Figuur 53: positie cilinder bij de meting voor het model Figuur 54: drukken bij de meting voor het model Figuur 55: toestandregelaar van de positioneerapplicatie Figuur 56: theoretisch model van een toestandsregeling met integrator[10] Figuur 57: simulink schema voor het testen van de toestandsregeling Figuur 58: simulatiemeting met poolplaatsing Figuur 59: simulatiemeting met poolplaatsing (positie) Figuur 60: simulatiemeting met optimale afregeling Figuur 61: regelaar voor de positioneerapplicatie IX

10 Inleiding In de Howest wordt er reeds enkele jaren toegepast onderzoek verricht naar hydraulische aandrijvingen. Hierbij ligt de nadruk vooral op het efficiënter maken van deze aandrijvingen. Daarvoor is er een testbank van de hydrostatische rijaandrijving opgebouwd. Dit is een veel gebruikte aandrijving bij voertuigen met een hoog lastkoppel. Om deze aandrijving een beter rendement te bezorgen werd een efficiëntiemodel ontwikkeld voor de aansturing van de rijaandrijving. Hydrostatische rijaandrijvingen en de meeste andere standaard hydraulische aandrijvingen hebben echter het nadeel dat er geen recuperatie is van de vrijgekomen energie bij afremming van de aandrijving. Bij secundaire aandrijvingen is er wel recuperatie van deze energie en dit via accumulatoren. De bestaande secundaire aandrijvingen worden wel voornamelijk bij specifieke high end applicaties ingezet. Daarvoor worden specifieke componenten ontwikkeld. Bijgevolg is deze aandrijfoplossing niet goedkoop. Bij dit project is het de bedoeling om met een goedkopere aandrijving een goedwerkende secundaire aandrijving te ontwikkelen. Naast de aandrijvingen is er in de Howest ook onderzoek met positioneerapplicaties. Momenteel is er enkel gewerkt met de standaard PID- en PDFF- regelaars. De toestandsregelaar zijn hierbij nog niet onderzocht. Bij deze masterproef wordt deze regelaar ontworpen en op de bestaande positioneerapplicatie geïmplementeerd. Dit gebeurt via een commerciële regelaar en de zelf ontworpen regelaar. Deze masterproef start met een onderzoek naar de werking van de huidige hydrostatische rijaandrijving. Hierbij wordt vooral het dynamische gedrag van de testbank opgemeten. Er wordt ook een studie uitgevoerd over de secundaire aandrijving. Hierbij is er een onderzoek naar de werking van de aandrijving waarna er een simulatiemodel wordt opgesteld in DSHplus 3.6. Dit gebeurt aan de hand van een bepaalde hydraulische motor. Hierbij is er een afstelling van de andere componenten op deze hydraulische motor. De regelkring voor de aandrijving wordt aan de hand van deze componenten ook in het simulatiemodel gemodelleerd. Daardoor kan bepaald worden welke vereisten de componenten moeten hebben om een werkelijke secundaire aandrijving te creëren. Als laatste is er de implementatie van de toestandsregelaar op de bestaande positioneerapplicatie. Eerst wordt het theoretisch model van de regelaar via matlab opgesteld en afgeregeld aan de hand van het positioneersysteem. Deze regelaar wordt dan op de applicatie geïmplementeerd. 1

11 1 Simulatiemodel secundaire aandrijving 1.1. Werking secundaire aandrijving Hydraulische aandrijvingen kunnen in vier groepen onderverdeeld worden, deze groepen zijn te zien in Figuur 1. De aandrijvingen verschillen hierbij in de vermogenlevering en in de regeling van het systeem. In de vermogenlevering kan er een onderscheid gevormd worden tussen aandrijvingen die gebruik maken van een opgedrongen debiet en aandrijvingen die gebruik maken van een opgedrongen druk. Bij aandrijvingen, die gebruik maken van een opgedrongen debiet, levert er een pomp debiet aan de aandrijving. Deze aandrijving gebruikt dit debiet om een verplaatsing te realiseren en de druk die ontstaat in het hydraulisch systeem is afhankelijk van de last. Bij aandrijvingen die gebruik maken van een opgedrongen druk levert de pomp een constante druk aan de aandrijving, hierbij moet er voldoende opslagcapaciteit zijn voor de olie zodat de druk stabiel blijft. De aandrijving gebruikt de constante druk om de verplaatsing te realiseren. Het benodigde debiet is afhankelijk van de last. Bij de regeling van het systeem kan er een onderscheid gemaakt worden tussen aandrijvingen die geregeld worden via smoringen en aandrijvingen die geregeld worden via slagplaatregeling. Bij de regeling via smoringen wordt de grootte van de smoring aangepast om het toegeleverd debiet of de druk aan te passen die de hydraulische aandrijving gebruikt voor de verplaatsing. De regelbare smoring is een ventiel. Bij de slagplaatregeling wordt de slagplaat van de pomp en/of hydromotor ( bij toepassingen die gebruik maken van hydromotor) aangepast om de last te regelen. Bij de regeling van de slagplaat van de pomp wordt de vermogenvoorziening geregeld meerbepaald de opgedrongen debiet/druk wordt geregeld. Bij de regeling van de slagplaat van de hydromotor blijft het opgedrongen debiet/druk hetzelfde en is het toerental of koppel van de last afhankelijk van de positie van slagplaat van de hydromotor. Secundaire aandrijvingen behoren tot de vierde groep (Figuur 1) en werken dus met een opgedrongen druk, de regeling gebeurt via slagplaatregeling [1],[2],[3]. De slagplaatregeling gebeurt hierbij met de slagplaat van de hydromotor en is een koppelregeling. Het grote voordeel van de secundaire aandrijving is dat er recuperatie van remenergie mogelijk is. Dit doordat het slagvolume negatief kan worden door het verdraaien van de slagplaat. Hierdoor kan de hydromotor als pomp werken en energie ontnemen van de last en dus remmen. Figuur 1: onderverdeling hydraulische aandrijvingen [4] 2

12 Principiële opbouw en werking Bij de secundaire aandrijving zijn er twee mogelijke principiële configuraties mogelijk namelijk het open circuit systeem zoals te zien is in Figuur 2 en het gesloten circuit zoals te zien is in Figuur 3,[2],[3]. De twee uitvoeringen werken steeds met drie basiscomponenten: de variabele pomp, de variabele hydraulische motor en accumulatoren. De variabele pomp samen met de accumulatoren dienen om de druk in het systeem op een constant niveau te houden. De variabele pomp levert hierbij het debiet dat nodig is om de druk constant te houden. De accumulatoren zijn nodig om een grote opslagcapaciteit te hebben voor de olie om drukvariaties te vermijden, de accumulatoren dienen ook om de remenergie op te slaan afkomstig van de hydromotor. De hydromotor met variabel slagvolume gebruikt de constante druk om het geleverd koppel naar de last te regelen. Er zijn wel geen regelventielen voorzien in de hoofdkring voor de regeling van het koppel en snelheid van de hydromotor. Deze regeling gebeurt door de variabele slagplaat van de motor waardoor de regelventielen overbodig zijn. Er kan dan ook geen drukval ontstaan over regelventielen als deze niet aanwezig zijn. Bij het open circuit zijn de pomp en motor altijd verbonden met de tank, bij het gesloten circuit is dit niet zo. Daar worden de pomp en motor met elkaar verbonden met daartussen een accumulator om in deze leiding ook een constante druk te garanderen. Bij het gesloten circuit moet er ook altijd een vulpomp aanwezig zijn om de lekverliezen te compenseren. Figuur 2: principiële opbouw van het open circuit [2] Figuur 3: principiële opbouw van het gesloten circuit [2] 3

13 Specifiek bij de secundaire aandrijving is het feit dat door de constante druk in het systeem de slagplaatmanipulatie van de hydromotor resulteert in een koppelregeling. Dit is af te leiden van de basisformule waarbij het uitgaand vermogen gelijk is aan het ingaand vermogen van de hydromotor (1.1). Het debiet hierbij is te bepalen uit de hoeksnelheid en het slagvolume (1.2). Het koppel van de hydromotor is hierdoor afhankelijk van het drukverschil tussen de hoge druk zijde en de lage druk zijde en van het slagvolume dat ingesteld is (1.3). Het drukverschil is door de pomp en de accumulatoren relatief constant waardoor het koppel enkel afhankelijk is van het variabele slagvolume. Er is dus een koppelregeling bij de secundaire aandrijving [4]. (1.1) (1.2) (1.3) Met: T koppel hydromotor (Nm) p drukverschil tussen de leiding (Pa) V instelbaar slagvolume van de hydromotor (m³) Q debiet (m³/s) ω hoeksnelheid hydromotor (rad/s) Het koppel aan de hydromotor is dus te regelen door het slagvolume te veranderen. Het toerental daarentegen is niet zo gemakkelijk te regelen. Het toerental is te regelen door de versnelling van de hydromotor dat afhankelijk is van het versnellingskoppel en de inertie (1.4). (1.4) Met: Tversn versnellingskoppel hydromotor (Nm) J inertie (kgm²) ω hoeksnelheid hydromotor (rad/s) 4

14 Vierkwadranten werking Figuur 4: Vierkwadrantenwerking Bij een secundaire aandrijving is er vierkwadranten werking mogelijk, hiervoor moet de slagplaat van de hydromotor langs beide kanten kunnen uitwijken [4]. Dit om het slagvolume zowel positief als negatief te regelen. Als dit niet mogelijk zou zijn dan is er enkel werking mogelijk in de eerste twee kwadranten (Figuur 4). Als er geen lastkoppel is aangebracht aan de hydromotor en deze niet ronddraait dan is het werkingspunt in de oorsprong van de vierkwadranten, hierbij is het slagvolume van de hydromotor nul. Wordt er een positief lastkoppel aangebracht dan moet het slagvolume van de hydromotor vergroten om de hydromotor niet te laten ronddraaien. Dit kan tot het maximale slagvolume bereikt is, bij hogere lastkoppels zal de hydromotor niet genoeg koppel meer leveren om het evenwicht te bewaren en zal de hydromotor negatief blijven versnellen. Dit kan wel vermeden worden door de druk in de accumulator te verhogen waardoor een hoger koppel bereikt wordt (1.3). Als er bij een positief koppel en dus een bepaald slagvolume een positieve toerentaleis wordt opgelegd dan moet eerst het slagvolume stijgen om het versnellingskoppel te leveren. Wanneer het gewenste toerental bereikt is kan het slagvolume terug dalen naar het volume van voor de toerentaleis. Dit om te zorgen dat het motorkoppel terug hetzelfde is als het lastkoppel en er dus geen versnelling meer is. In regime is het slagvolume dus enkel afhankelijk van het lastkoppel en niet afhankelijk van het toerental van de hydromotor. Bij een positief slagvolume en een positief toerental wordt er debiet gevraagd van de accumulator. De hydromotor werkt als motor en verbruikt olie. Deze werking is kwadrant 1 in Figuur 4. Bij een negatieve toerentaleis en bij een positief koppel moet eerst het slagvolume de hydromotor verkleind worden om te versnellen (negatief) naar het wenstoerental. De last zorgt hierbij dat het toerental bereikt wordt en niet de hydromotor zoals bij kwadrant 1, het lastkoppel is bij het versnellen groter dan het motorkoppel. Als het negatieve toerental bereikt is kan het slagvolume terug stijgen naar het slagvolume in regime. Bij een positief slagvolume en een negatief toerental remt de hydromotor de last af zodat het toerental niet groter wordt, er wordt debiet geleverd (1.2) naar de accumulator en kan de druk stijgen. De hydromotor werkt dus als pomp, deze werking is kwadrant 2 in Figuur 4. 5

