Een kwestie van onderhoud en traditionele didactiek?

Transcriptie

1 Rekenvaardigheden in havo-3 en -4 Een kwestie van onderhoud en traditionele didactiek? 10% van 100 =? Jonathan Buter (studentnummer ) Corderius College, Meerwegen Scholengroep, Amersfoort Docent bovenbouw/onderbouw Mavo, Havo en VWO voor de vakken M&O en algemene economie Hans Jongejan (studentnummer ) Ichthus College, Veenendaal Docent bovenbouw Havo en VWO voor de vakken M&O en algemene economie Begeleiders: Uulkje de Jong, HvA Eline Raaphorst, HvA

2 Voorwoord Onze dank gaat uit naar de directies van onze scholen die de weg baanden voor ons onderzoek, de collega s die hun lessen voor onze interventie beschikbaar wilden stellen en de begeleiders van de HvA die met hun grondige kennis en creatieve ideeën ons ruimhartig geholpen hebben. Ichthus College: Wil de Beer: docent economie Gerrit Oomen: afdelingsleider Uulkje de Jong: begeleidster analytisch onderzoek, HvA Eline Raaphorst: begeleidster ontwerponderzoek en eindrapportage Corderius College: Sweder Hormann: docent economie Jan Roos: docent economie Ann Vandevelde: roostermaakster Uulkje de Jong: begeleidster analytisch onderzoek, HvA Eline Raaphorst: begeleidster ontwerponderzoek en eindrapportage 2

3 Inhoudsopgave Voorwoord... 2 Inhoudsopgave... 3 Summary Inleiding Aanleiding Context van het onderzoek Relevantie Doelstelling Centrale vraagstelling De opbouw van dit rapport Theoretisch kader Basale rekenvaardigheden Referentieniveaus (zie voor nadere explicitering bijlage 4) Kaders van de overheid Samenvatting basale rekenvaardigheden Beheersing basale rekenvaardigheden Onderzoeksvragen en onderzoeksopzet analytisch onderzoek Vraagstelling Definities van kernbegrippen/variabelen Conceptueel model Onderzoeksopzet Typering van het onderzoek Mate van generaliseerbaarheid Aanpak Instrumentatie Uitwerking Dataverzameling Wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden?

4 3.2.3 Bij welke basale rekenvaardigheden bestaat een achterstand in havo-4? Sommen met inzicht Sommen met plus en min Sommen met vermenigvuldigen en delen Sommen met procenten Sommen met breuken Worden basale rekenvaardigheden onderhouden? Sommen met plus en min: Plus en min in leerjaar Plus en min in leerjaar Plus en min in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Sommen met procenten in leerjaar Sommen met procenten in leerjaar Sommen met procenten in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Wordt er in de gebruikte methoden uitleg gegeven m.b.t. basale rekenvaardigheden? Sommen met plus en min in leerjaar Sommen met plus en min in leerjaar Sommen met plus en min in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Sommen met procenten in leerjaar

5 Sommen met procenten in leerjaar Sommen met procenten in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Wordt in het vakwerkplan bij de verschillende vakken aandacht besteed aan het onderhoud van basale rekenvaardigheden? Is er vakoverstijgend aandacht voor rekenonderhoud? Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 1? Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 2? Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 3? Stellingen Stelling: Jongens hebben meer moeite met rekenen dan meisjes Stelling: Meisjes hebben meer moeite met rekenen dan jongens Stelling: Er moet wat aan rekenvaardigheden worden gedaan Stelling: Het is verstandig dat docenten (collega s) zich bijscholen m.b.t. rekenvaardigheden Worden de basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst? Vergelijking toetsresultaten havo-4 met brugklas Vergelijking havo-4 met havo Percentage goed beantwoorde opgaven brugklas havo, havo-3 en havo Conclusie en aanbevelingen Worden de basale rekenvaardigheden beheerst? Conclusie Aanbevelingen Evaluatie Ontwerponderzoek Situatie Probleemstelling

6 4.1.3 Opzet interventie Het kader van de onderzoeksvraag Onderzoeksvraag Werkwijze Kwalitatief onderzoek Wat is het basale niveau werken met procenten in havo Uitwerking De rekenlessen traditioneel en realistisch, de proef op de som. (zie bijlagen 7 en 8) De beschrijving van het verloop van de lessen op het Ichthus College Het verloop van de lessen op het Ichthus College Beschrijving van de lessen op het Corderius College Nulmeting en Nameting Beschrijving gegevens Levert traditioneel rekenen meer op dan realistisch? Conclusie Evaluatie Eindconclusies en aanbevelingen Bijlage: Enquête rekenvaardigheden Bijlage: T-toets Corderius/Ichthus T-toets jongens/meisjes totaal T-toets jongens/meisjes Corderius College T-toets jongens/meisjes Ichthus College Bijlage: rekentoets Basale rekenvaardigheden Bijlage: Referentieniveaus Bijlage: Instaptoets procenten (0-meting) Bijlage: Eindtoets procenten Bijlage: Lesontwerpen, lessen volgens de traditionele methodiek Bijlage: Lesontwerpen, lessen volgens de realistische methodiek Bijlage: Instaptoets procenten (0-meting) Eindtoets procenten 148 6

