Praktische opdracht Wiskunde Binaire Code

Transcriptie

1 Praktische opdracht Wiskunde Binaire Code Praktische-opdracht door een scholier 2576 woorden 24 april ,6 103 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inhoudsopgave: De moderne tijd Binaire code. Grondlegger Binaire code: Verschil binaire code en continue signaal Pariteit: Bits Byte s en... Binair rekenen Ascii Registers: Opslag van bits op een harddisk De toekomst van de bit Bronvermelding Logboek De moderne tijd: In deze tijden anno 2004 is de mensheid afhankelijk geworden van computers. Computers die door middel van het binaire stelsel wiskundige berekeningen doen die tot voor kort onmogelijk waren voor de mens. Het getal Pi is tot decimalen berekend, het 40e Mersenne-priemgetal tot 6,320,430 decimalen, stellingen van newton zijn bewezen en zelfs de grote van het heelal is berekend. De mens zou zonder computers hier miljarden jaren rekenwerk aan hebben. Toch is het allemaal mogelijk dankzij het binaire stelsel dat slechts met 2 symbolen werkt. Binaire code. Onder het binaire stelsel verstaan we een code met 2 symbolen (vaak 1 of 0). Het woord code in de naam houdt de mogelijkheid in tot foutcorrectie (zie hoofdstuk Pariteit, meer gegevens meesturen in de vorm van een PAR bestand zodat corruptie wordt tegengegaan is hiervan een voorbeeld). Pagina 1 van 8

2 Er bestond voorheen al een soort binaire code in de vorm van morse. Het mindere hieraan is dat de taal niet geheel uniek was, de letter S had dezelfde toon volgorde als EEE. Al bestaat morse uit 2 symbolen --- en -, de stilte kunnen we ook als een symbool zien en dus spreken we niet geheel van een volwaardig binaire taal. Grondlegger Binaire code: Gottfried Wilhelm Leibniz heeft voor het eerst de grondslag en de mogelijkheden van het binaire stelsel beschreven in Het is zeer waarschijnlijk dat de Grieken (en andere volken) ook al weet hadden van dit stelsel, hier zijn echter geen duidelijke geschriften van gevonden. Wilhelm Leibniz filosofeerde ook over een computer gebaseerd op een binair-nummer systeem. In 1679 schrijft hij dat ondanks zijn lengte, het binaire systeem in andere woorden tellen met 0 en 1 is wetenschappelijk gezien het meest fundamentele systeem, en zal leiden tot nieuwe ontdekkingen. Wanneer nummers gereduceerd zijn tot 0 en 1, een nieuwe wereld zal dan overal komen. Leibniz heeft zijn ideeën nooit in de praktijk kunnen brengen door gebrek aan technische mogelijkheden. Pas in de 20e eeuw heeft men zijn ideeën kunnen gebruiken. Verschil binaire code en continue signaal Een groot probleem bij de ontwikkeling van de computer was de manier om gegevens op te slaan. De analoge manier (bv op tape) was beschikbaar maar erg onbetrouwbaar. Gegevens worden niet altijd goed opgeslagen, op een videoband resulteert dit slechts in mindere beeldkwaliteit maar een computer zal rekenfouten maken en derhalve onbruikbaar zijn. Een analoog signaal is ook oneindig nauwkeurig, een computer kan hier niets mee aangezien de waarde exact moet zijn om er mee te kunnen rekenen. Dit alles heeft geleid tot de ontwikkeling van discrete/digitale systemen. Analoge signalen kunnen omgezet worden naar bits. De computer kan zelf alle mogelijke getallen en letters omzetten naar bits, met eventuele foutcorrectie leidt dit tot een perfecte opslag methode. In de afbeeldingen hiernaast zijn voorbeelden van een digitaal en een analoog signaal. De eerste grafiek kan alle mogelijke waarden hebben terwijl de 2e grafiek exact is. De waarden zijn verder gedigitaliseerd, waardoor je er meer mee kan doen. Doordat je die bepaalde waarden hebt kun je veel preciezer werken. Hoe meer van die discrete waarden je hebt binnen een bepaald bereik des te beter de benadering van een continue signaal. In het meest gedigitaliseerde geval van waarde omzetten, is het binaire stelsel. Iets is dus wel of niet zo. Waar of niet waar, warm of niet warm genoeg, geladen of ongeladen etc. Je laat dus twee waarden over, en er is verder GEEN andere mogelijkheid. Pariteit: Pagina 2 van 8

