Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Stochastische Modellen in Operations Management (53088) S S Ack X ms X ms S0 40 ms R R R3 L L 0 ms 0 ms D0 Internet D D Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 9 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/53088/53088.html

Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk

Definities Het M G model Poisson aankomstproces enkele bediende alleen de verwachting en de variantie van de bedieningsduur zijn gegeven μ σ 0 0 tdb ( t) < ( t μ ) db ( t) <

Eigenschappen Het M G model: PK formule de gemiddelde wachttijd wordt gegeven door de Pollaczek-Khintchine formule : EW { } ρ μ( ρ) { ( μσ) } + hierin bedraagt μσ de variatie-coefficient van de bedieningsduurverdeling gemiddelde wachttijd deterministische bedieningsduur is helft gem wachttijd exponentieel verdeelde bediendingsduur

Poolen? Situatieschets E { W ρ ρ ) + beschouw een kopieermachine waarop zowel studenten als medewerkers mogen kopieren de aankomstprocessen van studenten en medewerkers zijn Poisson met gemiddelden van resp. 4 per uur de bedieningsduren van studenten en medewerkers zijn exponentieel verdeeld met gemiddeldes van 0 resp. 5 minuten Optie : delen van een machine met snelheid Optie : aparte machines snelheid Welke optie is beter voor gemiddelde wachttijd? Welke optie is beter voor gemiddelde verblijftijd? } ( ( μσ ) μ

Optie : delen machine snelheid s 3, 0 0 μ σ, Poolen? ρ E{ W } ( ρ ) 5 9 9 + W 00 m W s W 3 0 Optie : aparte machines snelheid 5 9 μ 30 0, s m 5, μ m, 5 8 + 5 ( μσ ) μ CV ongeveer, dus winst snelle machine groter dan verlies door variantie W s + + 5 { } 5 Wm { } W /0 / 5 0 3

Stel nu meer uiteenliggende jobgrootte, dus hogere variantie Optie : delen machine snelheid s 30, s 8 m 5 m μ,, μ 3, 0 0 μ σ, 96 9 9 96 + W 00 9 m W s W 3 0 Optie : aparte machines snelheid W s Poolen? ρ E{ W } ( ρ ) 66 0 64 Wm W 4 + ( μσ ) μ.0 CV ongeveer 3, en winst snelle machine teniet gedaan door grotere variantie

Wachtsystemen met prioriteiten Voorbeeld (M M ) n typen klachten type i heeft voorrang boven type j als i < j tussenaankomsttijden en bedieningsduren zijn exp. verdeeld met parameters i en μ i de bediening van een klant kan niet worden onderbroken

Resultaten Wachtsystemen met prioriteiten def. ρ k als de verkeersintensiteit die wordt geleverd door de eerste k typen klanten: k i ρ k μ i de gemiddelde wachttijd W k per klant van type k bedraagt dan (zie Winston) : μ +... + n μn W k ( ρk ) ( ρk ) in het gevaln reduceert dit weer tot : i EW { } μ ρ ρ μ ( ρ)

Situatieschets Een kopieermachine beschouw een kopieermachine waarop zowel studenten als medewerkers mogen kopieren de aankomstprocessen van studenten en medewerkers zijn Poisson met gemiddelden van resp. 4 per uur de bedieningsduren van studenten en medewerkers zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van 0 resp. 5 minuten Optie : niemand voorrang Optie : studenten voorrang Optie 3 : medewerkers voorrang

Een kopieermachine Optie : niemand voorrang 0 Optie : studenten voorrang, μ, σ W Optie 3 : medewerkers voorrang, μ,, μ W 75., W 5., W 5. LET OP: Voor opties en 3 zijn wachttijden typen gelijk, immers ρ s ρ w maar fractie studenten niet gelijk aan fractie medewerkers, zodat gem wachttijd verschillend 3 0 500 9, μ,, μ s W W m 30 5 0 5 W 75., W 5., W 75. 5 5 30 5 0

