Wiskunde studeren: bedoeling en achtergronden van het wiskundetutoraat

Wiskunde studeren: bedoeling en achtergronden van het wiskundetutoraat Chris Zaal 1 september 2014 Inhoudsopgave 1 Regels 2 1.1 Aanwezigheid...................................... 2 1.2 Aanwezigheid bij tutoraat............................... 2 1.3 Tentamens en hertentamens.............................. 2 1.4 Bindend Studieadvies................................. 2 1.5 Overgangsregeling naar jaar 2............................. 2 2 Onderwijsvormen 3 2.1 Hoorcollege....................................... 3 2.2 Tutoraat......................................... 3 2.3 Werkcollege....................................... 3 2.4 Uitwerkingen...................................... 3 2.5 Zelfstudie........................................ 3 3 Wat is speciaal aan wiskunde studeren? 4 3.1 Theorie stapelt..................................... 4 3.2 Beheersingsniveau................................... 4 3.3 Bedoeling van de sommen............................... 4 3.4 Overgang van de middelbare school.......................... 4 3.5 Bottom-up of top-down?................................ 4 3.6 Selectiefunctie van het eerste jaar........................... 5 4 Toegepaste psychologie 5 4.1 Schaamte........................................ 5 4.2 Snappen versus niet snappen............................. 5 4.3 Samenwerken: daarom!................................. 5 4.4 Hoe voorkom je dat je afhaakt?............................ 6 5 Studietips 6 5.1 Motivatie, talent en discipline............................. 6 5.2 Maak zoveel mogelijk sommen............................. 6 5.3 Wees creatief: maak fouten.............................. 6 5.4 Stel vragen....................................... 7 5.5 Werk samen....................................... 7 5.6 Opgaven doorzien in plaats van kunnen....................... 7 5.7 Maak samenvattingen................................. 7 5.8 Gebruik je gezonde verstand.............................. 7 6 Opgaven 8 1

1 Regels 1.1 Aanwezigheid Alle werkcolleges zijn verplicht. Per vak word je geacht op tenminste 80% van het totaal van werkcollege en tutoraat aanwezig te zijn geweest. Ziekte, trein missen, dokters- en tandartsbezoek en overmacht valt binnen die 20%. Consequentie: als je minder dan 80% van de werkcolleges gemist hebt, vervalt je recht op het hertentamen. Uitzonderingen: vraag deze aan bij tutorcoördinator Loek Spitz (loekspitz@gmail.com). Aanwezigheid bij hoorcollege is niet verplicht, simpelweg omdat we dat niet kunnen controleren. Ook te laat komen heeft zijn grenzen. Als je het te bont maak, noteert de werkcollegedocent van dienst je als afwezig, met alle consequenties van dien. 1.2 Aanwezigheid bij tutoraat De tutoraten zijn ook verplicht voor alle eerstejaars wiskundestudenten, voor beta-gammastudenten die beginnen met hun major wiskunde, voor studenten met een minor wiskunde; daarvoor geldt dezelfde aanwezigheidsverplichting van 80% of meer (tezamen met de werkcolleges). Voor ouderejaars en bijvakstudenten is het wiskundetutoraat niet verplicht, maar deze studenten zijn daar wel welkom. Aanmelden bij: Loek Spitz (loekspitz@gmail.com). Voor dubbele bachelors zijn alleen de helft van de tutoraten verplicht: alleen de tutoraten van Lineaire Algebra en Analyse op de Lijn. De aanwezigheidsveplichting voor het tutoraat geldt niet voor ouderejaars wiskundestudenten en voor bijvakstudenten, voor hen geldt alleen de aanwezigheidsverplicht op de werkcolleges. Uitzonderingen: aanvragen bij tutorcoördinator Loek Spitz (loekspitz@gmail.com). 