3 Een groot voordeel van digitaal gegevens opslaan is de mogelijkheid tot pariteit. Gegevens kunnen gecontroleerd worden op correctheid. Een goed voorbeeld hiervan is de Audio CD. Wanneer er een deel bekrast of onleesbaar is dan kan dit nog hersteld worden door een pariteit bit. Bij een analoge cassette leidt dit meteen tot storing in het geluid. Het principe van een pariteitbit is simpel, gegevens worden opgeslagen als een hele lange rij eentjes en nullen. Is de optelsom van alle enen deelbaar door 2 dan zal de pariteitbit 0 zijn. Het getal blijft dus deelbaar door 2, wanneer de optelsom niet deelbaar is dan zal de pariteitbit 1 zijn zodat het alsnog mooi uitkomt. Wanneer de gegevens gecontroleerd moeten worden zal het enkel door 2 gedeeld worden, klopt het niet dan zijn de gegevens corrupt. In het geval van een audiocd zal de cd laser overgaan op een 2e audio spoor en merk je niks van de corrupte data. Op het world wide web is het anders geregeld, blijkt er een pakketje data corrupt dan wordt er automatisch een nieuw pakketje gestuurd. Zo wordt correctheid van gegevens gewaarborgd. Bits, Byte s en... Om alle gegevens op te slaan in een computer werd er besloten gebruik te maken van bits, bytes en registers. Een bit is de kleinste opslag mogelijkheid. Bit staat voor Binairy Digit. Een bit is de kleinste eenheid van informatie, namelijk een symbool of signaal dat twee waarden kan aannemen: aan of uit, ja of nee, hoog of laag. In het binaire talstelsel worden deze waarden gerepresenteerd met 1 en 0. Een hoeveelheid zelfinformatie bij keuze uit N mogelijke waarden kan, indien iedere waarde dezelfde kans van optreden heeft, worden uitgedrukt in bits door de logaritme op basis 2 van N te bepalen. Een byte is een groep van acht bits die samen worden gebruikt (de herkomst van het woord is het Engelse by eight dat per acht betekent). Een andere (weinig gebruikelijke) benaming van een groep van acht bits is een octet. Een byte kan 256 mogelijke waarden aannemen, want 2^8=256. Het makkelijkste is om elk teken of het nu een cijfer of letter is te coderen in één byte. Dit gaat onder andere goed met de Engelse taal wat in 1963 leidde tot het ontstaan van de (7-bits) ASCII-codering, wat vandaag de dag nog steeds de basis is van de meeste tekenrepresentaties. Ook wat moeilijkere tekens zoals é kunnen nog in een byte opgeslagen worden, door per taal/land/regio een andere codering te kiezen. Hier zijn verscheidene versies voor van de ISO Latin standaard. Alleen voor talen als het Arabisch, Chinees en Japans is het systeem onvoldoende. Daardoor krijgt Unicode een opmars, een systeem dat meerdere bytes per teken gebruikt om vrijwel alle tekens te visualiseren en te coderen die globaal gezien worden gebruikt. Maar niet alle computers gebruiken opslag in setjes van acht bits, maar soms ook 7 of 9 bit karakters gebruiken. Soms wordt hierdoor, niet correct, ook voor deze systemen over bytes gesproken. Door deze onduidelijkheid te vermijden kun je het beste gebruik maken van de term octet. Soms wordt de waarde van een byte weergegeven als twee hexadecimale cijfers en daarbij wordt de byte opgesplitst in tweemaal vier Pagina 3 van 8

