UITGEREKEND! het opzienbarende van getallen WISKUNDE AAN HET WERK Herman Ligtenberg
Inhoud Inleiding 7 Meten is weten?! 9 Rekenkronkels 17 Getallenacrobatiek 27 Van Wouter Worm tot Pythagoras 36 Albert & Albert 44 De magische formule 54 Rijen, rijen, rijen 64 Meetkundige reeksen 73 Tot in het oneindige 81 Vallen en werpen 88 In het verkeer 96 Momentum! 104 (Eigen)aardigheden 113 Van een aap en kokosnoten 122 Natuur en techniek 131 Logisch! 140 Hoezo, gemiddeld? 149 De kunst van het gissen 158 Statistiek of elastiek? 167 Weer wat ge(model)leerd! 175 Van drupkraan tot depressie 181 Eerlijk duurt het kortst 189 Het oog wil ook wat 199 1 + 1 = 4 of: een wonderkind 207 Aantekeningen 216 5
Van Wouter Worm tot Pythagoras zoals eigenlijk gezegd ook niemand de stelling van Pythagoras begrijpt THOMAS ROSENBOOM Gaat dat zo lukken? Anders moeten we het weer demonteren. Tja, bromt Sander, niet echt slim van me. Ik zou toch graag het bureau een kwartslag willen draaien. Sander heeft een nieuw huis betrokken. In een nogal krappe slaapkamer heeft hij alvast het 160 cm brede bureau in elkaar gezet. Maar er blijft nu aan de smalle kant slechts 40 cm loopruimte over, zegt Sander. En dan heb ik hem zelfs helemaal tegen de muur gezet. Dus ik denk dat het hem zo niet gaat worden. Wat doe je ook met zo n enorm obstakel in dit kamertje, probeer ik nog. Toch: als we met vereende krachten proberen het bureau te draaien blijkt dit precies binnen de kamer mogelijk te zijn. Het ging rakelings langs de muur, constateert Sander tevreden. Gelukkig is er niets beschadigd. En nu voel je je natuurlijk helemaal een dikke directeur, waag ik er nog aan toe te voegen. Maar weet jij nu hoe lang het bureau is? De meest bekende en bovendien, vanwege zijn eenvoud, fascinerende stelling uit de wiskunde is ongetwijfeld de stelling van Pythagoras. Deze geleer- 36
de gaf ver voor het begin van onze jaartelling leiding aan een groep wetenschappers, die naar de naam van de stichter bekend staan als de Pythagoreeërs. Ze hielden er soms bizarre ideeën op na. In hun ogen werden de wetmatigheden van onze waarneembare wereld beheerst door de verhoudingen tussen getallen. Wat de betekenis van genoemde stelling nog verhoogt is het feit dat er zoveel verschillende bewijzen van zijn gevonden. Telkens weer worden er nieuwe, soms zeer verrassende ontdekkingen gedaan. Het is dan ook geen wonder dat nogal wat wiskundigen (ik ken er minstens één) in zekere mate aan deze stelling verslaafd zijn geraakt. Ook de ontdekker zelf moet het vinden van het bewijs van deze stelling een bijzondere voldoening hebben gegeven. Er zijn maar weinig wetmatigheden in de wiskunde die zich wat eenvoud en toepassingsmogelijkheden met deze stelling kunnen meten. Vergeleken met veel andere wiskundige wetten is de eenvoud ervan een verademing. En tegelijk is de stelling van een uitbundige schoonheid. Maar nu even genoeg superlatieven. Alles draait hier om een eigenschap van de zijden in een rechthoekige driehoek. Noemen we de lengtes van de kortste twee zijden (de rechthoekszijden) a en b, en de lengte van de schuine zijde c, dan geldt altijd de betrekking: a 2 + b 2 = c 2 Bijna steeds wordt, zoals de figuur toont, deze stelling geïllustreerd met de combinatie: a = 3, b = 4 en c = 5. Overigens moet de geldigheid van deze stelling anderhalf