kinematische vergelijkingen constitutieve vergelijkingen evenwichtsvergelijkingen Figuur 1. Indeling van de vergelijkingen voor een constructiemodel

Transcriptie

1 . Lineair of niet-lineair Modellen van constructiedelen maken vrijwel altijd onderscheid in drie groepen vergelijkingen: kinematische vergelijkingen, constitutieve vergelijkingen en evenwichtsvergelijkingen (zie figuur ). De kinematische vergelijkingen geven het verband tussen verplaatsingen en rekken of tussen verplaatsingen en gegeneraliseerde verplaatsingen zoals kromming. Constitutieve relaties geven het verband tussen rekken en spanningen of tussen gegeneraliseerde verplaatsingen en snedekrachten. Evenwichtsvergelijkingen geven het verband tussen spanningen en snedekrachten, tussen snedekrachten en knoopkrachten of het verband tussen knoopkrachten en belastingen. kinematische vergelijkingen constitutieve vergelijkingen evenwichtsvergelijkingen verplaatsingen rekken spanningen belasting Figuur. Indeling van de vergelijkingen voor een constructiemodel De pijlen in figuur geven de volgorde aan waarin de grootheden vrijwel altijd worden berekend in moderne software. Uit de verplaatsingen worden de rekken berekend, uit de rekken worden de spanningen berekend en uit de spanningen wordt de belasting berekend. Deze volgorde staat bekend als de verplaatsingsmethode. De omgekeerde volgorde heet de krachtenmethode. De krachtenmethode is veel moeilijker te programmeren en wordt daarom alleen voor handberekeningen gebruikt. In het algemeen geldt dat een vergelijking (x) lineair in x is als het de volgende twee eigenschappen heeft: ax ( ) ax ( ) x ( x) x ( ) x ( ) Hierin is a een scalar., x, x en x kunnen zowel scalars als vectoren zijn. Een constructiemodel is fsisch niet-lineair als één van de constitutieve vergelijkingen niet lineair is. Een model is geometrisch niet-lineair als één van de kinematische of één van de evenwichtsvergelijkingen niet-lineair is. l n u u u ux u x x Figuur. Rek van een vakwerkkabel l o o o ux x

2 De eigenschappen van een lineair model zijn bijzonder handig voor het combineren van belastinggevallen. Dit wordt superponeren genoemd (het zelfstandig naamwoord is superpositie). We kunnen bijvoorbeeld, eerst de computer de statische respons laten uitrekenen tengevolge van eigengewicht en die tengevolge van windbelasting. Vervolgens kunnen we de respons van de gecombineerde belasting eenvoudig met de hand uitrekenen. Daartoe vermenigvuldigen we de respons ten gevolge van het eigengewicht met de belastingfactor voor het eigengewicht en tellen daarbij op de respons ten gevolge van de windbelasting vermenigvuldigd met de belastingfactor voor de windbelasting. Het belangrijkste nadeel van een niet-lineair model is derhalve dat we niet kunnen superponeren. De belastingcombinaties moeten worden vastgesteld voordat we het constructiegedrag kunnen simuleren. Berekening van een kabel Als voorbeeld bekijken we hoe een computerprogramma de knooppuntkrachten van een kabel in een tweedimensionaal vakwerk berekent. In een vakwerk nemen we aan dat de staven en kabels met perfecte scharnieren aan elkaar zijn verbonden. Voor de eenvoud zijn hierbij de uitwendige belasting op de staven en kabels en ook het eigengewicht niet in rekening gebracht. Belasting kan wel worden aangebracht op de knopen van een geassembleerd vakwerk. In dit voorbeeld is voorspanning ook buiten beschouwing gelaten. In de linker kolom van tabel staat de berekening van de rek met lineaire kinematische vergelijkingen. Dit resultaat is alleen nauwkeurig als de rotatie van de kabel klein is. Als de rotatie wel groot kan worden moet de rek exact berekend worden. Dit is staat in de rechter kolom aangegeven. De exacte vergelijkingen zijn niet-lineair in de knoopverplaatsingen. Namelijk, een vergroting van u x, u, ux en u met een willekeurige factor, bijvoorbeeld, geeft vergroting van de rek met een andere factor dan. kinematische vergelijkingen constitutieve vergelijking evenwichtsvergelijkingen Lineair lo ( x x) ( ) x cos x o lo cos o lo u ux coso ucoso u ux coso ucoso u u lo N EA F F F F x x Ncoso Ncoso Ncos Ncos Tabel. Berekening van een vakwerkkabel o o niet-lineair l ( x x ) ( ) o ( ) ( ) ( ) ( ) l x u x u u u n x x l n l l o o 0 als 0 N EA als 0r r 0 als r ( x u ) ( ) cos x x u x n ln ( u) ( u) cosn ln F x Ncosn F Ncosn F x Ncosn F Ncosn

3 De kabel zal zich lineair gedragen bij een kleine trekkracht N. Bij toenemende trekkracht zullen steeds meer strengen breken zodat de stijfheid afneemt. Uiteindelijk breekt de gehele kabel. Bij een verkorting zal de kabel uitbuigen zodat geen drukkracht optreedt (figuur 3, tabel ). N r N EA r Figuur 3. Constitutieve relatie van een vakwerkkabel Bij het opstellen van de lineaire evenwichtsvergelijkingen wordt uitgegaan van de onverplaatste kabel (figuur 4). Dit is alleen nauwkeurig als de rotatie van de kabel klein is. Bij de exacte evenwichtsvergelijkingen wordt uitgegaan van de vervormde kabel. De laatstgenoemde vergelijkingen zijn niet lineair in de knoopverplaatsingen (tabel ). F F x N u l n n n F N o ux o F u x l o ux. Enkele materiaalmodellen x Figuur 4. Knoopkrachten van een vakwerkkabel Zoals hierboven is uitgelegd geven constitutieve vergelijkingen vaak de relatie tussen rekken en spanningen in een materiaal. Deze relatie kunnen we vaststellen met experimenten. Als voorbeeld laat figuur 5 een trekproef zien op een proefstuk van beton []. In figuur 6 is de hierbij gemeten spanning uitgezet tegen de opgelegde rek. Tevens is in deze figuur een wiskundige functie getekend die de gemeten relatie goed beschrijft. De parameters a, b en c in deze functie zijn berekend door een computerprogramma voor curve fitting [3]. De functie is een empirisch fenomenologisch model van het materiaalgedrag. Empirisch betekent gebaseerd op experimenten. Fenomenologisch betekent dat niet wordt gekeken naar de onderliggende mechanismen, zoals de krachten tussen de zandkorrels en het verharde cement. Vele wetenschappers houden zich bezig met het opstellen van modellen voor allerlei materialen. Een materiaalmodel kan eenvoudig zijn maar ook bijzonder ingewikkeld. De ingewikkeldste modellen worden x x 3

