BASISBOEK WISKUNDE. voor havo, vwo, hbo en universiteit. Jan van de Craats en Rob Bosch. Een imprint van Pearson Education

Transcriptie

1 BASISBOEK WISKUNDE voor havo, vwo, hbo en universiteit Jan van de Craats en Rob Bosch Een imprint van Pearson Education

2 ISBN: NUR: Trefw: wiskunde, wiskundeonderwijs Illustraties en LATEX -opmaak: Jan van de Craats Omslag: Inkahootz, Amsterdam Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit van Amsterdam en de Open Universiteit, drs. R. Bosch is docent wiskunde aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda. Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet met chloorhoudende chemicaliën is gebleekt. Hierdoor is de productie van dit boek minder belastend voor het milieu. Copyright c 005 Jan van de Craats en Rob Bosch. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission of the publisher. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij electronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enige andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever. Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgaven is toegestaan op grond van artikel 6B Auteurswet 9 j het Besluit van 0 juni 974, St.b. 5, zoals gewijzigd bij Besluit van augustus 985, St.b. 47 en artikel 7 Auteurswet 9, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers of andere compilatie- of andere werken (artikel 6 Auteurswet 9), in welke vorm dan ook, dient men zich tot de uitgever te wenden.

3 Inhoudsopgave Voorwoord I Getallen Rekenen met gehele getallen 4 Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen Delen met rest Delers en priemgetallen De ggd en het kgv Rekenen met breuken 0 Rationale getallen Optellen en aftrekken van breuken Vermenigvuldigen en delen van breuken Machten en wortels 6 Gehele machten Wortels van gehele getallen Wortels van breuken in standaardvorm Hogeremachtswortels in standaardvorm Gebroken machten II Algebra 7 4 Rekenen met letters 8 Prioriteitsregels Haakjes uitwerken en buiten haakjes brengen De bananenformule Merkwaardige producten 8 Het kwadraat van een som of een verschil Het verschil van twee kwadraten Breuken met letters 44 Splitsen en onder één noemer brengen Breuken vereenvoudigen

4 III Getallenrijen 49 7 Faculteiten en binomiaalcoëfficiënten 50 De formules voor (a + b) en (a + b) Binomiaalcoëfficiënten en de driehoek van Pascal Het berekenen van binomiaalcoëfficiënten Het binomium van Newton en de sigma-notatie Rijen en limieten 58 Rekenkundige rijen Meetkundige rijen Limieten van rijen IV Vergelijkingen 67 9 Eerstegraadsvergelijkingen 68 Algemene oplossingsregels Ongelijkheden Een vergelijking reduceren tot een eerstegraadsvergelijking Tweedegraadsvergelijkingen 74 Tweedegraadsvergelijkingen Kwadraatafsplitsen De abc-formule Stelsels eerstegraadsvergelijkingen 80 Twee vergelijkingen met twee onbekenden Drie vergelijkingen met drie onbekenden V Meetkunde 85 Lijnen in het vlak 86 De vergelijking van een lijn in het vlak De vergelijking van de lijn door twee punten Het snijpunt van twee lijnen Afstanden en hoeken 9 Afstand en middelloodlijn De normaalvector van een lijn Loodrechte stand van lijnen en vectoren Het inproduct Cirkels 00 Cirkelvergelijkingen De snijpunten van een cirkel en een lijn De snijpunten van twee cirkels Raaklijnen aan een cirkel

5 5 Meetkunde in de ruimte 08 Coördinaten en inproduct in de ruimte Vlakken en normaalvectoren Evenwijdige en elkaar snijdende vlakken De drievlakkenstelling Bollen en raakvlakken VI Functies 9 6 Functies en grafieken 0 Eerstegraadsfuncties Tweedegraadsfuncties en parabolen Snijpunten van grafieken Gebroken lineaire functies Machtsfuncties, wortelfuncties en de absolute-waardefunctie.. 9 Polynomen Rationale functies Goniometrie 4 Hoekmeting De sinus, de cosinus en de tangens Grafieken van goniometrische functies Optelformules en dubbele-hoekformules De arcsinus, de arccosinus en de arctangens Een standaardlimiet Driehoeksmeting Exponentiële functies en logaritmen 48 Exponentiële functies Logaritmische functies De functie e x en de natuurlijke logaritme Meer over logaritmische functies Geparametriseerde krommen 56 Krommen in het vlak Poolcoördinaten Krommen in de ruimte Rechte lijnen in parametervorm VII Calculus 65 0 Differentiëren 66 Raaklijn en afgeleide Differentieerbaarheid Rekenregels en standaardafgeleiden Hogere afgeleiden Een vijfdegraadspolynoom