1.3 Tentamens en hertentamens Alle vakken hebben ten hoogste één hertentamenmogelijkheid. Sommige praktische vakken zoals Computeralgebra/L A TEX en Inleiding programmeren voor wiskundigen hebben geen hertentamen. Tentamens en deeltentamens bij wiskunde zijn verplicht. Als je bij een (deel)tentamen niet aanwezig bent, verlies je je recht op het hertentamen tenzij je je afwezigheid (met reden) tijdig gemeld hebt bij de docent. Bij ongeoorloofde afwezigheid bij een tentamen verlies je je recht op hertentamen. 1.4 Bindend Studieadvies In de BSc wiskunde geldt een Bindend Studieadvies (BSA): na afloop van jaar 1 moet je tenminste 42 studiepunten gehaald hebben om je volgend jaar weer te mogen inschrijven voor de wiskundestudie. Verder moet je binnen twee jaar je hele eerstejaar gehaald hebben. Voor meer informatie, zie http://www.student.uva.nl/wis > A-Z. 1.5 Overgangsregeling naar jaar 2 Je wordt onvoorwaardelijk toegelaten tot het tweede jaar als je aan het eind van het eerste jaar alle 60 studiepunten gehaald hebt. Als je niet alle vakken gehaald hebt, mag je niet onvoorwaardelijk deelnemen aan jaar 1. Als je bv. de vakken Analyse op de lijn, Analyse: van R naar R n niet gehaald hebt, mag je het tweedejaars analysevak niet volgen. Idem voor Algebra 1 en Stochastiek 1. Dan loop je meteen studievertraging op. 2

2 Onderwijsvormen 2.1 Hoorcollege De hoorcollegedocent is de hoofdverantwoordelijke voor het vak. Tijdens het hoorcollege legt de hoorcollegedocent de stof uit. Deze docent bepaalt welke opgaven gemaakt moeten worden voor het werkcollege en is verantwoordelijk voor het tentamen. In het hoorcollege kan de docent niet alles uitleggen. Zie het hoorcollege daarom als een eerste kennismaking met de stof. De tweede kennismaking krijg je als je de opgaven probeert te maken (tijdens het tutoraat en tijdens zelfstudie). Bij het werkcollege krijg je wederom met de stof te maken: daar leer je hoe je echt naar de sommen moet kijken. 2.2 Tutoraat Het tutoraat is begeleide zelfstudie. De tutor zet de studenten aan het werk in kleine groepjes en loopt rond. Tijdens het tutoraat bereiden studenten het huiswerk voor het werkcollege voor. Kom je er niet uit, overleg dan met je groepje en vraag zonodig je tutor. Een tutor is een ervaren wiskundestudent, en altijd een andere persoon dan de werkcollegedocent. De belangrijkste rol van de tutor is dat die met jullie meedenkt: zit je vast of kom je ergens niet uit, vraag de tutor die helpt je dan weer op weg. Tijdens tutoraat worden er geen opgaven klassikaal behandeld, daar is het werkcollege voor. Als je tijdens het tutoraat niet alle opgaven afgekregen hebt, dan word je geacht daaraan verder te werken totdat dit wel gelukt is. In de voorbereiding op een werkcollege zullen misschien niet alle opgaven in één keer lukken, maar belangrijk is wel dat je alle opgaven geprobeerd hebt! Als je tijdens het tutoraat al de opgaven van een vak af hebt, kun je beginnen aan de opgaven van een ander vak, of het hoorcollege gaan voorbereiden. 2.3 Werkcollege De bedoeling van een werkcollege is dat je inhoudelijke feedback krijgt op de opgaven die je gemaakt hebt. De werkcollegedocent loopt rond om individuele vragen te beantwoorden (en dan werk je aan de opgaven die je nog niet af hebt). Daarnaast behandelt de werkcollegedocent sommige (niet alle) opgaven klassikaal op het bord, met uitleg. De bedoeling van een klassikale uitwerking is meerledig: a) te laten zien wat een ideale wiskundige uitwerking is, b) wat de ideeën erachter zijn, c) hoe je het netjes opschrijft. Sommige uitwerkingen komen achteraf op Blackboard (daar kun je ook om vragen). 