4 bits en die groepen van vier heten nibbels. De afkorting van een byte is de hoofdletter B, niet te verwarren met de afkorting van bit, met de kleine letter b. 1 bit = kleinste datamogelijkheid (0 of 1) 4 bits = nibble 8 bits (2^3 bits) = byte 2 bytes (2^4 bits) = word 2 words (2^5 bits) = Double Word (DWORD) 1024 bytes (2^10 bytes) = Kilobyte (Kb) 1024 KB = Megabyte (Mb) 1024 MB = Gigabyte (Gb) 1024 GB = Terabyte (Tb) 1024 TB = Petabyte (Pb) 1024 PB = Exabyte (Eb) Traditioneel werden de SI veelvouden kilo, mega, giga, tera etc. in de computerwereld anders gebruikt dan officieel voorgeschreven. Omdat 210=1024 zo dicht bij 1000 ligt, is ooit bedacht dat een kilobyte 1024 bytes zou moeten zijn in plaats van 1000 bytes. Dit werd verwarrend toen de opslagcapaciteiten groter werden. Zo wordt met een 1.44 megabyte floppy niet een capaciteit van 1.44*1024*1024 bytes bedoeld, en ook niet 1.44*1000*1000 bytes, maar 1.44*1024*1000. Het RAM-geheugen in een computer wordt traditioneel in megabytes van 1024*1024 bytes aangegeven, maar harddisk-capaciteit wordt in gigabytes van 1000*1000*1000 bytes berekend. In 1998 is er door de IEC-organisatie besloten om deze verwarring uit de wereld te helpen door het maken van een nieuwe standaard voor binaire voorvoegsels. Sindsdien is het niet meer gewenst om de varianten van de gewone kilo, mega, giga, tera, peta en exa voorvoegsels te gebruiken. Een megabyte is dus bytes. Als men een hoeveelheid van bytes wil benoemen heet dat nu een mebibyte. Helaas kan men hierop nog niet vertrouwen omdat de nieuwe standaard nog niet uitgebreid gebruikt wordt. voorvoegsel afkorting hoeveelheid kibi Ki 210 mebi Mi 220 gibi Gi 230 tebi Ti 240 pebi Pi 250 exbi Ei 260 Alle binaire voorvoegsels zijn: Let op: de afkorting voor kibi is dus Ki met een hoofdletter K, in tegenstelling tot kilo dat met een kleine letter k wordt afgekort. Eénheden van informatie: Pagina 4 van 8

5 bit - byte - kilobyte - megabyte - gigabyte - terabyte - petabyte - exabyte - zettabyte yottabyte Binair rekenen Je hebt 10 soorten mensen; mensen die wel binair kunnen rekenen en mensen die niet binair kunnen rekenen. Dit is een grap, die wel eens onder een tje wordt gezet. De 1 betekent dan mensen die wel binair kunnen rekenen, en de 0 staat voor mensen die niet binair kunnen rekenen. Natuurlijk kun je ook rekenen in het binaire getallen stelsel, en ook van ons getallenstelsel naar binaire waarden. 153 is binair geschreven Dit getal is eigenlijk Arabisch geschreven. Het meest rechtse geplaatste eentje staat voor 2^0=1, de 1 ernaast staat voor 2^1=2, en de 1 daarnaast staat voor 2^2=4. Dus als je alle waarden van die eentjes bij elkaar optelt krijg je dus het werkelijke getal. Natuurlijk kan dit ook omgekeerd is in =45, want je doet precies het omgekeerde als we net gedaan hebben. Ook getallen na de komma kunnen worden omgezet in binair codes. 42,75 bijvoorbeeld. 0,75 is ¾ is weer ½ + ¼. Doe die 0,75 vervolgens maal 2 en je komt aan 1,5. 1,5-1 is weer een 0,5 over. 0,5 x 2=1. 1-1=0. Dan kom je dus aan twee enen achter de komma. Dus dan doen we eerst het getal voor de komma op de normale manier =0, dus ,11 is het dan binair geschreven. Binair optellen kan ook. Bijvoorbeeld plus Wat we hier gedaan hebben is heel makkelijk uit te leggen. Als je 0+0 hebt komt het totaal op 0 uit. 1+0=1, net zoals 0+1=1 is. 1+1=10, want je hebt dan het dubbele van iets, wat betekent dat je een plaats naar links moet. Binair aftrekken kan ook, laten we voor de makkelijkheid dezelfde getallen gebruiken Eigenlijk is het vrij simpel wat we gedaan hebben. 1-1=0, 1-0=1. Dit is dus gewoon hetzelfde als bij normaal aftrekken. Binair vermenigvuldigen is ook mogelijk. Ook dit werkt weer hetzelfde als normaal. Laten we als voorbeeld 2 getallen van 3 karakters nemen: 101 en x Binair delen is inderdaad ook het omgekeerde van het vermenigvuldigen. Wederom pakken we dezelfde getallen. Pagina 5 van 8

