Boekbespreking. Developing realistic Mathematics Education (Ontwikkelen van realistisch reken/wiskundeonderwijs)

Transcriptie

1 Tijdschrift voor Didactiek der B-wetenschappen 13 (1995) nr Boekbespreking Developing realistic Mathematics Education (Ontwikkelen van realistisch reken/wiskundeonderwijs) K.P.E. Gravemeijer Proefschrift Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Utrecht, CD-fl Press ISBN In de beginperiode van het Freudenthal Instituut, toen nog IOWO geheten, werd aan Freudenthal nogal eens de vraag gesteld "Worden bij U ook proefschriften bewerkt?". Zijn reactie was: "Het is net alsof men een ingenieur of een tandarts op een brug (over een rivier of in een mond) zou laten promoveren. Wij van het IOWO beschouwen ons als ingenieurs; dat betekent nu niet dat wij voor hen, die beweren wetenschap te bedrijven, de hoed afnemen, maar dat we iets maken waarvoor een wetenschappelijke achtergrond vereist is, maar dat zelf geen wetenschap is (..) Hoewel - waar gehakt wordt, vallen spaanders, en het praktische werk van de ingenieurs kan op den duur ook wetenschappelijke 'afval' opleveren" (Freudenthal, 1973). Voor mij ligt het boeiende proefschrift van Koeno Gravemeijer en achter mij, in mijn boekenkast, staat een reeks proefschriften van zijn collega's uit het Freudenthal Instituut. Een respectabele 'afvalberg'. Wat bij al deze proefschriften opvalt is de eenheid van visie en werkwijze, zo kernachtig uitgedrukt door 'wiskunde als menselijk activiteit'. Gravemeijers proefschrift past geheel in deze traditie, al legt hij eigen accenten bijvoorbeeld als hij benadrukt dat wiskunde op eigen gezag en door eigen mentale activiteit moet worden geleerd. Met deze stellingname verwijst hij enerzijds naar het werk van Freudenthal en anderzijds naar het constructivisme. Het boek is niet alleen voor vakdidactici interessant. De auteur ontwikkelt en bespreekt de theorie van 'Realistisch Wiskunde onderwijs' in relatie tot andere verwante stromingen of projecten zoals 'Cognitively Guided Instruction', Cognitive Apprenticeship en Socio-Constructivisme. Ook confronteert hij zijn ontwikkelingsstrategie met meer technologische modellen voor 'Instructional Design'. Mede daardoor is het boek ook interessant voor onderwijskundigen met bijvoorbeeld een psychologische of pedagogische achtergrond. De auteur plaatst de realistische visie in een pedagogisch kader als hij spreekt van een 'realistische pedagogiek'.

2 272 Boekbespreking De studie betreft een beschrijving van en een reflectie op het proces van ontwikkeling van realistisch reken/wiskunde-onderwijs voor de basisschool. De centrale vraag in dit proefschrift is: Hoe kan men realistisch wiskundeonderwijs ontwikkelen? Interessant is, dat deze studie zijn wortels heeft in het Rotterdamse project 'Onderwijs en Sociaal Milieu' (OSM). Gravemeijer was van coördinator in het OSM-project van een groep van curriculumontwikkelaars. Deze groep moest een curriculum voor de basisschool ontwikkelen. Dit resulteerde in de methode 'Rekenen & Wiskunde'. De visie van het OSM-project stond echter haaks op de visie van het IOWO. De groep van leerplanontwikkelaars was echter geïnspireerd door de IOWO-visie. Dit conflict vormde de basis voor de reeds genoemde kernvraag van deze studie. Vanaf 1986 is Gravemeijer werkzaam bij het Freudenthal Instituut. Het proefschrift is vooral gebaseerd op ervaringen bij het ontwikkelen van de methode Rekenen & Wiskunde in het OSM-project en het latere MORE project (Methoden Onderzoek REkenen-wiskunde). Dit laatste project betreft een samenwerking tussen het Freudenthal Instituut en de vakgroep onderwijskunde aan de Universiteit Utrecht. Het proefschrift bestaat uit zes hoofdstukken die als zelfstandige artikelen zijn geschreven. Het eerste hoofdstuk geeft een beschrijving van het ontwikkelwerk in het OSM-project. Het betreft een reconstructie van de ontwikkeling van de leergang optellen en aftrekken onder de twintig van het eerste klas-deel van de methode 'Rekenen & Wiskunde'. Ervaringen in de klas, observaties van leerlingen en oordelen van leraren vormen de empirische basis voor ontwikkeling en bijstelling. Hoofdstuk twee bevat een theoretische reflectie aan de hand van concreet materiaal. Hierbij wordt gebruik gemaakt van noties uit de handelingspsychologie, de informatieverwerkingpsychologie, het constructivisme en het realistisch reken-wiskundeonderwijs. In het derde hoofdstuk staat het vraagstuk van de kloof tussen abstract en concreet centraal. In een theoretische reflectie geeft de auteur drie kemprincipes ter overbrugging van die kloof: (i) het principe van reinvention, (ii) het gebruikmaken van toepassingen van de wiskunde in praktische situaties en (iii) het gebruik van bemiddelende modellen om de kloof tussen de informele kennis van leerlingen en de formele wiskunde te overbruggen. Het vierde hoofdstuk gaat over ontwikkelingsonderzoek. In dit kader introduceert de auteur het begrip 'theorie-geleide bricolage' geïnspireerd op het 'Wilde denken' van Lévi-Strauss (1968). Hoofdstuk vijf gaat over onderzoek naar de implementatie en effecten van realistische curricula. In hoofdstuk 6 blikt de auteur terug op zijn studie en

