Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120

Onderwerpen Fundamentele Informatica IN 3120 Probabilistische Turing Machines - Probabilistisch beslissen - de klasse en PP College 7 Cees Witteveen witt@cs.tudelft.nl Quantum Turing Machines - Quantum computing - Quantum complexiteit: de klasse BPQ Vb random algoritme Vb random algoritme (ii) schat grootte verzameling input: output: begin eindige verzameling S schatting aantal el. van S k : = 1; Trekking := a:= random(s) % random gekozen element van S while a Trekking do k := k+1 Trekking := trekking {a} a:= random(s) return 2k 2 /π % schatting aantal elems S end % standaard algoritme heeft E(loopptijd algoritme) = Θ( n) Θ(n) tijd nodig Korte uitleg: Pr( k verschillende elems uit verzameling met n elems) = n!/(n-k)!n k. Met Stirling s formule voor n! is deze kans bij benadering gelijk aan e -k^2/2n. De kleinste waarde van k zodat de kans 0.5 is dat er tenminste 2 of meer identieke elementen uit een verzameling met n elementen getrokken worden is dan te bepalen uit: e -k^2/2n 0.5 => k =1.177 n. Hieruit volgt de verwachte looptijd van het algoritme. De verwachte waarde E[Y] van het aantal trekkingen voordat een element voor de tweede keer getrokken wordt is gelijk aan E[Y] = π/2 x n. Uit deze verwachte waarde is een schatting van n te verkrijgen als k bekend is: n = 2k 2 /π

Vb: random satisfiability Probabilistische Tm (PrTm) input: set atoms U, set van m clauses C, output: waarheidstoekenning τ begin kies random waarheidstoekenning τ : U {0,1} return τ end Stelling probabilistische keuze stappen in iedere nondeterministische berekeningsstap keuze uit twee mogelijke instructies die ieder met kans 0.5 gekozen kunnen worden. probabilistische berekeningspaden de kans Pr(b) dat een berekeningspad b met k niet-deterministische keuzes wordt gevolgd is 0.5 k [keuzes zijn onafhankelijk] Het verwachte aantal clauses vervuld door τ is 0.5 x m Bewijs De kans dat een clause met k literals niet vervuld wordt door τ is gelijk aan 2 -k en de kans dat de clause wel vervuld wordt gelijk aan 1-2 -k 0.5. Zij Z i =1 als clause C i vervuld wordt door τ anders 0. Dan geldt: E(aantal clauses vervuld door τ) = E(Σz i )=ΣE[Z i ] m/2 probabilistische acceptatie kans dat PrTm M input w accepteert: Pr[ M accepteert w ] = b is accepterend pad voor w b = 1- Pr[ M verwerpt w] probabilistische herkenning taal L M herkent /beslist L met foutmarge ε (< 0.5) als w L impliceert Pr[ M accepteert w ] 1 - ε w L impliceert Pr[ M verwerpt w ] 1 - ε Bounded Probabilistic Probability () L alss er een polynomiale PrTm M bestaat die L herkent /beslist met foutmarge ε < 0.5; Stelling L alss er een polynomiale PrTm M bestaat die L herkent met foutmarge 2 -p(n) voor een willekeurige polynoom p(n), waarbij n = input deze stelling zegt dat de klasse niet verandert als de foutmarge polynomiaal klein wordt gemaakt. bedenk dat er volgens deze definitie van een vaste gap ter grootte van (1- ε - ε)=1-2ε >0 tussen juiste en onjuiste beslissingen bestaat. Vaak tref je in de literatuur een waarde ε = 1/3 aan. De klasse is interessant omdat blijkt dat de klasse niet verandert als we de foutmarge willekeurig polynomiaal klein maken in de lengte van de invoer (zie volgende slide:) Bewijs: Het is voldoende om te laten zien dat een taal L volgens de eerste definitie bevat is in volgens de tweede definitie. Neem daarom een taal L die door een machine M met foutmarge ε geaccepteerd wordt. Construeer nu een machine M voor input w met w = n met foutmarge t = 2 -p(n) als volgt: M : Pas M m = 2k-maal toe op input w en accepteer alleen als M de input w tenminste k-maal accepteert. We tonen aan dat m zo gekozen kan worden dat de foutmarge t = p( w ) is: Veronderstel eerst dat x in L. Laat X i de random variable zijn met X i =1 als M accepteert in i-de trial anders 0. Laat X = Σ X i Dan geldt: E[X/m] = 1-ε > 1/2 en Pr( M geeft foutief antwoord) = Pr( X/n < 0.5) Pr(X/m - (1- ε)< -0.5+ ε) Pas nu Chernoff toe met Pr(X/m - (1-ε) < δ) e -(δ^2)m/(2(1-ε) ε). Bepaal nu m uit δ = ε -0.5 e -(δ^2)m/(2(1-ε) ε) t. Hieruit volgt dat m ln(1/t)x δ 2 /(2(1-ε)ε) volstaat. Het bewijs gaat analoog voor het geval x niet in L. Het is duidelijk dat een waarde voor m gekozen kan worden die de foutmarge polynomiaal klein maakt.