6 / 001. Bij de middelste onthoud je de 1 die niet weggestreept is voor de laatste en schuif je door naar rechts, en haal je af wat er resteert, dit was niet even groot of groter dan die 1, dus blijft die 1 staan. Alhoewel hij nu slechts 2^0=1 waard is in plaats van 2^1=2. Ascii Ascii is de manier waarop tekens zoals A, % en 8 worden verwerkt in bits. Het oude ascii systeem gaat uit van groepjes van 7 bits, dit komt uit op 2 ^ 7 = 128 tekens. Het vernieuwde ascii systeem gebruikt 8 bits en kan 256 tekens bevatten. Hieronder is een korte lijst van een aantal ascii tekens. Geheel rechts het betreffende teken, aan het teken hoort een decimaal vast dat weer via machine taal is verwerkt in 8 bits. Alle 7 bit ascii tekens ^ Decimaal Binary Ascii teken : ; < = > In totaal bestaat dit werkstuk uit karakters en komt in dit geval uit op x 8 bit = bits. Plaatjes zijn niet meegerekend. Een heleboel bitjes dus. Registers: Recht boven de memory controller bevindt zich het register Een processor bevat in de binnenkant een zeer kleine hoeveelheid aan geheugen, het register genoemd. Bij een 32 bit processor is het register ook 32 bit. In het register wordt bijgehouden waar bepaalde blokken data zich in het geheugen bevinden. Een 32 bit register kan in dit geval ook maar 4 GB aan geheugen aansturen aangezien 2 ^ 32 precies 4 GB is. Meer geheugen aan een 32 bit processor geven heeft geen zin, aangezien de computer het niet kan aansturen. Intel en AMD (processor fabrikanten) zijn de laatste jaren druk bezig geweest met de ontwikkeling van 64 bit processoren, welke 2 ^ 64 bytes aan geheugen Pagina 6 van 8

7 kunnen aansturen. Sinds november vorig jaar zijn deze processoren te koop onder de naam AMD Athlon 64 en Intel Itanium 2. Opslag van bits op een harddisk De meest gebruikte methode om data (bits) op te slaan is op een harde schijf. Een harde schijf bestaat uit een aantal schijven boven elkaar. Ze zijn vergelijkbaar met die van een floppy, alleen veel steviger. Het bovenste laagje van elke schijf is magnetisch geladen. Zoals op de foto te zien is hangt er een platter boven en onder elke schijf. Dat is een armpje met een speciale kop (head) die veranderingen kan aanbrengen aan het magnetisme op de schijf. Een harde schijf is vergelijkbaar met een LP, er is een spoor dat aan de buitenkant begint en met een cirkel beweging uiteindelijk in het midden uitkomt. Wanneer er data op de schijf opslagen wordt dan gaat de kop geheel naar buiten toe (als de schijf nog leeg is) en begint veranderingen in het magnetisme aan te brengen. De kop maakt een stukje extra magnetisch als de bit 1 moet zijn, en minder magnetisch wanneer de waarde 0 moet zijn. Uiteindelijk ontstaat zo een bijna oneindig lange keten met enen en nulletjes. Wanneer de schijf geformatteerd wordt gaat de kop snel over het gehele spoor heen en maakt alle bits 1. De data is nu vernietigt. Het is ook mogelijk de harde schijf te wissen door middel van een sterke magneet. De data is dan ook van de schijf verwijderd maar de schijf zelf zal ook onbruikbaar zijn, dit door de sterke magnetische kracht van de magneet. De toekomst van de bit Al zal de bit nog steeds hetzelfde blijven, de processoren die er mee werken worden steeds krachtiger. Met de nieuwe technologie is het voor processoren nu mogelijk getallen in het geheugen te laden met een grootte van 2 ^ 64 bit wat neerkomt op gigabyte. Voorheen was dit slechts 4 gigabyte. Ook de opslag voor de bit is flink vergroot, waren de harde schijven voorheen 6 GB, nu zijn we aanbeland bij 300 GB. En het einde is nog niet in zicht. Bronvermelding Waar gebruikt in werkstuk: Images.google.com Voor alle plaatjes Stukje over Leibniz Binaire code Continue en discreet signaal + binaire code Pariteits bit Bits & byte s verslagid=7509 Harde schijf informatie Pagina 7 van 8

8 Computer Totaal Register Logboek Datum Wie Wat Tijdsduur Tristan, Daan, Maurits Taakverdeling 20 minuten Tristan Informatie verzamelen 15 minuten Maurits Introductie maken 20 minuten Daan Grondlegger binaire getallen 25 minuten Maurits Opslag harddisk 30 minuten Maurits Verschil binaire code en continue signaal 40 minuten Tristan Bits, Bytes en minuten Daan De toekomst van de bit 20 minuten Tristan Binair rekenen 30 minuten Maurits Vervolg verschil binaire code en continue signaal 30 minuten Tristan Binair rekenen vervolg 60 minuten Maurits Binaire code 30 minuten Tristan Bits, Bytes en.vervolg 120 minuten Maurits Pariteit 120 minuten Daan Alles bij elkaar voegen+lay-out 60 minuten Pagina 8 van 8