Kwantummechanica Donderdag, 29 september 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 1 - OPLOSSINGEN

Transcriptie

1 1 Kwantummehania Donderdag, 29 september 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 1 - OPLOSSINGEN ALGEMENE VRAGEN Opgave 1: Wat is de maximum snelheid dat een deeltje kan hebben, zodat zijn kinetishe energie geshreven kan worden als 1 2 mv2 met een fout die niet groter is dan 0.5%? Oplossing: In de klassieke mehania is de relatie tussen kinetishe energie en impuls gelijk aan De relativistish orrete relatie tussen totale energie en impuls is T klassiek = 1 2 mv2 = p2 2m. (1) E 2 = p m 2 4, (2) waarbij E behalve kinetishe energie, de rustenergie m 2 bevat. Voor de kinetishe energie vinden we in dit geval [ ] T = E m 2 = m p2 m 2 2 m2 = m p2 m (3) Wiskundig Intermezzo: Stel dat f(x) geshreven kan worden als een mahtreeks, f(x) = a k x k. (4) k=0 We kunnen de oëiënten vinden door afgeleiden te nemen en vervolgens de waarde ervan te bepalen voor bijvoorbeeld x = 0. Dus f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + f (0) (0) = a 0 f (1) (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + f (1) (0) = a 1 f (2) (x) = 2a a 3 x + f (2) (0) = 2a 2 f (3) (x) = 2 3a 3 + f (3) (0) = 2 3a 3 (5) Hiermee zien we dat voor de oëiënten van de mahtreeks geldt We kunnen de mahtreeks dan ook shrijven als f(x) = a k = f (k) (0). (6) k! a k x k = k=0 k=0 f (k) (0) x k. (7) k! Indien x dus niet al te groot is, kunnen we 1 + x (zie vergelijking (3)) in een reeks ontwikkelen en vinden 1 + x 1 + x 2 x (8)

2 2 Het is illustratief om te zien wat er gebeurt als we enkel de eerste twee termen invullen in vergelijking (3). [ ] [ ] T = m p2 m m p2 2m = p2 2m. (9) We zien dat de eerste twee termen overeenkomen met de niet-relativistishe uitdrukking, gegeven in vergelijking (1). De termen met k 2 vormen een relativistishe orretie. De derde term geeft een orretie ter grootte De relatieve orretie bedraagt T = m 2 1 ( ) p m 2 2 = p4 8m 3 2. (10) T T p4 8m 3 2 / p2 2m = De relativistishe uitdrukking voor de impuls is gelijk aan p2 4m 2 2. (11) 1 p = γmv met γ =. (12) 1 v2 2 Indien de afwijking minder dan 0.5 % moet zijn, dient te gelden p 2 4m m2 v 2 = m = (13) 1 v v 2 Uitshrijven levert de onditie v , met de lihtsnelheid. Opgave 2: Bereken de impuls van een 12.0 MeV foton. Oplossing: Tussen energie en impuls geldt de relatie E 2 = p m 2 4. (14) Deze relatie is relativistish orret, waarbij E de rustenergie m 2 bevat. Fotonen zijn massaloos, m = 0, en er geldt dus E = p. We vinden hiermee p = 12.0 MeV = ( ev) ( ) C m/s = kg m/s. (15) Opgave 3: Bereken de frequentie van een foton dat geprodueerd wordt als een elektron met 20 kev tot stilstand wordt gebraht in een botsing met een zware kern. Oplossing: In dit geval wordt de volledige kinetishe energie van het elektron omgezet in foton energie, E foton = hν = T elektron. Gegeven is dat T elektron = 20 kev = ( ev) ( C) = J. We vinden voor de frequentie van het foton Merk op dat de bijbehorende golengte gelijk is aan ν = E h = J Js = Hz. (16) λ = ν = m/s = nm. (17) Hz

