Vraagstuk 1 (18 minuten, 2 punten)

Transcriptie

1 P.C.J. Hoogenboom OPMERKINGEN : Het tentamen bestaat uit 4 bladzijden. : Alle studiemateriaal en aantekeningen mogen tijdens het tentamen worden geraadpleegd. : Na afloop kunt u de uitwerking vinden op Vraagstuk 1 (18 minuten, punten) Een groot stalen raamwerk is lineair elastisch berekend met de eindige-elementenmethode voor een groot aantal belastingcombinaties. Het blijkt dat aan alle unity-checks voor de uiterste grenstoestand is voldaan. Echter, temperatuurspanningen zijn nog niet gecontroleerd omdat dit niet is voorgeschreven door de geldende norm. Het is algemeen bekend dat lokale opwarming of afkoeling kan leiden tot grote spanningen in statisch onbepaalde constructies. Daarom zijn vervolgens ook een aantal belastinggevallen met lokale opwarming ingevoerd en nieuwe belastingcombinaties voor de uiterste grenstoestand lineair elastisch doorgerekend. Hieruit bleek dat de constructie toch niet voldeed en zijn zwaardere constructiedelen en verbindingen gekozen. a Geef twee situaties waarbij temperatuurbelasting in rekening moet worden gebracht. b Verklaar hoe het kan dat in veel normen is verzuimd om temperatuurbelastingen voor de uiterste grenstoestand voor te schrijven. Vraagstuk (18 minuten, punten) Een stalen raamwerk wordt belast door een verdeelde belasting q en een bewegende puntlast F (Fig. 1). Het raamwerk is lineair-elastisch berekend met een elementenprogramma voor alle posities van de belasting. Het programma heeft het raamwerk ook gedimensioneerd. Het plastisch moment van de hele ligger is M pl = 700 knm. Het plastisch moment van de kolomen is M pk = 400 knm. Veiligheidsfactoren zijn al verwerkt in de waarden van de belasting en de plastische momenten. Controleer de ligger voor bezwijken op buiging met een handberekening volgens het ondergrenstheorema of het bovengrenstheorema (niet allebei). Geef daarbij aan volgens welk theorema de controle is uitgevoerd. (Maak niet alleen het sommetje maar schrijf ook een paar regels tekst met uw gedachtestappen.) 1

2 q = 10 kn/m F = 00 kn M pl = 700 knm M pk = 400 knm Figuur 1. Stalen raamwerk 10 m 10 m 10 m Vraagstuk (18 minuten, punten) Een gewapend betonnen ligger is opgelegd op twee nokken en belast door twee puntlasten (fig. ). Figuur laat een berekening van de momentcapaciteit zien. Is deze berekening correct? Verklaar uw antwoord. Figuur. Gewapend betonnen ligger met oplegging en belasting

3 F 0 σ= = 9 N/mm < , 5 F M = F 700 = Nmm = 18 knm φ F π 500 = 16 = 6 10 N 4 115, Figuur. Berekening van de momentcapaciteit van de ligger van figuur Vraagstuk 4 (18 minuten, punten) In figuur 5 is een plaat afgebeeld. De plaat is aan gedeelten van twee zijden scharnierend opgelegd. Welke van de volgende vloeilijnenpatronen maken een mechanisme mogelijk? (fig. 4) Kies uit A, B, C, en D. U kunt meer dan één antwoord kiezen. A B C D Figuur 4. Vloeilijnenpatronen voor de plaat van figuur 4 Vraagstuk 5 (18 minuten, punten) In figuur 5 is een gewapend betonnen plaat afgebeeld met een gelijkmatig verdeelde belasting q = 7 kn/m² (Dit is inclusief eigen gewicht). De plaat is aan gedeelten van twee zijden scharnierend opgelegd. De plaat heeft onderwapening in de richting van de overspanning. Deze geeft een plastisch moment van 01 knm/m. De plaat heeft ook bovenwapening in de richting van de overspanning. Deze geeft een plastisch moment van 171 knm/m. De plaat heeft onder- en bovenwapening dwars op de overspanning. Deze geven plastische momenten van 57 knm/m. Veiligheidsfactoren zijn al in rekening gebracht in de bovenstaande waarden. Maak een ondergrensberekening. Is de draagkracht van deze plaat voldoende?