3 Terwei 273 gaat daarbij in het bijzonder in op het eerder geïntroduceerde begrip ontwikkelingsonderzoek. Ik zie hoofdstuk vijf als het hart van zijn studie en maak het om die reden tot de kern van mijn boekbespreking. Misschien ziet de auteur de hoofdstukken vier en zes over het concept 'ontwikkelingsonderzoek' als het centrale deel. Mijn keuze voor een accent op hoofdstuk vijf in deze boekbespreking komt voort uit de overweging dat er al zoveel is geschreven over 'ontwikkelingsonderzoek' en dat empirische gegevens uit vergelijkend onderzoek naar de effecten van realistisch wiskunde-onderwijs relatief schaars zijn. In hoofdstuk vijf worden de onderzoeksresultaten uit het MORE-project gepresenteerd. Een 'realistische' methode ('Wereld in Getallen') en een 'mechanistische' methode (Naar Zelfstandig Rekenen) worden met elkaar vergeleken. Opvallend is dat niet de methode 'Rekenen & Wiskunde' als representant van realistische methoden is gekozen. De auteur zegt zelf dat hierin de kenmerken van realistisch onderwijs het best zijn uitgewerkt en dat de methode een uitgebreide handleiding voor leraren bevat. Gravemeijer was projectleider en hoofdauteur van R & W en heeft om die reden voor een andere realistische methode gekozen, namelijk 'Wereld in getallen'. Na een uitgebreide verhandeling over mogelijkheden, beperkingen en resultaten van (vergelijkend) onderzoek, gaat de auteur ook in op het begrip implementatie. Aan het begrippenpaar 'fidelity' en 'mutual adaptation' wordt door de auteur een derde begrip toegevoegd namelijk 'idea-consistent adaptation'. Dit laatste begrip is bedoeld als een synthese van de beide andere. Hier mis ik een uiteenzetting over recente inzichten omtrent implementatie in de curriculumliteratuur. Juist door de hernieuwde aandacht voor het constructivisme is het begrip implementatie in een ander licht komen te staan. Men spreekt in dit verband wel van het 'enactment perspective' waarbij het curriculum wordt gezien als een ervaring die door leraar en leerlingen gezamenlijk wordt gecreëerd. De extern ontwikkelde lesmaterialen en handleidingen worden in dit perspectief gezien als gereedschap. Het 'enactment' perspectief is uitdrukkelijk geen synthese van 'fidelity' en 'mutual adaptation'. Het 'enactment' perspectief is eerder op te vatten als een poging het technologische implementatiebegrip te overstijgen (dat laatste wil Gravemeijer juist ook). De vraagstellingen voor het empirisch onderzoek waren: 1. In welke mate is de onderwijspraktijk bepaald door (i) de methode en (ii) de opvattingen van de gebruikers? 2. Hoe ontwikkelen zich de opvattingen van de gebruikers en de wijze waarop de methode in de klas wordt gebruikt gedurende de eerste jaren waarin een nieuw boek wordt gebruikt?