4 eigenlijk alleen begrepen door de wetenschappers die ze hebben ontwikkeld. De betrouwbaarheid van een model wordt aangetoond door uitgebreide vergelijking met experimenten..6.4 spanning [MPa] Experiment Functie rek [] expa a74,8 b0,0 c6,0 bc Figuur 5. Trekproef op een betonnen proefstuk Figuur 6. Spanning en rek in het proefstuk van figuur 5 [] Bij het maken van een constructiemodel moeten we materiaalmodellen kiezen. Deze keuze volgt uit een afweging tussen enerzijds de toepassing van de berekeningen en de gewenste nauwkeurigheid en anderzijds de tijd en kennis die beschikbaar is om het model te gebruiken. In gespecialiseerde simulatieprogramma s hoeven we alleen de materiaalkwaliteiten in te voeren. De details van de materiaalmodellen worden door het programma bepaald. Bijvoorbeeld in het programma ATENA hoeven we alleen de kubusdruksterkte van het beton op te geven [0]. De software bepaald hieruit de treksterkte, breukenergie, tension-stiffening, enzovoort. Algemeen toepasbare eindige-elementenprogramma s zijn daarentegen nog niet zo gebruiksvriendelijk. Bij deze programma s is voor het kiezen van modelparameters enige kennis van het gewenste materiaalmodel nodig. Spanningen en rekken We kunnen het materiaal van een constructiedeel opgebouwd denken uit een groot aantal bijzonder kleine kubusjes. We beschouwen één van deze kubusjes. Het is zodanig klein dat de spanning bij benadering constant is over elk van de vlakken. De spanningstoestand van dit materiaalkubusje wordt vastgelegd met een met 6 getallen, xx,, zz, z, zx, x. In figuur 7 zijn deze spanningscomponenten afzonderlijk getekend. De vervormingstoestand wordt ook vastgelegd met 6 getallen, xx,, zz, z, zx, x (figuur 8). De precieze definities zijn eigenlijk niet van belang zijn voor dit hoofdstuk. Voor de volledigheid zijn ze toch kort vermeld in tabel. Hierin is u x de verplaatsing van een materiaalpunt in de x- richting en ux, de afgeleide van deze verplaatsing in de -richting. Verder is de massadichtheid en f x de volumekracht in de x-richting door bijvoorbeeld gravitatie, traagheid en magnetisme. Als beton gescheurd is draagt het nog steeds bij aan de stijfheid van een getrokken wapeningsstaaf. Dit wordt tensionstiffening genoemd. 4

5 zz xx z zx x z x Figuur 7. Spanningen in een elementair kubusje van een materiaal [5] zz xx x z zx z x Figuur 8. Rekken in een elementair kubusje van een materiaal [5] Het is mogelijk om de richting van een blokje zodanig te kiezen dat geen schuifspanningen op haar vlakken werken (figuur 9). De normaalspanningen, en 3 die op deze vlakken werken worden hoofdspanningen genoemd. De hoofdspanningen zijn de eigenwaarden van de matrix xx x zx x z zx z zz De bijbehorende eigenvectoren zijn de richtingsvectoren van de vlakjes waarop de hoofdspanningen werken. Ook kan de richting van een blokje zodanig worden gekozen dat geen afschuifreken optreden. De normaalrekken in dit blokje worden de hoofdrekken, en 3 genoemd. De hoofdrekken zijn eigenwaarden van de matrix 5

6 xx x zx x z zx z zz De bijbehorende eigenvectoren zijn de richtingsvectoren van de vlakjes van dit blokje. Eigenwaarden en eigenvectoren kunnen eenvoudig worden berekend met wiskundige sofware [3]. De bovenstaande matrices voor spanningen en rekken zijn tensoren van de tweede orde. Tensoren zijn fsische grootheden met bijzondere wiskundige eigenschappen voor transformatie naar een ander assenstelsel. De welbekende cirkel van Mohr is een grafische representatie van de transformatie van een tensor van de tweede orde. 3 3 z x Figuur 9. Hoofdspanningen en hoofdrekken Als op twee overstaande vlakken van een elementaire kubusje geen spanningen werken dan spreekt men van een vlakke spanningstoestand. Bijvoorbeeld zz z zx 0. Als twee overstaande vlakken van een elementaire kubusje niet ten opzichte van elkaar verplaatsen dan spreekt men van een vlakke vervormingstoestand. Bijvoorbeeld zz z zx 0. Lineair materiaalgedrag, de wet van Hooke Het eenvoudigste materiaalmodel dat we kennen werd geformuleerd door Robert Hooke in 660 [4]. Zoals gebruikelijk in die tijd schreef hij zijn ontdekking neer in het Latijn: UT TENSIO, SIC VIS. (Als de verlenging, zo is de kracht.) Wiskundig formuleren we dit als volgt voor een materiaal dat in alle richtingen dezelfde eigenschappen heeft (isotroop). E 3 3 Hierin is E de elasticiteitsmodulus en de dwarscontractiecoëfficiënt. Voor dit materiaal geldt dat de hoofdrekken en hoofdspanningen dezelfde richting hebben (co-axiaal). Hiermee kunnen we de spanningen en rekken uitdrukken in x-, - en z-richting. xx xx zz zz z E ( ) 0 0 z zx ( ) 0 zx x ( ) x 6