Mengen van klantenstromen? Het hangt sterk af van de variantie in de bedieningsduren of mengen dan wel apart behandelen raadzaam is Klanten met voorrang behandelen kan nuttig zijn bij sterk uiteenlopende bedieningsduren In het algemeen is het raadzaam te vermijden om korte klanten te laten wachten op lange klanten

3 Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk

Situatieschets Een batch systeem beschouw een systeem met Poisson aankomsten, waarbij bediening in batches van twee klanten tegelijkertijd plaatsvindt Transitiediagram 0 Geef evenwichtsverdeling μ μ μ 3 μ (etcetera)

Situatieschets Een batch systeem () beschouw een systeem met Poisson aankomsten, waarbij bediening in batches van twee klanten tegelijkertijd plaatsvindt Transitiediagram 0 P μ P 0 μ P μ ( P + P ) 3 μ P μ ( P + P ) 3 4 3 μ P μ ( P + P ) 3 4 5 (etcetera)

Een batch-systeem () Algemene oplossing (ga na) Evenwichtsvergelijkingen 4 0 ρ β ρ β β β μ β μ β μ β μ β + + + + + n+ n+ n Normaliseren P P P n n n n + + 0 0 αβ ρ αβ β P n P n n α β α β ρ, 0 + α β ρ β β

Situatieschets Oud & Nieuw () fabrikant maakt gebruik van twee machines, een oud en een nieuw type, die beiden aan storing onderhevig zijn de produktiecapaciteiten van beide machines bedragen achtereenvolgens 00 en 50 produkten per dag de levensduren van de machines zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van 0 resp. 5 dagen de reparatietijden van de machines zijn exponentieel verdeeld met gemiddelden van resp. dagen reparatie-afdeling kan maar één machine tegelijkertijd repareren, en geeft derhalve altijd de hoogste prioriteit aan de nieuwe machine Gevraagd bezettingsgraad van de reparatie afdeling en de machines de totale produktiecapaciteit per dag

Oud & Nieuw () Transitiediagram up /5 up /0 up down / down up /0 Evenwichtsvergelijkingen down down /5 030. P 050. P + P UU UD DU 060. P 00. P + P UD UU DD 0. P 00. DU P UU P 00. P + 0. 0 P DD UD DU

Oud & Nieuw (3) Stationaire verdeling (ga na) P U U 0. 6 3 4 P U D 0. 7 5 P D U 0. 0 5 3 Bezettingsgraad reparatieafdeling Bezettingsgraad nieuwe machine P D D 0. 0 3 8 P + P + P P 0. 37 UD DU DD UU Bezettingsgraad oude machine P Produktiecapaciteit per dag P UU UU + P 09. UD + P 069. DU 50 P + 00 P + 50 P 5 UU UD DU

Netwerken van wachtrijen 3 4 5

Algemenere wachtsystemen Poolen en prioriteiten Andere wachtsystemen Netwerken van wachtrijen: evenwichtsverdeling aantal taken Output M/M/ rij Tandem netwerk Feedforward netwerk

3 Tandem systeem Klanten arriveren volgens Poisson proces met parameter Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele met parameter Een bediende Output proces voor tijdstip t is onafhankelijk van toestand van wachtsysteem op tijdstip t, en dit proces is een Poisson proces met parameter

4 Tandem systeem Output proces voor tijdstip t is onafhankelijk van toestand van wachtsysteem op tijdstip t, en dit proces is een Poisson proces met parameter Output proces van eerste wachtrij is input proces van tweede wachtrij. Toestand tweede wachtrij op tijdstip t wordt bepaald door aankomstproces voor tijdstip t Toestand tweede wachtrij op tijdstip t is onafhankelijk van toestand eerste wachtrij op tijdstip t