millennium vóór de tijd van Pythagoras, die in de 6 e eeuw voor Christus leefde, reeds aan de Babyloniërs bekend zijn geweest. Uit de regeerperiode van koning Hammurabi weten we namelijk zelfs van zoals we die tegenwoordig noemen Pythagoreïsche drietallen, en dan niet eens alleen de meest voor de hand liggende, zoals in bovengenoemd voorbeeld. De bewering dat men in de oudheid een rechte hoek zou hebben afgezet door een touw met 12 knopen te gebruiken is nooit echt bewezen, maar onmogelijk is het niet, zoals de tekening laat zien. Persoonlijk vind ik het meest elegante bewijs van de stelling van Pythagoras de methode, eigenlijk een variant erop, die gehanteerd moet zijn door de wiskundige Thabet Ibn Qurra uit de negende eeuw na Chr. Je begint met twee, liefst ongelijke, vierkanten met zijden a respectievelijk b, naast elkaar te leggen, zodat ze samen één zeshoek vormen. Dan verdeel je de basis van de daardoor ontstane figuur weer in twee delen a en b, maar in de omgekeerde volgorde. 37
Nu trek je de twee aangegeven schuine lijnen met lengte c, zodat er twee identieke rechthoekige driehoeken (1) en (2) van de zeshoek worden afgesneden. Daarna leg je de genoemde driehoeken aan de bovenkant terug, zodat er een vierkant ontstaat waarvan de oppervlakte gelijk is aan a 2 + b 2. Maar dat is meteen ook c 2. Het aardige van dit bewijs is, dat het volledig meetkundig kan worden uitgelegd en daarom ook voor iedereen doorzichtig is. Het aantal bewijzen voor en visualisaties van Pythagoras is legio. Zelfs kan een nietsvermoedend beestje hieraan nog een leuke bijdrage leveren! Wouter Worm heeft zijn dag. Hij heeft een heerlijk sappige bolronde appel gevonden. Eerst graaft hij langs een rechte lijn over een afstand van 25 mm in de richting van het middelpunt. Vervolgens maakt hij een haakse bocht naar links; na 35 mm staat hij weer buiten. Wat is de diameter van de appel? We brengen in de tekening enkele extra lijntjes aan, zodat er twee driehoeken ontstaan, die samen weer één grote driehoek vormen. Omdat deze grote driehoek is op te vatten als een halve rechthoek, bevindt zich bovenaan een hoek van 90 graden. Daarom moeten de twee kleine driehoeken dezelfde vorm hebben! Dat kan nog duidelijker worden nadat we de grotere driehoek (rechts) een kwartslag linksom hebben gedraaid. Dit is in de derde figuur te zien. In de kleine driehoek is de verhouding tussen de liggende en de rechtopstaande zijde 25 : 35, ofwel 5 : 7. Dat moet dus ook gelden voor de 38
grotere driehoek! Bij vergelijking van de afstanden in de beide driehoeken vinden we dan: 25 : 35 = 35 : 49 Beide verhoudingen zijn immers gelijk aan 5 : 7! We noemen het getal 35 middelevenredig tussen 25 en 49, anders uitgedrukt: 35 2 = 25 49 Deze ontbinding houden we even vast. Als we de driehoeken terugleggen in de oorspronkelijke positie, dan blijkt meteen dat de cirkel een middellijn heeft van 25 + 49 = 74. En dat is ook de gevraagde diameter van de appel in millimeters! Maar nu Pythagoras? Heb nog wat geduld, want we worden op onze wenken bediend! We komen eerst terug op het feit dat 35 2 = 25 49. Omdat de cirkel een straal heeft van 1/2 74 = 37, kunnen we deze gelijkheid herschrijven als: 35 2 = (37 12) (37 + 12) Volgens de truc die we in een eerder hoofdstuk zijn tegengekomen, kun je er ook van maken: 35 2 = 37 2 12 2 wat op hetzelfde neerkomt als: 12 2 + 35 2 = 37 2. Laten we nu eens de straal van de cirkel tekenen en vervolgens letten op de rechthoekige driehoek die daardoor ontstaat! 39
