GOED FOUT! Op zoek naar Obstakels in wiskundig denken

Transcriptie

1 GOED FOUT! Op zoek naar Obstakels in wiskundig denken Dag van de wiskunde 2011 Prof. Dr. Wim Van Dooren Centrum voor Instructiepsychologie en technologie Katholieke Universiteit Leuven Opdracht 10 opgaven uit verschillende wiskundegebieden Fouten die veel gemaakt worden door leerlingen (onderzoek) Stap 1: Zoek en verklaar de fouten Waarom wordt deze fout gemaakt? Meerdere verklaringen mogelijk Stap 2: Zoek gelijkenissen tussen de fouten Fouten met gelijkaardige verklaringsgrond? Meerdere groeperingen mogelijk Workshop Focus op fouten die leerlingen maken In uiteenlopende gebieden van wiskunde Zoeken naar verklaringen, en theoretische duiding Opzet 10 cases fouten gekend uit onderzoeksliteratuur Zoek verklaringen voor de fouten? Aanzet tot theoretische duiding 1

2 Opgelet Pessimisme Veralgemenen, stereotyperen Fouten maken mag (en is leerzaam) Opdracht 10 opgaven uit verschillende wiskundegebieden Fouten die veel gemaakt worden door leerlingen (onderzoek) Stap 1: Zoek en verklaar de fouten Waarom wordt deze fout gemaakt? Meerdere verklaringen mogelijk Stap 2: Zoek gelijkenissen tussen de fouten Fouten met gelijkaardige verklaringsgrond? Meerdere groeperingen mogelijk Fout 1 De kans om minstens 3 keer kruis te gooien als je 5 keer een muntstuk opgooit is groter dan / even groot als / kleiner dan de kans om minstens 300 keer kruis te gooien in 500 muntstukworpen Het aantal leerlingen dat even groot kiest neemt toe met de leeftijd van 30% van de 11-jarigen tot 80% van de 17 jarigen (Fischbein & Schnarch, 1997) 2

3 Fout 2 In een lottospel moet men 6 getallen kiezen uit een totaal van 40. Peter koos 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Tine koos de getallen 39, 1, 17, 33, 8 en 27. Wie heeft het meeste kans om te winnen? 70% van de 10-jarigen, 55% van de 12-jarigen, 35% van de 14-jarigen en 22% van de 16-jarigen Tine heeft het meeste kans heeft om te winnen (Fischbein & Schnarch, 1997) Fout 3 In welke van onderstaande figuren staat de raaklijn aan de functie getekend? De lijn in figuur is mogelijk a b c d e f g Wel raaklijn 100% 87% 63% 63% 42% 40% 5% Geen raaklijn 0% 13% 37% 37% 58% 60% 95% (Biza, 2007) Fout 4 Proportionele opgave: Boer Karel heft ongeveer 4 dagen nodig om een gracht te graven rond een vierkante weide met zijden van 100m. Hoeveel dagen heeft hij ongeveer nodig om een gracht te graven rond een vierkante weide met zijden van 100m? 95% correcte antwoorden Niet-proportionele opgave Boer Gust heft ongeveer 8 uur nodig om een vierkante akker met zijden van 200m met zijn paard te ploegen. Hoeveel uur heeft hij ongeveer nodig om met zijn paard een vierkante akker met zijden van 600 meter te ploegen? 5% correct bij 12-jarigen, 12% correct bij 16-jarigen Meest gegeven foute antwoord: 24 uur (De Bock et al., 2004) 3

4 Fout 5 Els en Jurgen bakken elk een cake. Hun cakes zijn even hoog, maar de cake van Jurgen heeft een diameter van 30 cm, terwijl die van Els maar een diameter van 15 cm heeft. Els gebruikt 60 gram suiker in haar recept, en Jurgen gebruikt 120 gram suiker. Welke cake zal het zoetst smaken? 15-jarigen 16-jarigen 17-jarigen Even zoet 41% 45% 55% Jurgens cake zoeter 24% 22% 24% Els cake zoeter 35% 33% 21% (Livne, 1996) Fout 6 Hoeveel getallen liggen er tussen 0,1 en 0,2? a) geen andere getallen b) oneindig veel getallen, en ze kunnen verschillende vormen hebben (breuken, decimale getallen, ) c) oneindig veel decimale getallen d) oneindig veel breuken e) een eindig aantal decimale getallen f) een eindig aantal breuken Tussen 0,1 en 0,2 a) geen andere getallen 13% b) oneindig veel getallen, die verschillende vormen 48% kunnen hebben c) oneindig veel decimale getallen 20% d) oneindig veel breuken 2% e) een eindig aantal decimale getallen 18% f) een eindig aantal breuken 1% (Vamvakoussi, Christou, & Van Dooren, 2011) Fout 7 Hoeveel getallen liggen er tussen 3/5 en 4/5? a) geen andere getallen b) oneindig veel getallen, en ze kunnen verschillende vormen hebben (breuken, decimale getallen, ) c) oneindig veel decimale getallen d) oneindig veel breuken e) een eindig aantal decimale getallen f) een eindig aantal breuken Tussen 3/5 en 4/5 a) geen andere getallen 7% b) oneindig veel getallen, die verschillende vormen kunnen 37% hebben c) oneindig veel decimale getallen 1% d) oneindig veel breuken 21% e) een eindig aantal decimale getallen 1% f) een eindig aantal breuken 33% (Vamvakoussi, Christou, & Van Dooren, 2011) 4