7 Summary Onze leerlingen kunnen niet meer rekenen! is de klacht die regelmatig te horen is en te lezen valt in onderwijsland en er buiten: het rekenonderwijs in Nederland staat volop in de schijnwerpers. Veel organisaties maken zich zorgen over de afname van de rekenkennis. De groep deskundigen die, in hoofdlijnen, het slechte onderhoud van de rekentechnieken, de veranderende inzichten in de didactiek van het rekenen, waarin het traditionele rekenen grotendeels vervangen is door het realistische, de twijfel over de opleiding van docenten en de overladenheid van het lesprogramma als de schuldige aanwijst, wordt steeds groter. Zo ook op onze scholen. Weinig goeds is te horen over het gemiddelde rekenniveau van onze leerlingen. Breuken, procenten, indexcijfers, eerstegraadsvergelijkingen e.d., zijn voor veel leerlingen in havo-4 een brug te ver: Ze kunnen niet meer rekenen! is ook hier de uitroep. Reden voor ons om eens op onderzoek uit te gaan. Eerst analyseren wij het rekenniveau in havo-4, vervolgens onderzoeken wij of en zo ja hoe er systematisch rekenonderhoud wordt gepleegd op onze scholen. Dan proberen we in ons ontwerponderzoek aan te tonen dat rekenen volgens de traditionele methode effectiever is dan het rekenen volgens de realistische manier en tot slot trekken we conclusies en benoemen we een aantal aandachtspunten. Aan de hand van onderstaande vragen hebben we meer inzicht verkregen in het onderhouden van de basale rekenvaardigheden op onze scholen. Wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden. Bij welke van de basale rekenvaardigheden bestaat er een achterstand in havo-4? Worden die basale rekenvaardigheden in de brugklas beheerst? Worden die basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst? Waardoor is een mogelijke achterstand ontstaan? o Worden de basale rekenvaardigheden in de brugklas verder ontwikkeld? o Worden de vaardigheden onderhouden in de onderbouw? Beheersen de havo-4 leerlingen de basale rekenvaardigheden? o Wordt in de gebruikte methoden voldoende aandacht besteed aan rekenvaardigheden. o Worden de basale rekenvaardigheden bij de diverse vakken, te weten biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde, systematisch onderhouden? o Is het onderhoud van rekenvaardigheden expliciet in de vakwerkplannen opgenomen. o Is er een vakoverstijgende aanpak van rekenvaardigheden? De conclusie van ons analytisch onderzoek is dat systematisch onderhoud van de rekenvaardigheden op beide scholen ontbreekt. Dit wordt bevestigd door de geconstateerde feiten: 1. Systematisch onderhoud van de basale rekenvaardigheden wordt in geen van de vakwerkplannen genoemd en is op beide scholen ook geen onderdeel van gesprek; 2. In de lessen gaan veel docenten ervan uit dat die vaardigheden worden beheerst; 3. Rekenlessen vallen onder de vakgroep wiskunde, die de lessen vaak gebruiken voor wiskunde en dus niet voor rekenen; 7

8 4. Wiskundedocenten zijn niet geschoold in de didactiek van het rekenen en de meesten zijn niet op de hoogte van de verschillende didactische stromingen in het rekenonderwijs. 5. In de vakwerkplannen op beide scholen staat onderhoud van de rekenvaardigheden niet genoemd als vast onderdeel en is er dus nauwelijks aandacht voor dat onderhoud, om maar niet te spreken van vakoverstijgende aandacht. Ook is er geen beleid m.b.t. het gebruik van de rekenmachine tijdens de les. Over het algemeen is de rekenmachine al vanaf de brugklas toegestaan. Dit komt het hoogstwaarschijnlijk het zelfstandig toepassen van de hoofdbewerkingen niet ten goede: leerlingen verliezen daardoor hun vaardigheid en vermoedelijk ook een stuk getalbegrip. Goed onderhoud is de basis voor het hecht een duurzaam maken van o.a. de rekenvaardigheden. Daarom in hoge mate wenselijk dat de basale rekenvaardigheden in het geheel van de onderbouw systematisch onderhouden worden. Leerling en docent hebben er voordeel bij. De leerling omdat hij door een betere beheersing een hoger resultaat behaalt en daardoor meer zelfvertrouwen krijgt en de docent omdat hij meer en meer kan uitgaan van veronderstelde kennis. Aanbevolen wordt o.a. op beide scholen een rekendocent pur sang te benoemen die het rekenonderwijs van teen tot top systematisch gaat optuigen. Het tweede onderzoek, het ontwerponderzoek, geeft enerzijds inzicht in het effect van specifieke aandacht voor het rekenen met procenten en anderzijds op de vraag welke van de didactische methodes het meest effectief is: die van het traditionele rekenen of die van het realistisch rekenen. Aan de hand van een vijftal lessen Procenten exclusief 0-meting en nameting, willen we aantonen dat de effectiviteit van het traditionele rekenen, dat, in tegenstelling tot het realistische rekenen, bouwt op het automatiseren en oefenen van het rekenen, groter is dan die van het realistisch rekenen. Die lessen worden vooraf gegaan van een 0-meting, vervolgens worden de lessen in twee groepen gegeven op respectievelijk de traditionele en realistische didactische manier en tot slot wordt aan de hand van een vergelijkbare toets de nameting gedaan. Een controlegroep moet de mogelijke vorderingen van de twee groepen in beeld brengen. Uit de resultaten van dit onderzoek blijkt enerzijds dat het aandacht schenken aan procenten op welke manier dan ook, positieve effecten heeft op de resultaten, waaronder ook op die van de controlegroep. Anderzijds zijn er geen significante verschillen in resultaat aan te wijzen tussen de lessen volgens de traditionele of realistische methode. Dit zou er op kunnen wijzen dat de verschillende didactische methoden geen effect heeft op de resultaten of het kan zijn dat de periode van vijf lessen te kort is geweest. Opvallend in het onderzoek is dat ook de controlegroep vooruit is gegaan, terwijl er geen expliciete aandacht is besteed aan procenten. Het blijft gissen hoe dit mogelijk is. Vermoedelijk hebben de leerlingen na het afnemen van de 0-meting bewust of onbewust meer aandacht gekregen voor procenten: een overigens niet geheel onbekend verschijnsel in de literatuur. (zie het Hawthorne-onderzoek, waarin door Elton Mayo zijn theorie bewees dat naast objectieve factoren ook subjectieve bepalend zijn voor het resultaat, zoals aandacht). Onze hypothese dat traditioneel rekenen leidt tot een hoger resultaat is dus niet bewezen. 8