4 274 Boekbespreking 3. Leiden de twee onderwijssituaties, i.c. de 'realistische' en de 'mechanistische' instructie, tot verschillende leerresultaten? De eerste vraag kon tot op zekere hoogte positief worden beantwoord. Volgens het oordeel van experts was het onderwijs met het 'mechanistische' boek tamelijk mechanistisch en niet realistisch. Voor het realistische boek gold het omgekeerde (beperkt realistisch en niet mechanistisch). De leraren in de realistische conditie brachten dus slechts in beperkte mate het realistisch concept in praktijk. De leraren in de mechanistische conditie slaagden er beter in de kenmerken van mechanistisch onderwijs te realiseren. De visie van de gebruikers gaf weinig verschillen te zien en was voor beide condities realistisch te noemen, al hadden de leraren in de realistische conditie wat meer uitgesproken 'realistische' opvattingen. Een relatie tussen opvattingen van leraren en hun onderwijs in de klas kon niet worden vastgesteld, respectievelijk was niet aanwezig. Vraag twee naar de ontwikkeling in de opvattingen van leraren kon niet worden vastgesteld; er bleven slechts 10 leraren over in deze analyse. Binnen deze groep kon geen significante ontwikkeling worden aangetoond. De derde vraag, naar de effecten, wordt door de auteur breed ingeleid met een model (figuur 5.8) waarbij de aard van de instructie, de inhoud van de instructie, de leerlingkenmerken en de randvoorwaarden als bepalende factoren voor de leerresultaten worden genoemd. Bij de beantwoording van de effectvraag komen deze factoren niet systematisch terug. Het onderzoek is voornamelijk beperkt tot de relatie tussen verschillen in de methode (boeken) en de leerresultaten. De conclusie is dat er een directe relatie is tussen de inhoud van het boek en de leerresultaten. De effectmetingen laten echter zien dat de 'realistische' methode niet altijd superieur is aan de 'mechanistische' methode. De mechanistische methode scoort hoog op 'kale sommen' en lijkt zelfs beter bij het oplossen van problemen in contexten. De leerlingen in de mechanistische conditie scoren hoger op basisvaardigheden zoals optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Op andere onderdelen is echter de realistische aanpak beter: getallenreeks, rekenen met relatief grote getallen en met bepaalde onderdelen van geometrie en verhoudingen. Het oude adagium 'Wat niet wordt aangeboden wordt ook niet geleerd' lijkt in veel gevallen op te gaan. De belangrijke vraag naar de relatie tussen de aard van de in praktijk gebrachte instructie en de leerresultaten blijft helaas onbeantwoord. De auteur noemt hier de inadequate realisering van het realistisch onderwijs als reden waarom het verband tussen het didactisch handelen van de leraar en de leerresultaten niet kon worden vastgesteld. Bovendien was het aantal 'cases'