15 In kwadrant 3 is er de werking bij een negatief koppel en een negatief toerental. Om het negatief lastkoppel tegen te werken moet het slagvolume van de hydromotor negatief zijn zodat het motorkoppel (1.3) even groot is als het lastkoppel, dit om het constante toerental te behouden. In kwadrant 3 zorgt de hydromotor dat het toerental van de last niet kleiner wordt. Hierdoor vraagt de hydromotor debiet van de accumulator, er is dus motorwerking in kwadrant 3. Bij kwadrant 4 is er werking bij een negatief koppel en een positief toerental. Door het negatief koppel moet er in regime dus een negatief slagvolume zijn bij de hydromotor. Bij een negatief slagvolume en koppel en een positief toerental moet de hydromotor de last afremmen zodat de last niet versnelt (positief) door het negatieve lastkoppel. Hierdoor levert de hydromotor debiet aan de accumulator en is er dus pompwerking in kwadrant Voor- en nadelen De voordelen van de secundaire aandrijving zijn: - Er is geen energieverlies door de afwezigheid van schakelkleppen in de hoofdkring. Bij andere conventionele aandrijvingen zijn er meestal schakelkleppen aanwezig in de hoofdkring. Over deze schakelkleppen ontstaat er steeds een drukval, dit tengevolge van het debiet dat door de kleppen vloeit. Deze drukval zorgt voor een energieverlies, door de afwezigheid van schakelkleppen bij een secundaire aandrijving is dit energieverlies er niet. - De aandrijving werkt in de vierkwadranten waardoor er energierecuperatie mogelijk is als de hydromotor als pomp werkt. Er is dus energierecuperatie in kwadrant twee en vier. Dit is reeds besproken in Bij de afremming van de last, als er motorwerking is (kwadrant één en drie) van de hydromotor, kan er toch energierecuperatie gebeuren. De energierecuperatie kan gebeuren bij het afremmen van een grote inertie en een laag lastkoppel. Het remkoppel is tegengesteld van het lastkoppel en als dit remkoppel hoger is dan het lastkoppel is moet de slagplaat van de hydromotor langs de andere zijde uitwijken. Hierbij ontstaat er pompwerking en is er dus energierecuperatie. - Parallelwerking van verschillende hydromotoren. Doordat er gewerkt wordt op een constante druk is het debiet dat de pomp levert afhankelijk van het verbruik om de druk constant te houden. Hierdoor kunnen meerdere hydromotoren naast elkaar werken gebruikmakende van deze constante druk. De ene hydromotor kan hierbij ook gebruik maken van de olie die bij een andere hydromotor levert bij pompwerking. Naast de voordelen zijn er bij de secundaire aandrijving ook nadelen: - De hydraulische motoren, die voor de aandrijving nodig zijn, zijn duur door de regelbare slagplaat. Daarnaast zijn er ook andere dure componenten nodig zoals een pomp met variabele slagplaat en een accumulator. - Er is een moeilijke afregeling van het toerental van de hydromotor omdat de slagplaatmanipulatie een koppelregeling is. Het toerental van de hydromotor moet dus geregeld worden via het versnellingskoppel. 6

16 1.2. Hydraulisch schema open circuit in DSHplus (3) (1) (2) (5) (6) (4) Figuur 5: hydraulisch schema open circuit Het hydraulisch schema bij het open circuit bevat een pomp ( (1) in Figuur 5), overdrukventiel (2), accumulator (3), reservoir (4), motor (5) en last (6) met tussen de componenten de leidingen die zorgen voor drukvallen Hydraulische motor De hydraulische motor die gebruikt wordt voor de secundaire aandrijving is een motor met een variabel slagvolume waarbij dit slagvolume zowel positief als negatief kan zijn om de vierkwadranten werking te simuleren. Dit wordt in DSH gesimuleerd als HydroVariableMotor, dit is een motor met variabel slagvolume waarbij dit slagvolume in te stellen is met een elektrisch signaal van -1 (max. negatief slagvolume) tot +1 (max. positief slagvolume). De hydromotor, meer bepaald het maximale slagvolume, die nodig is voor de secundaire aandrijving moet gedimensioneerd worden op maximale koppel dat de last nodig heeft. Bij het simulatiemodel is dit echter niet van belang doordat het geen werkelijk bestaande last is. Het maximale slagvolume van de hydromotor wordt daarom gekozen op 125cm³, dit is gebaseerd op een bestaande hydromotor van Bosch Rexroth die gebruikt wordt voor secundaire aandrijvingen. Het maximale koppel dat de hydromotor kan leveren bij de accumulatordruk van 280 bar die in het simulatiemodel gebruikt wordt is ongeveer 550Nm. Als het lastkoppel dus over 550Nm gaat dan zal de hydromotor en de last op hol slaan. 7

17 Last De last die gekozen wordt in de simulatie is een koppeling met daaraan een roterende inertie waarbij een lastkoppel kan aangelegd worden. Dit kan alle mogelijke lastomstandigheden simuleren. Figuur 6: simulatie last Accumulator Figuur 7: balgaccumulator[5] De accumulatoren in de secundaire aandrijving zijn nodig om een grote opslagcapaciteit te hebben voor de olie om drukvariaties te vermijden en om de remenergie afkomstig van de hydromotor op te slaan. De accumulator die er in de simulatie gebruikt wordt is een gasgevulde balgaccumulator [6]. Dit zijn de meest voorkomende accu s en hebben het voordeel tegenover de zuigeraccu s dat er geen lek is van het gas. De vuldruk van deze accu s moet minimaal 25% zijn van de maximale druk om volledige samendrukking te vermijden van de balg en de daar bijhorende schade. De vuldruk mag ook maar maximaal 90% van de minimale druk bedragen om schurend contact te vermijden met accuwand. Het volume van de accumulatoren moet berekend worden op de maximale energie die de motor terug in het hydraulisch circuit kan brengen. Bij toepassingen waar er veel geremd moet worden maar waar er geen grote meewerkende koppels zijn worden de accumulatoren gedimensioneerd op de remenergie die vrijkomt bij de afremming. Deze remenergie wordt bepaald aan de hand van formule (1.5). (1.5) Met: Estor energie die opgeslagen moet worden in de accu (J) J totale inertie (kgm²) ω 0 maximale hoeksnelheid voor afremming (rad/s) ω 1 minimale hoeksnelheid na afremming (rad/s) 8

18 Bij toepassingen waarbij er grote meewerkende koppels aanwezig zijn moet de accumulator gedimensioneerd worden op de energie die ontstaat door dit meewerkende koppel (1.6). (1.6) Met: Estor energie die opgeslagen moet worden in de accu (J) T maximum meewerkend koppel (Nm) ω maximale hoeksnelheid bij dit meewerkend koppel (rad/s) t tijd dat meewerkend koppel moet kunnen optreden (s) De energie die de accumulator kan opslaan bepaalt het volume van de accu, dit volgens formule (1.7) [3]. De accumulator is best minimaal deze berekende waarde anders zal het overdrukventiel openen wanneer de maximale energie terug gewonnen kan worden. De energie zal hierdoor niet meer opgeslagen worden in de accu maar door het overdrukventiel opgestookt worden. [ ( ) ] (1.7) Met: Estor maximum energie die opgeslagen moet worden in de accu (J) n polytropische factor (bij 300 bar en 27 C: n= 1.707) p 1 minimale accudruk (bar) p 2 maximale accudruk (bar) Vacc gewenst accumulator slagvolume (l) Overdrukventiel Het overdrukventiel dient om de druk niet te hoog te laten worden als de hydromotor als pomp werkt, de druk mag namelijk niet hoger worden dan de maximale druk die de componenten aankunnen. Bij de simulatie is het overdrukventiel ingesteld op 400 bar Pomp De pomp die in de simulatie gebruikt wordt is een pomp met een variabel slagvolume. Dit variabel slagvolume wordt gebruikt om een constante druk aan de hydromotor te creëren. Anders dan bij de hydromotor kan de slagplaat van de pomp maar langs een zijde uitzwenken en kan het slagvolume dus enkel positief zijn. In DSH is dit een variablepumprotationalspeed. Het maximale debiet dat de pomp kan leveren moet gedimensioneerd worden afhankelijk van de hydraulische motor. Als de hydromotor een constant debiet vraagt moet het maximale debiet van de pomp gelijk of groter zijn dan het maximale debiet van de hydromotor. Als de hydromotor een sterk variërend debiet vraagt kan het maximale debiet van de pomp iets lager zijn dan het maximale debiet van de hydromotor. De accumulator moet dan wel het gevraagde volume van de motor, dat de pomp niet kan leveren, kunnen leveren terwijl de druk constant kan blijven. Bij de simulatie wordt er een pomp gebruikt met een maximum slagvolume van 125 cm³ en dit bij een toerental van 1500 tr/min. De hydromotor heeft hetzelfde slagvolume als de pomp en mag dus bij het maximale slagvolume niet langdurig sneller draaien dan 1500 tr/min anders kan de pomp de debietvraag van de motor niet vervullen en zal de druk van de accumulatoren dalen. Ook het gewenste toerental van de hydromotor zal niet bereikt worden. Als er toch een hoger debiet nodig is dan moet het pomptoerental verhoogd worden. 9

19 1.3. Regelschema hydromotor Het toerental van de last is niet zomaar te regelen door het slagvolume te veranderen. Het koppel met hierbij het versnellingskoppel is echter wel gemakkelijk te regelen via het slagvolume van de hydromotor. Dit via formule (1.8). Het toerental kan dus geregeld worden via de versnelling en het bijhorende versnellingskoppel (formule (1.4)). (1.8) Met: T koppel hydromotor (Nm) pa druk in de hogedruk leiding (Pa) pb druk in de lagedruk leiding (Pa) V instelbaar slagvolume van de hydromotor (m³) Om de regelaar van de hydromotor in te stellen moet het systeem gekend zijn, meerbepaald wat gebeurt er met het toerental van de last en hydromotor als er een ingangssignaal aan de hydromotor gelegd wordt. De transferfunctie van de hydromotor moet gekend zijn Bepaling transferfunctie open lus regelaar De transferfunctie van de open lus regelaar wordt bepaald door de bode op te meten.dit gebeurt aan de hand van het model in Figuur 8, dit is de open lus regelkring waarbij alle elementen na de PI-regelaar aanwezig zijn. Bij de meting wordt er een sinussignaal aan de ingang ( (1) in Figuur 8 ) gekoppeld waarvan de amplitude per meting constant blijft en de frequentie verandert. Hierbij wordt de amplitude en de faseverschuiving tegenover het ingangssignaal opgemeten van het hydromotortoerental ( (2) in Figuur 8 ) en van het lasttoerental ( (3) in Figuur 8 ). Dit gebeurt steeds zonder dat er een lastkoppel wordt aangelegd. De versterking van de amplitude van de uitgang tegenover het ingangssignaal (Figuur 9) en de faseverschuiving (Figuur 10) wordt hierbij uitgezet in een grafiek waaruit de transferfunctie bepaald kan worden. (2) (3) (1) Figuur 8: schema voor bodemeting 10

