Greedy algorithms. Algoritmiek
|
|
- Erik Bauwens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Greedy algorithms
2 Vandaag Greedy algorithms: wat zijn dat? Voorbeelden: gepast betalen met euromunten AB-rijtje Knapsack probleem Twee scheduling problemen Later: meer voorbeelden, algemene structuur, wanneer wel/niet optimaal 2
3 Greedy algorithms Greed = hebzucht Algoritmen voor optimalisatieproblemen Oplossing wordt incrementeel opgebouwd Om van een deeloplossing naar de volgende deeloplossing te gaan wordt een greedy stap gedaan: Best uitziend / meest veelbelovend / grootste directe winst 3
4 Soms optimaal, soms heuristiek Er bestaan toepassingen waarbij greedy het optimale antwoord vindt Er bestaan toepassingen waarbij greedy niet het optimale antwoord vindt: Soms bewijsbare kwaliteit van approximatie Soms (redelijk) goede heuristiek Soms heel slecht en ver weg van optimum 4
5 Kortste A,B-rijtje Nog eens: A,B-rijtje is rij getallen met: 1e getal is A Laatste getal is B Ieder getal is vorige getal +1 (I) of *2 (D) Vraag: gegeven A en B, wat is het kortste A,Brijtje We zagen een DP, maar het kan slimmer 5
6 DP formulering S(A,B) = 0 als A==B S(A,B) = MAXINT als B<A S(A,B) = min {S(A+1,B),S(A*2,B)} +1 anders Of: 6
7 Laatste keuze Als B oneven is, moet het rijtje op I eindigen Als B < 2A, moet het rijtje op I eindigen Je kan laten zien (komt zometeen): Als B>= 2A en B even, dan eindigt een kortste rijtje op een D S(A,B) = S(A,B-1) als B oneven en A < B<2A S(A,B) = S(A,B/2) als A < B, B>=2A en B even 7
8 Algoritme If B<A then return MAXINT (of oneindig, of foutmelding) Maak lege stack S While B!= A do If B oneven or B<2A, then push(s, I ); B=B-1 Else push (S, D ); B = B/2 While stack niet leeg, do Write(Pop(S)); 8
9 Stellinkje en bewijs Als we een D als laatste stap kunnen doen, dan geeft dat altijd een kortere rij dan wanneer we een I als laatste stap doen Bewijs: B is even Kijk naar optimale sequence, stel eindigt op I Geval 1: alleen maar I s: I B-A is langer dan I B/2-A D: tegenspraak Geval 2: rijtje heeft vorm sdi r. r is even, want getal is altijd even na een D. Neem nu rijtje sr i/2 D : dit is korter: tegenspraak Altijd tegenspraak, dus optimale sequence eindigt op D 9
10 Idee Optimale keuze voor laatste element Heeft een bewijs nodig We hoeven niet te kiezen kunnen 1 kant opgaan! Noemen we greedy 10
11 Greedy: wat vraag je je af Wat is de eerste / laatste keuze die gemaakt wordt Is er een mogelijkheid voor die keuze die optimaliteit niet verstoort: er bestaat een optimale oplossing die die mogelijkheid gebruikt (greedy choice property?) Bewijs van greedy choice property: uitwisselargumenten Greedy algoritme (slimme implementatie?) 11
12 Euromunten Muntwisselprobleem met Euro s Munten met waardes 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 En bankbiljetten met waardes 500, 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, Hoe betalen we een bedrag van n cent met zo weinig mogelijk munten? Voor euromunten kan dit optimaal met een greedy algoritme! 12
13 Greedy algoritme voor muntwisselprobleem Procedure BetaalGreedy (integer n, verzameling M) rest = n; While (rest > 0) Do Kies de grootste muntwaarde w uit M zodat w rest; Als alle munten in M waarde groter dan rest hebben, return `Niet mogelijk. Geef een munt met waarde w terug; rest = rest w; Dit doet zich niet voor bij Euro s 13
14 Stelling BetaalGreedy geeft altijd het minimum aantal munten als M = { 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200}, Ook als M = {1, 5, 10, 25, 100, 250}. Formeel wiskundig bewijs is niet eenvoudig Als M = { 1, 10, 25} dan is dit niet waar: Kijk naar n =