5 Terwei 275 te gering om andere factoren zoals leerlingkenmerken (beginniveau) in de analyse te betrekken. Vanuit het perspectief van innovatie wordt door de auteur vastgesteld dat de instructiepraktijk ver achter is gebleven bij de bedoelingen van realistisch onderwijs. Gravemeijer constateert dat er dus meer nodig is dan een nieuw leerboek. Het concept 'realistisch onderwijs' blijkt in de praktijk voor leraren veeleisend te zijn. Het gaat om het realiseren van een levendig, interactief en creatief proces. Leraren moeten hun onderwijs aanpassen aan de reacties van leerlingen. Dat is niet allemaal vooraf te plannen. Een groot deel van de leerlingen reageert negatief op onzekerheid. Zij vragen de leraar wat zij moeten doen. Hiermee leggen zij een druk op de leraar om de realistische werkwijze los te laten. Het zijn niet alleen leraren die het onderwijs maken of breken, de leerlingen kunnen er ook wat van! Dat verklaart waarom 'mechanistische' benaderingen gemakkelijker te implementeren zijn omdat alles volgens een vast plan verloopt en leerlingen meer op hun wenken worden bediend. Het empirisch onderzoek in het proefschrift van Gravemeijer heeft interessante gegevens opgeleverd die uitnodigen tot een genuanceerde visie op de mogelijkheden en beperkingen van realistisch onderwijs. De enigszins tegenvallende resultaten worden onverbloemd vermeld en zeer doordacht besproken. De studie biedt tal van aanknopingspunten voor verbetering van de onderwijspraktijk. Bij het empirisch onderzoek zijn ook enkele kritische kanttekeningen te maken. De gebruikte analysetechnieken zijn, gegeven de vraagstelling, niet altijd adequaat. Het longitudinale karakter van de studie, met een reeks van metingen per leerling, indiceert een multi-level analyse waarbij rekening wordt gehouden met het geneste karakter van de data. Nu beperkt de auteur zich tot weergave van een aantal grafieken met Z-scores zonder vermelding van essentiële gegevens als 'N' en significantieniveaus. Daarbij is niet gecontroleerd voor verschillen in beginsituatie van leerlingen. Ook verschillen tussen klassen zijn niet in de analyses betrokken. Waren de leerlingen en klassen in beide condities wel vergelijkbaar? Hoe groot was de 'steekproef. Het is opmerkelijk hoe weinig gegevens over deze zaken in het proefschrift staan vermeld. Soms merkt de auteur teleurgesteld op, dat bepaalde essentiële relaties tussen variabelen niet konden worden bepaald en dat controles niet mogelijk waren ondanks het feit dat de metingen wel waren verricht. Daardoor blijven bepaalde vragen die door de onderzoeker waren gesteld onbeantwoord. Er zijn ook vragen die de auteur niet heeft gesteld maar die naar mijn mening erg belangrijk zijn. Deze vragen hebben betrekking op differentiële effecten: welke leerlingen profiteren meer en welke leerlingen profiteren minder van realistisch onderwijs? Belangrijke aspecten zijn niet in

6 276 Boekbespreking de analyses betrokken waardoor deze vragen niet te beantwoorden zijn. Bij deze aspecten is bijvoorbeeld te denken aan: het beginniveau van de leerlingen, de kwaliteit van de interactie tussen leerlingen onderling en tussen leerlingen en leraren, de samenstelling van de klassen enz. Deze beperkingen zijn misschien wel herleidbaar tot het primaat van het werk bij het Freudenthal Instituut: dit lijkt te liggen bij de ontwikkeling van lesmateriaal. Het wetenschappelijk onderzoek lijkt daaraan ondergeschikt. Het design van het ontwikkelingsonderzoek lijkt toch vooral ingegeven door directe bruikbaarheid voor dit concrete doel, namelijk de leergang. Verder liggende vragen (zie boven) die op termijn belangrijke consequenties kunnen hebben voor deze leergang komen onvoldoende aan de orde. Zo kan men zich voorstellen dat de door de auteur genoemde spanning tussen 'reinvention' en 'guidance' verschillende implicaties heeft voor sterke en zwakke leerlingen. Er zijn indicaties uit onderzoek dat zwakke leerlingen meer begeleiding nodig hebben en dat zij kunnen profiteren van een speciale instructie die is gericht op het verwerven van concepten en cognitieve strategieën. Meer inzicht in dit belangrijke vraagstuk vereist een onderzoeksontwerp waarbij vooraf wordt ingebouwd dat dergelijke vragen ook beantwoord kunnen worden in het onderzoek. Mijn enigszins kritische bespreking van het empirisch onderzoek laat onverlet de grote waardering die ik voor deze studie als geheel heb. Het proefschrift van Gravemeijer is een degelijke, goed verzorgde studie over ontwikkeling, implementatie en onderzoek van realistisch wiskunde-onderwijs. De studie is helder geschreven en de theorie wordt vaak met verhelderende voorbeelden geïllustreerd. Daarmee is het proefschrift interessant vóór een brede doelgroep van onderzoekers, ontwikkelaars, lerarenopleiders en leraren. Gravemeijer heeft met dit proefschrift een proeve van bekwaamheid afgelegd als ingenieur en als onderzoeker. Wellicht denkt menige lezer: als dit het wetenschappelijke 'afval' is, dan ben ik wel erg nieuwsgierig naar het hoofdprodukt i.c. de leergang! Literatuur Freudenthal, H. (1973). De niveaus in het leerproces en de heterogene leergroep, met het oog op de middenschool. Gesamtschule Conferentie Purmerend: Muusses. Lévi-Strauss (1968). Het Wilde Denken. Amsterdam: Meulenhoff. J. Terwei Instituut voor de Lerarenopleiding Universiteit van Amsterdam