Docentenhandleiding, Leren Modelleren Amsterdam, 27 maart 2014 Inleiding Deze docentenhandleidng behoort bij mijn ontwerpopdracht Leren Modelleren die ik eind 2013, begin 2014 scheef in het kader van mijn lerarenopleiding aan de Universiteit van Amsterdam Deze docentenhandleiding is bedoeld om het ontwerp overdraagbaar te maken. Hij moet derden door lesplannen en materiaal kunnen gidsen. Essentieel voor de uitvoering van de lessen is het gebruik van de bijbehorende lesplannen (MDA s) Het waarom van deze lessenserie De bedoeling van deze lessenserie is om leerlingen de eerste stappen te laten maken in het wiskundig modelleren. Niet alleen leren ze, aan de hand van het maken van geschikte opgaven, de eerste stappen in het kiezen van geschikte variabelen en het bepalen van hun samenhang, ook leren ze hun onderlinge samenhang te bepalen. De lessenserie rond dit ontwerp doet zijn intreden in de wiskundeles van de brugklas, in het hoofdstuk van Formules. In dit hoofdstuk maken de leerlingen voor het eerst kennis met woordformules en later met lettervariabelen. Wat daarna volgt is een lange rij reproductieve oefeningen waarin leerlingen wordt geleerd om om te gaan met formules en variabelen. Helaas wordt ze nauwelijks geleerd om: 1. Variabelen te waarderen als communicatiemiddel met betrekking tot wiskundige problemen 2. Variabelen te waarderen als efficiënt notatiemiddel bij wiskundige problemen 3. Een wiskundige probleem om te zetten naar een formule met variabelen. Mijn ontwerp voorziet er in om deze tekortkomingen te ondervangen.
De opzet van de lessenserie Les 1: Zoeken Het lesdoel bij deze les is dat de leerlingen ondervinden dat zonder het gebruik van variabelen sommige problemen lastig zijn aan te pakken. Het oplossen van de problemen bezorgt ze veel schrijfwerk, het blijkt lastig te zijn om uit te leggen wat je aan het doen bent en het blijkt moeilijk om gestructureerd tot een oplossing te komen. De leerlingen worden een geleidelijk door een aantal opgaven begeleid waarbij stap voor stap blijkt dat het domweg zoeken naar oplossingen soms helpt, maar wel erg lang kan duren. Les 2: Voorspellen Het lesdoel bij deze les is dat leerlingen met behulp van variabelen leren voorspellingen doen door middel van wiskundig modelleren. Specifieker: Ze zijn aan het eind van de les in staat om met variabelen en woordformules eenvoudige patronen te kunnen voorspellen. Dit gebeurt vooral aan de hand van plaatjes van vlakke voorstellingen en ruimtelijke objecten. Een veel gebruikte vlakke voorstelling in deze context is die van stippenpatronen van vogelformaties. Hierbij heb ik geput uit Les 3: Modelleren Het lesdoel bij deze les is dat leerlingen leren modelleren aan de hand van een verhaaltje dat zij te lezen krijgen. Het lesdoel is hier dus om te leren modelleren aan de hand van een tekst. Meer specifiek: leerlingen krijgen een aantal situaties voorgelegd met aan het eind een opgave. De opgave is zo in elkaar gezet dat een vorm van modelleren met variabelen de aangewezen manier lijkt om de opgave op te lossen. In ieder geval loont die aanpak meer dan het simpelweg zoeken naar een oplossing. Op deze manier krijgen de leerlingen drie situaties voor zich, met drie bijbehorende opgaven. Omdat ze niet (waarschijnlijk) niet direct op het modelleren overgaan, worden ze door de opdrachten geleid met deelopgaven. Meestal is de opzet zo dat leerlingen eerst word gevraagd hun oplosmethode te onderbouwen om die vervolgens uit te voeren.
Les 4: Oplossen Het lesdoel bij deze les is dat leerlingen leren om aan de hand van een door hen geconstrueerd model tot een oplossing te komen. Het achterliggende idee is dat leerlingen meer overtuigd raken van het nut van modelleren als zij ook de mogelijkheid krijgen om in te zien dat het tot een snelle en goede oplossing leidt. De les bestaat uit een opgave met meerdere deelopgaven en handelt over de samenhang tussen het aantal hoekpunten, ribben en vlakken van piramides. De deelopgaven zijn zo opgezet dat leerlingen de correctheid van een model moeten aantonen, zelf een model opzetten en daarmee enen oplossing berekenen, die anders te veel werk had gekost.