15 Methode anders opgeschreven function make-change(n) {Bereken S bestaande uit zo weinig mogelijk muntjes} const Euro s={200,100,50,20,10,5,2,1}; S= ; {S is de verzameling van geselecteerde muntjes} sum=0; {sum is de totale waarde van de muntjes} while sum n do x = grootste waarde uit Euro s met sum+x n if er is niet zo n waarde return geen oplossing S = S {munt met grootste waarde uit Euro s} sum = sum + x; return S; 15
16 Ingredienten voor greedy algoritme Werkt voor optimaliseringsprobleem. Een doelfunctie (objective function) geeft elke oplossing een waarde; we willen een oplossing met beste (kleinste / grootste) waarde vinden. De oplossingsverzameling wordt incrementeel opgebouwd. Een functie solution test of de oplossingsverzameling een oplossing is. Een functie feasible (doenbaar / mogelijk), die test of een element aan de oplossingsverzameling toegevoegd kan worden. Een functie select selecteert het meest veelbelovende element. 16
17 Schema voor greedy algoritme function Greedy(C:set) {C is de verzameling van beschikbare elementen / keuzes die je kan magen} S= ; {S is de oplossingsverzameling} while C and not solution(s) do x = select(c); C = C\{x}; if feasible(s {x}) then S = S {x}; if solution(s) then return S; else return er is geen oplossing ; Muntwissel past in schema 17
18 18 Greedy algoritmen: optimaal of niet? Soms geven greedy algoritmen optimale antwoorden, bijv.: Muntwisselprobleem met euro-munten Dijkstra s algoritme met niet-negatieve pijllengtes Meer voorbeelden volgen Soms geven greedy algoritmen geen optimale antwoorden, bijv.: Muntwisselprobleem met munten 1, 10, 25 Dijkstra s algoritme met pijllengtes die negatief mogen zijn Dan is greedy een heuristiek. Soms kan je bewijzen dat greedy in de buurt van het beste antwoord komt.
19 Oliepijpen in Rusland Pijplijn Kan lekken Waar plaatsen we kleppen (valves)? DP of greedy? 19
20 Knapsack met fractionele oplossingen n Voorwerpen met Waardes w 1, w n (positief) Gewichten g 1,, g n (positief) Maximum gewicht G. We mogen nu ook een gedeelte van een voorwerp nemen: als we bijvoorbeeld 2/3 van voorwerp j nemen levert dat 2/3*w j waarde en 2/3*g j gewicht op. Hoe kunnen we zoveel mogelijk waarde meenemen als totaalgewicht hooguit G is. (Bij DP mochten we alleen voorwerpen helemaal wel of helemaal niet nemen.) 20
21 Wiskundige formulering Kies reële getallen x 1 x n [0,1] zodat en zodat n i =1 n i = 1 x g G zo groot mogelijk is. i x w i i i 21
22 Simpele observaties Als het totaalgewicht van alle voorwerpen hooguit G is, dan is het nemen van alle voorwerpen optimaal. Stel dus dat totaalgewicht >G is. Nu: Een optimale oplossing heeft totaalgewicht precies G: elke andere oplossing kan verbeterd worden. n i =1 xi gi = G 22
23 Plan voor greedy algoritme function knapsack(g[1..n],w[1..n],g): array x[1..n]; for i=1 to n do x[i]=0; gewicht=0; {greedy loop} while gewicht<g do i = het beste nog niet geselecteerde object ; if gewicht+g[i] G then x[i]=1; gewicht = gewicht+g[i]; else x[i]= (G-gewicht)/g[i]; gewicht=g; return x; Wat kan er nog bij van voorwerp i? 23
24 Over schema voor greedy algoritme voor knapsack Hooguit 1 voorwerp wordt voor een deel (0<x i <1) genomen. Er zijn verschillende mogelijkheden voor wat het beste nog niet geselecteerde voorwerp is. Het lichtste Niet altijd optimaal: voorwerpen met waarde/gewicht (1,1), (B, 2B) Het waardevolste Niet altijd optimaal: voorwerpen met waarde/gewicht (B,B), (1, 2B) Het voorwerp met de hoogste waarde van w i / g i 24