6 Stijgen, dalen en het teken van de afgeleide Extreme waarden Stationaire punten en buigpunten Differentialen en integralen 8 Differentialen definitie en rekenregels Foutenschattingen Hoe goed is de differentiaal als benadering? Een oppervlakteberekening Oppervlakte en primitieve functie Integralen algemene definitie en rekenregels Nogmaals het verband tussen oppervlakte en integraal Onbepaalde integralen De primitieve functies van f(x) = x Integratietechnieken 00 De substitutieregel Expliciete substituties Partieel integreren Voorbeelden van partieel integreren Oneigenlijke integralen van type Oneigenlijke integralen van type Sommen en integralen Numerieke integratiemethoden Is primitiveren in formulevorm altijd mogelijk? Toepassingen 8 De raakvector aan een geparametriseerde kromme De lengte van een kromme De inhoud van een omwentelingslichaam De oppervlakte van een omwentelingsoppervlak Exponentiële groei Logistische groei het lijnelementenveld Logistische groei de oplossingsfuncties VIII Achtergronden 4 Reële getallen en coördinaten 5 De reële getallenrechte De accolade-notatie voor verzamelingen Intervallen Wiskunde en werkelijkheid Coördinaten in het vlak De stelling van Pythagoras Coördinaten in de ruimte

7 5 Functies, limieten en continuïteit 4 Functie, domein en bereik Inverteerbare functies Symmetrie Periodiciteit Limieten Continuïteit Aanvullende afleidingen 49 Inproduct en cosinusregel Exponentiële en logaritmische functies Rekenregels voor afgeleide functies Differentialen en de kettingregel Standaardafgeleiden Antwoorden 57 Formuleoverzicht 97 Trefwoordenregister 05

8

9 Voorwoord Dit boek bevat alle basiswiskunde die nodig is als ingangsniveau voor een universitaire of HBO-studie op het gebied van de bètavakken, informatica, economie en verwante studierichtingen. Voor bètastudies zijn alle behandelde onderwerpen van belang, voor informatica en economische richtingen kunnen sommige stukken uit de hoofdstukken 7 (goniometrie), (integratietechnieken) en (toepassingen) terzijde gelaten worden. Met basiswiskunde bedoelen we algebra, getallenrijen, vergelijkingen, meetkunde, functies en calculus (dat wil zeggen differentiaal- en integraalrekening). Kansrekening en statistiek aparte wiskundevakken met een eigen invalshoek behandelen we niet. In de hier gekozen didactische opzet staat oefenen centraal. Net als bij iedere vaardigheid, of het nu om voetballen, pianospelen of het leren van een vreemde taal gaat, is er ook maar één manier om wiskunde onder de knie te krijgen: veel oefenen. Bij voetballen moet je trainen, bij pianospelen studeren en bij het leren van een vreemde taal woordjes leren. Zonder basistechniek kom je nergens; bij wiskunde is het niet anders. Waarom wiskunde leren? Natuurlijk gaat het de meeste gebruikers uiteindelijk om toepassingen in hun vak. Maar daarbij kun je wiskunde als taal en als instrument niet missen. Wie bijvoorbeeld een studieboek op het gebied van de exacte vakken openslaat, ziet vaak een stortvloed aan formules. Formules die wetmatigheden in het vak uitdrukken die met behulp van wiskundige technieken afgeleid zijn. Via wiskundige bewerkingen worden ze met andere formules gecombineerd om weer nieuwe wetmatigheden op het spoor te komen. Die manipulaties omvatten gewone algebraïsche omvormingen, maar ook het toepassen van logaritmen, exponentiële functies, goniometrie, differentiëren, integreren en nog veel meer. Dat zijn wiskundige technieken die de gebruiker moet leren hanteren. Het invullen van getalswaarden in formules om in een concreet geval een numeriek eindresultaat te verkrijgen, is daarbij slechts bijzaak; waar het om gaat, zijn de ideeën die erachter zitten, de wegen naar nieuwe formules en de nieuwe inzichten die je daardoor verwerft. Het hoofddoel van wiskundeonderwijs dat voorbereidt op HBO en universiteit moet dan ook het aanleren van die universele wiskundige vaardigheden zijn. Universeel, omdat dezelfde wiskundige technieken in de meest uiteenlopende vakgebieden toegepast worden. Formulevaardigheid verwer-

