KOLOMSGEWIJS REKENEN: TERUG NAAR DE 12 E EEUW Rob Milikowski

Transcriptie

1 BREDEWEG BL AMSTERDAM KOLOMSGEWIJS REKENEN: TERUG NAAR DE 12 E EEUW Rob Milikowski Het kolomsgewijs rekenen heeft het cijferen in het basisonderwijs voor een goed deel verdreven. Niet omdat kinderen er beter mee leren rekenen, maar omdat het cijferen niet deugt. Dat is namelijk gebaseerd op trucjes en maniertjes, het is mechanistisch, het is koopmansrekenen en bij tijd en wijlen nog gevaarlijk ook. Daartegenover staat het kolomsgewijs rekenen, dat inzicht verschaft, progressief geschematiseerd kan worden, en gebaseerd is op guided reinvention. Het rekent bovendien van links naar rechts. Wat wil een mens nog meer? Ja, misschien een som uitrekenen. * Van links naar rechts De ouders van de basisschool De Zwaluw kregen in augustus 2005 een brief over de wijze waarop hun kinderen leerden rekenen: (1) Het kolomsgewijs rekenen en cijferen in Pluspunt In onze rekenmethode Pluspunt. rekenen de kinderen op een andere manier dan u waarschijnlijk vroeger heeft geleerd. Wij hebben als leerkrachten gemerkt dat dit * Vooruitlopend op een uitvoerige beschrijving van het kolomsgewijs rekenen later in dit artikel, geef ik hier vast een voorbeeld. Volgens de klassieke procedure voor het optellen gaat het als volgt: = : = = 9 En het antwoord 98 staat onder de streep. Bij het kolomsgewijs rekenen ziet het er zo uit: = = = 98 1

2 vaak tot verwarringen leidt thuis. Het volgende stuk gaat met name over het kolomsgewijs rekenen vanaf groep 5. Het kolomsgewijs rekenen is een tussenvorm tussen het hoofdrekenen en het rekenen op papier (cijferen). In groep optellen: aftrekken: 3 en 4 rijgen, splitsen, handig rekenen idem 5 eerst van links naar rechts tussen van links naar rechts streepjes en dan met het HTE* met tekorten schema van rechts naar links 6 kinderen zijn vrij om richting te kiezen van links naar rechts 7 van rechts naar links van rechts naar links (van klein naar groot) *H = honderdtal T = tiental E = Eenheid bewerkingen op papier / cijferen idem Tot zover de brief aan de ouders van basisschool De Zwaluw. Het is geen wonder dat er thuis bij de leerlingen van deze school de nodige verwarring was ontstaan. Die verwarring bestaat bij meer kinderen thuis. Ouders die volgens de traditionele methoden naar eigen tevredenheid hebben leren rekenen kijken soms vreemd op als ze vernemen dat hun rekenvaardigheid gebaseerd is op trucjes die het ware rekenen aan het oog onttrekken. Dit rekenreglement is overigens niet door de docenten bedacht, het was letterlijk afkomstig van handleidingen bij Pluspunt. ** Het concept van het kolomsgewijs rekenen is het geesteskind van het Freudenthal instituut in Utrecht Het heeft inmiddels voor een groot deel de plaats ingenomen van ** Dit is wel een bevestiging van de wijze waarop Jan van de Craats de situatie karakteriseert: Wat in het algemeen ontbreekt, schrijft hij, is het aanbrengen van besef bij de leerlingen dat er voor alle bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) één universeel altijd werkend rekenrecept bestaat dat niet moeilijk te leren is. (16) 2