Aandachtspunten uitvoering lessenserie Vak: Wiskunde Doelgroep: Brugklas HAVO, HAVO/VWO, VWO Doel: Het doel van deze lessenserie is om leerlingen uit zich zelf wiskundig te laten modelleren om problemen op te lossen. Beginsituatie: Het is aan te raden met deze lessenserie te beginnen vlak nadat woordformules en lettervariabelen zijn geïntroduceerd in de wiskundeles. De lessen: Alle MDA s van de vier lessen zijn te vinden in bijlage 2 van dit document. Huiswerk: Laat de leerlingen de opgaven die zij niet af hadden gekregen thuis maken. Vergeet dat ook niet te controleren. Normaal gesproken betreft het slechts een kleine groep omdat het aantal opgaven moet passen in 1 lesuur. Lokaal : Zorg tijdig voor een gereserveerd computerlokaal voor les twee. Materiaal: Zorg dat de syllabi zijn geprint en geniet. Laat de leerlingen hun naam op de syllabi schrijven Noot: De docent kan er voor kiezen de leerlingen de syllabus na iedere les in te laten leveren, om deze aan het begin van de volgende les weer uit te delen. Hiermee wordt voorkomen dat leerlingen de mapjes thuis laten liggen. Het heeft wel als consequentie dat leerlingen tijdens de lessenserie geen huisewerk kunnen maken.
Bijlage: Lesplannen ten behoeve van de docenten Les 1 Klas: Brugklas HAVO, HAVO/VWO, VWO Klas: B1B Les; 1 Vak: WIS Lesonderwerp: Zoeken naar oplossingen Beginsituatie: Leerlingen kennis gemaakt met begrippen als woordformules en variabelen. Ook hebben ze al enkele bescheiden berekeningen met variabelen gemaakt. Media/spullen/hulp. Leskern: Het zoeken naar oplossingen bij sommige wiskundige raadsels is onhandig en duurt lang Boek: Syllabus leren modelleren Leerdoelen: Denkstappen duidelijk maken Docentdoelen: Acceptatie van lesonderwerp door lln afdwingen, OIVTR = oriëntatiefase; informatie overdrachtsfase; verwerkings- en toepassingsfase; en reflectiefase
tijd OIVTR activiteit docent activiteit leerling (werkvorm) Leer-activiteit (specifiek) 00-02 O Contact maken, absenten? Orde en rust. 02-06 O Ophalen voorkennis woordformules, Vragen stellen, Voorbeeldsituatie met oude opgaven 06-10 O Ophalen voorkennis letter-rekenen, Vragen stellen, Kleine oude opgave 10-12 I Uitreiken leerlingenmateriaal lessenserie 12-13 I Uitleggen eerste vraag. Vormen van duo s als dat nog nodig is. Wacht even op je buurman of buurvrouw. Zodra jullie allebei klaar zijn ga je overleggen wat jullie hadden. Duo s vormen, als er nog leerlingen alleen zitten. 13-18 VT Oplossen eerste vraag. Denken, 13-18 VT Bespreken oplossingen met buur Delen, 18-25 VT Bespreken eerste vraag aan bord Uitwisselen 25-26 I Introduceren tweede vraag Luisteren VT Oplossen tweede vraag Denken VT Bespreken oplossingen met buur Delen 27-34 VT Bespreken tweede vraag, Vragen stellen aan de klas, Commentaar vragen aan de klas, of eventueel zelf geven. 35-36 I Introduceren derde vraag Uitwisselen VT Oplossen derde vraag Denken VT Bespreken met buur Delen 40-45 R Bespreken derde vraag, rondvraag over deze Huiswerk noteren Uitwisselen, evalueren
les, korte aankondiging volgende les, huiswerk opgeven: het restant van de opgaven die je vandaag niet af kreeg
Les 2 Klas: Brugklas HAVO, HAVO/VWO, VWO Klas: B1B Les; 2 Vak: WIS Lesonderwerp: Voorspellen aan de hand van plaatjes en met behelp van applets Beginsituatie: In de eerste les van deze lessenserie hebben leerlingen ondervonden dat het zoeken naar oplossingen van bepaalde wiskundige problemen ten eerste lang kan duren en ten tweede dat het vrij bewerkelijk is met een lage kans op succes. Leerlingen zijn wel al, vanuit de reguliere lesstof, bekend met variabelen en het eenvoudige rekenen daarmee. Media/spullen/hulp. Computerlokaal Smartboard/ whiteboard Leskern: Variabelen je laten helpen om voorspellingen te kunnen doen Boek: Syllabus Leren Modelleren Leerdoelen: Denkstappen duidelijk maken, Docentdoelen: Kundig begeleiden computerpracticum OIVTR = oriëntatiefase; informatie overdrachtsfase; verwerkings- en toepassingsfase; en reflectiefase