10 Voorwoord ven, daar draait het vooral om. En vaardigheid in het omgaan met functies en hun grafieken. Gecijferdheid, het handig kunnen rekenen en het vlot kunnen werken met getallen, is bij dit alles slechts een klein onderdeel. De rol van een rekenmachine (al dan niet grafisch) is in dit boek dan ook uitermate bescheiden; we zullen er nauwelijks gebruik van maken. Waar zo n apparaat bij het maken van de opgaven noodzakelijk is, hebben we dat expliciet aangegeven. Voor wie is dit boek bedoeld? Om te beginnen voor alle scholieren en studenten die zich bij wiskunde onzeker voelen omdat er gaten in hun basiskennis zitten. Zij kunnen hun wiskundige vaardigheden hiermee bijspijkeren. Maar het kan ook gebruikt worden als leerboek of als cursusboek. Door de doordachte, stapsgewijze opbouw van de stof met korte toelichtingen is het geschikt voor zelfstudie. Toch zal het altijd moeilijk blijven een vak als wiskunde helemaal door zelfstudie te leren: de waarde van een goede leraar als gids door de lastige materie kan moeilijk overschat worden. Hoe zit dit boek in elkaar? Alle hoofdstukken (op de laatste drie na) zijn op dezelfde manier opgebouwd: op de linkerbladzijden opgaven, op de rechterbladzijden de bijbehorende uitleg. De gebruiker wordt uitdrukkelijk uitgenodigd om eerst aan de opgaven links te beginnen. Wie vastloopt, onbekende begrippen of notaties tegenkomt of bepaalde details niet helemaal goed meer weet, raadpleegt de tekst rechts en indien nodig het trefwoordenregister. De opgaven zijn zorgvuldig uitgekozen: eenvoudig beginnen met veel soortgelijke sommen om de vaardigheden goed te oefenen. Met heel kleine stapjes wordt de moeilijkheid geleidelijk opgevoerd. Wie alle opgaven van een hoofdstuk gemaakt heeft, kan er zeker van zijn dat hij of zij de stof begrijpt en beheerst. Bij onze uitleg gaan we niet op alle wiskundige finesses in. Wie meer over de wiskundige achtergronden wil weten, vindt achterin drie hoofdstukken zonder opgaven met verdere verklaringen. Ze staan niet voor niets achterin: alleen wie al behoorlijk wiskundig bedreven is, zal ze kunnen waarderen. En de lezer die er niet aan toe komt, heeft geen probleem: wat voor de toepassingen nodig is, staat in de eerdere hoofdstukken. Een formuleoverzicht, een trefwoordenregister en een volledige antwoordenlijst completeren het boek. Wij hopen dat onze lezers dit boek met succes en plezier zullen gebruiken. Oosterhout en Breda, juni 005, Jan van de Craats en Rob Bosch

11 Antwoorden Formuleoverzicht Trefwoordenregister

12

13 Antwoorden I Getallen. Rekenen met gehele getallen. a. 6 b a. 485 b. 98 c a. 06 b. 08 c. 567 d. 605 e a. 98 b. 658 c. 649 d e a. (q, r) = (, ) b. (6, ) c. (7, 0) d. (7, 8) e. (, ).6 a. (44, ) b. (6, 00) c. (0, ) d. (, 5) e. (86, 49).7 a. (405, ) b. (46, 7) c. (75, ) d. (5, 8) e. (56, 8).8 a. (0, ) b. (, 4) c. (60, ) d. (75, 0) e. (0, 5).9 a. b. c d. e a. b. (tien keer) c. 5 7 d. e a. b. c. 5 5 d. 7 e a. 5 7 b. 7 7 c. 9 9 d. e a b. 9 c. 7 d. 00 (priem) e a. {,,, 4, 6, } b. {,, 4, 5, 0, 0} c. {,, 4, 8, 6, } d. {,,, 4, 6, 9,, 8, 7, 6, 54, 08} e. {,,, 4, 6, 8, 9,, 6, 8, 4, 6, 48, 7, 44}.6 a. {,,, 4, 6, 8, 9,, 6, 4, 6, 48, 7} b. {,, 4, 5, 0, 0, 5, 50, 00} c. {, 7,,, 77, 9, 4, 00} d. {,,, 7,, 5, 87, 56} e. {,, 4, 7, 4, 8, 49, 98, 96} Dit is de onvolledige (internet)versie van het Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats 57 &