25 Kies steeds voorwerp met hoogste soortelijke waarde function knapsack(g[1..n],w[1..n],g): array x[1..n]; for i=1 to n do x[i]=0; gewicht=0; i = 1; Sorteer de voorwerpen zodat de `soortelijke waardes w[i]/g[i] niet dalend zijn, d.w.z., w[1]/g[1] w[2]/g[2] w[n]/g[n] while (gewicht < G and i n) do if gewicht+g[i] G then x[i]=1; gewicht = gewicht+g[i]; else x[i]= (G-gewicht)/g[i]; gewicht=g; i++; 25
26 Greedy met waarde/gewicht geeft optimale oplossing Stelling. Als de voorwerpen gekozen worden in volgorde van niet-dalende waarde w[i]/g[i], dan geeft het greedy algoritme een optimale oplossing. Bewijs. Stel voorwerpen genummerd op niet-dalend waarde/gewicht. Stel totaalgewicht alle voorwerpen meer dan G. Bekijk oplossing van greedy algoritme. Laat j het eerste voorwerp zijn met x[j] < 1. Als j < j, dan x[j ] = 1. Als j > j, dan x[j ] = 0. 26
27 Bewijs (vervolg) Schrijf X voor rijtje (x[1],, x[n]). Laat Y = (y[1],, y[n]) een andere oplossing zijn. (Dus, gewicht van Y hooguit G.) Nu: n i = 1 ( x i y i ) g i Schrijf W(X) is totale waarde van X, net zo W(Y). W ( X ) n 0. = = x i w i 1 i 27
28 28 = = n i i i i w y x Y W X W 1 ) ( ) ( ) ( i i n i i i i g w g y x = =1 ) ( In elk van de drie gevallen (i < j, i=j, i>j) geldt j j i i i i i i g w y x g w y x ) ( ) ( Dus 0. ) ( ) ( ) ( 1 = n i i i i j j g y x g w Y W X W Iedere oplossing heeft waarde hooguit die van X; X is dus optimaal. QED
29 Scheduling: minimizing average Een balie met klanten. waiting time Klanten hebben verschillende service-tijden: de totale tijd nodig door de balie voor deze klant. In deze versie komen alle klanten tegelijk binnen. In welke volgorde kunnen we klanten afhandelen zodat de totale tijd dat klanten wachten zo klein mogelijk is? 29
30 Greedy algorithm Minimizing total waiting time Zolang er nog wachtende klanten zijn, kies de wachtende klant met de kleinste service-tijd, en behandel die, d.w.z., behandel klanten in volgorde van stijgende (niet-dalende) service-tijd. Dit algoritme geeft een optimale oplossing, d.w.z., elke oplossing heeft een totale wachttijd minstens die van deze oplossing. 30
31 Bewijs a b b a Een schema dat niet greedy is is niet optimaal. Er zijn dan klanten a en b, met a geholpen voor b, met s(a) > s(b). Wissel a en b in het schema om, en we krijgen een schema met kleinere totale wachttijd. 31
32 Scheduling with deadlines n taken Iedere taak kost evenveel (1) tijd Taken hebben een deadline d i Taken hebben een opbrengst g i Een taak brengt g i op dan en slechts dan als de taak uitgevoerd is op tijd d i of eerder Welke taken voeren we uit, en in welke volgorde, zodat Taken uitgevoerd uiterlijk op deadline Totale opbrengst zo groot mogelijk 32
33 Voorbeeld Taak Opbrengst Deadline Tien mogelijkheden, beste is: Eerst taak 4, dan taak 1: opbrengst
34 Een eenvoudiger probleem: Mogelijke verzameling taken Noem een verzameling taken S mogelijk (feasible), als er een volgorde van de taken in S is, zodat Elke taak in S wordt uitgevoerd Elke taak in S wordt uitgevoerd voor de deadline. Hoe kan je, voor gegeven verzameling taken S, testen of deze mogelijk is? Met een greedy algoritme 34
35 Greedy algoritme om te testen of verzameling taken mogelijk is Doe steeds de taak met de vroegste deadline. D.w.z.: voer taken uit in volgorde van stijgende deadline. Test of zo geen taak te laat wordt uitgevoerd. Dit schema geeft een kloppend schema, d.e.s.d. als een verzameling mogelijk is. => : triviaal <= : Stel schema met taken met deadlines d 1 d 2 d n geeft geen kloppend schema. Stel taak d k is de eerste taak die niet op tijd klaar is. Dan zijn er k taken met een deadline hooguit k 1, en daar is nooit een kloppend schema voor. 35