7 kinematische vergelijkingen constitutieve vergelijkingen evewichtsvergelijkingen lineair xx ux, x u, zz uz, z z uz, u, z zx ux, z uz, x x u, x ux, wet van Hooke 0 xx, xxx, zxx, fx 0 x,, z, f 0 zx, z z, z zz, z fz niet lineair xxuxx, ( u xx, ux, uzx, ) u, ( u x, u, uz, ) zz uz, z ( u x, z u, z uz, z ) zuz, uz, ux, uxz, u, uz, uz, uzz, zxuxz, uzx, uxz, uxx, uz, ux, uzz, uzx, xux, ux, uxx, ux, ux, u, uz, xuz, x uxx, u, z uz, z xx xx zz zz A z o z zx zx x x 0 xx, xxx, zxx, fx 0 x,, z, f 0 zx, z z, z zz, z fz x u, x uz, x u, xuz, x xuz, x xu, x ux, uz, uz, uz, ux, u x, uxz, uz, z zuz, zuxz, uz, u A xz, ux, ux, z u, z zuz, z u, zuz, zux, ux, zuz, ux, z ux, u, z xux, z u, xu, z zuz, x zu, x uz, uzx, z xuxz, uzx, xuz, uxz, ux, xux, u, x uz, xuz, uz, x u, xuz, xuz, uz, xux, x ux, u, x Tabel. Vergelijkingen voor een elementair kubusje van een materiaal Er bestaan vele verschijningsvormen van de wet van Hooke. Zo wordt in plaats van E en ook gebruik E gemaakt van de compressiemodulus K 3( ) en de glijdingsmodulus E G. In de dnamica ( ) wordt vaak gebruik gemaakt van de constanten van Lamé ve ( )( ) en E ( ) vaak de volgende definitie gebruikt z z, zx zx en x xwelke een eenvoudige tensornotatie mogelijk maakt. In de verplaatsingsmethode wordt de inverse formulering gebruikt.. Ook wordt 7

8 0 0 0 xx xx zz E zz ( )( ) 0 0 z z zx 0 zx x x Een materiaal is homogeen als de eigenschappen van plaats tot plaats hetzelfde zijn. Een materiaal dat niet homogeen is wordt inhomogeen genoemd. Zoals hierboven geschreven is een materiaal isotroop als de eigenschappen hetzelfde zijn voor elke richting. Voor wat betreft de mechanische eigenschappen zijn vele materialen met een goede benadering isotroop [5]. Als een materiaal niet isotroop is wordt het anisotroop of aeolotroop genoemd. Als een materiaal verschillende eigenschappen heeft in onderling loodrechte richtingen dan heet het orthotroop. Bijvoorbeeld hout is een orthotroop materiaal (tabel 3). E G Constructiestaal MPa 0,8 0,30 Ongescheurd beton, kortdurende belasting MPa 0,0 0,0 Hout, in de vezelrichting MPa 0,3 0, MPa Hout, loodrecht op de vezelrichting MPa 0,37 0, MPa Droog zand Rubber 50 MPa 0,50 Tabel 3. Lineaire eigenschappen van enkele materialen Voor een orthotroop materiaal kunnen de volgende constitutieve vergelijkingen worden afgeleid. De materiaalrichtingen zijn l, r en t. De vergelijkingen bevatten 9 onafhankelijke materiaalparameters. De inverse relatie hiervan is niet vermeld omdat deze niet kort kan worden opgeschreven. Het is handiger als de software de inverse numeriek berekent. lr lt El El E l lr rt ll El Er Er ll rr lt rt rr tt El Er Et tt rt rt tl Grt tl lr lr Gtl Glr Niet-lineair materiaalgedrag Een materiaal wordt elastisch genoemd als het na het aanbrengen en vervolgens weer wegnemen van een belasting zijn oorspronkelijke vorm weer aanneemt. Meer precies gesteld; voor een elastisch materiaal U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Wood handbook - Wood as an engineering material, Forest Products Laborator, 999, 8

9 bestaat een éénduidig verband tussen spanningen en vervormingen. Dus bij één bepaalde vervorming behoort precies één spanningstoestand [5]. Dit gaat vanzelfsprekend alleen op voor niet te grote belastingen. Merk op dat het lineaire materiaalmodel ook elastisch is. Ook als in het werkelijke materiaal duidelijk beschadiging of vloei optreedt kan een elastisch model toch nog goed bruikbaar zijn indien de rekken alleen maar toenemen gedurende een simulatie. Dit is het geval bij een statische belasting waarbij weinig herverdeling optreedt. Een voorbeeld is het model voor gewapend beton wat hieronder wordt behandeld (MCFT). Bij grote cclische of dnamische belastingen zoals bij aardbevingen is een elastisch model onbruikbaar. Een materiaal is instantaan als het zonder vertraging reageert op een spanning. Een materiaal kruipt als de rek geleidelijk toeneemt bij gelijkblijvende spanning. Een materiaal relaxeert als de spanningen geleidelijk afnemen bij gelijkblijvende rek. Krimp, kruip en relaxatie worden tezamen aangeduid met het reologisch gedrag van een materiaal. Gewapend beton, MCFT De modified compression field theor (MCFT) is waarschijnlijk het meest gebruikte model voor gewapend beton [7]. Het is ontwikkeld door Frank Vecchio en Michael Collins. Het wordt gebruikt voor een vlakke spanningstoestand en statische belasting. Het model is niet-lineair elastisch. Het is niet geschikt voor berekening van ductiliteit. xx () sx xx () s (4) xx c x c x (3) xx x Figuur. Structuur van de MCFT Figuur 3. Rekken in gewapend beton De invoer van het materiaalmodel bestaat uit de rekken in xx, en x (figuur ). De elementaire lengte waarover de rekken worden berekend is ongeveer gelijk aan de scheurafstand (figuur 3). Hierdoor wordt de gelokaliseerde vervorming in de scheuren als het ware uitgesmeerd over het oppervlak. Uit de rekken worden in stap de hoofdrekken en en de hoofdspanningsrichting bepaald. De vergelijkingen hiervoor kunnen worden afgeleid met de cirkel van Mohr. ( xx ) x ( xx r) ( xx r) xx r cos sin r x r Wapeningstaven zijn aanwezig in de x en -richting. In stap wordt de spanning in de wapening berekend (figuur 4). Deze spanning kunnen we interpreteren als een gemiddelde over de lengte van de wapening. Verstevigen, breken en uitknikken van de wapening is niet gemodelleerd. 9