14 Antwoorden 58.7 a. 6 b. c. 9 d. 8 e. 7.8 a. 45 b. 7 c. d. 7 e. 4.9 a. b. c. 5 d. 490 e. 8.0 a. b. c. 5 d. 960 e. 8. a. 60 b. 5 c. 6 d. 80 e. 6. a. 56 b. 0 c. 70 d. 690 e. 04. a. 50 b. 4 c. 560 d e a. 70 b. 88 c. 58 d. 945 e a. (,80) b. (6,60) c. (5,0) d. (9,78) e. (,5).6 a. (7,980) b. (6,40) c. (,780) d. (,008) e. (6,780). Rekenen met breuken. a. 4 b. 5 c. 7 d. e. 4. a. 5 b. c. 5 9 d. 7 e. 7. a. ( 4, ) b. ( 4 5, 5 5 ) c. ( 0 45, 45 8 ) d. ( 8 44, 44 ) e. ( 4 56, ).4 a. ( 8, 8 ) b. ( 9 0, 4 0 ) c. ( 9.5 a. ( 0 60, 5 60, 60 4, 4 0 ) b. ( 70 05, 6 05, 0 05 ) c. ( 9.6 a. ( 6 6, 6 0, ) b. ( 60, 9 e. ( 5 90, 50 90, 8 90 ) 60, a. 6 9 b. 7 5 c. 8 d. 6 e a. b c d. 90 e. ) d. ( 0 6, 6 ) e. ( 6 40, 5 40 ) 6, 6 6, 6 4 ) d. ( 0 6, 0, ) c. ( 0, 0 45, 0 49 ) d. ( 504, , ) a. 7 b. 0 c. 6 6 d. 99 e a. 7 b. 5 c. 9 8 d. 5 7 e a. 5 b. 45 c. 4 d. 7 6 e. 0. a. 9 5 b c d. 0 e. 4. a b. 4 c d. 4 e..4 a. 7 8 b. 4 c. 7 4 d. e a. 8 b. 4 c. 4 d. 6 e..6 a. 7 7 b. 7 5 c d. e. 0.7 a. 70 b. 4 c d e a. 0 b c. 0 9 d. 6 6 e a. b. c. 4 d. 5 4 e. 6 9 ) e. ( 0 7, 8 7, 7 7 )

15 59 Antwoorden.0 a. 4 5 b. 4 5 c. 7 8 d. 5 8 e a. b. c. 0 7 d e.. a. 4 5 b. c. 0 d. 7 5 e a. b. c. 6 d..4 a. 8 9 b. 4 c. 8.5 a. b c e..6 a b c Machten en wortels. a. 8 b. 9 c. 04 d. 65 e. 56. a. -8 b. 9 c. -04 d. 65 e. 64. a. 8 b. 6 c. 8 d. 7 e. 8.4 a. b. 9 c. d. 79 e a. 64 b. 8 c. 7 d. 6 e..6 a. b. 0 c. d. 49 e. 8.7 a. 4 9 b. 6 c d..8 a. 9 4 b. 8 c. 9 7 d a. 9 6 b. 6 c. 5 4 d a. 4 b. c d a b. c d a b. 7 5 c. 5 d.. a. 6 b. 9 c. d. 8 e..4 a. 5 b. 4 c. 4 d. 6 e. 6.5 a. b. c. d. 6 e. 5.6 a. 6 b. 4 c. 5 d. 7 e. 0.7 a. 6 b. c. 4 5 d. 4 6 e. 0.8 a. 7 b. c. 5 5 d. 6 6 e..9 a. 5 b. 9 5 c. 6 d. e. 4.0 a. b. 8 c. 45 d. 9 e. 6. a. b. 5 6 c. 4 6 d. 0 6 e a. 5 b. 4 c. 0 d. e. 40. a. 70 b. 000 c d e. 04 5