36 Greedy algoritme voor scheduling met deadlines Begin met verzameling taken S =. N = verzameling van alle taken. While N Do Kies taak t uit N met hoogste opbrengst. If (S {t} is mogelijk) Then S = S {t} Output S Kan getest worden met zojuist behandeld algoritme 36
37 Greedy is optimaal (1) Stel algoritme vindt verzameling taken I, en stel J is optimale verzameling taken, met kloppende schema s. Eerst transformeren we de schema s zodat de taken die zowel in I als in J zitten tegelijk worden uitgevoerd (er mogen gaten komen.) p y q x r Schuif de gemeenschappelijke taak r s t p u v q w naar achteren, en dus de andere naar x y p r q voren. u s t p r v q w 37
38 Greedy is optimaal (2) Kijk naar het eerste moment dat de schema s verschillend zijn. Er zijn drie gevallen: 1. Schema J heeft een gat, en schema I voert een job uit. 2. Schema I heeft een gat, en schema J voert een job uit. 3. Ze voeren een verschillende job uit, zeg job a door t schema van I (greedy) en job b door t schema van J (optimaal). 38
39 Geval 1: Schema J (opt) heeft gat I x y p r q J x t p r v q w Taak y kan worden toegevoegd aan schema J, dus J was niet optimaal. Tegenspraak. 39
40 Geval 2. Schema I (greedy) heeft een gat I x s p r q J x y t p r v q w De verzameling I {y} is mogelijk, dus greedy zou y toevoegd hebben; tegenspraak. 40
41 Geval 3: I en J voeren een andere job uit I x a s p r q J x b t p r v q w Geval 3a: opbrengst (a) > opbrengst (b). J is niet optimaal: J {b} {a} is mogelijk en beter. Geval 3b: opbrengst(b) > opbrengst (a). Kan niet gebeuren: b wordt bekeken voor a en zou door greedy genomen zijn, want I {a} {b} is doenbaar. Geval 3c: opbrengst(a) = opbrengst(b). Enige geval zonder tegenspraak. 41
42 Greedy is optimaal (slot) Zo kunnen we laten zien: Op elk tijdstip hebben I en J dezelfde taak, of een taak met dezelfde opbrengst. Dus hebben I en J dezelfde opbrengst: het greedy algoritme geeft een optimale oplossing. 42
43 Implementatie Sorteer de taken op niet-stijgende opbrengst: g 1 g 2 g n. Array job geeft welke job op welk tijdstip wordt gedaan. Gebruik extra taak 0, met d[0]=0; job[0]=0. (Schildwacht. ) job[1] = 1; k = 1; for i = 2 to n do r=k; Job 1 kan altijd gekozen while d[job[r]] > d[i] and d[job[r]] > r do r = r-1; if r+1 d[i] Job i kan worden ingevoegd then for m=k step 1 to r+1 do job[m+1]=job[m]; job[r+1]=i; k=k+1; return k, job[1..k]; Helpt voor snellere implementatie Zoek de plaats van job i Schuif job i ertussen 43
44 Tijd van algoritme Sorteren kost Θ(n log n). Dubbele loop: Θ(n 2 ) Kan sneller: gebruik efficientere test voor mogelijkheid van verzameling taken. 44
45 Een lemma Ander greedy algoritme Een verzameling taken is mogelijk, dan en slechts dan als een schema als volgt gemaakt kan worden: Begin met een leeg schema. Schedule de taken een voor een, zet taak op het laatste tijdstip voor zijn deadline, en voor tijd n dat nog vrij is. Bewijs: Stel we willen een job met deadline d toevoegen, maar dit kan niet. Dan zijn alle tijdstippen tussen 1 en r=min(n,d) bezet. Stel s is eerste tijdstip zonder taak. s>r. Alle taken gepland op tijdstippen 1 t/m s-1 hebben deadline hooguit s-1. Samen met job op tijdstip d hebben we s jobs met deadline hooguit s-1: verzameling taken is niet mogelijk. 45
46 46 Snellere implementatie met jobs rechts aangeschoven Lemma geeft: taak die gepland is hoeft niet meer een ander tijdstip te krijgen. Mogelijke implementatie Houdt bij een gebalanceerde boom met alle nog vrije tijdstippen in {1,, n}. Voor taak met deadline d, zoek in boom grootste key d. Kan in O(log n) tijd. Zet taak op gevonden tijdstip en haal tijdstip weg uit boom. Als geen vrij tijdstip voor d meer beschikbaar, wordt de taak niet uitgevoerd