PP: probabilistic polynomial time randomized complexity: relaties tussen klassen PP L in PP als er een polynomiale PrTM M bestaat waarvoor geldt: x L Pr ( M(x) = accept] > 0.5 NP PP en PP Stelling NP PP Bewijs: Laat L in NP en M een NTM die L accepteert. Construeer de volgende machine M : voor iedere input w: - met kans 0.5 accepteer w ; - met kans 0.5 simuleer M voor w Als w L dan is de kans op acceptatie > 0.5 Als w L dan is de kans op acceptatie 0.5 PP probleem: MAJSAT: gegeven SAT probleem (U,C) wordt C vervuld door meer dan de helft van de waarheidstoekenningen? Nb: merk op dat deze constructie niet gebruikt kan worden om aan te tonen dat NP : het aantal accepterende paden voor een nondeterministische berekening kan exponentieel klein zijn t.o.v. het totaal aantal berekeningspaden. De foutmarge bij acceptatie/verwerping kan dan nooit polynomiaal klein in w gemaakt worden. Σ 2 Π 2 ( dwz alle problemen zijn problemen op het tweede nivo van de polynomiale hierarchie) alle problemen in hebben polynomiale circuits ( dwz het is onwaarschijnlijk dat NP ) P, NP, en PP Onderwerpen PP Co-NPC NPC Probabilistische Turing Machines - Probabilistisch beslissen - de klasse en PP Co-NP P NP Quantum Turing Machines - Quantum computing - Quantum complexiteit: de klasse BPQ

Quantum Computing Quantum Computing Conventionele machines opereren op 0-1 bitrijtjes met logische poorten (AND, OR, NOR, NAND,... ) Quantum computers - opereren op quantum bits (qubit). Een qubit kent twee basistoestanden: spin-down ( 0>) en spin-up ( 1> ). - Een qubit kan zich echter ook in een superpositie van toestanden bevinden: a 0> + b 1> met a 2 + b 2 = 1. - Meting van zo n toestand resulteert in een basistoestand: toestand 0> met kans a 2 en toestand 1> met kans b 2 - Een k-qubit systeem kan bestaan in iedere superpositie van de 2 k basistoestanden: a 1 000 0> + a 2 000 1> +... + a 2^k 111 1> met a 2 i = 1. Bij meting resulteert weer een basistoestand j met kans a 2 j een niet geobserveerd quantum systeem evolueert volgens een unitaire tranformatie T. Zo n transformatie T opereert op een superpositie vector u T = (a 1, a 2,, a 2^n ) en heeft de eigenschap dat Vb (u t T) i 2 = (u it ) 2 = a i 2 = 1 (T bewaart de L2-norm) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 T = (a 1, a 2 ) = (a 1 -a 2 )/ 2, (a 1 +a 2 )/ 2 ) -1// 2 1/ 2-1// 2 1/ 2 merk op dat voor unitaire transformaties geldt: T t T = I Quantum fenomenen Quantum fenomenen: analyse Als een foton een halfdoorlaatbare spiegel passeert, wordt met p =.5 het foton gedetecteerd door d1 of d2 Door de halfdoorlaatbare spiegel wordt de toestand (1,0) getransformeerd in de toestand 1/ 2 1/ 2 (1, 0) = (1/ 2 1/ 2 ) -1// 2 1/ 2 Plaatsen we twee halfdoorlaatbare en twee niet-doorlaatbare spiegels, dan zou je opnieuw met p =.5 het foton verwachten bij d1 of d2. Het foton verschijnt echter alleen bij d1! Plaatsen we nu een ondoorlaatbaar object op een pad, dan wordt opnieuw met p =.5 het foton gedetecteerd door d1 en d2. Na 2e spiegel wordt de toestand (1/ 2, 1/ 2 ) getransformeerd in (1/ 2, 1/ 2 ) 1/ 2 1/ 2-1// 2 1/ 2 = (0, 1) blokkade reduceert superpositie (1/ 2 1/ 2 ) tot (1, 0) en dan volgt met A de resulterende toestand (1/ 2 1/ 2 ) bij de 2e spiegel.