3 3 Dit proes heet in de natuurkunde Bremstrahlung en wordt bijvoorbeeld gebruikt voor het opwekken van Röntgenstraling in ziekenhuizen. Meer informatie is te vinden op de volgende website, Opgave 4: Bepaal de maximum golengte van een foton dat een molekuul kan separeren waarvan de bindingsenergie 15 ev is. Oplossing: Moleulen zijn opgebouwd uit atomen. Als we extern voldoende energie toevoegen, meer dan de bindingsenergie van het moleuul, dan kunnen we moleulen weer opbreken. Deze energie kan bijvoorbeeld worden overgebraht met fotonen. In het voorbeeld geldt E foton E binding = 15 ev = hν. Hiermee vinden we voor de frequentie ν = E h = (15 ev) ( C) Js De bijbehorende golengte gelijk is aan = Hz. (18) λ = ν = m/s Hz = m. (19) Opgave 5: Monohromatish liht met een golengte van 3000 Å valt loodreht op een oppervlak van 4 m 2. Als de intensiteit van het liht W/m 2 is, bepaal dan het aantal fotonen dat per seonde het oppervlak raakt. Oplossing: Monohromatish liht is liht met één speieke golengte, in dit geval 3000 Å. De golengte is dus λ = (3000) (10 10 m) = m. Hiermee vinden we voor de frequentie ν = λ = m/s m = Hz. (20) De energie per foton bedraagt E = hν = ( Js) ( Hz) = J. Het liht valt loodreht op een oppervlak van A = 4 m 2 = m 2 met een intensiteit van W/m 2. Dit betekent dat het vermogen P = IA = ( W/m 2 ) ( m 2 ) = J/s is. Het aantal fotonen dat per seonde het oppervlak raakt is dus gelijk aan Ṅ = P E = J/s J = s 1. (21) Opgave 6: Een radiostation werkt bij een frequentie van MHz met een vermogen van 200 kw. Bepaal het aantal fotonen dat door dit station wordt uitgezonden. Oplossing: De frequentie bedraagt ν = Hz. De energie van een dergelijk foton is E = hν = ( Js) ( Hz) = J. Het vermogen bedraagt P = J/s. Door dit station wordt per seonde fotonen uitgezonden. Ṅ = P E = J/s J = s 1 (22) FOTO-ELEKTRISCH EFFECT Opgave 7: Beshouw een kalium oppervlak dat 75 m verwijderd is van een 100 W lamp. Neem aan dat de energie die door de lamp als liht wordt uitgezonden 5 % van het vermogen

4 4 is. Behandel elk kaliumatoom als een irkelvormige shijf met een diameter van 1 Å en bepaal de tijd die nodig voor elk atoom om een hoeveelheid liht te absorberen die gelijk is aan zijn werkfuntie van 2.0 ev, in overeenstemming met de golnterpretatie van liht. Oplossing: Elk kaliumatoom heeft een eetief oppervlak van A atoom = π 4 d2 = ( π 4 ) (10 10 m 2 ) = m 2. De lamp zendt per seonde een lihtenergie uit van P = ɛp lamp = W = 5 J/s = (5 J/s)/( C) = ev/s. Dit liht wordt in alle rihtingen uitgezonden en slehts een fratie ervan bereikt het kaliumatoom, A atoom P kaliumatoom = P = ( ev/s)( m 2 ) A bol met straal 0.75 m 4π(0.75 m) 2 = ev/s. (23) 2.0 ev Bij een werkfuntie van 2.0 ev duurt het dus gemiddeld t = ev/s = 58 s voordat voldoende liht geabsorbeerd is om een elektron uit te zenden, INDIEN WE DE KLASSIEKE FYSICA HANTEREN. Een dergelijke vertraging is nooit waargenomen! Opgave 8: Als een fotoelektrish experiment wordt uitgevoerd met alium als emitter, dan worden de volgende stoppotentialen gevonden: 1.95 V bij een golengte van 2535 Å, 0.98 V bij 3122 Å, 0.50 V bij 3650 Å en 0.14 V bij 4047 Å. Bereken uit deze data de onstante van Plank. Als eerste verzamelen we nu de meetgegevens in een graek, gegeven in Fig. 1. De graek geeft Figuur 1: Fotoelektrish eet: de stoppotentiaal is uitgezet als funtie van de frequentie van het invallende liht. een weergave van de relatie ev 0 = hν φ = h φ. (24) λ Vergelijken met het lineair verband y = ax + b leert dat we de onstante van Plank kunnen bepalen uit de helling van de data. Deze helling kan bijvoorbeeld gevonden worden met de kleinste-kwadraten methode en het resultaat is weergegeven door de lijn in Fig. 1. We bepalen de helling en vinden a = ev/hz. We dienen dit te vermenigvuldigen met de lading van het elektron, q = e = C en vinden Js, hetgeen in redelijke overeenstemming is met de standaardwaarde h = Js.