3 het rekenen volgens de klassieke methoden, die worden afgedaan met de term cijferen en eigenlijk overbodig zouden zijn. Het kolomsgewijs rekenen voor het basisonderwijs is uitgewerkt in het TAL-project, dat staat voor Tussendoelen Annex Leerlijnen voor het basisonderwijs. De TALaanpak wordt beschreven in Kinderen leren rekenen uit 2000 van het Freudenthal Instituut (FI) en de Stichting Leerplan Ontwikkeling (SLO). Het project is geïnitieerd door het Ministerie van Onderwijs Cultuur en Wetenschappen. (2) Aanvankelijk konden scholen nog kiezen uit rekenmethoden met verschillende methodieken. Maar in 2001 sloeg het geld toe. Op 1 januari werd de euro ingevoerd en moesten alle rekenmethoden met nieuwe boeken komen waar de kwartjes en dubbeltjes uit waren verdwenen en de euro zijn intrede had gedaan. Deze nieuwe boeken hanteren alle varianten van het kolomsgewijs rekenen. Geen wonder, gezien het overheidsstempel dat hier op staat. Alleen Wereld in Getallen doet daar niet aan mee. In Kinderen leren rekenen, in een hoofdstuk van de hand van Treffers e.a., wordt beschreven wat TAL onder kolomsgewijs rekenen verstaat. (3) Kenmerkend voor het kolomsgewijs rekenen is niet zozeer de verticale schrijfwijze van de opgave, als wel de splitsende rekenwijze met positiegetallen bij het berekenen van deeluitkomsten, werkend van groot-naaar klein, van linksnaar-rechts. Dit in tegenstellingen tot cijferen waarbij van klein naar groot, van rechts-naar-links, met positiecijfers wordt gerekend. We gaan nu op verschillende aspecten in van dit kolomsgewijs rekenmodel. Allereerst de links-rechts kwestie, die zoals we hierboven al zagen zo een prominente rol speelt bij het kolomsgewijs rekenen. We beginnen met het verschil tussen taal en getallen Tellen Tellen is het begin van het rekenen. 1, 2, 3, 7, 8, 9.. En dan komt er een grote stap, de 10. Als Clara of Willem ook op papier leren tellen zetten ze naar links de 1 een plaatsje naar links en waar de 9 stond komt de 0 te staan. Bij het volgende getal, de 11 wordt er vanaf de 0 verder geteld. Bij de 19 gaat het weer net zo. Clara of Willem kunnen niet verder. Ze kijken dus naar het cijfer links, tellen daar weer 1 bij op en ze kunnen weer even voort. Zo gaat het bij de 99 verder. Twee keer moet er een stapje naar links worden gedaan totdat er 100 staat. 3

4 Bij terugtellen gaat het al net zo 23, 22, 21, 20 Verder dan 0 kan er niet teruggeteld worden, dus krijgen Clara en Willem weer hulp van de linkerbuurman linker buurman er wordt een tiental opgehaald en uitgepakt. Enzovoort. Bij het tellen, de eerste omgang van kinderen met getallen, wordt een getal opgebouwd van klein naar groot. Het optellen bouwt hierop voort De voornaamste regel kan als volgt worde geillustreerd = Deze regel geldt onafhankelijk van de grootte van de getallen. Taal en getallen Een aantal kan op veel manieren als getal worden gerepresenteerd. Afgezien van ons huidige getallenstelsel is het Romeinse stelsel het bekendste. Die verschillende representaties hebben ook verschillende eigenschappen. Als illustratie neem ik een eigenschap die niet onbekend is: Om er achter te komen of een getaldoor 3 deelbaar is tel je de cijfers van het getal op. Als die som deelbaar door 3 is het oorspronkelijke getal dat ook. 27: = 9 -> 27 deelbaar door 3 Schrijven we 24 in Romeinse cijfers XXVII Dan valt daar helemaal niets mee aan te vangen. Er is helemaal geen verschil tussen de waarde van het symbool en de gerepresenteerde waarde. Optellen van de symbolen brengt ons geen stap verder: X + X + V + I + 1 = XXVII Voor de kinderen op de basisschool is dit niet erg belangrijk. Het is bedoeld om te illustreren dat een getal niet alleen een combinatie van kolommen is, maar dat het samenspel van de cijfers mede de eigenschappen van het getal bepaald. Van 437 kun je zeggen dat het 4 honderdtallen, 3 tientallen en 7 eenheden zijn. Maar het is niet de enige manier om tegen dit getal aan te kijken. Ik heb 437 eenheden geteld. Of: er zijn 43 tientallen en 7 eenheden. Van 1700 kun je zeggen, duizend zevenhonderd, het is 1 duizendtal is en 7 honderdtallen, Je kunt ook zeggen zeventienhonderd, ofwel 17 honderdtallen. 4