47 O(n log n) algoritme Sorteer taken op niet-dalende waarde. Zet in B alle tijdstippen in {1, n} Voor alle taken van meest tot minst waardevolle Doe Zoek grootste key in B deadline taak Als beschikbaar, haal deze key uit B, en plan taak op dat tijdstip 47
48 Als taken al gesorteerd 2e stap kan sneller met behulp van slimme unionfind datastructuur Wordt behandeld in later college 48
49 Huffman codes Stel we hebben een tekst die we willen coderen als bitstring Sommige letters komen veel vaker voor dan andere Besparen in lengte door: Slim codes (in {0,1}*) toewijzen aan letters Niet elke letter hoeft een code die even lang is 49
50 Voorbeeld abcaaaacabaabaaabaaaac a komt vaak voor, b en c weinig dus: a wordt 0 b wordt 10 c wordt
51 Huffman code Beeld elke letter af op een bitstring Geen enkel symbool heeft een code die een prefix (beginstuk) is van de code van een ander symbool (prefix free) Elk symbool heeft frequentie Som over alle symbolen: frequentie * lengte code moet zo klein mogelijk zijn 51
52 Prefix-vrije codes te representeren als boom c d 0 1 b c: 00 d: 01 a: 100 b: 101 c: 11 a e 52
53 Kosten Elk symbool a heeft frequentie f(a) Voor prefix-vrij mapping m: kosten zijn f(a)* m(a) (.. geeft lengte van string) Totale kosten: som van alle a in alphabet van f(a)* m(a) 53
54 Broerbladen Als we 1 of 2 symbolen hebben: triviaal Als we minstens 3 symbolen hebben: er zijn twee broer-bladen : We kunnen zien welke symbolen we het liefst als broerbladen zien 0 1?? nl.: de twee symbolen met de laagste frequentie 54
55 Stelling Stel a en b zijn de twee symbolen met de laagste frequentie. Er is een boom waar a en b bladen zijn die dezelfde ouder hebben (broerbladen zijn). Bewijs. Neem een optimale boom. Kijk naar een blad met grootste diepte. Die heeft een broer (want anders kan je de ouder weglaten, en betere Huffman-code krijgen). Verwissel nu a en b met symbolen in die bladeren: de kosten kunnen gelijk blijven of dalen. QED 55
56 Simplificatie-stap Stel a en b zijn symbolen met de laagste frequentie. Verander alfabet: Laat a en b weg Neem nieuw symbool, zeg c, met frequentie f(a)+f(b) Bewering: de minimale kosten van een Huffmanboom voor het nieuwe alfabet is gelijk aan de minimale kosten van een Huffman-boom voor het oude alfabet 56
57 Bewijs simplificatiestap Bewering: de minimale kosten van een Huffmanboom voor het nieuwe alfabet + f(a)+f(b) is gelijk aan de minimale kosten van een Huffman-boom voor het oude alfabet => Neem een boom voor het nieuwe alfabet. Waar c stond, neem nu een deelboompje als volgt c 0 1 Kosten stijgen precies met f(a)+f(b) a b 57
58 Bewijs vervolg <= We weten: er is een boom waar a en b broederbladen zijn. Vervang het gedeelte van a en b en hun ouder door een knoop voor c 0 1 Kosten dalen c a b precies met f(a)+f(b) 58
59 Algoritme Herhaal tot we 1 symbool over hebben: Zoek de twee symbolen met laagste frequentie, zeg a i en a j. Kies een nieuw symbool a r Haal a i en a j uit alphabet, voeg a r toe met f(a r ) = f(a i )+f(a j ) Zet het triple (i,j,r) op een stack S Maak een boom met 1 knoop van het resulterende symbool Herhaal tot S leeg is: (i,j,r) = Pop(S); Vervang het symbool a r in de boom door een knoop met kinderen a i en a j 59
60 Voorbeeld op bord Letter a b c d e f Freq %
61 Huffman Algoritme is correct: gebruikt greedy / simplificatie Hoeveel tijd: met bijv. een heap kan dit in O(n log n) tijd als we n symbolen hebben in het alfabet 61
62 Het Handelsreizigersprobleem Gegeven: stel steden 1, n. Voor elk paar steden i, j, een afstand d(i,j), getal K. Gevraagd: is er een route die in stad 1 begint, elke stad precies 1 keer bezoekt en weer in stad 1 eindigt, en totale lengte hooguit K heeft?
