Wiskundige denkactiviteiten in de klas Peter Kop docent GSG LeoVroman, vakdidacticus Iclon Leiden, lid & auteur & pilotdocent Ctwo, nascholer Email: koppmgm@iclon.leidenuniv.nl Nieuwegein, november 2017 MSOR 2017, Birmingham ICLON, Interfacultair Centrum voor Universiteit Lerarenopleiding, Leiden. Onderwijsontwikkeling Bij ons leer je wereld en Nascholing kennen.
inhoud Wat zijn WDA? Internationaal en niet nieuw Waarom zijn ze van belang voor het leren van leerlingen? Waarom doen we niet gewoon WDA in de klas? Voorbeelden uit Ontwerpen van wiskundige denkactiviteiten onderbouw havo/vwo Afsluiting
Successen Bedenk een succesvol moment in je klas (na afloop dacht je: Yes! Zo hoort onderwijs te zijn! ) Beschrijf de les: Wat vond je precies het succes? Wat deden leerlingen? Wat deed jij als docent?
Zie je het bewijs van stelling van Pythagoras? Driehoek ABC rechthoekig; vierkant AEFB c 2 b AG b cos A = ;cos A = ; AG = ; oppaegh = b c b c 2
Wat zijn WDA? Niet iedere wiskundige activiteiten is een WDA Parate en niet-parate wiskundige activiteiten (nietparaat vergt denken) Dus definieer parate kennis en vaardigheden zie syllabus: reproductie en productie maar ook in de les van vandaag
Wiskundige denkactiviteiten 1) modelleren en algebraïseren 2) ordenen en structureren 3) analytisch denken en probleemoplossen 4) formules manipuleren 5) abstraheren 6) logisch redeneren en bewijzen (zie site ctwo, Handboek Didactiek Wiskunde, syllabi)
WDA waarom? Niet alles kan paraat zijn, dus probleem oplossen nodig Denkgereedschapskistje voor leerlingen nodig met samenhangende kennis en heuristieken Iedere leerling kan men laten beleven, wat het is, op het eigen verstand vertrouwend, een eigen inzicht in een voor hem begrijpelijk gesteld probleem te vormen en, eventueel, ook een eigen oplossing te vinden..niet eerst aan t eind van de cursus, maar in het begin. (Ehrenfest-Afanassjewa, 1960) WDA als doel en middel
Internationaal Common Core Standards for Mathematical Practices Make sense of problems and persevere in solving them Reason abstractly and quantitatively Construct arguments and critique the reasoning of others Model with mathematics Use appropriate tools strategically Attend to precision Look for and make use of structure Look for and express regularity in repeated reasoning (http://www.corestandards.org/math/practice/)
http://map.mathshell.org/ https://undergroundmathematics.org/
WDA niet nieuw Een deel van de inspanning die een zwemmer levert gaat helaas verloren aan het in beweging brengen van het water. Het overige deel van de inspanning wordt gebruikt om vooruit te komen. De situatie kan als volgt in een formule worden beschreven: It = Iv + Iw waarbij It = de totale geleverde inspanning Iv = de inspanning die gebruikt wordt om vooruit te komen. Iw = de inspanning die verloren gaat aan het in beweging brengen van het water. Hoe goed een zwemmer zijn inspanning verdeelt wordt uitgedrukt in een getal. Dit getal R noemt men het rendement en wordt berekend met onderstaande formule: RR = II vv + II ww De resultaten worden in drie categorieën verdeeld: II vv havo A 1989 II categorie I: R 1 / 2 categorie II: 1 / 2 < R < 2 / 3 categorie III: R 2 / 3 Teken in bovenstaande figuur de grenzen van de gebieden die bij deze categorieën horen en leg uit hoe je die grenzen gevonden hebt.
Havo 1990-I Een planoloog legt in een onderzoek onder bewoners deze steeds een kaartje met drie straten voor. De bewoners moeten kiezen welke twee straten zij het meeste op elk vinden lijken. Er zijn 10 straten: A,B,C,D,E,F,G,H,K,L. Hoeveel kaartjes zijn er totaal mogelijk bij dit onderzoek? Een persoon is bereid om bij alle mogelijke kaartjes een keuze te maken. Is het mogelijk dat hij 7 keer voor de combinatie AB, 7 keer voor de combinatie AC en 7 keer voor de combinatie AD kiest?