20 Figuur 9: amplitude van de bode Figuur 10: fase van de bode 11

21 Phase (deg) Magnitude (db) Bepaling transferfunctie met de lastas als uitgang Vanuit de bode is af te leiden dat de open lus regelaar een integrator en een 2 e orde systeem bezit. De integrator is af te leiden door de constante verzwakking van de versterking met -20dB/decade en de faseverschuiving van ongeveer -90. Het 2 e orde systeem is te zien in de transferfunctie door de daling naar -270 bij de faseverschuiving. Bij de versterking is het iets minder zichtbaar, door de demping is er namelijk eerst een stijging in de versterking. Na deze stijging is echter terug een daling in de versterking merkbaar en dit met -60db/decade met de integrator meegerekend, zonder de integrator dus -40dB/decade. Dit wijst dus op een 2 e orde systeem. Deze daling bij het 2 e orde systeem is echter enkel door 1 punt gemeten (laatste punt in Figuur 9). Dit komt door de zeer grote verzwakking van -60dB/decade van het signaal waardoor er bij hogere frequenties geen signaal meer te meten was op de uitgang van de lastas. De integrator in het systeem bereikt de 0dB bij een frequentie van rad/s. De transferfunctie is hierdoor: (1.9) Het 2 e orde systeem bereikt een maximum bij 565 rad/s met een versterking van 23 db, de transferfunctie is hierdoor: (1.10) De totale transferfunctie van de regelaar kan dus bepaald worden door: (1.11) De bode van deze berekende transferfunctie is te zien in Figuur 11 en is ongeveer dezelfde als de gemeten bode, de opgestelde transferfunctie is dus goed. 50 Bode Diagram Gm = 31.7 db (at 565 rad/s), Pm = 90 deg (at rad/s) Frequency (rad/s) Figuur 11: bode berekende transferfunctie lastas 12

22 Phase (deg) Magnitude (db) Bepaling transferfunctie met de motoras als uitgang Vanuit de bode is af te leiden dat er in de open lus regelaar een integrator, een 2 e orde systeem en twee nulpunten die op dezelfde plaats zijn. De integrator is af te leiden door de constante verzwakking van de versterking met -20dB/decade en de faseverschuiving van ongeveer -90. De daling naar -270 in de fasekarakteristiek en de stijging in de versterkingskarakteristiek met daarna een daling van -60dB/decade met de integrator erbij duiden op het 2 e orde systeem in de transferfunctie van de motoras. De twee nulpunten in het systeem zijn te zien door de stijging naar -90 in de fasekarakteristiek. Ook de daling in de versterkingskarakteristiek daalt trager, voor de twee nulpunten is er een daling met -60dB/decade en na de twee nulpunten is nog maar een daling van -20 db/decade. De integrator in het systeem bereikt de 0dB bij een frequentie van rad/s. De transferfunctie is hierdoor: (1.12) Het 2 e orde systeem bereikt een maximum bij rad/s met een versterking van 51.6 db, de transferfunctie is hierdoor: (1.13) De 2 nulpunten die in de regelaar zitten beïnvloeden de regelaar vanaf 1250 rad/s, de transferfunctie is: (1.14) De totale transferfunctie van de regelaar kan dus bepaald worden door: (1.15) Als de bode van deze transferfunctie uitgezet wordt is er te zien dat de amplitudekarakteristiek dezelfde is als de opgemeten karakteristiek maar dat de fase karakteristiek niet volledig dezelfde is als bij de opgemeten karakteristiek (Figuur 12) maar wel gelijkenissen vertoont. Bij de opgemeten karakteristiek is er lichte stijging in de fase waarna deze onmiddellijk naar -270 gaat, dit is hetzelfde bij de transferfunctie. Bij de transferfunctie stijgt echter onmiddellijk naar -90 terwijl dit bij de opgemeten karakteristiek even bij -270 blijft. Dit kan invloed hebben op het instellen van de PI-regelaar bij terugkoppeling van de motoras. 50 Bode Diagram Gm = 5.92 db (at 566 rad/s), Pm = 90.1 deg (at rad/s) Frequency (rad/s) Figuur 12: bode berekende transferfunctie motoras 13

23 Regelschema hydromotor Figuur 13: regelschema hydromotor De regelaar die gebruikt wordt om het toerental te regelen van de last is te zien Figuur 13. Bij de regelaar wordt het werkelijke toerental van het wenstoerental afgetrokken, van daaruit wordt er overgegaan naar de controller. Dit is een PI-controller, hierbij is de I-actie nodig doordat de eindwaarde niet bereikt wordt bij een stap aan het wenstoerental. Er is namelijk geen integrator aanwezig in het systeem, niet al het koppel dat de hydromotor levert wordt gebruikt voor de versnelling (waarbij er wel een integrator is om over te gaan naar het toerental). Er is ook een deel van het motorkoppel nodig voor wrijving en ook voor het lastkoppel. Na de controller wordt het signaal nog vermenigvuldigd met een extra factor. Deze vermenigvuldigde waarde stelt de teller voor in formule (1.8), het signaal afkomstig van de PI-controller stelt dus, met een factor verschil, het koppel voor dat nodig is om het wenstoerental te bereiken. De tellerwaarde moet daarna nog gedeeld worden, dit gebeurt door het drukverschil tussen de hoge drukleiding en de lage drukleiding. Uit de deling wordt het slagvolume berekend dat daarna gedeeld moet worden door het maximale slagvolume om een waarde tussen -1 en 1 te verkrijgen. De begrenzing dat daarna nog aanwezig is dient om het signaal te begrenzen tussen -1 en 1, de hydromotor kan toch geen slagvolume hebben dat groter is dan het maximale slagvolume. De twee drukken worden hier opgemeten maar deze drukken zijn relatief constant waardoor deze ook weggelaten kunnen worden en vervangen worden door een constante. Bij het vereenvoudigen naar een constante van de druk is er dan enkel nog de PI-controller met een extra factor aanwezig. De PI-controller regelt dan rechtstreeks het slagvolume van de hydromotor. De I-actie zal wel meer moeten bijregelen als er een drukstijging of drukdaling ontstaat. De twee drukken die dus in de regelaar worden opgenomen werken in deze regelaar als een feedforward die de integrator ontlasten Bepaling PI-regelaar Instellen PI-regelaar De PI-regelaar die aanwezig is bij de regelaar van het toerental van de hydromotor en last moet bepaald worden om een stabiele regeling van het toerental te hebben. Het instellen van de factoren van de PI-regelaar gebeurt via de transferfunctie die eerder bepaald is in Bepaling transferfunctie open lus regelaar. 14

24 Amplitude Bij metingen in het gesloten lus systeem met terugkoppeling van het toerental bij de last ontstaat er reeds bij een PI-regelaar met Kp =1 en geen integrator instabilteit op het toerental van de motor bij het aanleggen van een stap. Deze instabiteit van de motor zorgt hierbij voor instabiteit van de last. Dit terwijl er uit de transferfunctie met de uitgang bij de lastas af te leiden is dat er geen instabiliteit kan optreden bij deze regelaar, de stapresponsie van de transferfunctie is te zien in Figuur 14. Deze instabiteit komt echter door de hydromotor en is af te leiden uit Figuur 9 + Figuur 10, bij 565 rad/s is er een versterking van -3dB bij de faseovergang van -90 naar De amplitudemarge is dus 3dB, dit moet juist gepast zijn om geen instabiliteit te laten ontstaan maar bij de simulatiemetingen is dit juist het grensgeval dat voor instabiliteit zorgt voor de motoras. De amplitudemarge is dus te laag. 1 Step Response Time (seconds) Figuur 14: stapresponsie bij terugkoppeling bij de last bij een regelaar Kp=1 en zonder integrator Doordat er instabiliteit ontstaat bij de hydromotor en dit het toerental van de last beïnvloedt kan de ideale regelaar van de transferfunctie niet gebruikt worden. Er wordt proefondervindelijk naar een regelaar gezocht die wel stabiel is voor zowel de last en de hydromotor. De regelaar die wel stabiel is: De simulatiemeting die bij deze regelaar is te zien in Figuur 15. De regelaar reageert goed bij een stapresponsie van het wenstoerental. Bij een stap aan het lastkoppel en dus een storing voor de regelaar is daalt het toerental van de last zeer veel om daarna terug het wenstoerental te bereiken. De daling is echter te groot en de regelaar is nog steeds niet goed. De integrator van de regelaar kan niet voldoende snel storingen wegwerken, de oplossing is de versterking van de integrator vergroten. Dit is echter niet mogelijk omdat er dan terug instabiliteit ontstaat. 15

25 Imag Axis Time / s wenstoerental.value to /min lastkoppel.value -300 to 300 Nm lasttoerental.value to /min motortoerental.value to /min aanstuurwaarde motor.value -1 to 1 Figuur 15: simulatiemeting bij een regelaar met terugkoppeling bij de last Doordat er geen PI-regelaars te vinden zijn die aan de eisen voldoen bij terugkoppeling aan de as van de last wordt er overgegaan naar de terugkoppeling bij de as van de hydromotor. Bij metingen van het gesloten lus systeem met terugkoppeling van het toerental van de motor is er geen instabiliteit bij een PI-regelaar met Kp = 1 en geen integrator. Daarom wordt er gewerkt met terugkoppeling van het toerental van de motor. Hierbij werd er een ideale PI-regelaar gevonden via de poolbaan die in Figuur 16 te zien is: 2500 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) Real Axis Figuur 16: poolbaan ideale regelaar Deze poolbaan werd bepaald door de transferfunctie uit te zetten en hierbij een integrator en een nulpunt uit te zetten. Daarna werd er via de automatische afregeling de positie van het nulpunt en de versterking bepaald. De stapresponsie die bij deze regelaar moet voorkomen is te zien in Figuur 17. Dit is echter theoretisch en er wordt hierbij enkel rekening gehouden met de hydromotor en niet met de last. 16

26 Amplitude 1.4 Step Response Time (seconds) x 10-3 Figuur 17: stapresponsie via de transferfunctie bij de ideale regelaar De simulatiemeting met deze PI-regelaar is te zien in Figuur 18. Het toerental van de motor voldoet aan de verwachtingen en valt bijna volledig samen met het wenstoerental. Het lasttoerental daarentegen vertoont een lange uitslingering en bevindt zich dicht bij de instabiliteit. Ook het aanstuursignaal voor de hydromotor ondervindt bij deze PI-regelaar veel variaties, dit komt door de grote P-actie (439250) die zorgt dat zeer kleine fouten van het werkelijke toerental een grote aansturing tot gevolg hebben. Dit is zeker het geval bij stilstand. Het aanstuursignaal van de hydromotor moet enkel bij de stilstand begrenst worden door de hoge variaties. Deze PI-regelaar is dan ook niet ideaal Time / s lasttoerental.value -100 to /min lastkoppel.value 0 to 250 Nm motortoerental.value -100 to /min drukverschil Pa.Value 0 to 500 bar aanstuurwaarde motor.value -1 to 1 wenstoerental.value -100 to /min Figuur 18: simulatie bij slechte regelaar, min en max waarde van de assen rechtsonderaan 17