5 5 Opgave 9: De emitter is een foto-elektrishe buis heeft een drempelgolengte van 6000 Å. Bepaal de golengte van het invallende liht als de stoppotentiaal voor dit liht 2.5 V is. Oplossing: De drempelgolengte orrespondeert met die golengte van straling waarbij er elektronen worden vrijgemaakt. De energie van die straling orrespondeert dan met de werkfuntie. De frequentie volgt uit ν = λ = m/s m = Hz. De werkfuntie van het materiaal is dan φ = hν = ( Js)( Hz) = J. Met e = C vinden we dan φ = J/ = 2.07 ev. Vervolgens valt er liht op de fotobuis, waarbij er een stoppotentiaal van V 0 = 2.5 V nodig is. De frequentie van die straling is dan hν = φ + ev 0 ν = φ + ev 0 h = ( ) ( C) Js De bijbehorende golengte is λ = /ν = m/s/ Hz = 272 nm. = Hz. (25) Opgave 10: Kalium wordt beshenen met ultraviolet liht met een golengte van 2500 Å. Als de werkfuntie van kalium 2.21 ev is, wat is dan de maximum kinetishe energie van de uitgezonden elektronen? Oplossing: Er geldt hν = φ + ev 0, waarbij φ = 2.21 ev is. De frequentie volgt uit ν = λ = m/s m = Hz. Voor de maximum kinetishe energie vinden we dan ev 0 = hν φ = ( Js)( Hz) ( C)(2.21 ev) = J. (26) Dit is gelijk aan J/ C = 2.75 ev. COMPTONVERSTROOIING Opgave 11: Leidt de Comptonvergelijking λ λ = h m 0 (1 os θ) af. Oplossing: We kunnen de uitdrukking voor λ aeiden door energie- en impulsbehoud te ombineren. We beshouwen Compton verstrooiing als een elastishe botsing; zie Fig. 2. Voor Figuur 2: Compton verstrooiing van een foton aan een elektron kan worden beshouwd als een elastishe botsing. energiebehoud geldt hν = hν + T e, (27) waarbij T e de kinetishe energie van het over een hoek θ teruggestoten elektron voorstelt. Behoud van impuls geeft hν = hν os φ + p os θ x omponent (28)

6 6 en hν sin φ = p sin θ y omponent (29) met p de impuls van het verstrooide elektron. Vervolgens kwadrateren we beide vergelijkingen. ( ) hν 2 hν os φ = p 2 os 2 θ (30) en ( ) hν 2 sin 2 φ = p 2 sin 2 θ. (31) We tellen nu beide vergelijkingen op en vinden ( hν ) 2 ( 2hνhν 2 ) os φ + ( ) hν 2 os 2 φ = p 2 os 2 θ (32) en ( ) hν 2 sin 2 φ = p 2 sin 2 θ. (33) Omdat sin 2 φ + os 2 φ = 1 = sin 2 θ + os 2 θ vinden we ( hν ) 2 ( 2hνhν 2 ) os φ + ( ) hν 2 = p 2. (34) Voor het elektron hebben we E 2 = p (m 2 ) 2 en als T e de kinetishe energie is, dan geldt of (T e + m 2 ) 2 = 2 p 2 + (m 2 ) 2 T 2 e + 2T e m 2 = 2 p 2 (35) T 2 e 2 + 2T em = p 2. (36) Voor T e gebruiken we vergelijking (27) en voor p 2 vergelijking (34) en vinden en en dus ( ) hν 2 ( ) hν hν + 2m hν = ( hν ( ) hν m hν = hν ) 2 ( ) hν ( hν ) ( hν ) os φ (37) hν (1 os φ) (38) 1 hν / 1 hν/ = 1 (1 os φ) (39) m Er geldt ν = λ en hν = λ h = λ h. We vermenigvuldigen met h en vinden λ = λ λ = h (1 os φ), (40) m waarbij h m = m de zogenaamde Compton golengte is. Opgave 12: Een Röntgenstraal met een golengte van Å ondergaat een Comptonverstrooiing over 60. Vindt de golengte van het verstrooide foton en de energie van het elektron dat na de verstrooiing wordt uitgezonden.