Quantum Turing machines Configuratie overgangen Doel: presentatie quantum complexiteits theorie zonder fysica-ballast Hoe: introductie Turingmachines en configuratie transitiematrices 1. deterministische Tm 2. nondeterministische Tm 3. probabilistische Tm 4. quantum Tm bron: Lance Fortnow: One Complexity Theorist s view of Quantum Computing Configuratie van een Tm M voor input x is een beschrijving van - input - inhoud van de werktapes, - huidige toestand - posities van de lees- en schrijfkoppen op de tapes. Transitiematrix T is aanpassing van transitiefunctie δ van M voor configuraties Definitie Voor een DTM M met configuratieverzameling C en input x: T(c, c ) = 1 M in configuratie c voor input x, kan in één stap overgaan naar configuratie c Tm : transitiematrix T NTm: transitiematrix T T(c a,c b ) =1 c b is in een stap vanuit c a te bereiken, anders T(c a,c b ) = 0 T(c a,c b ) =1 c b is in één stap vanuit c a te bereiken, anders T(c a,c b ) = 0 T k (c a,c b ) =1 als M voor input x in c a start, is M na k stappen in configuratie c b T t( x ) (c init,c acc ) =1 M accepteert x efficient berekenbare klasse c init : beginconfiguratie c acc : accepterende configuratie P : klasse van problemen oplosbaar met polynomiale Tm T n (c a,c b ) = k aantal berekeningpaden ter lengte van n vanuit c a naar c b is gelijk aan k T t( x ) (c init,c acc ) > 0 efficient berekenbare klasse M accepteert x NP : klasse van problemen oplosbaar met polynomiale NTm

PrTm : Transitie matrix T Transitiematrix T(c a,c b ) = p kans om c b in één stap vanuit ( 0 p 1) c a te bereiken is p. Quantum TM: transities Transitiematrix voor configuraties (T(c a,c b )) 2 = z 2 Pr [ c b vanuit c a in een stap] = z 2 z Q arbitrair T n (c a,c b ) = p Pr[ c b in n stappen vanuit c a te bereiken ] = k T is unitair : voor alle vectoren u geldt u T T 2 = Σ i=1.. C u i 2 c c C T(c,c ) = 1 : T t( x ) (c init,c acc ) = p efficient berekenbare klasse T is een stochastische matrix Pr [ M accepteert x ] = p L x L T t( x ) (c init,c acc ) > 0.75 (t(n) is polynoom in n) x L T t( x ) (c init,c acc ) < 0.25 (T t( x ) (c init,c acc )) 2 = p Pr [ M accepteert x ] = p BQP : klasse van efficient quantum-berekenbare problemen A BQP x Yes A (T t( x ) (c init,c acc )) 2 > 0.75 x Yes A (T t( x ) (c init,c acc )) 2 < 0.25 (t(n) is polynoom in n) Quantum complexity : BQP PSPACE PP BQP P BQP PP PSPACE Opmerkingen Quantum Comp Quantum turing machine (qtm) zijn krachtiger dan standaard Tm s Commentaar: Nee, iedere quantum computer kan gesimuleerd worden door een klassieke Tm. Voor een aantal problemen is mogelijkerwijs een speedup t.o.v. klassieke berekeningsmodellen te behalen. Reversibele operaties zijn een kenmerk van quantum berekeningen Commentaar: reversibiliteit is een consequentie van het feit dat T unitair is. Unitaire matrices zijn inverteerbaar: als Tu = v, dan is het mogelijk uit toestand v weer u te verkrijgen: T -1 v= u. Quantum computers zijn sneller dan klassieke computers Commentaar Teruggebracht tot de vraag geldt BQP? luidt het antwoord: dat weten we niet. Dit zou namelijk impliceren P PSPACE en dit is nog open.