27 Imag Axis Via simulaties werd duidelijk dat er ook andere stabiele PI-regelaars mogelijk zijn die volgens de transferfunctie instabiel moeten zijn. Dit komt waarschijnlijk doordat de bode van de transferfunctie die bepaald is niet volledig dezelfde is als de opgemeten bode. Daarom wordt proefondervindelijk de PI-regelaar aangepast die theorisch ideaal was. Dit totdat de lange uitslingering weggewerkt is en het aanstuursignaal van de hydromotor stabiel is. De ideale regelaar die op deze manier gevonden is: Deze regelaar is via de poolbaan (Figuur 19) van de transferfunctie echter instabiel, dit doordat de bode van de transferfunctie die bepaald is niet volledig dezelfde is als de opgemeten bode. De polen van de gesloten lus liggen in het positieve reële deel en dan is er normaal instabiliteit. Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) Real Axis Figuur 19: poolbaan van de ingestelde regelaar De simulatie van deze PI-regelaar is te zien in Figuur 20. In tegenstelling tot de vorige regelaar is het lasttoerental volledig stabiel en het aansturingsignaal voor de hydromotor reageert niet zo hevig meer op zeer kleine fouten, er is dan ook een stabiele uitsturing. Het doorschot bij de last is wel iets hoger dan het doorschot bij de hydromotor Time / s lasttoerental.value -100 to /min lastkoppel.value 0 to 250 Nm motortoerental.value -100 to /min drukverschil Pa.Value 0 to 500 bar aanstuurwaarde motor.value -1 to 1 wenstoerental.value -100 to /min Figuur 20: simulatie ingestelde PI-regelaar 18

28 wenstoerental.value lastkoppel.value / 1/min / Nm lasttoerental.value / 1/min wenstoerental.value / 1/min lasttoerental.value / 1/min Responsie bij een stap aan de ingang Bij het aanleggen van een stap van 1000tr/min is het doorschot 18% en de eindwaarde wordt 0.07s na het aanleggen van de stap bereikt (Figuur 21). Hieruit kan er besloten worden dat dit een goede regelaar is voor stapresponsies Time / s Figuur 21: stapresponsie bij ingestelde regelaar Bij een koppelstoot zal het toerental van de last dalen en daarna terug stijgen naar de eindwaarde, bij 200Nm zal deze daling 44tr/min zijn en wordt de eindwaarde terug bereikt na 0.22s (Figuur 22). Dit is trager dan bij een stap van het toerental maar nog steeds voldoende. De regelaar is dus beter geschikt voor regelgedrag dan voor stoorgedrag Time / s Figuur 22: responsie bij een koppelstoot bij de ingestelde regelaar

29 Responsie bij een talud aan de ingang Bij een talud voor het wenstoerental volgt het lasttoerental tot op 0.1tr/min nauwkeurig. Hieruit kan er besloten worden dat er geen feedforward nodig is om de fout te verkleinen bij een talud, de fout is al voldoende klein. Ook bij een talud van het koppel is het verschil tussen het wenstoerental en het werkelijke lasttoerental voldoende klein (0.5tr/min). De I-actie is dus voldoende snel om fouten weg te werken die ontstaan door het lastkoppel. Bij de responsie met een talud aan de ingangen is duidelijk te zien dat bij een stijging van het wenstoerental er een kleine verhoging is van de aanstuurwaarde, het koppel dat dus nodig voor de versnelling te bereiken is dus laag tegenover het maximum koppel van de hydromotor. Bij de verhoging van het lastkoppel volgt de aanstuurwaarde van de hydromotor de stijging van het lastkoppel. Hieraan is te merken dat het slagvolume van de hydromotor van de secundaire aandrijving een koppelregeling is Time / s lasttoerental.value -100 to /min lastkoppel.value 0 to 250 Nm motortoerental.value -100 to /min drukverschil Pa.Value 0 to 500 bar aanstuurwaarde motor.value -1 to 1 wenstoerental.value -100 to /min Figuur 23: simulatie bij talud aan de de ingangen Responsie bij 4-kwadrantenwerking In Figuur 24 is de simulatie te zien van de hydromotor die in alle vier kwadranten werkt. De simulatie in DSHplus kan dus in de vier kwadranten werken en er is dus pompwerking mogelijk bij de secundaire aandrijving. 20

30 Time / s lasttoerental.value to /min lastkoppel.value -250 to 250 Nm drukverschil Pa.Value 0 to 500 bar aanstuurwaarde motor.value -1 to 1 wenstoerental.value to /min Figuur 24: simulatie met de 4 kwadranten Figuur 25: de 4 kwadranten In Figuur 26 en Figuur 27 is de werking van de secundaire aandrijving te zien in het eerste kwadrant. Bij deze werking is er een positief koppel en positief toerental (Figuur 25). Na 5s wordt een stap aan het wenstoerental gelegd, de aanstuurwaarde voor de slagplaat en het slagvolume moeten dus ook vergroten om het versnellingskoppel te leveren. De lastsnelheid (groen op Figuur 26) volgt hierbij de wenssnelheid, er is een positief toerental. In regime is er enkel een klein wrijvingskoppel dat geleverd moet worden en de aanstuurwaarde (blauw op Figuur 26) is dan ook zeer laag. Er is echter al werking in het eerste kwadrant door dit wrijvingskoppel. Als het koppel verhoogt wordt in waarde dan stijgt ook de aanstuurwaarde van de hydromotor naar een ander regimewaarde. De slagplaatregeling van de hydromotor is dus duidelijk een koppelregeling door het in verhouding zijn van de aanstuurwaarde met het lastkoppel. Bij deze meting is koppel steeds positief en is dus ook het slagvolume van de hydromotor positief. In Figuur 27 is te zien dat bij deze werking de druk van de accu steeds relatief constant blijft (rood op Figuur 27). Om deze druk constant te houden moet de pomp het slagvolume aan passen. Bij een laag lastkoppel kan het slagvolume van de pomp klein zijn en moet er weinig debiet geleverd worden. Het slagvolume van de hydromotor is namelijk ook laag waardoor er weinig debiet door de hydromotor gevraagd wordt. Bij de koppelstijging stijgt het slagvolume van de pomp echter ook en dit bij een constant toerental, er moet dus debiet geleverd worden aan de hydromotor. Er is dus motorwerking van de hydromotor bij een positief slagvolume. Er is dus duidelijk werking in kwadrant één (Figuur 25). 21

31 drukverschil Pa.Value / bar Tlast.Value / lastsnelheid.value / 1/min aanstuurwaarde.value / Time / s Figuur 26: meting hydromotor in het eerste kwadrant Time / s Figuur 27: meting pomp in het eerste kwadrant In Figuur 28 en Figuur 29 is de meting te zien van de werking in het tweede kwadrant. Dit is bij een positief koppel en negatief toerental (Figuur 25). Na 5s wordt er negatieve toerentaleis opgelegd en het toerental van de hydromotor (groen) volgt deze eis. Doordat er enkel wrijvingskoppel is, is de aanstuurwaarde van de hydromotor licht negatief (geen werking in kwadrant twee). Als het koppel (roze) stijgt dan stijgt de aanstuurwaarde van de hydromotor (blauw) ook en wordt de aanstuurwaarde positief (werking kwadrant twee). Bij dit stabiele koppel daalt de aanstuurwaarde echter eerst terug iets. Dit komt door de druk van de accu die stijgt (rood in Figuur 29). Het koppel van de hydromotor is dus ook afhankelijk van het drukverschil die over de hydromotor staat. Dit klopt met de vergelijkingen van het koppel die eerder opgesteld zijn. De drukstijging komt doordat de hydromotor de last afremt en werkt als pomp. Er wordt dus debiet naar de accu gestuurd door de hydromotor. Dit debiet kan enkel opgeslagen worden in de accu en dus moet de druk stijgen. De pomp zorgt hierbij dat het slagvolume nul is (blauw in Figuur 29) en geen debiet meer levert. De aanstuurwaarde wordt negatief doordat de druk te hoog is maar de aanstuurwaarde wordt begrenst tot nul. Bij een aanstuurwaarde van nul is er geen debietlevering meer van de pomp. Bij de werking in kwadrant twee is het slagvolume van de hydromotor positief en is er pompwerking dat merkbaar is aan de druk die stijgt. 22

32 drukverschil Pa.Value / bar Tlast.Value / lastsnelheid.value / 1/min aanstuurwaarde.value / Time / s Figuur 28: meting hydromotor in het tweede kwadrant Time / s Figuur 29: meting pomp in het tweede kwadrant In Figuur 30 en Figuur 31 is de werking te zien in het derde kwadrant. Dit is bij een negatief koppel en negatief toerental (Figuur 25). Door het negatieve koppel (roze) is er een negatieve aanstuurwaarde van de hydromotor (blauw), het slagvolume van de hydromotor is dus negatief. De druk bij de werking in kwadrant drie is relatief stabiel. Door het negatieve slagvolume van de hydromotor bij een negatief toerental is een debietvraag van de hydromotor. Dit is te zien aan het slagvolume van de pomp die stijgt bij de stijging van het koppel. Er moet dus debiet geleverd worden door de pomp om de druk constant te houden. Dit debiet vloeit naar de hydromotor. Het debiet dat de hydromotor vraagt is hierbij niet enkel afhankelijk van het slagvolume van de hydromotor. Tussen seconde 15 en 30 is het slagvolume constant maar verandert het toerental van de hydromotor. Bij een hoger toerental van de hydromotor stijgt ook de debietvraag. Het debiet van de hydromotor is dus afhankelijk van het toerental en slagvolume. Bij kwadrant drie is er bij negatief slagvolume motorwerking. 23

33 drukverschil Pa.Value / bar Tlast.Value / lastsnelheid.value / 1/min aanstuurwaarde.value / Time / s Figuur 30: meting hydromotor in het derde kwadrant Time / s Figuur 31: meting pomp in het derde kwadrant In Figuur 32 en Figuur 33 is de werking te zien van het vierde kwadrant. Bij het vierde kwadrant is er negatief koppel en positief toerental (Figuur 25). Door dit negatief koppel (roze) is er een negatieve aanstuurwaarde van de hydromotor (groen). Door het positief toerental bij een negatief slagvolume van de hydromotor is er een debietlevering door de hydromotor. Dit is te zien aan de druk van de accu die stijgt (rood in Figuur 33). Door deze drukstijging is het slagvolume van de pomp terug nul zodat de pomp geen debiet meer levert. Dit is te zien aan de aanstuurwaarde van de pomp dat terug negatief is maar nog begrensd wordt tot nul. Bij werking in het vierde kwadrant is er bij negatief slagvolume van de hydromotor pompwerking. 24

34 drukverschil Pa.Value / bar Tlast.Value / lastsnelheid.value / 1/min aanstuurwaarde.value / Time / s Figuur 32: meting hydromotor in het vierde kwadrant Time / s Figuur 33: meting pomp in het vierde kwadrant 25