2.4 Uitwerkingen In een werkcollege worden niet alle opgaven voorgemaakt. Niet alle uitwerkingen komen op Blackboard. Als je wil weten of je uitwerking goed is, kun je altijd vragen je werkcollegedocent er naar te kijken. De reden dat we bij een wiskundestudie maar een beperkt aantal uitwerkingen geven, is dat je als wiskundestudent zelf moet leren een opgave te lossen. Ook: dat je zelf moet leren te snappen wanneer iets goed is en wanneer niet. Van een rekenopgave kun je bijna altijd zelf het antwoord controlen. Een bewijsopgave klopt als je redenering spijkerhard en waterdicht is en tot het gewenste antwoord leidt. 2.5 Zelfstudie Bij een voltijdsstudie als wiskunde word je geacht zo n veertig uur per week te studeren. Met hoor- en werkcollege kom je hoogstens tot de helft. De rest van je studietijd is zelfstudie. 3

Met het tutoraat helpen we je met de zelfstudie. In het begin beslaat het tutoraat meerdere uren per week, maar na acht weken wordt de intensiteit teruggebracht. De resterende tijd moet je dus zelf invullen met zelfstudie. Doe dit vooral niet alleen, maar doe dit samen met medestudenten! Houd er wel rekening dat je uiteindelijk de stof en de sommen wel zelf moet beheersen. Immers, het tentamen maak je in je eentje en niet (meer) samen. Dus je moet ten allen tijde zorgen dat je alles ook zélf snapt. 3 Wat is speciaal aan wiskunde studeren? 3.1 Theorie stapelt Bij wiskunde krijg je een flinke lading wiskundige theorie over je uitgestort. Dat geldt voor elk jaar en elk semester: het niveau wordt steeds hoger en de vakken bouwen op elkaar voort. Elk semester is moeilijker dan het vorige, omdat er aangenomen wordt dat je de stof van de voorgaande semesters beheerst, en omdat gaandewijs de stof van de vakken steeds abstracter wordt. 3.2 Beheersingsniveau De theorie word je geacht te beheersen aan de hand van opgaven. Elk tentamen duurt drie uur en bestaat uit vijf à zes opgaven. Die opgaven zijn altijd net iets anders dan welke die behandeld zijn tijdens de werkcolleges. Het idee daarvan is dat je zelf moet uitvogelen hoe je de behandelde theorie kunt toepassen. Je moet de theorie dus niet passief, maar actief beheersen. 3.3 Bedoeling van de sommen Sommen maken is geen doel op zich. Het doel ervan is de theorie te leren beheersen. Omdat nieuwe stof niet 1-2-3 in je hoofd zit, zullen die opgaven best pittig zijn. Een typische wiskundeopgave zul je dus aanvankelijk dus niet kunnen oplossen. Dat is de bedoeling. In het oplossen een wiskundeopgave zul je veel energie en moeite moeten stoppen. Maar je krijgt er iets voor terug, namelijk: inzicht in de stof! 3.4 Overgang van de middelbare school De overgang van de middelbare school is groot. Het tempo ligt hoog. De stof wordt maar één keer uitgelegd in plaats van drie keer. De wiskundedocenten sloven zich niet meer uit om ervoor de zorgen dat iedereen het vak haalt. Anders gezegd: sommen maken gaat niet meer vanzelf, maar van au! Niet onbelangrijk: er is geen klassedocent/conrector meer die jou tot orde roept als het mis dreigt te gaan. Je mag dus te laat komen zonder dat je een briefje moet halen. Er is een risico dat je je recht op herkansing verliest, maar daarover ben je zelf baas. En als je te veel steken laat vallen, is er een gerede kans dat je het eerste jaar niet haalt en de aansluiting met je medestudenten verliest. 3.5 Bottom-up of top-down? Als je hoor- en werkcolleges passief bezoekt (voor zover verplicht), als je alleen de verplichte opgaven maakt en inlevert en als je het werkelijke leren uitstelt tot vlak voor het tentamen, in de hoop dat het dan nog wel zal goedkomen, dan studeer je top-down: je doet alleen het hoogst nodige, dat wat opgelegd wordt. 4

