In een bewegende constructie treden ook traagheidskrachten op. Het stelsel vergelijkingen kan nu als volgt worden geschreven.

Transcriptie

1 Eindige-elementenberekeningen P.C.J. Hoogenboom, januari 009 Met een eindige-elementmodel kunnen vele soorten berekeningen worden gemaakt. Hieronder worden veel voorkomende berekeningen kort uitgelegd. De volgorde in dit hoofdstuk is van eenvoudig tot ingewikkeld in zowel gebruik als interpretatie van de resultaten. Een goed opgeleide ingenieur kan tot en met de lineaire knikberekening eenvoudig uitvoeren. Voor de overige berekeningen zal een cursus of zelfstudie nodig zijn. Lineair-elastische berekening Het stelsel vergelijkingen kan als volgt worden geschreven. f Ku Van elke knoop is ofwel de kracht f bekend (bijvoorbeeld sneeuwbelasting) ofwel de verplaatsing u bekend (bijvoorbeeld bij een inklemming is de verplaatsing nul). Hieruit moeten de onbekende knoopverplaatsingen en knoopkrachten (oplegreacties) worden opgelost. Wiskundig gezien is dit een inversie probleem. Er bestaan verschillende numerieke procedures om dit op te lossen zoals het Gauss-Jordan-veegproces, een LU-decompositie of een iteratieve procedure. De oplossing is de vector met de onbekende knoopverplaatsingen u. Vervolgens kan de computer hiermee de momenten, spanningen, oplegreacties, enzovoort berekenen. Verschillende belastinggevallen f kunnen tegelijkertijd worden berekend. Tweede-orde berekening Door verplaatsingen van de constructie verandert het evenwicht. Dit kan op verschillende manieren in rekening worden gebracht. 1) Secant stijfheid De belasting wordt in één stap aangebracht en in een aantal iteraties wordt de stijfheidsmatrix aangepast op basis van de berekende normaalkrachten. ) Tangent stijfheid De belasting wordt in een aantal stappen aangebracht. In elke stap vinden iteraties plaats. (Zie hieronder bij niet-lineaire berekening.) Eigentrillingen In een bewegende constructie treden ook traagheidskrachten op. Het stelsel vergelijkingen kan nu als volgt worden geschreven. f Ku Mu Hierin is M de massamatrix en ü de vector met versnellingen. Veronderstel dat er geen belasting is en dat de constructie harmonisch beweegt met een hoekfrequentie. De vergelijkingen worden nu 0 Kucos( t) Mu cos( t) ofwel 0 ( K M) u.

