Hoofdstuk 9: Wrijving

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9: Wrijving 9. EERSTE HOOFDWET VOOR GESLOTEN SYSTEMEN 9.. WRIJVINGSARBEID W In de praktijk ondersheidt men tee vershillende soorten rijving: anneer een zuiger beeegt in een ilinder rijft de zuiger tegen de and zodat er extra mehanishe arbeid verriht dient te orden om deze rijving te overinnen; dit betreft mehanishe rijving en deze ordt in de ursus thermodynamia buiten beshouing gelaten. anderzijds zal bij de stroming van een vloeistof of een gas doorheen een leiding of een mahine viskeuze rijving optreden: men kan zih het gas of de vloeistof inbeelden als bestaande uit opeenvolgende lagen die onderling over elkaar shuiven en dus rijven. Ook het rijven van het fluïdum tegen de and (andrijving) van de leiding vereist extra mehanishe arbeid (merk op dat inendige rijving en andrijving beiden van viskeuze oorsprong zijn - zie ursus fluïdomehania/hydraulia). men kan ook het geval van een roerder hebben, aarbij alle toegevoerde arbeid in armte ordt omgezet (ook van viskeuze oorsprong). Beshou een ompressie. Of men deze nu verezenlijkt met een zuigerompressor, een turboompressor of enig ander type, steeds zal het gas aan inendige en andrijving onderhevig zijn. Men dient dan in rekening te brengen dat een deel van de arbeid die aangeend erd met het doel ompressie te verezenlijken ten dele gebruikt erd om viskeuze krahten te overinnen. Dat deel arbeid dat benut erd om rijving te overinnen heet de rijvingsarbeid. Voor een infinitesimale ompressie in een gesloten systeem (figuur 9.) zal de op de as uitgeoefende mehanishe arbeid d gegeven orden door: d = d + d (9.) d = p dv + d (9.) aarin speifieke rijvingsarbeid voorstelt. Belangrijke eigenshap is dat de grootheid d steeds positief is. Figuur 9.: Compressie met rijving Beshou de (eindige) samendrukking van een ideaal gas of oververhitte damp (figuur 9.) voorgesteld door de toestandsverandering, van druk p naar druk p. We onderzoeken nu het vershil tussen een ompressie met en één zonder rijving. Wat de notaties betreft is het gebruikelijk de getallen (of indexen) die de eindtoestanden aangeven van toestandsveranderingen zonder rijving te "aentueren". Verloopt de ompressie zonder rijving dan evolueert men van naar '. De eindtemperatuur bedraagt T '. Wanneer de ompressie met rijving verloopt, volgens, ordt rijvingsarmte opgeekt. Deze zal aan het gas (damp) een extra temperatuursverhoging geven. De eindtemperatuur zal nu hoger zijn: T > T' Hoofdstuk 9: Wrijving

2 Figuur 9.: Onomkeerbare ompressie: toestandsdiagram Volgens (9.): p dv + d = d + = (9.3) Bij een ompressie is > 0 en > 0. Steeds geldt: > 0. De omgeving zal egens het vershijnsel rijving extra arbeid moeten leveren zodat: > De door de omgeving geleverde arbeid ordt gebruikt om het volume en de druk van het gas te ijzigen enerzijds en om rijvingsarbeid te overinnen anderzijds. Een analoge redenering kan men doorvoeren voor een expansie (figuur 9.3). Bij een expansie is < 0 en < 0. Maar: > 0 zodat: > Van de door het gas geleverde expansiearbeid komt op de as slehts het deel arbeid beshikbaar, de rest ordt gebruikt om de interne rijving te overinnen: = + Figuur 9.3: Expansie met en zonder rijving Hoofdstuk 9: Wrijving

3 9.. EERSTE HOOFDWET In deze paragraaf orden de vergelijkingen van de thermodynamia voor systemen met rijving opgesteld. De eerste hoofdet onder de vorm: du = dq + d (9.4) blijft geldig, onafhankelijk van het feit of de toestandsverandering met rijving gepaard gaat of niet. Inderdaad, indien de bijdrage van uitendige arbeid d aan het systeem ten dele dient om de rijving te overinnen ordt deze laatste toh verrekend in d zelve. Men komt dan tot de volgende vergelijkingen in het geval van mehanishe ompressie of expansie: d = d + d (9.5) met: d = p dv (9.6) (9.6) en (9.5) in (9.4): du = dq p dv + d (9.7) Voor eindige toestandsveranderingen: u u = q p dv + (9.8) Deze betrekking is vrij logish: de inendige energie van een systeem kan verhoogd of verlaagd orden door toevoer van armte, ompressiearbeid of rijving. Aangezien in hoofdstuk 3 praktish alle formules zoals die voor de (ompressie)arbeid en de hoeveelheid armte uitgeisseld bij isobaren, isohoren, isothermen, polytropen... berekend erden a.d.h.v. de formule: d = d = p dv mogen deze formules niet meer overgenomen orden voor de toestandsveranderingen met rijving. In het bijzonder zijn de Wetten van Poisson voor adiabatishe systemen niet meer geldig! 9. ENTROPIE EN WRIJVINGSARBEID De (speifieke) entropie erd gedefinieerd als: dq = T ds en voor een eindige toestandsverandering : q = T ds Zoals meteen zal blijken voldoet deze definitie van entropie niet meer bij proessen met rijving. Teneinde de zaken overzihtelijk voor te stellen gaan e nu uit van de integrale vorm der vergelijkingen. We bestuderen een toestandsverandering elke gepaard gaat met rijving. Hoofdstuk 9: Wrijving 3