5 wordt uitgesproken als zevenhonderddertien miljoen vijfhonderdvierenvijftig duizend achthonderdvijfentwintig. Met geldbedragen zijn dergelijke manipulaties de gewoonste zaak van de wereld. De taal dwingt tot een kolomsgewijs uitspraak, waarbij een kolom telt van 0 tot 999. Voor zover de getallen in taal zijn gedefinieerd. In de nieuwste Nederlandse spelling staat er ook een spaties tussen twee groepjes van drie cijfers. (4) (Ook bij het hoofdrekenen wordt meestal in sterke mate gebruik gemaakt van taal). En eigenlijk is het alleen met behulp van taal of andere hulpmiddelen mogelijk een getal in kolommen op te splitsen. In het positiestelsel gaat dat niet. Want we kunnen wel zeggen dat we 237 opsplitsen in kolommen door het te zien als som van en 7 en zeggen dat honderdtallen zijn. Maar in feite staat 200 voor 2 honderdtallen + 0 tientallen + 0 eenheden. In het positiestelsel kunnen we bij het schrijven van een getal geen enkele positie onbezet laten. As we een getal in Romeinse cijfers schrijven kan dat wel. Bijvoorbeeld C is honderd en daar hoeft, of eigenlijk kan, geen melding worden gemaakt dat er 0 tientallen en 0 eenheden zijn. Evenzeer is MXX gelijk aan 1020, zonder dat melding hoeft te worden gemaakt dat er 0 honderdtallen en 0 eenheden zijn De 0 bestaat ook helemaal niet in de Romeinse getallen. Dit geldt voor vrijwel alle getallenstelsels die aan het positiestelsel vooraf gingen. De kracht van het positiestelsel blijkt al snel als we een getal met 10 vermenigvuldigen. We hoeven alleen een 0 toe te voegen. In de taal blijft in dat geval van het oorspronkelijke getal weinig over. Als tweehonderdzevenendertig met 10 wordt vermenigvuldigd krijgen we tweeduizend driehonderdzeventig. Voor alle getallen (boven de negen) die met 10 worden vermenigvuldigd geldt in de taal een dergelijke gedaanteverwisseling. Dat geldt ook voor de Romeinse getallen. CCXXXVII met 10 vermenigvuldigd wordt MMCCCLXX. We keren nu terug naar het positiestelsel. Het is tegenwoordig usance om bij de som

6 te roepen dat het om een trucje gaat waarbij het inzicht van de basisschoolleerlingen in de knop wordt gebroken als 2 en 3, 5 en 1, en 3 en 4 worden opgeteld. De kinderen beseffen dan niet dat er tientallen en honderdtallen worden opgeteld! Het moet dus per kolom, aldus: Maar hier wordt = = = 0 uitgerekend. En er wordt ook niet bij gezegd dat het bijv om tientallen en eenheden gaat. Het is exact hetzelfde trucje, maar met andere cijfers. Het positiestelsel kent dus geen echte kolommen, zoals die in de taal en de Romeinse getallen wel bestaan. De rekenalgoritmes Optellen is tellen met grotere stappen. In het positiestelsel is dat opgesplitst in stappen waarbij twee getallen onder de 10 worden opgeteld. Zoals bij tellen het geval is gaat elk van deze stappen van klein naar groot, van rechts naar links = 13. Links wordt er een tiental toegevoegd. Kinderen die leren rekenen tellen dit in het begin uit. Kinderen met ernstige rekenproblemen blijven deze optelling in stapjes van 1 uitvoeren, vaak tellend op hun vingers. Maar eenmaal de basissommen uit het hoofd kennend gaat dit sneller. Het traditionele optelalgoritme is een herhaald toepassen van de methodiek van het tellen met grotere stappen. Het klassieke optelalgoritme sluit bij de systematiek van het tellen aan en beweegt zich derhalve ook van rechts naar links. Hetzelfde geldt voor het aftrekken. Evenzo het vermenigvuldigen, dat optellen in grotere stappen is.. 6