10 s E s als s () Es als als u Es Figuur 4. Spanningsrekdiagram van het wapeningsstaal in de MCFT E s elasticiteitsmodulus vloeispanning In stap 3 worden de hoofdspanningen in het beton berekend (figuur 5). De vergelijkingen zijn experimenteel bepaald uit proeven op 30 gewapend betonnen panelen. Het gedrag van het gedrukte beton wordt beschreven met een parabool. De druksterkte c max wordt gereduceerd door de rek t in de dwarsrichting. Het gedrag van het getrokken beton is lineair totdat het scheurt. In het beton tussen de scheuren treedt trekspanning op omdat het wordt uitgerekt door de wapening (tension-stiffening). Daarom treedt ook na scheuren in het beton een gemiddelde spanning op. De hoofdspanningsrichting is gelijk aan de hoofdrekrichting (co-axialiteit). c, 0 als c f 'c cr cr, cmin als 0,, c c c c(, t) fcr 0,4 als 0 cr cr 0, t = 0,0 E c elasticiteitsmodulus, f c druksterkte (negatieve waarde) f treksterkte cr Figuur 5. Spanningsrekdiagram van beton in de MCFT f ' c fcr 00, f c cmin f, 0,8 0,34 t c, c als cr,, f c c f cr cr Ec Ec In stap 4 wordt eerst het evenwicht in de scheuren gecontroleerd. Voor het krachtenevenwicht in een scheur geldt c ( )sin ( )( cos ) x sx s. Als de gemiddelde betonspanning c te hoog is om hieraan te voldoen wordt deze gereduceerd. De betonspanningen worden vervolgens getransformeerd naar het x- assenstelsel (cirkel van Mohr). abcos cxx abcos c bsin cx a ( cc) b ( cc) De spanningen in het staal en het beton worden tenslotte gemiddeld. 0

11 xx x cxx xsx c s x cx Hierin zijn x en de wapeningspercentages in de x- en -richting respectievelijk. Staal profielen Interactiediagrammen van staalprofielen laten zien voor welke combinaties van de normaalkracht N en het moment M de doorsnede vloeit. Voor een rechthoekige doorsnede kunnen de vergelijking van figuur 8 worden afgeleid. Zolang een combinatie van N en M zich in het elastische gebied bevindt treedt geen vloei op in de doorsnede. Zodra de combinatie het elastoplastische gebied in gaat, zal de uiterste vezel in de doorsnede vloeien. Als de combinatie de vloeigrens raakt, vloeien alle vezels in de doorsnede. De combinatie kan langs de vloeigrens gaan en ook weer ontlasten. Als het profiel volledig ontlast is blijven restspanningen in de doorsnede achter. De stippellijn in de figuur geeft een mogelijk belastingpad voor een doorsnede. M M p M N vloeigrens M p N p h elastoplastisch gebied elastisch gebied N N p 3 M M p N N p Figuur 8. Interactiediagram van een rechthoekige doorsnede b Np bh Mp bh 4 Voor een rechthoekige doorsnede kan ook het verband tussen de kromming en het moment M worden afgeleid [0]. Hierin is e de kromming waarbij de uiterste vezels juist vloeien. De functie is getekend in figuur 8b. M,0 0,0 N M p 0, N p 0,4 0,8 0,6 0,4 0,6 0,8 e Eh 0, 0,9 0, e Figuur 8b. Relatie tussen kromming en moment M voor een rechthoekige doorsnede.

12 De geldende vergelijkingen voor een I-profiel zijn vermeld in figuur 9. Deze vergelijkingen kunnen niet analtisch worden opgelost maar het interactiediagram kan wel worden getekend. Figuur 0 laat dit zien voor verschillende doorsnede-afmetingen. De rechthoekige doorsnede blijkt een bovengrens te zijn. h f f l h h b A Doorsnedeoppervlak I Traagheidsmoment W Weerstandsmoment Vloeispanning N p Plastische normaalkracht M p Plastisch moment Plaats van de neutrale lijn M N A hb( h f)( bl) 3 3 I l( h f) [ bf bf( h) ] I W h N A p Mp fb( h f) l( h f) l( h f) b( f h) als 0 f h N l( ) h als f h bh( hh) als 0 f h M fb ( ) ( ) ( ) als h f l h f hh f f h Figuur 9. Vergelijkingen voor plastische vloei van de doorsnede van een I-profiel Voor een dunwandig rond buisprofiel kunnen de vergelijkingen wel worden opgelost. Het resultaat is M N sin M p N p Hierin zijn N M p p td td t is de wanddikte en d is de diameter van de buis. is ook getekend in figuur 0. is de vloeispanning van het buismateriaal. Deze relatie Dwarskracht speelt ook een rol in de capaciteit van staalprofielen. Echter, meestal is deze invloed gering.

13 3,0,0 0 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0, 0, p M M p N N /6 /0 b h f h l h /4 /30 /40 b h f h l h 0 0 f l / /6 / b h f h l h l b Figuur 0. Interactiediagrammen voor verschillende smmetrische profielen

