Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28
The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim ε 0 d ε (x) 2/28
Delta functie 1/ε ε/2 ε/2 3/28
De interpretatie: δ(x) = { als x = 0 0 anders werkt niet want hoe moeten we hier mee rekenen? 4/28
Voor elke continue functie g(x) geldt: g(x)δ(x x 0 ) dx = g(x 0 ) Dit wordt de zeefeigenschap genoemd. 5/28
De eenheids stapfunctie wordt gedefinieerd als: { 0 als x < 0 u(x) = 1 als x 0 We hebben: x δ(v)dv = u(x) 6/28
Voor een discrete stochastische variabele met bereik S X = {x 1, x 2,...} geldt: F X (x) = P X (x i )u(x x i ) x i S X en f X (x) = P X (x i )δ(x x i ) x i S X 7/28
Gemengde stochastische variabelen X wordt een gemengde stochastische variabele genoemd als f X (x) zowel impulsen als eindige waarden ongelijk aan nul aanneemt. 8/28
Afgeleide stochastische variabelen Als we een afgeleide stochastische variabele Y = g(x) hebben dan willen we de kansverdeling en de kansdichtheid kunnen bepalen gegeven de verdeling van X. We doen dit meestal in twee stappen: Bepaal de cumulatieve kansverdeling F Y (y) = P[Y y]. Bereken de kansdichtheid f Y (y) via de afgeleide f Y (y) = df Y (y) dy. 9/28
Zij X een uniform(0, 1) verdeelde stochastische variabele. Bepaal de cumulatieve verdelingsfunctie en de kansdichtheid van de stochasten: Y 1 = 100X, Y 2 = X 2, Y 3 = X 3. 10/28
Zij Y = a X met a > 0, dan heeft Y als kansverdelingsfunctie en kansdichtheid respectievelijk: ( F Y (y) = F y X a), fy (y) = a 1 f ( y X a) Y = a X met a > 0: Als X uniform(b, c) is dan is Y uniform(ab, ac), Als X exponentieel(λ) is dan is Y exponentieel(λ/a), Als X Erlang(n, λ) is dan is Y Erlang(n, λ/a), Als X Gaussisch(µ, λ) is dan is Y Gaussisch(aµ, aσ ), 11/28
Zij Y = X + b, dan heeft Y als kansverdelingsfunctie en kansdichtheid respectievelijk: F Y (y) = F X (y b), f Y (y) = f X (y b) 12/28
Zij U een uniforme(0, 1) verdeelde stochastische variabele. Zij F(x) een cumulatieve verdelingsfunctie met een inverse F 1 gedefinieerd op [0, 1]. Dan heeft de stochastische variabele X = F 1 (U) een kansverdelingsfunctie F X (x) = F(x). 13/28
Conditionele verdelingsfunctie gegeven een gebeurtenis Voor een stochastische variabele X met kansdichtheid f X (x) en een gebeurtenis B S X met P[B] > 0 de conditionele kansdichtheid gegeven B is: f X B (x) = { f X (x) P[B] als x B 0 anders 14/28
Een stochastische variabele X resulterend van een experiment en een partitie B 1, B 2,..., B m van de uitkomstenruimte met conditionele kansdichtheden f X Bi (x), heeft een kansdichtheid: f X (x) = i f X Bi (x)p[b i ] 15/28
Conditionele verwachting gegeven een gebeurtenis Gegeven dat x B dan is de conditionele verwachting van X gelijk aan: E[X B] = x f X B (x) dx. 16/28
Gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie De gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie (joint cumulative distribution or joint CDF) van de stochastische variabelen X en Y is: F X,Y (x, y) = P[X x, Y y] 17/28
Voor een paar stochastische variabelen X en Y : 0 F X,Y (x, y) 1 F X (x) = F X,Y (x, ) F Y (y) = F X,Y (, y) F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = 0 Als x x 1 en y y 1 dan F X,Y (x, y) F X,Y (x 1, y 1 ) F X,Y (, ) = 1 18/28
Gezamenlijke verdelingsfunctie De gezamenlijke verdelingsfunctie (joint probability mass function or joint PMF) van de discrete stochastische variabelen X en Y is: P X,Y (x, y) = P[X = x, Y = y] We definiëren het bereik (range) van het paar stochastische variabelen X en Y is: S X,Y = {(x, y) P[X = x, Y = y] > 0}. 19/28
Voor discrete stochastische variabelen X en Y en elke verzameling B in het X, Y vlak, is de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis {(X, Y ) B} gelijk aan: P[B] = (x,y) B P X,Y (x, y) 20/28
Marginale kansverdeling X en Y zijn discrete stochastische variabelen met gezamenlijke kansverdeling P X,Y (x, y). We hebben: P X (x) = y S y P X,Y (x, y), P Y (y) = x S x P X,Y (x, y) Dit wordt de marginale kansverdeling (marginal PMF) genoemd. 21/28
Gezamenlijke kansdichtheidsfunctie De gezamenlijke kansdichtheidsfunctie (joint probability density function or joint PDF) f X,Y van de stochastische variabelen X en Y is zodanig dat: F X,Y (x, y) = x y f X,Y (u, v) dvdu f X,Y (x, y) = 2 F X,Y (x, y) x y 22/28
Een gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f X,Y (x, y) heeft de volgende eigenschappen: Verder geldt: f X,Y (x, y) 0 voor alle (x, y) f X,Y (x, y)dxdy = 1 P[x 1 X x 2, y 1 Y y 2 ] = F X,Y (x 2, y 2 ) F X,Y (x 2, y 1 ) F X,Y (x 1, y 2 ) + F X,Y (x 1, y 1 ) 23/28
Voorbeeld Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid: { 2 0 y x 1 f X,Y (x, y) = 0 anders Bepaal de cumulatieve kansverdeling. 24/28
De kans dat de continue stochastische variabelen (X, Y ) in A liggen is P[A] = f X,Y (x, y) dxdy A 25/28
Voorbeeld Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid: { 2 0 y x 1 f X,Y (x, y) = 0 anders Bepaal de kans P[A] = P[Y > X] 26/28
Marginale kansdichtheid Gegeven zijn stochastische variabelen X en Y met gezamenlijke kansdichtheid f X,Y (x, y). We hebben: f X (x) = f X,Y (x, y)dy, f Y (y) = f X,Y (x, y)dx. Dit wordt de marginale kansdichtheid (marginal PDF) genoemd. 27/28
Voorbeeld Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid: f X,Y (x, y) = { 54 y 1 x 1, x 2 y 1 0 anders Bepaal de marginale kansdichtheden f X (x) en f Y (y). 28/28