In de figuur is deze gearceerd weergegeven, terwijl de cirkel is weggelaten. De zijden van deze driehoek hebben exact de waardes 12, 35 en 37, waarmee we ongedacht de stelling van Pythagoras hebben aangetoond! In het voorgaande kwam reeds de uitdrukking Pythagoreïsch drietal ter sprake. En dan hebben we het over combinaties van drie gehele getallen, die als zijden van een rechthoekige driehoek kunnen figureren. Uiteraard is (3, 4, 5) daarvan de eenvoudigste. Maar we vermoeden dat er nog veel meer van die drietallen zijn te vinden. Het is wel zeker, want een andere keuze van de getallen in het probleem van de worm zal ook tot een ander drietal leiden! Het is aardig om dit uit te proberen. Neem als uitgangspunt eens de getallen 25 en 45 (in plaats van 35) en ontdek welke Pythagoreïsche driehoek tevoorschijn komt! (2) Zelfs blijkt een volledig systematische aanpak mogelijk. Allereerst kent men een zoals ik die zou willen noemen generator, die in staat is een onbeperkt aantal van zulke drietallen voort te brengen. Het gaat als volgt: Kies twee gehele getallen p en q, waarbij p groter is dan q. Construeer daarmee a, b en c, zodanig dat: a = 2pq b = p 2 q 2 c = p 2 + q 2 Dan vormen de getallen a, b en c een Pythagoreïsch drietal, zoals je met niet al te veel moeite zou moeten kunnen aantonen. (3) Om met een eenvoudig geval te beginnen: het bekende trio (3, 4, 5) komt uit deze machine rollen als je kiest: p = 2 en q = 1. Begin je echter met p = 12 en q = 5, dan is het resultaat: (119, 120, 169), een getallencombinatie die reeds bij de Babyloniërs bekend was! Uiteraard kun je met elk basaal drietal, zoals (3, 4, 5), in principe oneindig variëren, met bijvoorbeeld de combinaties (6, 8, 10) of (51, 68, 85), door elk element met een zelfde getal (hier: 2 of 17) te vermenigvuldigen! Mogelijk vind je deze methode wat opgedrongen : veel liever hanteer je een werkwijze waarbij je ook een beetje begrijpt wat je aan het doen bent. Daarvoor kunnen we weer bij Wouter Worm te rade gaan. Dat wil zeggen: gebruikmaken van dezelfde methode, die daar ook werd toegepast. 40
Eerst moet je je realiseren dat Pythagoras ook is te schrijven in de vorm: c 2 b 2 = a 2 We kiezen nu bijvoorbeeld: a = 8 en gaan vervolgens herschrijven: (c b) (c + b) = 64 Dit betekent dat we het getal 64 moeten ontbinden in twee verschillende factoren. Dat kan op de volgende manieren: 1 64, 2 32 en 4 16. Let nu eens op de te vinden getallen (c b) en (c + b). Het gemiddelde van deze factoren is c, waarbij elk getal evenveel (namelijk b) van dat gemiddelde afwijkt. Dat is echter slechts mogelijk wanneer de factoren óf beide even óf beide oneven zijn! Een keuzemogelijkheid als 1 64 zal om die reden moeten vervallen. We proberen daarom de ontbinding: 2 32. c b = 2 c + b = 32 Omdat het gemiddelde van 2 en 32 gelijk is aan 17, moeten de te vinden getallen zijn: b = 15, c = 17. Daarmee is weer een Pythagoreïsch drietal bekend, namelijk de combinatie (8, 15, 17). Op deze wijze, of door de generator in te schakelen, zijn nog veel meer van zulke drietallen te vinden, waarvan de bekendste zijn: 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 12 35 37 20 21 29 En dat bureau, waarmee Sander zo aan het tobben is geweest? Noem de lengte van het bureau L en de diagonaal D. Bekijk het moment waarop tijdens het draaien de schuin tegenover elkaar liggende hoeken van het bureau juist de muur raken. Dan moet je kunnen inzien dat het verschil tussen D en L gelijk is aan 40 cm. 41
