Talstelsels. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Aanvulling op het boek. Peter Ale Martine van Schaik

Transcriptie

1 Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Aanvulling op het boek Talstelsels Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i n h o c bussum 2012

2 Deze aanvulling over talstelsels hoort bij Rekenen en wiskunde uitgelegd van Peter Ale en Martine van Schaik Uitgeverij Coutinho bv Alle rechten voorbehouden. Het is de docenten die met het boek Rekenen en wiskunde uitgelegd werken, toegestaan om deze aanvulling voor hun cursisten te verveelvoudigen. Uitgeverij Coutinho Postbus AH Bussum Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever. ISBN NUR 123

3 Inhoud Woord vooraf 4 Basisvaardigheden 5 Repertoire 7 Verbanden 16 Oefenopgaven 17 Uitwerkingen 19 Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 3/20

4 Woord vooraf In de Kennisbasis rekenen-wiskunde staat een korte verwijzing naar andere talstelsels dan het decimale. Bij het werken aan het boek Rekenen en wiskunde uitgelegd is er wel aandacht geschonken aan talstelsels, maar niet expliciet aan andere talstelsels dan het tientallige. Na de verschijning van het boek bleek dat dit wel een toetsbaar onderwerp geworden is van de Kennisbasis, daarom hebben we deze aanvulling gemaakt. De paragrafen Basisvaardigheden en Repertoire uit deze aanvulling horen bij hoofdstuk 1 Hele getallen. De paragraaf Verbanden hoort thuis in hoofdstuk 5 Verbanden. In een nieuwe druk zullen de teksten op de juiste plek in het boek geplaatst worden. Tot die tijd is deze aanvulling als geheel via de website te downloaden ( Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 4/20

5 Basisvaardigheden Talstelsels In paragraaf Talstelsels (zie p in het boek) worden in het kort het additieve stelsel en het positiestelsel behandeld. Het belangrijkste voorbeeld van het positiestelsel is het tientallig/ decimale stelsel waar wij dagelijks mee rekenen. Dit stelsel is gebaseerd op het getal 10. Alle getallen kunnen worden uitgedrukt in machten van 10. Verder bestaat elk getal uit combinaties van de cijfers 0 tot en met betekent bijvoorbeeld: 8 x 1 = 8 x x 10 = 7 x x 100 = 3 x x 1000 = 2 x 10 3 Het positiestelsel maakt het getal 0 noodzakelijk: 5709 = 9 x 1 = 9 x x 10 = 0 x x 100 = 7 x x 1000 = 5 x 10 3 In hoofdstuk 2 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen wordt beschreven hoe dit positiestelsel na de komma verder gaat. Naast het tientallig stelsel bestaan er ook andere stelsels. De bekendste zijn het tweetallig stelsel, het achttallig stelsel en het zestientallig stelsel. Al deze stelsels hebben een relatie met de informatica. TIP 1 Het volgende filmfragment geeft je een mooi beeld van de verschillende getalstelsels: Het tweetallig of binaire stelsel Het tweetallig stelsel, vaak ook het binaire stelsel genoemd, is in zijn huidige vorm in de zeventiende eeuw bedacht door de wiskundige Leibniz. Het was toen voor hem alleen vanuit wiskundig oogpunt interessant. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 5/20