Havo 1996-I Een ontwerper krijgt opdracht een nieuw muntenstelsel te maken. Hij moet zich houden aan de volgende eisen: -de diameters van de munten mogen niet kleiner zijn dan 13 mm en niet groter dan 49 mm; -de diameters van de munten moeten een factor 1,3 of meer verschillen; -het verschil in diameter tussen de munten moet minstens 5 mm zijn; -de diameter moet een geheel aantal mm zijn Ontwerp zelf een muntenstelsel met zoveel mogelijk munten dat aan alle vier eisen voldoet.
Wat weten we al over wiskunde leren? Opbouw kennis eenvoudiger als er een kapstok is begin zo algemeen mogelijk Leerlingen zijn geen blanco bladen (ze denken toch) Gefragmenteerde kennis bij leerlingen "Je kunt aflezen dat dit geen lineair verband is, want een toename van t leidt niet persé tot een toename van het aantal. De formule laat dus geen evenredigheid zien. Het is een exponentieel verband. Belang van samenhang en herkennen categoriseren/ordenen en weten wanneer Probleem aanpak leren expliciet aanleren van heuristieken (domeinspecifieke en algemene) Abstraheren en generaliseren nodig door leerlingen laten doen
WDA doel en middel dus niet enkel op eind hoofdstuk 1) modelleren en algebraïseren 2) ordenen en structureren 3) analytisch denken en probleemoplossen 4) formules manipuleren 5) abstraheren 6) logisch redeneren en bewijzen Lijstje lang en ongelijksoortig overzicht
Uit Ontwerpen van wiskundige denkactiviteiten onderbouw havo/vwo Anne van Streun & Peter Kop Taken voor Van exploreren naar structuur Denkopgaven bij start nieuw deelgebied. Van kennis naar probleem oplossen Denkopgaven om basiskennis te gebruiken in nietstandaard situaties. Van exploreren naar redeneren/abstraheren Verdiepende denkopgaven in het logisch redeneren en/of abstraheren.
Hoe nu in de klas? Wat lijken problemen als je aan WDA begint in de klas? moeilijk te maken kost tijd, is heel anders te moeilijk voor zwakke leerlingen
Moeilijk te maken
Aanpassen van bestaande opgaven Hele taak / centrale vraag (focus op kern leerdoel) Omdraaien en weglaten Betekenisvol voor leerlingen
Doel: overzicht aan begin van nieuw hoofdstuk (WDA: exploreren voor structuur) Centrale vraag: Bekijk de onderstaande rijen. Zoals je ziet hebben we de termen (getallen in de rij) de namen t 0, t 1, t 2, t 3, enz. gegeven. We starten vaak met t 0 maar soms ook met t 1. Vul bij iedere rij de ontbrekende termen in en beschrijf het patroon dat je daarbij gebruikt. Bedenk een wiskundige formule om de rij te beschrijven. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 10 t 15 10 20 40 80 160 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 10 t 15 10 8 6,4 5,12 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 10 t 15 10 13 16 19 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 10 t 15 10 29 86 257 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 10 t 15 10 13 23 36 59 95
Doel: starten met logaritme (WDA: exploreren voor structuur) Centrale vraag: Wat doet de operatie log ( logaritme ) met een getal? Gebruik je GR om de volgende logaritmen uit te rekenen. log(10) = log(100) = log(2000) = log(70) = Maak eventueel nog extra voorbeelden. Heb je enig idee wat "log" doet met een getal?