2 Wiskundig gezien is dit een gegeneraliseerd eigenwaarde-probleem. Er bestaan verschillende numerieke procedures om dit op te lossen zoals subspace iteration of Block Lanczos. De oplossing bestaat uit eigenfrequenties en de bijbehorende trillingsvormen. Vaak zijn de kleinste eigenfrequenties het meest interessant. Alleen de vorm van een trillingsvorm is van belang, de grootte heeft geen betekenis. Lineaire knikberekening Als we rekening houden met kleine verplaatsingen dan veranderen de normaalkrachten de stijfheid van een constructie. Drukkrachten verkleinen de stijfheid en trekkrachten vergroten de stijfheid. Het stelsel vergelijkingen kan nu als volgt worden geschreven. f ( K B) u Matrix B bevat de invloed van de normaalkrachten die volgen uit een lineair-elastische berekening. is een nog onbekende belastingfactor. is een toename van deze belastingfactor en u is een toename van de verplaatsingen. In matrix B kan soms ook de invloed van de eerste orde verplaatsingen op de stijfheid worden meegenomen. Bij bepaalde waarden van kunnen de verplaatsingen aangroeien terwijl de belasting niet toeneemt. 0 ( K B) u Dit definiëren we als lineaire knik. Wiskundig gezien is dit een gegeneraliseerd eigenwaardeprobleem. Er bestaan verschillende numerieke procedures om dit op te lossen zoals subspace iteration of Block Lanczos. De oplossing bestaat uit belastingfactoren waarbij knik optreedt en de bijbehorende vervormingen. Vaak geeft de kleinste belastingfactor de werkelijke kniklast. Een constructie zal namelijk uitknikken bij de eerste kans die het krijgt. Soms zal de echte constructie na het eerste uitknikken weer weerstand gaan bieden zodat de volgende knikvorm actief kan worden. Daarom is het verstandig om bijvoorbeeld de 10 kleinste knikfactoren uit te laten rekenen. Alleen de vorm van een knikvorm is van belang, de grootte heeft geen betekenis. We kunnen ook de knikfactoren berekenen voor een specifiek belastinggeval terwijl de andere belastinggevallen een factor 1 krijgen. Daartoe wordt matrix B opgedeeld in een deel B1 en een deel B. B1 hoort bij het specifieke belastinggeval en B hoort bij de andere belastinggevallen. Het stelsel vergelijkingen ziet er nu als volgt uit. det( K B1 B ) 0 Helaas kunnen veel programma s deze laatste situatie niet berekenen. Ik dat geval kunnen we de berekening toch uitvoeren met een truc: We herhalen de knikberekening verschillende keren waarbij we het specifieke geval steeds verhogen totdat de berekende belastingfactor gelijk aan 1 is. Stel dat we het specifieke belastinggeval moesten verhogen met een factor De situatie die we dan hebben is. det( K 1(7.13 B1 B )) 0. De belastingfactor voor knik is nu 7.13 want det( K 7.13 B1 B ) 0. Het voordeel van een lineaire knikberekening is dat deze heel eenvoudig kan worden uitgevoerd door een computer. Echter bij sommige dunne schaalconstructies kan de echte kniklast veel

3 kleiner zijn dan de lineaire kniklast. Dit komt door imperfecties in de schaalvorm en de ondersteuning. Niet-lineaire berekening Door bijvoorbeeld vloeien van staal of scheuren van gewapend beton neemt de stijfheid af. Deze processen treden langzaam op zodat dynamische verschijnselen verwaarloosbaar zijn. Voor de berekening zouden we de belasting in kleine stapjes kunnen aanbrengen. f K u In elk stapje wordt de verminderde stijfheid in rekening gebracht in de tangentstijfheidsmatrix. Vervolgens wordt de toename van de verplaatsing berekend en opgeteld bij de reeds berekende verplaatsing. Echter, deze aanpak wordt nooit toegepast omdat het aantal stapjes extreem groot moet zijn voor een nauwkeurige berekening. Niet lineaire berekeningen worden gemaakt door de belasting aan te brengen in grote stappen (Bijvoorbeeld 10 stappen). In elke stap wordt met iteraties gezocht naar de verplaatsingen die overeenkomen met de opgegeven belasting. Wiskundig gezien wordt in elke stap het nulpunt bepaald. Hiervoor bestaan verschillende methoden zoals de Secant methode en de Newton- Raphson methode. Elders wordt dieper ingegaan op de niet-lineaire berekening. Harmonische berekening Een constructie kan cyclisch wordt belast gedurende een lange periode. Bijvoorbeeld een trillende drukpers die op een gewapend betonvloer staat. Hiervoor kunnen we een harmonische berekening uitvoeren. Het gaat hierbij niet om de trillingen die ontstaan als de drukpers wordt aangezet maar om de trillingen die na enige tijd blijven voortduren. Men spreekt van de steady state. (Om starttrillingen te berekenen is een transient analysis nodig. Zie hieronder.) De belasting heeft de vorm van een cosines. fcos( t) Kucos( t) Mu cos( t) Twee oplosmethoden zijn mogelijk, modaal-analyse en een directe methode. Elke dynamische beweging kan worden opgesplitst in een sommatie van eigentrillingen. In een grafiek worden de amplitudes uitgezet tegen de frequenties van de eigentrillingen. Deze grafiek wordt een spectrum genoemd. Dynamische berekening (Transient analysis) Als de belasting en verplaatsingen kunnen variëren in de tijd worden de vergelijkingen als volgt geschreven. f Ku Cu Mu Hierin is C de dempingsmatrix. Wiskundig gezien is dit een beginwaardenprobleem. Er bestaan verschillende oplosmethoden zoals de Newmark methode, de Euler Backward methode en de Runge-Kutta methode. De berekening begint op tijdstip nul en in heel kleine tijdstapjes wordt de