7 Kolomsgewijs optellen en aftrekken Kinderen leren rekenen illustreert het kolomsgewijze optellen aan de hand van het volgende voorbeeld, waarbij via verkorten naar het standaardalgoritme kan wordt overgestapt. a) 463 b) 463 c) Hierbij wordt het standaardalgoritme onder c gekarakteriseerd als de ultieme verkorting van het kolomsgewijze algoritme onder a. De optellingen onder a en b zullen overigens voor weinig kinderen problemen opleveren. Als we andere drie-cijferige getallen kiezen is dat minder vanzelfsprekend. a) 463 b) 463 c) Wordt strikt vastgehouden aan kolomsgewijs optellen dan zou er nog een tussenstap moeten zijn. Voor kinderen die niet zo makkelijk rekenen zullen de eerste twee versies zeker niet allemaal uit hun hoofd kunnen uitrekenen. Bij optellingen waar grotere getallen in het geding zijn of waar meer getallen worden opgeteld wordt het lastiger:

8 In beide uitvoeringen worden dezelfde tiental-overschrijdende optellingen gemaakt: = = = = = = = = = = = = = = = = 21 Een voorbeeld waarbij twee grotere getallen worden opgeteld We zien dus dat het aantal tientaloverschrijdende (rechts-links-operaties) blijft gelijk voor alle strategieën. Alleen de volgorde waarin ze worden uitgevoerd verandert. Het 8

9 klassieke algoritme is geheel recursief. Het kolomsgewijs algoritme is iteratief. Voor het antwoord eruit rolt kan een tweede iteratieslag nodig zijn. Bij het klassieke algoritme zijn voor het uitrekenen van het antwoord maximaal 2n + 1 cijfers nodig (inclusief de carry). Voor het kolomsgewijs algoritme is dat voor kleine getallen (tot 1000) n 2 + n + 1. En voor grotere getallen vaak maximaal 2n 2 + n + 1 De kolommenmensen zeggen dat dit niet nodig is als er progressief geschematiseerd wordt naar een verkort algoritme. Er wordt dan een beetje rechts-links bijgemengd. Maar zelfs met de enorme nadruk op hoofdrekenen in het tegenwoordige realistische rekenen is de grens voor de meeste leerlingen al snel bereikt. Als de som = uit het hoofd moet worden gemaakt vallen er heel wat kinderen af. Niettemin vertelt Kinderen leren rekenen niet hoe je dit anders zou moeten doen. Over een mogelijk volgende iteratieslag wordt helemaal niets gezegd Daarbij moeten we bedenken dat het bij het klassieke algoritme nooit nodig is meer dan twee cijfers + een carry tegelijkertijd te onthouden, hoe groot de getallen ook zijn. Aftrekken 527 is 5 honderdtallen, 2 tientallen en 7 eenheden. Maar ook 527 eenheden of 5 tientallen en 7 eenheden. Of anders opgeschreven: 527 = 5 x x = 52 x Van deze eigenschap maakt het standaardalgoritme gebruik bij het aftrekken tientallen 6 tientallen gaat niet. Maar we kunnen onze taak ook formuleren als 52 tientallen 6 tientallen en dan is er geen vuiltje aan de lucht. In de wereld van de kolommenmannen en vrouwen moet de som onttakeld worden tot = = 7-1 = En dat kan natuurlijk niet, tenzij negatieve getallen worden geïntroduceerd. En dat voor kinderen uit groep 5! Normaal gesproken is dat pas in het voortgezet onderwijs aan de orde. Dit leidt tot allerlei kunstgrepen. In Kinderen leren rekenen wordt de volgende strategie gepresenteerd 9

10 Voor de auteurs is de situatie kennelijk ook verwarrend: bij de laatste sommatiestreep wordt geen + of meer toegevoegd. Het TAL-team geeft ook een in haar ogen aantrekkelijk alternatief algoritme: (p 81) De cijfers in het rood (in het boek omcirkelde cijfers) beduiden: de uitkomst van 5 min 8 is een tekort van 3, enzovoort. Negatieve getallen dus. Een net iets andere aftrekgetal maakt het nog omslachtiger. De lezer kan deze techniek uitproberen op bijvoorbeeld: = Uiteindelijk vinden ook hier evenveel rechts-links aftrekoperaties plaats als bij het traditionele algoritme, maar er komen meer cijfers aan te pas. Als de getallen n cijfers groot zijn vergt het traditionele algoritme, de carry meegerekend, maximaal 2n cijfers. Voor het kolomsgewijs algoritme maximaal n 2 cijfers. Er circuleren nog allerlei varianten om dit netelige probleem op te lossen. In Afscheid van het cijferen beschrijven Marisca Milikowski en ondergetekende het fröbelwerk dat in deze context door het Freudenthal Instituut (en gefinancierd door het ministerie van OC & W) wordt aangeboden aan de scholen voor speciaal basisonderwijs ( sbo). (5) Vermenigvuldigen In het reguliere onderwijs wordt voor vermenigvuldigen de kolomsgewijs methode als eindstation aanvaardbaar gezien, zo geeft Kinderen leren rekenen aan (p. 72 en p. 84). 10