5 Fout 8 Kies uit onderstaande getallen diegene waarvan je denkt dat ze gelijk kunnen zijn aan de uitdrukking. a) -4 e) -7/8 i) -2,36 b) 0 f) -0,92 j) -2 c) 2/3 g) 1 k) -7 d) 0, h) 8 i) 12 % Correcte keuzes (i.e. alle alternatieven aangeduid als mogelijk) a -b 4g a d+d+d k+3 b 67,2 % 35,2% 56,2% 57,0% 53,1% 72,7% (Van Dooren, Christou, & Vamvakoussi, in press) Fout 9 Ellen en Kim lopen rondjes op een piste. Ze lopen even snel, maar Ellen startte later. Wanneer Ellen 5 rondjes gelopen heeft, heeft Kim er 15 gelopen. Wanneer Ellen 30 rondjes gelopen heeft, hoeveel rondjes heeft Kim dan gelopen? jaar 9 jaar 10 jaar 11 jaar 12 jaar 13 jaar proportioneel correct (Van Dooren et al., 2005) Fout 10 Jan is leerkracht en analyseert de testresultaten van zijn leerlingen. Hij stelde vast dat de Pearson product moment correlatie tussen de punten voor wiskunde en voor Engels 0.52 was. De correlatie tussen de punten voor Engels en Frans was Wat kan hij zeggen over de correlatie tussen de punten voor wiskunde en Frans? a) Deze correlatie zal positief zijn b) Deze correlatie kan gelijk zijn aan 0 c) De correlatie zal groter zijn dan 0.5 d) De correlatie zal negatief zijn e) De correlatie kan tussen 1 en 1 variëren. 62% van de studenten duidden antwoordalternatief a aan. (Castro Sotos, 2009) 5

6 Fout 10 Een groep met 5 muzikanten speelt een muziekstuk in 10 minuten. Een andere groep met 35 muzikanten gaat hetzelfde muziekstuk spelen. In hoeveel minuten zal deze groep het muziekstuk spelen? jaar 8 jaar 9 jaar 10 jaar 11 jaar 12 jaar 13 jaar proportioneel correct (Van Dooren et al., 2005) Overzicht Fout 1 Fout 2 Fout 3 Fout 4 Fout 5 Fout 6 Fout 7 Fout 8 Fout 9 Fout 10 Een netwerk van theoretische kaders Intuïties in wiskunde Intuitive rules theory Misconcepties in de kansrekening Heuristisch redeneren Onterecht lineair redeneren Conceptual change theory Vraagstukken en probleemoplossen Socioculturele benadering Vraagstukken en de band met de realiteit 6

7 Wiskundige intuïties Intuïties Self-evident (behoeft geen verder bewijs) Extrapolative (gaat verder dan de zichtbare feiten ) Coercive (dringen zich op vanuit de situatie) Global (niet-analytisch, benadert de situatie als geheel) Fischbein, 1999 Primaire intuïties Ontwikkelen onafhankelijk van instructie Niet-ondersteunde voorwerpen vallen De kortste afstand tussen 2 punten is een rechte Secundaire intuïties Gevolg van formele instructie Ieder decimaal getal kan uitgedrukt worden als een breuk 20 (8a 3) > 6 (2a 1) Fischbein, 1999 INTUITIVE RULES THEORY (Stavy & Tirosh, 2000; Tirosh & Stavy, 1999a, 1999b) Gebaseerd op Fischbeins notie intuïtie Leerlingen volgen een beperkt aantal intuïtieve regels om diverse, niet-gerelateerde problemen in wiskunde en wetenschappen op te lossen baseren zich op de externe kenmerken van een taak Intuitive rules are common core to many reported apparent misconceptions Twee belangrijke regels: Meer A - meer B en Zelfde A - zelfde B 7

8 bijv. Zelfde A zelfde B Cirkels met dezelfde oppervlakte hebben dezelfde diameter (correct) Na knippen en plakken blijft dit blad papier dezelfde omtrek behouden. (niet correct) Wiskundige intuïties bestaan, zijn menselijk, en beïnvloeden probleemoplossen Interactie tussen intuïties en wiskundeleren Belemmerend Bevorderend Kunnen ontstaan / verdwijnen door onderwijs Beter onderkennen dan negeren Vraagstukken Oppervlakkige aanpak, zonder probleemanalyse, tussentijdse controle, en controle achteraf Sleutelwoordstrategieën Piet heeft 9 appels. Dat zijn er 6 meer dan An. Hoeveel heeft An er? Antwoord: = 15 Verschaffel, Greer, & De Corte,

