Oefenzitting 3: Simulink Dynamisch gedrag van een proces

Transcriptie

1 Oefenzitting 3: Simulink Dynamisch gedrag van een proces Voor de oefenzittingen Regeltechniek maken we gebruik van de software-omgeving Matlab. Met Matlab kunnen diverse berekeningen worden gemaakt, matrices worden gemanipuleerd en functies worden geplot. Matlab is krachtiger in numerieke berekeningen dan wiskundige pakketten als Maple. Doordat de gebruiker in staat is zelf applicaties te programmeren, zijn de mogelijkheden met Matlab eindeloos. Een kennismaking met dit programma is voor elke ingenieur in spe dan ook een must. Het platform waarin we binnen Matlab gaan werken heet Simulink. Het is ontworpen voor de simulatie van modelgebaseerde ontwerpen van dynamische systemen van verschillende domeinen. De interface van Simulink is zeer eenvoudig. Het bestaat uit een venster met een reeks van blokbibliotheken en venster voor de grafische weergave van het programma. 1

2 Matlab starten Om Matlab op te starten volg je de volgende procedure: 1. Start... Run 2. \\vesalius.groept.be\data\pcprogs\matlab7\ Klik op Matlab en klik vervolgens op Run. De Matlabinterface wordt geladen (dit kan even duren). 3. Bovenaan zie je een wit vak met daarnaast Current Directory. In deze map worden al je bestanden opgeslagen. Sla je bestanden op bij je persoonlijke documenten! 4. Als er nog geen prompt te zien is (>>), druk dan op Enter. Typ in de Command Window simulink (zonder de quotes) en druk Enter. Je kan ook op het roos/groen/paars icoon klikken bovenaan. De Simulink bibliotheek wordt nu geladen. 5. Kies new om een nieuwe simulatie-omgeving te openen. Blokbibliotheek Een bewerking of een systeem wordt in Simulink volledig opgebouwd aan de hand van blokken. Deze blokken kunnen signalen genereren, een bewerking doen, grafieken weergeven,. Onderling worden deze blokken verbonden door pijlen. Deze stellen de weg van het signaal voor. De signaalgeneratoren waar wij vooral van gebruik maken zijn gegroepeerd in de Sources - bibliotheek. Deze blokken kunnen als excitatie (ingang) voor een proces gebruikt worden. De belangrijkste sources vind je terug op onderstaande figuur. Om een blok te gebruiken sleep je het gewoon in de grafische omgeving. We zien een klok, een stap, een hellingssignaal, en sinusoïde, De signalen kunnen we visualiseren aan de hand van Sinks. Deze vinden we terug in de bijhorende bibliotheek. Veelgebruikte sinks zijn een display, een oscilloscoop, een XY-grafiek, Op de Scope kunnen we de uitgang van een signaal in functie van de tijd simuleren. 2

3 De verschillende bewerkingen zijn gegroepeerd in de overige bibliotheken. De blokken die wij het meest gaan gebruiken zitten in de Continuous - (oplossen van differentiaalvergelijkingen) en de Math Operations - (samenstellen van algebraïsche vergelijkingen) bibliotheek. In de onderstaande figuren zien we verschillende bewerkingen in de desbetreffende bibliotheken. We zien bewerkingen als som, verschil, product, quotiënt en versterking (product). Ook een afgeleide-, een integrator- en transferfunctie zijn terug te vinden. Let wel op: hoewel deze laatste soms in het Laplacedomein wordt voorgesteld, zijn alle signalen tijdsafhankelijk. Om 2 signalen op 1 grafiek weer te geven (bijvoorbeeld de excitatie en de respons), kunnen we het blokje Mux gebruiken, te vinden bij Signal Routing. Op die manier worden de twee inkomende signalen in 1 vector geplaatst waarbij het eerste voor het tweede komt. (ingangen x en y geven als uitgang [x y] T ). 3