5 Tandem systeem Klanten arriveren volgens Poisson proces met parameter Klanten wachten op hun beurt Bedieningsduur is exponentieel verdeelde variabele met parameter bij wachtrij en bij wachtrij Een bediende bij iedere wachtrij Output proces voor tijdstip t is onafhankelijk van toestand van wachtsysteem op tijdstip t, en dit proces is een Poisson proces met parameter

Tandem systeem: stationaire verdeling Stationaire verdeling van eerste M/M/ rij P n n ) ( ρ ) ρ n 0,,,... ρ γ / ( μ Stationaire verdeling van de tweede M/M/ rij P n n) ( ρ ) ρ n 0,,,... ρ γ / ( μ En vanwege onafhankelijkheid P n n ( n, n) ( ρ) ρ ( ρ) ρ n, n 0,,,... ρ γ / μ i i

Netwerken van wachtrijen 3 4 5 Maar dan kunnen we dit netwerk ook! Waarom?

Notatie Open feed forward netwerken N : aantal stations γ i : de externe aankomstintensiteit bij station i i : de totale (interne + externe) aankomstintensiteit bij station i /μ i : de gemiddelde bedieningsduur op station i r ij : de kans dat een klant na bediening op station i naar station j gaat Kans verlaten systeem vanuit i Stroomvergelijkingen N i i j ji j rij i,..., γ + r i,..., N N j N Stabiliteit i < i,..., μ i N

Netwerken van wachtrijen 4 3 5 γ i : de externe aankomstint bij station i, stel γ, γ /μ i : de gemiddelde bedieningsduur op station i Stelμ i voor alle i r ij : kans dat klant na bediening op i naar j gaat r 3, r 3, r 34 /3, r 35 /3 i : de totale (interne + externe) aankomstint bij station i,, 3 3, 4, 5

Open feedforward netwerken N i i j ji j γ + r i,..., N Stelling (open exponentiële netwerken) stationaire verdeling mits ρ i i /μ i < : N N,..., k N ) Pi ( k i ) ( ρ i ) i i P ( k ρ met andere woorden: ieder station i kan worden opgevat als een onaf M M systeem met parameters i en μ i Stationaire verdeling is produkt marginalen: kennelijk zijn op een vast moment (in evenwicht) de aantallen klanten bij de stations onafhankelijk Niet:de processen bij de verschillende stations zijn onafhankelijk! k i i

Een orderverzamelsysteem () Situatieschets beschouw een gangenmagazijn waarin 4 orderverzamelaars afzonderlijk werken in aaneengesloten gangen de benodigde tijden per order per gang zijn exponentieel verdeeld met een gemiddelde van resp. 6, 5, 4 en 3 minuten Gevraagd μ μ μ 3 μ 4 de maximale verwerkingscapaciteit van het orderverzamelsysteem de gemiddelde wachttijd en doorlooptijd per order bij max verwerkingscapaciteit de gemiddelde tussenvoorraden bij elk van de gangen bij maximale verwerkingscapaciteit

Een orderverzamelsysteem () Uitkomsten ergeldt: μ 0, μ, μ 3 5 en μ 4 0 routering ligt vast: 3 4 eerste station is traagst: max verwerkingscapaciteit van het systeem bedraagt 0 orders per uur, dus 0 verkeersint bedragen resp. ρ 5/6, ρ 3 /3 en ρ 4 / μ μ μ 3 μ 4 gem voorraad bij elk van de gangen resp. 5, en orders gemiddelde wachttijden tussen de opeenvolgende gangen bedragen resp. 5, 8 en 3 minuten per order gemiddelde doorlooptijd bedraagt daarmee 6+5+5+8+4+3+354 minuten per order kansverdeling aantal orders tussen de verschillende gangen luidt : k k 3 k 4 5 P ( k, k 3, k 4 ) 36 6 3

Volgende keer Feedforward netwerken: klantenstromen zijn Poisson stromen op vast tijdstip zijn rijlengten onafhankelijk 34 Algemene open en gesloten netwerken geen Poisson stromen, geen onafhankelijkheid toch zelfde vorm evenwichtsverdeling 3 4 5