63 Een greedy heuristiek De dichtstbijzijnde buur (`nearest neighbor ) heuristiek: een heuristiek die geen optimale maar vaak wel redelijke oplossingen geeft. Begin in een willekeurige plaats, zeg 1. Zolang niet alle plaatsen bezocht zijn, ga vanuit de plaats j waar we zijn naar de onbezochte plaats die het dichtst bij j is. Ga weer terug naar 1. 63
64 Geeft optimale oplossing als we bij 2 beginnen, maar geen optimale oplossing als we in 1 beginnen 64
65 Conclusies Greedy geeft soms handige snelle algoritmen Bewijs nodig voor optimaliteit Soms redelijke heuristiek 65
Greedy algorithms. Algoritmiek
Greedy algorithms Vandaag Greedy algorithms: wat zijn dat? Voorbeelden: gepast betalen met euromunten AB-rijtje Knapsack probleem Twee scheduling problemen Later: meer voorbeelden, algemene structuur,
Nadere informatieGreedy algoritmes. Algoritmiek
Greedy algoritmes Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs, methoden, paradigma s voor het ontwerpen van algoritmen Dynamisch Programmeren Divide & Conquer Greedy 2 Greedy algoritme Bouwt de oplossing
Nadere informatieHeuristieken en benaderingsalgoritmen. Algoritmiek
Heuristieken en benaderingsalgoritmen Wat te doen met `moeilijke optimaliseringsproblemen? Voor veel problemen, o.a. optimaliseringsproblemen is geen algoritme bekend dat het probleem voor alle inputs
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 14 april Gretige algoritmen
College 10 Tiende college algoritmiek 1 april 011 Gretige algoritmen 1 Greedy algorithms Greed = hebzucht Voor oplossen van optimalisatieproblemen Oplossing wordt stap voor stap opgebouwd In elke stap
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen
Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra
College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieMinimum Opspannende Bomen. Algoritmiek
Minimum Opspannende Bomen Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee greedy algoritmen + tijd en datastructuren: Het algoritme van
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek mei 018 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS
Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen
Nadere informatieDynamisch Programmeren III. Algoritmiek
Dynamisch Programmeren III Vandaag Dynamisch programmeren met wat lastiger voorbeelden: Handelsreiziger Longest common subsequence Optimale zoekbomen Knapsack 2 - DP2 Handelsreiziger Een handelsreiziger
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatieKortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 3 mei Dynamisch programmeren Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek 3 mei 019 Dynamisch programmeren Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Houtzaagmolen Een houtzaagmolen rekent voor het in twee stukken zagen van een stam van lengte l precies
Nadere informatieBenaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Nadere informatieAmorized Analysis en Union-Find Algoritmiek
Amorized Analysis en Union-Find Vandaag Amortized analysis Technieken voor tijdsanalyse van algoritmen Union-find datastructuur Datastructuur voor operaties op disjuncte verzamelingen Verschillende oplossingen
Nadere informatieKortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Vandaag Kortste Paden probleem All pairs / Single Source / Single Target versies DP algoritme voor All Pairs probleem (Floyd s algoritme) Dijkstra s algoritme voor Single Source Negatieve
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST
College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken
Nadere informatieMinimum Spanning Tree
Minimum Spanning Tree Wat is MST? Minimum spanning tree De meest efficiënte manier vinden om een verbonden netwerk op te bouwen Wat is een tree/boom? Graaf G: een verzameling knopen (vertices): V een verzameling
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieDoorzoeken van grafen. Algoritmiek
Doorzoeken van grafen Algoritmiek Vandaag Methoden om door grafen te wandelen Depth First Search Breadth First Search Gerichte Acyclische Grafen en topologische sorteringen 2 Doolhof start eind 3 Depth
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieVierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieVierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen
College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound
Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieTentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieDatastructuren en Algoritmen
Datastructuren en Algoritmen Tentamen Vrijdag 6 november 2015 13.30-16.30 Toelichting Bij dit tentamen mag je gebruik maken van een spiekbriefje van maximaal 2 kantjes. Verder mogen er geen hulpmiddelen
Nadere informatieVijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen
Nadere informatieNegende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren
Negende college algoritmiek 15 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 algemeen Uit college 8: DP: - nuttig bij problemen met overlappende deelproblemen - druk een oplossing van het probleem uit in oplossingen
Nadere informatieVierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie
Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2016
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 016 Opgave 1. (3+10++7+6) a. De hoogte van de beslissingsboom (lengte van het langste pad) stelt het aantal arrayvergelijkingen in de worst case voor.
