Opdrachten Tarski s World Logika thema 4 13 april 2004 1 Propositielogika 1.1 Atomaire proposities in Tarski s world Open de wereld, wittgens.sen, en het bestand met beweringen, wittgens.sen 1. Ga van de eerste tien zinnen na welke: a) correct geformuleerde formules zijn. b) beweringen zijn. c) waar zijn 2. Maak een nieuw bestand van zinnen met de volgende inhoud en sla het op met de naam, witt1.sen: 1. Tet(a) 2. Medium(a) 3. Dodec(b) 4. Cube(c) 5. FrontOf(a,b) 6. Between(a, b, c) 7. a = d 8. Larger(a, b) 9. Smaller(a, c) 10. LeftOf(b,c) 3. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn. 4. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen waar zijn en sla die op als witt1.wld. 5. Vertaal de volgende zinnen in de logische taal en sla ze op in een bestand met de naam, witt2.sen: 1
1. a is een kubus. 2. b is kleiner dan a. 3. c ligt tussen a en d. 4. d is groot. 5. e is groter dan a. 6. b is een tetraëder. 7. e is een dodecaëder. 8. e ligt rechts 9. a is kleiner dan e. 10. d ligt achter a. 6. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn. 7. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen waar zijn en sla die op als witt2.wld. 1 1.2 Samengestelde proposities met: conjunctie (en) disjunctie (of) en negatie (niet). Open de wereld, kleene.sen, en het bestand met beweringen, kleene.sen 8. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn. 9. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen waar zijn en sla die op als kleen1.wld. 10. Vertaal de volgende zinnen in de logische taal en sla ze op in een bestand met de naam, witt3.sen: 1. d en e staan beide achter b. 2. a is klein of b en c zijn beide groot. 3. d en e staan beide achter b en zijn ook groter. 4. b en c zijn allebei kubussen en geen van beide is klein. 5. e noch a staan rechts van c en links van b. 6. e is niet groot of staat niet achter a. 7. c ligt niet tussen a en b en ook niet voor één van die twee. 8. a en e zijn tetraëdra of a en f zijn dat. 9. d en c liggen beide niet voor c of b. 10. c ligt tussen b en f of is kleiner dan die twee. 11. Ga na welke formules, goedgeformuleerd zijn; een bewering zijn en welke waar zijn in wittgens.wld. 12. Pas de wereld zo aan dat alle beweringen on-waar zijn en sla die op als witt3.wld. 1 Met Shift-F5 kun je alle zinnen van het actieve zinnenvenster in één keer controleren. 2
1.3 Proposities met implicatie (als... dan...) en equivalentie (... dan en alleen dan als...). 13. Controleer of de zinnen in Abelard.sen gelden in de wereld wittgens.wld. Als je een fout maakt, ga dan met de Game na waar je in de fout bent gegaan. 14. Vertaal de volgende zinnen in de logische taal en sla ze op in het bestand bolz.sen. 1. Als a een tetraëder is, staat het voor d. 2. a staat aan de ene of de andere kant van d, dan en alleen dan als het een kubus is. 3. c ligt tussen a en e in of tussen a en d. 4. c ligt rechts van a als c klein is. 5. c ligt rechts van d dan en alleen dan als b rechts ligt van c en links van e. 6. Als e een tetrahedron is, dan ligt het rechts van b, dan en alleen dan als het ook voor b ligt. 7. Als b niet voor d ligt dan ligt het ook niet achter d, mits het een kubus is. 8. c ligt achter a maar voor e. 9. c ligt voor d tenzij het een grote tetraëder is. 10. Tenminste één van a, c, en e is een kubus. 15. Open de wereld bolzano.wld en gan na dat alle zinnen van de vorige vraag waar zijn in deze wereld. 1.4 Waarheid in een model: the Game The game volgt vaste regels om te controleren of een formule geldt in een wereld (model) of niet. In een tabel worden voor alle gevallen de volgende akties uitgevoerd: 3
formule Gebruiker ontkent Gebruiker bevestigt P Q Tarski s World kiest Gebruiker kiest tussen P en Q. tussen P en Q. P Q Gebruiker kiest Tarski s World kiest P bevestig: P. ontken: P. Voor beide kolommen: P Q vervang P Q door P Q P Q vervang P Q door (P Q) (Q P) xp(x) Tarski s World kiest een Gebruiker kiest een object object a, en de gebruiker a, en bevestigt P(a) ontkent P(a) xp(x) De gebruiker kiest een Tarski s World kiest een object a, en ontkent P(a) object a en de gebruiker bevestigt P(a) 2 Predikaatlogika 2.1 De existentiële kwantor 16. Open de wereld peirce.wld met de verzameling zinnen, peirce.sen en gan na dat de zinnen waar zijn in deze wereld. 17. Open de wereld leibniz.wld met de verzameling zinnen, zorn.sen en gan na dat de zinnen waar zijn in deze wereld. Deze zinnen bevatten behalve kwantoren ook identiteit. 18. Vertaal de volgende zinnen in predikaatlogika en voer ze in, in het bestand eris.sen. Alleen het -symbool komt er namelijk in voor: 1. Iets is groot. 2. Er is een kubus. 3. Er is een grote kubus. 4. Sommige kubussen zijn groot. 5. Sommige grote kubussen staan links 6. Een grote kubus staat links 7. b heeft een grote kubus aan zijn linker kant. 8. b is rechts van een grote kubus. Gebruik: RightOf 9. Iets links van b staat achter c. 10. Een grote kubus links van b staat achter c. 19. Open montague.wld en ga na dat al deze zinnen waar zijn in deze wereld. 4