Dan eist Pythagoras : D 2 L 2 = 160 2 (D L) (D + L) = 160 2 40 (D + L) = 160 2 40 (D + L) = 25600 D + L = 640 We wisten al dat D L = 40, zodat snel volgt: D = 340 en L = 300. Het bureau heeft dus een lengte van 3 meter! In allerlei situaties kan de stelling van Pythagoras zomaar zonder enige waarschuwing vooraf opduiken. Neem het volgende geval. Een commandant heeft zijn manschappen in een perfect vierkant opgesteld. De militairen marcheren in een vast tempo van 3 meter per seconde in de richting van A naar B; in de tekening naar rechts. De commandant heeft twee hondjes, Fik en Fox, die waarschijnlijk uit pure verveling vanaf hoekpunt A langs de buitenzijde van het vierkant gaan lopen. Fik loopt van A naar B en maakt dan rechtsomkeert. Fox loopt van A naar C en meteen weer terug. Als de beestjes tegelijk in A zijn gestart en ze een gelijke snelheid hebben van 5 meter per seconde, welke is dan het eerst in A terug? Die mannen hebben er goed de pas in, moet ik zeggen. Als ze stilstaan, dan is er duidelijk geen verschil, zegt Sander. Maar ze marcheren! Dan zal het voor Fik wel zo zijn dat hij elke seconde precies 2 meter op het korps inloopt. Want zoveel sneller gaat het hondje dan de militairen. Hoe groot is het vierkant eigenlijk? Zeg maar 100 bij 100 meter. Dan is Fik dus na 50 seconden bij B. En de terugweg? Als ik aan het verkeer denk, zegt Sander, dan moet ik die snelheden zeker bij elkaar optellen. Hij gaat nu de mannen tegemoet. Elke seconde zal Fik een afstand van 3 + 5 = 8 meter van de manschappen passeren. Voor het gedeelte van B naar A zijn dan 12,5 seconden nodig. Dus Fik is terug na 62,5 seconden. 42
Dat ziet er allemaal logisch uit! Maar nu Fox Sander aarzelt. Je gaat me er toch niet tussen nemen? Maakt het voor Fox eigenlijk wel uit of de militairen lopen of niet? Dat is niet zo simpel. Of toch wel. Wacht, misschien moet je het even schetsen Op het moment dat Fox begint te rennen vanuit A heeft het vierkant de positie ABCD; die is gearceerd. Zodra Fox de linkerbovenhoek heeft bereikt, is het vierkant een stukje opgeschoven naar rechts, tot PQRS. Maar hoever? Volgens mij moet je de afstanden AP en AR met elkaar vergelijken. Elke seconde legt het korps 3 meter af, maar rent het hondje 5 meter. Stop! Ik weet het al. Fox moet dus schuin met de manschappen meerennen, langs de lijn AR, om niet achter te raken. En ik zie daar een rechthoekige driehoek. Dat is weer werk voor Pythagoras. En: 3 2 + 4 2 = 5 2. Een oude bekende zelfs! Dan komt Fox elke seconde 4 meter dichter bij C. Hij loopt dus 25 seconden voordat hij omkeert. En terug naar A zal het weer hetzelfde zijn. Dat betekent totaal 50 seconden. Fox is dus de glorieuze winnaar, zegt Sander. Sterker nog: als Fik nog maar net B bereikt heeft, is Fox alweer in A terug. Maar weet je, bij deze puzzel moet ik denken aan een beroemd experiment dat meer dan een eeuw geleden werd uitgevoerd. Niet met hondjes, maar met lichtstralen! Met lichtstralen? Nu maak je me heel erg nieuwsgierig! 43