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound
Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C
Nadere informatieZevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort)
College 7 Zevende college complexiteit 7 maart 2017 Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) 1 Inversies Definitie: een inversie van de permutatie A[1],A[2],...,A[n] is een paar (A[i],A[j]) waarvoor
Nadere informatieVijfde college algoritmiek. 2/3 maart Exhaustive search
Vijfde college algoritmiek 2/3 maart 2017 Exhaustive search 1 Voor- en nadelen Brute force: Voordelen: - algemeen toepasbaar - eenvoudig - levert voor een aantal belangrijke problemen (zoeken, patroonherkenning)
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In
Nadere informatieVijfde college algoritmiek. 9 maart Brute Force. Exhaustive search
Vijfde college algoritmiek 9 maart 2018 Brute Force Exhaustive search 1 Before I say another word Opdracht 1 partner? deadline: 21/22 maart 2018 vragenuren vanmiddag, 15.30 uur (Jacob) woensdag 21 maart,
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp
Nadere informatieHet minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve
1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 29 april Algoritme van Dijkstra, Branch & Bound
Algoritmiek 01/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 9 april 01 Algoritme van Dijkstra, Branch & Bound 1 Algoritmiek 01/Algoritme van Dijkstra College 10: Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5
Nadere informatieZevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort
College 7 Zevende college complexiteit 17 maart 2008 Ondergrens sorteren, Quicksort 1 Sorteren We bekijken sorteeralgoritmen gebaseerd op het doen van vergelijkingen van de vorm A[i] < A[j]. Aannames:
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 23/24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 23/24 maart 2017 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht 0 1 2 3 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 Algoritmiek 2017/Backtracking Tweede Programmeeropdracht
Nadere informatieZevende college Algoritmiek. 6 april Verdeel en Heers
Zevende college Algoritmiek 6 april 2018 Verdeel en Heers 1 Algoritmiek 2018/Backtracking Programmeeropdracht 2 Puzzel 2: D O N A L D G E R A L D + R O B E R T Elke letter stelt een cijfer voor (0,1,...,9)
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 28 april Gretige Algoritmen, Algoritme van Dijkstra, Branch & Bound
lgoritmiek 01/retige lgoritmen lfde college algoritmiek 8 april 01 retige lgoritmen, lgoritme van ijkstra, ranch & ound 1 lgoritmiek 01/retige lgoritmen Minimale opspannende boom egeven een samenhangende,
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 23 mei Branch & Bound, Heapsort
College 12 Twaalfde college algoritmiek 23 mei 2013 Branch & Bound, Heapsort 1 Handelsreizigersprobleem Traveling Salesman Problem (handelsreizigersprobleem) Gegeven n steden waarvan alle onderlinge afstanden
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe
Nadere informatieAchtste college algoritmiek. 8 april Dynamisch Programmeren
Achtste college algoritmiek 8 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 Werkcollege-opgave Dutch Flag Problem Gegeven een array gevuld met R, W, en B. Reorganiseer dit array zo dat van links naar rechts eerst
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 10 mei Algoritme van Dijkstra, Gretige Algoritmen
lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra lfde college algoritmiek 10 mei 019 lgoritme van ijkstra, Gretige lgoritmen 1 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis 0 10 10 1 1 100 0
Nadere informatieElfde college algoritmiek. 18 mei Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort
Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 18 mei 018 Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort 1 Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Uit college 10: Voorb. -1- A B C D
Nadere informatieDatastructuren Uitwerking jan
Datastructuren Uitwerking jan 16 1 1a) Een ADT wordt gekenmerkt door de opgeslagen gegevens en de beschikbare operaties. De Priority Queue bevat en verzameling elementen waarbij elk element en eigen waarde
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieUitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni 2014 10:00 13:00 1. Dominono s a. Toestanden: n x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal X gelijk aan het aantal O of hooguit één hoger.
Nadere informatieGödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieDatastructuren en algoritmen voor CKI
Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 11 september 2015 1 met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel Heaps en heapsort Heap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 14 10 8 7 9 3 2 4 1 16 14 10 8 7 9 3
Nadere informatieZesde college complexiteit. 19 maart Mergesort, Ondergrens sorteren Quicksort, Shellsort
College 6 Zesde college complexiteit 19 maart 2019 Mergesort, Ondergrens sorteren Quicksort, Shellsort 1 Vorige keer Voor sorteeralgoritmen gebaseerd op arrayvergelijkingen, waarbij per arrayvergelijking
Nadere informatieAlgoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens
Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd
Nadere informatieGrafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
Nadere informatieOefententamen in2505-i Algoritmiek
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieAlgoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( ) Uitwerkingen
Universiteit Twente Kwartiel 010/ Afdeling Informatica 1 e huiswerkserie 6 december 010 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit 1914000 Uitwerkingen De deadline voor het inleveren van deze huiswerkserie
Nadere informatieGegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )
OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5
ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 opgave 1. a. Brute force algoritme, direct afgeleid uit de observatie: loop v.l.n.r. door de tekst; als je een A tegenkomt op plek i (0 i < n 1), loop dan van daaruit
Nadere informatieAlgoritmiek 2015 / Algoritmiek 1
2015 / 2016 1 Waarom dit vak? Omdat Mensen ongeduldig zijn Het belangrijk is dat antwoorden (van berekeningen door computers) snel / op tijd komen (en juist zijn) Dus leren we Algoritmische technieken
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 13. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 13 Han Hoogeveen, Utrecht University Algoritme van Kruskal (1) Sorteer de kanten in E op volgorde van lengte; hernummer de kanten zodanig dat c(e 1 ) c(e 2 )... c(e m ) Bij twee
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale
Nadere informatieAlgoritmiek 2016 / Algoritmiek 1
2016 / 2017 1 Waarom dit vak? Omdat Mensen ongeduldig zijn Het belangrijk is dat antwoorden (van berekeningen door computers) snel / op tijd komen (en juist zijn) Dus leren we Algoritmische technieken
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 24 maart Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 24 maart 2016 Verdeel en Heers 1 Verdeel en heers 1 Divide and Conquer 1. Verdeel een instantie van het probleem in twee (of meer) kleinere instanties 2. Los de kleinere instanties
Nadere informatieNP-volledigheid. Algoritmiek
NP-volledigheid Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme bij inputs van formaat n O(n c ) tijd gebruikt. Sommige problemen
Nadere informatieHoofdstuk 7: Werken met arrays
Programmeren in Microsoft Visual Basic 6.0, lessenserie voor het voortgezet onderwijs HAVO/VWO David Lans, Emmauscollege, Marnix Gymnasium Rotterdam, januari 2004 Hoofdstuk 7: Werken met arrays 7.0 Leerdoel
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieD-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder?