11 Het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers is zo heel lastig en erg foutgevoelig. Grotere vermenigvuldigingen zijn zo niet uitvoerbaar. We hebben dat geïllustreerd in een artikel in J/M Ouders (15) Algemener gesteld, als kinderen niet cijferend leren vermenigvuldigen moet al het verdere rekenen grotendeels door optellen en aftrekken, herhaald optellen en herhaald aftrekken plaats vinden, inclusief grotere vermenigvuldigingen. Dat geldt noodgedwongen dan ook voor het delen. Dit is conceptueel een grote stap terug. Conclusie over kolomsgewijs Het kolomsgewijs rekenen is alleen uitvoerbaar met kleine getallen. Het heeft zin als didactisch hulpmiddel. In het realistische rekenen is het twee jaar lang, in groep 5 en groep 6, de techniek waarmee moet worden gerekend. Het wordt zelfs in sommige gevallen als eindniveau geaccepteerd. In het speciaal basisonderwijs (sbo) is dat expliciet het geval. In de argumentatie voor het kolomsgewijs rekenen wordt een groot punt gemaakt van het links-naar-rechts-rekenen (van groot naar klein) i.p.v. het rechts-naar-links-rekenen (van klein naar groot). Het klopt niet en het is een kunstmatige kwestie. Het rekenen kent bewegingen in beide richtingen. We zijn in gegaan op de richting bij het tellen en de standaardalgoritmes. Voor het vergelijken van groottes van getallen beginnen we met het cijfer dat de grootste waarde vertegenwoordigt (ook wel het mostsignifant cijfer genoemd), dus links. Voor deelbaarheid door 3 of 9 enz is links-rechts helemaal niet relevant. Door het getalbeeld helemaal aan de kolommen op te hangen wordt een gereduceerd getalbeeld gevormd, waarmee de kinderen tekort wordt gedaan. Werken met grotere getallen komt hierdoor vaak pas heel laat aan de orde, terwijl kinderen het vaak juist spannend vinden daar op avontuur te gaan. Nergens is duidelijk gemaakt dat het nieuwe rekenen tot betere resultaten leidt. Onderzoeken wijzen eerder op het tegendeel. In een groot opgezet vergelijkend onderzoek tussen de resultaten van twee didactieken, in de wandeling MORE (voor Methoden onderzoek rekenen) genoemd, bleek dat de realistische rekenmethode, tegen de verwachtingen van de onderzoekers in, niet tot betere resultaten leidde. Vooral het ontwikkelen van de basisautomatismen bleef achter. (7) Het PPON-onderzoek naar de rekenvaaardigheden van de leerlingen in groep 8 van het basisonderwijs liet een 11