9 1. Inleiding 1.1 Aanleiding In de media wordt veel geklaagd over het taal- en rekenniveau van de leerlingen en studenten in het VO en BO en universitair onderwijs. Het Nederlands onderwijs is over het algemeen goed. Nationaal en internationaal onderzoek wijst dat uit. Toch zijn er een aantal knelpunten, dat de kwaliteit van het onderwijs bedreigen. Veel leerlingen beheersen taal en rekenen onvoldoende. Min van OC&W, 2009 Steeds meer scholieren moeite met rekenen en taal. Inspectie onderwijs Spellen en rekenen kunnen de leerlingen van tegenwoordig niet meer zo goed. Maar wat zijn ze geweldig wanneer het op presenteren aankomt. Volkskrant Leerkrachten in spe kunnen niet rekenen Meer dan de helft van de eerstejaars pabo-studenten presteert slechter op rekentoetsen dan een goede basisschoolleerling uit groep 8. Dat blijkt uit grootschalig onderzoek van toetsdeskundigen G. Straetmans en T. Eggen van de Cito-groep. Zij hebben een rekentoets ontwikkeld (wiscat) die het rekenvaardigheidsniveau van onderwijzers in spe meet ten opzichte van een goede leerling uit groep 8. Trouw Verpleegkundigen kunnen nog steeds niet rekenen Vier op de tien verpleegkundigen heeft nog altijd grote moeite met rekenen. Dit blijkt uit herhaling van het Nursing-onderzoek naar de rekenvaardigheid van verpleegkundigen. Uit het onderzoek blijkt dat 41 procent van de ondervraagde verpleegkundigen een 5 of lager scoort op de aan hen voorgelegde vragen. Het rekenonderzoek is in 2007 voor het eerst gedaan, toen scoorde 43 procent een onvoldoende. Ook op onze scholen voor voortgezet onderwijs, te weten het Corderius College in Amersfoort en het Ichthus College in Veenendaal, is het een veel gehoorde klacht dat de leerlingen niet meer kunnen rekenen, lezen en schrijven. Bijna dagelijks hoor je uitspraken over rekenen als Zelfs de meest basale rekenvaardigheden zijn niet aanwezig. Telkens moet ik de meest eenvoudige dingen weer uitleggen. Procenten? Praat me er niet van, ze kunnen het echt niet. Veel tijd gaat verloren met het opnieuw uitleggen van bekend veronderstelde rekenvaardigheden! Het wordt steeds erger!. 9

10 1.2 Context van het onderzoek Bovenstaande klachten worden op onze scholen met de regelmaat van de klok op verschillende podia en in verschillende leerjaren geuit door docenten van verschillende vakken: biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde. Vooral in havo-4, de scheidslijn tussen onder- en bovenbouw, is het volgens veel docenten bijzonder problematisch. Procenten, breuken, hoofdrekenen, toepassen van eenvoudige basale rekenregels en het oplossen van eerstegraads vergelijkingen zijn voor veel leerlingen een stap te ver. Veel tijd in de les is gemoeid met het weer ophalen van de basale rekenregels en -vaardigheden en het weer uitleggen daarvan. Zo zijn procenten (verhoudingen), breuken en vergelijkingen voor de genoemde vakken een struikelblok. Een groot aantal leerlingen haalt uiteindelijk op termijn wel het niveau, maar voor een kleinere groep blijft het worstelen, en een kleine groep verliest door hun rekendeficiëntie(s) snel hun motivatie en haakt vroegtijdig af voor een vak waarvoor rekenen noodzakelijk is of, werpen zich geheel en al op de theorie. Op het Ichthus College bijvoorbeeld is in oktober 2010 in havo-4 na enkele opfrislessen een rekentoets afgenomen. De leerstof is uitgelegd aan de hand van het boek M&O in balans. Ook hebben de leerlingen extra geoefend m.b.v. Jij en de cijfertjes, rekenstof op niveau VMBO-4. De toets bestond uit elf vragen over procentberekeningen, indexcijfers en rekenen met vreemde valuta. Er konden achttien punten worden behaald. Het resultaat was dat 48% van de leerlingen een onvoldoende scoorde. Enkelen haalden slechts twee van de achttien punten. Helaas zijn er geen cijfers uit het verleden bekend die het waarheidsgehalte van de klacht Het wordt steeds erger! kunnen bevestigen. Daarbij komt dat het antwoord op de oorsprong van het rekenprobleem, niet eenvoudig is te geven. Een aantal algemene vragen zijn rondom dit probleem te stellen. Vragen die feitelijk om een antwoord roepen: 1. Worden de basale rekenvaardigheden slecht onderhouden? 2. Is het een didactisch probleem: realistisch rekenen of traditioneel rekenen? 3. Is het abstractieniveau van de leerling te laag m.a.w. zitten leerlingen op de verkeerde plek? 4. Zijn het de matig ontwikkelde rekenvaardigheden? 5. Een combinatie van? Het is aannemelijk dat alle hiervoor genoemde factoren een rol spelen in het zoeken naar de oorzaken van de problemen op het gebied van de rekenvaardigheden. Nadat we eerst analytisch onderzoek hebben gedaan naar het onderhoud (1) van de rekenvaardigheden in de onderbouw van de havo, richten we onze interventie op de didactiek van het rekenonderwijs (2). De hierboven beschreven punten 3, 4 en 5 van de context worden niet nader onderzocht. 1.3 Relevantie In al die jaren dat wij lesgeven is ons gebleken dat veel leerlingen in havo-4 bij de vakken Economie en Management en Organisatie in het begin van de bovenbouw havo niet voldoende in staat zijn eenvoudige rekenproblemen op te lossen. Zoals in de inleiding al is geschreven is in de les veel tijd gemoeid met het weer ophalen van de basale rekenregels en -vaardigheden en het weer uitleggen daarvan. De vraag is of dit komt door slecht onderhoud. Onderzoek, gedaan door de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2007 heeft uitgewezen dat het voortgezet onderwijs te 10