14 3. Werking van simulatiesoftware voor constructies Een constructiemodel bestaat uit elementen. Elk element heeft een aantal knooppunten waarmee het met andere elementen verbonden kan worden. Een verbinding noemen we een knoop. Ter plaatse van een knoop zijn de verplaatsingen en soms ook de rotaties van de verbonden elementen gelijk. De elementkrachten en uitwendige krachten op een knoop moeten in evenwicht zijn. Een veel gebruikte methode voor de wiskundige formulering van een element is de verplaatsingsmethode. Hierbij wordt over het element een verplaatsingsveld aangenomen dat eenduidig is bepaald door de verplaatsingen en soms ook rotaties van zijn knooppunten. Dit verplaatsingsveld is een benadering van het werkelijke verplaatsingsveld. De verplaatsingen en rotaties worden vrijheidsgraden genoemd. Veel elementen hebben de prettige eigenschap dat bij verfijning van de elementenverdeling het constructiemodel nauwkeuriger wordt. In elk fsisch niet-lineair element zitten een aantal integratiepunten, ook wel Gauss-punten genaamd. In deze punten wordt het materiaalmodel toegepast om de spanningen te berekenen. De spanningen in de rest van het element worden berekend door extrapolatie. Figuur 50. Van constructiedeel naar elementen. Van element naar integratiepunten Soms is het handig om een aantal elementen samen te voegen. De software kan nu de inwendige knopen verwijderen zodat alleen de randknopen overblijven (substructuring). Een dergelijke groep van element wordt een superelement genoemd. Bijvoorbeeld een prefab gevelpaneel kan worden gemodelleerd met één superelement. Een model van een gebouw kan worden samengesteld uit vele van deze superelementen. Een nadeel van superelementen is dat ze lineair moeten zijn en dat spanningen in het superelement niet kunnen worden berekend. Met een constructief elementenmodel kunnen onder meer de volgende berekeningen worden uitgevoerd. Statische simulatie Knikberekening Dnamische simulatie Eigenfrequentieberekening Modaalanalse of harmonische berekening De belasting en de respons vinden langzaam plaats. Hierdoor spelen tijd, versnellingen, en massatraagheid geen rol in het model. Als belasting kunnen uitwendige krachten en opgelegde verplaatsingen in één stap of stapsgewijs worden aangebracht. De belasting kan tevens worden gekoppeld aan een aspect van de respons. Het model is lineair en heeft een perfecte vorm. Berekend wordt de knikbelasting en de knikvorm. Deze berekening is het meest algemeen heeft geen beperkingen. Veranderingen kunnen zowel snel als langzaam plaatsvinden. Het model kan zowel fsisch als geometrisch nietlineair zijn. Echter, de rekentijd kan groot zijn waardoor het eigenlijk alleen voor verschijnselen van voorbijgaande aard wordt gebruikt. Vandaar dat in het Engels deze berekening vaak wordt aangeduid met transient analsis. Een toepassingsvoorbeeld is een constructie onder aardbevingsbelasting. Het model is lineair en de opgelegde krachten zijn alle gelijk nul. Berekend worden de eigenfrequenties en bijbehorende vervormingen. Het model is lineair, de belasting is sinusvormig. Berekend wordt de stationaire respons na het uitdempen van de inschakelverschijnselen. 4

15 Algemeen toepasbare eindige-elementenprogramma s kunnen naast constructieve berekeningen ook andere berekeningen maken. Bijvoorbeeld temperatuurverdeling, elektrisch veld, magnetisch veld en vloeistof stromen. Soms gebruikt een model meerdere van deze vakgebieden. Bijvoorbeeld het klotsen van vloeistof in een opslagtank tijdens een aardbeving. Hierbij is er interactie tussen vloeistofmechanica en constructiemechanica. Echter, vaak kunnen de vakgebieden worden ontkoppeld. Bijvoorbeeld in een waterkrachtcentrale wordt water gestuwd door pijpen die gevat zijn in gewapend beton. Door de lage temperatuur en hoge druk van het water spelen zowel temperatuureffecten als constructieve aspecten een rol. Echter, de invloed van de spanning op de temperatuur is zeer klein. Daarom kunnen we volstaan met eerst uitrekenen van de temperatuurverdeling en nadien deze invoeren als belasting in een statische berekening. Statisch, niet-lineaire constructieberekeningen worden het meest uitgevoerd. Daarom wordt het hierbij gebruikte algoritme behandeld in de rest van dit hoofdstuk. Verplaatsingen en krachten Met de verplaatsingen en soms ook rotaties van de knooppunten van een element kunnen de knooppuntkrachten worden berekend die werken op het element. Dit kan worden gezien als een black box (zie figuur 9). Bij het bouwen van sofware kan deze black box worden uitgevoerd als een subroutine, een procedure of een object. Invoer zijn de knooppuntverplaatsingen en uitvoer zijn de knooppuntkrachten. invoer knooppuntverplaatsingen element gedrag uitvoer knooppuntkrachten Figuur 9. Knooppuntverplaatsingen worden gebruikt om knooppuntkrachten te berekenen. Als een model wordt gemaakt van een constructie worden de knooppunten van de elementen verbonden met knopen. Daardoor worden de verplaatsingen van verbonden knooppunten gelijk en worden de knooppuntkrachten opgeteld om een resulterende knoopkracht te geven. Zoals figuur 93 laat zien verkrijgen we hiermee een ander black box met als invoer knoopverplaatsingen en als uitvoer knoopkrachten. Deze routine is het belangrijke onderdeel van de meeste software voor niet-lineaire statische constructieberekeningen. De knoopverplaatsingen worden ondergebracht in een vector u en worden vaak aangeduid als vrijheidgraden. In deze tekst zullen we ze inwendige verplaatsingen noemen. De knoopkrachten worden ondergebracht in een vector f i die we de inwendige krachtenvector noemen. invoer inwendige knoopverplaatsingen u model gedrag uitvoer inwendige knoopkrachten f i Figuur 93. Knoopverplaatsing worden gebruikt om de knoopkrachten te berekenen. De belasting op het model kan bestaan uit opgelegde krachten, opgelegde verplaatsingen, materiaalkrimp, voorspanning, temperatuur enzovoort. De ondersteuning van het model bestaat uit opgelegde verplaatsingen wat eigenlijk ook een belastinggeval is. Deze tekst is beperkt tot krachten en verplaatsingen maar elke soort belasting kan woorden verwerkt ofwel analoog aan een opgelegde verplaatsing ofwel aan opgelegde krachten. 5