4 Dynamisch gedrag van een eerste orde proces Veel dynamische processen zijn bij benadering eerste orde processen. We kunnen een eerste orde proces eenvoudig voorstellen met de transferfunctie van het proces:. Een blokje dat een proces op die manier voorstelt, vinden we in de simulink bibliotheek onder Continuous. Wanneer we dubbelklikken op dit blokje kunnen we alle parameters hiervan instellen. Oefening tank met koeljacket Een tank (zie figuur) heeft een vloeistof die in- en uitstroomt met een debiet F. De instromende vloeistof heeft een temperatuur T in. Rond de tank bevindt zich een koeljacket waardoor continu koelwater stroomt met debiet F j en temperatuur T j. De vloeistof in de tank wordt geroerd zodat de temperatuur T in de tank overal gelijk is en gelijk aan de temperatuur van de uitstromende vloeistof. De koeljacket kan gezien worden als een warmtewisselaar die per seconde een warmtehoeveelheid van h j A uitwisselt met de vloeistof per graad temperatuurverschil tussen de vloeistof in de tank en het koelwater, waarbij we veronderstellen dat het debiet F j groot genoeg is opdat de temperatuur van het koelwater steeds overal T j is, hoe snel we deze laatste ook veranderen. Symbool Definitie Waarde V Volume in de tank liter c p Specifieke warmte vloeistof 2000 J/(kg K) ρ Dichtheid vloeistof 900 kg/m³ F In- en uitgangsdebiet 30 m³/h h ja Warmteoverdrachtcoëfficiënt J/(s K) T j Temperatuur koelwater 50 C T in en T j zijn dus twee ingangen van het proces. Wij willen weten hoe de temperatuur T in de tank verandert als we T in veranderen, maar T j constant blijft. Ook T a blijft constant. Het dynamisch model krijgen we via het opschrijven van de warmtebalans: Na invullen van de gegevens, wordt dit: ( ) ( ) Hieruit volgt ook het statisch model ( 0 = evenwichtstoestand, geen verandering meer in de tijd): 4

5 We zullen telkens het statisch model aftrekken van het dynamische om van de constanten af te geraken, dan werken we met verschilvariabelen. De uiteindelijke vergelijking die we zullen ingeven in Matlab wordt dan de volgende: Tracht de transferfunctie van dit proces te vinden door de vergelijking om te zetten naar het Laplacedomein: Bij het dynamische gedrag is men vooral geïnteresseerd in het gedrag van het proces in de tijd. Hoe reageert het proces wanneer aan de ingang een plotse verandering plaatsvindt? Om het dynamisch gedrag van een proces te bekijken, legt men bijvoorbeeld een stap aan, aan de ingang van het proces, we bekomen zo de stapresponsie: het verloop van de uitgang in functie van de tijd van een proces met als excitatie een stapfunctie. De begintijd en grootte van de stap kan worden aangepast door te dubbelklikken op het blokje Step. Neem zo als excitatie ( ) met ( ) de Heaviside-functie. Simulatie van een eerste orde proces Voor we dit stuk aanvangen is het volgende zeer belangrijk om weten: Enerzijds is een simulatie een numeriek bepaalde oplossing voor een wiskundige vergelijking: het is bijgevolg een benadering voor de wiskundige oplossing. De berekende waarden zijn exacter naarmate we het tolerantieveld van de simulatie verkleinen. Deze kunnen we instellen via het tabblad simulation configuration parameters. Anderzijds beschrijft een wiskundige vergelijking (= model) slechts bij benadering de fysische werkelijkheid. De simulatietijd stellen we in in de statusbar. Deze vinden we bovenaan de grafische omgeving. De ingegeven Simulation stop time is belangrijk bij de interpretatie van de resultaten. Het systeem moet namelijk binnen de simulatietijd kunnen reageren. Wanneer we een simulatietijd nemen kleiner dan pakweg 3x de tijdsconstante, kunnen we de uitgang van het proces in regimetoestand niet bepalen! (Vraag: hoe ver zal de uitgang gevorderd zijn na een tijd van 3x de tijdsconstante?). Een té lange simulatietijd zorgt voor een langdurige berekening zonder nut. We starten de simulatie door op Start simulation te klikken. Dubbelklikken we hierna op de Scope dan zien we het tijdsverloop van het uitgangssignaal. De assen worden automatisch aangepast wanneer we op de verrekijker (Autoscale) klikken. We kunnen de assen ook waarden geven door met de rechtermuisknop erop te klikken en te kiezen voor Axes properties. 5