35 1.4. Regelaar pomp Bij de pomp, die in het simulatiemodel gebruikt wordt, wordt er gewerkt met een constant toerental en is er een regeling van het slagvolume om de druk van de accumulator constant te houden. Dit zo omdat het slagvolume snel kan veranderd worden terwijl de tijd voor het bereiken van een toerental afhankelijk is van het type motor dat er gebruikt wordt om de pomp aan te drijven. Door het constante toerental is het type motor niet belangrijk meer en kan er gewerkt worden op het regimetoerental van de motor Regelschema pomp Figuur 34: regelschema pomp In Figuur 34 is het regelschema te zien dat gebruikt wordt om de accudruk te regelen en constant te houden. Eerst wordt de werkelijke druk van de drukeis afgetrokken. Deze werkelijke druk wordt opgemeten bij de hydromotor (langs de zijde van de accu) omdat het daar belangrijk is dat de druk constant is en op het juiste niveau. Met het verschil in druk wordt er naar de controller overgegaan. De controller is een PI-controller, de I-actie is hierbij nodig omdat de werkelijke druk de drukeis niet bereikt zonder de I-actie. De D-actie is niet aanwezig in de controller doordat de D-actie niet nuttig is en enkel extra storing veroorzaakt in het aanstuursignaal. Na de PI-controller wordt er naar een extra versterking overgegaan, deze versterking is aanwezig om de PI-controller gemakkelijk af te regelen. De waarden van de controller zijn anders veel te laag als deze versterking niet aanwezig is, de druk wordt namelijk in Pa uitgedrukt en het stuursignaal voor de pomp is maximum 1. De extra versterkingsfactor is 3.57 x 10-8, dit is 1/280x Deze 280 is de wensdruk in bar die hier gekozen is dus het maximale verschil dat kan optreden tussen de drukeis en werkelijke druk. Na de versterking is er nog een begrenzing, dit tussen 0 en 1. Deze begrenzing is er doordat het stuursignaal voor de pomp tussen deze waarden moet liggen. Na deze begrenzing wordt het signaal gebruikt als stuursignaal voor de pomp. Hierbij regelt het stuursignaal het slagvolume van de pomp. Bij een stuursignaal 0 is er geen slagvolume bij de pomp en bij een stuursignaal van 1 is het slagvolume van de pomp maximaal. Door het constante toerental van de pomp en met het geregelde slagvolume van de pomp ontstaat er hierdoor een druk in de accu en bij de hydromotor Bepaling PI-regelaar De transferfunctie van de drukopbouw door de pomp is niet te bepalen aan de hand van de bodekarakteristiek. Dit komt doordat het slagvolume enkel positief kan geregeld worden wat enkel zorgt voor drukopbouw. De drukafbouw gebeurt hierbij door lek en door de hydromotor. De PI-regelaar wordt daarom handmatig afgeregeld tot de eisen behaald. Deze eisen zijn: 1. Een stabiele druk creëren rond de drukeis 2. Drukdalingen voldoende snel wegwerken 3. Geen grote overdrukken creëren wanneer er een plotse debietvermindering is van de hydromotor (hier geen rekening houden met pompwerking van de hydromotor) 26

36 Bij deze eisen is er niets over het opstarten van de secundaire aandrijving of over een stap bij de drukeis. Dit is niet bij de eisen omdat de hydromotor van de secundaire aandrijving enkel gebruikt wordt als het opstarten van het secundaire circuit reeds gebeurt is en de druk bereikt is. De drukopbouw door de pomp kan hierdoor gebeuren in een voldoende ruime tijd waarbij het doorschot beperkt moet blijven. De hydromotor werkt ook meestal bij één constante druk en er gebeurt dan ook zelden een verandering in de drukeis van de secundaire aandrijving. De drukeis veranderen dient enkel maar om het maximale koppel van de hydromotor aan te passen en de aanpassing zal uit veiligheid altijd op voorhand gebeuren en niet op het moment dat het juist nodig is. Deze eisen zijn daarom minder belangrijk. De geschikte PI-regelaar die gevonden is voor de pomp heeft volgende vergelijking: Metingen met ingestelde PI-regelaar Time / s aanstuursignaal pomp.value -1 to 1 druk motor.pres sure 0 to 400 bar Tlast.Value -100 to 500 wenss nelheid.value -100 to /min lastsnelheid.value -100 to /min drukeis pomp.value 0 to 400 bar Figuur 35:meting drukregeling met normale werking van de hydromotor In Figuur 35 is de werking te zien van de drukregelaar bij de werking van de hydromotor. Eerst moet het circuit opstarten en stijgt de druk naar de regimewaarde van 280bar. Hierbij is de aanstuurwaarde en dus ook het slagvolume van de pomp maximaal. Er is echter een doorschot en dit tot bijna 300bar, dit is nog aanvaardbaar doordat er geen overdrukklep in werking treedt en er dus ook geen verlies is door het doorschot. Na het doorschot daalt de druk terug naar de regimewaarde, dit is echter redelijk traag. Dit is doordat de daling enkel ontstaat door de lek in de secundaire aandrijving, de aanstuurwaarde van de pomp is bij deze daling op de minimale waarde en er is dus geen slagvolume bij de pomp. De regimewaarde van de druk wordt gehaald na ongeveer 5 seconden, dit is redelijk traag maar doordat het niet de belangrijkste eis is, kan dit aanvaard worden. Als de regimewaarde bereikt is, kan er gesteld worden dat de druk zeer stabiel is en het juiste drukniveau behoudt. Enkel bij de overgang van stapresponsies bij het lastkoppel en toerental van de hydromotor is er een drukverandering merkbaar. Dit is echter enkel door de plotse debietverandering die ontstaat bij de hydromotor, bij tragere debietveranderingen van de hydromotor is er geen probleem van drukveranderingen. De eerste eis die gesteld is in verband met de PI-regelaar is dus in orde. 27

37 druk motor.pressure / bar aanstuursignaal pomp.value / Tlast.Value / drukeis pomp.value / bar druk motor.pressure / bar aanstuursignaal pomp.value / drukeis pomp.value / bar Bij deze debietveranderingen van de hydromotor is ook duidelijk te merken aan de hand van Figuur 35 dat het aanstuursignaal van de pomp verandert en dat het debiet van de pomp steeds het debiet van de hydromotor volgt. Bij een constante debietvraag van de hydromotor zal de pomp ook een constant debiet leveren Time / s Figuur 36: meting drukregelaar bij een drukdaling In Figuur 36 zijn de drukdalingen te zien die ontstaan bij stapresponsies van de debietvraag van de hydromotor. Als er een drukdaling ontstaat stijgt het aanstuursignaal van de pomp en wordt er meer debiet geleverd. Deze stijging van het debiet duurt totdat de wenswaarde terug bereikt is. Het debiet dat op dat moment geleverd wordt is echter teveel en de druk blijft stijgen, de aanstuurwaarde daalt weer tot er een regimewaarde bereikt wordt waarbij het geleverde debiet gelijk is aan het gevraagde debiet en dit bij de gewenste druk. De drukdaling is bij deze PI-regelaar weggewerkt na ongeveer 0.5 tot 1 seconde, dit is ruim voldoende. Het toerental van de hydromotor ondervindt ook niet veel last van de drukdaling waardoor de tweede eis voor de regelaar ook in orde is Time / s Figuur 37: meting drukregelaar bij een overdruk In Figuur 37 is de drukpiek te zien die ontstaat bij een daling van de debietvraag van de hydromotor. De daling van de debietvraag is hier gebeurd door een daling van het koppel waardoor het slagvolume van de hydromotor daalt en dus minder debiet gevraagd wordt. Bij de daling van de debietvraag stijgt de druk tot ongeveer bar, door deze drukstijging moet de debietlevering door de pomp dalen zodat de druk terug daalt tot de wensdruk. De aanstuurwaarde van de pomp daalt hierdoor terug naar nul zodat er geen debiet meer geleverd wordt. De snelheid waarmee de druk daalt is hierbij afhankelijk van de debietvraag van de hydromotor. Nadat de gewenste druk terug bereikt is stijgt het slagvolume van de pomp terug zodat er evenveel debiet geleverd kan worden als de debietvraag. 28

38 De drukpiek die ontstaat bij een daling van de debietvraag is niet zo groot en de overdrukklep moet niet werken. Hieruit kan besloten worden dat de derde eis ook vervuld is Time / s aanstuursignaal pomp.value -1 to 1 druk motor.pres sure 0 to 400 bar lastsnelheid.value -100 to /min Tlast.Value -100 to 500 wenss nelheid.value -100 to /min drukeis pomp.value 0 to 400 bar Figuur 38: meting drukregelaar bij een verandering van de drukeis In Figuur 38 is er een verandering te zien van de drukeis (bij 25s) en dit bij de werking van de hydromotor onder normale omstandigheden (niet bij maximale belasting). De wensdruk wordt hierbij na ongeveer 2-3s bereikt en er is een klein doorschot van ongeveer bar. Het doorschot is dus iets groter dan bij een drukpiek door een vermindering van de debietvraag en ook de regimedruk wordt iets later bereikt. De PI-regelaar die gebruikt wordt is dus beter geschikt voor storingsgedrag dan voor regelgedrag. Het wegwerken van storingen is dan ook het belangrijkste voor deze regelaar Time / s aanstuursignaal pomp.value -1 to 1 druk motor.pres sure 0 to 400 bar wenss nelheid.value -100 to /min lastsnelheid.value -100 to /min Tlast.Value -100 to 1000 drukeis pomp.value 0 to 400 bar Figuur 39: werking drukregelaar bij een te grote debietvraag 29

39 In Figuur 39 is de werking te zien waarbij de debietvraag door de hydromotor te groot wordt voor het maximale debiet van de pomp. Doordat er bij de hydromotor met een groot slagvolume gewerkt wordt om het nodige koppel te leveren mag het toerental van de hydromotor niet te groot zijn. Rond 15s wordt er echter een toerentaleis aangelegd die zorgt voor een te groot debiet. Hierdoor daalt de druk in het systeem en zal de aanstuurwaarde van de pomp maximaal worden, de debietlevering is hier echter niet voldoende en de druk zal blijven dalen. Door deze drukdaling zal het koppel echter dalen van de hydromotor, als het maximale koppel van de hydromotor niet meer voldoende is om het lastkoppel tegen te werken zal het toerental van de hydromotor dalen. Door deze daling van het toerental zal het debiet terug dalen. Hierdoor kan er een evenwicht bereikt worden waarbij de levering van het debiet door de pomp hetzelfde is als de debietvraag door de hydromotor. Dit zal bij een druk zijn waarbij het maximale koppel van de hydromotor juist het lastkoppel is. Hierbij zijn de druk en het toerental van de hydromotor lager dan gewenst. Dit alles is te zien tussen de 15 en 20 seconden van Figuur Hydraulisch schema gesloten circuit in DSHplus Figuur 40: hydraulisch schema gesloten circuit In Figuur 40 is het hydraulisch schema te zien van de secundaire aandrijving in een gesloten circuit. Bij het gesloten circuit zijn dezelfde elementen aanwezig met daarbij nog enkele andere elementen. Deze extra elementen zijn een accu bij de lage drukleiding, een vulpomp om de druk in de lage drukleiding te behouden. Er is namelijk steeds lek in een hydraulisch circuit. Daarnaast is er ook een extra overdrukbeveiliging voorzien zodat de druk in de lage drukleiding niet te groot wordt. Ook de overdrukbeveiliging van de hoge drukleiding is nu aangepast. Deze loopt nu niet meer naar de tank maar naar de lage drukleiding. Hierdoor is de olie die door het overdrukventiel gaat niet volledig verloren maar deze olie kan nu gebruikt worden in de lage drukleiding. 30