Bottom-up studeren betekent dat je je vakken bijhoudt: niet alleen dat je je huiswerk maakt, maar ook dat je actief probeert de theorie bij te houden en te snappen, en dat je het werkcollege gebruikt om de puntjes op de i te zetten bij de beheersing van de opgaven. Een studie Rechten kan je misschien top-down volgen. Maar om wiskunde te studeren is er eigenlijk maar één manier de goede: de bottom-up manier. Gewoon omdat je door regelmatig en actief te studeren, je de stof op een natuurlijke manier verwerkt en in je hoofd opslaat. Het punt is dat wiskunde leren een bepaalde verwerkingstijd nodig heeft. Als je daarop bezuinigt door het leren uit te stellen tot vlak voor het tentamen, bereik je a) niet het gewenste beheersingsniveau b) zakt daarna het geleerde sneller weg. 3.6 Selectiefunctie van het eerste jaar De bedoeling van eerste jaar is naast kennisverwerving ook selectie. Degenen die het eerste jaar halen, worden geacht in staat te zijn de studie binnen vier jaar af te ronden. Haal je de overgangseisen niet, dan moet je je ernstig afvragen of een andere studie geen beter alternatief is. De studieadviseur Iris Hettelingh zal je hierin adviseren. E-mail: I.Hettelingh@uva.nl. 4 Toegepaste psychologie 4.1 Schaamte Als je iets niet snapt (iets dat regelmatig voor zal komen), ben je geneigd te denken dat de rest van de klas het wel snapt. Het gevolg daarvan is dat je je gaat schamen en dat je gaat wegkruipen: in plaats van dat je een vraag stelt, hou je je mond. Als in een collegezaal de docent vraagt of er vragen zijn, krijgt hij of zij meestal geen antwoord. Niet dat er geen vragen zijn, maar gewoon omdat iedereen zich schaamt om een vraag te stellen ook al zit 99,9% van de zaal met dezelfde vraag. 4.2 Snappen versus niet snappen Wiskunde is nogal zwart-wit. Een uitspraak is bijvoorbeeld waar of niet waar. Maar een vergelijkbaar verschijnsel is dat als je iets niet snapt, het heel moeilijk lijkt. Omgekeerd lijkt iets dat je snapt zo klaar als een klontje en kun je je niet meer voorstellen dat het moeilijk kan lijken. Het omslagpunt is het moment dat je iets snapt, de zogenaamde Aha-Erbebnis de kick daarvan is de beloning van het studeren. Niet-snappen kan op heel veel manieren de ene student snapt dit niet, de andere dat. Docenten zijn niet helderziend. Als jij als student niet duidelijk maakt wat je wel en niet snapt, kunnen zij je niet verder helpen. Bovendien worden docenten gehinderd door het feit dat zij al snappen wat zij uitleggen en dus heel makkelijk vinden. In syllabi staat dan bijvoorbeeld: Het is eenvoudig in te zien dat... Of: Dit bewijs is triviaal. Dit hoort bij de wiskundecultuur. Raak in zo n geval niet in paniek als je het niet snapt. Als je het na veel moeite eenmaal snapt, kun je je niet meer voorstellen dat je het eens niet snapte. 4.3 Samenwerken: daarom! Samenwerken is bij wiskunde studeren heel belangrijk. Niet dat wiskundigen zulke sociale wezens zijn. Het punt is dat je in je eentje snel vastloopt, en dat je alleen verder komt door vragen te stellen. En het makkelijkst stel je vragen aan een medestudent. Het typische voorbeeld is dat van een eerstejaarsstudent die naar hoorcollege gaat en daarna op zijn of haar zolderkamer begint aan de opgaven. Bij de eerste opgave loopt onze student vast en wat dan? Dan ben je geneigd toch te denken dat het aan jezelf ligt. Toch? 5