6 Om in Simulink meerdere signalen op 1 scope te krijgen, maken we gebruik van het Mux-blokje. Pas je blokje dat je net gemaakt hebt aan zodat je een stapfunctie aanlegt aan de ingang en je zowel de stapfunctie als de uitgang weergeeft op de grafiek. De beginvoorwaarden voor dit proces zijn 0. Neem een simulatietijd van minstens 5. Uit deze grafiek vinden we de 3 belangrijke parameters van ons eerste orde proces terug: De versterkingsfactor K van het proces De tijdsconstante τ van het proces De dode tijd τ d Versterkingsfactor Onder versterkingsfactor K verstaan we de factor waarmee de amplitude van de ingang wordt versterkt. Hoe groot is de versterkingsfactor in dit geval? Leid af uit je transferfunctie en uit de grafiek. 6

7 De tijdsconstante De tijdsconstante τ van het proces is een maat voor de tijdspanne van het overgangsgedrag. Hoe snel gaat het systeem over naar zijn regimetoestand? Een eerste methode gaat als volgt. De tijd wordt gemeten van het begin tot wanneer de uitgang van het proces 63% van zijn regimewaarde heeft bereikt. Voor alle duidelijkheid: we beginnen te tellen vanaf het moment dat het proces een reactie vertoont. De tijdsconstante wordt volgens de volgende formule bepaald: Voor een staprespons (zie ook de cursus Signalen en Systemen), met y(0) = 0: y( t) K K e Deze formule bevat een overgangsgedrag: K.e -t/τ, en een regimegedrag: K. 1 En dus: y( ) K (1 e ) 1 In deze formule is (1 e ) = 0, %. t Wat is de tijdsconstante die je afleest bij dit proces? Vergelijk met de transferfunctie. 7

8 Een tweede methode om de tijdsconstante van een proces te bepalen is de methode waarbij men gebruik maakt van de raaklijn aan de staprespons in t = 0. Het snijpunt van deze lijn met de lijn van de regimewaarde van de staprespons heeft een tijdswaarde die gelijk is aan de tijdsconstante van het proces (indien de stap op het moment 0 wordt aangelegd). Een tekening verduidelijkt deze stelling. In de volgende figuur de parameters: τ = 1000 s K = 1,5 y(τ) = y(1000 s) = 63%. K = 0,63. 1,5 = 0,945 De dode tijd De dode tijd τ d is de tijd die het proces nodig heeft om te reageren op een verandering aan de ingang. We beginnen te tellen van het moment dat er een stap wordt aangelegd tot de uitgang een verandering vertoont. Om dit te illustreren moeten we onze opstelling uitbreiden. Een signaalvertraging in Simulink doen we met een Transport Delay-blokje in de Continuousbibliotheek. Dit blokje voegen we in tussen de terugkoppellus (of in dit geval na de transferfunctie) en de uitgang. Bekijk even de eigenschappen van de vertraging door te dubbelklikken op het Transport Delay icoon. De tijdsvertraging, de initiële waarde en buffergrootte zijn vrij te kiezen parameters. Kijken we terug naar de oefenzitting van het koeljacket, dan kunnen we de dode tijd voorstellen als de tijd die het water nodig heeft om van de boiler naar het koeljacket te gaan. Stel dat de boiler enkele verdiepen lager staat dan het koeljacket en het 1000 s (dit is te lang, maar we doen dit om het duidelijk te maken) duurt vooraleer het zijn bestemming bereikt heeft. 8

9 τ d τ+ τ d Opdracht Geef versterking, tijdsconstante, dode tijd en beginvoorwaarden van volgend systeem. Controleer via Matlab. K: τ d : τ: 9