16 knoop inwendige knoopkracht inwendige knoopverplaatsing onbalans opgelegde knoopkracht gaping opgelegde knoopverplaatsing Figuur 94. Constructiemodel met verplaatsingen en krachten. Merk op dat individuele elementen niet getekend zijn. In een knoop moet de verplaatsing overeenkomen met een opgelegde verplaatsing of moet de kracht overeenkomen met een opgelegde kracht. De gapingen en onbalansen worden vergroot in elke belastingstap en verkleind in elke iteratie. Figuur 94 laat een model zien met knoopkrachten een knoopverplaatsingen. (De figuur is nogal abstract maar we kunnen ons ook een bepaalde constructie voorstellen ergens in de ruimte.) In de figuur zijn de inwendige knoopkrachten en een opgelegde knoopkracht getekend. De inwendige krachten worden berekend zoals hierboven uitgelegd en de opgelegde krachten volgen uit de belasting. In velen knopen zullen de opgelegde krachten gewoon nul zijn. Een aantal knopen zullen geen opgelegde krachten hebben maar een opgelegde verplaatsing. Ook de opgelegde verplaatsingen zullen vaak gewoon nul zijn. Veronderstel dat er een verschil is tussen de opgelegde grootheden (krachten en verplaatsingen) en de inwendige grootheden. Het verschil tussen een inwendige knoopverplaatsing en een opgelegde knoopverplaatsing wordt een gaping genoemd. Het verschil tussen een inwendige kracht en een opgelegde knoopkracht wordt een onbalans genoemd. Vanzelfsprekend zouden de gapingen en onbalansen gelijk aan nul moeten zijn. Wiskundige formulering Wiskundig kunnen we het voorgaande als volgt schrijven fi( u) f uu( ) f f( ). Hierin is f i de inwendige krachtenvector als functie van de vector u met inwendige knoopverplaatsingen. f is een vector met de opgelegde knoopkrachten. Zowel u als f hangen af van een belastingfactor. Bijvoorbeeld: 0 0 a u u4 u5 u6 f f f f3 0 b c In de linker vector zijn de eerste twee verplaatsingen opgelegd gelijk aan nul. De derde verplaatsing is opgelegd gelijk a. De verplaatsingen u 4, u 5 en u 6 moeten worden berekend. In de rechter vector moeten de krachten f, f en f 3 worden berekend terwijl de overgebleven krachten zijn voorgeschreven ter grootte van 0, b and c, respectievelijk. Niet-lineaire algoritme Veronderstel dat het model bepaalde knoopverplaatsingen u heeft en belast is. Veronderstel tevens dat er gapingen en onbalansen aanwezig zijn. Blijkbaar zijn de verplaatsingen niet juist omdat de gapingen en onbalansen eigenlijk gelijk aan nul moeten zijn. De computer kan de juiste knoopverplaatsingen niet direct berekenen omdat de vergelijkingen niet-lineair zijn. De computer kan wel een verbeterde schatting maken van de knoopverplaatsingen. 6

17 De verbeterde knoopverplaatsingen worden berekend door het model lineariseren. De gapingen en onbalansen worden aangebracht als belasting op dit gelineariseerde model. De verplaatsingen van het gelineariseerde model worden vervolgens berekend met de bekende verplaatsingsmethode: Assembleer de globale stijfheidsmatrix, verwerk de opleggingen en los de onbekende verplaatsingen op ten gevolge van de belasting. Deze verplaatsingen worden vervolgens toegevoegd aan de inwendige knoopverplaatsingen de reeds aanwezig waren. De nieuwe inwendige knoopkrachten worden berekend en, als alles goed gaat, zullen de gapingen en onbalansen kleiner zijn dan voordien. Wiskundig wordt dit als volgt geformuleerd. fi fi( u) d u K ( f fi ) unew udu Hierin is K de tangentstijfheidsmatrix van het model en du de correctie van de inwendige knoopverplaatsingen. De inverse van de stijfheidsmatrix wordt niet werkelijk berekend omdat dit numeriek inefficiënt zou zijn. De notatie beschrijft alleen dat het stelsel van vergelijking wordt opgelost. Merk op dat de gapingen verwerkt moeten worden in de stijfheidsmatrix voordat du kan worden opgelost. In het algemeen sluiten de gapingen zich niet volledig vanwege numerieke onnauwkeurigheden en de onbalansen worden niet volledig opgeheven omdat het model zich niet werkelijk lineair gedraagt. De overgebleven gapingen en onbalansen worden gereduceerd in een volgende iteratie. Dit wordt herhaald totdat ze voldoende klein zijn. Om het volledige constructieve gedrag te berekenen wordt de belastingfactor vergroot in opeenvolgende stappen. In elke stap zal het bovenstaande algoritme de inwendige knoopverplaatsingen aanpassen in een aantal iteraties om de belasting zo goed mogelijk bij te houden. Aldus volgt het model de belasting zonder dat het deze ooit precies bereikt. Het complete algoritme is afgebeeld in figuur 96. Belastinggestuurd Een simpele methode van belasten is het vergroten van de belastingfactor in stappen met een constant grootte voor elke stap. Dit is voldoende in de meeste situaties. Echter, wanneer de constructiesterkte is uitgeput, is het model misschien niet in staat om de verschillen te sluiten. In plaats van kleiner, worden de gapingen of onbalansen groter in elke iteratie. Dit wordt aangeduid met divergentie. Vanzelfsprekend wordt geen oplossing gevonden in deze situatie en is het waarschijnlijk dat het model is bezweken. Als we willen zien wat gebeurt na de topbelasting kan de belasting niet ongehinderd worden aangebracht. Daarvoor in de plaats moeten we kijken wat het model aan kan. Misschien is het model beschadigd en in plaats van vergroten van de belasting moet het worden verkleind. Dus niet de belastingfactor moet worden gestuurd maar een ander aspect van het model moet in stappen worden vergroot. We kunnen bijvoorbeeld de grootste inwendige knoopverplaatsing vergroten met een constante waarde in elke stap. Ook kan de rek in een bepaald punt, de wijdte van een bepaalde scheur of de vormveranderingsenergie van het model worden vergroot in elke belastingstap. Goede ervaringen zijn opgedaan met booglengte sturing. Hierbij wordt de algehele verplaatsing van het model constant gehouden in elke belastingstap van de berekening. Dit kan worden geformuleerd als l T u u Hierin is l de constante booglengte en u de vergroting van de inwendige knoopverplaatsingen in een belastingstap. Met een handige benadering kan dit worden gebruikt om een uitdrukking af te leiden voor het belastingincrement welke nu niet constant is [9]. Het numerieke algoritme is afgebeeld in figuur 96. 7