11 weinig investeert in het onderhouden van rekenvaardigheden. Dit is echter in het algemeen gesteld en hoeft niet specifiek voor onze scholen te gelden. Daarom hebben gaan wij onderzoeken hoe het met het onderhoud van de basale rekenvaardigheden op onze scholen is gesteld. Een systematische aanpak van dat onderhoud zou namelijk bij de leerling kunnen leiden tot meer vaardigheid en daardoor meer begrip (traditioneel rekenen) of meer begrip en daardoor meer vaardigheid (realistisch rekenen). Zowel de leerling als het betrokken docentcorps heeft daar voordeel bij. De centrale vraag zal zijn of systematisch onderhoud als een omschreven vast onderdeel in het curriculum van de onderbouw is opgenomen. Dit wordt gedaan door middel van een analytisch onderzoek. Een belangrijk gegeven voor het rekenonderwijs in het algemeen is de cumulatieve structuur waarin rekenbegrippen en -procedures op elkaar voortbouwen. Om nieuwe kennis en vaardigheden te verwerven is beheersing van de eerder aangeleerde begrippen en vaardigheden van eminent voorwaardelijk belang. In de loop van de schooltijd moeten deze geïnternaliseerd worden en waar nodig verdiept, volgens Pisa (2003). In het proces van internaliseren zijn drie niveaus aan te duiden: 1. Paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken en vaardigheden; 2. Functioneel gebruiken van kennis in een goede probleemaanpak, die toepassen, die gebruiken binnen en buiten het schoolvak; 3. Weten waarom, deze begrijpen en verklaren van concepten en methoden, het formaliseren, abstraheren en generaliseren, het blijk geven van overzicht. Consolidatie van de rekenkennis en -vaardigheden genoemd onder 1 en permanent onderhoud zijn in onze ogen de voorwaarden om een bepaald beheersingsniveau te behalen. Die consolidatie en het daarbij behorende onderhoud kan alleen worden bereikt indien de desbetreffende vakgroepen inhoudelijke en didactisch meer gaan samenwerken op het gebied van het basale rekenonderwijs. In het verleden zijn op onze scholen al pogingen gedaan om het aanbod van vaardigheden, waaronder rekenen, bij verschillende vakken in kaart te brengen en op elkaar af te stemmen. Dat is niet gelukt, omdat niemand precies lijkt te weten wat en met name wanneer vaardigheden bij andere vakken worden aangeleerd en onderhouden. De vraag in dit verband is of de rekenvaardigheden systematisch dat wil zeggen volgens een bepaald vooropgezet (gemeenschappelijk) didactisch plan, worden onderhouden. Het vermoeden bestaat bij ons dat een gemeenschappelijke systematische aanpak zou kunnen leiden tot een beter beheersingsniveau van de basale rekenvaardigheden. Een vermoeden dat een onderzoek meer dan rechtvaardigt. 1.4 Doelstelling Het doel van ons analytisch onderzoek is meer inzicht te krijgen in de onderhoudsprocessen in het rekenonderwijs in het havo. We beperken ons daarbij tot de klassen 1 t/m 3. Daarnaast wil dit onderzoek een bijdrage leveren aan de verhoging van het basale rekenniveau. De opbrengst van dit onderzoek is van belang voor alle docenten van de twee scholen die betrokken zijn bij de ontwikkeling van de rekenvaardigheden van de leerling, maar die geen overzicht hebben over datgene wat aan systematisch rekenonderwijs wordt gedaan. In aansluiting op de conclusies en aanbevelingen van dit analytisch onderzoek wordt door ons een ontwerponderzoek gedaan waarin een exemplarische verbetering van de situatie in de schoolpraktijk wordt uitgeprobeerd en op zijn effecten onderzocht. Het ontwerponderzoek maakt de twee 11

12 stromingen op het gebied van de didactiek van het rekenonderwijs zichtbaar en moet zo mogelijk leiden naar het antwoord op de vraag bij welke didactische benadering, de traditionele of de realistische, de leerling het meeste profijt heeft. Daartoe worden een aantal lessen gegeven die enerzijds is geschoeid op de leest van de traditionele aanpak en anderzijds op die van het realistisch rekenen. 1.5 Centrale vraagstelling De centrale vraag van het analytisch onderzoek is of er systematisch onderhoud basale rekenvaardigheden wordt gepleegd op onze scholen. Indien dit niet het geval is staat dit dan de ontwikkeling en een voldoende beheersing van de basale rekenvaardigheden in havo-4 in de weg? In het ontwerponderzoek wordt onderzocht of de gekozen didactiek, de didactiek volgens de traditionele of de realistische, een significante invloed heeft op de prestaties van leerlingen in havo De opbouw van dit rapport. Na de inleiding in hoofdstuk één komt in hoofdstuk twee het theoretisch kader aan de orde. In hoofdstuk drie is het Analytisch onderzoek opgenomen. In hoofdstuk vier is wordt het ontwerponderzoek nader belicht. 12

13 2 Theoretisch kader 2.1 Basale rekenvaardigheden Het rapport Over de drempels met rekenen, een uitgave van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2007) geeft aan wat moet worden verstaan onder basale rekenvaardigheden. In dit rapport worden drie referentieniveaus m.b.t. het basale niveau genoemd: 1. 1F (Fundamentele kwaliteit: basisschool met een schooladvies vmbo-bb en vmbo-kb; 2. 2F (Fundamentele kwaliteit: eindniveau vmbo-bb, vmbo-kb, vmbo gt, en mbo niveau F (Fundamentele kwaliteit: algemeen eindniveau mbo niveau 4 en havo/vwo. Figuur 1. Visualisatie van de verschillende referentieniveaus, SLO, presentatie VO-TF-conferentie 2010 Het 2F-niveau wordt het zogenaamde burgerschapsniveau genoemd, het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten beheersen om op het gebied van rekenen maatschappelijk goed te kunnen functioneren). Volgens de studiegroep kan dat rekenniveau alleen gehaald worden als de verworven kennis en vaardigheden worden geconsolideerd, onderhouden en worden gebruikt binnen en buiten de lessen. Tevens vormen die kennis en vaardigheden de basis voor verdieping de zogenaamde S-niveaus. De S-niveaus zijn de streefniveaus. Het 2S-niveau is het niveau van onderbouw havo en vwo. Van leerlingen in havo-3 mag dus worden verwacht dat zij kunnen rekenen op 2S-niveau. 13