Doel: verkennen van buigpunten (WDA: exploreren voor structuur) Vraag in boek: Bereken de buigpunten van Alternatieven: f( x) = x 3x 3 2 Wijs de buigpunten in de grafiek aan en bedenk een methode om deze te berekenen. OF Leg uit waarom je met vinden. f ''( x ) = 0 de buigpunten kunt OF Welke informative geeft: over de grafiek van f f(5) = 10; f '(5) = 2; f ''(5) = 0
Doel: verkennen van momentane snelheid (WDA: exploreren voor structuur) Twee foto's van dezelfde auto: stilstaand en rijdend. De rijdende auto werd gefotografeerd met een sluitertijd van 15 1 sec. De auto is 4,37 meter lang. Maak op basis van de rechter foto een schatting van de snelheid van de auto (in km/u).
Doel: samenhang tussen snelheid en afgelegde weg in natuurkunde en wiskunde (WDA: exploreren voor structuur) Centrale vraag 1: Wanneer wil je de oppervlakte onder een kromme weten? Centrale vraag 2: Hoe bereken je de oppervlakte onder een kromme in deze situaties? 2 De formules van deze grafieken zijn: y = 5 x; y = 5x+ 7; y = x
Doel: ontdekken van oplossingsmethode (WDA: exploreren voor structuur) Centrale vraag: Kies zelf een van beide vragen en werk die uit: CV A: Gisteren moest ik voor vier cola en twee koeken 13 euro afrekenen. Vandaag betaal ik voor drie cola en een koek 9 euro. Neem aan dat de prijzen niet veranderd zijn. Wat betaal ik voor een cola en ook wat betaal ik voor een koek. CV B: Voor welke waarde van x en y geldt: 2x+ 3y = 10 x+ 2y = 6
Doel: oefenen van algebraische vaardigheden (WDA: exploreren voor structuur) Welke expressies zijn niet gelijkwaardig met y 2 = 3x ; x is steeds positief a 3 y = 2 x b 3 1 y =. x x c y = (3 x ) d y = e y = 6x 2x 4 x 3( 5 ) 1 2 f y = 4x x 3 2 2 2 g y = 2x + x x 1 1
Doel: oefenen met inzicht (WDA: redeneren en abstraheren) Centrale vraag: Geef aan of de volgende uitspraken WAAR of NIET WAAR zijn en bedenk argumenten daarvoor: 5 5 25 2 2 = 2 2.2 = 2 5 2 7 (2 ) = 2 6 2 12 2 + 2 = 2 5 5 10 10 2 5 = 2 2 2 2 2 = 2 8 2 6 Probeer hierna mogelijke rekenregels voor machten te formuleren. Welke mogelijke rekenregels kun je formuleren: 6 4... 2 + 2 = 2 6 4... 2 2 = 2 6 4... 2 2 = 2 6 2... = 2 4 2 4 6... (2 ) = 2
Doel: integreren/consolideren van kennis (WDA: exploreren voor structuur) Hieronder zie je van verschillende exponentiële functies steeds vier kaartjes. Zoek de kaartjes bij elkaar die bij dezelfde exponentiële functies passen. Een maand telt voor 4 weken. Formule is y = 240*0,81 x, met x in weken Formule is y = 200*0,95 x, met x in weken Groeifactor per 10 weken is 5,23 Groeipercentage per week is 3% x 3 6 y 127,5 67,8 Bij x=1 hoort y=190 Bij x=2 hoort y=180,5 Groeifactor per week is 1,18 Groeipercentage per jaar is 365% Per week neemt hoeveelheid met 19% af De halveringstijd is 13,5 weken Groeipercentage per week is 18% Groeipercentage per maand is 13% De halveringstijd is 3,3 weken Afnamepercentage per 4 weken is 19% Groeipercentage per 2 weken is 39,2% Formule is y = 100*1,03 x met x in weken
Afronden met kennisgraaf/concept map Geef door middel van pijlen aan of je rechtstreeks uit het ene het andere kan berekenen. Bijv. als je rechtstreeks vanuit het groeipercentage per jaar het groeipercentage per maand kan berekenen, dan trek je een pijl van groeipercentage per jaar naar groeipercentage per maand groeifactor per jaar groeipercentage per jaar groeifactor per maand groeipercentage per maand groeifactor per tien jaar groeipercentage per tien jaar verdubbelingstijd
Doel: oriëntatie op bewijzen (WDA: redeneren en probleemaanpak) Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC met hoek is 90 0. Vanuit wordt een loodlijn op BC getrokken. Het snijpunt is D. Nu geldt: AD 2 = BD*CD Bedenk zoveel mogelijk bewijzen
Doel: Representaties gebruiken bij probleem oplossen (WDA: probleem oplossen) Titia haar rechtszaak Titia is geverbaliseerd wegens te hard rijden op een weggedeelte waar 60 km/u de maximale snelheid is. Zij is het niet met de boete eens en haar zaak komt voor de rechter. De betrokken politieagent verklaart dat hij na een bocht 1,5 km met een snelheid van 120 km/u had moeten rijden om Titia te kunnen inhalen. Titia baseert haar verdediging op drie punten: 1. Ik reed precies 60 km/u. 2. De verklaring van de agent bewijst niets. Hoe ver was hij achter mij, toen hij besloot te gaan inhalen? Dat is alleen van belang. 3. Toen ik de politieauto in de spiegel de bocht om zag komen was ik 500 meter voorbij die bocht. Neem aan dat de gegevens van de agent kloppen. Centrale vraag: Hoe stevig staat de verdediging van Titia?