16 Antwoorden 60.4 a. 4 b. 9 c. d. 7 e a. 4 b. 9 6 c d. 4 6 e. 7.6 a..7 a. 6 b. 6 c. 5 0 d. 4 e b. 9 c. 0 5 d. 5 0 e a. 6 b. 5 c. 77 d e..9 a. 0 b. 5 0 c d. 0 e..0 a. b. c. 5 d. 4 e. 6. a. b. c. d. e.. a. b. 4 c. 5 d. 5 e.. a. 5 b. 4 c. 5 0 d. 6 e. 6.4 a. 5 b c. d. 4 0 e a. 6 b. 6 c. 5 5 d. 6 6 e a. 7 b. bestaat niet c. d. 6 e a. b. c. d. 5 e. 5.8 a. b. 4 6 c. 5 5 d..9 a b c. 6 5 e d a. 8 b. 4 6 c. 5 d a. b. 4 c. 5 6 d. 6 0 Opmerking: bij de volgende twee opgaven staan de antwoorden meestal niet in standaardvorm. Dit werd hier ook niet gevraagd..4 a. b. 7 c. 49 d. 4 5 e a. b. 4 c. 4 d. 8 e..44 a. 5 b. 7 c. 4 d. 6 e a. 5 b. 6 c. 5 4 d. e a. b. c. 5 4 d. e a. b. c. 7 d. 4 e a. 6 b. 6 4 c. 4 d. 5 8 e a b. 6 c d. e a. 6 b. 6 c. 4 d. 5 e. 6

17 6 Antwoorden II Algebra 4. Rekenen met letters 4. a. 8 b. 6 c. 0 d. 08 e a. b. 6 c. 4 d. 0 e a. 40 b. c. 6 d. 8 e a. 5 b. 45 c. 45 d. 77 e a. 6 b. 96 c. 9 d. 6 e a. 0 b. 6 c. 7 d. 4 e a. 0 b. 55 c. 0 d e a. 56 b. 96 c. 56 d. 5 e a. b. 9 8 c. d. 4 e a. b. 5 c. 4 d. 5 6 e a. a 8 b. b 5 c. a d. b 4 e. a 4 4. a. a 6 b. b c. a 5 d. b 8 e. a a. a 4 b 4 b. a 4 b 6 c. a b d. a 8 b e. a 5 b a. a 8 b. 6a 0 c. 60a 6 d. 0a 8 e. 6a a. 8a 6 b. 8a b 6 c. 6a 4 b 4 d. 5a 5 b 9 e. 6a 4 b a. 5a b 5 b. 4a 9 b 6 c. 6a 5 b 5 d. 5a b 8 e. 44a 8 b a. 4a 0 b. 0a 0 c. 40a d. 8a 5 e. 4a a. 8a 6 b. 9a 6 c. 65a 6 d. a 0 b 0 e. 8a b a. a 8 b. 7a c. 5a 8 d. 750a 6 e. 0a 4.0 a. 8a 7 b 0 b. 7a 0 b c. 64a b 6 d. 4a 6 b 8 e. 5a 8 b 4. a. 7a 7 b c 7 b. 64a b c 6 c. 80a 5 b 0 c d a 4 b 6 c e. 08a b c 4. a. a 6 b. 6a 4 c. 664a 6 b 4 d. a 5 e. 08a 6 4. a. 6a + 5 b. 40a 6 c. 5a + 0 d. 60a + e. 49a a. a 0a b. 4a + 84a c. 7a + 65a d. 64a 0a e. 6a 89a 4.5 a. a + 8a b. a a c. 0a 4 0a d. 9a 4 + 8a e. a + a 4.6 a. a 4 + 8a + a b. 6a 5 5a 4 + a c. 4a 5 + a 4 4a d. 7a 5 4a 4 + a a e. 5a 6 5a 4 + 0a 4.7 a. 6a + 8b b. 0a + 5b c. a + 4ab d. 64a + 96ab e. 76a + 4ab 4.8 a. 7a + 5ab 6a b. 4a a b c. 56a a b + 8a

