Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Transcriptie

1 Stochastische Modellen in Oerations Management (153088) S1 S2 Ack X ms X ms S0 240 ms R1 R2 R3 L1 L2 10 ms 10 ms D0 Internet D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Oerations Research TW, Citadel 125 htt://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/ html

2 Stochastische Modellen in Oerations Management (153088) Doel van het vak / leerdoel begri, inzicht en creativiteit in het ontwikkelen van wiskundige modellen ten behoeve van stochastische beslissingsroblemen met behul van een aantal fundamentele basistechnieken elk van de behandelde modelleringstechnieken in voldoende mate beheersen, d.w.z. een model kunnen ostellen, dit model kunnen olossen, en deze olossing kunnen interreteren Tentamenstof Winston Hoofdstuk Uitreikstukken via website transaranten, uitwerkingen oefenogaven, syllabus OR2

3 Overzicht SMOM Hoor- en werkcolleges (14 HC, 4 WC, 1 vragenuur+oefentent.) Markov ketens (W 17, 2 HC, 1 WC) Stochastische Dynamisch Programmeren (W 19, 3 HC, 1 WC) Markov beslissingstheorie (W 19, 3 HC, 1 WC) Wachttijdtheorie (W 20 + dictaat OR2, 6 HC, 2 WC) Tentamen schriftelijk (4 ogaven) Literatuur Winston Hoofdstuk Uitreikstukken o website Transaranten

4 Vandaag: Introductie Stochastisch rocess Markov keten

5 Stochastisch Proces Observeer karakteristiek van een systeem o discrete tijdstien. X t is waarde systeem karakteristiek o tijd t. Vaak is X t niet met zekerheid bekend voor tijd t en kan gezien worden als stochastische variabele. Een discrete-tijd stochastisch roces is een beschrijving van de relatie tusen de stochastische variabelen X 0, X 1, X 2.

6 Een continue tijd stochastisch roces is een stochastisch rocess waarin de toestand van het systeem o ieder moment kan worden geobserveerd, niet alleen o discrete tijdstien. Voorbeeld: aantal klanten in suermarkt t tijdseenheden na winkeloening = continue tijd stochastisch roces. Voorbeeld: oeningskoers AEX = discrete-tijd stochastisch roces koersverloo gedurende dag = continue-tijd stochastisch roces Verwachting koers aan het eind van het jaar? Moet ik nu instaen? Otierijs?

7 Stochastisch rocess voor beurskoersen Stochastisch rocess voor koers beleggingsrekening Observeer oeningskoers discrete tijd roces (X t, t=0,1,2, ) Evolutie van stochastische variabele Koers over 100 dagen? P(X t+1 = i t+1 X t = i t, X t-1 =i t-1,,x 1 =i 1, X 0 =i 0 ) Best lastig robleem

8 Vandaag: Introductie Stochastisch rocess Markov keten

9 Markov Ketens Seciaal tye discrete-tijd stochastisch roces. Definitie: Een discrete-tijd stochastisch roces met toestandsruimte S is een Markov keten wanneer het, voor t = 0,1,2 en alle toestanden i 0, i 1,,i t, i t+1 S={0,1,,s} voldoet aan de Markov eigenscha: P(X t+1 = i t+1 X t = i t, X t-1 =i t-1,,x 1 =i 1, X 0 =i 0 ) = P(X t+1 =i t+1 X t = i t ) De kansverdeling van de toestand o tijdsti t+1 hangt uitsluitend af van de toestand o tijdsti t (i t ) en niet van de toestanden die de keten eerder heeft bezocht voorafgaande aan bezoek aan i t o tijdsti t.

10 We zullen verder aannemen dat P(X t+1 = j X t = i) onafhankelijk is van t voor alle toestanden i en j. We noemen zo n Markov keten homogeen. P(X t+1 = j X t = i) = ij ij is de kans dat systeem systeem zich in toestand j bevindt o tijdsti t+1 gegeven dat het zich in toestand i bevindt o tijdsti t. Wanneer systeem zich in een eriode beweegt van toestand i naar toestand j zeggen we dat een overgang of transitie van i naar j heeft laats gevonden. De ij s heten overgangskansen voor de Markov keten.