Doel: ordenen van tweede graadsvergelijkingen (WDA: exploreren voor structuur) Deel vergelijkingen in naar oplossingsmethode 2 2( 4) 2 12 3( x 2)( x+ 6) = 0 2( x 1)( x+ 1) = 10 x x 2 2 x = 18x= 0 + 2x= 12 4 xx ( 10) = 75 3( x 2)(2x+ 4) = 0 x 2 4 12 8 x = x + 2 20 4( 6) 5 x = x = 2 ( 2) 3( 2) 10 0 2 xx ( + 4) = 10( x+ 4) ( x 4) = (2x+ 2) 2 2
Afronding Moeilijk te maken Focus op kern (die moet erin en stel die centraal). Start met voor leerlingen betekenisvolle situatie (later komt generaliseren, abstraheren, formaliseren). Omdraaien en weglaten (haal toepassingsopgaven of opgaven met kern naar voren; streep alle tussenvragen in eerste instantie weg). Gebruik vragen als: waarom, hoe weet je (zeker) dat, waarin hetzelfde en waarin verschillend, geef (tegen) voorbeelden, wat zou er gebeuren als, wat geldt er algemeen? Kijk naar voorbeelden in andere vakken Breng variatie aan in de taak Bijvoorbeeld: matchen, categoriseren, kwartetten
te moeilijk voor zwakke leerlingen Geef hulp op maat en denkgereedschap Differentieer
Hulp-op-maat start taak : docent (of keuze) activeert voorkennis; bespreekt strategie; geeft een representatie om te kunnen denken taak uitvoeren: docent (of keuze) geeft/bespreekt heuristieken; geeft hulpkaarten met tussenvragen, hints, voorbeelden, strategie, stappenplan; laat leerlingen in tweetallen of in kleine groepjes samenwerken; reflectie/integreren/consolideren: docent (of keuze) vraagt om tussentijdse controle; stelt controlevragen en reflectievragen (Hoe sta je ervoor? Wat is je volgende doel? Kan dit tussenantwoord? Kan dit antwoord kloppen?)