tijd OIVTR activiteit docent activiteit leerling (werkvorm) Leer-activiteit (specifiek) 00-02 O Contact maken, absenten? Orde en rust. Leerlingen nemen individueel plaats achter een computer 03-04 O Instructies computers: uitgeschakeld laten, aandacht naar de docent halen 04-10 O Terughalen vorige les, vragen stellen 11-15 I Introductie deze les, Introductie eerste opgave,, sein tot aanzetten computers, controleren of applets worden geactiveerd 16-25 VT Rondlopen, assistentie verlenen, op weg helpen waar nodig 26-30 VT Aandacht vragen, antwoorden bespreken 31-32 I Introduceren tweede opgave Aandacht naar de docent 33-40 VT Rondlopen, vragen beantwoorden, motiveren Werken aan de tweede opgave. Leerlingen die klaar zijn met de tweede, maar nog niet met de eerste kunnen met die opgave verder 41-44 VT Aandacht te rug vragen. Opgaven bespreken, Vragen stellen Vragen beantwoorden 44-45 R Afsluiten, huiswerk opgeven, Huiswerk noteren
Les 3 Klas: Brugklas HAVO, HAVO/VWO, VWO Klas: B1B Les; 3 Vak: WIS Lesonderwerp: Modelleren bij een tekst Beginsituatie: Leerlingen zijn bekend met woordformules en variabelen. Ook zijn ze er inmiddels achter dat het domweg zoeken naar oplossingen voor sommige wiskundige raadsels tijdrovend is. Daarnaast zien ze in dat variabelen handig kunnen zijn bij het maken van voorspellingen. Media/spullen/hulp. Smartboard/ whiteboard Leskern: Leerlingen kunnen variabelen gebruiken om raadsels op te lossen. Boek: Syllabus Leren Modelleren Leerdoelen: Leerlingen kunnen herkennen voor welke grootheid zij een variabele moeten introduceren. Aan de hand van een tekst kunnen zij uitspraken over die variabelen doen. Docentdoelen: Leerlingen intensief begeleiden naar een oplossing. Wegblijven van vergelijkingen oplossen OIVTR = oriëntatiefase; informatie overdrachtsfase; verwerkings- en toepassingsfase; en reflectiefase
Tijd OIVTR activiteit docent activiteit leerling (werkvorm) Leer-activiteit (specifiek) 00-02 O Contact maken, absenten? Orde en rust. 03-05 O Terugblik op de eerste twee lessen. Toezien op vorming van verse duo s 05-10 I Inleiden eerste opgave, vragen stellen, leerlingen de tijd geven na te denken, eerste aanzet geven. Vormen van nieuwe duo s 10-14 VT Leerlingen maken in tweetallen de eerste opgave Denken, Delen 14-18 VT Discussie eerste opgave Uitwisselen 19-30 VT Klassikaal tweede opgave Antwoorden geven, antwoorden opschrijven 31-36 VT In tweetallen derde opgave Denken, Delen 37-41 VT Bespreken derde opgave Uitwisselen 41-45 R Huiswerk opgeven. Maak de opgaven van de syllabus van de les van vandaag af. Luisteren, Huiswerk noteren
Les 4 Klas: Brugklas HAVO, HAVO/VWO, VWO Aantal lln: 29 Klas: B1B Les; 4 Vak: WIS Lesonderwerp: Oplossen met modelleren Beginsituatie: Leerlingen zijn na de eerste drie lessen bekend met modelleren met behulp van variabelen. Om ze volledig te overtuigen van het nut van modelleren met variabelen is het nodig ze in te laten zien hoe je hiermee snel tot een oplossing kan komen. Media/spullen/hulp. Smartboard/ whiteboard Leskern: Hoe kom ik met variabelen tot een oplossing van een wiskundig probleem? Boek: Syllabus Leren Modelleren Leerdoelen: Reflecteren Docentdoelen: Lessenserie op een kundige manier afronden, OIVTR = oriëntatiefase; informatie overdrachtsfase; verwerkings- en toepassingsfase; en reflectiefase
tijd OIVTR activiteit docent activiteit leerling (werkvorm) Leer-activiteit (specifiek) 00-02 O Contact maken, absenten? Orde en rust. 03-05 O Toezien op vormen van nieuwe tweetallen,terugblikken op de eerste drie lessen van de lessenreeks 06-11 O Introductie deze les, wat moeten we nu nog doen?, terugblikken op letterrekenen (relevante kennis) 12-15 O Terugblikken ruimtefiguren: ribben, hoekpunten, vlakken 16-18 I Gezamenlijk: 1a- 1b 17-18 VT 1c, geeft leerlingen de tijd hier even over na te denken 19-20 VT 1c, leerlingen bespreken hun antwoorden in tweetallen Vormen van nieuwe tweetallen, Vertellen, vragen en antwoorden Vertellen, vragen en antwoorden Voorkennis-activeren Voorkennis activeren Denken Delen, Discussieren 20-21 VT 1c, bespreking aan het bord. Uitwisselen 22-23 VT 1d, geeft leerlingen de tijd hier even over na te denken Denken, Delen 24-25 VT 1d, bespreking aan het bord. Uitwisselen 26-32 VT Leerlingen aanzetten tot het uitwerken van de overige opgaven, in duo s 33-39 R Bespreken laatste opgaven, Afronden Leren modelleren Uitwerken overige opgaven Evalueren, concluderen 40-44 R Uitdelen Learner Report Invullen Learner Report Evalueren, concluderen
45-45 R Leerlingen die klaar zijn mogen sylllbus met naam er op inleveren. Opgaven syllabus afmaken voor volgende les Huiswerk noteren