4 φ16-50 m p = 171 knm/m φ16-00 = 01 knm/m m p φ10-50 m p = 57 knm/m φ10-50 m p = 57 knm/m m q = 7 kn/m Figuur 5: Gewapend betonnen plaat met hoofdwapening 4

5 Uitwerking vraagstuk 1 a - Bij statisch onbepaalde constructies gemaakt van brosse materialen zoals gietijzer en glas - Bij berekening van de bruikbaarheidsgrenstoestand - Als stabiliteit maatgevend is - Als plooi maatgevend is (Niet: Als de plastische capaciteit maatgevend is) b Het verzuim is terecht omdat temperatuurbelasting geen invloed heeft op de draagkracht van ductiele constructies. Uitwerking vraagstuk De linker (of rechter) overspanning is maatgevend. De puntlast staat dan ongeveer in het midden. Bovengrensberekening q = 10 kn/m 10 m 5F + 5q De overschatting van de draagkracht is klein zijn omdat het gekozen mechanisme weinig afwijkt van het werkelijke mechanisme. De belastingfactor λ is ruim groter dan 1 dus de draagkracht is voldoende. Ondergrensberekening F = 00 kn uitwendige virtuele arbeid = inwendige virtuele arbeid kracht verplaatsing = moment rotatie λ F 5+ ( λ q 5,5 ) = M pk+ M pl ( + ) + M pl λf5+λq5= M pk+ M pl M pk + M pl λ= = = 1,4 We nemen aan dat het doorgaande steunpunt is ingeklemd en berekenen de lineair-elastische momenten. F = 00 kn q = 10 kn/m 1 1 ql = = 15 knm rechter steunpuntsmoment = 688 < 700 knm veldmoment = 5 < 700 knm linker steunpuntsmoment 0+0 = 0 < 400 knm ql = 16 6 Fl = Fl = = 56 5

6 De momenten zijn in evenwicht met de belasting en overal kleiner dan M p. De draagkracht is dus voldoende. Uitwerking vraagstuk Ja. Er is evenwicht (ondergrens theorema) omdat de belasting, oplegreacties en inwendige moment in een vlak werken. Bovendien zijn de spanningen niet te groot. Als de hele bovenflens op druk belast zou zijn, ontstaat een zijdelings moment. Dit zijdelings moment wordt niet geleverd door belasting of een ander constructiedeel. Hierdoor zou er geen evenwicht zijn. Dus dit kan niet. Uitwerking vraagstuk 4 A, B en C Uitwerking vraagstuk 5 liggers A s liggers B liggers C M p x 57 knm/m s liggers A 171 knm/m 1 1 sl 8 8 = 6,1 1 = 110 knm/m < 171 liggers B 7 kn/m p + s = 0 p= 0,6 knm/m 7 7,5 - p + s 1 = 0 s= 6,1 knm/m 7(+ x) px= 0 x = 0,889 m + x x M = 7( + x) px = 41 knm/m < 57 6

7 p liggers B 01 knm/m 1 1 pl = 0,6 1 = 551 knm/m < Liggers B voldoen helemaal niet. De draagkracht van de plaat is waarschijnlijk onvoldoende. Toegift Bovengrensberekening volgens figuur 4-B q 01 knm/m ( q 7 m 6 m m rad) = 01 knm/m 7 m rad q = 11 kn/m > 7 Dit doet vermoeden dat de draagkracht van de plaat toch voldoende is. De werkelijke draagkracht kan worden berekend met een niet-lineaire computerberekening. Eenvoudiger is het om een groot deel van de langswapening te verschuiven naar de liggers B. 7