kost tijd, is heel anders Walter Doyle: ecologie in de klas Open en slecht gedefinieerde opgaven worden teruggebracht door behoefte aan: Meer duidelijkheid Kleinere stappen in oplossingsproces Didactisch contract aanpassen: nieuwe stof proberen we te begrijpen met huidige kennis Integreer WDA in alle fasen van de les In het begin: centrale vragen met voldoende ondersteuning
Wat lijken problemen als je aan WDA begint in de klas? moeilijk te maken gebruik centrale vragen omdraaien en weglaten kost tijd, is heel anders rustige start en integreer in alle fasen van lessen te moeilijk voor zwakke leerlingen geef hulp op maat (bijv. hulpkaarten voorin klas met voorbeelden, uitleg in stappen bespreken (globaal = strategieniveau, gewoon, extra uitgebreid)
Ontwerpen van Wiskundige Denkactiviteiten Deel 1: bovenbouw havo-vwo Implementatie examenprogramma s wiskunde havo-vwo 2015 Oktober 2015 Onderwijzen en toetsen van wiskundige denkactiviteiten SLO Voorbeelden van Hele-taak-eerst en Hulp-op-maat bij wiskunde uit Praktisch Gedifferentieerd Uitdagend Onderwijs Vakspecifiek Uitgewerkt http://downloads.slo.nl/repository/ontwerpen-van-wiskundige-denkactiviteiten-onderbouw-havo-vwo.pdf http://downloads.slo.nl/repository/ontwerpen-van-wiskundige-denkactiviteiten-bovenbouw-havo-vwo.pdf http://www.slo.nl/downloads/2014/onderwijzen-en-toetsen-van-wiskundige-denkactiviteiten.pdf/ http://wordpress2.iclon.nl/iclonboekenblog/wpcontent/uploads/2016/03/uitdagendgedifferentieerdvakonderwijsdef.pdf
Uit Ontwerpen van wiskundige denkactiviteiten onderbouw havo/vwo Delen uit je boek aanpassen/vervangen door. Voorbeelden uit hoofdstuk Verbanden
De sponsorloop Tabel en grafiek Opa betaalt je 7 per rondje. a. Teken de bijbehorende grafiek. Je moeder betaalt startbedrag 20 en daarbovenop nog 5 per rondje. b. Bij welk aantal rondjes krijg je meer van je moeder dan van je opa? Rekenpijlen a = het aantal rondjes b = het bedrag 0 1 2 3... Lineaire verband via sponsorloop Je zus geeft je 5 als startbedrag en 6 per rondje. c. Bereken met de ketting van rekenpijlen haar opbrengst bij 7 gelopen rondjes. d. Bereken het aantal rondjes als je moeder je 85 uitbetaalt. Formule Je moeder rekent eigenlijk met de volgende formule: bedrag b = aantal rondjes a keer 5 + 20 Afgekort geeft dat de formule: bb = aa 55 + 2222 Van exploreren naar structuur Betekenis door representaties te koppelen
Functie families y = a x en y = a x+ 2 De lijnenwaaiers a. De formule yy = aaaa hoort bij een familie van grafieken die we een lijnenwaaier noemen. Teken in het assenstelsel een viertal leden van die familie. b. Een andere familie van grafieken die een lijnenwaaier vormen heeft de formule yy = aaaa + 2. Teken in het zelfde assenstelsel een viertal leden van deze familie, waarvan de grafieken evenwijdig lopen aan die van de vorige vier. c. Welke formules horen bij deze 4 paren grafieken? d. Spiegel beide families in de y-as. Krijg je dan twee andere families? Welke formules horen daarbij? Redeneren en abstraheren: Functie families maken
y=(x+a)(x-b) nulpunten & top De parabolen met formules yy = (xx + aa)(xx bb) en yy = ( xx + aa)(xx bb) Dit type noemen we wel de ontbonden vorm, (...)(...). De nulpunten en de top Zoek bij elk van de volgende Voorbeeld: yy = (xx + 1)(xx 3) kwadratische formules eerst de coördinaten (x, y) van de nulpunten en daarna die van de top T. Schets daarna de grafiek. a. yy = ( xx + 5)(xx 7). b. yy = (xx + 3)(xx 1). c. yy = ( xx 4)(xx 6). d. yy = (xx 2)(xx 4). e. yy = ( xx + 8)(xx 2). f. yy = xx(xx 4). Naar structuur: Betekenis geven aan formules door koppeling aan grafiek