6 De getallen 0 tot en met 10 zoals wij die kennen in het decimale stelsel zien er binair als volgt uit: Decimaal Binair Net als bij het tientallig stelsel bepaalt de plaats van het cijfer (een 0 of een 1) de waarde. Dit keer is de waarde echter niet gebaseerd op het grondtal 10, zoals in het decimale stelsel het geval is, maar op het grondtal betekent dan: Dit talstelsel kwam goed van pas toen de computer werd uitgevonden. Een computer bestaat feitelijk uit heel veel schakelaartjes die aan of uit staan. Aan werd weergegeven door het symbool 1 en uit door het symbool 0. Men zag in dat het binaire stelsel van Liebniz hier heel goed gebruikt kon worden. Een beroemd verhaal over het binaire stelsel gaat over een hotel met 16 kamers. Boven de balie hing een bord met 16 lampjes met de kamernummers eronder. Als een gast in zijn kamer op een knopje drukte, ging het betreffende lampje branden en klonk er een belletje. Na een tijd breidde het hotel het aantal kamers uit tot 32. De directie vond een lampjesbord met 32 lampjes echter niet handig. De dochter van de directeur kwam met de oplossing: een lampjesbord met slechts 6 lampjes en een belletje. Als een gast nu in zijn kamer op het knopje drukte, ging er een combinatie van lampjes aan. Een voorbeeld: als de gast op kamer 5 belde, zag het lampjesbord eruit zoals in figuur 1. Figuur 1 Lampjesbord gebaseerd op het binaire stelsel De directeur begreep er eerst niets van maar toen zijn dochter hem het binaire stelsel uitlegde werd hij heel gelukkig. Hij kon te zijner tijd zelfs nog meer kamers bouwen zonder een nieuw bord te hoeven laten maken. Om precies te zijn 31 extra kamers, want (alle lampjes branden) in het binaire stelsel is 63. (Reken dit zelf na.) Tijdens de technieklessen in groep 7 of 8 kun je een bellenbordje van vier lampjes laten maken. Hoe groot moet het lampjesbord zijn om iedere leerling zijn eigen getal te geven? TIP 2 Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 6/20

7 Repertoire Rekenen in het binaire stelsel gaat net als in het tientallig stelsel. Toch ziet het er in het begin vreemd uit. In deze paragraaf gaan we achtereenvolgens in op optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Optellen Enkele voorbeelden: = = = = 110 In het begin is het moeilijk om een getal als 11 te zien als 3. Het decimale beeld is voor ons erg overheersend. Door enige oefening gaat dit probleem over. De kunst is om met het binaire stelsel te rekenen zonder in het achterhoofd alles te vertalen naar het tientallig stelsel. De laatste som uit het voorbeeld hierboven kun je bijvoorbeeld gewoon uitrekenen met de methodes die je ook in het tientallig stelsel gebruikt. Met de strategie splitsen wordt het: = = = 110 Door middel van rijgen wordt het: = = 110 Voor één keer zullen we het controleren door omrekenen naar het decimale stelsel: = = = = = 6 Een getallenlijn is ook bruikbaar: Hierboven staat een uitgebreide getallenlijn. De bovenstaande som kan als volgt worden weergegeven: Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 7/20

8 Formeel cijferend ziet de optelling er als volgt uit: Naast optellen kun je ook de overige bewerkingen die je met het tientallig stelsel uitvoert, met het binaire stelsel uitvoeren. Alle modellen uit hoofdstuk 1 Hele getallen zijn daarbij bruikbaar. Hieronder zullen we van elke bewerking een voorbeeld geven. Aftrekken Met behulp van het positieschema ziet dit er als volgt uit: Als we bij de opgave hierboven rechts beginnen, zien we dat 0-1 niet gaat. We moeten dus gaan lenen bij de 1 van 2 3. We kunnen dan aftrekken tot we bij 2 3 aankomen. Dan staat er weer 0-1. We moeten daarom gaan lenen bij 2 6. We strepen steeds door wat veranderd moet worden en schrijven erboven de nieuwe waarde. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 8/20