QC: nog een paar resultaten BQP en NPC Bennett et al 1997: er bestaat een random orakel zodat een qtm exponentiële tijd nodig heeft om een NPC probleem op te lossen. Onwaarschijnlijk dat NPC BQP Varizani 2000 BQP is waarschijnlijk niet bevat in NP; BQP NP is open Grover (1996) : quantum computing algoritme voor vinden item in een ongesorteerde database van n items in O( n)-tijd. (Bennet: Grover s algoritme is optimaal) Schor (1994) factorizering : O(n 3 ) quantum computing algoritme gegeven een blackbox programma dat op precies één n-bit string een 1 oplevert. Er is geen enkel quantum algoritme dat deze string kan vinden in minder dan 2 n/2 - tijd NP, en BQP? Co-NPC NPC Co-NP BQP NP P Gegeven een verzameling van m planners P 1,..., P m. Iedere planner P i beschikt over n i alternatieve plannen p i 1,..., pi ni om zijn doel te verwezenlijken. Voor uitvoering van een plan zijn resources uit een verzameling R nodig. Van ieder plan p i j, i =1, m, j = 1,, n i, is de verzameling Ri j R van resources bekend die benodigd zijn om het plan p i j te realiseren. Een open vraag De vraag is nu of er voor iedere planner P i een plan p i i0 bestaat zodanig dat voor elk tweetal planners P i en P j geldt R i i0 Rj j0 =, m.a.w., kan iedere planner een van zijn plannen kiezen zodanig dat er tussen de gekozen plannen geen resource-conflicten ontstaan? 1. Toon aan dat dit probleem een NP-probleem is. 2. Toon aan dat dit probleem een NP-compleet probleem is. Hint: U kunt hierbij gebruikmaken van het volgende NP-complete EXACT 3-COVER probleem Instantie: een verzameling X van 3q elementen en een verzameling C van subsets die ieder uit precies drie elementen van X bestaan. Vraag: bestaat er een deelcollectie C van C zodanig dat ieder element van X precies eenmaal voorkomt in een element van C?

Uitwerking Uitwerking Ad vraag 1 Laat p i i0 voor i =1,..., m een voorgestelde oplossing zijn. We controleren eerst of iedere planner precies 1 plan heeft gekozen: kosten O(m 2 ). Vervolgens gaan we per planner i na of er geen resource conflicten tussen R i i0 en de resources van de overige plannen bestaan. Dit kost per plan p i i0 O( R i i0 x Σ j i R j j0 ) tijd en in totaal derhalve O( (Σ R j j0 ) 2 )-tijd. Aangezien de grootte van de probleeminstantie minstens O(Σ R j j0 + m) bedraagt, is de check derhalve in kwadratische tijd uit te voeren. Ad 2 (Schets) Gegeven een instantie (X, q, C) van het EXACT 3-COVER probleem creeren we de volgende instantie van het planningsprobleem: 1. R = X 2. Er zijn q planners P i die ieder beschikken over eenzelfde verzameling van C plannen p i 1,..., p i C 3. Ieder plan p i j heeft een verzameling resources R i j = c j i.e. de j-de verzameling uit C. De correctheid is simpel in te zien: (X, q, C) is een yes-instantie er bestaan q verzamelingen c j uit C die tezamen exact X overdekken en geen enkele x uit X komt meer dan een keer voor in deze selectie er bestaat voor iedere planner een plan p j met resources c j die elkaar niet overlappen (R, {P i }, {R i j} i=1,.. q j =1.. C } is een yes-instantie van het planningsprobleem. De reductie is in een tijd kwadratisch in de probleem-instantie uit te voeren. Slotopmerkingen Probabilistische complexiteitsklassen worden behandeld in hfst 10.2. De blz 335-339 (tot primality) behoren tot de verplichte tentamenstof, evals de slides t/m de klasse PP. De eigenschappen van en de relatie tot de polynomiale hierarchie behoeven niet gekend te worden. TOT ZIENS De slides over quantum computing behoren eveneens tot de verplichte tentamenstof, behalve de slides 28-30. en succes!