11 Markov keten voor beurskoersen Markov keten voor koersen beleggingsrekening Observeer oeningskoers : discrete tijd roces (X t,t=0,1,2, ) Evolutie van stochastische variabele Markov eigenscha (Aanname!!) P(X t+1 = i t+1 X t = i t, X t-1 =i t-1,,x 1 =i 1, X 0 =i 0 ) =P(X t+1 = i t+1 X t = i)= ij Stel i,i+1 =, i,i-1 =1- Dronkemanswandeling X t is aantal keren ko-munt na t woren met (on)zuivere munt htt://staff.feweb.vu.nl/aridder/alets/simrw/default.htm Verwachting koers over 100 dagen? Dit is best te doen!! Moet ik nu instaen? Otierijs?

12 Begin verdeling: q i is de kans dat keten in toestand i o tijdsti 0: P(X 0 =i) = q i. Vector q= [q 1, q 2, q s ] de initiële of begin verdeling. Overgangskansen matrix P Voor iedere i S j = s j= 1 ij = 1 Voor alle i,j S ij 0. Dus: alle elementen van de overgangskansen matrix niet negatief, en rijsommen 1 Karakterisatie overgangskansen matrix. P = 11 M 21 s M s 2 K K K 1s 2 s M ss

13 n-stas overgangskansen Belangrijke vraag voor Markov ketens: Als Markov keten in toestand i is o tijdsti m, wat is dan de kans dat Markov keten n tijdstien later in toestand j is? Deze kans hangt niet af van m, P(X m+n =j X m = i) = P(X n =j X 0 = i) = P ij (n) P ij (n) is de n-stas overgangskans voor een transitie van toestand i naar toestand j. Moeilijk te bealen? P ij (n) = ij element van P n

14 Bewijs P (2) ij ik kj k = 1 s = Chaman Kolmogorov vergelijkingen s P ( m n) P ( n) P ( m) + = ij ik kj k = 1 Pas nu toe voor m=1, n=0,1,2,

15 Markov keten voor beurskoersen Markov keten voor koersen beleggingsrekening i,i+1 =, i,i-1 =1- Dronkemanswandeling htt:// Beaalde n stas overgangskansen Verwachting koersstijging in 100 dagen? Dit is best te doen!! Andere voorbeelden? Algemene uitsraken? Volgende keer

16 Samenvatting Markov keten is een stochastisch roces dat voldoet aan de de Markov eigenscha: P(X t+1 = i t+1 X t = i t, X t-1 =i t-1,,x 1 =i 1, X 0 =i 0 ) =P(X t+1 =i t+1 X t = i t ) Homogeen P(X t+1 = j X t = i) = ij ij overgangskansen voor de Markov keten P ij (n)= P(X m+n =j X m = i) = P(X n =j X 0 = i) is de n-stas overgangskans voor een transitie van i naar j. P ij (n) = ij element van P n

17 Food for thought: geheugen in Markov keten? Weerman: Kans regen hangt af van weer van vandaag (regen of droog) Toestand 1 : regen; toestand 2 : droog 11 =P(morgen regen vandaag regen)= 21 =P(morgen regen vandaag droog)= X n = toestand weer o dag n Markov keten? P = = α β 1 α 1 β

18 Food for thought: geheugen in Markov keten? Betere weerman? Kans regen hangt af van weer vandaag en gisteren P(morgen regen vandaag en gister regen)= 0.7 P(morgen regen vandaag regen, gister droog)= 0.5 P(morgen regen vandaag droog, gister regen)= 0.4 P(morgen regen vandaag en gister droog)= 0.2 Toestand weer o dag n? Markov keten?

19 RJ9 Food for thought: geheugen in Markov keten? Betere weerman? Kans regen hangt af van weer vandaag en gisteren maak Markov keten X n = toestand weer o dag n en dag n-1 Toestand 1 : regen vandaag en gisteren Toestand 2 : regen vandaag, droog gisteren Toestand 3: droog vandaag, regen gisteren Toestand 4: droog vandaag en gisteren 11 =P(morgen regen vandaag en gisteren regen)= =P(morgen regen vandaag regen, gisteren droog)= =P(morgen regen vandaag droog, gisteren regen)= =P(morgen regen vandaag en gisteren droog)= 0.2 P = =

20 Slide 19 RJ9 let o, bij betere weerman noemen dat voor Xn+1 vandaag en gisteren komt overeen met voor Xn morgen en vandaag!! Geef laatje betere weerman o bord van Markov keten!! Boucherie;