10 Dynamisch gedrag van een tweede orde proces met reële polen Het tweede orde proces met reële polen wordt beschreven door de differentiaalvergelijking: d² y d y y K u dt² dt Voor een tweede orde proces met reële polen kunnen we de transferfunctie schrijven als volgt: ( ) ( ) ( )( ) Bouw dit proces in Simulink. Je kan hiervoor hetzelfde Transferfunctieblokje gebruiken als bij de vorige oefening. Analyse van een tweede orde proces We nemen een tweede orde proces met K = 5 en τ 1 = 2,5 terwijl τ 2 veranderlijk gekozen is. Om een vergelijking te kunnen maken tussen deze verschillende stapresponsies, wordt de nultijd van de stapresponsie (het moment waarop de stap wordt aangelegd) genomen op het ogenblik t 0 = 0,5 - τ 2 - τ d. In onderstaande figuur is de rode grafiek een eerste orde proces met τ d = 0,5 s en τ = 2,83 s. De grafieken van het tweede ordeproces hebben in dit geval τ d = 0. Merk op dat voorbij de tijd van 1,25 s alle curven op elkaar liggen. Bijgevolg is het mogelijk om met de 63% methode τ 1 + τ 2 te bepalen analoog als bij het eerste orde geval met dode tijd. Men moet nu nog τ 2 van τ 1 splitsen. 10

11 Men maakt gebruik van de twee-punten methode om de tijdsconstanten τ 1 en τ 2 onderscheiden uit de som τ 1 + τ 2: t 0 +τ d t 28,3% Beschouw de kromme die begint op tijd t 0 +τ d τ 1 = 2,5 s, τ 2 = 0,33 s De methode luidt: 1) Uit de 63% methode halen we τ 1 + τ 2. Het eerste punt t 63,2% is de tijd waarop y(t 63,2% ) = 63,2%. K τ 1 + τ 2 = t 63,2% (t 0 +τ d ) (in dit voorbeeld: t 63,2% = 3 s en t 0 +τ d = 0,17 s, zodat τ 1 + τ 2 = 2,83 s) 2) Met het 28,3% punt bepalen we τ 1 en dus ook τ 2 Het tweede punt t 28,3% is de tijd waarop y(t 28,3% ) = 28,3%. K τ 1 = 1,5. (t 63,2% - t 28,3% ), (in dit voorbeeld: t 28,3% = 1,33 s, zodat τ 1 = 1,5. (3 s 1,33 s) = 2,5 s; τ 2 = 2,83 s - τ 1 = 0,33 s) Opmerking Klassiek werd voor het bepalen van de tijdsconstante een grafische constructie gedaan zoals hierboven. Tegenwoordig wordt eerder gespecialiseerde software gebruikt. 11

12 Wat zijn de dode tijd, versterkingsfactor en tijdsconstanten van volgend proces? Verifieer door het bekomen proces na te bouwen in Simulink. K: τ d : τ 1 : τ 2 : 12

13 Dynamisch gedrag van een tweede orde proces met complexe polen Een tweede orde massa-veer-demper systeem wordt beschreven door de volgende d² y d y differentiaalvergelijking: m d k y F dt² dt Onder welke voorwaarde heeft dit systeem complexe polen? Een tweede orde systeem met twee complex toegevoegde polen schrijven we meestal als volgt d² y d y 2 F (merk op dat dit ook gaat voor reële polen overigens): 2 n n y dt² dt m Hierbij is k n m de natuurlijke eigenfrequentie van dit proces. Voorts is d n waarin ξ de 2m 1 dempingsfactor is, en is de versterkingsfactor K k 1 2m De stapresponsie heeft een omhullende waarvan de tijdsconstante ; deze is n d afhankelijk van de demping d. Zoek de transferfunctie van dit systeem en bouw dit in Simulink. De massa is 5 kg, de veerconstante is 1000 N/m en de dempingsconstante is 10 Ns/m. Excitatie ( ) (welke eenheid?). Bepaal uit de stapresponsie de tijdsconstante van de omhullende evenals de pulsatie van de slingeringen. Opgepast, deze frequentie is de gedempte eigenfrequentie. Hieruit bereken je de natuurlijke of ongedempte eigenfrequentie n p 2 Bepaal massa, veerconstante en demping van volgend systeem: p