40 Vulpomp + accumulator lage drukleiding De vulpomp samen met de accumulator van de lage drukleiding worden het best steeds samen gedimensioneerd, dit moet zo gebeuren om geen te groot volume te hebben voor de accumulator wat resulteert in een duurdere accumulator. Ook moet dit gebeuren om niet teveel energie te verliezen doordat de vulpomp teveel debiet levert. De accumulator die in de lage drukleiding gebruikt wordt dient om drukschommelingen te vermijden en om olie op te slaan. De vulpomp is een pomp met een vast slagvolume en dient om de druk in de lage drukleiding constant te houden. Het slagvolume van deze pomp moet daarom zo gedimensioneerd worden dat het debiet van de vulpomp samen met het volume van de accumulator voldoende zijn om het debiet van de gewone pomp en de hydromotor te leveren. Dit debiet van de vulpomp is ook best niet te hoog zodat er niet te veel energie verspild wordt door de olie via de overdrukleiding weg te laten vloeien. Daarbij is het interessant in welke toestanden de secundaire aandrijving gebruikt wordt. Bij motorwerking van de hydromotor vraagt de gewone pomp debiet van de lage drukleiding en levert de hydromotor debiet aan deze lage drukleiding. De vulpomp moet hier enkel het verschil tussen leveren. Als de accu op het juiste drukniveau is, is het verschil enkel het lekverlies dat ontstaat in secundaire aandrijving dat de vulpomp moet leveren. Als de druk te laag is in de hoge drukleiding is het verschil hoger en moet de vulpomp dit extra verschil ook bijleveren. Dit treedt echter meestal maar op bij plotse drukdaling die kortstondig is en dit kan opgevangen worden door de accumulator van de lage drukleiding. De druk die te laag is in de hoge drukleiding kan ook optreden bij aanpassingen aan de wensdruk of bij de opstart van de pomp. Als dit regelmatig gebeurt moet de vulpomp samen met de accumulator daarop voorzien zijn. Als dit niet zoveel gebeurt kan dit opgelost worden door enkel de accumulator erop te voorzien. Er zijn namelijk altijd momenten waarbij de vulpomp iets teveel debiet levert en waarbij de accu terug opgevuld wordt. Bij pompwerking van de hydromotor is de dimensionering van de vulpomp en de accumulator belangrijker. Bij de pompwerking van de hydromotor zal de gewone pomp geen debiet vragen van de lage drukleiding maar deze gewone pomp kan ook geen debiet leveren. De hydromotor zal echter wel debiet vragen van de lage drukleiding. De vulpomp samen met de accumulator moeten dit debiet kunnen leveren. Bij langdurige of veel voorkomende pompwerking is het belangrijker om de vulpomp op dit debiet te voorzien terwijl er bij kortstondige of weinig voorkomende pompwerking de accumulator beter groter wordt gekozen zodat een deel van het debiet afkomstig is van de accu. De vulpomp is anders te groot gedimensioneerd en bij de motorwerking wordt een groot deel van dit debiet door de overdrukbeveiliging weg gevoerd. Bij een gesloten circuit is het dus belangrijk om te weten welke toestanden er optreden bij het gebruik van de secundaire aandrijving. Hierbij moeten de accumulator en de vulpomp op de maximum debietvraag van de lage drukleiding gedimensioneerd worden anders zou de druk te laag worden en de componenten kunnen beschadigen. Ook is het belangrijk om de juiste verhouding te vinden tussen de accumulator en de vulpomp zodat er geen te hoge investeringen zijn of een te groot energieverlies is. Misschien is het echter belangrijker te kijken of het niet mogelijk is een open circuit te gebruiken. Bij een open circuit zijn er geen vulpomp en extra accumulator nodig, wat zorgt dat er minder investeringen nodig zijn. Ook is het energieverbruik dat ontstaat door de vulpomp niet meer aanwezig. 31

41 Regelaars gesloten circuit De regelaars die gebruikt worden in het gesloten circuit zijn dezelfde regelaars die gebruikt worden in het open circuit. De extra elementen die in het gesloten circuit zitten hebben geen invloed op de hydromotor en de pomp die instaat voor de druk in de hoge drukleiding. De vulpomp en de accumulator in de lage drukleiding zorgen enkel voor een hogere en stabielere druk in deze lage drukleiding. Dit heeft enkel invloed op het koppel dat ontstaat bij de hydromotor, het drukverschil in formule (1.16) wordt kleiner. De regelaar van de hydromotor houdt daar echter rekening mee en er is dus geen aanpassing nodig bij de regelaar. (1.16) Met: T koppel hydromotor (Nm) p verschil in druk in tussen de hoge en lage drukleiding (Pa) V instelbaar slagvolume van de hydromotor (m³) Doordat de regelaars van het gesloten circuit dezelfde zijn als bij het open circuit reageert het gesloten circuit hetzelfde. De metingen bij het gesloten circuit zijn hierdoor dezelfde als bij het open circuit Besluit secundaire aandrijving Er is een simulatiemodel van de secundaire aandrijving opgebouwd en afgeregeld. Dit met een open circuit en een gesloten circuit. Deze twee hydraulische circuits kunnen dezelfde regelaars gebruiken en regelen dezelfde parameters, het toerental van de hydromotor en de druk van de accu. Bij het gesloten circuit zijn er echter meer componenten nodig, dit zal dan ook een duurder systeem zijn. De regelaar van de hydromotor is afgeregeld via de transferfunctie maar is handmatig bijgeregeld doordat de ideale regelaar die gevonden is via de transferfunctie niet geschikt is voor de aandrijving. Bij zeer kleine variaties van het toerental zijn er zeer grote schommelingen in het aanstuursignaal, de regelaar is niet energetisch. Via een bijregeling is de regelaar aangepast totdat de regelaar stabiel is en energetisch in orde is. De regelaar van de pomp is bepaald via handmatige afregeling doordat de transferfunctie niet te bepalen is via metingen. Via handmatige afregeling is een stabiele regelaar gevonden. 32

42 2 Theoretisch model hydraulisch positioneersysteem 2.1. Inleiding Figuur 41: positioneerapplicatie[4] De basisstructuur van iedere hydraulische positioneerapplicatie ziet er uit zoals Figuur 41. Er is steeds een pompgroep (A), conditioneergedeelte (B), besturingsgedeelte (C) en positioneergedeelte (D). De pompgroep samen met het conditioneergedeelte staan in voor de debietlevering aan de positioneerapplicatie. De positioneerapplicatie is het besturingsgedeelte en het positioneergedeelte. Het besturinggedeelte regelt het debiet dat naar de het positioneergedeelte gaat, dit positioneergedeelte gebruikt dit debiet om te verplaatsen. Een correcte verplaatsing kan dus enkel gebeuren door een goede afregeling van het besturingsgedeelte, hiervoor is het belangrijk om het model te kennen van het positioneersysteem en dus alle onderdelen. Het besturingsgedeelte is normaal enkel een ventiel en het positioneergedeelte is hier een cilinder. 33

43 Symbolenlijst hoofdstuk 2 A 1-4 doorstromingsoppervlakte (zie Figuur 46) (m²) A z cilinderstang oppervlakte bij het A-gedeelte (m²) A r cilinderstang oppervlakte bij het B-gedeelte (m²) C d stromingscoëfficiënt c wrijving cilinder (N/m/s) C lek lekconstante d diameter plunjer (m) d 1 diameter plunjer (m) d 2 diameter drainageleiding (m) F kracht (N) F hydr hydraulische kracht door de cilinder (N) F ext externe kracht die inwerkt op de cilinder (N) F magn magneetkracht (N) F in totale versnellingskracht (N) F wr wrijvingskracht (N) F st totale stationaire stromingskracht (N) F tr totale transiënte stromingskracht (N) F v veerkracht (N) F leid kracht in de drainageleiding (N) K Qx lineairisatieconstante van de plunjerpositie (m²/s) K Qp lineairisatieconstante van de druk (m³/pa s) K Qx,A-B lineairisatieconstante van de plunjerpositie (m²/s) K Qp,A-B lineairisatieconstante van de druk (m³/pa s) k v ingangsconstante van de ventielingang K veerconstante (N/m) l 1 lengte (zie Figuur 44) (m) l 2 lengte (zie Figuur 44) (m) l s lengte wrijving tussen de plunjer en de huls (m) m massa (kg) m A massa in het A-gedeelte van de cilinder (kg) m B massa in het B-gedeelte van de cilinder (kg) m massa cilinder en last (kg) m 1 massa plunjer (kg) m 2 massa olie in de stuurkamer (kg) m 3 massa veer (kg) m 4 massa olie in de drainageleiding (kg) p druk (Pa) p s aanvoerdruk (Pa) p A druk bij de cilinderleiding (zie Figuur 46) (Pa) p B druk bij de cilinderleiding (zie Figuur 46) (Pa) p 0 tankdruk (Pa) p L verschil tussen druk A en druk B (Pa) p d2 druk in de drainagekamer en drainageleiding (Pa) p 1-4 druk bij v 1-4 (Pa) Q A debiet naar het A-gedeelte van de cilinder (m³/s) Q B debiet naar het B-gedeelte de cilinder (m³/s) Q 1-4 debiet in het ventiel (zie Figuur 46) (m³/s) 34

44 Q L debiet (m³/s) Q lek interne lek (m³/s) Q debiet door het ventiel (m³/s) s speling tussen de plunjer en de huls (m) t tijd (s) U grootte onderlap (m) u v ingangssignaal plunjer v snelheid (m/s) v s snelheid aanvoerleiding (zie Figuur 46) (m/s) v 1d-4d snelheid olie bij A 1-4, debietvergelijking (m/s) v 1-4 snelheid (zie Figuur 44) (m/s) V volume (V) V A volume A-gedeelte van de cilinder (m³) V B volume B-gedeelte van de cilinder (m³) V A0 volume A-gedeelte cilinder zonder verplaatsing (m³) V B0 volume B-gedeelte cilinder zonder verplaatsing (m³) x v versnelling plunjer (m/s²) x v snelheid plunjer (m/s) x v positie plunjer (m) y verplaatsing cilinder (m) y snelheid cilinder (m/s) y versnelling cilinder (m/s²) z versnelling olie in de drainageleiding (m/s²) z verplaatsing olie in de drainageleiding (m) µ wrijvingscoëfficiënt θ hoek (zie Figuur 44) (rad) ρ massadichtheid olie (kg/m³) ρ A massadichtheid A-gedeelte van de cilinder (kg/m³) ρ B massadichtheid B-gedeelte van de cilinder (kg/m³) ω hydr eigenfrequentie hydrodynamisch systeem plunjer (rad/s) δ hydr β demping hydrodynamisch systeem plunjer bulkmodulus olie 35