4 Figuur 9.4: Toestandsverandering met en zonder rijving De toestandsverandering gebeurt met rijving (figuur 9.4). Beelden e ons nu een andere toestandsverandering ' in die, vertrekkend bij begintoestand dezelfde eg zou volgen als proes, maar dit zonder rijving zou realiseren. Op het pv- en het Ts-diagram zien de tee beshoude proessen er net hetzelfde uit. Bij het proes zonder rijving ordt de armtehoeveelheid q ' uitgeisseld met de omgeving, bij het andere q. Voor het rijvingsloze proes: q' = T ds (9.9) De energieet onder integrale vorm volgens (9.8): u u = q p dv + (9.8) Voor het proes is de verandering van inendige energie ehter dezelfde als bij ', aangezien u een toestandsfuntie is! Maar tevens is de ompressiearbeid dezelfde bij dit denkbeeldige proes ', dat dezelfde eg zou volgen op een Ts of pv-diagram: deze arbeid ordt namelijk gegeven door de oppervlakte onder de kromme in het pv-diagram. Voor het rijvingsloze vervangingsproes ' ordt (9.8) dan, rekening houdende met = 0 en uitdrukking (9.9): ' ' ' u u = q p dv (9.0) u u = T ds p dv Combinatie van (9.0) en (9.8): T ds = q + (9.) Onder differentiaalvorm: T ds = dq + d (9.) Als men beide leden van uitdrukking (9.) deelt door de temperatuur T kan men tot volgende interpretatie komen: Hoofdstuk 9: Wrijving 4

5 dq d ds = T + T (9.3) Voor at betreft de entropie blijft het om het even of de toevoer van armte gebeurt op een externe ijze (dq) of op een interne manier door rijvingsarmte ( d ). Uit betrekking (9.) blijkt dat de grafishe interpretatie van armte in het Ts-diagram slehts toegelaten is bij systemen zonder rijving. Betrekking (9.) toegepast voor een adiabatish proes (dq = 0): T ds = d Aangezien steeds d > 0 : Bij een adiabatish proes blijft ofel de entropie onstant (rijvingsloos) ofel stijgt ze. 9.3 ENTHALPIE EN ENTROPIE Men kan in de eerste hoofdet volgens (9.7): du = dq p dv + d (9.7) de inendige energie u vervangen door de enthalpie h: du = d( h p v) en men komt dan tot: dh = dq + v dp + d (9.4) hetgeen m.b.v. (9.) eventueel kan geshreven orden als: T ds = dq + d (9.) dh = v dp + T ds (9.5) Hoofdstuk 9: Wrijving 5

6 9.4 OPEN SYSTEMEN Wanneer men een kg fluïdum volgt dat door een apparaat stroomt ordt, zoals al besproken in vgl. 6., het linkerlid van de eerste hoofdet uitgebreid met een kinetishe en potentiële energieterm: du d + = dq + d De elementaire mehanishe arbeid d die op het fluïdum erkt ordt nu gebruikt om: ompressiearbeid te leveren de kinetishe energie van het systeem te ijzigen de potentiële energie in het zaarteveld te ijzigen rijving te overinnen zodat: d d d = + + d d p dv d = + + d (9.6) (9.7) We herhalen de betrekkingen: T ds = dq + d (9.) dh = dq + v dp + d (9.4) Wanneer men de zaken bekijkt vanuit het apparaat is men geïnteresseerd in de zgn. tehnishe arbeid. Zoals e eten uit hoofdstuk 6 ordt de tehnishe arbeid gegeven door de mehanishe arbeid die op het systeem erkt vermeerderd met de verplaatsingsarbeid: d = d + d (9.8) t v d = d + d( p v) (9.9) t Substitutie van (9.7) in (9.9): dt p dv d = + + d + d( p v) dt v dp d = + + d (9.0) Eliminatie van de term (v dp ) tussen de vergelijkingen (9.4) en (9.0): dt dh dq d d = + + d( g z) dh d + = dq + d t (9.) Zodat men dezelfde vergelijking krijgt voor systemen met en zonder rijving. Proessen zonder rijving orden in de thermodynamia reversibele (omkeerbare) proessen genoemd; proessen met rijving heten irreversibele proessen (onomkeerbaar). Hoofdstuk 9: Wrijving 6

7 De vergelijkingen van de thermodynamia onder differentiaalvorm en onder integrale vorm voor speifieke grootheden orden hierna overzihtelijk eergegeven. "r" duidt op reversibel, "i" op irreversibel. GESLOTEN SYSTEEM du = dq + d u u = q + r d = d = p dv = = p dv d = p dv + d = = p dv + i dq = T ds q = T ds dq = T ds d q = T ds du = dq p dv u u = q p dv du = T ds p dv u u = T ds p dv h = u + p v dh = dq + v dp h h = q + v dp dh = dq + v dp + d h h = q + v dp + Hoofdstuk 9: Wrijving 7

8 OPEN SYSTEEM du + d = dq + d ( u u ) + ( ) + g ( z z ) = q + r d = p dv + d + d( g z) = p dv + + g ( z z ) d = p dv + d + d = p dv + + g ( z z ) + i dq = T ds q = T ds dq = T ds d q = T ds du = dq p dv u u = q p dv du = T ds p dv u u = T ds p dv h = u + p v dh = dq + v dp h h = q + v dp dh = dq + v dp + d h h = q + v dp + TECHNISCHE ARBEID = + ( p v p v ) t d = d + d( p v) t d = + v dp t = + g( z z) + v dp d = + v dp + d = + g( z z ) + v dp + t h = u + p v dh + = dq + dt ( h h ) + ( ) + g( z z ) = q + t Hoofdstuk 9: Wrijving 8