20. Verplaats de grote kubus helemaal naar rechts achter. Ga na dat de zinnen 5, 6, 7, 8 en 10 nu onwaar geworden zijn. (Als je alles goed vertaald hebt.) 21. Maak de grote kubus klein en ga na dat de zinnen 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 10 nu onwaar zijn. 2.2 De universele kwantor 22. De volgende zinnen bevatten alleen de -kwantor (universele -). Vertaal ze in predikaatlogika en sla ze op in alle.sen 1. Alle kubussen zijn klein. 2. Elke kleine kubus staat rechts van a. 3. Alle dodecaëdra zijn groot. 4. a staat links van elke dodecaëder. 5. Elke medium tetraëder sttat voor b. 6. Elke kubus staat voor b ofwel achter a. 7. Elke kubus staat rechts van a en links 8. Alles tussen a en b is een kubus. 9. Alle kleiner dan a is een kubus. 10. Alle dodecaëdra zijn niet klein. Veel mensen blijken deze zin ambigu te vinden. Kun je twee vertalingen in predikaatlogika vinden die de twee mogelijke interpretaties weergeven. Hint: de één begint met en de ander met. 23. Open claire.wld en ga na dat al deze zinnen waar zijn in deze wereld. 24. Verplaats a naar de rechter voorhoek. Ga na dat de zinnen 2, 4 en 7 nu onwaar geworden zijn. (Als je alles goed vertaald hebt.) 25. Open wittgens.wld en ga na dat de zinnen 2, 4, 8 en 9 waar zijn, maar de rest onwaar is. (Anders heb je een foutje gemaakt - of ik, maar laten we daar niet van uit gaan - verbeter dat). 26. De file montague.sen bevat half geformaliseerde zinnen, d.w.z. de ander helft is nog engels. Dat is handig als tussenstap. Maak de vertaling af. 2.3 Gemengde kwantoren 27. Meer kwantoren in een zin. Vertaal de volgende zinnen in predikaatlogika en sla ze op in meer.sen: 1. Elke tetraëder staat voor elke dodecaëder. 2. Geen dodecaëder heeft iets achter zich. 3. Geen tetraëder is even groot als een kubus. 4. Voor elke dodecaëder is een kubus die even groot is. 5. Alles wat tussen twee tetraëdra in staat is klein en een kubus. 6. Elke kubus ligt tussen twee objecten. 7. Elke kubus waar iets achter ligt is klein. 5
8. Elke dodecaëder met niets aan de rechterkant is klein. 9. Elke dodecaëder met niets aan de rechterkant heeft iets aan de linkerkant. 10. Een dodecaëder met links een kubus, is in alle geval groot. 28. Open bolzano.wld en ga dat deze zinnen allemaal waar zijn in die wereld. 29. Ga na dat in ron.wld de zinnen 4, 5, 8, 9 en 10 waar zijn, maar de rest niet. 30. en in claire.wld zijn 1, 3, 5, 7, 9 en 10 waar en de rest niet. 2.4 De verborgen logische struktuur 31. Parafraseer. In het gewone taalgebruik zijn kwantoren vaak verstopt omdat we referenties gebruiken i.p.v. variabelen. Zulke zinnen zijn lastiger in predikaatlogika te vertalen. Vandaar dat we die kategorie voor het laatst hebben bewaard. Vertaal de volgende zinnen en sla ze op in parafras.sen: 1. Alleen grote objecten hebben niets voor zich staan. 2. Als er iets voor een kubus staat, is het klein. 3. Elke kubus achter een dodecaëder is ook kleiner dan die. 4. Als e tussen twee dingen in ligt zijn ze beide klein. 5. Als een tetreëder tussen twee dingen in ligt zijn ze beide klein. 6. Elke dodeca eder is tenminste even groot als elke kubus.parafraseer eerst tenminste even groot als, want daar hebben we geen speciale relatie voor. 7. Als een kubus rechts van een dodecaëder ligt, maar er niet achter, dan is het even groot als de dodecaëder. 8. Geen kubus met niets aan zijn linkerkant ligt tussen twee kubussen in. 9. De enige grote kubussen zijn b en c. 10. Hoogstens b en c zijn grote kubussen. (Deze zin houdt, in tegenstelling tot de vorige, niet in dat b en c ook groot zijn) 32. Open ron.wld en ga dat deze zinnen allemaal waar zijn in die wereld. 33. Ga na dat in bolzano.wld alleen de zinnen 3, 8 en 10 waar zijn. 34. en in wittgens.wld zijn alleen 5, 7 en 8 waar. 35. De volgende zinnen zijn waar in godel.wld. Vertaal ze en ga dat na: 1. Niets links van a is groter dan alles links 2. Niets links van a is kleiner dan iets links 3. Dezelfde dingendie links van a staan, staan ook links 6
4. Alles dat links van a staat, is kleiner dan iets dat achter elke kubus rechts van b staat. 5. Elke kubus is kleiner dan een dodecaëder, maar geen kubus is kleiner dan elke dodecaëder. 6. Als a groter dan een kubus is, dan is het kleiner dan elke tetraëder. 7. Alleen dodecaëdra zijn groter dan al het andere. 8. Alle objecten met niets voor zich, zijn tetraëdra. 9. Niets ligt tussen twee objecten met dezelfde vorm. 10. Niets anders dan een kubus ligt tussen twee andere objecten. 7