Tentamen ELEKTRISCHE OMZETTINGEN (et2 040)

1 Tentamen ELEKTRISCHE OMZETTINGEN (et2 040) gehouden op vrijdag, 24 augustus 2001 van 14.00 tot 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 6 bladzijden met 6 opgaven. Het aantal punten dat u maximaal per opgave kunt verkrijgen, is bij iedere opgave apart vermeld in de linker marge. Voor uw aanwezigheid krijgt u 10 punten. Het maximaal te behalen aantal punten bedraagt 100. Bij 55 punten of meer heeft u een voldoende. Beantwoord en beargumenteer alle vragen kort en bondig. Begin de beantwoording van ieder vraagstuk op een nieuwe pagina. Veel succes! Technische Universiteit Delft Faculteit ITS Mekelweg 4 2628 CD Delft

2 Opgave 1 Nevenstaande transformator heeft een rechthoekige kern met als eigenschappen: lengte van het ijzercircuit: ; doorsnede van het ijzercircuit: ; relatieve permeabliteit :. Verder is gegeven:. Het primaire aantal windingen is 500; het secundaire aantal windingen is 50. De transformator is verliesvrij en spreidingsloos. Er wordt aangenomen dat de fluxdichtheid in de kern over de gehele doorsnede gelijk is. 2 1a Geef een uitdrukking voor de coëfficiënt van zelfinductie van de primaire spoel. 2 1b Geef een uitdrukking voor de coëfficiënt van wederzijdse inductie. 2 1c Hoe groot is de spreidingsfactor bij deze transformator? In deze opgave wordt aangenomen dat voor de maximale waarde (amplitude) van de fluxdichtheid in de kern geldt. Voor de maximale (effectieve) waarde van de secundaire stroom geldt:. 3 1d Bereken de (effectieve) waarde van de maximale secundaire spanning als de primaire spoel is aangesloten op een spanningsbron met een sinusvormige spanning met een frequentie van 50 Hz. 2 1e Hoe groot is het maximale vermogen dat deze transformator in dit geval aan de secundaire zijde kan afgeven? 2 1f Hoe groot is dat maximale vermogen als de frequentie 400 Hz is? 4 1g Bereken het schijnbare vermogen dat de transformator aan primaire zijde opneemt voor dit geval.

3 Opgave 2 Nevenstaande figuur is een doorsnede van een cilindrische elektromagneet zoals die toegepast wordt in matrixprinters. De pen in het midden zit aan de ronde ijzeren plaat bovenin de figuur. De pen en de ronde plaat kunnen op en neer bewegen. Als de pen naar beneden gaat, drukt die het inktlint tegen het papier. De pen is niet magnetisch. De straal van de opening in het magnetisch circuit waar de pen doorheen gaat is verwaarloosbaar klein. Voor het ijzer van het magnetische circuit geldt: µ r =. Het veld in de luchtspleet wordt homogeen verondersteld. Er geldt namelijk:. 3 2a Geef een vervangingsschema voor het magnetische circuit. 2 2b Geef een uitdrukking voor de coëfficiënt van zelfinductie. We werken verder met. 3 2c Geef een uitdrukking voor de kracht van elektromagnetische oorsprong die op het beweegbare deel werkt. 4 2d Geef een uitdrukking voor de gemiddelde waarde van de kracht van elektromagnetische oorsprong voor het geval dat de spoel gevoed wordt uit een wisselspanningsbron waarvoor geldt. Hierbij mag verondersteld worden dat de weerstand van de spoel verwaarloosbaar is ten opzichte van zijn reactantie en dat de positie x constant is. Opgave 3 Voor de verbinding tussen twee elektriciteitsnetten wordt een zogenaamde High VoltageDirectCurrentverbinding gebruikt. Deze verbinding wordt in deze opgave sterk vereenvoudigd voorgesteld volgens onderstaande figuur.