7 7 Oplossing: De golengte van het verstrooide foton volgt uit λ = λ λ = h (1 os φ), (41) m waarbij λ = m en h m = m. Omdat φ = 60 geldt (1 os 60 ) = 0.5 en vinden we λ = λ + h m (1 os φ) = m m 0.5 = m. (42) De kinetishe energie van het elektron, T e, volgt uit de wet van behoud van energie, hν = hν + T e T e = h (ν ν ). We vinden T e = h ( ν ν ) ( 1 = h λ 1 ) λ. (43) Invullen levert ( ) T e = ( Js)( m/s) m = J. (44) m Dit komt overeen met T e = 1.6 kev. Opgave 13: Een Röntgenfoton van 0.3 MeV ondergaat een frontale botsing met een elektron in rust. Gebruik de wetten van behoud van energie en impuls om de snelheid van het teruggestoten elektron te vinden. Oplossing: Met een frontale botsing wordt bedoeld dat φ = 180 en dus geldt (1 os 180 ) = 2. Een Röntgenfoton van 0.3 MeV heeft een energie van E = ( )( ) = J. Hiermee orrespondeert een frequentie van ν = E/h = J/ Js = Hz en een golengte van λ = /ν = m/s/ Hz = m. De golengte van het verstrooide foton is λ = λ + h m (1 os φ) = m m 2 = m. (45) De energie van het verstrooide foton is dan E = hν = h λ = ( Js)( m/s) = J = 137 kev. (46) m We vinden nu voor de kinetishe energie van het elektron T e = h(ν ν ) = J J = J = 163 kev. (47) De impuls van het elektron volgt uit De rustenergie van een elektron bedraagt E 2 = (T e + m e 2 ) 2 = p m 2 4. (48) m e 2 = ( kg)( m/s) 2 = J = 511 kev. (49) Voor de totale energie van het elektron vinden we dan E = T e + m e 2 = J J = J = 674 kev. De impuls volgt nu uit E p = 2 (m 2 ) 2 ( = 13 J) 2 ( J) 2 ( m/s) 2 = kg m/s. (50)

8 8 De snelheid volgt uit een relativistishe uitdrukking, v = 2 p E v = kg m/s J Dit orrespondeert met 65 % van de lihtsnelheid. = m/s. (51) WATERSTOFATOOM Opgave 14: Bepaal de golengten van waterstof die in het optishe spetrum (3800 Å tot 7700 Å) liggen. Oplossing: Voor de golengten van de lijnen in het waterstofspetrum geldt ( 1 1 λ = R l 2 1 ) u 2 λ = 1 l 2 u 2 R u 2 l 2. (52) met u = 1, 2, en l = 1, 2, quantumgetallen. Verder is R = nm 1 de Rydberg onstante. Merk op dat R 1 = 91 nm. We zien dus dat er geen golengten van zihtbaar liht orresponderen met overgangen van aangeslagen toestanden, u = 2, 3,, naar de grondtoestand met l = 1. Zihtbaar zijn wel overgangen naar de eerste aangeslagen toestand, met l = 2. Bijvoorbeeld u = 3 λ 3 2 = 656 nm wel u = 4 λ 4 2 = 485 nm wel u = 5 λ 5 2 = 433 nm wel u = 6 λ 6 2 = 410 nm wel u = 7 λ 7 2 = 396 nm wel u = 8 λ 8 2 = 388 nm wel u = 9 λ 9 2 = 381 nm wel u = 10 λ 10 2 = 379 nm niet. (53) Toestanden met l 3 zijn niet zihtbaar. OPGAVEN SET HOOFDSTUK 2 DE BROGLIE Opgave 1: Bepaal de versnelspanning die nodig is om een elektron een de Broglie-golengte van 1 Å te geven. Dit orrespondeert met de grootte van de inter-atoomafstanden van een kristal. Oplossing: De kinetishe energie van het elektron is gelijk aan de elektrostatishe energie, p 2 = ev, (54) 2m met p, m en e respetievelijk de impuls, massa en lading van het elektron. De versnelspanning wordt gerepresenteerd door V. De de Broglie golengte λ staat met de impuls in verband volgens p = h λ, (55)