18 : 0 u: 0 voor iedere belastingstap : 0. f: f( ) fi: fi( u) u: K ( f fi ) voor iedere evenwichtsiteratie fi: fi( uu) du: K ( f fi ) u: udu u: uu : : 0 u: 0 voor iedere belastingstap : 0. f: f( ) fi: fi( u) u: K ( f fi ) voor iedere evenwichtsiteratie fi: fi( uu) dui: K ( f( ) fi) f duii : K ( ) T u du : I T u duii du: dui duii u: udu u: uu : Figuur 96. Algoritme voor berekening van het gedrag van een niet-lineair model. Links het belastinggestuurde algoritme en rechts het booglengte gestuurde algoritme. Convergentie criterium Om de evenwichtsiteraties te beëindigen is een criterium nodig. De meeste simulatieprogramma s geven een aantal mogelijkheden. Het convergentiecriterium bepaald de nauwkeurigheid van de oplossing en mede de rekentijd. Bovendien kan een onnauwkeurige berekening in een stap divergentie veroorzaken in de volgende stap. Overigens is het convergentiecriterium niet opgenomen in figuur 96. Stijfheidsmatrix In het beschreven algoritme speelt de stijfheidsmatrix K een ondergeschikte rol. Deze wordt namelijk slechts gebruikt om een betere schatting te maken voor de inwendige knoopverplaatsingen. Dit is opvallend omdat in de lineaire berekening de stijfheidsmatrix wel een essentiële rol speelt. In het niet-lineaire algorithme hoeft de stijfheidsmatrix niet nauwkeurig te worden berekend omdat de afwijking in opvolgende iteraties ongedaan wordt gemaakt. In veel eindige-elementenprogramma's kan de gebruiker kiezen hoe de stijfheidsmatrix wordt berekend. Een onnauwkeurige stijfheidsmatrix wordt snel berekend maar de berekening heeft dan meer iteraties nodig voor voldoende convergentie. De keuze van de stijfheidsmatrix heeft gevolgen voor de rekentijd en soms voor het al dan niet convergeren van een berekening. Als in iedere iteratie de tangentstijfheidsmatrix nauwkeurig wordt berekend dan spreekt men van Newton-Raphson method. Als de stijfheidsmatix alleen wordt berekend aan het begin van de belastingstap dan spreekt men van modified Newton-Raphson method. Als de stijfheidmatrix alleen wordt berekend aan het begin van de simulatie dan spreekt men van initial stiffness method. Vele varianten hierop worden toegepast. Welke methode het snelste is hangt af van de situatie. Vaak voldoet de standaardinstelling van de software. 8

19 belasting tangentstijfheid initiële stijfheid secantstijfheid verplaatsing Figuur 97. Verschillende stijfheden Raamwerken Bij de geometrisch niet-lineaire berekening van raamwerken wordt vaak een ander algoritme gebruikt dan hierboven is beschreven. Tweede-orde-effect in de evenwichtsvergelijking van een raamwerkelement kan dan namelijk eenvoudig in de stijfheidsmatrix worden verwerkt. De software begint de berekening met de lineaire stijfheidsmatrix en bepaald de staafkrachten. Vervolgens wordt de stijfheidsmatrix verbeterd en worden de staafkrachten opnieuw bepaald. Dit wordt een paar keer herhaald totdat de staafkrachten nauwelijks meer veranderen. Dit algoritme wordt wel de secantmethode genoemd. Hieronder wordt de afleiding van de secantstijfheidsmatrix samengevat []. d w Kinematische vergelijking dx Constitutieve vergelijking M EI d w d M Evenwichtsvergelijking N 0 dx dx Hieruit volgt ( ) 0 ( ) l ( ) 0 ( ) l F EA EA w l 0 0 l 0 P EI EI v T l ( ) l 0 l F. smmetrisch ( ) 0 ( ) l w P v EA l 0 T EI l In deze secantstijfheidsmatrix is EI is de buigstijfheid van het element, EA is de rekstijfheid en l de lengte van het element. De matrix hangt met name af van de kracht P. Als P 0 dan reduceert de matrix tot de lineaire stijfheidsmatrix van een raamwerkelement. 9

20 0 als P 0 Pl 4 EI als 0 P EI l 4 EI als P l sin lim ( cos ) sin 0 sin cos ( cos ) sin lim 4 0 l T P v T v w w F F Figuur 98. Raamwerkelement P 4. Voorbeelden van niet-lineair constructiegedrag Aan de hand van twee voorbeeldconstructies wordt niet-lineair gedrag bestudeerd. Een boogspant van staal en een vloer van gewapend beton. Statisch belast boogspant We beschouwen het boogspant getekend in figuur 00 [8]. De overspanning van het spant is 5a. Elke staaf heeft dezelfde buigstijfheid EI. Het plastisch moment van elke doorsnede is gelijk aan M p EI 5a en is derhalve onafhankelijk van de normaalkracht in een staaf. De staven ondergaan geen axiale vervorming. De belasting is F. De verticale verplaatsing van knoop 3 wordt als karakteristieke verplaatsing u gekozen. Het spant wordt op zes manieren gemodelleerd om de eigenschappen van verschillende idealisaties te bestuderen. a 3 a F 0F F u 0F 3 4 0F F 5 0F F a a a a a 6 Figuur 00. Afmetingen en belasting van het boogspant Model A: Ten eerste wordt een lineair model gemaakt van de constructie met een raamwerkprogramma. d w Zoals gebruikelijk is het programma gebaseerd op de kinematische relatie is, de constitutieve dx d M relatie is M EI en de evenwichtsrelatie is f. Hierin is x de co-ordinaat langs een element, w dx de verplaatsing loodrecht op het element, de kromming, M het moment in de doorsnede en f de verdeelde belasting loodrecht op het element. In dit voorbeeld is de verdeelde belasting f gelijk nul. De berekende verplaatsingen, momenten en normaalkrachten zijn getekend in figuur 0. De karakteristieke verplaatsing 3 bedraagt u 0,555 Fa EI. 0