Even wat anders Je hebt gevonden dat je bij een kwadratische formule in de ontbonden vorm snel de nulpunten van de bijbehorende grafiek kunt berekenen. Dat geldt niet alleen voor kwadratische formules en parabolen. a. Schets de grafiek bij de formule yy = ( xx + 5)(xx 7)(xx 4). Bereken eerst de nulpunten en maak een tabel totdat je weet hoe die grafiek loopt. Een formule zoeken Bedenk bij deze grafiek een formule. Generaliseren naar Schets van y=(-x+5)(x-7)(x-4)
De parabolen met formules yy = (xx pp) 22 + qq en yy = (xx pp) 22 + qq De kwadratische vorm en de nulpunten Uit de kwadratische vorm yy = (xx pp) 2 + qq of yy = (xx pp) 2 + qq kun je niet alleen snel de coördinaten van de top T vinden, maar ook de coördinaten van de snijpunten met de x-as (de nulpunten), als die er zijn. a. Maak bij de formule yy = (xx 3) 2 4 een tabel en zoek daarmee de coördinaten van de nulpunten. b. Je hebt nu de vergelijking (xx 3) 2 4 = 0 opgelost. Dat kan ook direct door goed naar de vergelijking te kijken. Bereken zo de oplossing. c. Bereken op dezelfde manier de nulpunten van yy = (xx 4) 2 7. Stap voor stap opschrijven! d. Controleer je antwoord door de gevonden x-waarden in te vullen in de formule. Naar structuur Formule aan grafiek koppelen en vergelijkingen oplossen
Families van parabolen Schets bij elke familie van kwadratische formules 5 grafieken en leg uit welke kenmerken zij gemeenschappelijk hebben. Voor welke waarden van p zijn er geen nulpunten? a. ff(xx) = (xx + 1)(xx 3) + pp c. h(xx) = 4xx 2 + 2xx + pp d. kk(xx) = 2(xx pp) 2 + 16 Rol van parameters Redeneren met parameters a. Gegeven is de familie van functies ff(xx) = (xx aa) 2 + 4 aa 2 Toon aan dat alle grafieken van deze familie door één punt gaan. b. Gegeven is de familie van functies ff(xx) = (xx aa) 2 + 2aa 1. Geef een formule van de lijn door de toppen. Redeneren/abstraheren
Schetsen van globale grafieken x en/of y gaat naar plus of min oneindig Zoek bij de volgende formules met getallenvoorbeelden uit wat de y-waarde doet als de x-waarde naar plus of min oneindig gaat. Onderzoek ook of de y-waarde in de buurt van een bepaalde x-waarde naar plus of min oneindig gaat. a. yy = xx 2 d. yy = xx+5 xx 4 b. yy = xx 3 e. yy = 2 xx 2 c. yy = 0,5 xx f. yy = xx(xx 1) (xx+2)(xx 3) Wie wint het? De ene grafiek stijgt of daalt veel sneller dan de andere. Dat hangt natuurlijk af van de formule. Ga bij de volgende tweetallen formules na welke het op de duur wint, dus als tt +. a. VV = 2500tt en KK = 0,001xx 2 b. PP = tt 3 en QQ = 1,5 tt c LL = 3tt+9 tt en MM = tt+1000 tt Oneindig gedrag en sterkste Redeneren/abstraheren
Formules en grafieken matchen Zoek de grafieken en formules bij elkaar. Formule Keuze grafiek Waarom die? y= 2 xx ( 9) y= 2 xx ( 2)( x+ 4) 2 2 y = x (6 x ) yy = 4xx xx 5 A. B. C. G. H.
Afsluiting WDA in de klas WDA is noodzakelijk in alle fasen van leerproces (dus niet enkel op eind) Gebruik centrale vragen (voor focus op kern) (leerlingen zien de kern niet in paragraaf met 32 vragen) Heb vertrouwen in gezonde verstand van leerlingen en maak daar gebruik van (niet voor ieder probleem een aparte paragraaf) Begin klein (en let op spontane WDA mogelijkheden) en toets in lijn met onderwijs Formuleer expliciet parate kennis en denkgereedschap voor leerlingen (samenhangende kennis,heuristieken) Nieuwe stof aanpakken met bestaande kennis
Afsluiting Hebben jullie nu antwoorden op: Hoe opgaven/taken maken met WDA? Waarom tijd maken voor WDA? Hoe om te gaan met WDA in de klas; i.h.b. problemen voor zwakke leerlingen? En een tip voor mijn sectie m.b.t. WDA is... Veel plezier en success met WDA Vragen?