12 dramatische terugval zien t.a.v. de prestaties op het gebied van het cijferen. (6) Is het Freudenthal Instituut nu tevreden? Het is de vraag. De Grand Design van het Freudenthal Instituut ziet er als volgt uit. Tot de 100 of eventueel 1000 wordt uit het hoofd gerekend. Voor grotere getallen hebben we twee andere wegen: het schattend rekenen en de rekenmachine. In Kinderen leren rekenen wordt het schattend rekenen tegenover het precieze rekenen gesteld. Nu is schattend rekenen complex zo wordt het ook in Kinderen leren rekenen behandeld. En als het om rekenen gaat is ook het schatten (afronden, benaderen, statistische technieken) aan regels gebonden. En in die zin ook precies. Het is toch relevant hier aandacht aan te besteden, zo bleek ons ook uit een reactie die wij kregen op ons artikel in de Volkskrant n.a.v. het laatste PPON onderzoek. (8) De bananensom Het ging om de volgende som in het PPON onderzoek: De prijs van 1 kilo bananen is 1,75. Hoeveel kost 1,80 kg? Vrijwel geen enkele leerling kon deze som maken, ook niet op de zakrekenmachine. Niet alleen dat, er was een manifeste achteruitgang in vergelijking met de score die op dezelfde som werden behaald in een eerder PPON onderzoek, toen een flink deel van de deelnemers de traditionele rekenprocedures gebruikten. Wij vestigden hier in ons Volkskrant stuk de aandacht en wezen er opdat dit het gevolg was van het nieuwe rekenen. Het Freudenthal Instituut zette ons artikel keurig op haar website, vergezeld van enkele kritische reacties van haar kant. Volgens Koeno Gravemeijer is het eigenlijk niet nodig dat iemand de bananensom kan uitrekenen. 9 Als hij al schattend tot de conclusie kan komen dat de uitkomst iets minder is dan 3,50 is dat wat hem betreft voldoende. Maar dat hoeft natuurlijk niet voor iedereen te gelden. Voor veel mensen kan het toch wel uitmaken of het dan 3,45, 3,35, 3,25, 3,15 of 3,05 is. De verwarring rond de prijzen bij de introductie van de euro en de supermarktoorlogen die af en toe woeden laten zien dat dergelijke verschillen niet als onbetekenend worden ervaren. Daarvan zijn natuurlijk wel meer voorbeelden te geven. Met het globale rekenen wordt op die manier het boodschappenlijstje een grijs gebied. Bij het globale schattende rekenen geldt niet dat het antwoord op een som eenduidig te bepalen is. Verschillende strategieën en individuele voorkeuren kunnen tot verschillende antwoorden leiden. Soms is dat geen bezwaar, maar vaak ook wel. 12

13 In het rekenen gelden de bijna axiomatische regels als a + b = c, dan is c - b = a. En: als a x b = c, dan is a = c/b. Kinderen op de basisschool moeten zich dit ook eigen maken, o.a. middels stipsommen. Die regels gelden bij het globale rekenen niet meer onverkort. Neem nogmaals de bananensom. Voor 1,75 x 1,8 mag je dus als antwoord accepteren iets minder dan 3,50. Rekenen we op dezelfde wijze terug naar de prijs voor een kilo: 1,8 kilo bananen kost iets minder dan 3,50. Hoeveel kost een kilo? Globaal redenerend: iets minder dan 3,50 is ruim minder dan 3,60. Dus 1 kg is ruim minder dan 3,60/ 1,8 = ruim minder dan 2 euro. En dat terwijl we begonnen met 1 kilo bananen voor 1,75 Wanneer dus het cijferen en het precieze rekenen het veld moeten ruimen voor het schattend rekenen geldt: boer pas op je kippen. Volgens Gravemeijer is het precies rekenen minder belangrijk in deze tijd van informatietechnologie. En hij vindt dat we niet naar het verleden moeten kijken. Wij doen dat toch even. De aanleiding is een opmerking van Uittenbogaard van het FI in de Panamapost. (10 ) Hij verdedigt daarin het kolomsgewijs rekenen tegenover de uiteenzetting van Jan van der Craats op de Panamaconferentie. Van der Craats bestreed het kolomsgewijs rekenen in zijn lezing Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen (12) Uittenbogaard verdedigt de opvatting van de realistische rekenaars tegenover het cijferen. Bovendien, argumenteert hij: Onze traditionele cijferalgoritmen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen hebben, als ultieme verkortingen uiteindelijke vorm gekregen in de zeventiende eeuw vooral ten behoeve van de handel (p.33). Zeker, de handel heeft een grote invloed gehad op de verbreiding van het rekenen. Maar wat dan? Terug naar het penningrekenen dat hier te lande werd beoefend voordat het cijferen ingang vond? (11) Maar bovendien, de bron van de algoritmes dateert van ver voor de tijd dat de 17 e eeuwse koopmannen zelfs nog maar in hun luiers lagen. In Europa met de Liber Abaci van Leonardo de Pisa uit Voor het vermenigvuldigen van twee getallen van twee cijfers leze men in hoofdstuk 2, de paragraaf getiteld The Sixth Part of the Second Chapter (p 36). (13) Als we terug willen gaan naar de tijd voor de standaard algoritmes belanden we allereerst in de 12 e eeuw. Dat markeert het begin van de verkorte cijferalgoritmes in Europa. Leonardo de Pisa (ofwel Fibonacci) schreef zijn 13