14 2.2 Referentieniveaus (zie voor nadere explicitering bijlage 4) De referentieniveaus voor rekenen zijn onderverdeeld in vier domeinen: 1. Getallen 2. Verhoudingen 3. Meten en meetkunde 4. Verbanden Elk domein is bij rekenen opgebouwd uit de volgende onderdelen: 1. notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal; 2. met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik; 3. gebruiken, waarbij het gaat om rekenvaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen. Elk van deze drie onderdelen is steeds opgebouwd uit drie typen kennis, inzicht en vaardigheden, die als volgt te karakteriseren zijn: - paraat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines, technieken; - functioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak; - weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methoden, formaliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht. (OC&W, 2010) 2.3 Kaders van de overheid De overheid heeft met het Besluit van 17 juni 2010 (gepubliceerd onder nummer 265 in Staatsblad 2010) vastgesteld wat de minimale normen zijn waaraan een leerling bij het afronden van een bepaalde studie binnen het VO aan moet voldoen. Het rapport van de Expertgroep heeft daarbij als uitgangspunt gediend. Uit die kaders is af te leiden wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden. REFERENTIEKADER 1F 1 2 Fundamentele - en Streefniveaus F-Niveaus: Fundamentele kwaliteit, Functioneel Gebruik 1S 2F 2S 3F 3 4 S-Niveaus: Streefkwaliteit, Formaliseren, Generaliseren en Abstraheren (= verdiepen) 3S Algemeen maatschappelijk niveau Drempels 4F 4S Doelen per leeftijdscategorie: 12, 16 en 18 jaar Voor rekenen zijn de niveaus 4F en 4S niet ingevuld, omdat het rekenen daar helemaal in meer geavanceerde wiskunde is opgegaan Figuur 2. Referentiekader ( Rapport: Over de drempels met rekenen - eindrapport, Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen.) 14

15 Naast elk fundamenteel (F-niveau) wordt er ook telkens een streefniveau (S-niveau) aangegeven. De inhouden, voor zover van toepassing op het rekenen, van de verschillende referentieniveaus zijn opgenomen in de bijlage 4. Het gedefinieerde Algemeen maatschappelijk niveau (burgerschapsniveau) wil zeggen, wat het niveau is dat elke leerling ongeacht in welke type onderwijs hij onze school verlaat toch minimaal zal moeten behalen. De leerling moet ongeacht het type onderwijs tenminste het 1F-niveau te hebben. Een leerling die start in een havo/vwo-groep zal op 1S moeten zitten. Een leerling een met Vmbo-tl diploma, moet het 2F hebben. Een gediplomeerde havist of Vwo er zal minimaal moeten beschikken over een referentieniveau 3F. 2.4 Samenvatting basale rekenvaardigheden De fundamentele niveaus (1F, 2F en 3F) richten zich op basale kennis en inzichten en zijn gericht op een meer toepassingsgerichte benadering van rekenen. Figuur 3. Referentieniveau met daarin de diverse opleidingen. Wettelijk is vastgesteld dat leerlingen moeten beheersen: 1F bij overgang van PO naar VO 2F bij overgang van VMBO-tl naar MBO / HAVO 2F bij overgang van HAVO-3 naar MBO 3F bij overgang van HAVO / VWO naar HBO of WO De streefniveaus (1S, 2S en 3S) bereiden al voor op de meer abstracte wiskunde. 2.5 Beheersing basale rekenvaardigheden Uit internationaal vergelijkend onderzoek (TIMSS: Trends in International Mathematics and Science Studies, ) is gebleken dat in 2003 de Nederlandse leerlingen de rekenvaardigheden goed beheersten; alleen Japan en Vlaanderen deden het beter. Wel werd geconstateerd dat er een kleine achteruitgang optrad tussen de resultaten van 1995 en In het Pisa onderzoek Wiskundige geletterdheid volgens PISA (Programma for International Student Assesment, 2006) komt men ook 15

16 tot de conclusie dat de Nederlandse leerlingen van 15 en 16 jaar niet slecht scoren t.o.v. andere landen, 48% van de leerlingen scoren op niveau en hoger, maar dat tevredenheid over dat resultaat niet geheel op zijn plaats is als in aanmerking wordt genomen dat het de ambitie is Nederland als kennisland te ontwikkelen. In het rapport Over de drempels met rekenen wordt geconcludeerd dat 1. het percentage leerlingen dat op referentieniveau de basiskwaliteit bevredigend is; 2. het percentage leerlingen dat op het tweede referentieniveau de streefkwaliteit 2S bereikt niet bevredigend is. Het rapport concludeert verder dat er geen reden is om aan te nemen dat de kwaliteit van het rekenonderwijs beneden de maat is, hoewel de prestaties van groepen leerlingen die nu voortgezet onderwijs volgen minder worden in vergelijking met een aantal jaren geleden. (Pisa 2007 en Dr. P. Vos). Bij nadere beschouwing echter blijkt dat deze constatering in de bovengenoemde onderzoeken volgens prof. Dr. Jan van de Craats, hoogleraar wiskunde en maatschappij aan de UvA, niet geheel juist is. Die opgaven in TIMSS en PISA zijn volgens hem geen representatieve afspiegeling van het domein rekenen. Het is dan ook onverantwoord, aldus Van der Craats, uit de onderzoeken algemene conclusies te trekken over het peil van het Nederlandse onderwijs. Ook bij het rapport van PISA zet hij de nodige kanttekeningen. Er wordt bij het PISA-onderzoek nauw aangesloten bij het huidige realistisch rekenonderwijs. Feitelijk worden de vaardigheden gemeten volgens de huidige realistische inrichting van dat onderwijs en worden niet zozeer de rekenvaardigheden die leerlingen zouden moeten beheersen in beeld gebracht. Volgens de hoogleraar geeft dit een vertekening van de rekenwerkelijkheid. Met die werkelijkheid is het volgens hem droevig gesteld. Hij vat de ernst samen in een aantal vragen: Welke didactische blunders hebben de narigheid m.b.t. het rekenen veroorzaakt? Wat is er mis met het lesmateriaal? Hoe komt het dat matige en zwakke leerlingen al in groep 4 van het basisonderwijs een geweldige hekel hebben aan rekenen? En hoe komt het dat zelfs de beste leerlingen op school niet meer leren hoe je vlot en foutloos getallen kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen? Volgens Van der Craats c.s. ligt aan probleem van de slechte rekenvaardigheden het zgn. realistisch rekenen ten grondslag. Het Freudenthal Instituut is de grote promotor van dat op vooral op inzicht gebaseerde rekenen. Een van de propagandisten is voormalig hoogleraar Adri treffers. Volgens hem 1. moeten leerlingen hun eigen kennis construeren d.w.z. dat leerlingen moeten worden gestimuleerd om vanuit een realistisch probleem zelf kennis te construeren. Bij een rekenprobleem moet een leerling zich iets kunnen voorstellen. Vanuit die voorstelling gaat hij het probleem uitwerken en oplossingsmethodes construeren. 2. zijn modellen, schema s en symbolen de brug om de diverse aanpakken van rekenen te ontwikkelen. Zij zullen leiden tot meer gestructureerde kennis. Die kennis leidt weer tot abstracte kennis. 3. moeten leerlingen in het kader van het bedenken van oplossingen kunnen reflecteren op die oplossingen door bijvoorbeeld het stellen van vragen en door het interactief vergelijken van zijn oplossingsmethode met die van een ander. 4. gestimuleerd worden de samenhang in de rekenleerstof te ontdekken. Rekenonderwijs is namelijk een samenhangend geheel van toepassingen, kennis, inzichten en vaardigheden. De docent heeft daarin een coachende rol. 16