21 Model B: Vervolgens wordt star-plastisch materiaalgedrag gekozen. De kinematische en evenwichtsvergelijkingen zijn lineair. Deze berekening kan met de hand worden uitgevoerd middels virtuele arbeid of direct met de evenwichtsvergelijkingen. Het spant is drievoudig statisch onbepaald en derhalve zijn vier scharnieren nodig om een plastisch mechanisme te vormen. De berekende momentenlijn is getekend in figuur 0. De plastische bezwijklast bedraagt F p M 30 p. 47 a De verplaatsingen van dit model zijn onbepaald. Opvallend in dit voorbeeld is dat de plastische scharnieren optreden op andere plaatsen dan we uit het vorige model zouden verwachten. 0,555,9 0,68 Fa * 3 EI 0,33-0,90 -,05,97 * Fa -3,5 -,6-5,8-8,3-3,0 * F Figuur 0. Verplaatsingen, momenten en normaalkrachten in het lineaire model van de boog,00 0,8,00-0,84 M -,00 * p -,00 Figuur 0. Momentenlijn in het star-plastische model van de boog Model C: We kiezen opnieuw star-plastisch materiaalgedrag. De evenwichtsvergelijkingen worden opgesteld in de vervormde toestand en zijn derhalve afhankelijk van de karakteristieke verplaatsing u. (Dit wordt vaak aangeduid als tweede-orde-effect of P--effect.) Het model is dus zowel fsisch als geometrisch

22 niet-lineair. Om de berekening met de hand te kunnen uitvoeren zijn de evenwichtsvergelijkingen vereenvoudigd met Talor-ontwikkelingen van de tweede orde in u. De berekende plastische bezwijklast is F p M 7 30 p a u. a a u Model D: Voor berekening van de kniklast wordt de belasting aangepast zodanig dat geen momenten in de boog optreden en de normaalkrachten hetzelfde zijn als in de lineaire berekening. De berekening wordt met een computerprogramma uitgevoerd. 3 De berekende kniklast is Fk 0, 077 EI a. De knikvorm is getekend in figuur 03. De grootte van de uitbuiging is onbepaald. Figuur 03. Knikvorm van het boogspant 0,07 Fa EI D kniklast 0,06 A lineair E geometrisch niet-lineair 0,05 0,04 B star-plastisch en geometrisch lineair 0,03 C star-plastisch en geometrisch niet-lineair 0,0 F elasto-plastisch en geometrisch niet-lineair 0,0 u a 0 0,004 0,008 0,0 0,06 0,00 Figuur 04. Overzicht van het gedrag van de zes modellen 3 Het maken van knikberekeningen wordt beschreven in TU dictaat [6] van de literatuurlijst.

23 Model E: We kiezen de kinematische vergelijking en het materiaalgedrag lineair. De evenwichtsvergelijking d w d M is niet lineair N f waarin N de normaalkracht in de doorsnede is (zie ook bladzijde 9). Een dx dx niet-lineair raamwerkprogramma berekend de respons iteratief [7]. De verplaatsing is geplot in figuur 04. Model F: We kiezen de kinematische vergelijking lineair. De evenwichtsvergelijking is niet-lineair als in het vorige model. Het materiaalgedrag is elasto-plastisch. Het plastisch moment is onafhankelijk van de normaalkracht in een staaf. Het materiaal verstevigt niet. De berekeningen worden uitgevoerd door een raamwerkprogramma dat geschikt is voor niet-lineaire berekeningen [7]. Figuur 04 geeft een overzicht van de respons van de modellen. De belangrijkste conclusie die uit dit voorbeeld kan worden getrokken is dat niet-lineaire aspecten een belangrijke invloed hebben op het gedrag van het boogspant. Verwaarlozen van één of meerdere aspecten kan een belangrijke overschatting geven van de draagkracht en een onderschatting van de verplaatsingen. In de dit voorbeeld is geen rekening gehouden met materiaal- en belastingsfactoren, initiële vervormingen en initiële spanningen. Vloer van gewapend beton We beschouwen een vierkante plaat met een lengte a en breedte van a = 8 m (figuur 05). De vloer is aan alle zijden scharnierend opgelegd en in het midden scharnierend ondersteund. De dikte t is 300 mm, de betondruksterkte is 5 MPa en de treksterkte van de wapening is 500 MPa. De onderwapening heeft een doorsnedeoppervlakte van 460 mm²/m in beide richtingen. Ter plaatse van de inklemming is de bovenwapening 030 mm²/m. De dekking plus halve staafdiameter bedraagt 40 mm. a a elementenverdeling a a vloeilijnenpatroon A x A p u doorsnede A-A u Figuur 05. Vloer van gewapend beton. Model A: Ten eerste beschouwen we een lineair eindige-elementenmodel. We kiezen de Kirchhoff theorie en normale plaatbuigelementen. Het net bestaat uit 30 elementen in de x-richting en 5 elementen in de - richting. De wapening wordt verwaarloosd waardoor de plaat isotroop is. De berekende doorbuiging u in het midden van de halve plaat bedraagt u,93 pa D 4 3

24 waarin D de plaatstijfheid is. Model B: In figuur 05 is ook een vloeilijnenpatroon getekend. Volgens het bovengrenstheorema van Prager [] bedraagt de plastische bezwijklast van de vloer Model C: Opnieuw beschouwen we het eindige-elementenmodel van de vloer. Geometrisch niet-lineair en fsisch lineair. Hierdoor kan boogwerking en membraanwerking in de plaat optreden. Model D: Tenslotte kiezen we zowel fsisch als geometrisch niet-lineair gedrag. Hiermee wordt dus het werkelijke gedrag van de vloer gemodelleerd zo goed als dat mogelijk is met een plaattheorie. Deze berekening is uitgevoerd met een eindige-elementenprogramma. Figuur 06. 4