9 9 met h de onstante van Plank. Hiermee vinden we voor de versnelspanning V = p2 2me = = h 2 2m λ 2 e (6, Js) 2 2 (9, kg) (10 10 m) 2 (1, C) = 151 V. (56) Merk op dat de kinetishe energie van 151 ev klein is ten opzihte van de massa van het elektron, m = 511 kev, en dat het gebruik van de niet-relativistishe uitdrukking voor de kinetishe energie dus gerehtvaardigd is. Opgave 2: Bereken de de Broglie-golengte van een thermish neutron met een energie van 0.05 ev. Oplossing: De kinetishe energie van een zogenaamd thermish neutron wordt gegeven door 3 2 kt, met k de onstante van Boltzmann en T de temperatuur. We zien dat een energie van 0,05 ev overeen komt met een temperatuur van T = 2E 3k 2 (0, 05 ev) = 3k = 2 (0, 05 ev) (1, C) 2 (1, JK 1 ) = 387 K. (57) We berekenen allereerst de energie van dit neutron. Er geldt Er geldt voor de impuls p 2 2m n = E n = 0, 05 ev = (0, 05 ev) (1, C) = 8, J. (58) p = 2m n E n = 2 (1, kg) (8, J) = 5, kg m/s. (59) Voor de de Broglie golengte vinden we λ = h p = 6, Js 5, kg m/s = 1, m. (60) Opgave 3: Bereken de energie van een proton met een golengte van 0.5 fm (1 fm = m = 10 5 Å = 1 fermi). Oplossing: De impuls van het proton wordt gegeven door p = h λ = 6, Js 0, m = 1, kg m/s. (61)

10 10 De totale energie (inlusief rustenergie) volgt uit en dus E 2 = p m 2 p 4 E = p m 2 p 4 (62) E = (1, kg m/s) 2 ( m/s) 2 + (1, kg) 2 ( m/s) 4 = 4, J. De totale energie is dus (63) E = (4, J) , C = MeV (64) en hiervan is = MeV de kinetishe energie (938 MeV orrespondeert met de rustenergie van het proton - E rust = m p 2 ). Opgave 4: Als je een objet wilt observeren dat 2.5 Å groot is, wat is dan de minimum energie van het foton dat gebruikt kan worden? Oplossing: Het oplossend vermogen van een mirosoop volgt uit de onzekerheidsrelatie x p h. (65) Er geldt x k 2π. Het verband tussen impuls en golfgetal is p = k en dus geldt p = k. Invullen levert weer vergelijking (65). We hebben nu x = 2, m. Teneinde dit objet te kunnen observeren hebben we deeltjes met een minimum impuls nodig van p = h x = 6, Js 2, m = 2, kg m/s. (66) De energie van het foton volgt uit E = p = (2, kg m/s) ( m/s) = 7, J. (67) Dit komt overeen met E = 7, J 1, = 4, 96 kev. (68) C Opgave 5: Bereken opgave 4 nogmaals, maar nu voor elektronen in plaats van fotonen. Oplossing: Voor elektronen geldt ook weer dat De bijbehorende energie volgt uit p = h x = 2, kg m/s. (69) E = ( p)2 2m = (2, kg m/s) 2 2 (9, kg) = 3, J. (70) Dit komt overeen met E = 3, J 1, = 24 ev. (71) C