17 Kortom, het realistisch rekenen heeft volgens Adri Treffers tot doel een samenhangend toepasbaar, geïntegreerd geheel van kennis en vaardigheden te ontwikkelen. Ook Liesbeth van der Plas (2008), voormalig docent wiskunde, ziet enorme problemen in het rekenonderwijs. Zij wijst de volgende oorzaken van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser aan: Het eindeloos opzeggen en herhalen van tafels wordt gezien als ouderwets. Het veelvuldig oefenen van gelijksoortige sommetjes wordt gezien als dom en overbodig. De Cito-toets bevat geen echte breuken en worden daarom niet of nauwelijks geoefend. De rekenmethoden van het basisonderwijs bevatten te weinig basis-oefenmateriaal. De breukvaardigheid van de gemiddelde leraar in het basisonderwijs is onvoldoende. Ook zij heeft problemen met de uitkomsten van het PISA-onderzoek. Volgens haar zegt dit niets over de beheersing van de rekenvaardigheden die noodzakelijk goed te kunnen functioneren. Ondanks de discussies over het niveau van beheersing van de basale rekenvaardigheden moeten we een ijkpunt hebben om het niveau van de basale rekenvaardigheden te meten. Dat niveau vinden we in het rapport Over de drempels met rekenen waarin de werkgroep Expertgroep doorlopende leerlijnen zich uit over het gewenste rekenniveau in havo-4. Of onze leerlingen dit niveau halen staat op beide scholen regelmatig ter discussie. Daarom moet de door ons gemaakt rekentoets uitkomst bieden. Alles overziende komen verschillende vragen boven: 1. Is het te wijten aan slecht onderhoud in de opeenvolgende leerjaren van de onderbouw van de havo? 2. Is de onvoldoende beheersing van de basale rekenvaardigheden te wijten aan het realistisch rekenen? 3. Is het te wijten aan het te weinig oefenen van de rekenvaardigheden, zoals het traditionele rekenen dat voorstaat? In ons Analytisch Onderzoek doen we onderzoek naar het onderhoud van de basale rekenvaardigheden; het OntwerpOnderzoek heeft tot doel aan te tonen dat het rekenen volgens de traditioneel didactische methode tot een hoger resultaat leidt dan de methode van het realistisch rekenen. 17

18 3 Onderzoeksvragen en onderzoeksopzet analytisch onderzoek 3.1 Vraagstelling Hoofdvraag: Komt in de leerjaren havo-1 t/m havo-3 het onderhoud van de rekenvaardigheden systematisch en in samenwerking met en tussen de verschillende vakken tot stand? In het kader van de onderzoeksvraag is het van belang de volgende deelvragen te onderzoeken: Wat verstaan we onder basale rekenvaardigheden. (literatuuronderzoek) Bij welke van de basale rekenvaardigheden bestaat er een achterstand in havo-4? (toetsing) Worden die basale rekenvaardigheden in de brugklas beheerst? (toetsing) Worden die basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst (toetsing)? Waardoor is een mogelijke achterstand ontstaan? o Worden de basale rekenvaardigheden in de brugklas verder ontwikkeld? o Worden de vaardigheden onderhouden in de onderbouw? (enquête) Beheersen de havo-4 leerlingen de basale rekenvaardigheden? (toetsing) o Wordt in de gebruikte methoden voldoende aandacht besteed aan rekenvaardigheden. o Worden de basale rekenvaardigheden bij de diverse vakken, te weten biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde, systematisch onderhouden? (enquête) o Is het onderhoud van rekenvaardigheden expliciet in de vakwerkplannen opgenomen. (enquête) o Is er een vakoverstijgende aanpak van rekenvaardigheden? (enquête) Definities van kernbegrippen/variabelen 1. Onderhoud basale rekenvaardigheden in havo-1 t/m havo-3. - Met onderhoud wordt bedoeld de wijze waarop de basale rekenvaardigheden regelmatig en op een systematisch en in samenhang aan de orde komen in de leerjaren havo-1 t/m havo-3. - Met basale rekenvaardigheden wordt bedoeld (Van De Craats, 2007) het vlot en zonder aarzelen kunnen toepassen routines, technieken en vaardigheden m.b.t. tot het rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken en de daarvan afgeleide procenten. 2. Beheersing basale rekenvaardigheden in havo-4. Met beheersing van de basale rekenvaardigheden wordt bedoeld dat leerlingen in havo-4 de basale rekenvaardigheden kunnen toepassen bij de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde. De verwachting is dat leerlingen in havo-4 rekenvaardiger zijn als de basale rekenvaardigheden in de leerjaren daaronder systematisch en in samenhang worden onderhouden. 18

19 3.1.2 Conceptueel model In samenhang Onderhoud basale Rekenvaardigheden H1, H2, H3 Beheersing basale rekenvaardigheden In havo-4 Systematisch Figuur 4. Conceptueel model Onderzoeksopzet Typering van het onderzoek Het onderzoek is exploratief of verkennend: een onderzoek dat de mogelijke samenhang beschrijft tussen het onderhoud van de basale rekenvaardigheden (onafhankelijke variabele) en de beheersing van die rekenvaardigheden (afhankelijke variabele). Daartoe zal de bestaande situatie worden geanalyseerd in het licht van onderliggende oorzaken en factoren Mate van generaliseerbaarheid Dit onderzoek wordt uitgevoerd op twee scholen. Dit geeft de mogelijkheid tot vergelijking van de uitkomsten en daarop gebaseerde conclusies. De verwachting is dat de uitkomst in principe generaliseerbaar is. Dit betekent dat systematisch onderhoud van de rekenvaardigheden - het paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken en vaardigheden - ook buiten de onderzochte populatie kan leiden tot betere rekenvaardigheden in havo Aanpak 1. Allereerst is het nodig om het begrip basale rekenvaardigheden te ontleden. Middels literatuuronderzoek en onze eigen ervaring een willen we een voorstel neerleggen bij de vakgroepleiders van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde in onderling overleg komen tot een, in principe, eensluidende definitie van het begrip basale rekenvaardigheden. Welke rekenvaardigheden verwachten wij dat leerlingen beheersen? 19