9 Vermenigvuldigen We gaan uit van de som Met behulp van een tabel gebaseerd op het rechthoekmodel kan deze som als volgt worden weergegeven: Zoals je ziet, kan er gesplitst worden. Posities waar een nul staat, doen niet mee. Dat is ook de reden dat we van het getal 101 alleen de componenten 100 en 1 uitrekenen; het heeft immers geen zin om met 00 te gaan vermenigvuldigen. De uitkomst is de som van alle cellen: = 1111 Vermenigvuldigen kan ook onder elkaar worden uitgerekend. Hierna zie je dat uitgewerkt voor Een lastige zaak in het voorgaande is de optelling: er moet nu ook onthouden worden. Het lijkt echter ingewikkelder dan het is. We passen kolomsgewijs optellen toe: 1111 = = = We lopen het even na van rechts naar links voor de laatste vier kolommen: = = levert = 1000, maar 1000 betekent in dit geval 0 opschrijven en 1 onthouden (immers staat 1000 voor 2 3 en zijn we hier op de plaats van 2 2 ) zou opleveren 1 en 1 onthouden. Doordat er echter al een 1 was onthouden, komt die er ook nog bij, waardoor het resultaat is 0 en 10 onthouden (verdeeld over de twee volgende kolommen). We kunnen ook kijken naar een aanpak zonder al die nullen: Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 9/20

10 = = 0 opschrijven 1 onthouden de onthouden 1 = 0 opschrijven, 10 onthouden (een 0 in de kolom ernaast, en een 1 in de kolom daar weer naast) de onthouden 0 = 0 opschrijven 1 onthouden de onthouden 1 + de onthouden 1 van daarvoor = 0 opschrijven en weer 10 onthouden, verdeeld over twee kolommen de onthouden 0 = 1. De onthouden 1 van eerder = 1. Rekenen in het tweetallig stelsel is dus iets lastiger, omdat de getallen lang worden en omdat onthouden anders lijkt te werken. Maar de bewerkingen werken hetzelfde als in elk ander stelsel. Delen De opgave : 101 kan zowel als staartdeling als kolomsgewijs worden opgelost. Hieronder staat een voorbeeld van beide manieren. 101 / \ 1011 rest : 101 = 1011 rest TIP 3 Rekenen in het achttallig stelsel is een andere goede oefening om bekend te raken met het rekenen in verschillende getalsystemen. Fred Goffree heeft hier in 1995 een mooi boekje over geschreven: Het land van Okt (Groningen: Wolters-Noordhoff). Hieruit blijkt dat alle contexten en modellen uit de realistische rekendidactiek van toepassing zijn en hulp bieden bij het onder de knie krijgen van het rekenen met een onbekend getalsysteem. Het hexadecimale of zestientallig stelsel Het hexadecimale stelsel is ontwikkeld, omdat de computers zich ontwikkelden en het binaire stelsel te weinig mogelijkheden bood. Er wordt niet zozeer in het hexadecimale stelsel gerekend. Het wordt meer gebruikt om in computers te adresseren. Een gewone gebruiker van de computer zal nooit in aanraking komen met dit systeem (het IP-adres van je computer is misschien een uitzondering), behalve als hij een ernstige storing krijgt. Dan is er soms sprake van een dump. Hieruit kan een ervaren computertechnicus opmaken waar in het geheugen van de computer de fout zit. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 10/20

11 Figuur 2 Voorbeeld van een dump Als je zo n dump bekijkt zie je dat er niet alleen cijfers in staan, maar ook letters. Het hexadecimale systeem maakt gebruik van alle cijfers, maar komt dan, vanwege het zestientallig zijn, wat symbolen tekort. Daarom breidt men het uit met letters A 0B 0C 0D 0E 0F 10 Een getallenlijn geeft nog meer aan dat de structuur van de talstelsels hetzelfde is A B C D E F A 1B 1C 1D 1E 1F De bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen gaan in het hexadecimale stelsel op dezelfde manier als in het decimale stelsel. Voordat we daarop ingaan moet eerst duidelijk zijn hoe we getallen kunnen omrekenen van decimaal naar hexadecimaal en andersom en van hexadecimaal naar binair en andersom. Van decimaal naar hexadecimaal Het grondtal is 16. Dat moeten we goed onthouden. Als we een decimaal getal delen door 16, dan is de rest die we overhouden het uiterst rechtse (het eerste) hexadecimale getal. Als we het nog een keer delen is de rest het tweede getal. Dit proces houden we net zolang vol tot we niet meer kunnen delen. De achterliggende gedachte hierbij is dat we dan achtereenvolgens gedeeld hebben door 161, 162, 163, enzovoort. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 11/20