D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2 (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? 1 Inleiding Snel machtsverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen. Je weet dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieProgrammeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/
Programmeermethoden Recursie week 11: 21 25 november 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Pointers Derde programmeeropgave 1 Het spel Gomoku programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieUitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, 10.00 13.00 uur Opgave 1. a. Een toestand wordt bepaald door: het aantal lucifers op tafel, het aantal lucifers in het bezit van Romeo,
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound
Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver
Nadere informatieElke groep van 3 leerlingen heeft een 9 setje speelkaarten nodig: 2 t/m 10, bijvoorbeeld alle schoppen, of alle harten kaarten.
Versie 16 januari 2017 Sorteren unplugged Sorteren gebeurt heel veel. De namen van alle leerlingen in de klas staan vaak op alfabetische volgorde. De wedstrijden van een volleybal team staan op volgorde
Nadere informatieAlgoritmiek 2017 / Algoritmiek 1
2017 / 2018 1 Waarom dit vak? Omdat Mensen ongeduldig zijn Het belangrijk is dat antwoorden (van berekeningen door computers) snel / op tijd komen (en juist zijn) Dus leren we Algoritmische technieken
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Nadere informatieUitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag juni 00, 0.00.00 uur Opgave. a. Een toestand bestaat hier uit een aantal stapels, met op elk van die stapels een aantal munten (hooguit n per stapel).
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 13 mei Branch & Bound Heap, Heapsort & Heapify
Algoritmiek 2016/Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 13 mei 2016 Branch & Bound Heap, Heapsort & Heapify 1 Algoritmiek 2016/Branch & Bound TSP met Branch & Bound Mogelijke ondergrenzen voor de
Nadere informatieUitwerking tentamen Algoritmiek 9 juni :00 17:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juni 2015 14:00 17:00 1. Clobber a. Toestanden: m x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal O gelijk aan het aantal X of er is hooguit één
Nadere informatieZevende college algoritmiek. 1 april Verdeel en Heers
Zevende college algoritmiek 1 april 2016 Verdeel en Heers 1 Verdeel en heers 1 Divide and Conquer 1. Verdeel een instantie van het probleem in twee (of meer) kleinere instanties 2. Los de kleinere instanties
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2014 2015, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatiePascal uitgediept Data structuren
Pascal uitgediept Data structuren MSX Computer & Club Magazine nummer 68-juni/juli 1994 Herman Post Scanned, ocr ed and converted to PDF by HansO, 2001 In deze aflevering wordt bekeken hoe zelf een datastructuur
Nadere informatieVijfde college algoritmiek. 3 maart Brute Force, Exhaustive search en Backtracking
Algoritmiek 2016/Brute Force Vijfde college algoritmiek 3 maart 2016 Brute Force, Exhaustive search en Backtracking 1 Algoritmiek 2016/Brute Force Convex Een verzameling punten in het platte vlak heet
Nadere informatieHoofdstuk 17: Approximation Algorithms
Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms Overzicht: Vorige week: Π NP-volledig Π waarschijnlijk niet polynomiaal oplosbaar 2 opties: 1 Optimaal oplossen, niet in polynomiale tijd (B&B, Cutting planes) 2
Nadere informatieExamen Algoritmen en Datastructuren III
Derde bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Algoritmen en Datastructuren III Naam :.............................................................................. Stellingen
Nadere informatie