20 2. Daarna willen we, met behulp van een nog samen te stellen toets, de beheersing van de basale rekenvaardigheden meten. Omdat het voor wat de tijd betreft niet mogelijk is om een specifiek cohort havoleerlingen over opeenvolgende jaren te toetsen, hebben we ervoor gekozen om de leerlingen van havo-1 tot en met havo-4 van één cursusjaar te toetsen. 3. Vervolgens lijkt het ons zinvol om te inventariseren in hoeverre de methoden van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde die op het Corderius College en het Ichthus College gebruikt worden, aandacht besteden aan onderhoud van de (hierboven onder punt 1 gedefinieerde) basale rekenvaardigheden. 4. Tot slot willen we ook inzicht krijgen in het onderhoud door docenten zelf van de basale rekenvaardigheden. Hiervoor willen we de vakgroepleiders en/of docenten enquêteren. Hoewel het interview hiervoor ook een prima middel zou kunnen zijn, hebben we uit een organisatorisch oogpunt (beschikbaarheid van collega s en tijd) voor een enquête gekozen. Samenvattend: 1. Beschrijving van de basale vaardigheden rekenen (literatuuronderzoek). 2. Opstellen toets basale rekenvaardigheden. 3. Basismeting niveau basale vaardigheden rekenen in havo-1 havo-3 en havo-4 in de vorm van eenzelfde rekentoets voor iedereen. 4. Onderzoek in hoeverre de methoden van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde aandacht besteden aan onderhoud van de basale rekenvaardigheden. 5. Enquête docenten van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde m.b.t. onderhoud basale rekenvaardigheden. 6. Analyses uitvoeren en rapporteren. 7. Conclusies en aanbevelingen Instrumentatie Voor het vaststellen van de toets opgaven ten behoeve van ons onderzoek is gebruik gemaakt van Over der drempels van rekenen, een uitgave van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en Rekenen (2008). Met behulp van dit rapport zijn de rekenopgaven gemaakt. (zie bijlage 3). De rekenopgaven zijn onderverdeeld in dertig opgaven niveau 1F, twee opgaven niveau 1S en acht opgaven niveau 2F. De opgaven 1S zijn onbedoeld in de toets gekomen. Om te bepalen of rekenvaardigheden worden onderhouden en/of ontwikkeld lijkt het van belang om na te gaan in welke mate de docenten van de verschillende vakken, en de vakgroep als geheel, waarde hechten aan de verschillende rekenvaardigheden. Het belang van specifieke rekenvaardigheden, het onderhoud en de ontwikkeling van rekenvaardigheden worden middels een enquête (zie bijlage 1) vastgesteld. De vragen in de enquête zijn zo opgesteld dat we de resultaten als frequentie kunnen weergeven. Aan het eind van de enquête hebben we de betreffende docenten een aantal stellingen voorgelegd. Aan de hand van deze stellingen trachten we te achterhalen of docenten verschillen ervaren in het beheersingsniveau van rekenvaardigheden algemeen tussen mavo-, havo, en vwo-leerlingen, allochtone en autochtone leerlingen en tussen meisjes en jongens. 20

21 3.2 Uitwerking Dataverzameling De enquêtes betreffende het belang, onderhoud en ontwikkeling van specifieke rekenvaardigheden zijn uitgezet op twee scholen, te weten het Corderius College te Amersfoort en het Ichthus College te Veenendaal. We hebben geprobeerd om alle docenten die lesgeven in havo-1, havo-2 en havo-3 van alle vakken waarbij rekenvaardigheden een rol spelen aan de enquête te laten deelnemen. De enquête is uitgezet onder 38 docenten, van wie er 30 gereageerd hebben. De enquêtes zijn door de betreffende docenten serieus ingevuld. Daarnaast is er op beide scholen in vier clusters havo-4, twee op het Corderius College en twee op het Ichthus College, een rekentoets afgenomen. De toetsen zijn door ons zelf afgenomen. Er deden zich geen bijzonderheden voor. De leerlingen hebben er serieus aan gewerkt. Met deze toets proberen we te achterhalen of de leerlingen de verschillende rekenvaardigheden beheersen. Op het Corderius College is dat de toets afgenomen onder 45 havo-4 leerlingen die het vak economie volgen. Op het Ichthus College is dezelfde toets afgenomen onder 44 havo-4 leerlingen die het vak Management en Organisatie (M&O) volgen Wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden? Met basale rekenvaardigheden bedoelen we het vlot en zonder aarzelen kunnen toepassen routines, technieken en vaardigheden m.b.t. tot het rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken en de daarvan afgeleide procenten. Deze vaardigheden vormen het fundament voor de rekenbewerkingen die van eminent belang zijn voor de vakken wiskunde, economie, management en organisatie (M&O), scheikunde, natuurkunde, biologie en aardrijkskunde Bij welke basale rekenvaardigheden bestaat een achterstand in havo-4? Het niveau van de afgenomen toets (zie bijlage 4) is hoofdzakelijk gebaseerd op het verwachte fundamentele niveau voor groep acht basisonderwijs (1F). Twee vragen hebben het streefniveau (1S) en acht opgaven refereren aan het basale niveau van een vijftienjarige (2F): A. Met elkaar in verband brengen Getallen en getalsrelaties Structuur en samenhang B. Gebruiken Memoriseren, automatiseren Hoofdrekenen Hoofbewerkingen Bewerkingen met breuken Berekeningen uitvoeren om problemen op te lossen De vragen zijn daarom ingedeeld in vijf categorieën: 1. inzichtvragen 21

22 2. sommen met plus en min 3. sommen met keer en gedeeld door 4. sommen met procenten 5. sommen met breuken Aan de hand van de grafieken worden de resultaten van het onderzoek getoond en in beeld gebracht. 22