12 Voorbeeld: hoeveel is hexadecimaal? Decimaal Delen door 16 Rest = Hex = = = = E 1 1 = 1 Uitkomst = 1E240 Andersom: hoeveel is 34AE5? Als we nu kijken naar de machten van 16 dan staat er: 5 x 160 = 5 x 1 = 5 E x 161 = 14 x 16 = 224 A x 162 = 10 x 256 = x 163 = 4 x 4096 = x 164 = 3 x = Samen Het beheersen van dit soort activiteiten vinden sommige mensen leuk. Alle ICT-mensen die met binaire en/of hexadecimale getallen moeten rekenen gebruiken daarvoor speciale converters en rekenmachines. Kijk bijvoorbeeld op Van hexadecimaal naar binair Het lijkt heel ingewikkeld om van hexadecimaal naar binair te gaan zonder tussenkomst van decimaal, maar wanneer je je bedenkt dat 16 gelijk is aan 2 4 biedt dat mogelijkheden. We nemen een klein hexadecimaal getal: AE. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 12/20

13 We maken een tabel: Hexadecimaal Binair A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 A = 1010 E = 1110 Daaruit volgt vanwege 16 = 2 4, dat AE = Je kunt de getallen gewoon achter elkaar plakken. Je kunt ook omgekeerd werken. Je weet dat elke groep van vier cijfers in een binair getal gerepresenteerd wordt door één cijfer of letter in het hexidecimale stelsel. Voorbeelden: 1100 = C = = 33 Je kunt ook gewoon bewerkingen gebruiken in het hexadecimale stelsel. Het is niet belangrijk heel goed te kunnen rekenen in het hexadecimale stelsel. Daarom geven we de voorbeelden met relatief kleine getallen. Optellen 45 + A4 = (40 + A0) + (5 + 4) = E9 Toelichting: vanaf A4 doortellen levert E. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 13/20

14 Aftrekken AE4 - FE = We gebruiken de tekortenmethode: A = A00 E0 - F0 = 10 tekort 4 - E = A tekort Resultaat A00-10 = 9F0 ; 9F0 - A = 9E6 Vermenigvuldigen Op Wikipedia kun je een hexadecimale tafelkaart vinden. Bron: en.wikipedia.org/wiki/file:hexadecimal_multiplication_table.svg De tafels op dit niveau beheersen is niet nodig. We pikken er één som uit: E x 6 = Het is verleidelijk om het via het decimale stelsel te doen. Maar we doen het eerlijk. We gebruiken eerst weer een model om op het idee te komen. Hier staat de som E x 6 in het rechthoekmodel: Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 14/20

15 Door steeds van de onderste rij twee blokjes weg te halen en deze respectievelijk achter de eerste rij, de tweede rij enzovoort te plakken ontstaat de volgende figuur: Hierdoor verandert de som in 5 x en dat is gewoon 54. Dit is ook inspiratie om de verdeeleigenschap toe te passen: 6 x E = 6 x (10-2) = 60 - C = 54 Staartdelen gaat hetzelfde als bij decimaal. Voldoende tafelkennis is een voorwaarde om te kunnen staartdelen. Het is daarom in dit kader (wij hebben onvoldoende hex-tafelkennis) niet zinvol om het standaardalgoritme te gebruiken. Maar de kolomsgewijze methode biedt uitkomst: 8EF : 1A = 57 rest 19 1A F 1A0 10 5AF 1A F 1A F 1A0 10 CF 1A 1 B5 1A 1 9B 1A A A 1 4D 1A A 1 19 Het is een hele weg, maar het is leuk om één keer gedaan te hebben. Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 15/20