11 11 Opgave 6: Thermishe neutronen vallen in op een NaCl (zout) kristal (interatomaire afstand 2.81 Å). De neutronen ondergaan eerste-orde diratie aan de Braggvlakken onder een hoek van 20. Wat is de energie van deze neutronen? Oplossing: Voor Braggse diratie geldt de relatie 2d sin θ = nλ, (72) met d de roosteronstante van het kristal, θ de diratiehoek en n de orde van diratie. Voor eerste-orde diratie geldt dat n = 1. Invullen levert voor de golengte, λ = 2d sin θ = 2 (2, m) sin 20 = 1, m. (73) De impuls van de neutronen is dan p = h λ = 6, Js 1, m = 3, kg m/s. (74) De kinetishe energie van deze neutronen bedraagt E n = p2 = (3, kg m/s) 2 2m n 2 (1, kg) = 3, J. (75) Dit komt overeen met E = 3, J 1, C = 0, 022 ev. (76) Opgave 7: Bepaal de interatomaire afstand voor een NaCl kristal als de dihtheid van NaCl gelijk is aan kg/m 3 en de atoomgewihten voor natrium en hloor gelijk zijn aan en 35.46, respetievelijk. Oplossing: Om deze vraag te kunnen beantwoorden, dienen we het kristalrooster van NaCl te begrijpen. Zoals guur 3 toont, zijn er diverse kristalroosters. Het rooster van NaCl is kubish. Het atoomgewiht van NaCl bedraagt Figuur 3: Overziht van diverse kristalroosters. M NaCl = 23, , 46 = 58, 46. (77)

12 12 Figuur 4: Het rooster van NaCl. We zien dat de 8 moleulen die zih op de hoekpunten bevinden, onderdeel zijn van 8 ellen. Verder zijn de 6 moleulen in het midden van de zijvlakken, onderdeel van 6 ellen. Dit betekent dat 58,46 gram van het zout, N A = 6, NaCl moleulen bevat. Hierbij is N A het getal van Avogadro. Figuur 4 toont dat NaCl een kubish kristalrooster heeft, waarbij de eenheidsel een ribbe heeft met lengte 2d, waarbij d de gezohte roosteronstante is. Er bevinden zih 8 moleulen (in feite Cl-ionen) op de hoekpunten van de eenheidsel. Ehter, elk van deze moleulen is onderdeel van 8 zulke kubussen. Deze moleulen tellen dus voor (8 1 8 ) = 1. Verder heeft de eenheidskubus nog 6 moleulen die zih in het entrum van de zijvlakken bevinden. Elk van deze moleulen wordt door 2 kubussen gedeeld. Deze moleulen tellen dus voor (6 1 2 ) = 3. We vinden hiermee dat de eenheidsel een dihtheid heeft van ρ kubus = massa van ( = =) 4 NaCl moleulen elvolume = (2d) 3 58, 46 4 amu = 8d 3 = 58, 46 (1, kg) 2d 3 = 9, kg 2d 3, (78) met d de roosteronstante. De dihtheid van de kubus dient gelijk te zijn aan de dihtheid van

13 13 NaCl en we vinden voor de roosteronstante d = 3 9, kg 2 (2, kg/m 3 ) = 2, m. (79) Opgave 8: Bepaal de fotonux van een bundel monohromatish liht met een golengte van 3000 Å en een intensiteit van W/m 2. Oplossing: De fotonux is het aantal fotonen per oppervlakte- en per tijdeenheid. De energie van een foton met een golengte van Å bedraagt E = hν = h λ = (6, Js) ( m/s) 3, = 6, J. (80) m De fotonux die overeenkomt met een intensiteit van W/m 2 bedraagt Ṅ = W/m 2 6, J = 4, Hz/m 2. (81)