23 Corderius en Ichthus College als geheel Percent 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% totaal aantal vragen goed Statistics totaal aantal vragen goed N Valid 88 Missing 0 Mean 22,72 Median 23,00 Mode 23 Std. Deviation 6,943 Variance 48,206 Het totaal aantal vragen is 40 (zie bijlage 3). Opvallend is dat één leerling drie antwoorden goed heeft en dat er maar relatief weinig leerlingen zijn die een score boven de 32 haalt. 23

24 College Ichtus College Corderius school College Ichtus College Corderius school Opgavencategorieën Sommen met inzicht Count goed 2 goed 3 goed 4 goed 5 goed 6 goed totale score inzichtvragen Er zijn in totaal zes inzichtvragen gesteld. Opvallend is dat het Ichthus College significant beter scoort op inzicht dan het Corderius College (zie bijlage 2: T-toetsen) Sommen met plus en min Count goed 2 goed 3 goed 4 goed 5 goed 6 goed 7 goed 8 goed totale score plus- en minsommen Er zijn in het totaal acht vragen gesteld met betrekking tot optellen en aftrekken. Ook hier valt weer op dat het Ichthus College het significant beter doet dan het Corderius College (zie bijlage: T- toetsen). 24

25 College Ichtus College Corderius school College Ichtus College Corderius school Sommen met vermenigvuldigen en delen Count goed 1 goed 2 goed 3 goed 4 goed 5 goed 6 goed 7 goed totale score keer- en gedeeld door sommen Er zijn in het totaal zeven vragen gesteld met betrekking tot delen vermenigvuldigen en delen. Ook hier geldt dat het Ichthus College het significant beter doet dan het Corderius College (zie bijlage: T- toetsen) Sommen met procenten 12,5 10,0 Count 7,5 5,0 2,5 0,0 0 goed 1 goed 2 goed 3 goed 4 goed 5 goed 6 goed 7 goed totale score procentsommen Er zijn in het totaal zeven vragen gesteld met betrekking tot procenten. Op het Ichthus College wordt er iets beter gescoord dan op het Corderius College maar het verschil is niet significant. (zie bijlage: T-toetsen). 25

26 College Ichtus College Corderius school Sommen met breuken Count goed 1 goed 2 goed 3 goed 4 goed 5 goed 6 goed 7 goed 8 goed 9 goed 10 goed totale score breuken Er zijn in het totaal tien vragen gesteld met betrekking tot breuken. Wederom doet scoren leerlingen van het Ichthus College significant beter dan leerlingen van het Corderius College (zie bijlage: T- toetsen) Worden basale rekenvaardigheden onderhouden? Aan de docenten die lesgeven in havo 1, 2 en 3, in vakken waarbij rekenvaardigheden een rol spelen, is een enquête voorgelegd. In die enquête worden vragen gesteld over de aandacht die er besteed wordt aan de verschillende soorten rekenvaardigheden, waarbij ja betekent dat er aandacht besteed wordt aan die rekenvaardigheden, nee dat er geen aandacht aan besteed wordt en niet relevant geeft aan dat rekenvaardigheden in dat betreffende leerjaar geen rol spelen. De antwoorden zijn geturfd en in grafieken weergegeven. 26

27 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Sommen met plus en min: Plus en min in leerjaar Count 1 0 nee onderhoud + en - in leerjaar 1 ja Plus en min in leerjaar Count nee ja niet relevant onderhoud + en - in leerjaar 2 27

28 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Plus en min in leerjaar Count nee onderhoud + en - in leerjaar 3 ja Er vindt op het Ichthus College meer onderhoud plaats als het gaat om rekenvaardigheden met betrekking tot optellen en aftrekken Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Count 1 0 nee onderhoud * en / in leerjaar 1 ja 28

29 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Count nee ja niet relevant onderhoud * en / in leerjaar Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar Count nee onderhoud * en / in leerjaar 3 ja Er vindt op het Ichthus College zowel in leerjaar 1, 2 en 3 meer onderhoud plaats als het gaat om rekenvaardigheden met betrekking tot vermenigvuldigen en delen dan op het Corderius College. 29

30 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Sommen met procenten in leerjaar Count 1 0 nee ja onderhoud procenten in leerjaar Sommen met procenten in leerjaar Count nee ja niet relevant onderhoud procenten in leerjaar 2 30

31 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Sommen met procenten in leerjaar Count nee ja onderhoud procenten in leerjaar 3 Er wordt op het Corderius College in leerjaar 1 meer onderhoud gepleegd met betrekking tot rekenen in procenten dan op het Ichthus College. Op het Ichthus College vindt daarentegen vaker onderhoud plaats in leerjaar 2 en Sommen met breuken in leerjaar Count 1 0 nee ja onderhoud breuken in leerjaar 1 31

32 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Sommen met breuken in leerjaar Count nee ja niet relevant onderhoud breuken in leerjaar Sommen met breuken in leerjaar Count nee ja onderhoud breuken in leerjaar 3 Er vindt op het Ichthus College in leerjaar 1, 2 en 3 meer onderhoud plaats als het gaat om rekenvaardigheden met betrekking tot breuken dan op het Corderius College. 32

33 College Ichthus College Corderius school College Ichthus College Corderius school Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Count 1 0 nee ja onderhoud 1e gr vergelijkingen in leerjaar Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Count nee ja niet relevant onderhoud 1e gr vergelijkingen in leerjaar 2 33

34 College Ichthus College Corderius school Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar Count nee ja onderhoud 1e gr vergelijkingen in leerjaar 3 Er wordt weinig onderhoud gepleegd met betrekking tot eerstegraads vergelijkingen. In leerjaar twee wordt er op het Ichthus College iets meer aandacht besteed aan het onderhoud van rekenvaardigheden met betrekking tot eerstegraads vergelijkingen dan op het Corderius College. 34

35 College Ichthus College Corderius school Wordt er in de gebruikte methoden uitleg gegeven m.b.t. basale rekenvaardigheden? Door middel van een enquête hebben we de docenten die lesgeven in leerjaar 1, 2 en 3 van de havo gevraagd of er in de gebruikte methoden aandacht wordt besteed aan de verschillende rekenvaardigheden. De antwoorden van de verschillende docenten zijn geturfd en worden in de onderstaande grafieken weergegeven Sommen met plus en min in leerjaar Count 1 0 nee ja uitleg in methode over + en - in leerjaar 1 35