16 Verbanden De toepassing van het binaire stelsel ligt dus zoals onder de kop Basisvaardigheden is uitgelegd vooral in de ICT. Het binaire stelsel heeft een relatie met de exponentiële groei. Er is een beroemd verhaal over de schaakmeester van de kalief die als beloning voor al zijn goede diensten een eenvoudig verzoek heeft: hij wil dat de kalief op zijn schaakbord op het eerste veld 1 graankorrel legt, op het tweede 2, op het derde 4, op het vierde 8, enzovoort. De kalief dacht dat dat een geringe beloning zou opleveren. Rekenkundig is het interessant of er een formule bedacht kan worden die direct antwoord biedt. Een didactische manier om dat te doen is eerst naar een klein schaakbord te kijken en dan te onderzoeken of er voor een kleine hoeveelheid een formule te bedenken valt, die daarna uitgebreid kan worden naar een echt schaakbord. We beginnen met een schaakbord van 3 bij 3: Decimaal Binair Samen: = 511 Samen: Vanwege de bijzondere structuur van binaire getallen kan dit wat mooier in beeld gebracht worden. Als we bij de binaire uitkomst 1 optellen dan staat er , oftewel: de uitkomst is Voor een heel schaakbord levert dat graankorrels. Zonder binaire getallen kan dit overigens ook gevonden worden. Overigens is graankorrels heel veel, namelijk ongeveer 1, en dus Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 16/20

17 Oefenopgaven Oefenen met binair rekenen kan op verschillende websites. Probeer bijvoorbeeld: wims.math.leidenuniv.nl/wims/wims.cgi?lang=nl&+module=h3%2fcoding%2foefbin.nl. Op het moment van schrijven is nog niet zeker in hoeverre in de kennisbasistoets ook de bewerkingen in andere talstelsels moeten worden beheerst. Daarom is er in de theorie toch ruim aandacht aan geschonken en worden hier oefenopgaven gegeven voor alle stelsels. 1 Het First World Hotel in Maleisië is het grootste hotel ter wereld. Het heeft 6118 kamers. Hoeveel lampjes zou dit hotel op het lampjesbord moeten plaatsen? (Zie p. 6 voor uitleg over het lampjesbord.) 2 Vul in: Tweetallig Tientallig a = b = c = d = e = f = g = h = i = j = k = l = m = n = o = p = q = r = s = Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 17/20

18 4 a = b = c = 5 a 11 x 101 = b 111 x 1001 = d = e = f = c 11 x 111 = d 111 x 1111 = 6 a 111 : 11 = b : 111 = c : 101 = Hexadecimaal 7 Van decimaal naar hexadecimaal a 34 = b 96 = c 423 = d 3456 = 8 Van hexadecimaal naar decimaal a 1C = b 3F1 = c ABC = d BAD = e CAFE = 9 Van hexadecimaal naar binair a 123 = b 45A = c AAAB1 = d 12 = e 45C = Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 18/20

19 Uitwerkingen 1 Het First World Hotel in Maleisië is het grootste hotel ter wereld. Het heeft 6118 kamers. Hoeveel lampjes zou dit hotel op het lampjesbord moeten plaatsen? 6118 omrekenen naar binair levert Er moeten dus 12 lampjes op het bord. 2 Tweetallig Tientallig a = 1101 b = c = d = e = f = g = h = i = j = k = l = m = n = o = p = q = r = s = (Als het onder elkaar optellen van meerdere getallen niet in één keer gaat, kan het ook in twee stappen.) Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 19/20

20 4 a = 1101 b = 10 c = d = e = f = a 11 x 101 = 1111 b 111 x 1001 = c 11 x 111 = d 111 x 1111 = a 111 : 11 = 10 rest 1 b : 111 = 11 rest 110 c : 101 = 1100 rest 11 Hexadecimaal 7 Van decimaal naar hexadecimaal a 34 = 22 b 96 = 60 c 423 = 1A7 d 3456 = D80 8 Van hexadecimaal naar decimaal a 1C = 28 b 3F1 = 1009 c ABC = 2748 d BAD = 2989 e CAFE = Van hexadecimaal naar binair a 123 = b 45A = c AAAB1 = d 12 = e 45C = Aanvulling over talstelsels bij Rekenen en wiskunde uitgelegd 20/20