Daarom moet je een of meer medestudenten in de buurt hebben waaraan je iets kan vragen. Snap je op college iets niet, vraag dan (zachtjes) aan je buurman of -vrouw: Snap jij het? Het antwoord is meestal ontkennend, met als gevolg dat je erachter komt dat jij niet de enige bent die het niet snapt. 4.4 Hoe voorkom je dat je afhaakt? Elk wiskundevak stapelt kennis van de ene week op kennis van de vorige week. Dat gebeurde op de middelbare school ook, alleen lag daar het tempo veel lager. Op de universiteit ligt het tempo stukken hoger. Als je per ongeluk een week mist, lig je dus al achter. Als je achter ligt, heb je meteen een probeem: je hebt uitleg gemist, je moet stof inhalen en ook nog een de nieuwe opgaven maken. Daardoor is het moeilijk om aan te sluiten bij de groep die op je voor ligt. Van achterliggen naar afhaken is maar een klein stapje. De oplossing is: blijf zo goed mogelijk bij. Stel niet uit, probeer zo goed mogelijk bij te blijven. Probeer zo snel mogelijk weer aansluiting te vinden. Vraag je medestudenten wat er gebeurd is. Werk zo nodig vooruit, als je weet dat je iets gaat missen. En natuurlijk: werk samen, je medestudenten helpen je vooruit! 5 Studietips 5.1 Motivatie, talent en discipline Wiskunde studeren is een kwestie van motivatie, talent en discipline. Motivatie hebben jullie allemaal. Talent ook. Trek je conclusie! Discipline is bij een wiskundestudie dus de sleutel tot succes. Het wiskundetutoraat helpt je daarbij. Maar het tutoraat lost niet alles op: je moet nog steeds zelf nadenken, en ook buiten de tutoruren moet je studeren. Lukt het je ondanks het tutoraat niet om aan de slag te gaan? Dan heb je een disciplineprobleem. Zoiets komt regelmatig voor. Disciplineproblemen proberen we zo vroeg mogelijk in de wiskundestudie te signaleren. In de praktijk is dat zo half november, na de eerste tentamenperiode. 1 5.2 Maak zoveel mogelijk sommen Opgaven maak je omdat het moet. Maar eigenlijk maak je opgaven omdat je er van leert. Elke wiskundeopgave die je oplost, levert je naast de voldoening van het oplossen ook een stapje meer inzicht in de stof. 5.3 Wees creatief: maak fouten Om een wiskunde-opgave op te lossen, moet je altijd iets dóen. Wat, dat is de vraag en dat weet je juist niet. Daarom moet je gewoon iets proberen. Misschien is het fout, maar van je fouten leer je. Het punt is dat je altijd iets kán doen: kijken wat erop lijkt (in de theorie bladeren), een voorbeeld proberen, de opgave in één bepaald geval oplossen, een makkelijkere variant bedenken en die oplossen, et cetera. Fouten maken is niet erg: elke opgave wordt opgelost door het eerst fout te doen. Het belangrijkste is dat je probeert, dat je doet! En als je niets weet, stel jezelf of je medestudenten dan een vraag. Snap je de vraag? Snap je wat gevraagd wordt? Snap je hoe het antwoord eruit moet zien? Is het antwoord een getal? 1 Als half november je cijfers tegenvallen en als wij denken dat je disciplineproblemen hebt, kom je in aanmerking voor een aanvullende cursus Studievaardigheden. Die cursus wordt je dan sterk aangeraden. Verplicht is deze cursus niet, maar het in de wind slaan van een dergelijk advies wordt wel aangetekend in je BSA-dossier. 6