14 boek na gereisd te hebben door de Arabische wereld en daar kennis te hebben gemaakt met de wiskunde die daar was ontstaan. Iets van die wiskunde was te zien in het Institut du monde arabe in Parijs. Daar werd in 2005 de expositie l âge d or des sciences arabe gehouden over de bloeitijd van de wetenschappen in de Arabische wereld tussen de 8 e en 15 e eeuw. Indrukwekkend waren de niet zelden modern ogende manuscripten van de Arabische wiskundigen en sterrenkundigen. In de museumwinkel lag de Franse vertaling van het werk van de wiskundige Al-Kwarizimi uit de 9 e eeuw. (14) En ook daarin treft men al cijferalgoritmes in de meest verkorte vorm aan. Slot - Het kolomsgewijs model past moeizaam binnen het plaatswaardestelsel - vaste rekenregels worden vervangen door diffuse regels voor schatten en globaal rekenen, eventueel naar individuele smaak Die kant moeten we niet op met het rekenen Referenties September ) De Zwaluw (2005) Het kolomsgewijs rekenen en cijferen in Pluspunt, 2) Heuvel-Panhuizen, M. van den, Buys, K, & Treffers, A. (2000). Kinderen leren rekenen, Tussendoelen Annex Leerlijnen, Hele getallen, Bovenbouw basisschool Freudenthal Instituut en SLO. Groningen: Wolters-Noordhoff. 3) Treffers, A,.Nooteboom, E. de Goey (2000). Kolomsgewijs rekenen en cijferen. In: Van den Heuvel-Panhuizen, M., K. Buys, K, & A.Treffers (red.) Kinderen leren rekenen, p 65 4) Het Groene Boekje, Woordenlijst Nederlandse Taal (2005). Lennoo Uitgeverij Tielt en Sdu Uitgeverij, Den Haag, p 48 5) Milikowski Marisca, Milikowski, Rob, Afscheid van het cijferen, Amsterdam 2005, 6) Janssen J., Van der Schoot, F., & Hemker, B (2005). Balans van het rekenwiskundeonderwijs aan het eind van de basisschool. Uitkomsten van de vierde peiling in PPON-reeks nr 32, Arnhem, Cito-groep. 7) Gravemeijer, K., Van den Heuvel-Panhuizen, M., Van Donselaar, G., Ruesink, N., Streefland, L., Vermeulen, W., te Woerd, E., & van der Ploeg, D. (1994). Methoden in het Reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek. Technipress, Culemborg. 14

15 8) Rob Milikowski & Marisca Milikowski (2006). Lessen uit de bananensom, De Volkskrant, 11 april 2006 en 9) Gravemeijer, Koeno (2006). Globaal redeneren en zakrekenmachine gebruiken, 10) Uittenbogaard, W. (2007). Hoe Juliette en Jonas leren rekenen. Panamapost 26 (1), ) Kool, Marjolijn (1999). Die conste vanden getale, een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Uitgeverij Verloren, Hilversum 12) Craats, Jan van de (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. 13) Siegler, L.E., Fibonacci s Liber Abacci, Leonardo Pisano s Book of Calculation (2002), Springer Verlag, New York. (De Liber Abaci van Leonardo de Pisa verscheen in oorspronkelijke versie in het Latijn in 1202 in Italie). 14) Al-Kwarzimi, Muhammed_Ibn Musa, Le calcul indien (Algorismus); Samengesteld, vertaald en bewerkt uit het Latijn door Allard, A (1992), Libraire Scientifique et Technique Albert Blanchard, Paris. 15) Elzinga Anne, Rekenen wordt zo een raadseltje, J/M Ouders, juni 2006 (16) Craats, J v.d. (2007), Vergelijking van PPON 2004 met Rekenvaardigheden op de basisschool. Discussiestuk ten dienste van de Werkgroep Rekenen van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal, 15