4 Voor de omzetting van wisselspanning in gelijkspanning en omgekeerd worden thyristorgelijkrichters gebruikt. Alle componenten in bovenstaande schakeling worden ideaal verondersteld. De wisselspanningsbronnen u a1 en u a2 stellen de elektriciteitsnetten voor. De (effectieve) waarde van de netspanning is 550 kv en de frequentie ervan is 50 Hz (voor beide netten). De weerstand R dc is de weerstand van de kabel en heeft een waarde van 8 Ω. We veronderstellen dat L dc zodanig groot is, dat de stroom in de gelijkstroomverbinding constant is (i dc =I dc ). Verder is gegeven dat voor de gemiddelde waarde van de uitgangsspanning van een thyristorbruggelijkrichter geldt: waarin û de amplitude van de wisselspanning is en α de ontsteekhoek. 4 3a We willen dat wisselspanningsnet 1 een vermogen van 300 MW ontvangt terwijl de gelijkstroom 1000 A is. Geef de waarden van de ontsteekhoeken α 1 en α 2 (let goed op de polariteit van de spanningen). 6 3b We willen dat wisselspanningsnet 2 een vermogen van 500 MW ontvangt terwijl het in de kabel gedissipeerde vermogen minimaal is. Geef de waarden van de ontsteekhoeken α 1 en α 2 en de grootte van de dissipatie in de kabel. 4 3c Geef een uitdrukking voor de arbeidsfactor van de wisselspanningsbron u a1 als functie van de ontsteekhoek α 1. Opgave 4 In nevenstaande figuur is een verliesvrije chopper afgebeeld. Schakelaar T wordt periodiek geschakeld. De schakeling werkt in stationair bedrijf. 3 4a Schets het verloop van de spanning u s en van de stromen i 1 en i 2 voor één periode voor het geval van leemtebedrijf. De voedingsspanning U 1 bedraagt 100 V. De uitgangsspanning U 2 is 60 V. De coëfficiënt van zelfinductie van de spoel is gelijk aan 2 mh. 4 4b Bereken welke schakelfrequentie f minimaal noodzakelijk is om de toptopwaarde van de rimpel op de stroom i 2 te beperken tot 1Ainhetgeval van leemtevrij bedrijf. (Voor de schakelfrequentie geldt: ).

5 Opgave 5 Een spanningsinvertor, opgebouwd met volledig stuurbare halfgeleiderschakelaars (bijvoorbeeld IGBT's), wordt gebruikt om een wisselspanning op te wekken. 4 5a Schets het schema van een driefasige spanningsinvertor. 3 5b Wat is de functie van de diodes? 3 5c Schets de gekoppelde spanningen aan de uitgang van een driefasige spanningsinvertor. Opgave 6 Een 3fasige synchrone machine met 1 poolpaar heeft een cilindrische rotor met een sinusvormig verdeelde wikkeling. Het totale aantal windingen van de rotor bedraagt. De stroom in deze wikkeling is I f. De straal van de rotor is r. Voor de grootte van de luchtspleet δ geldt: δ << r. Het ijzer van de machine heeft een oneindig grote permeabiliteit (µ r = ). De machine wordt zo aangedreven dat voor de hoeksnelheid van de rotor geldt. De statorwikkelingen zijn sinusvormig verdeeld en hebben geen weerstand. Voor de coëfficiënt van zelfinductie van één statorspoel geldt L sa =10mH. Voor de synchrone inductiviteit (voor 3 fasen) geldt L s =15mH. Voor de coëfficiënt van wederzijdse inductie tussen statorfase a en de bekrachtigingswikkeling op de rotor geldt met. 2 6a Wat is het toerental van de machine in omwentelingen per minuut? 2 6b Schets, als functie van de rotoromtrekscoördinaat, de fluxdichtheid in de luchtspleet B r die wordt veroorzaakt door de bekrachtigingswikkeling. 3 6c Geef een uitdrukking voor de maximale waarde van de fluxdichtheid in de luchtspleet B r. De bekrachtigingsstroom wordt ingesteld op I f =10A. Fase a van de driefasige synchrone machine wordt belast met een weerstand van 3 Ω (R o ); de andere twee fasen blijven onbelast. De weerstand wordt aangesloten tussen de aansluitklem van fase a en het sterpunt van de machine. De machine werkt nu dus als eenfasige synchrone machine. Er is een stationaire toestand bereikt. 3 6d Teken het vervangingsschema voor deze machine. Geef hierin referentierichtingen voor de spanningen en de stroom aan. 3 6e Schets het fasordiagram in ongeveer de juiste verhoudingen. 4 6f Bereken de stroom in statorfase ai sa als functie van de tijd.

6 3 6g Bereken de in de bekrachtigingswikkeling geïnduceerde spanning ten gevolge van de stroom in statorfase ai sa. Zonodig kan gebruik gemaakt worden van de volgende goniometrische formules: ; ; Vervolgens worden ook de andere twee fasen van de synchrone machine belast met een weerstand gelijk aan R o. De machine werkt nu dus gewoon als symmetrisch belaste driefasige synchrone machine. Er is een stationaire toestand bereikt. 3 6h Teken het eenfasige vervangingsschema voor deze machine. Geef hierin referentierichtingen voor de spanningen en de stroom aan. 3 6i Als een synchrone generator symmetrisch belast is, behoeft het rotorijzer niet gelamelleerd te zijn. De rotor van een eenfasige synchrone generator moet wel gelamelleerd zijn. Leg met behulp van draaivelden dit verschil uit. 4 6j Geef een uitdrukking voor het elektromagnetisch koppel als functie van I f, L s,, en R o.