Een formule? Of een bewijs? Wat weet je al op basis van de theorie? Zijn er stellingen die je hierover geleerd hebt? 5.4 Stel vragen Snap je iets niet of zit je vast, stel dan een vraag. Het veiligste is natuurlijk aan een medestudent. Als je er samen niet uitkomt, stap dan op een van de docenten af. Dat kan tijdens hoorcollege (desnoods in de pauze of na afloop) of een werkcollege (steek je vinger op). Buiten hoor- en werkcolleges kun je ook de docenten opzoeken. Zoek he docenten op als je iets wil weten. 5.5 Werk samen Samen weet je meer dan in je eentje, samen kun je meer dan in je eentje. Een van de belangrijkste functies van samenwerken is dat je elkaar iets kunt vragen. Vaak zul je zien dat het stellen van een vraag al voldoende is om die te beantwoorden: door het verwoorden van je vraag word je vaak al wijzer. En zelfs al is je medestudent niet meer dan een praatpaal, zonder samenwerken kom je niet zover. In het tutoraat werk je verplicht samen. Als je slim bent, doe je dat daarbuiten ook. En als je niet slim bent, al helemaal! Bij de bibliotheek kun je de samenwerk-plekken op de eerste verdieping van SP 904 reserveren (alleen op dezelfde dag). Samenwerken mag ook bij huiswerk dat je moet inleveren. Het enige dat we vragen is dat je het zelfstandig opschrijft, dus zo dat je het zelf begrijpt. Met het letterlijk kopiëren wat iemand anders bedacht heeft kom je niet zo ver. Immers, daarvan leer je niets en tentamens maken doe je individueel! 5.6 Opgaven doorzien in plaats van kunnen Wiskundeopgaven zijn niet bedoeld als test of je slim bent. De bedoeling is dat je er iets van leert. Je leert bijvoorbeeld wat een definitie inhoudt of een stelling toe te passen. Het idee is dat je een wiskundeopgave eerst niet kan en daarna wel voor altijd, omdat het kwartje gevallen is, omdat je het idee erachter snapt. Als je de uitwerking van iemand anders kopieert, sla je dit hele leerproces over. Probeer daarom altijd een opgave zelf te snappen, te doorzien. Zelf alle oplossingen bedenken verlangen we niet bij een wiskundestudie, maar wel dat je alle oplossingen snapt. Wat is het verschil? Doe je schrift dicht en probeer de oplossing uit je hoofd te reproduceren. Of leg het aan iemand anders uit nog een reden waarom samenwerken goed is: van uitleggen leer je iets een tweede keer. 5.7 Maak samenvattingen Naast sommen-maken is het maken van samenvattingen een manier om de theorie in je hoofd te krijgen. Maak bijvoorbeeld per week een samenvatting op één A4-tje. Na één blok heb je dan zeven A4-tjes die je samenvat op een enkel A4-tje. Als je die gemaakt hebt, zit als het goed is alles in je hoofd en kun je zonder samenvatting. Samenvattingen maak je in principe voor jezelf. Schrijf ze dus zelf. Je kunt ook een samenvatting van iemand ander kopieren, maar dan leer je samenvatting van iemand anders. Dan kopieer je andermans kennis, in plaats van dat je inzicht creëert. 5.8 Gebruik je gezonde verstand Wiskunde studeren betekent naast discipline regelmatig werken ook je gezonde verstand gebruiken. Wiskunde is geen verzameling trucjes, maar een gestructureerde manier om je gezond 7

verstand aan het werk te zetten. Een overmaat aan intelligentie en/of wiskundetalent kan helpen, maar het komt meestal neer op gewoon gezond verstand. 6 Opgaven 1. Bewijs dat voor alle n N geldt n i=0 i = 1 2n(n + 1). 2. Bewijs dat voor alle n N geldt n i=0 i 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1). 3. Laat zien dat voor alle priemgetallen p geldt: als p 2 + 2 priem, dan ook p 2 + 3p + 13. 8