45 2.2. Ventiel Het ventiel kan onderverdeeld worden in de interne dynamica van het ventiel en in de debietvergelijking [7],[8]. Bij de interne dynamica is er het magnetisch, elektrisch en hydrodynamisch systeem. Het magnetisch en elektrisch systeem zijn echter te verwaarlozen door de snelle dynamica van deze systemen, het hydrodynamisch systeem is echter niet te verwaarlozen. De debietvergelijking is de vergelijking waarbij er in functie van de opening van het ventiel het debiet bepaald wordt dat er door het ventiel stroomt. Deze vergelijking is nodig om het debiet te kunnen bepalen dat naar de cilinder vloeit Hydrodynamisch systeem Bij het hydrodynamisch systeem wordt de vergelijking opgesteld waarbij de verplaatsing x v van de plunjer van het ventiel in functie van de magneetkracht wordt opgesteld. De krachten die hierbij optreden in de plunjer en die de magneetkracht tegenwerken zijn: de versnellingskrachten, de wrijvingskrachten, de hydrodynamische krachten en de veerkracht Versnellingskrachten De versnellingskrachten die optreden in het ventiel ontstaan door alles massa s die versnellen als er een magneetkracht optreedt [7], [8]. Deze massa s zijn de massa van de plunjer, de massa van de olie in de stuurkamers en de drainageleiding en de massa van de veer. De beweging van de plunjer zorgt dat de olie in de stuurkamers mee moet bewegen, ook de veer wordt door de plunjer samengedrukt of uitgerekt in de drainagekamer (Figuur 42). De olie in drainagekamer moet hierbij ook verplaatsen en dit via de drainageleiding. Figuur 42: ventiel[7] De inertiekracht die door de plunjer zelf ontstaat is: (2.1) De versnelling van de olie in de stuurkamers is dezelfde als de plunjer zelf en de inertiekracht is hierdoor: (2.2) Ook bij de veer is de versnelling dezelfde, de veer versnelt echter niet volledig. Daarom wordt er maar 1/3 van de massa van de veer in rekening gebracht [7]. De inertiekracht van de veer is hierdoor: (2.3) 36

46 Bij de olie in de drainageleiding is de versnelling verschillend, dit komt doordat de drainageleiding een andere diameter heeft dan de drainagekamer waar deze olie samengedrukt wordt om te verplaatsen. De kracht die in de drainageleiding is: (2.4) Omdat de plunjer de drainagekamer verkleint waardoor de olie via de drainageleiding moet verplaatsen is de inertiekracht in de drainageleiding niet de kracht die de magneetkracht tegenwerkt. De kracht die de plunjer moet uitoefenen op de drainagekamer om de versnelling z te verkrijgen is wel de kracht die de magneetkracht tegenwerkt. Deze kracht op de plunjer gebeurt bij dezelfde druk als in de drainageleiding doordat deze ook optreedt in de drainagekamer. Het drukoppervlak is hierbij wel groter. (2.5) De verplaatsing van de olie in de drainagekamer kan ook bepaald worden uit de verplaatsing van de plunjer doordat het volume aan olie constant blijft. De verplaatsing van de olie in de drainagekamer is: (2.6) (2.7) Uit vergelijkingen (2.4) en (2.7) kan de druk p d2 bepaald worden in functie van de verplaatsing van de plunjer. Met deze vergelijking van de druk (2.8) kan de vergelijking van de kracht op de plunjer tengevolge van de versnelling in de drainageleiding (2.5) bepaald worden in functie van de plunjerverplaatsing (vergelijking (2.9)). (2.8) (2.9) Uit al de inertiekrachten kan de totale inertiekracht bepaald worden en deze is: ( ) (2.10) Met: d 1 diameter plunjer (m) d 2 diameter drainageleiding (m) F kracht (N) F in totale versnellingskracht (N) F leid kracht in de drainageleiding (N) m massa (kg) m 1 massa plunjer (kg) m 2 massa olie in de stuurkamer (kg) m 3 massa veer (kg) m 4 massa olie in de drainageleiding (kg) p d2 druk in de drainagekamer en drainageleiding (Pa) x v versnelling plunjer (m/s²) 37

47 x v positie plunjer (m) z versnelling olie in de drainageleiding (m/s²) z verplaatsing olie in de drainageleiding (m) Wrijvingskrachten Figuur 43: doorsnede ventiel Bij het verplaatsen van de plunjer is er een wrijvingskracht aanwezig, dit is een schuifkracht in de olie die tussen de bewegende plunjer en het stilstaande plunjerhuis [7], [8]. De wrijvingskracht die ontstaat in de olie is te zien in vergelijking (2.11). De wrijvingskracht die ontstaat bij de plunjer is afhankelijk van het contactopperlvlak van de plunjer met de huls van het ventiel, ook de speling die er tussen de plunjer en huls bepaalt ook de wrijving. Daarnaast is de wrijving afhankelijk van de wrijvingscoefficient van het gebruikte materiaal en de snelheid van de plunjer. (2.11) Met: F wr wrijvingskracht (N) d 1 diameter plunjer (m) l s lengte wrijving tussen de plunjer en de huls (m) s speling tussen de plunjer en de huls (m) x v snelheid plunjer (m/s) µ wrijvingscoëfficiënt Bij deze formule (2.11) wordt er vanuit gegaan dat het een ideale plunjer is (perfect gecentreerd en rond). Dit wordt zo gekozen zodat de speling overal hetzelfde is. De factor x v /s in de formule is de snelheidgradiënt van de olie waarin de wrijving ontstaat. 38

48 Hydrodynamische krachten Figuur 44: oliesnelheden bij een verplaatsing van de plunjer Bij de verplaatsing van de plunjer treden er ook krachten op ten gevolge van de stationaire en transiënte stroming [7], [8]. Dit zijn de hydrodynamische krachten. De krachten die ontstaan bij de stationaire stroming bij een nullapventiel zijn afhankelijk van de snelheid van de olie en debiet, ook de dichtheid van de olie heeft invloed. De stationaire stromingskrachten zijn: (2.12) (2.13) De snelheden en zijn echter te verwaarlozen tegenover en doordat de ruimte veel groter is om hetzelfde debiet door te laten. De kracht die niet in de richting is van de beweging van de plunjer heeft geen invloed op deze beweging en mag dus uit de vergelijkingen weggelaten worden. De vergelijkingen zijn hierdoor te vereenvoudigen tot: (2.14) (2.15) Er kan gesteld worden dat de vergelijkingen (2.14) en (2.15) ongeveer gelijk zijn, zeker als er een symmetrische actuator gebruikt wordt. Via de debietvergelijking die in debietvergelijking bepaald wordt, kan gesteld worden dat de doorstroomsnelheid gelijk is aan: (2.16) Ook het debiet is aan te passen via debietvergelijking en dit naar: (2.17) De kracht kan hierdoor vereenvoudigd worden tot: (2.18) 39

49 Dit enkel voor 1 zijde van de plunjer, de totale stationaire stroming is hierdoor: (2.19) Naast de stationaire stromingskracht is er nog de transiënte stromingskracht die ontstaan bij de verandering van de stroming. De kracht die hierbij ontstaat is afhankelijk van de verandering van het debiet en de afstand van de ruimte waarin deze verandering gebeurt: (2.20) Bij dit ventiel wordt dit: (2.21) (2.22) Hierbij kan bepaald worden aan de hand van formule (2.17), de drukval wordt hier constant verondersteld. (2.23) Als dit voor beide vergelijking ingevuld wordt is dit: (2.24) (2.25) De totale transiënte kracht kan hierbij uit de twee voorgaande termen gehaald worden: (2.26) Met: C d stromingscoëfficiënt d 1 diameter plunjer (m) F st totale stationaire stromingskracht (N) F tr totale transiënte stromingskracht (N) l 1 lengte (zie Figuur 44) (m) l 2 lengte (zie Figuur 44) (m) p 1-4 druk bij v 1-4 (Pa) Q debiet door het ventiel (m³/s) v 1-4 snelheid (zie Figuur 44) (m/s) x v snelheid plunjer (m/s) x v positie plunjer (m) θ hoek (zie Figuur 44) (rad) ρ massadichtheid olie (kg/m³) 40

50 Veerkracht De veer (Figuur 42) in het ventiel zal de magneetkracht tegen werken en er zal hierdoor een veerkracht ontstaan. Deze veerkracht is: (2.27) Met: F v veerkracht (N) K veerconstante (N/m) x v verplaatsing plunjer (m) Totaal systeem Al deze voorgaande termen werken de magneetkracht tegen bij een verplaatsing van de plunjer. Om een verplaatsing van de plunjer te creëren moet de magneetkracht volgende formule zijn: [ ] [ ] [ ] (2.28) De verplaatsing die er ontstaat bij een magneetkracht kan als een 2 e meerbepaald: orde systeem omschreven worden (2.29) Hierbij zijn de termen de volgende vergelijkingen: (2.30) [ ] (2.31) debietvergelijking De debietvergelijking is de vergelijking waarbij er in functie van de opening van het ventiel het debiet bepaald wordt dat er door het ventiel stroomt [7], [8]. Deze vergelijking is nodig om het debiet te kunnen bepalen dat naar de cilinder vloeit. Om de debietvergelijking te kunnen opstellen moet het ventiel (Figuur 45) eerst vereenvoudigd worden en deze vereenvoudiging is te zien in Figuur

51 Figuur 45:weergave van een ventiel[7] Figuur 46: vereenvoudigde weergave van een ventiel[7] Het ingaande en uitgaande debiet van de actuator kan bepaald worden aan de hand van volgende formules die af te leiden zijn uit Figuur 46. (2.32) (2.33) Hierbij zijn de debieten in de klep zelf afhankelijk van het doorlaatoppervlakte en de snelheid van de olie:,,, (2.34) De snelheden kunnen hierbij bepaald worden aan de hand van de wet van Bernoulli (2.35). (2.35) Voor de snelheden die nodig zijn voor vergelijking (2.32) is dit: (2.36) (2.37) 42

52 Hierbij zijn de snelheden v s van de aanvoerleiding en v a van de actuator verwaarloosbaar klein tegenover de snelheden die optreden in het ventiel. Dit doordat de oppervlakte van de leidingen van de aanvoer en de actuator veel groter zijn dan het doorlaatoppervlakte in het ventiel. Door deze verwaarlozing zijn de snelheden in het ventiel afhankelijk van de drukken die er optreden en de massadichtheid. (2.38) (2.39) Deze snelheden zijn echter niet volledig correct bepaald doordat de wet van Bernoulli niet met 2 willekeurige punten zoals hier werkt. Hierdoor moet er correctiefactor ingevoerd worden om de snelheid te corrigeren (2.8). Ook het debiet is niet volledig correct bepaald (2.34) doordat er steeds verliezen optreden in het ventiel, hiervoor moet er dan ook een correctiefactor ingevoerd worden (2.40). Beide correctiefactoren worden samen genomen in één factor, de stromingscoëfficient C d. (2.40) (2.41) Het debiet dan naar de actuator gaat is hierdoor: (2.42) (2.43) De debietvergelijking staat hierbij nog niet in functie van de plunjerpositie. De oppervlaktes zijn echter afhankelijk van de plunjerpositie volgens volgende formules: (2.44) (2.45) Deze oppervlaktes kunnen niet kleiner dan nul zijn. Hierbij is U de grootte van de onderlap van de plunjer. Onderlap bij de plunjer is er als breedte van de plunjer kleiner is dan het huis, bij onderlap is nog steeds debiet als er geen verplaatsing is van de plunjer tegenover de standaardpositie. Overlap is er als de breedte van de plunjer groter is dan het huis, hierbij is er geen debiet bij een beperkte verplaatsing van de plunjer tegenover de standaardpositie (verplaatsing kleiner dan het breedteverschil tussen de plunjer en het huis). Nullap is er als de breedte van de plunjer dezelfde is als het huis, hierbij is er bij een verplaatsing van de plunjer tegenover de standaardpositie meteen debiet, maar in de standaardpositie is er geen debiet. Deze 3 types zijn te zien in Figuur 47. U is hierbij positief bij onderlap en is een maat voor de grootte ervan, U is negatief bij overlap. 43