Uitwerkingen Tentamen ELEKTRISCHE OMZETTINGEN (et2 040) gehouden op vrijdag, 24 augustus 2001 van 14.00 tot 17.00 uur Opgave 1 2 1a 2 1b 2 1c 3 1d Er geldt: 2 1e Voor de effectieve waarde geldt dan: 2 1f De frequentie is nu 8 maal zo groot. Er geldt dus nu: 4 1g De primaire stroom bestaat uit de magnetiseringsstroom en de secundaire stroom getransformeerd naar de primaire zijde. Met het antwoord bij 1a volgt Bij 400 Hz geldt dan. Voor het schijnbare vermogen geldt: 3 2a Opgave 2 2 2b 3 2c 4 2d De weerstand van de spoel is verwaarloosbaar, zodat geldt Voor de gemiddelde waarde van de kracht van elektromagnetische oorsprong geldt

2 Invullen van geeft Opgave 3 4 3a ; of ; ; 6 3b Minimale dissipatie betekent zo klein mogelijk gelijkstroom, dus zo hoog mogelijke spanning (bij gegeven vermogen). De spanning is zo hoog mogelijk als de ontsteekhoek van de gelijkrichter α 1 gelijk is aan nul:. Verder geldt:. Het elimineren van U dc2 uit deze vergelijkingen levert op (let op: vermogensevenwicht): of Met als oplossingen met en met Het zal duidelijk zijn dat de tweede oplossing de gewenste is:, zodat 4 3c Omdat de gelijkrichter verliesvrij is, geldt voor het gemiddeld door de bron u a1 geleverde vermogen P 1 De effectieve waarde van de spanning van bron u a1 is U. Voor de effectieve waarde van de stroom door bron u a1 geldt Voor de arbeidsfactor van de bron u a1 geldt omdat i a1 blokvormig is.

3 Opgave 4 3 4a 4 4b Voor de toptopwaarde van de rimpel op de spoelstroom i Le geldt Hieruit volgt voor de schakelfrequentie:. 4 5a Opgave 5 3 5b Voor een inductieve belasting nemen de diodes de belastingstroom over als de gestuurde schakelaars worden afgeschakeld en verzekeren dus de continuïteit van de belastingsstroom. 3 5c 2 6a Opgave 6 2 6b De rotorwindingen zijn sinusvormig verdeeld, dus de fluxdichtheid is dat ook. 3 6c Noem de grootte van de magnetische veldsterkte in de luchtspleet H r. Dan geldt met de wet van Ampère voor de maximale waarde: B r 0 π 2π α r of

4 3 6d Voor de poolradspanning van fase ae pa in nevenstaand vervangingsschema geldt: e pa + L sa i sa + u sa 3 6e Voor de fasespanning geldt: Bovendien geldt: I sa δ E pa 4 6f Voor het elektrische circuit geldt de volgende U sa jω m L sa I sa differentiaalvergelijking: Deze differentiaalvergelijking heeft voor de stationaire toestand als particuliere oplossing: met en. Dus. Dit resultaat volgt overigens direct uit het fasordiagram bij antwoord 6e. 3 6g Voor de in de bekrachtigingswikkeling geïnduceerde spanning ten gevolge van de stroom in statorfase a geldt E p + ω m L s I s + U s ω m L s I s 3 6h Voor de fasor voor de poolradspanning in nevenstaand vervangingsschema geldt: + + E p U s 3 6i Het wisselende magnetische veld van een eenfasige synchrone machine kan ontbonden worden in twee componenten, een linksom draaiende en een rechtsom draaiende. De linksom draaiende component loopt synchroon met de rotor. De rechtsom draaiende component loopt met dezelfde snelheid de andere kant op, zodat de rotor een magnetisch veld met een dubbele frequentie ziet. Lamelleren wordt gedaan om de wervelstroomverliezen t.g.v. wisselende magnetische velden te verkleinen. In een symmetrisch belaste driefasige synchrone machine is het resulterende veld van de drie fasen één draaiveld dat synchroon met de rotor draait, zodat er geen wisselende magnetisch veld in de rotor is: de rotor behoeft niet gelamelleerd te worden. 4 6j Het koppel kan worden berekend uit de vermogensbalans. Voor een machine in stationair bedrijf zonder ijzerverliezen waarvan de spanningen en stromen een symmetrisch driefasig systeem vormen, kan deze vermogensbalans uitgewerkt worden tot. Omdat de statorwikkelingen weerstandsloos zijn, geldt voor het linker deel van deze vergelijking. De stroom kan berekend worden als. Hiermee volgt:.