18 Antwoorden 6 d. a + a b + a e. 69a 56a b + 8a 4.9 a. 6a 4 + 4a b 6a b. 0a 5 5a 4 + 0a b c. 6a b + 4b 4 d. 8a 5 + 0a b 8a b e. 96a b 8ab + 70b a. a 4 + 6a b b. 5a 4 0a b + 5a b c. 6a 6 + 4a 5 b a b d. 6a 7 6a 6 b 6a 5 b e. 49a 6 + a 5 b 8a 4 b 4. a. a b + 4a b ab b. 5a b 0a b + 0ab c. a b 0a b 6ab 4 d. 44a 4 b 4 7a b + 44a b e. a b + 54a b 6a b 4 4. a. 5a 5 b 5 + a 5 b 4 a 4 b 5 b. a 5 b 5 + a 4 b 4 + 4a b c. 5a 7 b 7 90a 6 b 6 + 5a 5 b 7 d. a 9 b 9 + a 7 b 7 9a 6 b 9 e. 49a 5 b 49a b 4 7a b 4. a. a + 8a 8 b. a a 6 c. 9a d. 8a + 66a 0 e. 0a 5a 5 f. a a a. a + 8ab b b. a + b c. 4a + 4ab b a + b d. a b + 6a b e. 5a + 0ab b + a b 4.5 a. 6(a + ) b. 4(a + 4) c. (a 4) d. 5(a ) e. 7(a + ) 4.6 a. (a b + ) b. 4(a + b 4) c. (a + 4b + ) d. 6(5a 4b + 0) e. (a + 5b ) 4.7 a. (a b + 5) b. 7(a 5b + ) c. 6(a + 4b c) d. 4(a + 5b c) e. 9(5a b + 7c + ) 4.8 a. a(a + ) b. a (a ) c. a(a a + ) d. a (a + a ) e. a (a a + ) 4.9 a. a(a + ) b. a(a + a ) c. 5a (a a + 5) d. 9a (a 4 a 4) e. a(4a a + a + 5) 4.40 a. ab(a + ) b. 9ab(a b) c. 4ab(b ) d. 7ab (a ) e. a b(6b 5) 4.4 a. a b(ab + 6) b. a b(a b ab + 4) c. 5abc(a bc ac ) d. 4a b 4 c (a bc a + 5) e. a b c(c + c + ) 4.4 a. a bc ( b + b ) b. a b 5 c (a c abc b ) c. a c (ac b c + b) d. a 5 b 6 (a ab + ) e. a 6 b 6 c 6 (a b + ac ) 4.4 a. (a + )(b + ) b. (a )(b ) c. (a + 7)(b + 4) d. (a + )(b ) e. (a )(b ) 4.44 a. a(a )(b + ) b. 6(a + )(b + ) c. (a )(b ) d. a (a )(4b + ) e. a(a + )(b + ) 4.45 a. (a + 4)(b + ) b. b(a ) c. (a + )(b ) d. (a + )(a + ) e. (a + )(a + )

19 6 Antwoorden 4.46 a. (a + 5)(a + ) b. (a + )(a + )(b + ) c. (a )(a + ) d. (a )(a + )(a ) e. 4(a + )(a + 4) 4.47 a. a + 4a + b. a + 9a + 9 c. a 7a 6 d. 0a 9a 0 e. 6a + a 45 f. 4a + a a. 4a + 7a 4 b. 56a + 9a c. 7a 88a 7 d. 6a 6a 6 e. ab 5a + b 5 f. 6ab + 0a + 4b a. 4ab + 4a + b b. ab + 9a + b c. 56ab 69a + 44b 56 d. a 4a + 4a 6 e. a a + 7a 7 f. a 4 + a a. a + 4a 7a 49 b. 6a 4 a + 6 c. a 4 + a a d. 6a 4 + a 0a e. 6a 4 6a + 5a + 5a f. 8a 4 49a 49a 4.5 a. 4a a + 4a b. 0a 5 + a 4a c. a 5 + a d. 54a 7 + 8a 6 0a 5 0a 4 e. 56a 6 5a 4 8a + 5a f. 4a 8 + 8a 7 + 5a a. 6a b ab + a b ab b. 6a b 9a b + a b a b c. 4a b 4 + 0a b 6a b d. a 5 b 5 6a 4 b 4 + 4a b 6 + a b 5 e. a 8 b 8 + a 6 b 0 a 4 b f. a + 7a + a a. a + a 5a + b. a + ab + 8a + b + 4b c. 9a + 8ab + 9a 9b 9b d. 8a 8ab + a 8b + e. a 4 + a f. 6a + 0a + a 4.54 a. a + 7a + a + 4 b. a b a b c. a 4 + a b ab b 4 d. a + 6a + a + 6 e. a a 5a + 6 f. 4a + 4a 5a 4.55 a. 4a 4a b ab + b b. 60a a b + 98ab 4b c. a 4 + 6a 9a + 8a d. a + 5a a + e. a 6 + a 4 4a f. a 4 b + a b 4 + a 4 b a b 4 a b a b 4.56 a. 6a 5 b + 6a 4 b 6a b 6a b 4 b. a 4 + a + a + c. a 4 + a + a + a + d. 6a 4 + a a 5a e. a 5 6a 4 + 5a 6a + a f. 0a + ab a b + b 0