4 reponse van de constructie berekend. In iedere stap worden eerst de krachten door traagheid en demping berekend. Hiermee wordt de toename van de knoopkrachten bepaald. ( f Cu Mu ) K u Daarna wordt een lineair elastische berekening gemaakt (of een niet lineaire berekening gemaakt) om de toename van de verplaatsingen te berekenen. Tenslotte wordt deze toename opgeteld bij de huidige verplaatsingen. De tijdstappen moeten heel klein zijn omdat de anders de berekende oplossing steeds meer gaat afwijken van de echte oplossing. Een dynamische berekening kan onder meer worden gecombineerd met geometrisch en fysisch niet-lineair gedrag en met contactelementen. Optimalisatie Als een CADtekening wordt gemaakt kunnen een aantal afmetingen variabel worden gemaakt. Bijvoorbeeld, de constructiehoogte ligt nog niet vast en krijgt een voorlopige waarde. Als later deze voorlopige waarde wordt veranderd dan verandert het hele model automatisch mee. Dit heet een parametrisch model. De voorlopige waarden worden parameters genoemd. In veel eindige-elementenprogramma s kan de uitvoer worden geoptimaliseerd als functie van deze parameters. Een groot aantal procedures zijn hiervoor beschikbaar zoals Linear Programming, Simplex Method of een Evolutionaire methode. De procedures hebben gemeen dat een van de bovenstaande constructieberekening een groot aantal keer wordt herhaald. Het doel van de optimalisatie moet goed worden overwogen. Bijvoorbeeld, het kleinste gewicht of de minste kosten. Hiervoor moet een formule worden ingevoerd die de te minimaliseren grootheid berekend (objective function). Ook moeten grenswaarden worden opgegeven aan de optimalisatieparameters en aan uitvoerparameters zoals de doorbuiging en een spanning (constraints). Probabilistische berekening In plaats van een spanning uitrekenen kunnen we ook de kans uitrekenen dat deze spanning groter is dan een bepaalde waarde. Dit wordt een probabilistische berekening genoemd. In principe is dit mogelijk voor elke uitvoer, zoals een verplaatsing, spanning, moment, eigenfrequentie, kniklast. Een aantal procedures zijn mogelijk zoals Monte Carlo of FORM gecombineerd met Turkstra of FBC. De procedures hebben verschillende nauwkeurigheden en verschillende rekentijden die sterk afhangen van de situatie. De procedures hebben gemeen dat een bovenstaande constructieberekening een groot aantal keer wordt herhaald. Bij een probabilistische berekening bestaat de invoer uit deterministische parameters en stochastische parameters. Voor elke deterministische parameter voeren we 1 waarde in, bijvoorbeeld dikte = 50 mm. Voor elke stochastische parameter voeren we 3 gegevens in, bijvoorbeeld de belasting heeft gemiddelde = 3 kn/m², standaardafwijkijng = 1 kn/m² en een lognormale verdeling. Ook de grenswaarde kan stochastische eigenschappen hebben. Voor variabele belastingen, bijvoorbeeld sneeuw, moeten ook de stochastische parameters van de piekbelasting gedurende de levensduur worden opgegeven (Turkstra s methode). Soms moet ook worden opgegeven hoe lang een piekbelasting op de constructie werkt (FBC methode). Probabilistische optimalisatie Bij bepaalde constructieafmetingen horen constructiekosten. Bij de afmetingen horen ook een faalkans en faalkosten. De constructiekosten plus verwachte faalkosten kunnen worden geminimaliseerd als functie van de constructieafmetingen. Dit is probabilistische optimalisatie. Deze berekening is nog toekomstmuziek omdat het bijzonder veel rekentijd vergt.

5 De lijst is niet volledig. Andere berekeningen zijn mogelijk zoals substructuring, temperatuurverdeling, limit analysis, vloeistofstroming (CFD), warmtestraling en elektromagnetische straling.