9 Geamputeerd proces van wiskundig modelleren Vraagstukken «Vraagstukken hebben geen uitstaans met de realiteit» «Voor elk vraagstuk is een correct numeriek antwoord mogelijk» Aard van het opgavenaanbod in de klas stereotiep, levensvreemd, gesloten Onderwijs rond deze opgaven 9

10 Socioculturele benadering The activity of solving word problems and the contents of word problems in school are not the same as the same activity or contents embedded in other systems of activity in other parts of life Lave (1992, p. 89) Sociomathematical norms Cobb, Yackel & McClain (2000) Contrat didactique Brousseau (1997) 10

11 Onterecht lineair redeneren Linearity is such a suggestive property of relations that one readily yields to the seduction to deal with each numerical relation as though it were linear. (Freudenthal, 1983) Onterecht lineair redeneren Geobserveerd in diverse domeinen van wiskunde (rekenen, algebra, meetkunde, kansrekening, calculus, ) en fysica Bij leerlingen van uiteenlopende leeftijden en expertises Onterecht lineair redeneren Als een voorwerp 10 keer zo zwaar is als een ander voorwerp dan valt het ook 10 keer zo snel als dat andere voorwerp. Aristoteles most students in grades 5-8 incorrectly believe that if the sides of a figure are doubled to produce a similar figure, the area and volume will also be doubled. NCTM,

12 Een opgave uit een Portugese methode (6de leerjaar) Ellen en Kim lopen rondjes op een piste. Ze lopen even snel maar Ellen startte later. Wanneer Ellen 5 rondjes gelopen heeft, heeft Kim er 15 gelopen. Wanneer Ellen 30 rondjes gelopen heeft, hoeveel heeft Kim er dan gelopen? de 4de Correct 5de 6de 1ste S.O. Proportioneel 2de S.O. Van Dooren et al. (2005) - Er is een correct numeriek antwoord mogelijk - Eenvoudige bewerkingen vereist toch veel proportionele antwoorden! - Evolutie: parallel met onderwijsaandacht voor proportioneel redeneren 12

13 Een groep met 5 muzikanten speelt een muziekstuk in 10 minuten. Een andere groep met 35 muzikanten gaat hetzelfde muziekstuk spelen. In hoeveel minuten zal deze groep het muziekstuk spelen? de 3de 4de correct 5de 6de proportioneel 1ste 2de S.O. S.O. Van Dooren et al. (2005) - Er is een correct numeriek antwoord mogelijk - Eenvoudige bewerkingen vereist toch veel proportionele antwoorden! - Evolutie: parallel met onderwijsaandacht voor proportioneel redeneren - Sociomathematical norms Kansrekening - Complexere wiskundige situaties, moeilijker empirisch verifieerbaar - Heel wat historische fouten door wiskundigen - Veel onderzoek naar onterechte intuïties, misvattingen, (Shaughnessy, 1992; Tversky & Kahnemann, 1972) 13

14 Kansrekening: intuïties/heuristieken Representativeness heuristic - Hoe goed lijkt een steekproefresultaat op een willekeurig proces? - Elke steekproef is even representatief Kansrekening: intuïties/heuristieken At a very basic intuitive level, the two schemata share the same roots, namely an intuition called by us the intuition of relative frequency Fischbein (1975) Kansrekening: intuïties/heuristieken Kansen en verhoudingen zelfde mentale schemata 2 5!

15 Conceptual change theory Kinderen pikken vroeg informatie op diepgewortelde vooronderstellingen Kunnen leren bevorderen of hinderen - Wanneer hinderen: discontinu leren conceptual change nodig - Traag proces, met graduele vervanging/aanpassing van vooronderstellingen -Misconcepties als gevolg van instructie - synthetic models Vosniadou & Brewer, 1992 Conceptual change in wiskunde - Van gehele naar rationale getallen: Discrete vs. dichte getallenlijn (Merenluoto & Lehtinen, 2002; Vamvakoussi, 2003) Het volgende getal na 0.51 is 0.52 Tussen 2/5 en 4/5 ligt alleen nog 3/5 Er liggen meer getallen tussen 7 and 10 dan tussen 10 en 11 6x > 2y Natural number bias 15

16 Conceptual change in wiskunde - Interpreteren van algebraïsche uitdrukkingen (Christou & Vosniadou, 2010) -b kan alleen een negatief getal zijn a / b kan niet gelijk zijn aan 2, aan -3/2, aan 2.365, 4g is een veelvoud van 4 Natural number bias Conceptual change in wiskunde -Interpretatie van raaklijnen aan functie (Biza, 2007) Bedankt! De Bock, D., Van Dooren, W., Verschaffel, L. (2004). Intuïties en intuïtieve regels: Interpretatiekader voor fouten van leerlingen?. Wiskunde en Onderwijs, 30, De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., Verschaffel, L. (2003). Waarom lineariteit de leerlingen soms parten speelt: Een dieptestudie in het secundair onderwijs. Wiskunde en Onderwijs, 29, Van Dooren, W., De Bock, D., Verschaffel, L. (2002). De lineariteitsillusie bij leerlingen in het secundair onderwijs: een uitbreiding naar kansrekening. Wiskunde en Onderwijs, 28,