53 Figuur 47: onderlap en overlap plunjer[8] De debietvergelijking kan hierbij bepaald worden in functie van de positie van de plunjer: (2.46) (2.47) Bij symmetrische actuator en nullapklep Bij een symmetrische actuator met een nullapklep is de vergelijking nog te vereenvoudigen. Bij symmetrische actuatoren is het ingaande debiet aan de ene zijde gelijk aan het uitgaande debiet aan de andere zijde wat maakt dat Q A =Q B. Bij een nullapklep is er geen debiet als er geen verplaatsing is van de nullapklep, U is dus nul. Ook valt de term met x v erin weg als deze negatief wordt waardoor de debietvergelijking te vereenvoudigen is tot: Bij een positieve uitsturing: (2.48) (2.49) Bij een negatieve uitsturing: (2.50) (2.51) Bij symmetrische actuatoren Q A =Q B waardoor de drukken volgende vergelijking geven: (2.52) Het drukverschil bij de actuator wordt vereenvoudigt tot: (2.53) 44

54 De druk p 0 is de druk van de tank en is dus verwaarloosbaar tegenover de andere drukken. Hierdoor kunnen de drukken afgeleid worden naar de tankdruk en het drukverschil in de actuator. (2.54) (2.55) De debietvergelijking bij symmetrische actuatoren en een ventiel met nullap is te schrijven als: Bij een positieve uitsturing: (2.56) Bij een negatieve uitsturing: (2.57) Opmerking Bij deze vergelijkingen is er geen rekening gehouden met het lekverlies in het ventiel. Dit verlies is namelijk verwaarloosbaar klein tegenover het totale debiet dat naar de actuator gaat bij de uitsturing. Enkel als er geen uitsturing is (x v = 0) is het lekdebiet aanzienlijk het totale debiet. Dit wordt echter nooit in rekening gebracht Lineaire debietvergelijking De debietvergelijking is niet lineair waardoor er een lineairisatie nodig is om deze te gebruiken voor de regelaar. De lineairisatie gebeurt aan de hand van de formule (2.58) met werkingspunt Q L1, x v en p L (2.58) Hierbij wordt Q L1 nul verondersteld rond het werkingspunt en worden de afleidingen vereenvoudigd tot volgende constanten: (2.59) (2.60) De gelineairiseerde debietvergelijking is hierdoor: (2.61) Voor een ventiel zonder symmetrische actuator kan deze lineaire debietvergelijking voor beide debieten gebruikt worden en is dit: (2.62) (2.63) 45

55 Bij een symmetrische actuator met een ventiel met nullap zijn de constanten formules (2.64) en (2.65). Bij het werkingspunt kan p L echter veelal nul verondersteld worden waardoor formules (2.66) en (2.67) bruikbaar zijn. Bij dit werkingspunt is K Qx een constante maar is K Qp geen constante maar nog steeds veranderlijk naar de positie van de plunjer. (2.64) (2.65) (2.66) (2.67) Vergelijking volledig ventiel De vergelijking van het volledig ventiel is de vergelijking met daarin het hydrodynamisch systeem, de debietvergelijken en daarnaast het elektrisch en magnetisch systeem. Het elektrisch en magnetisch systeem kan vereenvoudigd worden tot formule (2.68) doordat de tijdconstante van deze systeem verwaarloosbaar is tegenover het hydrodynamisch systeem. (2.68) De vergelijking van het volledig ventiel is hierdoor te bepalen aan de hand van (2.68),(2.29) en (2.61). De vergelijking van het volledig ventiel is hierdoor: (2.69) 46

56 2.3. Cilinder De cilinders die hier besproken worden zijn dubbelwerkende cilinders, enkelwerkende cilinders worden hier niet besproken doordat deze een ander systeem hebben dat niet nuttig is in deze masterproef. Bij de dubbelwerkende cilinders zijn er echter nog twee verschillende types: deze met een enkelvoudige stang en deze met een doorlopende stang. Bij een doorlopende stang is het zuigeroppervlak langs beide zijden dezelfde grootte terwijl dit bij een enkelvoudige stang niet het geval is. Dit doordat de stang langs één zijde een deel van het oppervalk wegneemt en dit bij de andere zijde niet zo is. Figuur 48: cilinder met enkelvoudige stang[7] De vergelijking van een dubbelwerkende cilinder wordt eerst bepaald aan de hand van een cilinder met enkelvoudige stang, dit is het meest algemene geval [7], [8]. De bepaling van het systeem van een cilinder met enkelvoudige stang begint met de verandering van de massa in de ruimtes van de zuiger aan de hand van Figuur 48. (2.70) (2.71) Hierbij zijn de volumes van deze ruimtes van de cilinder afhankelijk van de positie van de cilinder via volgende formules: (2.72) (2.73) Het debiet is hierbij de afgeleide van deze volumes wat zorgt voor volgende vergelijkingen: (2.74) (2.75) De afgeleide van de dichtheid is geen gekende waarde maar is wel te bepalen via volgende afleiding: (2.76) (2.77) (2.78) 47

57 (2.79) Hierbij kan volgende formule gebruikt worden. (2.80) Uit (2.79) en (2.80) kan er een vergelijking opgesteld worden waarbij de afgeleide van de dichtheid afhankelijk is van de afgeleide van de druk. (2.81) Deze formule (2.81) invullen in (2.74) en (2.75) levert volgende formules: (2.82) (2.83) Uit (2.76) kan echter ook bepaald worden dat de afgeleide van de massa gedeeld door de dichtheid gelijk is aan het debiet: (2.84) Dit zorgt ervoor dat er een vergelijking ontstaat in functie van het debiet naar de cilinder. (2.85) (2.86) Dit kan ook geschreven worden naar de druk wat volgende vergelijking geeft: (2.87) (2.88) Bij deze vergelijking is er echter nog geen rekening gehouden met de lek die er ontstaat tussen de verschillende ruimtes van de cilinder. Deze lek is te bepalen met volgende formule: (2.89) Dit in de vergelijking invullen van de cilinder levert volgende vergelijkingen op: (2.90) (2.91) Door deze drukken ontstaat er een hydraulische krachtwerking in de cilinder. 48

58 (2.92) Deze kracht die in de cilinder ontstaat beïnvloed hierbij het dynamisch systeem van de cilinder en de last via volgende vergelijking: (2.93) De vergelijkingen (2.90), (2.91), (2.92) en (2.93) vormen samen het systeem van de cilinder. Cilinder met doorlopende stang Bij een cilinder met doorlopende stang is het zuigeroppervlak bij beide ruimtes, hierdoor kunnen de vergelijkingen van de cilinder aangepast worden tot: (2.94) (2.95) Ook de kracht die bij de cilinder ontstaat kan aangepast en dit tot: (2.96) 49

59 2.4. Theoretisch toestandsmodel positioneersysteem De theoretische studie van een hydraulisch positioneersysteem kan gebruikt worden om een toestandregelaar op te bouwen voor de positioneerapplicatie. Via deze theoretische studie kan een model opgesteld worden waarin de variabelen ingevuld kunnen worden die invloed hebben op deze positioneerapplicatie en nodig zijn bij de toestandsregelaar. Dit gebeurt via een toestandsmodel waarin de theoretische vergelijkingen van het ventiel en cilinder ingevuld kunnen worden. Het toestandsmodel van het positioneersysteem is nodig om de parameters van de toestandregelaar te bepalen. Het toestandsmodel van het positioneersysteem is afhankelijk van het ventiel en de cilinder. Hierin zit de hydrodynamische vergelijking van het ventiel, de debietvergelijking en de vergelijking van de cilinder. Het toestandsmodel wordt dus bepaald aan de hand van formules (2.69), (2.90), (2.91), (2.92) en (2.93), deze vergelijkingen zijn: Vergelijking ventiel: (2.69) Vergelijkingen cilinder (2.90) (2.91) (2.92) (2.93) Er zijn twee mogelijke toestandsmodellen die bruikbaar zijn voor een positioneersysteem. Er is een toestandsmodel waarbij er rekening gehouden wordt met de dynamica van het ventiel, meerbepaald de hydrodynamische vergelijking van het ventiel. Het andere toestandsmodel houdt geen rekening met de dynamica van het ventiel en dus de hydrodynamische vergelijking van het ventiel. Bij dit toestandsmodel wordt dit als te verwaarlozen gehouden. De twee toestandsmodellen worden in dit deel van de masterproef opgesteld. De vergelijking zonder de dynamica van het ventiel wordt daarna gebruikt om de toestandsregelaar op te stellen omdat dit model minder complex is en er niet op alle positioneerapplicaties terugkoppeling is van de positie van het ventiel. De dynamica van het ventiel heeft dan ook geen grote invloed op de positionering van een hydraulische cilinder. Ieder toestandsmodel bestaat uit twee basisvergelijkingen: (2.97) (2.98) Hierbij is x een matrix die de toestanden bevat die invloed hebben op het systeem maar niet rechtstreeks beïnvloedbaar zijn. De u-matrix bevat alle externe invloedsfactoren die op het systeem kunnen ontstaan en de y-matrix is de matrix met de uitgangswaarden van het systeem die bepaald moeten worden. Daarnaast zijn de A, B, C en D-matrices de matrices die door het gebruikte systeem bepaald worden. 50

60 Het gebruik van het toestandsmodel kan ook uitgelegd worden aan de hand van volgend voorbeeld [9] (Figuur 49). Figuur 49: voorbeeld toestandsmodel [9] Bij dit voorbeeld zij er twee toestandsvariabelen die niet rechtstreeks beïnvloedbaar zijn. Dit zijn de positie en snelheid van de massa. De x-matrix is dus de volgende: [ ] [ ] (2.99) De externe invloedfactor op het systeem is u, dit is de enige externe invloedsfactor en dit stelt dus alleen de u-matrix voor. De vergelijking van het systeem die kan opgesteld worden is een 2 e orde vergelijking: (2.100) Deze vergelijking kan aangepast worden zodat de versnelling eruit gehaald kan worden. De vergelijking is dan: (2.101) Met deze vergelijking kan de eerste vergelijking van het toestandsmodel bepaald worden. De afgeleide van de positie is de snelheid van de massa. Op de eerste lijn kan ingevuld worden dat de afgeleide van de eerste toestandsvariabele (positie) dus gelijk is aan de tweede toestandsvariabel (snelheid). De andere factoren op de eerste lijn zijn dus nul. De afgeleide van de snelheid is de versnelling. Bij de tweede lijn van het toestandsmodel kan de vergelijking (2.101) ingevuld worden. De eerste vergelijking van het toestansmodel is: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.102) Er is echter ook nog een andere vergelijking voor het toestandsmodel. De y-matrix is hierbij de matrix met de variabele die als uitgang telt, daarin is er een vrije keuze. Hier wordt de variabele van de y-matrix gekozen op de positie. De y-matrix is dus gelijk aan de positie en de snelheid en ingangssignaal horen hier niet bij. De tweede vergelijking van het toestansmodel is dus: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] (2.103) 51